Pelabelan Total (a, d)-Simpul Antimagic pada Digraf Matahari Yuni Listiana, Darmaji Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
[email protected] Abstrak -Digraf D(V, A) adalah graf yang setiap sisinya memiliki arah dengan memperhatikan urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sebuah sisi berarah tersebut. Sisi berarah pada digraf disebut sebagai busur. Pada digraf D, himpunan simpul dinotasikan sebagai V dan himpunan busur dinotasikan sebagai A. Banyak simpul di D dinyatakan dengan |V | dan banyak busur di D dengan |A|. Andaikan |V | = s dan |A| = r, maka pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pada digraf D dapat didefinisikan sebagai sebuah fungsi bijektif λ : V ∪ A −→ {1, 2, 3, ..., s + r} sedemikian hingga bobot total simpul untuk seluruh simpul di D membentuk sebuah barisan aritmatika a, a + d, a + 2d, ..., a + (s − 1)d, dengan → + λ(v) − bobot total adalah W t(v) = Σu∈A+ (v) λ(− uv) − → − → − → Σz∈A− (v) λ(vz), untuk uv, uv ∈ A, d ≥ 0, dan a,d adalah bilangan bulat. Dalam penelitian ini, dilakukan konstruksi pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pada digraf matahari. Digraf matahari, −→ dinotasikan dengan Mn , n ≥ 3, didefinisikan − → sebagai digraf siklus, Cn , dengan penambahan sebuah bandul berarah pada setiap simpulnya. Arah busur digraf matahari ditetapkan searah dengan arah perputaran jarum jam. Dari hasil penelitian didapatkan hasil konstruksi digraf matahari pelabelan total (a, d)-simpul antimagic −→ pada Mn untuk nilai d = 0, 1, 2, 3, 4 dan n ≥ 3. Kata Kunci: digraf matahari, pelabelan digraf, pelabelan total (a, d)-simpul antimagic, pelabelan total super (a, d)-simpul antimagic.
1
ini, kami fokus pada jenis pelabelan total (a, d)-simpul antimagic. Konsep pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pertama kali diperkenalkan oleh Baˇca, dkk. dalam [2]. Dalam paper tersebut, pelabelan total (a, d)simpul antimagic dari graf G didefinisikan sebagai fungsi bijektif λ : V ∪ E −→ {1, 2, 3, ..., p + q} sedemikian hingga bobot total simpul membentuk W = {W t(x)|x ∈ V } = {a, a + d, a + 2d, . . . , a + (p − 1)d} untuk a dan d bilangan bulat. Bobot total simpul merupakan hasil penjumlahan label simpul ditambah jumlah label sisi yang bersisian pada simpul tersebut. Hingga kini telah dikembangkan berbagai jenis pelabelan graf, namun pelabelan graf dengan jenis pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pada graf berarah (digraf) masih belum banyak dikerjakan. Graf berarah atau digraf adalah graf yang setiap sisinya memiliki orientasi arah dan urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sebuah sisi diperhatikan. Pada tahun 2009, Hefetz, M¨ uze, dan Schwartz menginvestigasi pelabelan antimagic dari graf berarah. Mereka menjelaskan bahwa pelabelan antimagic dari graf berarah D dengan n simpul dan m sisi berarah merupakan sebuah fungsi bijektif dari himpunan sisi berarah dari D terhadap himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, ..., m} sedemikian hingga bobot tiap-tiap simpul pada D berbeda, dengan bobot simpul merupakan jumlah dari label sisi berarah yang masuk ke simpul tersebut dikurangi dengan jumlah label sisi berarah yang keluar dari simpul tersebut [6]. Berdasarkan investigasi tersebut, Meganingtyas dalam [7] menemukan bahwa − → − → digraf cycle Cn dan digraf circulant C (n,{1,2}) memiliki pelabelan total super (a, d)-simpul antimagic untuk d = 1, 2. Sehingga dengan berdasarkan pada beberapa fenomena diatas, maka dalam penelitian ini akan diteliti bagaimana bentuk fungsi bijektif pelabelan total (a, d)−→ simpul antimagic pada digraf Matahari Mn , dan interval nilai d yang mungkin pada kasus ini. Selanjutnya, untuk memperingkas pelabelan total (a, d)-simpul antimagic akan disingkat menjadi (a, d)-PTSA.
Pendahuluan
Misalkan G(V, E) adalah sebuah graf dengan V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul pada G dan E adalah himpunan sisi pada G, dengan |V | = p dan |E| = q. Pelabelan dari suatu graf adalah pemetaan yang memasangkan unsur-unsur graf ke suatu himpunan bilangan bulat yang disebut label. Jika domain pemetaan berupa himpunan simpul atau himpunan sisi maka pelabelan tersebut disebut sebagai pelabelan simpul atau 2 Tinjauan Pustaka pelabelan busur, sedangkan jika domainnya merupakan gabungan dari simpul dan busur maka disebut sebagai 2.1 Digraf pelabelan total [11]. Berbagai macam pelabelan graf dikaji dan berkembang, baik konsep itu muncul untuk Digraf D terdiri dari himpunan tak kosong elemenkeperluan aplikasi maupun teoritis [4]. Dalam penelitian elemen yang disebut simpul (vertex ) dan himpunan 1
pasangan terurut dari elemen-elemen yang disebut sisi berarah atau busur (arc) [10]. Himpunan simpul dan busur pada digraf D masing-masing dinotasikan dengan V dan A, dengan |V | = s dan |A| = t. → −−→ Pada graf berarah, − v− j vk dan vk vj menyatakan dua → −−→ buah busur yang berbeda, dengan kata lain − v− j vk ̸= vk vj . − − → Untuk busur vj vk simpul vj dinamakan simpul asal (initial vertex ) dan simpul vk dinamakan simpul tujuan (terminal vertex ). Dalam sebuah digraf D, derajatkedalam dari simpul v adalah banyaknya semua busur yang berarah masuk ke simpul tersebut, dinotasikan dengan deg + (v), sedangkan derajat-keluar dari simpul v adalah banyaknya semua busur yang berarah keluar dari simpul tersebut, deg − (v). Himpunan dari semua busur yang berarah keluar dari simpul v dinotasikan dengan N − (v) dan himpunan semua busur yang berarah masuk ke simpul v dinotasikan dengan N + (v) [3].
membentuk barisan aritmatika dengan nilai awal a dan beda d. Hefetz, dkk. mengungkapkan bahwa bobot simpul dari pelabelan antimagic pada graf berarah merupakan hasil penjumlahan label busur yang masuk ke simpul tersebut dikurangi dengan jumlah label busur yang keluar dari simpul tersebut. Pada penelitian ini, sifat-sifat pelabelan yang digunakan mengacu pada sifat-sifat untuk pelabelan total (a, d)-simpul antimagic yang telah diperkenalkan oleh Baˇca, dkk dalam [2]. Namun untuk pelabelan pada digraf nilai a tidak hanya dibatasi untuk bilangan bulat positif saja tetapi juga dimungkinkan untuk bilangan bulat negatif ataupun bilangan nol, sehingga nilai a dan d dibatasi untuk bilangan bulat, dengan d ≥ 0. Jadi secara formal, pelabelan total (a, d)-simpul antimagic pada digraf dapat didefinisikan sebagai berikut:
V = {xi |1 ≤ i ≤ n} ∪ {yi |1 ≤ i ≤ n}
Pada bagian ini akan berikan hasil konstruksi pelabelan −→ total (a, d)-simpul antimagic pada digraf matahari Mn beserta teorema yang terbentuk.
Definisi 2.1. Sebuah fungsi bijektif λ : V ∪ A −→ {1, 2, 3, ..., s + r} dikatakan sebagai pelabelan total (a, d)2.2 Digraf Matahari simpul antimagic pada digraf D(V, A) jika bobot total −→ simpul untuk seluruh simpul di D membentuk sebuah Digraf Matahari, Mn , adalah digraf yang diperoleh barisan aritmatika a, a + d, a + 2d, ..., a + (s − 1)d, dengan penambahan sebuah pendant berarah pada setiap → + dengan bobot total adalah W t(v) = Σu∈A+ (v) λ(− uv) − → simpul dari digraf Siklus Cn . Jika n adalah banyaknya λ(v) − Σ − → − → − → − → z∈A− (v) λ(vz), untuk uv, uv ∈ A, dan a, d adalah simpul pada digraf siklus Cn , maka banyaknya simpul bilangan bulat, d ≥ 0. s dan banyaknya busur t pada digraf matahari masingmasing adalah 2n. Himpunan simpul dan busur pada −→ Analisis Dan Pembahasan digraf Matahari Mn , dapat dinyatakan sebagai berikut: 3
dan −−→ −−−→ −−→ A = {− x− i xi+1 |1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {xn x1 } ∪ {xi yi |1 ≤ i ≤ n}
3.1
dengan xi (simpul dalam) adalah simpul yang berasal − → dari Cn dan yi (simpul luar) adalah simpul dari pendant − → yang menempel pada setiap simpul dari Cn ,n ≥ 3. Orientasi arah busur dari digraf Matahari dalam penelian ini yaitu searah dengan arah perputaran jarum jam. −→ Gambar 1 merupakan contoh digraf Matahari Mn .
Interval nilai d yang mungkin dari pelabelan total (a, d)−→ simpul antimagic pada Mn dapat ditentukan dengan melihat bobot total simpul minimum dan maksimum. Jika Wt (v) adalah bobot total simpul v maka: ∑ ∑ → + λ(v) − → (1) Wt (v) = λ(− uv) λ(− vz)
y1
u∈A+ (v)
yn
y2 x2
xi
a. Kasus 1: Bobot total minimum pada simpul yi , 1 ≤ i≤n Pada kasus kedua ini, bobot total simpul minimum dicapai ketika label sebarang simpul y merupakan bilangan terkecil, yaitu 1, dan label busur yang menuju simpul tersebut merupakan bilangan terkecil kedua, yakni 2, dengan 0 busur keluar dari simpul tersebut.
yi
Gambar 1: Digraf Matahari
2.3
z∈A− (v)
dengan A+ (v) adalah himpunan busur yang berarah masuk ke simpul v, λ(v) adalah label simpul v, dan A− (v) adalah himpunan busur berarah keluar dari simpul v. −→ Digraf matahari Mn terdiri dari n simpul dalam (xi ) dan n simpul luar (yi ). Sehingga, dengan menggunakan −→ Persamaan 1 bobot total minimum simpul pada Mn dilihat dari dua kasus, yaitu:
x1 xn
Interval Nilai d dari (a, d)-PTSA pada Digraf Matahari
Pelabelan Total (a, d)-Simpul Antimagic
W tλ
Pelabelan Total (a, d)-simpul antimagic merupakan pelabelan total sedemikian hingga bobot total simpul 2
= 2+1−0 = 3
(2)
b. Kasus 2: Bobot total minimum pada simpul xi , 1 ≤ i≤n Pada kasus ini, bobot total simpul minimum dicapai saat label simpul tersebut merupakan bilangan terkecil ketiga, yaitu 3. Label busur yang menuju simpul tersebut juga merupakan bilangan terkecil yang tersisa, yakni 4. Sedangkan, label dua busur yang keluar dari simpul tersebut masing-masing adalah dua bilangan terbesar, yakni 4n dan 4n − 1. W tλ
= 4 + 3 − (4n + (4n − 1)) = 8 − 8n
3.2
(a, d)-PTSA pada Digraf Matahari dengan d = 0
Berikut ini diberikan konstruksi pelabelan total (a, d)−→ simpul antimagic pada Mn untuk nilai d = 0 melalui Teorema 3.1. Contoh pelabelan total (a, d)-simpul −→ antimagic pada Mn untuk beberapa nilai n yang mendasari terbentuknya teorema dapat dilihat pada 2. 12 8
(3)
1 14
Dengan menggunakan cara yang sama, bobot total simpul maksimum juga dibedakan menjadi dua kasus, yaitu:
10
W tλ
= (4n) + (4n − 2) − 0 = 8n − 2
14
23 7
6
21
24
15
3 10
13
15
a. Kasus 1: Bobot total maksimum pada simpul yi , 1≤i≤n Pada kasus kedua ini, bobot total simpul maksimum dicapai ketika label sembarang simpul y merupakan bilangan terbesar yang tersisa, yaitu 4n − 2, dan label busur yang menuju simpul tersebut adalah bilangan terbesar yang mungkin, yakni 4n, dengan 0 busur keluar dari simpul tersebut.
2
22
13
2
9
11
1
7
20
18 16
4
17
11 12
−→ (a)M4
5
8
3
16 19
5
4
−→ (b)M6
6
9
10 14 1
1
8 6
(4)
5
19 20
11
18 12
9 2
7 27 28 21
15
13
26 16
2 25
b. Kasus 2: Bobot total maksimum pada simpul xi , 9 6 20 17 15 17 3 1≤i≤n 24 22 19 14 13 18 Pada kasus ini, bobot total simpul maksimum dicapai 23 4 16 5 saat label pada sembarang simpul x merupakan 4 3 10 −→ bilangan terbesar yang mungkin, yaitu 4n − 1. Label 7 8 −→ 11 (c)M5 (d)M7 busur yang menuju simpul juga merupakan bilangan terbesar yang tersisa, yakni 4n − 3. Sedangkan label dua busur yang keluar dari simpul tersebut masingmasing adalah dua bilangan terkecil yang mungkin, Gambar 2: (a, 0)-PTSA pada Digraf Matahari untuk Beberapa Nilai n yakni 1 dan 5. W tλ
=
(4n − 1) + (4n − 3) − (1 + 5)
=
8n − 10
→ (5) Teorema 3.1. Digraf matahari − Mn memiliki pelabelan total (2n+1, 0)-simpul antimagic untuk setiap n bilangan Berdasarkan Persamaan 2 dan 3, bobot total simpul bulat dan n ≥ 3. −→ minimum dari sebarang simpul pada Mn adalah 8 − 8n, sedangkan bobot total simpul maksimum dari Persamaan Bukti. Didefinisikan pelabelan total α1 : V ∪ A −→ 4 dan 5 adalah 8n − 2. Akibatnya a ≥ 8 − 8n dan a + (1, 2, 3, ..., s + t) dengan s + t = 4n dan n ≥ 3, sehingga −→ (2n − 1)d ≤ 8n − 2, sehingga: label simpul dan busur dari Mn untuk pelabelan total (a, 0)-simpul antimagic dirumuskan sebagai berikut: a + (2n − 1)d ≤ 8n − 2 { 8n − 2 − a d ≤ 2n + i, jika 1 ≤ i ≤ n − 1 2n − 1 α1 (xi ) = (7) 4n, jika i = n 8n − 2 − (8 − 8n) ≤ 2n − 1 α1 (yi ) = 2n + 1 − i, jika 1 ≤ i ≤ n (8) 16n − 10) ≤ −−→ 2n − 1 α1 (− x− jika 1 ≤ i ≤ n − 1 i xi+1 ) = 4n − i − 1, − − − →) 2 α ( x x = 4n − 1 (9) 1 n 1 ≤ 8− (6) → 2n − 1 α1 (− x− y ) = i, jika 1 ≤ i ≤ n i i 2 Karena n ≥ 3, maka 0 < 2n−1 ≤ 25 , sedemikian hingga Didapat label simpul dan busur yaitu, α1 (V ) = {n + −→ interval nilai d untuk (a, d)-PTSA pada Mn adalah 0 ≤ 1, n + 2, ..., 3n − 1, 4n} dan α1 (A) = {1, 2, ..., n, 3n, 3n + d ≤ 7. Dalam tesis ini, hasil konstruksi (a, d)-PTSA 1, ..., 4n−1} yang masing-masing saling melengkapi. Jadi −→ pada digraf matahari Mn didapatkkan untuk nilai d = α1 adalah fungsi bijektif dari pelabelan V ∪ A kepada {1, 2, 3, ..., 4n}. 0, 1, 2, 3, 4. 3
12
7
Jika W tα1 didefinisikan sebagai bobot total simpul dari −→ simpul xi dan yi pada Mn , maka:
10 1
−−→ −−−−→ −−→ wtλ1 (xi ) = λ1 (− x− i−1 xi ) + λ1 (xi ) − λ1 (xi xi+1 ) − λ1 (xi yi ) (10) dan → wtλ1 (yi ) = λ1 (− x− (11) i yi ) + λ1 (yi )
4
19
13
16
20 12
6
24
14
18
17
Bobot total simpul untuk simpul xi , 1 ≤ i ≤ n, dapat ditentukan sebagai berikut:
15 22
3
−→ M6
9
a. untuk 1 ≤ i ≤ n − 1:
2 8
23
21
5 11
−−→ −−−−→ −−→) λ1 (− x− i−1 xi ) + λ1 (xi ) − λ1 (xi xi+1 ) − λ1 (xi yGambar i 3: (7, 1)-PTSA pada Digraf Matahari n = 6 = 4n − i + 2n + i − 4n + i + 1 − i = 2n + 1 (12) Bukti. Didefinisikan pelabelan total α2 : V ∪ A −→ (1, 2, 3, ..., s + t) dengan s + t = 4n dan n ≥ 3, sehingga −→ b. untuk i = n: label simpul dan busur dari Mn , n ≥ 3, untuk (a, 1)PTSA −−−→ −−−→ −− −→ dirumuskan sebagai berikut: W tλ1 (xn ) = λ1 (− x− n−1 xn ) + λ1 (xn ) − λ1 (xn x1 ) − λ1 (xn yn ) • Kasus 1: n gasal = 4n − n + 4n − 4n + 1 − n 5n+i+2 = 2n + 1 (13) , jika i gasal 2 4n+i+2 (15) α2 (xi ) = , jika i genap 2 Dengan cara yang sama, untuk W tλ1 (yi ), 1 ≤ i ≤ n 2n + 1, jika i = n didapat sebagai berikut: { 4n−i+1 , jika i gasal − − → 2 α2 (yi ) = (16) W tλ1 (yi ) = λ1 (xi yi ) + λ1 (yi ) 3n−i+1 , jika i genap 2 = i + (2n + 1 − i) { 6n+i+1 , jika i gasal − − − − → 2 = 2n + 1 (14) (17) α2 (xi xi+1 ) = 7n+i+1 , jika i genap 2 W tλ1 (xi ) =
→) = α2 (− x−n− x 1 − − → α2 (xi yi ) =
Karena W tα1 (xi ) = W tα1 (yi ) = 2n + 1, maka −→ disimpulkan bahwa digraf matahari Mn , n ≥ 3, memiliki pelabelan total (a, d)-simpul antimagic dengan a = 2n+1 dan d = 0. Jadi terbukti bahwa digraf matahari memiliki pelabelan total (2n + 1, 0)-simpul antimagic untuk n bilangan bulat dan n ≥ 3.
i
• Kasus 2: n genap 2n + 1, jika i = 1 6n−i+3 , jika i gasal α2 (xi ) = 2 5n−i+4 , jika i genap 2
−→ Dari penjabaran di atas, digraf Matahari Mn memiliki pelabelan total (a, d)-simpul antimagic untuk nilai d = 0, sehingga pelabelan α1 juga merupakan pelabelan total simpul magic dengan konstanta magic k = 2n + 1. Pelabelan total simpul magic pada digraf D(V, A) didefinisikan sebagai suatu pelabelan total λ : V ∪ A −→ (1, 2, 3, ..., s + t) dengan suatu konstanta magic k sedemikian hingga bobot total setiap simpul v berlaku → + λ(v) − Σ − → W tλ (v) = Σu∈A+ (v) λ(− uv) z∈A− (v) λ(vz) = + k, dengan A (v) adalah himpunan busur yang berarah masuk ke simpul v, λ(v) adalah label simpul v, dan A− (v) adalah himpunan busur yang berarah keluar dari simpul v (Listiana, dkk. 2014).
3.3
7n+1 2
{ α2 (yi ) = −−→ α2 (− x− i xi+1 ) =
{
2n+i+1 , 2 3n+i , 2
jika i gasal jika i genap
(18)
(19)
(20)
3n + 1, jika i = 1 4n − i + 2, jika 2 ≤ i ≤ n − 1 (21) →) = 3n + 2 α2 (− x−n− x (22) 1 { i+1 , jika i gasal → 2 α2 (− x− (23) i yi ) = n+i 2 , jika i genap
Misal wα2 didefinisikan sebagai bobot simpul dari pelabelan α2 pada busur yang diperoleh dengan menjumlahkan label busur yang masuk ke simpul tersebut kemudian dikurangi jumlah label busur yang keluar dari simpul tersebut, maka bentuk fungsi bijektif bobot simpul wα2 adalah sebagai berikut:
(a, d)-PTSA pada Digraf matahari dengan d = 1
−→ Pada paper ini, (a, d)-PTSA dengan nilai d = 1 pada Mn , n ≥ 3, dibagi menjadi 2 kasus, yaitu ketika n bernilai gasal dan ketika n bernilai genap.
• Kasus 1: n gasal { wα2 (xi ) =
−→ Teorema 3.2. Digraf matahari Mn memiliki pelabelan total (n + 1, 1)-simpul antimagic untuk setiap n bilangan bulat dan n ≥ 3.
n−2i−1 , 2 −n−2i−1 , 2
jika i gasal jika i genap
→ wα2 (yi ) = α2 (− x− i yi ) 4
(24) (25)
• Kasus 2: n genap wα2 (xi ) =
Bukti. Didefinisikan pelabelan total sebagai α3 : V ∪ A −→ (1, 2, 3, ..., s + t) dengan s + t = 4n dan n ≥ 3. 1−i jika i gasal 2 , Sehingga label simpul dan busur dari digraf matahari −3n → jika i = 2 (26) − 2 , Mn , n gasal, untuk (a, 2)-PTSA diformulasikan sebagai −n−i+2 , jika i genap 2 berikut: { − − → wα2 (yi ) = α2 (xi yi ) (27) 4n − 1, jika i = 1 α3 (xi ) = (28) 2n + 2i − 3, jika 2 ≤ i ≤ n Jika W tα2 didefinisikan sebagai bobot total dari { pelabelan total α2 , maka dengan menggunakan i, jika i gasal α3 (yi ) = (29) Persamaan 10 dan Persamaan 11 didapatkan himpunan n + i, jika i genap bobot total W masing-masing untuk kasus n gasal dan n genap sebagai berikut: jika i = 1 2n + 2, −−→ 4n − i + 3, jika i gasal α3 (− x− (30) i xi+1 ) = • Kasus 1: n gasal, misal n = 2k + 1 dengan k ∈ N. 3n − i + 3, jika i genap W = 2k + 2, 2k + 3, . . . , 6k + 3 →) = 3n + 3 α3 (− x−n− x (31) 1 { • Kasus 2: n genap, misal n = 2k dengan k ∈ N dan n + i, jika i gasal → α3 (− x− (32) i yi ) = k ≥ 2. i, jika i genap Misal wα3 didefinisikan sebagai bobot simpul dari pelabelan α3 pada busur, maka bentuk fungsi bijektif wα3 Dari kedua kasus tersebut, terlihat bahwa bobot total adalah sebagai berikut: −→ W tα2 dari seluruh simpul di Mn membentuk barisan 0, jika i = 1 aritmatika dengan nilai awal a pada kasus n ganjil adalah −(n + 1), jika i = 2 a = 2k +2 = n+1 dan kasus n genap adalah a = 2k +1 = wα3 (xi ) = (33) −2n − i + 1, jika i gasal n + 1 dengan beda d = 1, sehingga himpunan bobot total n − i + 1, jika i genap −→ untuk seluruh simpul di Mn , baik untuk n gasal maupun n genap, adalah: w (y ) = α (− x−→ y) (34) W
= 2k + 1, 2k + 2, . . . , 6k
α3
W
i
3
i i
= n + 1, n + 2, n + 3, . . . , 3n
Didefinisikan W tα3 sebagai bobot total, dengan menggunakan Persamaan 10 dan Persamaan 11 didapat Jadi pelabelan total α2 adalah pelabelan total (n + himpunan bobot total W dari pelabelan α , yaitu: 3 −→ 1, 1)-simpul antimagic pada digraf matahari Mn untuk setiap n bilangan bulat dan n ≥ 3. Dengan demikian, W = 1, 3, 5, . . . , 4n − 1 maka Teorema 3.2 terbukti. −→ Dengan demikian disimpulkan bahwa Mn , n ≥ 3, 3.4 (a, d)-PTSA pada Digraf matahari memiliki (a, d)-PTSA dengan a = 1 dan d = 2. Jadi terbukti bahwa pelabelan digraf matahari memiliki dengan d = 2 pelabelan total (1, 2)-simpul antimagic untuk n gasal dan Untuk pelabelan total (a, d)-simpul antimagic dengan n ≥ 3. −→ nilai d = 2 pada digraf matahari Mn , n ≥ 3, konstruksi pelabelan dilakukan untuk n gasal. 3.5 (a, d)-PTSA pada Digraf matahari
dengan d = 3
1 8
7 14 24
27
25
2
15 17
23 26 12 5
−→ Teorema 3.4. Digraf matahari Mn memiliki pelabelan total ( 4−n 2 , 3)-simpul antimagic untuk setiap n bilangan genap dan n ≥ 3.
22
18 13 6
Kontruksi (a, d)-PTSA dengan nilai d = 3 pada digraf −→ matahari Mn , n ≥ 3, dilakukan untuk n genap.
9
16
21
28
19 20
−→ M7
10 3
Bukti. Didefinisikan pelabelan total α4 : V ∪ A −→ (1, 2, 3, ..., s + t) dengan s + t = 4n dan n ≥ 3. Sehingga −→ label busur dan simpul dari Mn , n genap, untuk (a, 3)PTSA dirumuskan sebagai berikut: { 3n + i + 1, jika i gasal α4 (xi ) = (35) 3n − i + 2, jika i genap
4 11
Gambar 4: (1, 2)-PTSA pada Digraf Matahari n = 7
jika i = 1 n + 1, 3n − i + 2, jika i gasal α4 (yi ) = n + i + 1, jika i genap
−→ Teorema 3.3. Digraf matahari Mn memiliki pelabelan total (1, 2)-simpul antimagic untuk setiap n bilangan gasal dan n ≥ 3. 5
(36)
11 1
21
23
6 31 22 12
11
13 2
20
32
30
2 39 10
34
29 4
18
7 28
33 5
38
14 8 25
3 15 37
26 35
15 27 6
−−→ M10
−−→ α4 (− x− i xi+1 ) =
2n − i + 1, jika i gasal 4n − i + 1, jika i genap
→) = α4 (− x−n− x 1 1, → 2n−i+3 , α4 (− x− y ) = i i i+22 , 2
14
−→ M5
8 17
3n + 1 jika i = 1 jika i gasal jika i genap
• Kasus 1: n gasal {
(37)
α5 (xi ) =
→ wα4 (yi ) = α4 (− x− i yi )
2n + 2i, jika i gasal 2i + 1, jika i genap
2n + 1, jika i = 1 4n − 2i + 3, jika i gasal α5 (yi ) = 2n − 2i + 4, jika i genap 4, jika i = n { 4n − 2i, jika i gasal −−→) = α5 (− x− x i i+1 2n − 2i + 1, jika i genap
(38) (39)
Misal wα4 didefinisikan sebagai bobot simpul dari pelabelan α4 , maka bentuk fungsi bijektif wα4 adalah sebagai berikut: { 2n+i−1 , jika i gasal 2 wα4 (xi ) = (40) −4n−i , jika i genap 2
→) = α5 (− x−n− x 1 2, 2n − 2i + 4, → α5 (− x− i yi ) = 4n − 2i + 3, 2n + 3,
(41)
Didefinisikan W tα4 sebagai bobot total, maka dengan menggunakan Persamaan 10 dan Persamaan 11 didapat himpunan bobot total W sebagai berikut: =
7 16
Gambar 6: (−7, 4)-PTSA pada Digraf Matahari n = 5
Gambar 5: (−3, 3)-PTSA pada Digraf Matahari n = 10 {
19
5
9
16 9
4 17
10
3
36
24
19
1 jika jika jika jika
4 − n 10 − n 11n − 2 , ,..., 2 2 2
i=1 i gasal i genap i=n
jika i = 1 2n + 3, 4n − 2i + 5, jika i gasal α5 (yi ) = 2n − 2i + 2, jika i genap { 4n − 2i, jika i gasal −−→ x− α5 (− i xi+1 ) = 2n − 2i + 1, jika i genap →) = α5 (− x−n− x 1
1 jika i = 1 4, → 2n − 2i + 6, jika i gasal α5 (− x− i yi ) = 4n − 2i + 1, jika i genap
(a, d)-PTSA Pada Digraf matahari dengan d = 4
(42)
(43)
(44) (45)
• Kasus 2: n genap { 2n + 2i + 2, jika i gasal α5 (xi ) = 2i − 1, jika i genap
Dengan demikian disimpulkan bahwa digraf matahari −→ Mn , untuk n genap dan n ≥ 3, memiliki pelabelan total (a, d)-simpul antimagic dengan a = 4−n dan d = 3. 2 Jadi terbukti bahwa pelabelan digraf matahari memiliki pelabelan total ( 4−n 2 , 3)-simpul antimagic untuk n genap dan n ≥ 3.
3.6
18
20 40
W
12
1
13
(46)
(47)
(48)
(49) (50)
(51) Pada penelitian ini konstruksi untuk (a, d)-PTSA dengan −→ nilai d = 4 pada Mn , n ≥ 3, juga dibagi dalam dua kasus, Misalkan wα5 didefinisikan sebagai bobot simpul, maka yaitu pada saat n gasal dan n genap. bentuk fungsi bijektif bobot simpul wα5 adalah sebagai −→ Teorema 3.5. Digraf matahari Mn memiliki pelabelan berikut: total (−2n + 3, 4)-simpul antimagic untuk setiap n • Kasus 1: n gasal bilangan bulat dan n ≥ 3. { −4n + 2i − 1, jika i gasal Bukti. Didefinisikan pelabelan total sebagai α5 : V ∪ wα5 (xi ) = (52) −2n + 2i − 2, jika i genap A −→ (1, 2, 3, ..., s + t) dengan s + t = 4n dan n ≥ 3, −→ sehingga label simpul dan busur dari Mn , untuk (a, 4)→ wα5 (yi ) = α5 (− x− (53) i yi ) PTSA dirumuskan sebagai berikut: 6
• Kasus 2: n genap −4n + 2i − 3, jika i gasal −2n + 2i, jika i genap wα5 (xi ) = 0, jika i = n
[2] Baˇca, M., Bertault, F., MacDougall, J.A, Miller, M., Simanjuntak, R., dan Slamin, (2003), ”Vertex Antimagic Total labelings of Graphs”, Discussiones Mathematicae Graph Theory, Vol. 23, hal. 67-83.
(54)
(55)
[3] Dafik, (2008), Pemodelan Matematika, Buku Diktat: Mata Kuliah Pemodelan Matematika, FKIP Universitas jember, Jember.
Jika W tα5 didefinisikan sebagai bobot total dari pelabelan total α5 , maka dengan menggunakan Persamaan 10 dan Persamaan 11 didapatkan himpunan bobot total W masing-masing untuk kasus n gasal dan n genap sebagai berikut:
[4] Gallian, J.A., (2013), ”A Dynamic Survey of Graph Labelling”, The Electronic Journal of Combinatorics, Edisi 16.
→ wα5 (yi ) = α5 (− x− i yi )
[5] Hartsfield, N. dan Ringel, G., (1994), Pearls in Graph Theory, Academic Press, Australia.
• Kasus 1: n gasal, misal n = 2k + 1 dengan k ∈ N. W
[6] Hefetz, D., M¨ uze, T. dan Schwartz, J., (2009), ”On Antimagic Directed Graphs”, Journal of Graph Theory, Vol.64, No.3, hal. 219-232.
= −4k + 1, −4k + 5, . . . , 12k + 5
• Kasus 2: n genap, misal n = 2k dengan k ∈ N dan k ≥ 2. W
[7] Meganingtyas, D.E.W., (2012), Pelabelan Total Super (a, d)-titik Antimagic pada Digraf Sikel dan Generalisasinya, Skripsi, Universitas Jember, Jember.
= −4k + 3, −4k + 7, . . . , 12k − 1
Dari kedua kasus tersebut, bobot total W tα5 dari −→ seluruh simpul di Mn membentuk barisan aritmatika dengan nilai awal a pada kasus n ganjil adalah a = −4k + 1 = −2n + 3 dan kasus n genap adalah a = −4k+3 = −2n+3 dengan beda d = 1, sehingga himpunan −→ bobot total untuk seluruh simpul di Mn , baik untuk n gasal maupun n genap, adalah: W
[8] Listiana, Y., Darmaji, dan Slamin, (2014), Vertex Magic Total Labeling on Sun Digraphs, Proceeding International Seminar on Mathematics Education dan Graph Theory, Universitas Islam Malang, In Press. [9] Rahim, M.T. dan Slamin, (2012), ”On VertexMagic Total Labeling of Union of Sun Graphs”, Ars Combinatoria, Vol.103, hal. 305-310.
= −2n + 3, −2n + 7, . . . , 6n − 1
Jadi pelabelan total α5 adalah pelabelan total (−2n + [10] Slamin, (2009), Desain Jaringan: Pendekatan Teori −→ 3, 4)-simpul antimagic pada digraf matahari Mn untuk Graf, Jember University Press, Jember. setiap n bilangan bulat dan n ≥ 3. Dengan demikian , maka Teorema 3.5 terbukti. [11] Sugeng, K.A., (2005), Magic and Antimagic Labeling of Graphs, Tesis Ph.D., University of Ballarat, Australia.
4
Kesimpulan
Berdasarkan konstruksi (a, d)-PTSA pada digraf −→ matahari Mn , n ≥ 3, diperoleh kesimpulan sebagai berikut: −→ 1. Batas atas d pada (a, d)-PTSA pada Mn adalah d ≤ 8 dengan d adalah bilangan bulat dan d ≥ 0. −→ 2. Digraf matahari Mn memiliki (a, d)-PTSA, dengan d = 0, 1, 4 dan a untuk masing-masing d adalah 2n+ 1, n + 1, dan −2n + 3. −→ 3. Digraf matahari Mn memiliki (1, 2)-PTSA untuk setiap n bilangan gasal. −→ 4. Digraf matahari Mn memiliki ( 4−n 2 , 3)-PTSA untuk setiap n bilangan genap.
DAFTAR PUSTAKA [1] Baˇca, M. dan Miller, M., (2008), Super Edge Antimagic Graphs, Brown Walker Press, Boca Raton. 7
