Studi Simulasi Model Nested Logit dan Paired Combinatorial Logit pada Respon Multinomial

Studi Simulasi Model Nested Logit dan Paired Combinatorial Logit pada Respon Multinomial Jaka Nugraha Program Studi Statistika UII email : [email protected]

ABSTRACT Multinomial logit model (MNL) is based on independent irrelevant alternatives assumption. If there was a correlation, MNL would result bias estimator. Correlation among of choices could be accommodated by Nested logit Model (NL) and Paired Combinatorial Logit Model (PCL). This research discuss how NL and PCL model can be used for estimating parameters (regression coefficient and correlation) and comparing to MNL in discrete choice model. Correlation structure is tested nesting correlation and correlation overlap. Paramaters in the models are estimated using maximum likelihood method. Simulated data generated using software R.3.0.1. Based on simulations data with nested correlation, NL model more appropriate than do MNL. But on data with overlapping correlation, the maximum likelihood estimator is not unique. Keywords : Multinomial logit, Nested logit, Paired Combinatorial Logit, maximum likelihood.

ABSTRAK Model Multinomial Logit (MNL) berdasarkan asumsi bahwa antar pilihan saling independen (independent irrelevant alternatives). Jika terdapat korelasi antar pilihan, maka MNL akan menghasilkan penaksir yang bersifat bias. Model Nested Logit (NL) dan Model Paired Combinatorial Logit (PCL) dapat mengakomudasi adanya korelasi tersebut. Penelitian ini membahas akurasi penaksir atas parameter koefisien regresi dan korelasi yang dihasilkan dari model MNL, NL dan PCL. Struktur korelasi yang diujikan adalah korelasi nested dan korelasi overlap. Penaksiran parameter dalam ketiga model mengunakan metode maksimum likelihood. Data simulasi dibangkitkan menggunakan software R.3.0.1. Berdasarkan hasil data simulasi, pada data nested model NL lebih akurat dibandingkan dengan model MNL. Sedangkan pada data overlap, estimasi menggunakan metode maksimum likelihood hasilnya tidak tunggal. Kata-kata Kunci : Multinomial logit, Nested logit, Paired Combinatorial Logit, maximum likelihood.

PCL. Model NL telah diaplikasikan dalam

Pendahuluan Model Generalize Extreme Value (GEV)

berbagai

bidang

seperti

bidang

energi,

merupakan pengembangan dari MNL. Dalam

transportasi, perumahan, telekomonikasi (Train

MNL,

sifat

(1986), Forinash dan Koppelman (1993), Lee

independence from irrelevant alternatives (IIA)

(1999)). Model GEV masih sangat terbatas

(Train, 2003). GEV disusun berdasarkan adanya

pengembangan maupun aplikasinya, sehingga

korelasi antar alternatif pilihan. Model GEV

masih sangat terbuka untuk mendapatkan

yang telah banyak digunakan adalah NL dan

model-model GEV yang lebih powerfull (Train

diasumsikan

memenuhi

Physical-Mechanical Properties And Microstructure Of Breadfruit … (Cut Fatimah Zuhra Marpongahtun)

63

2003). Karlstrom (2001) telah menunjukkan

himpunan bagian yang dinamakan nests. Sifat

fakta-fakta bahwa model GEV dapat disusun

sifat dalam nested logit adalah

dengan menyesuaikan kondisi data yang ada.

1.

Untuk sebarang dua alternatif yang

Beberapa jenis model GEV yang telah

terletak pada nests yang sama memenuhi

dikembangkan untuk overlapping nest adalah

sifat IIA terhadap anternatif lain pada

model Cross-Nested Logit (CNLs) (Vovsha

nest tersebut.

(1997), Bierlaire (1998), dan Ben-Akiva dan

2.

Sifat IIA tidak berlaku untuk dua

Bierlaire (1999)). Chu (1989) mengusulkan

alternatif yang terletak pada nest yang

model Paired Combinatorial Logit (PCL). Jika

berbeda.

terdapat J alternatif maka dapat disusun J-1 nest. Wen

dan

Koppelman

mengembangkan

generalized

(2001) nested

telah

Misalkan himpunan alternatif j dapat

logit

dipartisi menjadi K bagian yang saling asing

(GNL), yang termasuk didalamnya model PCL. Nugraha dkk (2009) telah menunjukkan berdasarkan

data

simulasi

bahwa

adanya

korelasi antar pilihan pada model multinomial

yaitu B1, B2,….,BK. Partisi ini dinamakan nest. Utilitas untuk pembuat keputusan i yang memilih alternatif j dalam nest Bk dapat dinotasikan sebagai

logit mengakibatkan estimator parameternya

Uij = Vij + ij

bias. Dalam penelitian ini dibahas model NL dan PCL untuk mengakomodasi adanya korelasi

(1)

Vij adalah faktor terobservasi yang

antar pilihan. Aplikasi model NL dan PCL pada

merupakan fungsi dari xij

data dengan struktur korelasi diketahui yang

dinamakan representative utility.

dibangkitkan secara simulasi dan dibandingkan

atribut pembuat keputusan (responden) ke-i. ij

hasilnya dengan model MNL. Struktur korelasi yang dibahas adalah korelasi nested dan korelasi overlapping. Pembangkitan data dan estimasi parameter

disusun

menggunakan

(Vij= V(xij)) dan xij

adalah

merupakan faktor tidak terobservasi dalam utilitas. i = (i1, ….,iJ) mempunyai distribusi kumulatif

program

R.3.0.1.

k  K   ij   F ( i )  exp     exp(  )   k 1 jB k   k 

   

(2)

Model Nested Logit Model nested logit akan cocok ketika

Distribusi ini merupakan jenis distribusi

himpunan alternatif yang dijumpai pembuat

GEV (Heiss, 2002). Distribusi marginal untuk

keputusan dapat dibagi menjadi himpunan64

EKSAKTA Vol. 13 No. 1-2 Agustus 2013, 63-71

masing-masing ij adalah univariate extreme value. Diantara ij yang terletak pada nest yang

Nilai probalitas dalam model PCL dapat dinyatakan sebagai

sama adalah saling berkorelasi, k merupakan derajad independensi diantara alternatif yang

Pij

 

terletak pada nest ke-k. Ukuran korelasi dapat

j j

exp(Vij /  jr )(exp(Vij /  jr  exp(Vij /  jr ) J 1

J

  (exp(V

ik

k 1 l  k 1

/ kl  exp(Vil / kl )

 jr 1

(4)

 kl

dinyatakan sebagai dari pasangan sebanyak J-1, masing-masing k = 1- k

pasangan mempunyai

Untuk dua alternatif yang terletak pada nest yang berbeda adalah saling independen

tingkat

independensi

sebesar jr (Koppelman dan Wen , 2000). Jika masing-masing independen (jr=1 r,j) maka model PCL menjadi model logit standar.

atau

Estimasi parameter  dapat dilakukan Cov(ij, im) = 0

dengan prosedur maksimum likelihood. Dengan

untuk sebaran  Bk dan m  Bl dengan k  l. Probabilitas memilih alternatif j Bk adalah

mengasumsikan bahwa setiap keputusan antar individu saling independen maka probabilitas masing-masing individu dalam sampel memilih sebuah alternatif adalah

V  V  exp( ij )  jB exp( ij )  k k  k  Pij   k Vij  k    jB exp( )   l l  l i 

 k 1 n

L( )   ( Pij )

(3)

i 1

y ij

(5)

j

Dengan yij = 1 jika individu i memilih j

Jika untuk setiap ij adalah independen

dan nol jika memilih yang lainnya dan 

atau k = 1 maka model nested logit ini akan

merupakan vektor parameter dalam model.

sama dengan model logit standar.

Fungsi Log likelihood adalah n

LL( )   yij ln( Pij )

Model Overlapping Nest

i 1

(6)

j

Dalam model nested logit di atas diasumsikan bahwa setiap alternatif hanya

Penaksir



adalah

nilai



yang

menjadi anggota satu nest. Dalam kenyataan

memaksimumkan fungsi LL(). Parameter 

sering dijumpai bahwa antar nest mempunyai

terdiri

interseksi (saling beririsan).

parameter korelasi ()

dari

parameter

Studi Simulasi Model Nested Logit dan Paired Combinatorial Logit ada Respon Multinomial (Jaka Nugraha)

koefisien

()

dan

65

Untuk mendapatkan data multivariat

Metode Simulasi Data diperoleh dari membangkitkan data dengan

nilai

ditentukan.

korelasi

antar

Pengamatan

alternatifnya

dilakukan

normal dengan matrik kovariansi  digunakan persamaan

dengan

 = L dan  = LLt

mengambil model untuk tiga alternatif dengan pembuat

dimana ~N(0,1) dan L didefinisikan sebagai

keputusan (Xi) dan variabel atribut masing

matrik segi tiga bawah dari faktor Cholesky.

masing alternatif (Zij). Variabel Xi biasa disebut

Program

variabel demografi, misalnya penghasilan, jenis

membangkitkan data multivariat normal dalam

kelamin, asal daerah, jumlah anak. Sedangkan

library ”MASS” dan program estimasi MLE

variabel Zij misalkan untuk pilihan penggunaan

terdapat

alat tranportasi (Bus, mobil pribadi, sepeda

(Henningsen, 2007).

memasukkan

variabel

atribut

motor) maka Zij dapat berupa waktu tempuh,

R

library

dalam

fasilitas

”MicEcon”

Data i dibangkitkan dari distribusi multivariat

biaya. Model utilitasnya adalah

menyediakan

normal,

sementara

itu

MNL

didasarkan pada distribusi nilai ekstrim, oleh

Uij = Xij + Zij + ij

karena itu

untuk i=1,2,...,n dan j=1,2,3.

diperlukan normalisasi sebagai

berikut :

Ui1 = 01 + Xi1 + Zi1 + i1

~ U i = U*i.

Ui2 = 02 + Xi1 + Zi2+ i2 Ui3 = 03 + Xi3 + Zi3 + i3

 2 / 6 = U*i. 1.6

Persamaan (10) menjadi ~ U i1 = (*01 + Xi13 + Zi1) 1.6

Alternatif ke-tiga diambil sebagai base line, sehingga model terestimasinya menjadi

~ U i2 = (*02 + Xi23 + Zi2 ) 1.6

U*i1 = *01 + Xi13 + Zi1+ i1

+ i2 1.6 ;

U*i2 = *02 + Xi23 + Zi2 + i2; U*i3 = Zi3 + i3

+ i1 1.6 ;

(10)

~ U i3 = Zi3 1.6 + i3 1.6

dengan 13 = 1 – 3 , 23 = 2 – 3, *01 = 01 – 03

Data dibangkitkan pada nilai parameter 01 =2 ,

dan *02 = 02 – 03.

02 =, 03 =0.2, 1=-3, 2=-2, 3 =-1 dan =0.8.

Jadi terdapat 5 buah parameter yang akan diestimasi.

66

Jadi *01 = 1.8, *02 = 0.8, 13 = -2, 23 = -1 dan =0.8. Dengan adannya faktor pengali 1.6


maka estimator targetnya (yang diharapkan)

dan probabilitas masing-masing alternatinya

adalah B01= 2.27684, B02 = 1.011929, B1=-

adalah 1

2.529822 , B2= -1.264911 dan C=1.011929. Diambil 3 struktur kovariansi i , Cov() = yaitu

0  1 0 0 1 0     A =  0 1 0  , B=  0 1 0.9  dan 0 0 1  0 0.9 1     

Pi1 

 V   exp( i1 )  1  

1

 V   exp( i1 )  1   2  Vi 2 Vi 3    exp( )  exp( )  2 2    2 1

V  V V  exp( i 2 ) exp( i 2 )  exp( i 3 )  2  2 2  Pi 2  1 2   Vi1  Vi 2 Vi 3   exp( )    exp( )  exp( )  1  2 2   

 1 0.7 0.7    C=  0.7 1 0.7   0.7 0.7 1   

 2 1

V  V V  exp( i 3 ) exp( i 2 )  exp( i 3 )  2  2 2  Pi 3  1 2   Vi1  Vi 2 Vi 3   exp( )    exp( )  exp( )  1  2 2   

Xi ~ NID(0,1) , Zij ~ NID(0,1) dan i ~ N(0,) Model 1 dengan matrik kovariansi A

dengan

sebagai model independen. Model 2 dengan

Vi1 = (*01 + Xi13 + Zi1) 1.6 ;

matrik B sebagai model nested. Model 3

Vi2 = (*02 + Xi23 + Zi2 ) 1.6 ;

dengan matrik kovariansi C sebagai model

Vi3 = Zi3 1.6

overlapping nest. Agar

parameter

dalam

model

terestimasi, dengan model tersebut di atas dibutuhkan sampel minimal n=500 (Nugraha, 2007).

Replikasi

pada

masing-masing

kovariansi dilakukan sebanyak 30 kali.

Nilai probalitas dalam model PCL dapat dinyatakan sebagai Pi1 

A12 1 . exp(Vi1 / 12 )  B 131 . exp(Vi1 / 13 ) A12  B 13  C 23

Pi 2 

A12 1 . exp(Vi 2 / 12 )  C 231 exp(Vi 2 / 23 ) A12  B 13  C 23

Pi 3 

B 13 1 . exp(Vi1 / 13 )  C 231 exp(Vi 2 / 23 ) A12  B 13  C 23

Misal untuk j=1,2,3 yang terbagi ke dalam 2 nest. Alternatif j=2,3 masuk dalam satu nest. Distribusi kumulatif untuk model NL adalah 2        F ( i )  exp   [exp( i1 )]1   exp(  i 2 )  exp(  i 3 )    1 2 2     

(11)

dengan

A  [exp(Vi1 / 12 )  exp(Vi 2 / 12 )] B  [exp(Vi1 / 13 )  exp(Vi 3 / 13 )]

C  [exp(Vi 2 / 23 )  exp(Vi 3 / 23 )]


67

Program disusun dalam dua tahap, pertama adalah proses membangkitkan data dengan distribusi

dan struktuk

estimator

untuk

parameter

korelasi

antar

alternatifnya (Gambar .2).

kovariansi

tertentu. Kedua, adalah melakukan estimasi parameter pada masing-masing model.

Hasil dan Pembahasan Dalam bab ini dibahas hasil estimasi

Gambar 1. Grafik log-likehood model 1.

parameter menggunakan tiga model yaitu MNL, NL dan PCL. Model MNL menghasilkan 5 parameter, model NL dan PCL menghasilkan 6 parameter. Uji statistika untuk masing-masing parameter tidak ditampilkan disini karena semua estimator yang dihasilkan adalah signifikan. Untuk menguji kecocokan model digunakan

Gambar 2. Grafik korelasi pada model 1

nilai log-likelihood. Pada Gambar (2) merupakan grafik korelasi respon dua dan respon tiga (r23) pada

Model MNL dan Model NL Probabilitas pilihan (Pij) pada Model

korelasi aktual dan korelasi prediksi. Perbedaan

MNL dan Model NL berbentuk persamaan

kedua nilai tidak signifikan, dari pengujian

tertutup.

diperoleh

merupakan

Fungsi fungsi

likelihood yang

kedua

mempunyai

model titik

maksimum tunggal, sehingga dengan MLE

nilai

disimpulkan

p-value

bahwa

0.2511.

model

Dapat

Nested

dapat

memprediksi dengan baik parameter korelasi.

untuk masing-masing parameter juga tunggal. Waktu yang diperlukan untuk mendapatkan penaksir juga relatif cepat. Pada data dengan tingkat korelasi nol, nilai likelihood pada model MNL adalah relatif sama dengan nilai like-lihood pada model NL (Gambar 1.). Demikian juga estimasi dari kelima parameter, hasilnya juga relatif sama.

Gambar 3. Nilai Log likelihod model 2.

Pada model NL, kita juga mendapatkan 68


Pada data dengan tingkat korelasi antara

global maksimum. Nilai awal yang beda

alternatif 2 dan alternatif 3 sama dengan 0.9,

menghasilkan nilai MLE yang berbeda. Dari

nilai log likelihood pada model MNL lebih kecil

gambar

dibanding dengan model NL (Gambar. 3).

likelihoodnya 0, sehingga nilai MLE tidak

Dapat disimpulkan model NL lebih tepat untuk

diperoleh. Untuk mengatasi keadaan ini, perlu

memprediksi model yang memuat korelasi.

dilakukan pembatasan terhadap nilai , yaitu

(5),

jika

-

maka

fungsi

>0. Selanjutnya untuk mendapatkan estimator dalam model PCL, perlu memvariasi nilai awal dari  dengan nilai antar 0 s/d 1.

Gambar 4. Korelasi pada model 2

Dengan

model

NL,

kita

dapat

memprediksi besarnya korelasi antar respon, walaupun

nilai

estimatornya

masih

Gambar 5. Grafik fungsi parameter .

likelihood

dengan

bias.

Gambar (4) menunjukkan selisih antara korelasi

Cara ke dua untuk mengatasi keadaan

aktual dan korelasi prediksi pada tingkat

tersebut diatas, agar MLE dapat diperoleh

korelasi alternatif 2 dan alternatif 3 sebesar 0,9.

adalah

Estimasi parameter yang lain, menunjukan

langkah estimasi dalam model MNL dan model

bahwa selisih estimator model MNL terhadap

PCL.

nilai parameter target adalah lebih besar

berikut :

dibandingkan dengan selisih estimasi parameter

1.

2.

pada model MNL.

Langkah-langkahnya

adalah

langkah-

sebagai

Estimasi parameter menggunakan model

Estimasi parameter korelasi  dengan = ˆ1 menggunakan model overlaping logit, hasil dinyatakan dengan ˆ

Model PCL Fungsi Log likelihood pada model PCL

menggabungkan

MNL, hasilnya dinyatakan dengan ˆ1

model NL terhadap nilai parameter targetnya. Bias pada model NL lebih kecil dibanding bias

dengan

3.

Estimasi parameter korelasi  dengan

merupakan fungsi yang tidak global concave

= ˆ menggunakan model overlaping

(cekung bawah) sehingga sulit mencari titik

logit, hasil dinyatakan dengan


ˆ2 . 69

Sehingga estimator parameternya adalah

Ouyang (2009) telah mengembangkan model

ˆ  (ˆ2 , ˆ)

PCL dengan memodifikasi parameter nya secara terpadu sedemikian hingga parameternya lebih

Selanjutnya

Gambar

6.

nilai

log

sederhana..

likelihood pada model 3 menunjukkan bahwa model MNL dan model overlaping logit tidak

Kesimpulan Dalam model DCM, jika antar respon

jauh berbeda.

memiliki struktur korelasi nested maka model NL lebih sesuai dibanding dengan model MNL. Model NL dapat mengurangi bias dan dapat mengestimasi korelasi pada masing-masing nest. Jika Gambar 6. Grafik log likelihood model 3

respon

memiliki

struktur

overlapping, estimator pada model PCL tidak tunggal. Pengambilan penduga awal yang berbeda akan menghasilkan estimator yang berbeda.

Untuk

mengatasi

hal

ini

dapat

dilakukan dengan cara mencoba beberapa penduga awal untuk parameter  dengan nilai antar 0.5 s/d 1.5 dan memilih salah satu hasil

Gambar 7. Grafik nilai korelasi model 3

estimasi ini. Cara kedua adalah menggabungkan Estimasi parameter korelasi pada model

model MNL dan model PCL.

3 menggunakan model overlapping memberikan hasil yang tidak cukup baik. Demikian juga estimasi parameter yang lain, model PCL tidak

teori,

model

PCL

dapat

mengukur korelasi antar nest. Namun demikian berdasarkan data simulasi,

Dari hasil penelitian ini disarankan kepada para peneliti yang akan mengaplikasikan

lebih baik dibanding dengan model MNL. Secara

Saran-saran

model PCL tidak

model DCM, sebaiknya menggunakan model NL dari pada model MNL. Untuk penelitian lebih lanjut, dapat

baik

dilakukan pengamatan terhadap model DCM

dibandingkan dengan model MNL. Li dan

yang lain seperti model mixed logit. Masalah

mengahasilkan

penaksir

yang

lebih

lain yang belum banyak mendapat perhatian 70


para peneliti adalah pengembangan model DCM pada respons multinomial multivariat

Daftar Pustaka Ben-Akiva,M. dan M. Bierlaire, 1999, „Discrete choice methods and their applications in short term travel decisions‟, in R. Hall, ed., The Handbook of Transportation Science, Kluwer, Dordrecht, The Netherlands, pp. 5–33. Bierlaire, M., 1998, Discrete choice models, in M. Labbe, G. Laporte, K. Tanczos, and P. Toint, eds., Operations Research and Decision Aid Methodologies in Traffic and Transportation Management, Springer-Verlag, Heidelberg, Germany, pp. 203–227. Chu, C., 1989, A paired combinational logit model for travel demand analysis, Proceedings of Fifth World Conference on Transportation Research 4, 295–309. Forinash, C. and F. Koppelman, 1993, Application and interpretation of nested logit models of intercity mode choice, Transportation Research Record 1413, 98–106. Heiss, F., 2002, Structural Choice Analysis with Nested Logit Models, STATA Journal 2:227–252.

Koppelman, F. dan C. Wen, 2000, The paired combination logit model: Properties, estimation and application, Transportation Research B 34, 75–89. Nugraha J., Haryatmi S., Guritno S., 2009, Pengaruh Korelasi Antar Respon pada Model Multinomial Logit, Jurnal Matematika dan Sains (JMS), Vol. 14 No. 3, FMIPA-ITB. Lee, B., 1999, Calling patterns and usage of residential toll service under selfselecting tariffs, Journal of Regulatory Economics 16, 45–82. Li, J. dan Ouyang, J., 2009, A Modified Paired Combinatorial Logit Route Choice Model with Unified Parameter, Logistics, 367503680. Train, K.,1986, Qualitative Choice Analysis, MIT Press, Cambridge, MA. Train, K., 2003, Discrete Choice Methods with Simulation, UK Press, Cambridge Vovsha, P.,1997, The cross-nested logit model: Application to mode choice in the Tel Aviv metropolitan area, Conference Presentation, 76th Transportation Research Board Meetings, Washington. Wen, C.-H. dan Koppelman, F., 2001, „The generalized nested logit model‟, Transportation Research B 35, 627–641.

Henningsen, A., 2007, The micEcon Package, http://www.r-project.org/. diakses tanggal 10 Desember 2013 Karlstrom, A., 2001, Developing generalized extreme value models using the Piekands representation theorem‟, Working Paper, Infrastructure and Planning, Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.


71

Studi Simulasi Model Nested Logit dan Paired Combinatorial Logit pada Respon Multinomial

Recommend Documents