Struktura a architektura počítačů

Struktura a architektura počítačů

Číselné soustavy Převody mezi soustavami, kódy Aritmetické operace

České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická Ver.1.20

J. Zděnek 2013

Polyadické číselné soustavy (poziční) •

z

Hodnota čísla v soustavě se základem

xz =

n

n

−m

−m

i a . z = ∑ a i . vi i ∑

x z = an vn + an −1vn −1 + ..... + a1v1 + a0 v0 + a−1v−1 + a− 2 v− 2 + ..... + a− m v− m • • •

z ai vi

i • n • −m •

- hodnota číslice

z∈N , z ≥ 2 ai ∈ N , 0 ≤ ai < z

- váha řádového místa

vi = z i

- základ číselné soustavy,

- řádové místo (pozice) - nejvyšší řád s nenulovou číslicí - nejnižší řád s nenulovou číslicí

A7B14SAP Struktura a architektura počítačů 9 - Číselné soustavy

2

Polyadické číselné soustavy (poziční) •

Hodnota čísla v soustavě se základem

xz =

n

z n

∑ a . z = ∑ a .v i

i

i

−m

−m

i

x z = an vn + an −1vn −1 + ..... + a1v1 + a0 v0 + a−1v−1 + a− 2 v− 2 + ..... + a− m v− m •

Zápis čísla v soustavě se základem

z

x z = (an an −1..... a1 a0 , a−1 a− 2 ..... + a− m ) z Celá část

Zlomková část Řádová čárka

x = an an −1..... a1 a0 , a−1 a− 2 ..... + a− m A7B14SAP Struktura a architektura počítačů 9 - Číselné soustavy

3

Používané číselné soustavy •

Číselné soustavy používané ve výpočetní technice • Dvojková (Binary) • Základ soustavy • Číslice

z=2 ai = (0, 1)

• Desítková (Decimal) • Základ soustavy • Číslice

z = 10 ai = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

• Šestnáctková (Hexadecimal) • Základ soustavy z = 16 • Číslice ai = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) (Pozn. Hodnota A=10, B=11, … F=15)


4

Váhy řádových míst z = 10

z = 16

z=2

i

vi = zi

i

vi = zi

i

vi = zi

…

…

…

…

…

…

3

1000

3

8

3

4096

2

100

2

4

2

256

1

10

1

2

1

16

0

1

0

1

0

1

-1

0,1

-1

0,5

-1

0,0625

-2

0,01

-2

0,25

-2

0,0039..

-3

0,001

-3

0,125

-3

…

…

…

…

…

…

…


5

Dvojková soustava (Binary Number System) x=

n

n

∑ a .2 = ∑ a .v i

i

−m

i

−m

i

• Základ soustavy • Číslice soustavy

z=2 ai = (0, 1)

• Váha řádového místa

vi = 2i

• Zápis čísla nebo nebo nebo

101101,0112 101101,011b 101101,011b 101101,011 (pokud je zřejmý základ z kontextu)


6

Dvojková soustava – důležité váhy vi = 2i xd

1T

4G

1G

1M

524288

262144

131072

65536

2i

240

232

230

220

219

218

217

216

i

40

32

30

20

19

18

17

16

xd

32768

16384

8192

4096

2048

1024

512

256

2i

215

214

213

212

211

210

29

28

i

15

14

13

12

11

10

9

8

xd

128

64

32

16

8

4

2

1

2i

27

26

25

24

23

22

21

20

i

7

6

5

4

3

2

1

0

xd

0,5

0,25

0,125

0,0625

0,03125

0,015625

7,8125-3

3,90625-3

2i

2-1

2-2

2-3

2-4

2-5

2-6

2-7

2-8

i

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8


7

Převod: Dvojková - Desítková •

Výpočtem z definičního vztahu: n

n

xd = ∑ a i . 2 = ∑ a i . vi i

−m

•

−m

Př: Váhy řádových míst

vi

3

2

1

0

-1

-2

-3

b

Dvojkové číslo

d

Desítková hodnota Řádová čárka


8

Převod: Desítková – Jiná se základem z •

Převod celé části desítkového čísla: Krok 1:

xd =

n

n

0

1

i i −1 0 a . z = a z + z . a . z /z i 0 i ∑ ∑

xd a   a = ∑ a i . z i −1  + 0 = N 0 + 0 z z z 1  n

Krok 2:

N0 =

n

n

1

2

Zbytek po dělení = a0

i −1 i −2 0 a . z = a . z + z . a . z /z i i ∑ ∑ 1

N0 a n  a = . ∑ a i . z i −2  + 1 = N1 + 1 z z z 2  Krok k:

Celá část podílu

Nk = ..... z

=0+


Konec převodu

ak +1 z 9

Převod: Desítková – Jiná se základem z •

Převod zlomkové části desítkového čísla: −m

Krok 1:

−m 1 a xd = ∑ a i . z i = −1 + . ∑ a i . z i +1 / . z z z −2 −1 −m

Celá část součinu = a-1

−2

Zlomková část součinu

xd . z = a−1 + ∑ a i . z i +1 = a−1 + F− 2 Krok 2:

F− 2 =

−m

∑ ai . z

i +1

−2

F− 2 . z = a− 2 +

Krok r:

F− r = .......

a− 2 1 = + z z

−m

i+2 a . z i ∑

/.z

−3

−m

i+2 a . z = a− 2 + F−3 i ∑ −3

= a− r + 0


Konec převodu POZOR – nemusí skončit po konečném počtu kroků 10

Převod: Desítková – Dvojková – celá část čísla • • • • •

Dělíme postupně základem soustavy (z = 2) Zbytek po dělení v daném kroku je roven postupně koeficientům a0, a1, … Celá část podílu postupuje do dalšího kroku, kde opět dělíme z = 2. Pokud máme k dispozici dostatek pozic (bitů) binárního čísla je převod přesný (bez ztráty přesnosti) Pozor: koeficienty ai vznikají od nejnižší váhy tj. a0, a1, a2, …

•

Př:

Nk / z

xd = 38d

Zbytek

ai

38 / 2 =

19

0

a0

19 / 2 =

9

1

a1

9/2=

4

1

a2

4/2=

2

0

a3

2/2=

1

0

a4

1/2=

0

1

a5

xb= 100110b

Konec převodu A7B14SAP Struktura a architektura počítačů 9 - Číselné soustavy

11

Převod: Desítková – Dvojková – zlomková část čísla • • • •

Násobíme postupně základem soustavy (z = 2) Celé části součinu jsou postupně rovny koeficientům a-1, a-2, … Zlomková část součinu postupuje do dalšího kroku, kde násobíme (z = 2) Pozor: Číslo zapsané v desítkové soustavě konečným počtem číslic může vést v jiné soustavě na nekonečný počet číslic nebo na počet číslic pro které nemáme dostatek pozic (šířka slova) - ztráta přesnosti.

•

Př:

xd = 0,5625d

Nk . z

Součin

Celá č.

ai

Zlomk.č.

0,5625

.2=

1,125

1

a-1

0,125

0,125

.2=

0,25

0

a-2

0,25

0,25

.2=

0,5

0

a-3

0,5

0,5

.2=

1,0

1

a-4

0,0

0,0

.2=

0,0

0

a-5

0,0

Konec převodu A7B14SAP Struktura a architektura počítačů 9 - Číselné soustavy

xb= 0,1001b

12

Převod: Dvojková – Šestnáctková •

Dvojková a šestnáctková jsou příbuzné soustavy neboť:

z = 2, w =16 ⇒ w = z 4  3 i  4j xb = ∑ a i . z = ∑  ∑ a 4 j +i . z . z i =0 j =0  i =0  n

•

Tedy:

n/4

i

xh =

m

n/4

4k b . w = b . z ∑ k ∑ k k

k =0

k =0

 3 i xh = ∑ b k . w = ∑  ∑ a 4 k + i . z  . w k k =0 k =0  i =0  m

•

Porovnáním:

n/4

k

bk =

3

i a . z ∑ 4 k +i i =0


13

Převod: Dvojková – Šestnáctková •

Z předchozí stránky: • Jedna šestnáctková číslice odpovídá čtyřem číslicím dvojkovým • Mezi zápisy v šestnáctkové a dvojkové soustavě je pouze formální rozdíl • Důsledek: Převod mezi soustavami je triviální

•

Př: Dvojková na šestnáctkovou soustavu • Dvojkové číslice rozdělíme do skupin po čtyřech od řádové čárky a každou skupinu zapíšeme šestnáctkovou číslicí 1010 0110 1111 , 1001b A

6

F , 9h


14

Převod: Šestnáctková – Dvojková •

Př: Dvojková na šestnáctkovou • Každou šestnáctkovou číslici zapíšeme čtyřmi číslicemi dvojkovými

3 B E 7 , 6 8h

0011 1011 1110

0111 , 0110 1000b

• Zápis v šestnáctkové soustavě je přehlednější a kratší než ve dvojkové a přesto umožňuje detailní pohled na jednotlivé bity • Zápis v šestnáctkové soustavě se často používá především v popisu hardware počítačů a při programování v assembleru


15

Číslice šestnáctkové soustavy •

Zápis číslic A,B,… ,F nebo a,b,… ,f se považuje za totožný Dec

Hex

Bin

Dec

Hex

Bin

0

0

0000

8

8

1000

1

1

0001

9

9

1001

2

2

0010

10

A

1010

3

3

0011

11

B

1011

4

4

0100

12

C

1100

5

5

0101

13

D

1101

6

6

0110

14

E

1110

7

7

0111

15

F

1111


16

Řádová mřížka • •

Řádová mřížka definuje formát čísel zobrazitelných v počítači Tj. definuje nejvyšší řád n a nejnižší řád –m

•

Vlastnosti řádové mřížky: • M - Modul ř.m. - nejmenší číslo, které již v ř.m. není zobrazitelné • ε - Jednotka ř.m. – nejmenší číslo zobrazitelné v ř.m. • l - Délka ř.m. – počet řádů obsažených v ř.m. • z - Základ číselné soustavy

M = z n +1

ε = z −m l = n + m +1 A7B14SAP Struktura a architektura počítačů 9 - Číselné soustavy

17

Řádová mřížka •

Př: Vlastnosti řádových mřížek Řádová čárka

M = 28 = 256, l = 8, ε = 20 =1 M = 21 = 2,

l = 8, ε = 2 −7

M = 23 = 8,

l = 4, ε = 2 −1

M = 28 = 256, l =12, ε = 2 −4


18

Zobrazení záporných čísel •

Polyadické číselné soustavy – jen nezáporná čísla

•

Zobrazení záporných čísel – pomocí číselných kódů

•

Používané číselné kódy: • Přímý kód

(Sign & Magnitude Code)

• Aditivní kód

(Biased Code)

• Doplňkový kód (Two’s Complement Code) (též nazývaný „Dvojkový doplněk“ nebo „Druhý doplněk“)


19

Přímý kód (Sign and Magnitude Code)

SM ( x) = s . 2 n +1 + m Kde : s = sign( x), m = | x |, M = modul řád. mřížky Pro : = (− M / 2) < x < ( M / 2) SM −1 ( x) = x = (−1s ) . m

Zde pro 8bitové slovo


20

Přímý kód (Sign and Magnitude Code)


21

Přímý kód (Sign and Magnitude Code) M = 8 = 1000b (3bitová čísla včetně znaménka)

x

S(x)

S(x)

x

+3

011

000

+0

+2

010

001

+1

+1

001

010

+2

+0

000

011

+3

-0

100

100

-0

-1

101

101

-1

-2

110

110

-2

-3

111

111

-3


22

Aditivní kód (Biased Code) B( x) = x + K Pro : = − K ≤ x < ( M − K ) Kde : M = modul řád . mřížky Obvykle volba : K = M / 2

B −1 ( x) = x = B( x) − K


23

Aditivní kód (Biased Code)


24

Aditivní kód (Biased Code) M = 8 = 1000b (3bitová čísla včetně znaménka), K=4 (tj. 1/2M)

x

B(x)

B(x)

x

+3

111

000

-4

+2

110

001

-3

+1

101

010

-2

0

100

011

-1

-1

011

100

0

-2

010

101

1

-3

001

110

2

-4

000

111

3


25

Dvojkový doplněk (Two's Complement Code) C ( x) = x

Pro : 0 ≤ x < ( M / 2)

C ( x) = x + M

Pro: (− M / 2) ≥ x < 0

Kde : M = modul řád . mřížky

C −1 ( x) = x = C ( x)

Pro: 0 ≤ C ( x) < ( M / 2)

C −1 ( x) = x = C ( x) − M

Pro: ( M / 2) ≤ C ( x) < M


26

Dvojkový doplněk (Two's Complement Code)


27

Dvojkový doplněk (Two's Complement Code) M = 8 = 1000b (3bitová čísla včetně znaménka)

x

C(x)

C(x)

x

+3

011

000

0

+2

010

001

1

+1

001

010

2

0

000

011

3

-1

111

100

-4

-2

110

101

-3

-3

101

110

-2

-4

100

111

-1


28

Výpočet dvojkového doplňku − C ( x) = NOT (C ( x)) + 1 Př:

x = 610 − x = − 610

C ( x) = 0110 2 − C ( x) = ?

Výpočet:

Kontrola:

NOT (C ( x)) = 10012

C ( x) = 01102

+1

+ (−C ( x)) = 10102

− C ( x)

= 10102


0 29

Sčítání – čísla bez znaménka (kladná) •

Jednobitové sčítání (pravdivostní tabulka): D 0 1 2 3 4 5 6 7

•

a 0 0 0 0 1 1 1 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1

ci 0 1 0 1 0 1 0 1

cs 0 0 0 1 0 1 1 1

s 0 1 1 0 1 0 0 1

Př. Vícebitové sčítání (předpoklad Ci=0): 241d =

1111 0001b

250d =

1111 1010b

+7d =

0000 0111b

+8d =

0000 1000b

248d =

1111 1000b

258d ≠

0000 0010b

Cs = 0 A7B14SAP Struktura a architektura počítačů 9 - Číselné soustavy

Cs = 1

Mimo formát: 30

Odečítání – čísla bez znaménka (kladná) •

Jednobitové odčítání (pravdivostní tabulka)

di = ai − bi − ci

•

D

ai

bi

ci

cs

di

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 1 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1

Př. Vícebitové odčítání (předpoklad Ci=0, význam „borrow“): 243d =

1111 0011b

–7d =

0000 0111b

236d =

1110 1100b

(borrow) Cs = 0 A7B14SAP Struktura a architektura počítačů 9 - Číselné soustavy

31

Přeplnění (Overflow) – čísla se znaménkem •

U čísel se znaménkem je přeplnění (Overflow), tj výsledek je mimo formát, indikováno nastavením příznakového bitu OV (Overflow).

•

Bit OV je součástí stavového slova procesoru (PSW, Flags).

•

Logika bitu OV musí sledovat přenos z posledního a ještě předposledního bitu formátu. •

•

OV = Cs xor Cs-1

Odečítání pomocí dvojkového doplňku (Two’s Complement) • Tento způsob je použitý v počítači

d = x − y = x + (− y ) = x + ( NOT ( y ) + 1) A7B14SAP Struktura a architektura počítačů 9 - Číselné soustavy

32

Přeplnění (Overflow) – čísla se znaménkem •

Př: Přeplnění z formátu (M=1000, zde formát +7,-8) 7d =

0 1 1 1b

4d =

0 1 0 0b

–4d =

1 1 0 0b

–7d =

1 0 0 1b

3d =

0 0 1 1b

–4d =

1 1 0 0b

0d =

0 0 0 0b

7d =

0 1 1 1b x x Cs Cs-1 OV=0

–8d =

1 0 0 0b

Cs Cs-1

OV=0

Cs Cs-1

OV=0

4d =

0 1 0 0b

6d =

0 1 1 0b

–4d =

1 1 0 0b

4d =

0 1 0 0b

3d =

0 0 1 1b

–5d =

1 0 1 1b

8d ≠

1 0 0 0b

9d ≠

1 0 0 1b

–9d ≠

x Cs Cs-1

OV=1

x Cs Cs-1

OV=1


0 1 1 1b x Cs Cs-1 OV=1

33

Sčítání a odčítání – čísla se znaménkem •

Př. Sčítání a odčítání 4bitovou sčítačkou ve dvojkovém doplňku 73d =

0100b

1001b

73d =

0100b

1001b

+27d =

0001b

1011b

–27d =

1110b

0101b

Cs 100d =

1b C s

0110 x x b Cs Cs-1

Cs

0b 0100b

46d =

OV=0

0b C s 0010b

Cs Cs-1

0b 1110b

OV=0

120d =

0111b

1000b

–120d =

1000b

1000b

+16d =

0001b

0000b

–16d =

1111b

0000b

0b C s

Cs 136d ≠

1000b

x Cs Cs-1

0b 1000b

Cs –136d ≠

OV=1


0b C s

0b

0111b 1000b x OV=1 Cs Cs-1 34

Struktura a architektura počítačů

Číselné soustavy Převody mezi soustavami, kódy Aritmetické operace KONEC

České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická A7B14SAP Struktura a architektura počítačů 9 - Číselné soustavy

35

Struktura a architektura počítačů

Recommend Documents