STRATEGI MENYEDERHANAAN MASALAH YANG SERUPA (Simpler Analogous Problem) Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa ada lebih dari satu cara untuk menyelesaikan suatu masalah. Persoalannya adalah bagaimana menemukan metode terbaik, cara yang efisien, atau metode yang mampu membuka pikiran kita untuk menyelesaikan masalah tertentu. Sebuah metode kadang menghasilkan suatu masalah terlihat menjadi lebih sederhana dan menjadi sesuatu yang mungkin lebih mudah untuk dipecahkan. Strategi pemecahan masalah dengan menyederhanakan masalah ini biasanya dengan mencobakan masalah ke suatu bentuk yang lebih sederhana, kemudian setelah didapatkan solusi yang berupa pola penyelesaian masalah sederhana ini, kita dapat menggunakannya untuk menyelesaikan pada masalah awal yang lebih kompleks (rumit). Sehingga untuk melakukannya diperlukan pemahaman atau pengetahuan bagaimana cara menyelesaikan masalah yang lebih kompleks menjadi masalah yang sederhana. Penerapan metode ini dalam kehidupan sehari-hari misalnya seorang koki ingin membuat atau menemukan resep kue baru. Untuk membuat kue dalam porsi yang besar tentunya koki tersebut harus menemukan takaran (ukuran) yang pas dari bahanbahannya. Agar tidak banyak bahan yang terbuang dalam pembuatan porsi yang besar, dia harus mencobanya dulu dalam takaran yang kecil (menyederhanakan masalah). Apabila dia telah menemukan takaran yang pas, maka koki tersebut dapat membuat kue dalam porsi yang besar dengan menggunakan perbandingan dari takaran yang telah ditemukannya tadi. Contoh lain yaitu apabila seorang pengendara mobil hendak bepergian jauh, dan dia tidak ingin mengisi bahan bakar selama perjalanannya. Sehingga dia harus mengetahui jumlah bahan bakar yang diperlukannya untuk menempuh perjalanan tersebut. Dengan metode penyederhanaan masalah ini, pengendara mobil dapat menentukan berapa liter bensin yang harus dipersiapkannya dengan cara memperkirakan banyaknya penggunaan bahan bakar dalam jarak yang lebih dekat. Misalkan, 7 km dapat ditempuh dengan menghabiskan 2 liter bensin. Sehingga pengendara tersebut dapat menghitung berapa
85
jumlah bahan bakar yang dibutuhkannya dengan menggunakan perbandingan dalam perkiraannya tadi. Berikut ini beberapa contoh permasalahan yang dapat dikerjakan dengan menggunakan metode ini : Problem 1 Faktor dari 360 bila dijumlahkan yaitu 1170. Berapa jumlah kebalikan faktor dari 360 ? Solusi : Sebagian besar solusi yang digunakan yaitu menemukan seluruh faktor dari 360, membaliknya, lalu menjumlahkannya. Faktor dari 360 adalah 1, 2, 3,4 ,5 ,6 ,8, 9, …, 120, 180, 360. Kebalikannya yaitu menjumlahkannya menjadi :
1, , , , , , , , … ,
,
,
1 + + + + + + + + ⋯ +
. Kemudian +
+
.
Namun kita harus menentukan penyebutnya terlebih dahulu yaitu 360, lalu merubahnya ke dalam bentuk pecahan yang ekuivalen lalu menjumlahkannya. Tetapi cara ini akan sangat panjang dan memakan banyak waktu. Dengan menggunakan metode simpler analogous problem, kita dapat menyelesaikan masalah tersebut dengan lebih mudah. Misal tentukan penjumlahan dari kebalikan faktor dari 12. Faktor dari 12 yaitu 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Kemudian jumlahnya 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 6 + 12 = 28. Sekarang, kita menjumlahkan kebalikan dari faktor tersebut menjadi : 1 1 1 1 1 1 28 + + + + + = 1 2 3 4 6 12 12 Dari perhitungan diatas, hasil penjumlahan dari pembilang sama dengan jumlah dari penyebutnya. Sekarang kita bisa menyelesaikan masalah awal kita, dari informasi bahwa penjumlahan faktor dari 360 adalah 1170. Dengan demikian penjumlahan kebalikan dari faktor 360 adalah
Problem 2 Diberikan 4 bilangan : 7, 895 ; 13, 127 ; 51, 873 ; 7, 356. Berapa persentasi rata-rata dari jumlah bilangan-bilangan diatas ?
86
Solusi :
Cara yang umumnya digunakan : Menjumlahkan bilangan-bilaangan tersebut kemudian membaginya dengan empat untuk memperoleh rata-ratanya, yaitu : ,
,
,
,
=
,
= 20, 06275
Kemudian menghitung persentasi rata-rata dari jumlah bilangan-bilangan tersebut adalah
20, 06275 100% = 0, 25 100% = 25 % 80, 251 Menyelesaikan
masalah
dengan
simpler
analogous
problem
dengan
mempertimbangkan kasus secara umum. Misal, jumlah dari bilangan-bilangan tersebut adalah S. kemudian rata-ratanya adalah S/4. Sekarang kita dapat menemukan persentasi rata-rata dari penjumlahan, pertama dengan membagi /
= . Langkah terakhir yaitu merubah ke dalam persen menjadi 25%.
Problem 3 Tentukan nilai dari : 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 34 + 36 + 38 3 + 6 + 9 + 12 + ⋯ + 51 + 54 + 57
Solusi :
Cara klasik yang digunakan menjumlahkan seluruh bilangan pada pembilang dan penyebut lalu membaginya dalam pecahan. 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 34 + 36 + 38 380 2 = = 3 + 6 + 9 + 12 + ⋯ + 51 + 54 + 57 570 3
Namun, cara ini membutuhkan banyak usaha dan perhitungan dan menyebabkan kita mudah melakukan kesalahan.
Menyelesaikan masalah dengan simpler analogous problem. Kita memulai dengan satu bentuk pembilang dan penyebut kemudian dengan dua bentuk dan seterusnya. =
= =
=
Dapat disimpulkan bahwa hasil dari :
=
=
=
87
2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 34 + 36 + 38 2 = 3 + 6 + 9 + 12 + ⋯ + 51 + 54 + 57 3
Cara alternatif yang juga menggunakan simpler analgous problem yaitu dengan menyedehanakan bentuknya menggunakan faktornya : 2( 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 17 + 18 + 19 ) 2 = 3 (1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 17 + 18 + 19 ) 3 Problem 4 Pada gambar berikut, CD dan EF adalah bagian utara dan selatan tepi sungai dengan lebar sungai 1 mil (lebar sungai dianggap sama). Jarak kota A 3 mil dari utara CD dan jarak kota B 5 mil dari selatan EF dan 15 mil dari kota A. Jika menyeberangi sungai hanya dapat melalui bagian tepi sungai yang tepat, tentukan jarak terpendek dari kota A ke kota B !
Solusi : Banyak cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah ini. Cara yang cerdas yaitu menggunakan strategi simpler analogous problem. Kita dapat menggabungkan tepi sungai CD dan EF, kemudian diperoleh jarak terpendek AB seperti pada gambar berikut.
88
AB2 = 152 + 82 maka AB = 17. Karena sebelumnya terdapat pemindahan selebar 1 mil pada persilangan titik H, sehingga jarak terpendeknya adalah 17 + 1 = 18 mil.
Problem 5 Pada akhir babak ketujuh dari suatu permainan bisbol, diperoleh skor, Thunder: 8 dan Rifles : 8. Berapa banyak kemungkinan perolehan skor masing-masing tim pada akhir babak ke enam? Solusi : Pendekatan yang paling sering digunakan untuk menyelesaikan soal di atas adalah dengan mendaftar semua kemungkinan perolehan skor. Walaupun pendaftaran skor dilakukan secara sistematis, ini akan menjadi tugas yang sulit, dan para siswa belum tentu telah mendaftar semua kemungkinan yang ada. Sekarang kita akan melakukan dengan cara yang berbeda, yaitu dengan menggunakan strategi simpler analogous problem. Kita menggunakan penyederhanaan dengan menggunakan skor 0-0, 1-1, 2-2, dan 3-3 untuk mencari polanya kemudian kita aplikasikan untuk mencari solusi dengan skor 8-8. Perhatikan tabel berikut Skor
Banyak
Kemungkinan skor
kemungkinan 0-0
1
0-0
1-1
4
0-1,1-0,0-0,1-1
2-2
9
2-0,0-2,2-1,1-2,0-0,0-1,1-0,1-1,2-2
3-3
16
3-0,0-3,3-1,1-3,3-2,2-3,2-1,1-2,2-0,0-2,1-0,0-1,0-0,1-1,22,3-3
Dari tabel tersebut terlihat pola bahwa pada kolom banyak kemungkinan merupakan kuadrat sempurna dengan aturan untuk skor perolehan skor sebanyak ( + 1) .
− , maka terdapat banyak kemungkinan
Dengan demikian solusi untuk skor 8-8 adalah (8 + 1) = 9 = 81.
89
Problem 6 Untuk memperlambat habisnya sebotol wine berukuran 16 ons, Bob memutuskan untuk menentukan suatu aturan minum. Pada hari pertama, dia akan meminum 1 ons saja dan menggantinya dengan air. Pada hari kedua, Bob meminum 2 ons dari wine campuran air tersebut, dan sekali lagi memenuhi kembali botol tersebut dengan air. Pada hari ketiga, Bob meminum 3 ons dari wine campuran tersebut dan kembali memenuhi botol dengan air. Bob melakukan dengan cara yang sama hingga ia meminum habis 16 ons wine campuran tersebut pada hari ke-16. Berapa ons air yang diminum oleh Bob?
Solusi : Masalah ini biasanya diselesaikan dengan membuat tabel yang menunjukkan banyak wine dan air dalam botol setiap harinya dan cenderung menghitung perbandingan banyak masing-masing campuran wine dan air yang Bob minum setiap harinya. Kita dapat memecahkan masalah ini dengan lebih mudah apabila menggunakan cara pandang yang lain, yaitu “Berapa banyak air yang Bob tambahkan ke dalam botol setiap harinya?” Perhatikan bahwa Bob menghabiskan isi botol seluruhnya pada hari ke-16, berarti pada saat tersebut ia tidak menambahkan air ke dalam botol lagi. Hari pertama, menambahkan 1 ons air, hari kedua menambahkan 2 ons air hingga hari ke-15 menambahkan 15 ons air. Sehingga, banyak air yang diminum oleh Bob adalah : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 120 ons Ada suatu cara lain, dengan menggunakan pemecahan masalah serupa yang lebih sederhana (simpler analogous problem) untuk digunakan menjawab dua pertanyaan sekaligus, yaitu : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 − 16 =
120 ons
Dari sini, kita dapat mengetahui bahwa banyak cairan yang diminum adalah 136 ons dan banyak air yang diminum adalah 120 ons.
90
Problem 7 Tentukan semua bilangan bulat
yang memenuhi (3 + 7)
= 1.
Solusi : Penggunaan penyelesaian cara aljabar biasa untuk masalah di atas menuntut kemampuan aljabar yang bagus. Bagaimanapun juga, dengan menggunakan penyelesaian masalah serupa yang lebih sederhana (simpler analogous problem) dapat menemukan jawaban dari persamaan di atas. Sebagai contoh, perhatikan
= 1. Masalah ini lebih mudah untuk diselesaikan
dan didiskusikan. Persamaan tersebut memiliki nilai 1 jika bilangan basis a, adalah 1,
karena (1) = 1 untuk semua nilai b. Secara serupa, persamaan juga memiliki nilai 1 ketika pangkat b, adalah 0, karena
= 1 untuk semua nilai a. Sekarang kita memiliki
cara untuk menyelesaikan masalah yang sebenarnya. Kasus I:
Untuk bilangan basis sama dengan satu dengan sebarang pangkat, kita peroleh:
Kasus II: Untuk bilangan pagkat sama dengan nol dengan sebarang basis, kita peroleh:
Kasus III: Untuk bilangan basis sama dengan -1 dengan pangkat genap, kita peroleh: 3 + 7 = −1
91
= − , yang bukan merupakan bilangan bulat. Kasus IV: Untuk bilangan basis sama dengan nol dengan pangkat nol,kita peroleh: 3 + 7 = 0 menghasilkan
mungkin).
Jadi nilai
= − sedangkan
− 9 = 0 menghasilkan
= ±3 (tidak
yang mungkin adalah -2,-3, dan 3.
Problem 8 Dua kereta yang melayani rute dari chicago ke New York, dengan jarak 800 mil, berangkat dari arah yang berlawanan pada waktu yang sama (sepanjang lintasan yang sama). Kereta yang satu berjalan dengan kecepatan 60 mil per jam dan yang lain 40 mil per jam. Pada waktu yang sama, seekor lebah terbang dari salah satu bagian depan kereta menuju bagian depan kereta yang lain, dengan kecepatan 80 mil per jam. Setelah menyentuh bagian depan kereta kedua, lebah berbalik arah dan terbang dengan kecepatan yang sama menuju kereta pertama. Lebah bolak-balik melakukan hal yang sama hingga kereta bertabrakan dan menghancurkan si lebah. Berapa mil jarak terbang yang telah ditempuh lebah?
Solusi : Cara yang biasa digunakan untuk menemukan jarak yang ditempuh lebah adalah dengan menggambar. Selanjutnya, membuat persamaan berdasarkan hubungan kecepatan x waktu sebagai jarak tempuhnya. Bagaimanapun juga, kita akan mengalami kesulitan pada bagian bolak-balik yang dilakukan oleh lebah. Selain itu, penghitungan dengan cara ini juga sulit dilakukan. Pendekatan menggunakan simpler analogous problem (kita juga dapat mengatakan menggunakan cara pandang yang berbeda) dapat menyelesaikan masalah di atas dengan
92
lebih mudah. Kita mencari jarak yang ditempuh lebah. Jika kita tahu waktu yang digunakan lebah, kita akan dapat pula mengetahui jarak tempuhnya, karena kita telah mengetahui berapa kecepatan lebah.
Waktu yang ditempuh oleh lebah dapat kita hitung dengan mudah, karena lebah terbang selama seluruh waktu yang digunakan oleh kedua kereta (sebelum mereka saling bertabrakan). Untuk menentukan waktu t, waktu tempuh kereta, kita menggunakan persamaan sebagai berikut. Jarak tempuh kereta pertama 60t dan kereta kedua 40t. Jarak total yang ditempuh oleh kedua kereta adalah 800 mil. Oleh karena itu, kita peroleh nilai t sebagai berikut 60t+40t=800 dan t=8. Jadi jarak tempuh lebah adalah(8)(80)=640 mil.
Problem 9 Tentukan hasil perkalian dari 0,333 x 0,666 ! Solusi : Biasanya siswa menyelesaikan permasalahan ini dengan menggunkan kalkulator. Dengan menggunakan cara simpler analogous problem, siswa cukup mencari ekivalen dari kedua decimal tersebut dalam bentuk pecahan biasa yakni :
Kemudian tinggal mengalikan kedua pecahan tersebut menjadi :
Problem 10 Tentukan jumlah dari setiap koefisian dari binomial ( + )
8
93
Solusi : Dalam menyelesaikan permasalahan ini siswa biasanya menjabarkan bentuk ( + ) sehingga menemukan setiap koefisien yang membentuknya seperti dibawah ini :
8
Kemudian menjumlahkan setiap koefisien-koefisiennya :
Selain itu, cara lain yang biasa digunakan siswa adalah dengan mencari koefisien kombinasinya :
Selanjutnya tinggal menjumlahkan koefisien-koefisiennya sehingga mendapatkan jumlah keseluruhan adalah 256 Jika menggunakan cara simpler analogous problem, kita cukup mensubtitusikan x = y = 1 kedalam bentuk ( + )
= ( + ) =( ) = 256
Problem 11 Sebuah tim Basket mengambil bagian dalam pertandingan Free-throw. Pemain pertama mencetak x leparan bebas pada free-throw yang diambil. Pemain kedua mencetak y lemparan bebas pada free-throw berikutnya. Sedangkan pemain ketiga membuat jumlah lemparan bebas sebagai rata-rata dari jumlah lemparan bebas pemain pertama dan kedua. Setiap penembak berikutnya dalam pertandingan ini mencetak rata-rata dari jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh semua pemain sebelumnya. Berpakah banyak lemparan bebas dari pemain ke 12 ?
94
Solusi : Beberapa siswa mungkin mencoba untuk memecahkan masalah ini dengan mencari rata-rata dari setiap giliran dari 12 pemain yang ada. Hal ini membutuhkan banyak waktu dan usaha, dan sangat mudah terjadi kesalahan dalam manipulasi aljabar. Sebaiknya, mari kita menyelesaikannya dengan cara simpler analogous problem. Caranya dengan mensubtitusikan x dan y dengan angka-angka yang sederhana, dan melihat hasil dari subtitusi tersebut. Misalkan permain pertama membuat 8 lemparan bebas (x) dan pemain kedua membuat 12 lemparan bebas (y). Kemudian pemain ketiga mendapatkan lemparan yang sama dengan rata-rata dari lemparan pemain pertama dan kedua, yang berarti
=
= 10. Sekarang, pemain keempat mendapatkan lemparan
bebas sebanyak rata-rata dari jumlah lemparan ketiga pemain sebelumnya, yang berarti =
= 10. Sama halnya ketika pemain kelima mendapatkan kesempatan,
dimana jumlah lemparan yang didapatkan adalah rata-rata dari jumlah lemparan pemain =
sebelumnya, yakni
= 10. Dalam hal ini kita dapat menarik kesimpulan
bahwa jumlah lemparan pemain ke 12 adalah 10 lemparan.
Problem 12 Misalkan kereta penumpang jalur Surabaya - Madiun selalu berangkat tiap jam dari masing-masing kota. Dalam perjalanan dari Madiun ke Surabaya, suatu kereta shuttle akan bertemu dengan
banyaknya kereta shuttle yang lain dengan arah yang
berlawanan. Jika waktu yang dibutuhkan kereta untuk sekali jalan tepat 4 jam, berapa nilai
?
Solusi: Untuk menentukan kecepatan kereta dan melakukan simulasi untuk menghitung berapa kereta yang lewat tentunya akan memakan banyak waktu. Kita
dapat
menggunakan
simpler
analogous
problem
untuk
mempermudah
memecahkan masalah tersebut. Perhatikan kasus berikut. Pada saat suatu kereta, sebut
95
kereta A, meninggalkan Madiun, misalkan pada pukul 14.00, maka ia akan bertemu kereta yang berangkat dari Surabaya pukul 10.00. Dan ketika kereta A tiba di Surabaya pada pukul 18.00 (lama perjalanan 4 jam), maka ia akan bertemu dengan kereta yang akan meninggalkan Surabaya pada pukul 18.00. Jadi kereta A tersebut akan bertemu dengan
kereta
yang
berangkat
dari
Surabaya
pada
pukul
10.00,
11.00,12.00,13.00,14.00,15.00,16.00,17.00,18.00 (karena kereta berangkat tiap jam dari masing-masing kota). Jadi total ada 9 kereta.
96
