Line´arn´ı perspektiva
Line´arn´ı perspektiva je v´yznamnou aplikac´ı stˇredov´eho prom´ıt´an´ı. V technick´e praxi se pouˇz´ıv´a pˇredevˇs´ım k zobrazov´an´ı objekt˚u vˇetˇs´ıch rozmˇer˚u, napodobuje tak lidsk´e vidˇen´ı. Ze stˇredu prom´ıt´an´ı (oka) se objekty prom´ıtaj´ı do roviny (nahrazuje s´ıtnici). Perspektivn´ı obrazy jsou napˇr´ıklad fotografie. Abychom dostali n´azorn´y obraz odpov´ıdaj´ıc´ı tomu, co vid´ı lidsk´e oko, je tˇreba zav´est na stˇredov´e prom´ıt´an´ı jist´e omezuj´ıc´ı podm´ınky. 1. Pozorovan´y objekt leˇz´ı uvnitˇr rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy, kter´a m´a vrchol ve stˇredu prom´ıt´an´ı, osu kolmou k pr˚umˇetnˇe a vrcholov´y u´ hel v rozmez´ı 40◦ − 50◦ . Tato kuˇzelov´a plocha se naz´yv´a zorn´e pole (zorn´a kuˇzelov´a plocha). Pr˚umˇetnu prot´ın´a v zorn´e kruˇznici kz o stˇredu v hlavn´ım bodˇe a jej´ı polomˇer je maxim´alnˇe r = d · tg 25◦ , coˇz je pˇribliˇznˇe d . Jelikoˇz objekt leˇz´ı v zorn´em poli, tak pr˚umˇet objektu leˇz´ı uvnitˇr zorn´e kruˇznice. 2 D´ale oznaˇc´ıme-li n nejvˇetˇs´ı pr˚ucˇ eln´y rozmˇer objektu a v vzd´alenost objektu od stˇred prom´ıt´an´ı, pak n < v < 3n. Prvn´ı nerovnost plyne z toho, zˇ e objekt leˇz´ı v zorn´em poli. Kdyby neplatila druh´a nerovnost, byl by pozorovatel od objektu pˇr´ıliˇs daleko a pr˚umˇet by se bl´ızˇ il rovnobˇezˇ n´emu prom´ıt´an´ı. 2. Pozorovatel je od objektu vzd´alen aspoˇn 21 cm (mez zˇreteln´eho vidˇen´ı). 3. Je d´ana pevn´a vodorovn´a rovina π, na kter´e stoj´ı pozorovan´y pˇredmˇet a vˇetˇsinou i pozorovatel. Stˇredov´e prom´ıt´an´ı, kter´e splˇnuje podm´ınky 1, 2, 3 se naz´yv´a line´arn´ı perspektiva. Zavedeme n´asleduj´ıc´ı oznaˇcen´ı: • pr˚umˇetna ρ – vˇetˇsinou svisl´a; • oko S – stˇred prom´ıt´an´ı; • hlavn´ı bod H 1 – pravo´uhl´y pr˚umˇet S do ρ; • distance d – velikost u´ seˇcky SH; 1
V line´arn´ı perspektivˇe b´yv´a obvykl´e znaˇcit hlavn´ı bod H na rozd´ıl od stˇredov´eho prom´ıt´an´ı, kde jej vˇetˇsinou oznaˇcujeme S2 .
1
• osa perspektivy s – pˇr´ımka SH; • z´akladn´ı rovina π – pomocn´a rovina z podm´ınky 3; • z´akladnice z – pr˚useˇcnice ρ a π; • stanoviˇstˇe S1 – pravo´uhl´y pr˚umˇet S do π; • obzorov´a rovina π 0 – smˇerov´a rovina roviny π; • horizont h – pr˚useˇcnice π 0 a ρ, tj. u´ bˇezˇ nice vˇsech vodorovn´ych rovin; • hlavn´ı vertik´ala v – pˇr´ımka v ρ proch´azej´ıc´ı hlavn´ım bodem H kolmo k z´akadnici; • z´akladn´ı bod Z – pr˚useˇc´ık hlavn´ı vertik´aly a z´akladnice; • v´ysˇka perspektivy – vzd´alenost z´akladnice a horizontu; • lev´y, resp. prav´y, resp. horn´ı, resp. doln´ı, distanˇcn´ık Dl , resp. Dp , resp. Dh , resp. Dd – pr˚useˇc´ıky distanˇcn´ı kruˇznice s h, resp. v; • hloubkov´e pˇr´ımky – pˇr´ımky kolm´e k ρ; • stˇredov´y pr˚umˇet bodu A do ρ oznaˇc´ıme As2 a budeme ho naz´yvat perspektiva bodu A; • stˇredov´y pr˚umˇet bodu A1 , tj. stˇredov´y pr˚umˇet prav´uhl´eho pr˚umˇetu (p˚udorysu) bodu A do π, oznaˇc´ıme As1 a nazveme ho perspektiva p˚udorysu.3 Dan´y objekt m˚uzˇ eme perspektivnˇe zobrazit bud’ s vyuˇzit´ım jin´e zobrazovac´ı metody, pak se line´arn´ı perspektiva naz´yv´a v´az´an´a, nebo jen s vyuˇzit´ım metod stˇredov´eho prom´ıt´an´ı, pak se perspektiva naz´yv´a voln´a.
V´azan´a perspektiva (nepˇr´ım´e metody)
1 1.1
˚ cn´a metoda Pruseˇ
Historicky nejstarˇs´ı nepˇr´ımou metodou je pr˚useˇcn´a metoda. Objekt je zad´an pomoc´ı Mongeovy projekce a perspektiva objektu se sestrojuje rovnˇezˇ vyuˇzit´ım prostˇredk˚u Mongeovy projekce. Dan´y objekt je postaven na π, perspektiva je d´ana pr˚umˇetnou ρ, okem a z´akladn´ı rovinou, kterou je p˚udorysna. Pr˚umˇetnu vol´ıme podle toho, kter´a cˇ a´ st objektu m´a b´yt viditeln´a. Oko S vol´ıme tak, aby p˚udorys osy s leˇzel uvnitˇr ostr´eho u´ hlu dan´eho styˇcn´ymi pˇr´ımkami veden´ymi z S1 k p˚udorysu objektu. V´ysˇka perspektivy by mˇela odpov´ıdat v´ysˇce pozorovatele a vzd´alenost oka od objektu je vˇetˇs´ı neˇz nejvˇetˇs´ı pr˚ucˇ eln´y rozmˇer objektu. 2 3
Na rozd´ıl od stˇredov´eho prom´ıt´an´ı, kde jsme stˇredov´y pr˚umˇet bodu znaˇcili doln´ım indexem s. Nezamˇenˇ ujte s p˚udorysem perspektivy!
2
Obr. 1 Perspektivn´ı obraz objektu tvoˇr´ı perspektivy vˇsech jeho bod˚u, tj. stˇredov´e pr˚umˇety z S do ρ. Pr˚umˇetnu ρ pˇrem´ıst´ıme.4 V n´akresnˇe zvol´ıme horizont h a hlavn´ı bod H na h, rovinu ρ pak 4
Perspektivn´ı pr˚umˇetna nen´ı rovnobˇezˇ n´a s π ani ν, proto zˇ a´ dn´y pravo´uhl´y pr˚umˇet perspektivy nespl´yv´a s perspektivou.
3
pˇrem´ıst´ıme tak, aby horizont, resp. hlavn´ı bod pˇreˇsel do zvolen´e pˇr´ımky, resp. bodu. Stˇredov´y pr˚umˇet bodu A z S do roviny ρ oznaˇc´ıme As . Stˇredov´ym pr˚umˇetem proch´az´ı prvn´ı a druh´a pravo´uhle prom´ıtac´ı pˇr´ımka. Oznaˇcme A pr˚useˇc´ık prvn´ı prom´ıtac´ı pˇr´ımky bodu As s horizontem h. Vzhledem k poloze prvn´ı prom´ıtac´ı pˇr´ımky a horizontu vzhledem k pr˚umˇetn´am s plat´ı |H1 A1 | = |HA|, |A2 (As )2 | = |A As |. Odtud vypl´yv´a i konstrukce perspektivy. Sestroj´ıme na h bod A tak, aby platilo |H1 A1 | = |HA| (zachov´ame orientaci) a na kolmici k h v bodˇe A sestroj´ıme bod As tak, aby |A2 As2 | = |AAs |. Dalˇs´ı body sestroj´ıme stejnˇe. Ke konstrukci m˚uzˇ eme tak´e vyuˇz´ıt u´ bˇezˇ n´ık˚u pˇr´ımek rovnobˇezˇ n´ych s π.5 Sestroj´ıme napˇr´ıklad u´ bˇezˇ n´ıky 1 U , 2 U pˇr´ımek AB, BC a pˇri konstrukci perspektiv dalˇs´ıch bod˚u m˚uzˇ eme vyuˇz´ıt toho, zˇ e stˇredov´e pr˚umˇety navz´ajem rovnobˇezˇ n´ych pˇr´ımek maj´ı spoleˇcn´y u´ bˇezˇ n´ık.
1.2
Stopn´ıkov´a metoda
Dalˇs´ı nepˇr´ımou metodou je stopn´ıkov´a metoda. Opˇet vych´az´ıme z Mongeovy projekce, ovˇsem tentokr´at vol´ıme objekt vzhledem k soustavˇe souˇradnic tak, aby p˚udorys byl nad osou x a n´arys pod osou x. Objekt stoj´ı na z´akladn´ı rovinˇe 6 rovnobˇezˇ n´e s π.
Obr. 2 5 6
´ ezˇ n´ıky pˇr´ımek rovnobˇezˇ n´ych s π leˇz´ı na horizontu. Ubˇ Tentokr´at ji oznaˇc´ıme ξ.
4
Pr˚umˇetnu π ztotoˇzn´ıme s n´arysnou, perspektiva tedy tentokr´at splyne se sv´ym n´arysem. D´ale zvol´ıme oko S a horizont h, v´ysˇka perspektivy by opˇet mˇela odpov´ıdat v´ysˇce pozorovatele. Aby se nepˇrekr´yval n´arys objektu v Mongeovˇe projekci s perspektivou, posuneme n´arys ve smˇeru osy x a otoˇc´ıme do pr˚ucˇ eln´e polohy. N´arys a p˚udorys si sice neodpov´ıdaj´ı v Mongeovˇe projekci, ale pro konstrukce m´a n´arys jen pomocnou roli. P˚udorys objektu um´ıst´ıme tak, aby u´ bˇezˇ n´ık aspoˇn jednoho smˇeru leˇzel v n´akresnˇe. (Napˇr´ıklad u´ bˇezˇ n´ık a U pˇr´ımky a = AB.) Sestroj´ıme hlavn´ı bod a u´ bˇezˇ n´ıky nˇekter´ych vodorovn´ych pˇr´ımek. Sestroj´ıme perspektivu bodu A. Bod A leˇz´ı na vodorovn´e pˇr´ımce a, jej´ı n´arys je rovnobˇezˇ n´y s osou x. Urˇc´ıme n´arysn´y stopn´ık N a pˇr´ımky a. N a leˇz´ı v ν (tedy i v ρ) a spl´yv´a se stˇredov´ym pr˚umˇetem. Perspektiva as pˇr´ımky a je pˇr´ımka a U s N a . Na n´ı leˇz´ı perspektiva bodu A. Tu sestroj´ıme takto: Prom´ıtneme bod A z S do ρ, p˚udorys (As )1 perspektivy As leˇz´ı na ose x, a protoˇze n´arys perspektivy spl´yv´a s perspektivou leˇz´ı As na ordin´ale a na pˇr´ımce as . Dalˇs´ı body doplˇnujeme stejnˇe, pokud m´ame na n´akresnˇe u´ bˇezˇ n´ıky dalˇs´ıch pˇr´ımek, m˚uzˇ eme vyuˇz´ıt i jich.
1.3
Incidenˇcn´ı mˇerˇ´ıtko
Pro konstrukci sloˇzitˇejˇs´ıch p˚udorys˚u m˚uzˇ eme vyuˇz´ıt dalˇs´ı nepˇr´ımou metodu a to tzv. incidenˇcn´ı mˇerˇ´ıtko. Tato metoda vyuˇz´ıv´a Pappovy vˇety7 Objekt uzavˇreme do kv´adru a do jeho stˇen pravo´uhle objekt prom´ıtneme. Kv´adr je d´an n´arysem a bokorysem libovolnˇe v pr˚umˇetnˇe. Bod X objektu nejprve pravo´uhle prom´ıtneme do bodu 1 X leˇz´ıc´ıho ve stˇenˇe ABF E a do bodu II X leˇz´ıc´ıho ve stˇenˇe BCGF . Bod I X pravo´uhle prom´ıtneme do bodu X1 na pˇr´ımce AB a do bodu X2 na pˇr´ımce BF . Bod II X pravo´uhle prom´ıtneme do bodu X3 na pˇr´ımce BC. Sestroj´ıme perspektivu kv´adru pomoc´ı nˇekter´e n´am zat´ım zn´am´e metody. (V obr´azku nen´ı zn´azornˇeno.) Sestroj´ıme vhodnˇe pˇr´ımky A0 B 0 , B 00 F 00 , B 000 C 000 , kter´e jsou po ˇradˇe projektivn´ı s pˇr´ımkami AB, BF, BC, tak, aby platilo |A0 B 0 | = |As B s | atd. V´ıme, zˇ e projektivita je d´ana tˇremi odpov´ıdaj´ıc´ımi si p´ary bod˚u, sestroj´ıme proto jeˇstˇe perspektivy stˇred˚u P, R, Q u´ seˇcek AB, BF, BC. (Napˇr´ıklad pomoc´ı u´ hlopˇr´ıcˇ ek). M˚uzˇ eme sestrojit bod X 0 odpov´ıdaj´ıc´ı v dan´e projektivitˇe bodu X1 , bod X 00 odpov´ıdaj´ıc´ı bodu X2 i bod X 000 odpov´ıdaj´ıc´ı bodu X3 .8 Protoˇze plat´ı Pappova vˇeta, plat´ı |As X1s | = |A0 X 0 | atd. Na perspektivˇe hran kv´adru z´ısk´ame perspektivy bod˚u Xi . Body Xi jsme z´ıskali pravo´uhl´ym prom´ıt´an´ım bodu X do stˇen a hran kv´adru, a jelikoˇz zn´ame u´ bˇezˇ n´ıky hran m˚uzˇ eme sestrojit perspektivu bodu X. 7
Dvojpomˇer se stˇredov´ym prom´ıt´an´ım zachov´av´a. Projektivity v obr´azku jsou doplˇnov´any uˇzit´ım direkˇcn´ı osy, pr˚useˇc´ıky pˇr´ımek AB 0 a A0 B, BP 0 a B 0 P atd. leˇz´ı na direkˇcn´ı ose. 8
5
Obr. 3 Nepˇr´ım´e metody se pouˇz´ıvaj´ı pˇredevˇs´ım v pˇr´ıpadech, kdy zn´ame sdruˇzen´e pr˚umˇety objektu. Nezn´ame-li je podrobnˇe a chceme-li perspektivn´ı obraz pr˚ubˇezˇ nˇe doplˇnovat, opravovat apod., pouˇz´ıv´ame pˇr´ım´e metody.
6
Voln´a perspektiva (pˇr´ım´e metody)
2
Voln´a perspektiva vyuˇz´ıv´a stˇredov´eho prom´ıt´an´ı (pˇrizp˚usoben´emu podm´ınk´am 1, 2, 3) a jeho vlastnost´ı ke konstrukc´ım perspektiv objekt˚u. Nˇekter´e konstrukce stˇredov´eho prom´ıt´an´ı ˇ jsou pˇrizp˚usobeny. Casto je tˇreba nan´est u´ seˇcku dan´e d´elky na danou pˇr´ımku, vˇetˇsinou horizont´aln´ı nebo vertik´aln´ı. Ze stˇredov´eho prom´ıt´an´ı zn´ame konstrukci pro urˇcen´ı skuteˇcn´e velikosti u´ seˇcky, tuto konstrukci aplikujeme na line´arn´ı perspektivu. ´ ezˇ n´ıky vˇsech Nejprve urˇc´ıme skuteˇcnou velikost u´ seˇcky leˇz´ıc´ı v z´akladn´ı rovinˇe π. Ubˇ pˇr´ımek rovnobˇezˇ n´ych s π leˇz´ı na horizontu, stopn´ıky pˇr´ımek leˇz´ıc´ıch v π leˇz´ı na z´akladnici. Mohou nastat dva pˇr´ıpady. 1. Pˇr´ımka, na n´ızˇ u´ seˇcka leˇz´ı, je rovnobˇezˇ n´a se z´akladnic´ı z, tj. jej´ı u´ bˇezˇ n´ık a stopn´ık jsou nevlastn´ı. Jestliˇze je u´ seˇcka rovnobˇezˇ n´a se z´akladnic´ı, je rovnobˇezˇ n´a i s pr˚umˇetnou ρ, proto velikost pravo´uhl´eho pr˚umˇetu u´ seˇcky AB do ρ je skuteˇcnou velikost´ı u´ seˇcky AB. Pravo´uhle prom´ıtac´ı pˇr´ımky do ρ jsou hloubkov´e pˇr´ımky, jejich u´ bˇezˇ n´ık je hlavn´ı bod. Zˇrejmˇe, prom´ıtneme-li z H body As , B s na z´akladnici do bod˚u A2 , B2 , je u´ seˇcka A2 B2 pravo´uhl´ym pr˚umˇetem AB do ρ.9 Necht’ nyn´ı U je libovoln´y bod leˇz´ıc´ı na horizontu h. Prom´ıtneme-li z U body As , B s na z do bod˚u A0 , B 010 , je zˇrejm´e, zˇ e |A0 B 0 | = |A2 B2 | = |AB|.
Obr. 4 ´ cka AB leˇz´ı na pˇr´ımce, kter´a nen´ı rovnobˇezˇ n´a se z´akladnic´ı, jej´ı u´ bˇezˇ n´ık i stopn´ık 2. Useˇ jsou vlastn´ı body, oznaˇcme a U s u´ bˇezˇ n´ık pˇr´ımky a = AB a N a stopn´ık pˇr´ımky a vlastn´ı. Pouˇzijeme konstrukci ze stˇredov´eho prom´ıt´an´ı pomoc´ı dˇelic´ı kruˇznice, na n´ızˇ si zvol´ıme takov´y dˇelic´ı bod, kter´y leˇz´ı na horizontu. Perspektivu m´ame zad´anu nˇekter´ym z distanˇcn´ık˚u, pˇredpokl´adejme napˇr. doln´ım distanˇcn´ıkem Dd . Smˇerov´a pˇr´ımka a0 pˇr´ımky a leˇz´ı v obdorov´e rovinˇe, proto je stˇredov´y pr˚umˇet smˇerov´e pˇr´ımky a0 horizont. Sklop´ıme pˇr´ımku a0 , zn´ame-li Dd je (a0 ) =a U s Dd . Kruˇznice se sˇredem a U s a polomˇerem r = |aU s Dd | je dˇelic´ı kruˇznice. Zvol´ıme jeden jej´ı pr˚useˇc´ık s horizontem. 9 10
Pˇr´ımky HAs , HB s jsou perspektivy pravo´uhle prom´ıtac´ıch pˇr´ımek bod˚u A, B do roviny ρ. V prostoru to znamen´a, zˇ e prom´ıt´ame body A, B na z´akladnicemi pˇr´ımkami smˇeru U S kos´ymi k pr˚umˇetnˇe.
7
Oznaˇc´ıme jej Da a naz´yv´ame jej dˇel´ıc´ı bod pˇr´ımky a. Vol´ıme bod dˇel´ıc´ı kruˇznice na horizontu, protoˇze nyn´ı je spojnice bodu Da a a U s horizont, rovnobˇezˇ ka veden´a stopn´ıkem je z´akladnice. Prom´ıtneme-li z Da body As B s na z´akladnic´ı do bod˚u A0 B 0 je tedy |AB| = |A0 B 0 |.
Obr. 5 Pˇr´ıklad 1 Sestrojte cˇ tverec v z´akladn´ı rovinˇe π se stˇredem O a vrcholem A. Perspektiva je ˇ ste konstrukcemi stˇredov´eho prom´ıt´an´ı d´ana horizontem, z´akladnic´ı a doln´ım distanˇcn´ıkem. Reˇ otoˇcen´ım roviny π do pr˚umˇetny.
Obr. 6 8
ˇ sen´ı: Nejprve sestroj´ıme stˇred kolineace S0 – otoˇc´ıme smˇerovou roviny π 0 do pr˚umˇetny, S0 Reˇ zˇrejmˇe splyne s horn´ım, resp. doln´ım, distanˇcn´ıkem. Stopa roviny π je z´akladnice z, u´ bˇezˇ nice roviny π je horizont h, kolineace mezi perspektivami bod˚u a otoˇcen´ymi body je tedy d´ana stˇredem S0 , osou z, a u´ bˇezˇ nic´ı h. Sestroj´ıme obrazy A0 , O0 perspektiv As , Os v dan´e kolineaci. V otoˇcen´ı dopln´ıme na cˇ tverec a urˇc´ıme koline´arn´ı obrazy zb´yvaj´ıc´ıch bod˚u. Pˇr´ıklad 2 Sestrojte cˇ tverec v z´akladn´ı rovinˇe π se stˇredem O a vrcholem A. Perspektiva je ˇ ste metodami voln´e perspektivy. d´ana horizontem, z´akladnic´ı a doln´ım distanˇcn´ıkem. Reˇ ˇ sen´ı: Pˇr´ımka a = OA leˇz´ı v z´akladn´ı rovinˇe, jej´ı u´ bˇezˇ n´ık a U s je pr˚useˇc´ık as s h. Urˇc´ıme Reˇ dˇelic´ı bod pˇr´ımky a, z nˇej prom´ıtneme As a Os do bod˚u A0 a O0 na z´akladnici. Urˇcili jsme velikost poloviny u´ hlopˇr´ıcˇ ky, sestroj´ıme C 0 , z Da jej prom´ıtneme zpˇet na as do bodu C s . Pˇr´ımka b = OB je kolm´a na A, jej´ı u´ bˇezˇ n´ık urˇc´ıme sklopen´ım smˇerov´e roviny π 0 do pr˚umˇetny. Plat´ı, (a0 ) je kolm´a na (b0 ) a a0 =a U s Dd , b0 =b U a Dd . Na pˇr´ımce b sestroj´ıme stejnou konstrukc´ı body B, D tak, aby platilo |DO| = |BO| = |AO| = |CO|.
Obr. 7 Leˇz´ı-li u´ seˇcka na svisl´e pˇr´ımce, je rovnobˇezˇ n´a s pr˚umˇetnou a velikost u´ seˇcky je rovna velikosti pravo´uhl´eho pr˚umˇetu. Mˇejme d´anu u´ seˇcku AB leˇz´ıc´ı na svisl´e pˇr´ımce a. Pravo´uhl´e a stˇredov´e pr˚umˇety bod˚u leˇz´ı na ordin´ale. Pˇredpokl´adejme, zˇ e zn´ame, resp. sestroj´ıme, pr˚useˇc´ık P pˇr´ımky a se z´akladn´ı rovinou π. Pravo´uhl´y pr˚umˇet P2 bodu P pak leˇz´ı na z´akladnici a na ordin´ale (tj. na pˇr´ımce P s H). Protoˇze je pˇr´ımka a kolm´a k π , je pravo´uhl´y pr˚umˇet a2 rovnobˇezˇ n´y s perspektivou as . Urˇc´ıme A2 B2 a z´ıskali jsme skuteˇcnou velikost u´ seˇcky AB. Je zˇrejm´e, zˇ e pokud vybereme libovoln´y bod U na horizontu, z nˇej prom´ıtneme P do P 0 na z´akladnici, sestroj´ıme pˇr´ımku a0 rovnobˇezˇ nou s as a na ni prom´ıtneme z U perspektivy As , B s do bod˚u A0 , B 0 , pak plat´ı |AB| = |A2 B2 | = |A0 B 0 |. Jako v pˇr´ıpadˇe pˇr´ımky rovnobˇezˇ n´e se z´akladnic´ı jsme jen nahradili pravo´uh´e prom´ıt´an´ı do pr˚umˇetny koso´uhl´ym pr˚umˇetem.
9
Obr. 8 Pomoc´ı pˇredchoz´ıch konstrukc´ı m˚uzˇ eme urˇcit skuteˇcnou velikost u´ seˇcky AB leˇz´ıc´ı na obecn´e pˇr´ımce A.11 M´ame d´an perspektivn´ı pr˚umˇet as pˇr´ımky a a perspektivu p˚udorysu as1 . P˚udorys a1 leˇz´ı v π, takˇze pomoc´ı dˇelic´ıho bodu urˇc´ıme skuteˇcnou velikost u´ seˇcky A1 B1 , coˇz je pravo´uhl´y pr˚umˇet u´ seˇcky AB do π. D´ale urˇc´ıme velikost svisl´ych u´ seˇcek AA1 , BB1 (napˇr´ıklad prom´ıtnut´ım z bodu a U s ). Sestroj´ıme ve skuteˇcn´e velikosti lichobˇezˇ n´ık AA1 B1 B a z´ısk´ame tak skuteˇcnou velikost u´ seˇcky AB.
Obr. 9 11
V praxi se vˇsak vˇetˇsinou ve voln´e perspektivˇe nevyuˇz´ıv´a, vˇetˇsinou se sestrojuj´ı p˚udorysy v z´akladn´ı rovinˇe a pot´e se vyn´asˇej´ı v´ysˇky.
10
2.1
Redukce distance
Abychom pro perspektivn´ı obraz vyuˇzili co nejvˇetˇs´ı cˇ a´ st n´akresny, je tˇreba volit vˇetˇs´ı distanci a pak vych´az´ı distanˇcn´ıky i dˇel´ıc´ı body mimo n´akresnu. Tento probl´em ˇreˇs´ıme pomoc´ı tzv. redukce distance. V prostoru uvaˇzujeme stejnolehlost se stˇredem H a koeficientem k.12 V t´eto stejnolehlosti se stˇred prom´ıt´an´ı S zobraz´ı do bodu Sk bod A do bodu Ak a perspektiva As bodu A se zobraz´ı do Ask . Z vlastnost´ı stejnolehlosti je zˇrejm´e, zˇ e Ask je tak´e pr˚umˇet bodu Ak do pr˚umˇetny ρ z bodu Sk .
Obr. 10 T´eto metody vyuˇz´ıv´ame pˇredevˇs´ım pro konstrukci perspektiv p˚udorys˚u objekt˚u nebo pro konstrukci dˇel´ıc´ıch bod˚u a pomoc´ı nich pak konstrukci prov´ad´ıme v p˚uvodn´ı perspektivˇe. Pˇr´ıklad 3 Na pˇr´ımku a leˇz´ıc´ı v π naneste od bodu A u´ seˇcku dan´e velikosti v, u´ bˇezˇ n´ık a U s pˇr´ımky a leˇz´ı mimo n´akresnu.
Obr. 11 12
Aby metoda mˇela poˇzadovan´y efekt je k vˇetˇs´ı neˇz nula a menˇs´ı neˇz 1.
11
ˇ sen´ı: Zvol´ıme vhodnou stejnolehlost, napˇr. s koeficientem k = 1 , stˇred stejnolehlosti je H. Reˇ 3 Sestroj´ıme obraz dan´ych objekt˚u v t´eto stejnolehlosti – z´akladnici z 1 , pˇr´ımku a 1 . Pro pˇr´ımku 3 3 a 1 sestroj´ıme dˇel´ıc´ı bod a naneseme pomoc´ı nˇej na pˇr´ımku a 1 od bodu A 1 u´ seˇcku d´elky v 1 . 3 3 3 3 Jej´ı druh´y koncov´y bod B 1 zobraz´ıme ve stejnolehlosti do bodu B s na pˇr´ımku as , u´ seˇcka AB 3 m´a poˇzadovanou d´elku v. Pˇr´ıklad 4 Sestrojte perspektivu krychle, jej´ızˇ stˇena ABCD leˇz´ı v π, jsou-li d´any vrcholy A, B, perspektiva je d´ana horizontem, z´akladnic´ı a distanc´ı. ˇ sen´ı: Uˇzijeme napˇr´ıklad redukce s koeficientem k = 1 a urˇc´ıme horn´ı distanˇcn´ık Dh 14 . Pro Reˇ 4 pˇr´ımku a = AB zn´ame u´ bˇezˇ n´ık a U s , sestroj´ıme pˇr´ımku a 1 , jej´ı u´ bˇezˇ n´ık i dˇel´ıc´ı bod a body 4 A 1 , B 1 . Sklopen´ım obzorov´e roviny π 0 urˇc´ıme u´ bˇezˇ n´ık pˇr´ımky b 1 , kter´a proch´az´ı bodem A 1 4 4 4 4 a je kolm´a na pˇr´ımku a 1 . Na n´ı urˇc´ıme bod D 1 – vrchol podstavy. Sestroj´ıme pˇr´ımku b U s As 4 4 – je rovnobˇezˇ n´a s b U 1s As1 – a pˇr´ımku b U s B s – je rovnobˇezˇ n´a s b U 1s B s1 . Uˇzit´ım stejnolehlosti 4 4 4 4 sestroj´ıme bod Ds na as . Bod C je pr˚useˇc´ıkem pˇr´ımek DC a BC, pˇr´ımka DC je rovnobˇezˇ n´a s pˇr´ımkou AB – maj´ı tedy spoleˇcn´y u´ bˇezˇ n´ık. Uˇzit´ım redukce distance jsme sestrojili stˇenu krychle leˇz´ıc´ı v z´akladn´ı rovinˇe, hrany kolm´e k π sestroj´ıme uˇz v p˚uvodn´ı perspektivˇe. Hranu As E s prom´ıtneme napˇr´ıklad z bodu a U s do u´ seˇcky A0 E 0 – plat´ı |A0 E 0 | = 4|A01 B 01 |. Protoˇze 4 4 u´ bˇezˇ n´ık pˇr´ımky AD je nedostupn´y, je tˇreba jeˇstˇe nan´est velikost hrany krychle na nˇekterou dalˇs´ı svislou pˇr´ımku – napˇr´ıklad proch´azej´ıc´ı bodem C, na obr´azku 12 je sestrojen bod G, hrana CG se prom´ıt´a z pr˚useˇc´ıku perspektivy pˇr´ımky AC s horizontem.
Obr. 12 12
2.2
Metoda hloubkov´ych pˇr´ımek
Aplikujeme-li metodu redukce distance na hloubkov´e pˇr´ımky, konstrukce se zjednoduˇs´ı. Pˇredpokl´adejme, zˇ e a je hloubkov´a pˇr´ımka, N a jej´ı stopn´ık, A jej´ı dalˇs´ı bod. Perspektiva je d´ana horizontem, z´akladnic´ı a lev´ym distanˇcn´ıkem. Zvolme stejnolehlost se stˇredem H a koeficientem k. Dl se zobraz´ı do Dkl , perspektiva as proch´az´ı stˇredem stejnolehlosti, v dan´e stejnolehlosti je tedy slabˇe samodruˇzn´a. Sestrojme pˇr´ımku Dkl As a oznaˇcme A0k jej´ı pr˚useˇc´ık se z´akladnic´ı. Oznaˇc´ıme-li A0 pr˚useˇc´ık Dl As se z´akladnic´ı, urˇcuje u´ seˇcka N a A0 skuteˇcnou velikost u´ seˇcky N a A. Plat´ı 4N a A0k As ∼ 4HDkl As a 4N a A0 As ∼ 4HDl As , tedy |HDl | = k|HDkl |, a proto tak´e |N a A0 | = k|N a A0k |. Na hloubkovou pˇr´ımku lze tedy u´ seˇcku dan´e d´elky nan´asˇet z redukovan´eho distanˇcn´ıku. Chceme-li u´ seˇcku d´elky v od dan´eho bodu A, prom´ıtneme As z redukovan´eho distanˇcn´ıku do A0k na z´akladnici, naneseme u´ seˇcku d´elky vk a koncov´y bod prom´ıtneme zpˇet.
Obr. 13 Z uveden´eho zjednoduˇsen´ı pro hloubkov´e pˇr´ımky je pak uvedena dalˇs´ı metoda pro nan´asˇen´ı u´ seˇcky dan´e d´elky na pˇr´ımku leˇz´ıc´ı v z´akladn´ı rovinˇe, tzv. metoda hloubkov´ych pˇr´ımek. Necht’ p je pˇr´ımka leˇz´ıc´ı v π, A, B dva jej´ı body. Body A, B vedeme hloubkov´e pˇr´ımky a, b a sestroj´ıme perspektivy pˇr´ımek i bod˚u. Oznaˇcme p0 smˇerovou pˇr´ımku pˇr´ımky p, p U s u´ bˇezˇ n´ık pˇr´ımky p, N a , N b po ˇradˇe stopn´ıky pˇr´ımek a, b. Plat´ı 4N p N a A ∼ 4N p N b B ∼ 4p U s HS.
13
Obr. 14 Perspektivu mˇejme d´anu horizontem, z´akladnic´ı a doln´ım distanˇcn´ıkem. Plat´ı |p U s S| = |p U s Dd |, z podobnosti troj´uheln´ık˚u zˇrejmˇe |AB| : |N a N b | = |p U s S| : |p U s H| a tedy tak´e |AB| : |N a N b | = |p U s Dd | : |p U s H|. Sestroj´ıme troj´uheln´ık HRQ podobn´y troj´uheln´ıku H p U s Dd tak, aby platilo |N a N b | = |HR|. Pak tak´e bude platit |RQ| = |AB|. Zn´ame-li body A, B a hled´ame skuteˇcnou velikost u´ seˇcky AB je konstrukce troj´uheln´ıku HRQ trivi´aln´ı, nan´asˇ´ıme-li od bodu A u´ seˇcku dan´e d´elky v, mus´ıme sestrojit pravo´uhl´y troj´uheln´ık HRQ, zn´ame-li prav´y u´ hel a velikost pˇrepony.
Obr. 15
2.3
˚ Perspektiva sloˇzitˇejˇs´ıch pudorys u˚
Pro sloˇzitˇejˇs´ı p˚udorysy jsou nˇekdy uveden´e metody pˇr´ıliˇs n´aroˇcn´e, proto se pouˇz´ıv´a tzv. gratikol´azˇ. P˚udorys pokryjeme dostateˇcnˇe hustou cˇ tvercovou s´ıt´ı a sestroj´ıme perspektiva t´eto s´ıtˇe. Perspektiva p˚udorysu se pak urˇcuje bodovˇe. Body p˚udorysu m˚uzˇ eme prom´ıtat napˇr´ıklad hloubkov´ymi pˇr´ımkami na pr˚ucˇ eln´e pˇr´ımky s´ıtˇe (bod A), prom´ıtnut´ım pr˚ucˇ elnou pˇr´ımkou na hloubkovou pˇr´ımku, pˇr´ıpadnˇe prom´ıtnut´ım na u´ hlopˇr´ıcˇ ku cˇ tverce s´ıtˇe a pot´e hloubkovou pˇr´ımkou na pr˚ucˇ elnou pˇr´ımku (bod B), nebo kombinac´ı tˇechto metod.
Obr. 16 14
2.4
Osvˇetlen´ı a zrcadlen´ı v perspektivˇe
Pro zvˇetˇsen´ı n´azornosti perspektivn´ıho obrazu pouˇz´ıv´ame rovnobˇezˇ n´eho osvˇetlen´ı (nejˇcastˇeji sestrojujeme vrˇzen´y st´ın do z´akladn´ı roviny) nebo zrcadlen´ı. Uvaˇzujme rovnobˇezˇ n´e osvˇetlen´ı, kter´e je d´ano smˇerem s a sestrojme pravo´uhl´y pr˚umˇet s1 ´ ezˇ n´ıky pˇr´ımek smˇer˚u s a s1 po ˇradˇe oznaˇc´ıme Rs a R1s . Je smˇeru s do z´akladn´ı roviny π. Ubˇ zˇrejm´e, zˇ e R1s leˇz´ı na horizontu a pˇr´ımka Rs R1s je kolm´a na h. Sestrojujeme-li vrˇzen´y st´ın A0 bodu A do π, vedeme bodem A pˇr´ımku smˇeru s a urˇc´ıme jej´ı pr˚useˇc´ık s π, tzn., zˇ e A0 je 0 pr˚useˇc´ık pˇr´ımek smˇer˚u s a s1 veden´ych body A a A1 . Pro perspektivn´ı pr˚umˇety je tedy A s pr˚useˇc´ık pˇr´ımek As Rs a As1 R1s .
Obr. 17 Na obr´azku 18 je sestrojeno osvˇetlen´ı jednoduch´eho u´ tvaru, mez st´ınu vrˇzen´eho u´ tvarem na sebe se, jako vˇzdy, urˇc´ı pomoc´ı zpˇetn´ych paprsk˚u. Konstrukce je obdobn´a jako u rovnobˇezˇ n´ych projekc´ı, pouze navz´ajem rovnobˇezˇ n´e pˇr´ımky proch´az´ı jedn´ım u´ bˇezˇ n´ıkem.
15
Obr. 18 Zrcadlen´ı v rovinn´em zrcadle nebo ve vodn´ı hladinˇe je vlastnˇe konstrukce u´ tvaru v rovinov´e soumˇernosti podle roviny zrcadla cˇ i vodn´ı hladiny. Nejˇcastˇeji se pro zv´ysˇen´ı n´azornosti pouˇz´ıv´a zrcadlen´ı podle vodorovn´e roviny – vodn´ı hladina, nebo svisl´e roviny – zrcadlo. Vyuˇz´ıv´ame zn´am´e vlastnosti svˇeteln´ych paprsk˚u, u´ hel dopadu paprsk˚u jdouc´ıch od pˇredmˇetu do oka se rovn´a u´ hlu odrazu paprsku od roviny zrcadlen´ı, tedy kromˇe bodu A vid´ıme z oka S tak´e bod Az soumˇernˇe sdruˇzen´y s bodem A podle roviny zrcadla. Pokud je rovina zrcadla vodorovn´a, jsou kolmice na tuto rovinu svisl´e a zrcadlen´e obrazy bod˚u se v tomto pˇr´ıpadˇe sestrojuj´ı pˇr´ım´ym pˇren´asˇen´ım d´elek u´ seˇcek, tj. plat´ı |AA1 | = |A1 Az |, |As As1 | = |As1 Asz |. Oznaˇc´ıme-li Sz bod soumˇernˇe sdruˇzen´y s okem S podle roviny zrcadla a P pr˚useˇc´ık pˇr´ımky ASz s rovinou zrcadla, pak perspektivn´ı pr˚umˇet P s bodu P spl´yv´a s perspektivn´ım pr˚umˇetem Asz zrcadlen´eho bodu Az . Na obr. 19 je zobrazen kv´adr stoj´ıc´ı na π a jeho zrcadlen´ı ve vodn´ı hladinˇe (ˇca´ st roviny). Zobrazujeme jen viditeln´e cˇ a´ sti. Pokud rovina zrcadla nen´ı kolm´a na pr˚umˇetnu, mus´ıme jiˇz zn´am´ymi konstrukcemi sestrojit u´ bˇezˇ n´ık kolmic na rovinu zrcadla a sestrojit zrcadlen´y obraz, tj. nal´ezt na komici k zrcadlu jdouc´ı bodem A takov´y bod Az , pro nˇejˇz plat´ı |AA1 | = |A1 Az |, kde A1 je pr˚useˇc´ık kolmice se zrcadlem.
16
Obr. 19
3
˚ celn´a perspektiva Pruˇ
Mˇejme d´an objekt, jehoˇz perspektivu chceme sestrojit a zvolme pravo´uhl´y souˇradnicov´y syst´em s osami 1 x, 2 x, 3 x, kter´e jsou rovnobˇezˇ n´e s hranami dan´eho objektu. (Dan´y objekt m˚uzˇ eme tak´e, podobnˇe jako pˇri pouˇzit´ı incidenˇcn´ıho mˇeˇr´ıtka, obalit vhodn´ym kv´adrem, souˇradnicov´e osy pak budou spl´yvat s hranami kv´adru.) Perspektiva je d´ana horizontem, z´akladnic´ı a nˇekter´ym z distanˇcn´ık˚u. Osy oznaˇcme tak, aby 1 x, 2 x leˇzely v z´akladn´ı rovinˇe. Takto zvolen´y souˇradnicov´y syst´em naz´yv´ame pˇridruˇzen´y k dan´emu objektu. Protoˇze pr˚umˇetna ρ je zat´ım volena tak, aby byla kolm´a k z´akladn´ı rovinˇe , je osa 3 x rovnobˇezˇ n´a s ρ. Je-li s pr˚umˇetnou ρ rovnobˇezˇ n´a i dalˇs´ı z os (napˇr. 1 x), pak je objekt v pr˚ucˇ eln´e poloze a zobrazujeme jej v tzv. pr˚ucˇ eln´e perspektivˇe. Pouze osa 2 x m´a vlastn´ı u´ bˇezˇ n´ık (je hloubkov´a pˇr´ımka, u´ bˇezˇ n´ık je H), proto je tato perspektiva tak´e naz´yv´ana jedno´ubˇezˇn´ıkov´a. Souˇradn´y syst´em vytvoˇr´ı cˇ tvercov´e s´ıtˇe, sestroj´ıme perspektivu nˇekter´ych tˇechto s´ıt´ı. Pr˚ucˇ eln´a perspektiva se pouˇz´ıv´a nejˇcastˇeji pro zobrazov´an´ı interi´er˚u v bytov´e architektuˇre, sestrojujeme s´ıtˇe ve tˇrech vhodn´ych rovin´ach (podlaha a dvˇe protˇejˇs´ı stˇeny kolm´e k ρ.) Mˇejme d´anu perspektivu z´akladnic´ı, horizontem, hlavn´ım bodem a napˇr´ıklad lev´ym distnˇcn´ıkem. Osu 1 x ztotoˇzn´ıme se z´akladnic´ı z (leˇz´ı v ρ, jednotky na ni nan´asˇ´ıme ve skuteˇcn´e velikosti), osu 3 x vedeme libovoln´ym vhodnˇe zvolen´ym bodem P na z´akladnici (leˇz´ı rovnˇezˇ v ρ, jednotky ve skuteˇcn´e velikosti.) Osa 2 x je hloubkov´a pˇr´ımka, jej´ı perspektiva je pˇr´ımka P H. (Jednotky na ni nan´asˇ´ıme pomoc´ı lev´eho nebo prav´eho distanˇcn´ıku.) Sestroj´ıme s´ıtˇe (jednotkami na os´ach vedeme rovnobˇezˇ ky se zb´yvaj´ıc´ımi osami) a s vyuˇzit´ım s´ıt´ı zakresl´ıme interi´er.
17
Obr. 20
4
N´aroˇzn´ı perspektiva
Zobrazovan´emu objektu opˇet pˇriˇrad´ıme pˇridruˇzen´y souˇradnicov´y syst´em tak, aby osa 3 x byla rovnobˇezˇ n´a s pr˚umˇetnou ρ. Osy 1 x a 2 x leˇz´ı v π, ovˇsem zˇ a´ dn´a nen´ı rovnobˇezˇ n´a s ρ. Objekt je v n´aroˇzn´ı poloze a zobrazujeme jej v tzv. n´aroˇzn´ı perspektivˇe. Protoˇze osy 1 x a 2 x maj´ı u´ bˇezˇ n´ıky 1 U , 1 U naz´yv´ame nˇekdy tuto perspektivu dvoj´ubˇezˇn´ıkov´a. Zobrazujeme opˇet cˇ tvercov´e s´ıtˇe vhodn´ych rovin a pomoc´ı nich sestrojujeme perspektivu objektu. Perspektiva je zad´ana z´akladnic´ı, horizontem, hlvn´ım bodem a napˇr´ıklad doln´ım distanˇcn´ıkem. N´aroˇzn´ı perspektiva se pouˇz´ıv´a pˇredevˇs´ım pro zobrazov´an´ı budov, ulic, komunikac´ı apod. (rozs´ahlejˇs´ı objekty).
Obr. 21 18
Protoˇze pozorovatel a objekt stoj´ı na z´akladn´ı rovinˇe, p˚udorys objektu je vidˇet pod mal´ym u´ hlem a tedy velmi zkreslenˇe a pˇri konstrukc´ıch m˚uzˇ e doch´azet k vˇetˇs´ım nepˇresnostem. Pro konstrukci cˇ tvercov´e s´ıtˇe v p˚udorysu (a t´ım i cel´eho p˚udorysu) pouˇz´ıv´ame tzv. sn´ızˇen´eho (sklepn´ıho) p˚udorysu. Zvol´ıme pomocnou rovinu 1 π rovnobˇezˇ nou s π (”pod”rovinou π) a p˚udorys pravo´uhle prom´ıtneme do 1 π. Je zˇrejm´e, zˇ e perspektiva p˚uvodn´ıho p˚udorysu a sn´ızˇ en´eho p˚udorysu si odpov´ıdaj´ı v pravo´uhl´e afinitˇe s osou h. Pˇri konstrukci perspektivy objektu sestroj´ıme perspektivu sn´ızˇ en´eho p˚udorysu (ˇctvercovou s´ıt’) a d´ale cˇ tvercov´e s´ıtˇe dan´e napˇr. rovinami (1 x3 x) a (2 x3 x). Zvol´ıme bod P na z´akladnici a sestroj´ıme osu 3 x proch´azej´ıc´ı P . (Jednotky na n´ı budou opˇet ve skuteˇcn´e velikosti) Osy 1 xx a 2 x budou proch´azet bodem P , jejich perspektivy budou pˇr´ımky P 1U , P 2U , kde 1 U , 2 U jsou u´ bˇezˇ n´ıky os 1 x, 2 x. Oba leˇz´ı na horizontu a nelze je samozˇrejmˇe volit oba libovolnˇe. Jeden zvol´ıme, druh´y sestroj´ıme pomoc´ı sklopen´ı obzorov´e roviny. Jednotky na os´ach 1 x, 2 x sestroˇ jujeme s pomoc´ı jejich dˇelic´ıch bod˚u D1 , D2 . Ctvercovou s´ıt’ sklepn´ıho p˚udorysu m˚uzˇ eme 1 sestrojit bud’ tak, zˇ e sestroj´ıme na ose x jednotky (pomoc´ı dˇelic´ıho bodu D1 , prom´ıt´an´ım na z) a ty afinnˇe zobraz´ıme na 1 x0 , nebo lze z bodu D1 prom´ıtnout pˇr´ımo na 1 x0 jednotky ze z 0 . Z vlastnost´ı afinity je zˇrejm´e, zˇ e dost´av´ame tyt´ezˇ body.
Obr. 22
19
5
Perspektiva kruˇznice
Ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı se kruˇznice, kter´a neleˇz´ı ve stˇredovˇe prom´ıtac´ı rovinˇe, zobraz´ı jako regul´arn´ı kuˇzeloseˇcka. Stˇredov´y pr˚umˇet kruˇznice k je ˇrez kuˇzele, jehoˇrzˇ vrchol je S a ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice k, pr˚umˇetnou. V line´arn´ı perspektivˇe poˇzadujeme, aby zobrazovan´e objekty leˇzely v zorn´em poli, tj. uvnitˇr zorn´eho kuˇzele. Prom´ıtac´ı kuˇzel kruˇznice k leˇz´ı uvnitˇr zorn´eho kuˇzele a jeho ˇrez rovinou ρ (pr˚umˇetna) je elipsa, pˇr´ıp. kruˇznice. Kruˇznici v obecn´e poloze lze zobrazit stejnˇe jako ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı, otoˇcen´ım roviny kruˇznice do pr˚umˇetny a uˇzit´ım kolineace. V line´arn´ı perspektivˇe se nejˇcastˇeji zobrazuj´ı kruˇznice ve vodorovn´e nebo svisl´e poloze, pro tyto pˇr´ıpady uk´azˇ eme dalˇs´ı konstrukci perspektivy kruˇznice. Kruˇznici k op´ısˇeme dva cˇ tverce ABCD a M P QR tak, aby jejich body dotyku (ozn. je 1, 2, ..., 8) tvoˇrily pravideln´y osmi´uheln´ık.
Obr. 23 Nejprve zobraz´ıme kruˇznici ve vodorovn´e rovinˇe, napˇr. v z´akladn´ı rovinˇe. Mˇejme d´an stˇred O kruˇznice k a polomˇer r. Perspektiva je opˇet zad´ana horizontem, z´akladnic´ı a nˇekter´ym distanˇcn´ıkem.
Obr. 24
20
Opsan´e cˇ tverce sestroj´ıme tak, aby strana AB byla rovnobˇezˇ n´a se z´akladnic´ı. Sestroj´ıme perspektivy obou cˇ tverc˚u a do nich vep´ısˇeme elipsu (Zn´ame pro ni osm teˇcen s body dotyku.) Strany nebo u´ hlopˇr´ıcˇ ky zvolen´ych cˇ tverc˚u jsou bud’ pr˚ucˇ eln´e nebo hloubkov´e pˇr´ımky, u´ seˇcky dan´e d´elky od bodu O na nˇe nan´asˇ´ıme podle zn´am´ych konstrukc´ı. Ve svisl´e rovinˇe se vˇetˇsinou nezobrazuj´ı cel´e kruˇznice, pouze jejich cˇ a´ sti (napˇr. ozdobn´e sˇt´ıty dom˚u). Zobraz´ıme p˚ulkruˇznici ve svisl´e rovinˇe σ, kter´a bude d´ana stopou a u´ bˇezˇ nic´ı. Protoˇze je σ kolm´a k π, je stopa i u´ bˇezˇ nice kolm´a k h. (Perspektiva je zad´ana stejnˇe jako ˇ v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe.) Ctverce dan´e kruˇznici op´ısˇeme tentokr´at tak, aby strana CD byla rovnobˇezˇ n´a s π. Kruˇznice je d´ana stˇredem O (neleˇz´ı v π) a polomˇerem. Pˇr´ımka p = P R proch´az´ı O a je rovnobˇezˇ n´a s π. Prom´ıtneme p pravo´uhle do roviny π, pravo´uhl´y pr˚umˇet ´ cky dan´e d´elky nan´asˇ´ıme na pˇr´ımku leˇz´ıc´ı v π, tedy na p1 a prom´ıt´ame zpˇet oznaˇc´ıme p1 . Useˇ na p. Zn´am´ymi konstrukcemi sestroj´ıme perspektivy cˇ tverc˚u a vep´ısˇeme elipsy.
Obr. 25 Kruˇznici lze sestrojit tak´e uˇzit´ım otoˇcen´ı roviny σ kruˇznice do pr˚umˇetny ρ, nˇekter´e konstrukce se zjednoduˇs´ı d´ıky tomu, zˇ e rovina σ je svisl´a. Otoˇcen´e vodorovn´e pˇr´ımky jsou rovnobˇezˇ n´e se z´akladnic´ı, zjist´ıme vzd´alenost bodu O od n´arysn´e stopy (osa kolineace) a sestroj´ıme na p0 bod O0 . Vzd´alenost opˇet zjiˇst’ujeme na pˇr´ımce p1 . Sestroj´ıme otoˇcenou p˚ulkruˇznici a perspektivu nˇekter´e dalˇs´ı svisl´e pˇr´ımky, napˇr. proch´azej´ıc´ı bodem D. Na p1 naneseme vzd´alenost t´eto svisl´e pˇr´ımky od n´arysn´e stopy roviny σ. Perspektivy vodorovn´ych pˇr´ımek maj´ı spoleˇcn´y u´ bˇezˇ n´ık, m˚uzˇ eme sestrojit Ds C s , 7s 6s , odpov´ıdaj´ıc´ı si pˇr´ımky se samozˇrejmˇe prot´ınaj´ı na ose kolineace. Bod D leˇz´ı na svisl´e pˇr´ımce, jej´ızˇ vzd´alenost od n´arysn´e stopy urˇc´ıme v otoˇcen´ı, sestroj´ıme perspektivu svisl´e pˇr´ımky. D´ale napˇr. bod 3 je pr˚useˇc´ık vodorovn´e pˇr´ımky CD a svisl´e pˇr´ımky jdouc´ı bodem O. M˚uzˇ eme sestrojit napˇr. bod Q, 21
jako pr˚useˇc´ık vodorovn´e a svisl´e pˇr´ımky, zn´ame pr˚useˇc´ık pˇr´ımky Q0 R0 s osou kolineace, sestroj´ıme perspektivu pˇr´ımky QR atd.
Obr. 26
6
Perspektivn´ı axonometrie
Pˇri konstrukci perspektivy rozs´ahlejˇs´ıch komplex˚u budov, n´amˇest´ı, objekt˚u s n´advoˇr´ım apod., metodami dosud pouˇz´ıvan´ymi, se jednotliv´e cˇ a´ sti pˇrekr´yvaj´ı a v´ysledn´y obr´azek nen´ı n´azorn´y, nevid´ıme vˇse, co potˇrebujeme. Abychom dostali n´azornˇejˇs´ı obr´azky, zvol´ıme tentokr´at pr˚umˇetnu ρ sˇikmou. Objekt bude opˇet st´at na z´akladn´ı rovinˇe π a pˇriˇrad´ıme mu pˇridruˇzen´y souˇradnicov´y syst´em stejnˇe jako v pr˚ucˇ eln´e a n´aroˇzn´ı perspektivˇe. Na obr. 27 je volen poˇca´ tek P pˇridruˇzen´eho souˇradnicov´eho syst´emu v π, osy 1 x a 2 x leˇz´ı rovnˇezˇ v π a zˇ a´ dn´a z os nen´ı tentokr´at rovnobˇezˇ n´a s pr˚umˇetnou. Oznaˇcme i N stopn´ıky os i x a i Us u´ bˇezˇ n´ıky os i x. Vzhledem k tomu, zˇ e pr˚umˇetna nen´ı svisl´a, neleˇz´ı hlavn´ı bod na horizontu, horizont je pr˚useˇc´ık obzorov´e roviny s ρ, tj. h =1 Us2 Us . Troj´uheln´ık 1 N 2 N 3 N naz´yv´ame stopn´ıkov´y troj´uheln´ık a troj´uheln´ık 1 s2 s3 s U U U se naz´yv´a u´ beˇzn´ıkov´y troj´uheln´ık. Z ortogon´aln´ı axonometrie v´ıme, zˇ e troj´uheln´ık 1 2 3 N N N je ostro´uhl´y a pr˚useˇc´ık v´ysˇek je pravo´uhl´y pr˚umˇet poˇca´ tku do pr˚umˇetny, tj. P2 . Smˇerov´e pˇr´ımky os i x prot´ınaj´ı pr˚umˇetnu v u´ bˇezˇ n´ıc´ıch, opˇet troj´uheln´ık 1 Us2 Us3 Us je ostro´uhl´y a pr˚useˇc´ık jeho v´ysˇek je pravo´uhl´y pr˚umˇet pr˚useˇc´ıku pˇr´ımek i x0 , tj. hlavn´ı bod. Protoˇze i x jsou rovnobˇezˇ n´e s i x0 jsou odpov´ıdaj´ıc´ı si strany stopn´ıkov´eho a u´ bˇezˇ n´ıkov´eho troj´uheln´ıku rovnobˇezˇ n´e, tzn., zˇ e si odpov´ıdaj´ı v nˇejak´e homotetii. Protoˇze spojnice odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚u proch´az´ı stˇredem homotetie je stˇredov´y pr˚umˇet P s poˇca´ tku P stˇredem homotetie. (Stˇred homotetie m˚uzˇ e b´yt i nevlastn´ı, tak by si ovˇsem troj´uheln´ıky odpov´ıdaly 22
v posunut´ı, stˇredov´y pr˚umˇet poˇca´ tku by byl nevlastn´ı, coˇz by znamenalo, zˇ e leˇz´ı v centr´aln´ı rovinˇe a tedy mimo zorn´y kuˇzel. Pokud by P = S, pak by troj´uheln´ıky splynuly, pr˚umˇetem os by byly body a bod P by opˇet neleˇzel uvnitˇr zorn´eho kuˇzele. Stˇred homotetie je tedy vlastn´ı, coˇz znamen´a, zˇ e troj´uheln´ıky si odpov´ıdaj´ı ve stejnolehlosti se stˇredem P s .) Osy prot´ınaj´ı pr˚umˇetnu ve tˇrech bodech, proto se tato perspektiva naz´yv´a bud’ troj´ubeˇzn´ıkov´a perspektiva nebo tak´e perspektivn´ı axonometrie.
Obr. 27 Sestroj´ıme perspektivu pˇridruˇzen´eho souˇradnicov´eho syst´emu. Zvolme si v n´akresnˇe (ztotoˇzn´ıme ji s pr˚umˇetnou ρ dva stejnolehl´e troj´uheln´ıky 1 N 2 N 3 N , 1 Us2 Us3 Us . Pr˚useˇc´ık v´ysˇek v u´ bˇezˇ n´ıkov´em troj´uheln´ıku je hlavn´ı bod, jeho vzd´alenost od pr˚umˇetny je distance. Tu urˇc´ıme stejnˇe jako v ortogon´aln´ı axonometrii, napˇr´ıklad sklopen´ım pravo´uhle prom´ıtac´ı roviny pˇr´ımky 3 x0 . Zn´ame distanci, sestroj´ıme distanˇcn´ı kruˇznici kd . Pr˚useˇc´ık pˇr´ımek 1 x= 1 N 1 Us , 2 x=2 N 2 Us s a 3 x=3 N 3 Us (stˇred stejnolehlosti) je bod P s . Naneseme jednotky na jednotliv´e osy a sestroj´ıme cˇ tvercovou s´ıt’. Jednotky nan´asˇ´ıme uˇzit´ım dˇelic´ı kruˇznice. (Napˇr´ıklad pro osu 1 x, sklop´ıme jej´ı smˇerovou pˇr´ımky 1 x0 do pr˚umˇetny a dˇelic´ı kruˇznice je kruˇznice se stˇredem 1 Us a polomˇerem 1 Us [S]). Pomoc´ı cˇ tvercov´e s´ıtˇe sestroj´ıme perspektivu podobnˇe jako v pr˚ucˇ eln´e cˇ i n´aroˇzn´ı perspektivˇe. Uk´azali jsme, zˇ e zad´an´ım stopn´ıkov´eho a u´ bˇezˇ n´ıkov´eho troj´uheln´ıku je perspektivn´ı axonometrie jednoznaˇcnˇe urˇcena.
23
Obr. 28
24
