Statistika pro geografy Rozdělení četností
DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc tř. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc
Pojmy n
Četnost = počet prvků se stejnou hodnotou statistického znaku - rozdělení četností NEBO = počet prvků s hodnotami znaku patřícími do určitého intervalu (třídy) – skupinové rozdělení četností
Pojmy n
Intervaly = vzniknou roztříděním statistického souboru podle určitých pravidel: n n n n
n
každý interval je určen horní a dolní hranicí jsou vymezeny tak, aby šel každý prvek jednoznačně zařadit intervaly se nesmí překrývat šířka intervalů by měla by měla být stejná (pro snadnější výpočty) počet intervalů volit optimálně (ani málo, ani příliš)
n
Někdy je problematické určit optimální počet intervalů a jejich šířku. Na pomoc si můžeme vzít následující algoritmus: ¨
určíme „R“ jako rozdíl mezi maximální a minimální hodnotou (jedná se o variační rozpětí) sledovaného souboru, tzn. R = xmin – xmax
¨
výpočet počtu intervalů (tříd) – označme „k“ – rozdělíme na tři případy n n n
je-li rozsah souboru n > 100, pak k = 10 . log n je-li rozsah souboru 40
Pojmy n
Hranice intervalu ¨
n
Délka (rozpětí) intervalu ¨
n
Neboli mez intervalu, ať už horní, nebo dolní, určuje, které hodnoty do intervalu patří.
Je rozdíl (kladný) dvou po sobě následujících dolních (nebo horních) hranic intervalů.
Střed intervalu ¨
Jedná se o důležitou hodnotu, která při výpočtech z intervalového rozdělení četností zastupuje příslušný interval. Střed intervalu spočítáme jako aritmetický průměr horní a dolní hranice intervalu, neboli: (a+b)/2, kde a, b je dolní (horní) hranice intervalu.
Typologie intervalů n
a) uzavřený interval
…… množina všech x, pro která platí: a <(=) x <(=) b
n
b) otevřený interval (a,b)
…… množina všech x, pro která platí: a<x
n
c) uzavřený interval zleva
n
d) uzavřený interval zprava (a,b> …… množina všech x, pro která platí: a < x < (=) b
Pojmy n
Absolutní četnost = četnost vyjádřená v absolutních hodnotách
Pojmy n
Relativní četnost = četnost vyjádřená v relativních hodnotách
tj. podílem jednotlivých absolutních četností na rozsahu souboru (des. číslem, v %):
Pojmy n
Kumulovaná četnost (absolutní i relativní) = udává úhrnnou četnost statistických jednotek s hodnotami znaku menšími, nebo rovnými hodnotě znaku nebo horní hranici intervalu, při seřazení hodnot nebo intervalů podle pořadí neklesajících hodnot znaku
Příklad Pro uvedený statistický soubor sestavte intervalové (skupinové) rozdělení četností a graficky ho znázorněte. Tab.: Průměrné hrubé míry porodnosti ve 44 obcích SO ORP Prachatice (za období 2001-2004). 13,2
5,4
9,4
9,7
10,4
18,5
0,0
8,7
8,4
10,3
10,1
9,7
15,4
17,2
0,0
11,6
11,6
11,7
10,8
13,4
11,1
11,5
0,0
13,7
10,9
9,5
11,1
5,8
8,7
15,6
11,6
10,7
8,5
5,4
9,4
11,5
0,0
9,6
9,8
13,2
20,8
7,9
16,5
7,2
n
Hodnoty seřadíme vzestupně:
0,0
0,0
0,0
0,0
5,4
5,4
5,8
7,2
7,9
8,4
8,5
8,7
8,7
9,4
9,4
9,5
9,6
9,7
9,7
9,8
10,1
10,3
10,4
10,7
10,8
10,9
11,1
11,1
11,5
11,5
11,6
11,6
11,6
11,7
13,2
13,2
13,4
13,7
15,4
15,6
16,5
17,2
18,5
20,8
n
Minimální hodnota:
0,0
n
Maximální hodnota:
20,8
n
Určíme R (jako rozdíl mezi maximální a minimální hodnotou): n
n
Pro výpočet počtu intervalů zvolíme druhé kritérium (rozsah našeho souboru je 44, tzn. je-li rozsah souboru 40
n
20,8 – 0,0 = 20,8
k = 2 . √44 = 13
Šířka intervalů je určena jako h = R/k, tedy h = 20,8/13 = 1,6
n
Sestrojíme tabulku četností: Intervaly
xs
ni
fi
Ni
Fi
(0,0 - 1,6ñ
0,8
4
0,09
4
0,09
(1,6 - 3,2ñ
2,4
0
0,00
4
0,09
(3,2 - 4,8ñ
4,0
0
0,00
4
0,09
(4,8 - 6,4ñ
5,6
3
0,07
7
0,16
(6,4 - 8,0ñ
7,2
2
0,05
9
0,20
(8,0 - 9,6ñ
8,8
8
0,18
17
0,39
(9,6 - 11,2ñ
10,4
11
0,25
28
0,64
(11,2 - 12,8ñ
12,0
6
0,14
34
0,77
(12,8 - 14,4ñ
13,6
4
0,09
38
0,86
(14,4 - 16,0ñ
15,2
2
0,05
40
0,91
(16,0 - 17,6ñ
16,8
2
0,05
42
0,95
(17,6 - 19,2ñ
18,4
1
0,02
43
0,98
(19,2 - 20,8ñ
20,0
1
0,02
44
1,00
44
1,00
Celkem
ni
Histogram (absolutní hodnoty)
12
11
10
8 8
6 6
4
4
4
3 2
2
2
2 1
0
0
1,6 - 3,2
3,2 - 4,8
1
0 0,0 - 1,6
4,8 - 6,4
6,4 - 8,0
8,0 - 9,6
9,6 - 11,2
11,2 - 12,8 12,8 - 14,4 14,4 - 16,0 16,0 - 17,6 17,6 - 19,2 19,2 - 20,8
intervaly hmp
fi
Histogram (relativní hodnoty)
0,30 0,25 0,25 0,20
0,18 0,14
0,15 0,10
0,09
0,09 0,07 0,05
0,05 0,00
0,00
2,4
4,0
0,05
0,05 0,02
0,02
18,4
20,0
0,00 0,8
5,6
7,2
8,8
10,4
12,0
hmp (středy intervalů)
13,6
15,2
16,8
Polygon četností (absolutní hodnoty)
ni 12
10
8
6
4
2
0 0,0 - 1,6
1,6 - 3,2
3,2 - 4,8
4,8 - 6,4
6,4 - 8,0
8,0 - 9,6
9,6 - 11,2
11,2 - 12,8
intervaly hmp
12,8 - 14,4
14,4 - 16,0
16,0 - 17,6
17,6 - 19,2
19,2 - 20,8
ni
Histogram a polygon
12
11
Histogram
Polygon
10 8 8 6 6 4
4
4
3 2
2
2
2 1
0
0
1,6 - 3,2
3,2 - 4,8
1
0 0,0 - 1,6
4,8 - 6,4
6,4 - 8,0
8,0 - 9,6
9,6 - 11,2
11,2 - 12,8 12,8 - 14,4 14,4 - 16,0 16,0 - 17,6 17,6 - 19,2 19,2 - 20,8
hmp (intervaly)
Součtová čára
Fi 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,0
1,6
3,2 4,8
6,4
8,0
9,6 11,2 12,8 14,4 16,0 17,6 19,2 20,8
hmp (horní hranice intervalů)
Grafické znázornění rozdělení četností Několik způsobů vyjádření: např. n n n
histogram polygon součtová čára
Grafické znázornění rozdělení četností n
Princip :
zobrazení četností v pravoúhlé soustavě souřadnic osa x : intervaly hodnot znaku osa y : příslušné četnosti
Pojmy n
Histogram = souřadnicový diagram rozdělení četností typu sloupcového diagramu = tvořen obdélníky, jejichž šířka se rovná délce třídního intervalu a délka je četnost příslušného intervalu
Histogram 14 12
četnost
10 8 6 4 2 0 6,5-7
7,1-7,5
7,6-8
8,1-8,5
8,6-9
9,1-9,5
9,6-10
10,1-10,5
10,6-11
11,1-11,5
11,6-12
°C
Pojmy n
Polygon
= souřadnicový diagram rozdělení četností typu spojnicového diagramu Konstrukce: vynášíme příslušné četnosti ke středům jednotlivých intervalů a vzájemně je spojíme
Polygon 14
12
četnost
10
8
6
4
2
0 6,8
7,3
7,8
8,3
8,8
9,3
teplota (°C)
9,8
10,3
10,8
11,3
11,8
Histogram x
polygon
n
znázornění stejných údajů rozdílným způsobem
n
sestrojuje se na základě absolutních, nebo relativních údajů
n
při konstrukci z relativních četností je plocha ohraničená grafem vždy rovna 1 (nebo 100 %)
Pojmy n
Součtová čára (čára kumulovaných četností)
= grafické vyjádření kumulovaných četností Konstrukce: četnosti příslušných intervalů vynášíme k horní hranici intervalů a vynesené body spojíme čarou vhodnější je vycházet z relativních četností
Součtová čára (čára kumulovaných četností) 50 45 40 35
četnost
30 25 20 15 10 5 0 7
7,5
8
8,5
9
9,5 °C
10
10,5
11
11,5
12
