Statistické zpracování dat

Bankovní institut vysoká škola Praha Katedra IT

Statistické zpracování dat Bakalářská práce

Autor:

Jan Cibulka Informační technologie, Manaţer projektů

Vedoucí práce:

Praha

Mgr. Olga Procházková

Červen, 2010

Prohlášení: Prohlašuji, ţe jsem bakalářskou práci zpracoval samostatně a s pouţitím uvedené literatury.

Ve Strakonicích dne 15. 6. 2010

Jan Cibulka

Poděkování: Chtěl bych poděkovat paní Mgr. Olze Procházkové, vedoucí mé bakalářské práce, za odborné konzultace, cenné informace, ochotu, vstřícnost a čas, který mi při zpracování této bakalářské práce věnovala.

Anotace Statistika bývá často součástí některých matematických a statistických prací či úloh. Především se vyuţívá při práci s reálnými daty, tedy v běţném ţivotě. V takovém případě dokáţe správná statistická analýza ušetřit čas, peníze nebo třeba odhadnout budoucí vývoj. A to je právě snahou a významem této bakalářské práce. Nejprve vystihnout všechny nejdůleţitější statistické ukazatele a pojmy, které jsou vyjádřeny pomocí vzorců a definic. Na jednoduchých pomocných příkladech znázornit jejich uţití. Následně pak poukázat na práci s reálnými daty a na zveřejnění reálných statistických výsledků pomocí tabulek a grafů. Konečným konceptem a výsledkem této bakalářské práce jsou tedy teoretické základy a pojmy z oblasti statistiky. Následující praktická část se zabývá hospodařením města Strakonice, a to především jejich příjmy a výdaji za několik posledních let. V samotném závěru je tedy konečné zhodnocení a celková rozvaha z vytvořených tabulek, grafů a výpočtů z reálných dat města Strakonice, které byly zhotoveny na základě teoretických znalostí.

Annotation Statistics often forms part of some mathematical and statistical works or tasks. It is particularly used when working with real data; that is in real life. In such case, a correct statistical analysis may save time, money or possibly estimate future development. And this is the main aim and intent of this Bachelor’s Thesis. Firstly, the thesis intends to specify all most important statistical indexes and terms defined by means of formulas and definitions and to demonstrate their use on simple examples. Additionally, it will bring attention to working with real data and to publishing real statistic results using charts and graphs. Therefore, the final concept and outcome of the present thesis includes theoretical grounds and terms from the field of statistics. The following practical part deals with financial management of the Town of Strakonice, in particular the incomes and expenses for the last several years. The conclusion provides final evaluation and overall balance using tables, graphs and calculations based on real data of the Strakonice town which were created on the basis of theoretical knowledge.

Obsah Úvod ...................................................................................................................................... 7 1. Statistika ............................................................................................................................ 8 1.1 Koncepce statistické sluţby v ČR ............................................................................... 8 1.2 Základní pojmy ............................................................................................................ 9 1.2.1 Statistický soubor a jednotka ................................................................................ 9 1.2.2 Statistické znaky ................................................................................................... 9 2. Získávání a zpracování statistických údajů ..................................................................... 11 2.1 Statistické zjišťování ................................................................................................. 11 2.2 Statistické zpracování ................................................................................................ 11 2.2.1 Třídění statistických údajů.................................................................................. 12 2.2.2 Výpočet ukazatelů .............................................................................................. 12 2.2.3 Publikace výsledků ............................................................................................. 12 2.3 Statistický rozbor ....................................................................................................... 13 3. Výpočet statistických ukazatelů ...................................................................................... 14 3.1 Ukazatele polohy (střední hodnoty) .......................................................................... 14 3.1.1 Průměry .............................................................................................................. 14 3.1.2 Ostatní střední hodnoty....................................................................................... 17 3.2 Ukazatele variability .................................................................................................. 18 3.2.1 Ukázka výpočtu ukazatelů variability ................................................................ 22 4. Indexy a ukazatele ........................................................................................................... 25 4.1 Ukazatele ................................................................................................................... 25 4.1.1 Základní ukazatele .............................................................................................. 25 4.1.2 Poměrní ukazatele .............................................................................................. 26 4.1.3 Vlastnosti ukazatelů............................................................................................ 27 4.2 Indexy ........................................................................................................................ 28 4.2.1 Dělení indexů podle různých hledisek................................................................ 28 4.2.2 Jednotlivé typy indexů ........................................................................................ 29 5. Časové řady ..................................................................................................................... 33 5.1 Třídění časových řad ................................................................................................. 33 5.2 Součtové časové řady ................................................................................................ 34 5.3 Vyrovnání časových řad ............................................................................................ 35 6. Závislost, regrese a korelace............................................................................................ 37

5

6.1 Zkoumání závislosti................................................................................................... 37 6.2 Regrese ...................................................................................................................... 38 6.3 Korelace ..................................................................................................................... 39 7. Zpracování získaných dat ................................................................................................ 40 7.1 Tabulky výdajů a příjmů ........................................................................................... 41 7.2 Poměrný ukazatel vývoje........................................................................................... 43 7.2.1 Řetězové indexy ................................................................................................. 43 7.2.2 Bazické indexy ................................................................................................... 44 7.3 Grafy příjmů a výdajů ............................................................................................... 44 7.4 Poměrný ukazatel struktury ....................................................................................... 46 7.5 Zhodnocení hospodaření města ................................................................................. 48 7.6 Vyrovnání časových řad ............................................................................................ 50 7.6.1 Zhodnocení vyrovnání časových řad .................................................................. 58 8. Závěry a doporučení ........................................................................................................ 59 Seznam pouţité literatury .................................................................................................... 60 Seznam pouţitých grafů, tabulek a vzorců .......................................................................... 62

6

Úvod Statistika nabízí mnoho typů ukazatelů a moţností, které lze vyuţít při realizaci statistické analýzy nějakých reálných dat. Je jiţ na řešiteli nebo samotném statistikovi, které z nabízených moţností vyuţije. Statistik by se měl rozhodovat na základě svých zkušeností a samozřejmě předloţených dat. Shromaţďování a třídění dat jsou důleţitou součástí správného rozhodnutí. Bezchybná data jsou co nejvhodněji a nejpřehledněji zapsána do tabulek. Podle typu daných dat se stanoví konečná rozhodnutí pro pouţití těch nejvhodnějších ukazatelů, grafů a dále tak publikovat co nejvhodněji výsledky. Cílem této bakalářské práce je za pomoci statistických ukazatelů zpracovat reálná ekonomická, demografická data a poté z výsledných hodnot provést celkový rozbor. Bakalářská práce se nezabývá pouze samotným zpracováním reálných dat, ale také teoretickým výkladem. Proto lze tuto práci rozdělit do dvou částí. A to na část teoretickou a část zabývající se právě zpracováním reálných dat. Teoretická část se zabývá podrobněji plánem statistického zkoumání a detailněji popisuje všechny tři etapy. Jedná se o statistické zjišťování, statistické zpracování a statistický rozbor. Obsahem těchto kapitol jsou definice základních pojmů, moţnosti publikace výsledků a popis všech základních ukazatelů společně s příkladem výpočtu. Teoretická část se také pozastavuje u časových řad nebo u měření závislosti za pomoci regrese a korelace. Následující, praktická část se na základě typu reálných dat zabývá především sledováním vývoje, struktury a budoucí prognózou. Jedná se totiţ o data příjmů a výdajů města Strakonice za několik let. Všechny výpočty jsou řádně doloţeny tabulkami a grafy, z jejichţ koncepce jsou vyvozena závěrečná zhodnocení. Ta se snaţí pozastavit nejen nad statistickým zpracováním, ale i nad celkovým hospodařením města Strakonice.

7

1. Statistika Ve statistice jsou výsledkem přesné číselné informace, ze kterých si můţeme udělat na dané téma či problém svůj vlastní názor a pohled. V mnoha případech je rozhodujícím faktorem konečný výsledek, nikoli jednotlivé činnosti, které před ním následovaly. Celý proces je sloţen z několika činností. Mezi ty nejdůleţitější patří shromaţďování, zaznamenávání a zpracování dat. Dále také rozbor jevů a procesů, které musí splňovat určité podmínky dle matematických pravidel. Výsledné číselné informace jsou na první pohled určitým vodítkem. Na základě poznání daného tématu můţeme učinit konečná rozhodnutí. Lze tedy říct, ţe poznání ve statistice úzce souvisí s rozhodováním. [2]

1.1 Koncepce statistické sluţby v ČR Základem je státní statistická sluţba, která je spravována dle zákona o státní statistické sluţbě. Jedná se o zákon č. 89/1995 Sb. Ta dává dohromady vše potřebné o sociálním, ekonomickém a ekologickém vývoji v České republice. Kompletní státní statistickou sluţbu spravuje Český statistický úřad (dále jen ČSÚ), dále také ministerstva, statistická oddělení nebo útvary. Mezi hlavní úkoly ČSÚ patří vytváření statistických klasifikací, číselníků a registrů. Dále působí u přidělování rodných a identifikačních čísel a zabývá se zpracováním výsledků z voleb, sčítáním lidu atd. Český statistický úřad je nástupcem Státního úřadu statistického (SÚS), který vznikl jiţ v roce 1919. [2] [4] Kolegium

Předseda ČSÚ

Česká statistická rada

Místopředsedové

Sekce

Správa

Odbory

Okresy

Samostatná oddělení

Obrázek č. 1 Koncepce statistické služby v ČR [2]

8

Divize Okresy

V čele ČSÚ (viz obr. č. 1) stojí předseda, který je jmenován prezidentem, a to s doporučením vlády. Česká statistická rada zaměstnává především specialisty z hlediska teorie, ale i praxe. Kolegium předsedy má na svém programu vše co souvisí se státní statistickou sluţbou. Tři místopředsedové jsou v čele úseků, jejichţ úkolem je zajistit kompletní souhrn všech odborných činností. Jedním z úseků jsou sekce. Ty se dále dělí na odbory a samostatná oddělení. Správa úzce spolupracuje se státní statistickou sluţbou, a to v rámci území Prahy a Středních Čech. Divize má podobné úkoly jako správa, ale ve městech České Budějovice, Plzeň, Ústí nad Labem, Hradec Králové, Brno a Ostrava. [2]

1.2 Základní pojmy Statistika zkoumá vlastnosti a vztahy mezi jednotlivými veličinami, které jsou součástí velkých souborů. Tyto veličiny se označují jako statistické jednotky. Výsledné číselné údaje poskytují potřebné informace o celých velkých souborech. Statistické jednotky a soubory jsou popsány v následujícím textu. [7]

1.2.1 Statistický soubor a jednotka Určitá vymezená část nějakého objektu z velké mnoţiny se nazývá statistický soubor. Jedná se např. o soubor studentů určité školy, soubor učitelů určitého věku atd. Za pomoci veličin času a prostoru musí být soubor jednoznačně vymezen. [7] Soubory jsou dále rozděleny ještě na menší části, a ty se označují jako statistické jednotky. Statistické jednotky jsou prvky statistického souboru. Statistické jednotky se dále dělí na hmotné a nehmotné objekty. Hmotné objekty jsou např. osoby, stroje, budovy atd. Mezi nehmotné se řadí např. výkazy práce, výkazy úrazů atd. [7]

1.2.2 Statistické znaky Statistický znak je určitou vlastností statistické jednotky sledovaného statistického souboru. Statistické znaky lze rozlišovat z různých hledisek. Jednou z variant rozlišení statistických znaků je dělení na znaky shodné a znaky zkoumané. Tím dalším dělením můţe být třídění na znaky kvantitativní a kvalitativní. [7] Znaky shodné zůstávají po celou dobu zkoumání určitého statistického souboru neměnné. Shodné jsou především statistické jednotky. Pokud tedy budeme např. zkoumat značky automobilů ve městě Písek; Písek je právě tím shodným znakem. V celém statistickém souboru se nebude měnit. [7]

9

Naopak znaky, které nejsou konstantní a jsou aktuálním předmětem šetření se nazývají znaky zkoumané. Tyto znaky nabývají hodnot o různých velikostí. V našem případě se tedy jedná o značky automobilů, které se budou určitě lišit. [7] U kvantitativních znaků je určitá vlastnost vyjádřena číslem. Kvantitativní znaky jsou tedy číselné vlastnosti. Jedná se např. o příjmy, výdaje, mzdy atd. Tyto znaky lze dále dělit do dvou skupin. První, ve které znaky nabývají libovolného počtu reálných hodnot. Zatímco ve druhé skupině nikoli. [7] Hodnoty, které jsou vyjádřeny slovně se řadí do skupiny znaků kvalitativních. Tyto znaky se dále dělí na mnoţné a alternativní. Ty mnoţné dovolují více neţ dvě změny, zatímco ty alternativní nabývají pouze dvou obměn (např. ano, ne). [7]

10

2. Získávání a zpracování statistických údajů Celý proces od samotného získávání přes zpracování statistických údajů aţ po závěrečné hodnocení popisuje obr. č. 2. Jedná se o tři základní etapy. Tou první je statistické zjišťování. Jedná se o shromaţďování všech potřebných údajů a následné důkladné prověření jejich správnosti. Statistické zpracování se zabývá především výpočty, které lze prezentovat více způsoby. Pomocí statistického rozboru se určují potřebná opatření a závěrečná vyhodnocení. Jednotlivé etapy jsou detailněji popsány v dalších kapitolách. [2] Plán statistického zkoumání

Statistické zjišťování Získávání a shromaţďování údajů

Statistické zpracování Třídění Výpočet Publikace ukazatelů a

Statistický rozbor Závěry Opatření

Obrázek č. 2 Etapy statistických prací [2]

2.1 Statistické zjišťování Prvním krokem statistického zkoumání je právě statistické zjišťování. Potřebné údaje o zkoumané jednotce se získají od tzv. zpravodajské jednotky. Zpravodajskou jednotkou můţe být např. obchod, který podává informace o svých produktech. Podle obsahu lze statistické zjišťování dělit na vyčerpávající a nevyčerpávající. Jedná se o to, zda jsou zahrnuty všechny moţné jednotky nebo ne. Neţ dojde k zpracování informací musí být odstraněno co nejvíce chyb. Chyby se mohou vyskytnout dvojího druhu. Ať uţ úmyslné nebo náhodné. Kompletní informace jsou na úplný konec této etapy podrobeny tzv. kontrole úplnosti tak, aby jejich konzistentnost byla co nejvyšší. [2]

2.2 Statistické zpracování V této fázi jsou potřebné údaje připraveny k samotnému zpracování. Pomocí statistického zjišťování jsou vstupem této etapy bezchybná a ověřená data. Tato data neboli údaje se dále třídí dle různých hledisek tak, aby se s nimi co nejlépe pracovalo. Poté se jiţ počítají statističtí ukazatele, jejichţ výsledky se co nejvhodněji publikují. Statistické 11

zpracování se podle typu zpracování dělí na ruční zpracování a zpracování výpočetní technikou. Ruční zpracování se realizuje pouze za pouţití maximálně psacích strojů nebo malé výpočetní techniky. V dnešní době se samozřejmě v co největší míře vyuţívá zpracování za pomoci počítačů. [2]

2.2.1 Třídění statistických údajů Do kategorie statistického zpracování patří třídění získaných a shromáţděných dat. Je dobré si uvědomit co bude prioritou a tedy podle čeho a jak statistické údaje třídit. Podle dané priority se stanoví tzv. třídicí znak. Dále jsou vytvořeny skupiny po několika případech. Přesný počet případů v kaţdé skupině určuje četnost. Jednotlivé případy mohou nabývat různých obměn. [2]

2.2.2 Výpočet ukazatelů Výpočtu statistických charakteristik se detailně věnuji v dalších kapitolách. Jsou zde rozebrány ukazatele polohy, ukazatele variability, ukazatele vývoje, časové řady atd.

2.2.3 Publikace výsledků Statistické údaje je třeba co nejefektivněji publikovat. Sdělování a právě publikace výsledků se provádí třemi způsoby. A to slovním popisem, tabulkami a graficky. [2] Slovní popis je asi nejméně přehledná a oblíbená publikace výsledků. Tato forma se pouţívá zřídka. [2] Tabelární publikace je jiţ mnohem přehlednější, uspořádanější a hned na první pohled dokáţe čtenáři podat jasně a zřetelně výsledek statistického zpracování. Statistické tabulky se dělí na tři základní druhy podle sloţitosti obsahu. A to na: [2] Tabulky prosté (data se netřídí, základní údaje bez větších úprav) Tabulky skupinové (třídění údajů pouze podle jednoho třídicího znaku) Tabulky kombinační (třídění podle dvou a více znaků) Tabulky a celková tabulková publikace by měla splňovat určitá pravidla. (Např., nadpis tabulky se píše pouze nad tabulku, hlavička je pro vysvětlení jednotlivých sloupců, legenda charakterizuje obsah jednotlivých řádků atd.). [2] Grafy patří k dalšímu prostředku publikace výsledků. Oproti tabulkám představují určitě mnohem větší přehlednost. Mezi jejich nevýhody patří především to, ţe je nelze 12

zcela všude uplatnit a nejsou dokonale přesné. I grafy by měly splňovat určité předpoklady a řídit se podle určitých doporučeních. Důleţitá je správná volba druhu grafu. Závisí především na účelu, za kterým byl graf vytvořen. Mezi základní typy grafů patří: [2] Graf spojnicový (vývoj v čase, rozdělení četností) Graf sloupcový (srovnání věcné, prostorové nebo v čase) Graf kruhový (zobrazuje strukturu celku) Graf obrázkový (k vyjádření nějakého jevu vyuţívá schematický obrázek) Kartogram (určité území znázorňuje na mapě pomocí šrafování nebo barev) Kartodiagram (spojení mapy s grafem)

2.3 Statistický rozbor Vstupem statistického rozboru jsou data neboli výsledky získané pomocí statistického zpracování. A na jejich základě je právě úkolem rozboru vyvodit závěr na dané téma a dát návrh nebo nabídnout nějaké řešení do budoucna. Statistický rozbor tedy musí objasnit a navrhnout nová řešení tak, aby negativní stránky věci byly co nejvíce potlačeny a naopak ty pozitivní ještě více posílily. [2]

13

3. Výpočet statistických ukazatelů Tato kapitola navazuje na kapitolu 2.2.2. Spadá tedy do etapy statistického zpracování, které je podřazeno plánu statistického zkoumání. Budou zde detailně popsány všechny ukazatele, indexy i závislosti.

3.1 Ukazatele polohy (střední hodnoty) Ukazatele polohy se někdy označují také jako střední hodnoty. Zkoumané veličiny v daném souboru se musí co nejvíce zobecnit tak, aby leţely mezi minimální a maximální hodnotou, tzn. ve středu, a proto také název střední hodnoty. [7] Střední hodnoty lze dělit na: [2] Průměry (aritmetický, geometrický, harmonický, kvadratický) Ostatní střední hodnoty (modus, medián) Zatímco průměr má zobecňující charakter a zabývá se všemi hodnotami má i své velké nevýhody. Jednou z nich je, ţe pokud jedna z hodnot bude velmi vysoká nebo naopak nízká, průměr je pak ovlivněn a jeho hodnota můţe být velmi zkreslená. Ostatní střední hodnoty jako jsou modus a medián nezasáhne výkyv některých hodnot takovým způsobem jako u průměru. [7]

3.1.1 Průměry Aritmetický průměr je bezpochyby nejpouţívanější střední hodnotou. Značí se jako x (x s pruhem). Podle rozsáhlosti daného zkoumaného souboru se aritmetický průměr dále

dělí na prostý a váţený. Pokud se počet hodnot neopakuje a soubor není rozsáhlý vyuţívá se prostý aritmetický průměr, který je vyjádřen tímto vzorcem: [2] n

x =

i 1

n

x

i

=

x

1

x

2

... x n

n

Vzorec č. 1 Prostý aritmetický průměr [7]

14

Názornou ukázkou výpočtu aritmetického průměru je příklad č. 1. Jako příklad jsem zvolil výpočet průměrné mzdy zaměstnanců. Zaměstnanci

Mzda

Zaměstnanec A

15035 Kč

Zaměstnanec B

22345 Kč

Zaměstnanec C

17318 Kč

Zaměstnanec D

16237 Kč

x =

15035

22345

17318

16237

4

= 17734 Kč

Průměrná mzda zaměstnanců v této firmě je tedy po zaokrouhlení 17734 Kč.

Příklad č. 1 Výpočet průměrné mzdy zaměstnanců Jakmile u rozsáhlejšího souboru dochází k opakování jednotlivých hodnot je vhodnější vyuţít váţený aritmetický průměr. Ten je vyjádřen vzorcem č. 2. Zde se jednotlivé údaje násobí počtem kolikrát se v celém souboru opakují, coţ je tzv. četnost nebo váha. Součet všech součinů hodnot a vah je tedy dále vydělen celkovou sumou četností v daném šetřeném souboru. [2] k

x

=

xn 1

x n n n 1

2

1

2

...

2

...

x n n k

k

=

xn i

i 1

i

k

k

i 1

n

i

Vzorec č. 2 Vážený aritmetický průměr [7] Pokud ovšem nastane situace, ţe údaje jsou nepřehledné i při pouţití váţeného aritmetické průměru z důvodu rozsáhlosti souboru je moţné vyuţít pro roztřídění údajů intervalové četnosti. Dále se určí střed intervalu. [2] Jeho výpočet znázorňuje příklad č. 2. Výška ţáků [cm]

Střed intervalu (xi)

Počet ţáků (ni)

Výška celkem (xini)

160 - 170

165

3

495

170 - 180

175

5

875

180 - 190

185

4

740

190 - 200

195

4

780

200 a více

205

3

615

celkem (suma)

-

19

3505

Příklad č. 2 Výška žáků

15

x

3505 19

184 , 47

cm

Průměrná výška ţáků ve třídě je 184,47 cm.

Pouze pro kladné hodnoty se pouţívá geometrický průměr. Značí se jako x G. Oproti aritmetickému průměru je ten geometrický vţdy menší nebo jemu roven. Pouţívá se především u časových řad. Geometrický průměr je vyjádřen vzorcem č. 3. Součin všech kladných hodnot je pod n-tou odmocninou. [14] n

x

G=

n

( x 1 . x 2 .....

x n) =

n i 1

x

i

Vzorec č. 3 Geometrický průměr [7] Geometrický průměr bývá zpravidla vţdy menší, maximálně roven průměru aritmetickému. Pokud je roven lze určit tzv. aritmeticko-geometrický průměr. [14] růst/pokles zisku (x) růst 20% růst 30% růst 15%

x

G

= 5 1, 2 1,3 1,15 1,05 0 ,95 = 1,123 Průměrný růst je 12,3%.

růst 5% pokles 5% Příklad č. 3 Výpočet geometrického průměru

Harmonický průměr lze vyuţít jen pro všechny nenulové hodnoty. Značí se x H. Ve zkratce lze říci, ţe harmonický průměr je převrácenou hodnotou průměru aritmetického. Jeho vyuţití je především tam, kde jsou hodnoty příliš nízké či vysoké. [7] Kvadratický průměr se pouţívá například při výpočtu efektivní hodnoty střídavého napětí a proudu nebo směrodatné odchylky. Značí se x K a lze definovat tak, ţe pokud všechny hodnoty daného souboru umocníme, tak odmocněním aritmetického průměru ze stejných hodnot v šetřeném souboru získáme právě kvadratický průměr. [15]

16

3.1.2 Ostatní střední hodnoty Do kategorie ostatních středních hodnot se řadí modus a medián. Ty zkoumají úrovně jednotlivých jevů. Na rozdíl od průměru neodpovídá jejich výsledná hodnota všem hodnotám zkoumaného souboru. Mezní hodnoty tedy nemají na konečný výsledek vliv. [7] Nejčastěji vyskytující se veličina ve zkoumaném souboru se nazývá modus. Modus se značí jako xˆ (x se stříškou). Předpokladem rychlého a snadného výpočtu je roztřídění sledovaného souboru dle jednotlivých četností. Při zkoumání rozsáhlejších souborů se pro zjednodušení vyuţívá tzv. intervalových četností. V takovém případě musí být intervaly stejně velké. Jinak dochází ke zkreslení výsledné hodnoty. [7] Jako příklad výpočtu vyuţiji příklad č. 2. Jestliţe je modus nejčastěji se vyskytující hodnotou výsledek je: xˆ

= 175

Výška v rozmezí od 170 do 180 cm byla naměřena hned u pěti ţáků, a to bylo právě nejvíce z celého souboru 19-ti ţáků. Střed tohoto intervalu je tedy nejčastější. Medián je prostřední hodnota celého uspořádaného zkoumaného souboru. Označuje se jako ~x (x s vlnovkou). V některých případech dostává přednost právě medián před výpočtem pomocí průměrů. Medián totiţ není ovlivněn extrémními výkyvy hodnot a jeho výsledek není tedy tolik zkreslen. Při výpočtu mediánu se musí vycházet z celkového počtu hodnot. Záleţí jestli je celkový počet četností sudý nebo lichý počet. [2] [7]

~ x

= x

n 1

~ x

, je-li n liché

=

2

1 2

x

n

x

2

n 2

, je-li n sudé 1

Vzorec č. 4 Medián [3] Opět pouţiji příklad č. 2 jako ukázku pro výpočet mediánu. U tohoto příkladu byla naměřena výška u 19-ti ţáků z jedné třídy. Jelikoţ celkový počet 19 je liché číslo bude zde pouţit ten první, kratší vzorec a výpočet bude vypadat takto: ~ x

= x

19 1

= x 10 = 185

2

Medián vyšel 185. Výsledkem je desátá hodnota v uspořádaném souboru. Pokud tedy budu vycházet z tabulky pro příklad č. 2, tak pro medián platí hodnota 185 cm.

17

3.2 Ukazatele variability Pro kompletní zhodnocení zkoumaného souboru z pohledu statistiky nestačí určit pouze ukazatele polohy, ale je důleţité zjistit i jejich variabilitu. Ta je určitým měřítkem pro posouzení kvality úrovně středních hodnot. To ovšem není jediný důvod jejich pouţití. Své uplatnění mají např. při zkoumání dosaţení nějakého cíle (dlouhodobého plánu), tedy v časových řadách. Charakteristik pro určení variability je velké mnoţství. V dalším textu rozebírám ty nejčastější a nejpouţívanější z nich. [2] [7] Jednou z veličin pro určení variability je variační rozpětí. Variační rozpětí se značí písmenem R. Jeho úkolem je určit rozpětí hodnot sledovaného souboru. Obecně lze říci, ţe čím je hodnota variačního rozpětí niţší, tím je vyšší podobnost celého souboru. [2] Ukázka výpočtu se nachází v kapitole 3.2.1. Variační rozpětí lze vyjádřit takto: R = xmax - xmin Vzorec č. 5 Variační rozpětí [2] Další veličinou pro zjištění variability daného zkoumaného souboru je průměrná odchylka a relativní průměrná odchylka. O průměrné odchylce lze říci, ţe je rovnoměrným rozloţením kolem aritmetického průměru. Ty hodnoty, které jsou vyšší neţ aritmetický průměr lze označit jako kladné odchylky. Zatímco niţší hodnoty jsou záporné odchylky. Při správném postupu by měl být součet kladné a záporné odchylky roven 0. Při samotném výpočtu průměrné odchylky se jak s kladnými, tak i zápornými odchylkami počítá v absolutní hodnotě. Ke konečnému výsledku průměrné odchylky lze dojít tak, ţe se jednotlivé odchylky od aritmetického průměru sečtou v absolutní hodnotě a jejich součet se dělí počtem jednotlivých hodnot. [2] Ukázka výpočtu se opět nachází v kapitole 3.2.1. Průměrnou odchylku lze vyjádřit takto: k

xi d

x

i 1

n

Vzorec č. 6 Průměrná odchylka z prostého aritmetické průměru [2] Relativní průměrná odchylka vyjadřuje poměr mezi průměrnou odchylkou a aritmetickým průměrem v procentech. Značí se rd a lze ji vyjádřit takto: [2]

18

rd =

d x

100 [%]

Vzorec č. 7 Relativní průměrná odchylka [2] Dosud vypočítané odchylky vyplývají z prostého aritmetického průměru. Pokud bude přicházet v alternativu váţený aritmetický průměr musí se přihlíţet k jednotlivým vahám sledovaného souboru. [2] Vztah pro výpočet průměrné odchylky z váţeného aritmetického průměru bude potom tedy vypadat takto: k

xi

x ni

i 1

d

k

ni i 1

Vzorec č. 8 Průměrná odchylka z váženého aritmetické průměru [2] Příklad výpočtu se nachází v kapitole 3.2.1. Výpočet relativní průměrné odchylky se při pouţití váţeného aritmetického průměru nemění, platí stále tedy vzorec č. 7. Mezi nejpouţívanější veličiny pro určení variability jak z praktického, tak i z teoretického hlediska patří rozptyl a směrodatná odchylka. [7] Zjednodušeně lze říci, ţe rozptyl je aritmetický průměr z druhých mocnin odchylek od jejich aritmetického průměru. Umocnění zde plní především funkci toho, aby byly výsledné hodnoty rozptylu vţdy kladné, tak jako u průměrných odchylek. Rozptyl se značí řeckým písmenem sigma σ2. Samotný rozptyl se spíše pouţívá k teoretickým účelům na rozdíl od směrodatné odchylky. Ta je k měření variability přímo určená. Příklad výpočtu pro rozptyl je v kapitole 3.2.1. Jelikoţ rozptyl úzce souvisí s aritmetickým průměrem je důleţité pokud vychází z prostého nebo váţeného aritmetického průměru. Vztahy pro rozptyl vypadají potom takto: [2] [7] k

σ2 =

xi i 1

n

x

k

2

,

σ2 =

xi

2

x ni

i 1 k

ni i 1

Vzorec č. 9 Rozptyl z prostého, resp. váženého aritmetického průměru [2]

19

Z praktického hlediska se vyuţívá více směrodatná odchylka. Ta je úzce spjata s rozptylem a vychází přímo z něho. [7] Jak uvádí Kaňoková: „Směrodatná odchylka je kvadratickým průměrem odchylek hodnot veličiny x od jejich aritmetického průměru ( x ) a udává jak se v průměru odchylují jednotlivé hodnoty sledované veličiny od jejich hodnoty průměrné.“ [7, s. 76] Směrodatná odchylka je tedy druhou odmocninou rozptylu, z čehoţ vychází jak vzorec, tak i samotné označení. Směrodatná odchylka se značí σ. I v tomto případě se rozlišují dva vztahy podle toho pokud vycházíme z prostého nebo váţeného aritmetického průměru. Příklad výpočtu je uveden v kapitole 3.2.1 a vztahy vypadají takto: [2]

k

xi

σ=

x

k

2

xi

,

i 1

n

σ=

x

2

ni

i 1 k

ni i 1

Vzorec č. 10 Směrodatná odchylka z prostého, resp. váženého aritmetického průměru [2] Rozptyl a směrodatná odchylka se řadí do kategorie tzv. absolutní variability. Z toho plyne, ţe nelze porovnat variabilitu určitých hodnot ve více souborech. Pokud tedy dochází k porovnání např. mezi dvěma a více soubory vyuţívá se tzv. relativní variabilita. A do této kategorie patří také variační koeficient. Jedná se o závislost mezi směrodatnou odchylkou a aritmetickým průměrem vyjádřenou v procentech. Variační koeficient se značí písmenem v a příklad výpočtu je uveden v kapitole 3.2.1. Vztah vypadá takto: [2] [7]

v=

x

100

[%]

Vzorec č. 11 Variační koeficient [2]

20

Kvantily neboli kvantilové charakteristiky se v praxi ve většině případech pouţívají tehdy, pokud se místo aritmetického průměru k výpočtu ukazatele polohy volí medián. Potom se směrodatná odchylka nahrazuje právě tzv. mezikvantilovou odchylkou. Nejčastěji pouţívané kvantily se nazývají kvartily. Ty dělí seřazené hodnoty, které jsou prvky zkoumaného souboru na čtvrtiny. Jiţ méně vyuţívané jsou decily (dělí soubor na desetiny) a percentily (dělí soubor na setiny). A právě kvartily a jejich odchylka jsou uvedeny jako příklad výpočtu v kapitole 3.2.1. Kvartily se dělí na dolní a horní. Dolní se značí Q1 a horní Q3. Vztahy pro dolní, horní kvantil a mezikvartilovou odchylku potom vypadají takto: [16]

Q1 =

1

x

2

x

n 4

Q1 = x kde n1 je číslo

n

n 4

n1

, je-li n dělitelné čtyřmi 1

, není-li n dělitelné čtyřmi,

zaokrouhlené na nejbliţší vyšší celé číslo

4

Vzorec č. 12 Dolní kvartil [16]

Q3 =

1 2

x

x

3n 4

4

Q3 = x kde n3 je číslo

3n

n3

3n 4

, je-li n dělitelné čtyřmi 1

, není-li n dělitelné čtyřmi, zaokrouhlené na nejbliţší vyšší číslo

Vzorec č. 13 Horní kvartil [16]

Q(x) =

1 2

Q3

Q1

Vzorec č. 14 Mezikvartilová odchylka [16]

21

3.2.1 Ukázka výpočtu ukazatelů variability Pro příklad výpočtu všech ukazatelů variability jsem zvolil data z ČSÚ. Jedná se o počet obyvatel české národnosti rozdělených dle věkových kategoriích ţijících na území České republiky. Jednotlivé údaje jsou aktualizované k datu 1. 3. 2001. Kromě základních údajů (věk + příslušný počet obyvatel) obsahuje níţe uvedená tabulka všechny potřebné veličiny a mezivýsledky pro výpočet ukazatelů variability. [5]

věk -14 15 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80+ suma

počet Střed obyvatel intervalu [xi] 788760 9 321567 17 790570 24,5 618345 34,5 648563 44,5 628340 54,5 359951 64,5 251888 74,5 66804 85

ni

xi ni

xi

788760 7098840 321567 5466639 790570 19368965 618345 21332902,50 648563 28861053,50 628340 34244530 359951 23216839,50 251888 18765656 66804 5678340 4474788 164033765,50

xi

x

-27,66 -19,66 -12,16 -2,16 7,84 17,84 27,84 37,84 48,34

x ni

21814992,99 6321147,57 9611217,75 1333972,16 5086467,74 11211265,36 10021998,11 9532115,30 3229483,95 78162660,92

xi

x

2

764,93 386,41 147,80 4,65 61,51 318,36 775,21 1432,07 2337,01

xi

603344387,30 124256862,60 116846713,90 2877813,72 39891504,90 200038945,40 279039219,40 360720725,40 156121887,60 1883138060

Příklad č.4 Ukazatele variability Variační rozpětí R = xmax - xmin = 85 - 9 = 76 Variační rozpětí je rovno hodnotě 76. Sledovaný souboru se tedy pohyboval v rozmezí 76-ti hodnot. V tomto případě se jedná o věk. Průměrná odchylka k

xi d

x ni

=

i 1 k

78162660 ,92 4474788

ni

= 17,47

i 1

Při výpočtu průměrné odchylky se musí nejprve zjistit aritmetický průměr. Jelikoţ se jedná o rozsáhlejší soubor s několikanásobným opakováním hodnot počítal jsem váţený aritmetický průměr. Ten vyšel 36,66. V tabulce jsou vidět pomocné výpočty xini. A právě z váţeného aritmetického průměru vychází i průměrná odchylka. V tabulce jsou opět zahrnuty pomocné výpočty pro realizaci průměrné odchylky ( x i

22

x , xi

x n i ).

2

x ni

Relativní průměrná odchylka d

rd =

17 , 47

100 =

x

36 , 66

47,65 %

100

Rozptyl k

xi

2

σ =

x

2

ni

=

i 1 k

1883138060 4474788

ni

= 420,83

i 1

I vzorec pro rozptyl musí vycházet z váţeného aritmetického průměru. Pro výpočet rozptylu jsou v tabulce opět uvede pomocné výpočty x i

x,

xi

x

2

, xi

x n i . Rozptyl 2

tedy v tomto případě vyšel 420,83. Směrodatná odchylka je odmocninou rozptylu. Směrodatná odchylka k

xi

σ=

x

2

ni

=

i 1 k

420 ,83 = 20,51

ni i 1

Variační koeficient v=

x

100

=

20 ,51 36 , 66

100

= 55,95 %

Mezikvartilová odchylka Při výpočtu mezikvartilové odchylky je důleţitým faktorem celkový počet zkoumaných hodnot. Pouţití správného vzorce pro výpočet dolního a horního kvartilu závisí především na tom, zda je suma četností dělitelná čtyřmi. V příkladě č. 4 byla suma četností 4474788, tedy dělitelná čtyřmi. Výpočet vypadal potom takto:

Q1 =

Q3 =

1 2 1 2

x

n

x

4

x

3n 4

n 4

x

3n 4

= 1

= 1

1 2

1 2

24 ,5

54 ,5

23

11 18 69 7

33 56 09 1

24 ,5

54 ,5

11 18 69 8

33 56 09 2

= 24,5

= 54,5

Q(x) =

1 2

Q3

Q1

=

1 2

54 ,5

24 ,5

= 15

Závěr V roce 2001 byl průměrný počet obyvatel české národnosti na území České republiky 36,66 let. Z pohledu statistiky byl soubor zkoumaný v rozpětí 76 let. V průměru se věková hranice od aritmetického průměru 36,66-ti let lišila o hodnotu 17,47 let, tedy o 47,65 %. Hodnota rozptylu se ve většině případech vyuţívá především pro výpočet směrodatné odchylky, vyjadřuje totiţ pouze variabilitu náhodných hodnot kolem střední hodnoty zkoumaného souboru. Hodnota směrodatné odchylky 20,51 naznačuje, ţe se od sebe jednotlivé zkoumané hodnoty vzájemně odlišují a to aţ o 55,95 %. Hodnota mezikvartilové odchylky zde není podstatná z pohledu vyhodnocení. Byla pouţita pouze jako ukázka výpočtu. V praxi se totiţ ve spojení se směrodatnou odchylku nepouţívá.

24

4. Indexy a ukazatele 4.1 Ukazatele S ukazateli se kaţdý z nás setkává denně, a to např. v rozhlase, televizi nebo na internetu. Jedná se např. o export, import, průměrnou produktivitu, průměrný hodinový výkon atd. Ve většině případech je cílem ukazatelů najít určitý ekonomický obraz nějaké skutečnosti a prezentovat vhodně její výsledek. Vyuţití tedy spadá především do hospodářské statistiky. Ukazatele se mohou dělit podle různých hledisek. Jedno z děleních můţe být na ukazatele základní, do kterých opět spadá několik typů a druhů. [13] A jako další větší oblast mohou být tzv. poměrní ukazatele, které vyuţívají ke srovnání poměr různých veličin.

4.1.1 Základní ukazatele Pokud zjednodušíme ukazatel pouţívaný ve statistice jako takový, lze ho rozdělit na dvě základní části. A to na statistický ukazatel a údaj. Statistický ukazatel je určitý stav skutečnosti, který je vyjádřen proměnnou veličinou a má svoji logickou strukturu. Zatímco údaj je přímo hodnota vystihující daný statistický ukazatel. Dělení základních ukazatelů se můţe brát tedy z různých hledisek a oborů. Můţe tedy vypadat následovně: [13] Primární ukazatele (lze je jednoznačně určit, nejsou odvozené) Sekundární ukazatele (je ještě několik principů vzniku, v zásadě jsou odvozené) Dále: Absolutní ukazatele (ukazatele primární a některé sekundární - časové) Relativní ukazatele (především ukazatele sekundární)

Dále také: Okamţikové ukazatele (určeny pro určitý interval) Intervalové ukazatele (tyto naopak k určitému intervalu)

25

A nebo: Extenzitní ukazatele (udává rozpětí sledovaného objektu, absolutní čísla) Intenzitní ukazatele (udává intenzitu sledovaného objektu, poměr čísel)

4.1.2 Poměrní ukazatele Poměrní ukazatele jsou ve své podstatě nástrojem k porovnání nebo srovnání dvou, ale i více souborů. V předchozích kapitolách byly pouţity ke srovnání např. průměry. Ty jsou nyní tedy nahrazeny tzv. poměrem. Poměr se pouţívá tam, kde není základ srovnávaných souborů stejný. A to bývá ve většině případech. Jen málokdy se stane, ţe např. dva sledované soubory mají stejný počet hodnot nebo vah. Při pouţití poměru jsou důleţité dvě veličiny. Srovnávaná hodnota a základ. Tyto dvě veličiny se mezi sebou vydělí a jejich výsledkem je právě poměrný ukazatel. Tak, aby byla efektivita výsledku poměrného ukazatele co nejvyšší bývá pravidlem, ţe v čitateli je srovnávaná hodnota a ve jmenovateli pouţitý základ. Podle typu srovnání lze dále poměrné ukazatele dělit na poměrné ukazatele struktury, poměrné ukazatele splnění plánu nebo také poměrné ukazatele vývoje. [2] Poměrní ukazatele struktury se vyznačují tím, ţe dochází ke srovnání pouze určité části celku. Tato část se porovnává s celým celkem jako takovým. Pouţívá se především v takových situacích, kde je třeba zjistit jak významnou roli určitá část v celém celku hraje. Takových částí bývá v celku většinou několik a proto se počítá jejich procentuální podíl. Srovnávanou hodnotou je zde tedy určitá část souboru a základem celý soubor. [2] Potom vzorec pro poměrné ukazatele struktury vypadá takto:

část celek

100

[%]

Vzorec č. 15 Poměrný ukazatel struktury [2] Poměrný ukazatel splnění plánu dokazuje do jaké míry se shoduje skutečná hodnota s tou předpokládanou. Tento poměrný ukazatel má vyuţití hlavně v ekonomickém a technickém odvětví. Např. při sledování skutečných trţeb s předpokládanými, při sledování plnění plánu výroby nebo sledování nákladů na výrobu za určité zúčtovací období. V tomto případě je srovnávanou hodnotou skutečnost a základem předpoklad neboli plán. [2] Vzorec pro poměrný ukazatel splnění plánu vypadá potom takto: 26

realita plán

100 [%]

Vzorec č. 16 Poměrný ukazatel splnění plánu [2] Poměrný ukazatel vývoje sleduje určitý jev v několika časových horizontech, tedy jeho dlouhodobý vývoj. I u poměrného ukazatele vývoje je výsledná hodnota prezentována v procentuální podobě tak, aby nedocházelo ke zkreslení hodnot. Vyšší hodnoty totiţ vţdy neznamenají vyšší zisky, trţby apod. Tento ukazatel se vyuţívá např. při dlouhodobém sledování vývoje zisků, trţeb nebo výdajů. Pro přehlednější publikaci vývoje lze vyuţít poměrné ukazatele vývoje se stálým základem nebo se základem pohyblivým. [2] Ty se stálým základem se označují písmenem S. V tomto případě se vyuţívá tzv. bazických indexů. Bazické indexy porovnávají jednotlivé hodnoty s jednou, pevně danou, od které se určuje růst nebo pokles sledovaného objektu. [2] Poměrný ukazatel vývoje s pohyblivým základem se značí písmenem T a vyuţívá tzv. řetězových indexů. Ty se od těch bazických liší především tím, ţe jednotlivé hodnoty se porovnávají s tou nejbliţší předcházející. [2]

4.1.3 Vlastnosti ukazatelů Ukazatel jako takový slouţí především k poznání určité skutečnosti a je důleţitým předpokladem při vytváření celkového rozboru a vyhodnocení. A z toho vyplývají i jeho vlastnosti. Mezi

základní vlastnosti

ukazatelů patří stejnorodost, srovnatelnost

a shrnovatelnost. [6] [13] To, ţe je ukazatel stejnorodý splňuje absolutní i relativní ukazatel, ale pouze za určitých podmínek. Samotná stejnorodost závisí na uspořádání šetřených veličin. Absolutní ukazatel lze prohlásit za stejnorodý pokud jsou jednotlivé veličiny upraveny tak, ţe mohou být vzájemně sečteny. Zatímco relativní ukazatel je stejnorodý tehdy, pokud se skládá ze dvou stejnorodých absolutních ukazatelů. [13] Srovnatelnost lze vyuţít u těch ukazatelů, u kterých je při jejich porovnání výsledkem reálná veličina. [13] Zatímco shrnovatelnost umoţňuje z určitého šetřeného objektu získat pomocí jednotlivých hodnot jednu výslednou. Ukazatele lze také dělit podle toho, zda jsou přímo shrnovatelné, nepřímo shrnovatelné nebo neshrnovatelné. [13]

27

4.2 Indexy Index lze charakterizovat jako srovnání dvou hodnot jednoho typu ukazatele. Výsledkem indexu je tedy podíl dvou hodnot ukazatele. Zatímco v čitateli je hodnota ukazatele v porovnávaném tvaru (x1), tak ve jmenovateli je ukazatel v tzv. základním tvaru (x0), který je označován jako základ indexu (viz vzorec č. 17). V některých případech se indexy vyjadřují i procentuelně. V takovém případě je podíl ukazatelů vynásoben stem. Rozdíl obou ukazatelů se nazývá absolutní rozdíl nebo diference a mimo jiné bývá jednou z příčin dalšího zkoumání. Výsledná hodnota absolutního rozdílu se označuje řeckým písmenem ∆ (delta) a vyjadřuje rostoucí, klesající nebo nulový absolutní přírůstek. [10]

I ( x)

x1 x0

, ∆(x) = x1 – x0

Vzorec č. 17 Index, absolutní rozdíl indexu (diference) [10]

4.2.1 Dělení indexů podle různých hledisek Tak jako ukazatele, tak i indexy lze dělit a porovnávat podle různých hledisek či faktorů, které mají vliv na výslednou hodnotu. Jedním z nejčastějších hledisek je posuzování indexů dle času. Pokud je tedy hlavním měřítkem právě čas, lze indexy zařadit a dělit podle dvou období a to na: [10] Základní období (je základem porovnání) Běţné období (srovnávané období) Podle vlastností daných ukazatelů se indexy dále dělí na: [10] Indexy objemové (extenzitní ukazatele) Indexy úrovně (intenzitní ukazatele) Do kategorie objemových indexů patří tzv. extenzitní ukazatele (q). Jejich charakteristickou vlastností je mnoţství nebo velikost. Jedná se tedy např. o počet ţáků v jedné třídě, počet vyrobených kusů atd. Jednotlivé počty kusů nebo ţáků lze sečíst. Pak jsou to tzv. stejnorodé extenzitní ukazatele. Musí ovšem splňovat podmínku toho, ţe

28

všechny hodnoty ukazatele spadají do jedné kategorie a mají tedy stejný význam. Pokud tomu tak není nelze je sčítat a označují se jako nestejnorodé extenzitní ukazatele. [10] Hlavním měřítkem indexů úrovně je intenzita. Proto také název intenzitní ukazatele. Jsou podílem dvou extenzitních ukazatelů a v praxi se jedná např. o velikost trţeb, intenzity práce atd. Intenzitní ukazatele se označují písmenem p a lze je také ještě dělit do dalších kategorií. A to na stejnorodé a nestejnorodé. Ty stejnorodé lze vyjádřit pomocí průměru. Jednotlivé hodnoty musí ovšem spadat do jedné kategorie. Pokud tomu tak není označují se jako nestejnorodé a s průměrem nelze počítat. [10]

4.2.2 Jednotlivé typy indexů Indexy lze dále dělit do třech kategorií. Na individuální jednoduché indexy, individuální složené indexy a indexy souhrnné. [13] Individuální jednoduché indexy Tyto indexy porovnávají dvě stejnorodé veličiny (extenzitní nebo intenzitní) vyskytující se v jedné kategorii dat (např. třída ţáků, výroba v jedné divizi atd.). [2] Tyto indexy lze také dále odlišit podle typu ukazatele. Ukazatele, s kterými se zde pracuje jsou totiţ hlavním měřítkem dalšího dělení individuálních jednoduchých indexů. S extenzitními ukazateli totiţ pracuje tzv. individuální jednoduchý index množství. Tento index vyjadřuje změnu extenzitního ukazatele v běţném období oproti základnímu. [13] Společně s absolutním rozdílem neboli diferencí lze vyjádřit takto:

iq

q1 q0

, ∆q = q1 – q0

Vzorec č. 18 Individuální jednoduchý index množství a jeho absolutní rozdíl [13] Index, který se zabývá především intenzitními ukazateli a sleduje jejich změnu v určitém tzv. běţném období oproti základnímu se nazývá individuální jednoduchý index úrovně. [13] Ten lze vyjádřit společně s absolutním rozdílem takto: ip

p1 p0

, ∆p = p1 – p0

Vzorec č. 19 Individuální jednoduchý index úrovně a jeho absolutní rozdíl [13]

29

Individuální složené indexy Individuální sloţené indexy se zabývají porovnáním průměrných změn jednotlivých stejnorodých ukazatelů, které jsou sloţeny z jednotlivých částích spadajících do jednoho šetřeného souboru. Rozdělení individuálních sloţených indexů je opět závislé na typu či sloţení ukazatele. Individuální složený index množství lze vyuţít pouze u extenzitních veličin. Vyjadřuje podíl součtů jednotlivých hodnot za běţné a základní období. [2] Vzorec společně s absolutním rozdílem vypadá potom takto: n

q1 Iq

n

,

i 1 n

n

q1

q i 1

q0

q0 i 1

i 1

Vzorec č. 20 Individuální složený index množství a jeho absolutní rozdíl [13] Individuální složený index úrovně pracuje s intenzitními ukazateli. Jelikoţ jsou ovšem nesčitatelné zabývá se průměry jednotlivých hodnot, a to v běţném období oproti základnímu. [2] Potom ho lze v základním tvaru s absolutním rozdílem vyjádřit takto:

Ip

p1 p0

,

p

p1

p0

Vzorec č. 21 Individuální složený index úrovně a jeho absolutní rozdíl [13] Index stálého složení vyjadřuje poměr změny určité hodnoty intenzitního ukazatele ke změně průměrné hodnoty intenzitního ukazatele. Je zde důleţité potlačit extenzitní veličinu, a proto se počítá tento index buď pro běţné nebo základní období. Z toho tedy plyne, ţe existují dva vzorce pro výpočet tohoto indexu. [2] [13] Pro index struktury oproti předchozímu indexu platí, ţe jednotlivé intenzitní hodnoty jsou stálé a neměnné. Index struktury slouţí totiţ především pro zjištění změn jednotlivých extenzitních hodnot. Znamená to, ţe mohou opět nastat dvě situace neboli můţe být index struktury vyjádřen dvěma vzorci. Intenzitní veličina je buď v základním nebo v běţném období. A proto je tedy neměnná. [2] [13]

30

Souhrnné indexy Souhrnné indexy se vyuţívají především při pouţití nestejnorodých ukazatelů. Předchozí kapitoly napověděly, ţe sčítat a zprůměrovat lze pouze takové ukazatele, které jsou stejnorodé. Zjednodušeně se dá říci, ţe spadají do jedné kategorie např. druhu zboţí, výrobku atd. Ale souhrnné indexy mají právě uplatnění především pro nestejnorodé extenzitní a intenzitní ukazatele, které nelze sečíst ani zprůměrovat. Indexů spadajících do kategorie souhrnných je mnoho a většina z nich převzala název od svého autora. [13] Jeden z nich je souhrnný index hodnoty. Jeho úkolem je vyjádřit změnu hodnoty působením extenzitních a intenzitních ukazatelů. Vzorec má podobnou strukturu jako u individuálního sloţeného indexu. [2] Vzorec vypadá tedy takto: n

q1 p1 Ih

i 1 n

q0 p0 i 1

Vzorec č. 22 Souhrnný index hodnoty [2] Dalším typem je souhrnný index množství (objemu). Ten porovnává pouze extenzitní ukazatele. V podstatě dochází k přepočtu z nestejnorodých extenzitních ukazatelů na ukazatele stejnorodé za pomoci tzv. koeficientů. Funkci koeficientů zde plní intenzitní veličiny, které jsou ve stálém tvaru základního nebo běţného období. Základní vzorce pro výpočet souhrnného indexu mnoţství (objemu) jsou tedy dva. Jeden pro intenzitní ukazatele v základním období a druhý pro intenzitní ukazatele v běţném období (viz vzorec č. 23). Některé literatury se zabývají dalšími typy těchto indexů, které právě mají názvy po svých autorech. Jedná se např. o Loweův objemový index, Laspeyresův objemový index, Paascheho objemový index nebo Fisherův objemový index. [2] [13] n

n

q1 p1

q1 p 0 Io

, Io

i 1 n

i 1 n

q0 p0

q 0 p1 i 1

i 1

Vzorec č. 23 Souhrnný index množství v základním, resp. běžném období [2] Souhrnné indexy úrovně (ceny) jsou přesným opakem předchozího typu indexů, tedy indexů mnoţství. Souhrnné indexy úrovně (ceny) totiţ slouţí k porovnání pouze 31

intenzitních ukazatelů. Funkci tzv. koeficientů zde tentokrát plní extenzitní ukazatele, jejichţ hlavním úkolem je přeměnit nestejnorodé intenzitní ukazatele na stejnorodé. Extenzitní ukazatel je opět ve stálém stavu, a to buď v základním nebo běţném období. Vzorce pro souhrnné indexy úrovně (ceny) budou opět dva (viz vzorec č. 24). Některé literatury se zmiňují opět o dalších typech indexů. Jedná se o Loweův cenový index, Laspeyresův cenový index, Paascheho cenový index a Fisherův cenový index. [2] [13] n

n

q1 p1 Ic

q 0 p1

, Ic

i 1 n

i 1 n

q1 p 0

q0 p0

i 1

i 1

Vzorec č. 24 Souhrnný index úrovně v běžném, resp. základním období [2]

32

5. Časové řady K základním metodám statistického zkoumání patří sledování a vyhodnocení dosavadních zpracovaných veličin. Ať uţ v ekonomické, hospodářské, ale i jiné oblasti dokáţe odhad budoucího vývoje pomoci v několika ohledech. Např. při rozhodování o budoucích plánech, projektech atd. A právě v těchto oblastech mají své vyuţití časové řady. Dokáţou totiţ na základně dosavadních zjištěných veličin vytvořit přibliţnou prognózu budoucího stavu. Více sledovaných a zjištěných veličin, řad a obdobích za předchozí dobu zaručuje větší přesnost výsledku časových řad a tedy i lepší odhad budoucího vývoje. Jednotlivé veličiny, s kterými se dále pracuje musí splňovat určité podmínky a doporučení. Jedním z nich je to, ţe všechny veličiny musí být stejného charakteru. Zkoumané veličiny musí být po celou dobu sledování stejné především z hlediska obsahu. Jinak dochází ke zkreslení výsledku časové řady, a to bývá právě nejčastější příčinou nedokonalých prognóz a odhadů. Podle typu veličin a jejich vlastností lze časové řady rozdělit dle různých hledisek. [7]

5.1 Třídění časových řad Časové řady lze dělit: [9] a) podle rozhodného časového okamžiku: Intervalové (hodnota určité veličiny za časový interval) Okamţikové (hodnota určité veličiny k danému okamţiku) b) podle periodicity: Dlouhodobé (víceleté, většinou od jednoho roku a více) Krátkodobé (bývají do jednoho roku - půlroční, čtvrtletní, měsíční) c) podle druhu sledovaných ukazatelů: Časové řady primárních ukazatelů (jedná se o ty přímo pozorované veličiny) Časové řady sekundárních ukazatelů (jsou to jiţ odvozené veličiny)

33

d) podle způsobu vyjádření údajů: Časové řady naturálních ukazatelů (hodnoty vyjádřeny v naturálních jednotkách) Časové řady peněţních ukazatelů (peněţní forma vyjádření) Toto je jedna z moţností jak lze jednotlivé časové řady dělit podle různých hledisek. Tou nejpouţívanější variantou je dělení na intervalové a okamţikové časové řady. To se uvádí v převáţné většině literatur. U intervalových časových řad je tím nejdůleţitějším parametrem interval, který ovlivňuje velikost celé časové řady. Pokud nastane situace, ţe jednotlivé intervaly nejsou stejné, jednou z moţností je vyuţití tzv. přepočtu na jednotkový interval. Ve zkratce dochází k tomu, ţe jednotlivé hodnoty jsou vyděleny skutečnou hodnotou a tento výsledek se dále násobí hodnotou stejnou pro všechny intervaly. Potom takto upravené intervaly lze podrobit součtu. [12] Naopak okamžikové časové řady mají za rozhodující parametr okamţik nebo stav. Pouţívají se k vyjádření nějakého stavu. Např. počtu obyvatel, porodnosti atd. k nějakému určitému datu. Součtu mezi jednotlivými stavy zde není potřeba. K tzv. shrnování jednotlivých hodnot se u okamţikové časové řady vyuţívá chronologického průměru. Pokud jsou jednotlivé intervaly okamţiků stejné vyuţívá se prostý chronologický průměr. Jestliţe však nastane situace, ţe intervaly časových okamţiků nejsou stejně velké musí se počítat s váţeným chronologickým průměrem. [12] Pokud jde o grafické znázornění časových řad jsou nejvhodnější spojnicové grafy. Pro intervalové časové řady lze vyuţít i graf sloupcový. [7]

5.2 Součtové časové řady Do této kategorie spadají nepochybně intervalové časové řady. Jedná se tedy o takové časové řady, jejichţ intervaly lze shrnovat součtem. Poté lze zrekonstruovat tzv. kumulativní časové řady a časové řady klouzavých průměrů označující se hromadně pod jedním pojmem právě jako součtové časové řady. [7] Kumulativní časová řada vychází ze standardní intervalové řady. K výsledné hodnotě kumulativní časové řady se totiţ dospěje postupným načítáním všech hodnot chronologicky po sobě jdoucích intervalů. Kumulované hodnoty informují o tom, jak se mění určitá sledovaná veličina od začátku pozorování aţ po samotný konec. Následně lze porovnat skutečnou kumulovanou hodnotu od plánované a realizovat tak např. průběţnou kontrolu plnění plánu, příjmů či výdajů atd. [7] 34

Další variantou součtové časové řady je tzv. časová řada klouzavých (pohyblivých) úhrnů, někdy také označovaná jako klouzavé průměry. Jednotlivé klouzavé úhrny jsou vţdy stejně veliké a dochází tak k součtu jednotlivých, po sobě jdoucích intervalů. Klouzavé úhrny jsou vţdy počítány za nějaké časové období. Zvolené časové období (týdenní, měsíční, roční atd.) je rozděleno do stejných časových intervalů. Tyto časové intervaly se navzájem překrývají. V praxi to znamená, ţe pokud např. bude přicházet v úvahu časová řada o 12-ti měsíčních intervalech a úkolem bude vypočítat tříměsíční klouzavé úhrny, potom bude postup následující. Časová řada o 12-ti měsících se rozdělí na bezprostředně po sobě jdoucí tříměsíční intervaly. Znamená to tedy, ţe prvním intervalem bude 1. aţ 3. měsíc, druhým 2. aţ 4. měsíc, třetím 3. aţ 6. měsíc atd. První klouzavý úhrn je roven součtu prvních tří měsíců a poslední klouzavý úhrn zase těch posledních třech. [7] Volba časové řady a především její délka se ve většině případech určuje na základě dlouhodobých zkušeností. Základními typy klouzavých průměrů jsou prosté klouzavé průměry, vážené klouzavé průměry a centrované klouzavé průměry. Ty váţené od prostých, jak uţ napovídá sám název, se liší především pouţitím aritmetického průměru. Centrované se řadí do kategorie speciálních klouzavých průměrů. [12]

5.3 Vyrovnání časových řad V předešlých kapitolách byla zmínka o tom, ţe jednou z vlastností časových řad je schopnost prognózy budoucího stavu. Jiţ samotný pohled na řadu čísel hodně napoví, zda se bude jednat o rostoucí či klesající vývoj. Tak, aby mohl být však odhad proveden co nejpřesněji je důleţité ze všech zkoumaných hodnot v časové řadě vystihnout tzv. trendovou sloţku. Musí se počítat s tím, ţe na trendovou sloţku v mnoha případech působí hodnoty, které ji svým kolísáním ovlivňují. Jedná se především o výkyvy hodnot nebo náhodné kolísání. Tyto činitele je potřeba co nejvíce omezit na minimum. Skutečné hodnoty jsou tedy do budoucna nahrazeny pouze teoretickými výpočty, které charakterizují určitý budoucí trend. A to je právě hlavním úkolem vyrovnání časových řad. [2] Samotná statistika nabízí několik moţností vyrovnání časové řady. Jednotlivé moţnosti a metody se od sebe liší pouţitím určité matematické funkce, vyjádřené např. přímkou, exponenciální křivkou nebo parabolou atd. Podle hodnot časové řady se volí ta nejvhodnější metoda. Tou nejpouţívanější je vyrovnání časové řady pomocí přímky. Zde se vyuţívá lineární funkce, jejíţ grafickým vyjádřením je právě přímka. Pro přímku je charakteristická růstová konstantní funkce. Někdy se tato funkce také označuje jako dvou parametrová. A to z toho důvodu, ţe k vyrovnání časové řady je potřeba znát dva základní 35

parametry (viz vzorec č. 25). Tato funkce má především své vyuţití v takové časové řadě, kde jednotlivé hodnoty vykazují téměř stejné přírůstky. [7]

xy

b1

x

x.y

2

2

x

, b0

 b1 x , y

y

b0

b1 x

Vzorec č. 25 Parametry a výsledná trendová lineární funkce [1] Pokud však jednotlivé hodnoty jsou lineárního charakteru a mají tendenci růst nebo klesat vyuţívá se vyrovnání časové řady kvadratickou funkcí. Výpočet se určuje tzv. metodou nejmenších čtverců, a to za pomoci tří rovnic (viz vzorec č. 26). [7]

b0 n b0 b0

b1

xi

b2

xi

2

yi

xi

b1

xi

2

b2

xi

3

xi yi

2

b1

xi

3

b2

xi

4

xi yi

xi

2

Vzorec č. 26 Tři rovnice pro výpočet výsledné trendové kvadratické funkce [1] Z pohledu nelineárních veličin se pouţívá tzv. mocninná funkce. Vyuţívá se vyrovnání časové řady exponenciální trendovou funkcí. Tato funkce se pouţívá v takových případech, jestliţe se jedná o téměř stejné hodnoty růstu. Pokud se však tempo růstu mění a blíţí se k jedné konstantní hodnotě je vhodnější pouţít tzv. modifikovanou (posunutou) exponenciální funkci. Výpočet obsahuje tzv. parametr posunutí. [7] Dalším typem je lineárně lomená trendová funkce. Ta své vyuţití nachází především v takových časových řadách, kde jednotlivé přírůstky ve výsledku vlastně vyjadřují pokles. A ten je vystiţen právě hyperbolickou funkcí. [7] Mezi další skupinu trendových funkcí patří takové funkce, které jsou závislé na tzv. bodu nasycení. Sem se řadí např. Törnquistova funkce, logistická funkce atd. Ty uţ jsou ovšem méně známé a vyuţívané. [7]

36

6. Závislost, regrese a korelace Pojmy jako závislost, regrese a korelace jsou obsahem této kapitoly. Jednotlivé termíny se vzájemně prolínají a navazují na sebe. Závislost jako taková je popsána určitými veličinami a na základě jejich charakteru ji lze dále dělit. Samotnou míru závislosti mezi zkoumanými veličinami udává korelace neboli tzv. korelační analýza. Případně také zkoumá tzv. míru intenzity (těsnosti). Úkolem regrese neboli regresní analýzy je vyjádřit vztah mezi danými veličinami matematickým tvarem. [11] Jednotlivými pojmy se zabývají dále následující kapitoly.

6.1 Zkoumání závislosti V jakékoli oblasti kaţdodenního ţivota lze sledovat určitou vzájemnou vazbu mezi určitými jevy. V praxi se jedná např. o vztah mezi počtem prodaných výrobků a ziskem. Vţdy jeden jev vyvolává ten druhý. Základem je ovšem nějaký následek, který vyvolá příčinu. Zatímco příčinu jevu lze označit jako nezávislé proměnné, tak následek jsou závislé proměnné veličiny. Nezávislé proměnné veličiny se ve většině případech označují písmenem x a závislé proměnné veličiny písmenem y. Závislost jako takovou lze podle typu veličin dále rozlišovat. [2] Jestliţe nezávisle proměnná hodnota (x) je spjata jen se závisle proměnnou hodnotou (y) jedná se o funkční závislost. Ta se někdy také nazývá jako pevná. [2] Dalším typem je závislost stochastická. Někdy označována jako volná. A to z toho důvodu, ţe nezávisle proměnná hodnota (x) tentokrát přísluší více hodnotám závislé proměnné (y). Tato závislost se zkoumá při větším počtu jevů. [2] Mezi jednotlivými jevy můţe nastat i tzv. nezávislost. Potom je střední hodnota (y) v závislosti na hodnotě (x) neměnná. [11] Při sledování určitého vztahu mezi dvěma veličinami (x a y) jsou tyto veličiny popsány určitým matematickým vztahem. To je úkolem regresní analýzy. Dalším z úkolů je sledovat, zda je mezi jednotlivými veličinami nějaká závislost. Pokud je mezi nimi tzv. míra intenzity (těsnosti). To je úkolem korelační analýzy. Jejich podrobnějším popisem se zabývají následující kapitoly. [11]

37

6.2 Regrese Regrese určuje matematický tvar mezi veličinami a vystihuje jejich průběh k určité zkoumané závislosti. Pro určení regrese se vyuţívá tzv. regresní analýzy. Regresní analýza vyuţívá regresních funkcí (spojnic trendů). Na základě regresních funkcí lze vytvořit grafické zobrazení zkoumaných veličin, coţ je mnohem přehlednější forma prezentace zkoumaných dat. To není ovšem jediná moţnost a výhoda regresní analýzy. Za pomoci regresních funkcí si lze totiţ vytvořit také určitou prognózu dat. Především předpověď do budoucna bývá hodně vyuţívána. Podobně jako u časových řad. Samotná matematická prognóza lze realizovat jak před, tak i za hranicí zobrazených hodnot. Je moţné také zjistit přibliţnou přesnost dané matematické prognózy pomocí tzv. těsnosti závislosti. To uţ je ovšem v rámci korelace, kterou se zabývá následující kapitola. [8] K odhadu jednotlivých parametrů jiţ naměřených veličin se často v praxi vyuţívá tzv. metody nejmenších čtverců. Nejprve se musí k doposud naměřeným hodnotám zvolit nejvhodnější a odpovídající křivka. To je totiţ prvním krokem kaţdého statistika. Nejdříve se zvolí typ funkce. Pro kaţdou regresní funkci odpovídá jiná křivka. Metoda minimálních čtverců jiţ pouze hledá ty nejvhodnější a nejpřesnější hodnoty pro danou zvolenou funkci. Tyto funkce mají název podle tvaru křivky. Mezi ty nejpouţívanější tedy patří: [8] Lineární Exponenciální Mocninná Logaritmická Polynomická Mezi nejjednodušší patří lineární funkce nebo také lineární spojnice trendu. K vyrovnání naměřených hodnot se vyuţívá přímka. Je vyuţívána většinou u hodnot, které rostou nebo klesají téměř konstantní měrou. [8] Další moţností je exponenciální spojnice trendu. Její křivka se vyuţívá především v situacích, pokud hodnoty stoupají nebo klesají po stále větších periodách. A tehdy, jestliţe naměřené veličiny nejsou záporné nebo nulové. [8] Pro mocninnou spojnici trendu je charakterizující to, ţe ji není moţné opět vyuţít pro nulové a záporné hodnoty. Své vyuţití nachází tam, kde data stoupají po určitých stejných periodách (např. po 1 sekundě, minutě atd.). [8]

38

Kladné, ale i záporné hodnoty lze pouţít u logaritmické spojnice trendu. Tato křivka je vhodná pro data, která stoupají nebo klesají po velkých hodnotách aţ do nějaké mezní hodnoty, kde se ustálí. Polynomická trendová funkce nachází své uplatnění u takových hodnot, které jsou velmi nestálé. Vyuţívá se tedy pouze tehdy, pokud nelze pouţít jednodušší funkci.

6.3 Korelace Korelace vyjadřuje určitou závislost mezi dvěma a více proměnnými. Posuzuje tzv. těsnost této závislosti a dokáţe zhodnotit regresní analýzu z pohledu kvality. K tomuto zhodnocení slouţí tzv. index korelace, někdy znám také jako korelační koeficient. Ten se značí malým písmenem r. Korelační koeficient a jeho číselná hodnota určují spolehlivost dané pouţité regresní funkce. Vyjadřuje určitou provázanost pouţitých proměnných. [8] Samotný korelační koeficient můţe nabývat hodnot v uzavřeném intervalu (-1, 1). Je dáno, ţe čím více se koeficient blíţí 1, tím je závislost pevnější. Pokud se korelační koeficient pohybuje v rozmezí 0 aţ 1 jedná se o kladnou korelaci. Zkoumané hodnoty jsou mezi sebou přímo úměrné. Opakem je záporná korelace s korelačním koeficientem v rozmezí od 0 do -1. Jednotlivé hodnoty jsou v tomto případě mezi sebou neúměrné. [2] K výpočtu korelačního koeficientu slouţí vzorec, který má tvar:

xi yi

r xi

2

nx

2

nx y yi

2

ny

2

Vzorec č. 27 Korelační koeficient [2] Podle výsledné hodnoty korelačního koeficientu se zjistí míra závislosti (viz tabulka č. 1). Lze rozlišovat slabou, průměrnou, silnou nebo velmi silnou závislost. [8] Tabulka č. 1 Míry korelace [8] Hodnota koeficientu r

Míra závislosti

0,0 – 0,3

slabá

0,3 – 0,7

průměrná

0,7 – 0,9

silná

0,9 – 1,0

velmi silná

39

7. Zpracování získaných dat V předchozích kapitolách je popsán určitý postup správného plánu statistického zkoumání. Jeden z prvních kroků a bodů je statistické zjišťování. Tato část se zabývá především získáváním údajů o zkoumané jednotce. Předmětem mého zkoumání je rozpočet města Strakonice. Rozhodl jsem se zabývat výdaji a příjmy města. A to za několik předešlých let. Na ekonomickém úseku města jsem dostal přístup k jednotlivým reálným hodnotám. Z jejich koncepce bylo nejvhodnější zvolit období od roku 2002 aţ do letošního roku 2010. Získaná data byla připravena jiţ k samotnému zpracování. Shromáţděná data bylo dále nutné rozdělit a především roztřídit tak, aby co nejlépe vystihovala hodnoty příjmů a výdajů. Třídění dat spadá do etapy statistického zpracování. Jedná se tedy jiţ o práci s daty, a to i v podobě výpočtů. Z roztříděných dat jsem postupně vytvořil dvě tabulky. První (viz. tabulka č. 2) se zabývá pouze výdaji města. Jednotlivé sumy výdajů jsou rozděleny podle jednotlivých odborů města Strakonice. Kromě odborů se mezi nimi vyskytují i další frekventované poloţky. Dále je vše roztříděno samozřejmě postupně po jednotlivých rocích. Druhá tabulka (viz. tabulka č. 3) se zabývá pouze příjmy. Příjmy se dělí především podle toho zda jsou daňové, nedaňové nebo kapitálové. Další významnou součástí příjmů jsou dotace, příspěvky a granty. Základními jednotkami obou tabulek jsou miliony korun. Na jejich konci je obsaţena poloţka celkem, která sčítá všechny poloţky výdajů či příjmů za daný rok. Jednotlivé tabulky příjmů a výdajů jsou součástí následující kapitoly 7.1. Je nutno dodat, ţe jednotlivé hodnoty v tabulkách jsou zaokrouhleny dle matematických pravidel. Hned bezprostředně po třídění dat následují samotné výpočty a realizace dalších tabulek a grafů. Je nutné dodat, ţe i kdyţ teoretická část se zabývá výpočtem několika ukazatelů, tak v tomto případě byly pouţity pouze ty nejvhodnější pro práci s danými hodnotami. Jedná se tedy především o poměrný ukazatel vývoje. Ten se právě pouţívá v situacích při sledování vývoje v nějakém časovém horizontu. Následující poměrný ukazatel struktury dokáţe vystihnout procentuální podíl určitých částí a vystihnout ty, které hrají významnější roli. Nakonec jsou vypočteny nejčastěji realizované moţnosti vyrovnání časových řad. Na základě jejich odhadu lze realizovat prognózu budoucího stavu. Jedná se o vyrovnání časové řady lineární, kvadratickou, exponenciální a lineárně lomenou trendovou funkcí.

40

7.1 Tabulky výdajů a příjmů Tabulka č. 2 Výdaje města v jednotkách mil. Kč Rok Odbor Majetkový Životního prostředí Dopravy Sociální Rozvoje Vnitřních věcí Školství Úvěry a půjčky Městská policie Kancelář tajemníka Měs. ústav soc. služeb Kulturní středisko Knihovna Správa města Údržba města Ostatní CELKEM

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

141,2

134,9

182,7

244,5

154,4

151,4

146,1

173,7

421,6

4,5

8

6,1

6,4

11,2

32,4

13,4

7,9

11,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,2

66,4

57,2

39,1

33,8

40,6

43,7

102,6

115,3

118,5

6,4

13,3

14

6,5

16,3

3,7

8,8

7

3,3

1,2

1,2

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,5

69,4

38,6

25,8

22,6

27,6

29,6

46,2

41,2

43,5

1,3

0,7

13,5

12,3

13,7

1,9

1,8

2,7

3,3

9,5

11,1

12

12,2

13

13,6

14,9

16

14

82,3

108,5

75,1

107,1

118,5

88,7

96,5

103,5

96,4

38,6

48,1

42,7

42,7

41,3

1

-

-

14,9

10,6

31,2

10,8

12,2

16,1

16,8

18,2

17,2

18

-

4,7

5,9

5,9

7

7,2

8,8

8,9

8,7

23,9

24,5

19,2

20,5

24,6

26,5

13,2

21,7

20

20,9

38,5

35,1

40

40

41,3

43

44

44

4,2

4,2

34,2

8,1

4

44

29

29,5

24,6

480,5

524,8

518

576,6

530,1

503,6

544,3

590,4

843,6

Tabulka vystihující výdaje města za dané období. Tato tabulka je tedy součástí třídění statistického zpracování. Jak lze sledovat tak v prvních letech po roce 2002 celková suma výdajů mírně kolísala, ale měla spíše stoupající tendenci. Aţ na letošní rok 2010. Tento rok výdaje extrémně vzrostly. Nejvýznamnější měrou se na výdajích určitě podílí majetkový odbor a kancelář tajemníka.

41

Tabulka č. 3 Příjmy města v jednotách mil. Kč Rok Příjmy SDP Daňové příjmy

VDP Správní poplatky Ostatní daně Lesy

Nedaňové příjmy

PZPM PSP PÚRFM

Ostatní příjmy Příjmy, dotace, příspěvky a granty Kapitálové příjmy CELKEM

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

123,5 131,5 131,5 158,7 176,2 184,8

203,7

215

184

38

38

40

41

41

51

36

47

38

2,9

4,8

7

10,9

11,2

11,7

12,7

12,7

12,3

9

12,3

12,7

15,5

15,6

16,2

18

18,6

17,4

0,6

0,5

1,1

1,2

1,3

1,2

0,6

0,6

0,7

28,3

101

123,4

27,7

38

39,7

42,7

42,3

43,6

0,9

1,7

1,9

2,3

2,3

2,6

2,8

2,1

2,2

0,6

0,5

2,6

7,3

8,8

8,1

7,3

5,4

3,3

4,4

36,3

13,4

10,9

9,6

4

12,6

6,8

55,7

49,1

103,5 106,1 174,1 114,5 116,9

156,6

177,2

292,7

55,5

19,2

30

27,5

512,2

557,7

677,4

18

21

75

30

10

275,3 485,6 460,7 524,6 448,5 446,2

Zkratky uvedené v tabulce mají následující význam: SDP - sdílené daňové příjmy (daň z příjmů právnických a fyzických osob) VDP - výlučné daňové příjmy (daň z nemovitostí atd.) PZPM - příjmy z pronájmu majetku (např. pivovar, pozemky atd.) PSP - přijaté sankční platby (pokuty) PZÚRF - příjmy z úroků a revitalizace finančního majetku (dividendy, úroky atd.) Uvedená tabulka vystihuje tentokrát příjmy města. Oproti roku 2002 příjmy v roce 2003 výrazně vzrostly. Poté se následující roky lišily řádově v několika desítkách milionů. Aţ na současný rok 2010. Zde stouply opět poněkud výrazněji. Největší měrou příjmů města přispívají sdílené daňové příjmy a příjmy z dotací, příspěvků a grantů.

42

7.2 Poměrný ukazatel vývoje Poměrný ukazatel vývoje dokáţe charakterizovat procentuální vývoj příjmů a výdajů. A to buď v návaznosti na jednu, stálou hodnotu nebo vţdy na tu nejbliţší předcházející. Jedná se tedy o poměrné ukazatele se stálým nebo s pohyblivým základem.

7.2.1 Řetězové indexy Řetězové

indexy

reprezentují

poměrný ukazatel

s pohyblivým základem.

Procentuální vyjádření se tedy vztahuje vţdy k nejbliţšímu předcházejícímu roku. Řetězové indexy charakterizují tabulky zvlášť pro výdaje města a zvlášť pro příjmy. Tabulka v příloze č. 1 zabývá nejprve výdaji. Prvním rokem plánu statistického zkoumání je rok 2002. Základem tohoto roku, tak jako kaţdého předcházejícího je hodnota 100 %. Tento rok není tedy v tabulce uveden a znamená to, ţe rok 2003 vyjadřuje procentuální růst či pokles od roku 2002, tedy pokud procentuální hodnota roku 2003 je např. 75 %, potom je hodnota výdaje oproti roku 2002 o 25 % menší. Tabulka není zcela kompletní z hlediska všech odborů a odvětví. Městský ústav sociálních sluţeb a knihovna města Strakonice totiţ v některých letech vůbec nezasáhly do rozpočtu města a tak nelze určit všechny hodnoty zkoumaného období. Z tabulky je vidět, ţe po celé zkoumané období vykazuje odbor dopravy konstantní výdaje. Výdaje se totiţ kaţdým rokem pro tento odbor blíţí k hranici sta tisíc. Ovšem aţ na letošní rok. Hodnota je sice dvojnásobná, ale do tabulky řetězových indexů jiţ nemohla zasáhnout. Jeden z největších výkyvů jak lze sledovat zaznamenalo odvětví úvěrů a půjček. Především nárůst roku 2004 od roku 2003. V letech 2004 aţ 2006 totiţ město velkou měrou splácelo úroky a splátky spojené s rekonstrukcí kanalizace a městského pivovaru. Z přílohy č. 2 lze také sledovat tabulku, která se zabývá výhradně příjmy. Princip návaznosti jednotlivých let na předešlé je zde samozřejmě stejný jako u řetězových indexů týkajících se výdajů. Rok 2002 opět není uveden v tabulce, jelikoţ nemá návaznost na ţádný předešlý rok. V tomto případě se jiţ konstantní příjmy dle řetězových indexů hledají hůře. Lze sem zařadit např. sdílené daňové příjmy (SDP). Procentuální růst či pokles je zde asi nejméně výrazný. I kdyţ jsou rozdíly mezi jednotlivými léty v desítkách miliónů, díky vysokým hodnotám řetězové indexy byly téměř neměnné. Z toho plyne, ţe je třeba s nimi pracovat citlivěji. Zato největší výkyvy zaznamenalo odvětví ostatních příjmů. A to především v roce 2003 a 2010. Důvodem jsou např. nahodilé příjmy, odpočet DPH atd.

43

7.2.2 Bazické indexy Jedná se o poměrný ukazatel s pevným základem. Procentuální vyjádření se zde vztahuje k pouze jedné, pevně dané hodnotě. Pevným základem jsem volil rok 2002 z důvodu sledování postupného vývoje výdajů a příjmů aţ k letošnímu roku. V příloze č. 3 se tabulka zabývá výdaji. Pevnou hodnotou byla určena hodnota výdaje odpovídající roku 2002. Ta je tedy rovna velikosti 100 %. Kaţdé další procentuální vyjádření v ostatních letech daných odborů a odvětví se vztahuje pouze k roku 2002. Následující roky tedy vyjadřují procentuelní podíl z hodnoty roku 2002. Pokud bude brán vývoj k letošnímu roku 2010 docházelo ve většině případech k růstu výdajů v jednotlivých odborech a odvětví. Je zajímavé, ţe např. do odboru školství či rozvoje se investuje méně nákladů neţ v roce 2002. Odvětví knihovny tentokrát není součástí tabulky z důvodu, ţe v daném roce 2002 byly náklady nulové. V příloze č. 4 tabulka reprezentuje příjmy vyjádřené bazickými indexy. Tentokrát jsou ve všech případech příjmy z letošního roku oproti roku 2002 vyšší. V některých případech příjmy mnohonásobně vzrostly, a to např. u ostatních příjmů nebo u příjmů z dotací a grantů, coţ je určitě pozitivní.

7.3 Grafy příjmů a výdajů

Výdaje města 450

Výdaje [mil. Kč]

400 350 300

Majetkový

250

Sociální

200

Školství

150

Kancelář tajemníka

100 50 0 2000

2002

2004

2006

2008

2010

2012

Období [rok]

Graf č. 1 Výdaje města s některými odbory a odvětvími

44

Graf č. 1 znázorňuje křivky výdajů některých odborů a odvětví. Záměrně byly vybrány ty nejzajímavější. Nejprve majetkový odbor. Je zajímavé, ţe tento odbor si drţí téměř konstantní výdaje aţ na rok 2005 a 2010. V letošním roce se výdaje téměř aţ ztrojnásobily. Majetkový odbor má totiţ velký záběr a má na starosti především rekonstrukce a opravy budov, škol, komunikací, chodníků atd. Kancelář tajemníka zaznamenala nerovnoměrný vývoj. Spadá sem vše týkající se kolem zaměstnanců města. Proto je tato poloţka poněkud nestálá. Odbor sociální zaznamenává nárůst především v posledních letech. Spadají sem především sociální dávky. Je škoda, ţe na odbor školství, zabývající se především mateřskými a základními školami zbývalo v posledních letech stále méně peněz i kdyţ drobný nárůst zaznamenal.

Příjmy města 350 Příjmy [mil. Kč]

300 250

Sdílené daňové příjmy

200

Příjmy z pronájmu majetku

150

Dotace, granty atd.

100 50 0 2000

2002

2004

2006

2008

2010

2012

Období [rok]

Graf č. 2 Příjmy města z některých odvětvích Tentokrát graf č. 2 zaznamenává pouze příjmy opět z vybraných odvětví. Neustále rostoucí křivka dotací a grantů je velkým plusem pro město. Spadají sem dotace na větší projekty v daných letech atd. I sdílené daňové příjmy (SDP) aţ na letošní rok neustále rostly. Jedná se především o daňové příjmy fyzických a právnických osob. Příjmy z pronájmu majetku (PZPM) obohatily město nejvíce v letech 2003 a 2004. Do této kategorie spadají příjmy především z pronájmu pozemků, prostor, vodohospodářského majetku atd.

45

7.4 Poměrný ukazatel struktury Poměrný ukazatel struktury vyjadřuje procentuelní podíly určitých částí zkoumaného objektu k celému celku. Hlavním úkolem těchto ukazatelů je tedy určit v jakém měřítku jednotlivé části zasahují do daného celku. V mém případě tedy, který z oborů či odvětví je největším zdrojem příjmů nebo výdajů města. Pro poměrný ukazatel struktury odpovídají opět dvě tabulky, zvlášť pro příjem a zvlášť pro výdaje. Výsledky tabulek jsou vyjádřeny pomocí výsečových grafů. Výdajům tentokrát odpovídá tabulka v příloze č. 5. V tabulce jsou vypočteny procentuální podíly jednotlivých zkoumaných odborů a odvětví za celé sledované období v letech 2002 aţ 2010. Jednotlivé sumy procent jsou převedeny i do reálných výdajů v milionech Kč. Je moţné tedy sledovat do jaké míry celkového rozpočtu zasáhly zkoumané odbory a odvětví, ale i v jakém rozsahu se pohybovaly výdaje v jednotlivých letech. Výsečový graf odpovídá jednotlivým odborům a odvětvím.

Výdaje města v % dle jednotlivých odborů a odvětví

Majetkový Kancelář tajemníka Sociální

4,49

Údržba města

3,8 6,78

6,74

2,96

12,07

Školství

3,56

Měs. ústav soc. péče

1,12

Správa města

1

2,28 5,951,55

Ostatní 0,28

17,5

0,02 1,98 34,24

Kulturní středisko Městská policie Životního prostředí Rozvoje Knihovna Úvěry a půjčky Vnitřních věcí Dopravy

Graf č. 3 Procentuelní poměr výdajů dle jednotlivých odborů a odvětví Tento graf a jednotlivé hodnoty tedy znázorňují procentuální poměr daného odboru nebo odvětví za sledované období v letech 2002 aţ 2010. Do výdajů města nejvíce zasáhl majetkový odbor. Je vidět, ţe vzhled města a rekonstrukce jeho částí zabere nejvíce finančních prostředků města. Dále je to kancelář tajemníka, která se zabývá především 46

platy, odměnami a náhradami za nemocenskou pracovníků města. Velkou měrou do rozpočtu města zasahuje i sociální odbor. Příspěvky sociálním organizacím a potřebné sociální dávky zatěţují také velkou měrou rozpočet. Dost financí je vynaloţeno také do údrţby města a školství. Příjmům odpovídá tabulka v příloze č. 6. Koncept je stejný jako v případě výdajů. Lze tedy opět sledovat procentuelní vyjádření jednotlivých odvětví přispívajících do příjmů města za sledované období. Dále i podíl příjmů za jednotlivé roky. Výsečový graf se věnuje opět jednotlivým odvětvím.

Příjmy města v % dle jednotlivých odvětví

SDP VDP Správní poplatky

8,43 6,52

11,09

3,5

Ostatní daně 1 0,43

3,08 29,41

0,18

3,57

34,39

Lesy PZPM PSP

1,96

PÚRFM Ostatní příjmy Příjmy, dotace, příspěvky a granty Kapitálové příjmy

Graf č. 4 Procentuelní poměr příjmů dle jednotlivých odvětví Tento graf vyjadřuje procentuelní poměr jednotlivých odvětví z hlediska příjmů města Strakonice v letech 2002 aţ 2010. Největší měrou do rozpočtu města přispěly sdílené daňové příjmy (SDP) a výlučné daňové příjmy (VDP). Jedná se tedy především o daně z příjmů fyzických a právnických osob, ale také o daně z nemovitostí. Správní poplatky v podobě stavebních povoleních, ţivnostenských listů atd. také obohacují slušně rozpočet města. Důleţité prostředky pro financování města přináší i ostatní daně, lesy nebo příjmy z pronájmu majetku.

47

7.5 Zhodnocení hospodaření města Pokud se jedná o výdaje, tak bezpochyby majetkový odbor největší měrou zatěţuje rozpočet města. V letošním roce 2010 tvoří dokonce polovinu ze všech celkových výdajů. Coţ činí téměř 422 milionů, a to je třikrát více neţ v předchozích letech. Takto velké výdaje jsou zapříčiněny především rekonstrukcí Velkého náměstí, výstavbou nové budovy ZŠ Pováţská a výstavbou nového sálu na hradě města. V posledních třech letech také zaznamenal aţ dvojnásobný nárůst oproti rokům předchozím odbor sociální. Krize a zvyšování počtu nezaměstnaných bylo hlavním důvodem i zvyšování výdajů spojených se sociálními dávkami a podporou v nezaměstnanosti. Je pravdou, ţe i kdyţ výdaje spojené se školstvím od roku 2002 postupně klesaly, rok 2008 byl určitým zlomovým bodem k zlepšení. Město se snaţí financovat rovnoměrně především mateřské a základní školy Strakonic. Školy by měly bez těchto dotací určitě problémy. Kancelář tajemníka se jak uţ bylo zmíněno zabývá především platy zaměstnanců. A to rozpočet města také dost zatěţuje. Platy zaměstnanců a jejich sociální a zdravotní pojištění činí kaţdým rokem sumu kolem 60-ti milionů. Tato částka se po celé období téměř nemění. Ovšem v některých letech se výdaje i zdvojnásobily z důvodu pohyblivých částek v podobě odměn, investic atd. Výdaje spojené s ostatními odbory a odvětvími byly ve většině případech po celou dobu zkoumaného období téměř konstantní. Moţná aţ na poloţku ostatní, do které ovšem spadají spíše nahodilé výdaje. Celková suma výdajů se v daných letech pohybovala přibliţně kolem částky 500-ti miliónů aţ na letošní rok. Letos přesáhly 800 miliónů. Z pohledu příjmů obohacují město Strakonice pravidelně nejvíce sdílené daňové příjmy (SDP). Aţ na letošní rok tyto příjmy pravidelně rostly o několik desítek miliónů. Lze tedy sledovat, ţe kaţdým rokem přibývá stále více ţivnostníků a podnikatelů, jejichţ výdělek roste. Velmi pozitivní je, ţe s postupem času vzrostly také mnohonásobně příjmy z grantů, dotací a příspěvků. V kaţdém roce bývá pravidlem získávání dotací především na školství a sociální dávky. Např. v letošním roce se dotace města zvýšily oproti roku 2002 aţ o šestinásobek. Dosahují tedy částky téměř 300 miliónů. Takto velké dotace a granty jsou spojeny především s letošními velkými výdaji na rekonstrukci základní školy, náměstí a hradu města. Příjmy z pronájmu majetku jsou dalším důleţitým faktorem příjmů. Především pronájem vodohospodářského majetku přispívá velkou měrou. Pravidelně několika desítky miliónů obohatí město Strakonice výlučné daňové příjmy (VDP) díky daním z nemovitostí. Je vidět, ţe počet majitelů nemovitostí kolem města kaţdým rokem roste. Ostatní poloţky jsou jiţ méně výrazné, ale i příjem z nich je velmi důleţitý. Ostatní

48

příjmy a kapitálové příjmy jsou velmi nahodilé. Příjem z nich se kaţdým rokem výrazně mění a nelze jej odhadnout. Do ostatních příjmů spadají výdělky z reklamy, městského infosystému a právě z různorodých odvětví. Kapitálové příjmy se sice zabývají pouze prodejem bytů a pozemků, ale skupina zájemců se kaţdým rokem mění. Z celkových příjmů a výdajů lze sledovat, ţe příjmy rostou či klesají v návaznosti na výdaje. Pokud vzrostly za daný rok výdaje, rostly i příjmy a naopak. Jsou tedy na sobě závislé. Hospodaření města je systematické. Realizace, opravy nebo rekonstrukce se provádí aţ po získání grantu či příspěvku na daný projekt. Je to logické vyústění toho, aby se město nedostávalo do velkých finančních dluhů. I tak bývá pravidlem, ţe kaţdým rokem výdaje převýšily příjmy minimálně o několik desítek miliónů. Město v takových případech čerpá z několika fondů. V minulosti to byl např. povodňový fond, fond rozvoje bydlení atd. Dále město disponuje několika účty u různých bank, spořícími účty a cennými papíry. Dále je třeba dodat, ţe projekty do nichţ je investováno vykazují i tzv. vratky. To jsou nevyuţité prostředky, vratky za energii atd.

49

7.6 Vyrovnání časových řad Na základě dosavadních hodnot jsem vytvořil časové řady pro příjmy a výdaje města Strakonice, které se snaţí za pomoci několika typů matematických funkcí tyto řady vyrovnat a na základě teoretických výpočtů zjistit budoucí trend. Budoucí prognóza se týká roku 2015. Podle dosavadních hodnot lze tedy teoreticky odhadnout v jakých částkách by se mohly příjmy a výdaje města přibliţně pohybovat. Vyrovnání časových řad je realizováno pomocí lineární, kvadratické, exponenciální a lineárně lomené funkce. Vyrovnání časové řady lineární funkcí V příloze č. 7 je tabulka znázorňující všechny parametry pro vyrovnání časové řady výdajů lineární funkcí. Pod tabulkou jsou uvedeny detailní výpočty. Nejprve je třeba ze základních dvou veličin x (období) a y (výdaje) vypočítat další, odvozené veličiny. Díky nim lze určit potřebné koeficienty b1 a b0 a následně odhad ŷ. Tento odhad se označuje jako výsledná trendová funkce. Všechny výsledné hodnoty jsou níţe. Za neznámou veličinu x se dosazují jednotlivé roky, z jejichţ hodnot je vytvořen graf č. 5. Kromě vyrovnání časové řady lineární funkcí lze na grafu sledovat i reálné hodnoty výdajů. Odhad pro rok 2015 je roven hodnotě 812,31 miliónu Kč. b0 = 405,11, b1 = 27,15 ŷ = 405,11 + 27,15x (x = 2 pro rok 2002, x = 3 pro rok 2003 atd.)

Vyrovnání časové řady výdajů lineární funkcí

Výdaje [mil. Kč]

900,00 800,00 700,00 Reálná data

600,00

Vyrovnání

500,00 400,00 300,00 2000

2002

2004

2006

2008

2010

Období [rok]

Graf č. 5 Vyrovnání výdajů lineární funkcí 50

2012

Tabulka v příloze č. 8 společně s detailními výpočty znázorňuje tentokrát vyrovnání časové řady příjmů lineární funkcí. Princip výpočtu koeficientů zůstává stejný jako u výdajů. Z veličin x (období) a y (příjmy) jsou opět dopočítány potřebné další veličiny a za pouţití především jejich aritmetických průměrů se určí opět koeficienty b1 a b0. Následně je určena výsledná trendová funkce ŷ. Její výsledná hodnota s hodnotami koeficientů jsou uvedeny níţe. Odhad pro rok 2015 je 764,97 miliónu Kč. Následující graf č. 6 znázorňuje body reálných dat v jednotlivých letech a vyrovnání lineární funkcí vytvořené z teoretických hodnot. b0 = 302,65, b1 = 30,82 ŷ = 302,65 + 30,82x (x = 2 pro rok 2002, x = 3 pro rok 2003 atd.)

Vyrovnání časové řady příjmů lineární funkcí

Příjmy [mil. Kč]

800,00 700,00 600,00 Reálná data

500,00

Vyrovnání

400,00 300,00 200,00 2000

2002

2004

2006

2008

2010

Období [rok]

Graf č. 6 Vyrovnání příjmů lineární funkcí

51

2012

Vyrovnání časové řady kvadratickou funkcí V příloze č. 9 tabulka znázorňuje parametry potřebné pro realizaci vyrovnání časové řady kvadratickou funkcí. Základem jsou opět dvě veličiny x (období) a y (výdaje). Z nich se určují ostatní potřebné veličiny. Tentokrát se pracuje především s jejich jednotlivými součty. Pro výpočet výsledné trendové funkce ŷ je totiţ třeba tentokrát zjistit tři koeficienty b0, b1 a b2. Ze třech uvedených rovnic pod tabulkou v příloze se určí dvě základní matice A a b. Z matice A je vytvořena inverzní matice A-1 a z jejího součinu společně s maticí b lze určit právě tři potřebné koeficienty. Detailní výpočty jsou v příloze pod tabulkou. Výsledné hodnoty lze sledovat níţe. Prognóza pro rok 2015 je 1409,02 miliónu Kč. Na následujícím grafu č. 7 lze sledovat vyrovnání časové řady kvadratickou funkcí opět společně s reálnými hodnotami. b0 = 640,58, b1 = - 69,18, b2 = 8,03 ŷ = 640,58 - 69,18x + 8,03x2 (x = 2, x2 = 4 pro rok 2002 atd.)

Vyrovnání časové řady výdajů kvadratickou funkcí

Výdaje [mil. Kč]

900,00 800,00 700,00

Reálná data

600,00

Vyrovnání

500,00 400,00 300,00 2000

2002

2004

2006

2008

2010

Období [rok]

Graf č. 7 Vyrovnání výdajů kvadratickou funkcí

52

2012

Tabulka v příloze č. 10 znázorňuje vyrovnání časové řady příjmů kvadratickou funkcí. Obsahuje stejné veličiny jako v předchozím případě u výdajů. Opět jsou tedy základem dvě veličiny x (období) a y (příjmy), z nichţ za pomocí matic jsou vypočteny potřebné tři koeficienty b0, b1 a b2. Za pomocí těchto koeficientů je určena výsledná trendová funkce ŷ. Výsledné hodnoty jsou opět níţe, detailní výpočty v příloze. Odhad pro rok 2015 je 823,05 miliónu Kč. Následující graf č. 8 znázorňuje body reálných hodnot v jednotlivých letech a vyrovnání časové řady kvadratickou funkcí. b0 = 325,57, b1 = 21,45, b2 = 0,78 ŷ = 325,57 + 21,45x + 0,78x2 (x = 2, x2 = 4 pro rok 2002; x = 3, x2 = 9 pro rok 2003 atd.)

Vyrovnání časové řady příjmů kvadratickou funkcí 800,00 Příjmy [mil. Kč]

700,00 600,00 Reálná data

500,00

Vyrovnání

400,00 300,00 200,00 2000

2002

2004

2006

2008

2010

Období [rok]

Graf č. 8 Vyrovnání příjmů kvadratickou funkcí

53

2012

Vyrovnání časové řady exponenciální funkcí Tabulka v příloze č. 11 se zabývá vyrovnáním časové řady exponenciální funkcí. Základem jsou opět dvě veličiny x (období) a y (výdaje). Z těchto veličin jsou dopočítány další, jejichţ aritmetické průměry slouţí k určení koeficientů B0 a B1. Z těchto dvou koeficientů lze pomocí inverzní funkce přirozeného logaritmu ln získat důleţité koeficienty b0 a b1. Poté se jiţ vypočítá výsledná trendová funkce ŷ. Všechny vypočítané hodnoty jsou uvedeny níţe. Zatímco detailní výpočty jsou v příloze. Pomocí trendové funkce se určí odhad pro rok 2015 a ten je 823,79 miliónu Kč. Na následujícím grafu č. 9 jsou znázorněny body reálných hodnot s vyrovnáním časové řady exponenciální funkcí. b0 = 433,46, b1 = 1,04 ŷ = 433,46 * 1,04x (x = 2 pro rok 2002, x = 3 pro rok 2003 atd.)

Vyrovnání časové řady výdajů exponenciální funkcí

Výdaje [mil. Kč]

900,00 800,00 700,00 Reálná data

600,00

Vyrovnání

500,00 400,00 300,00 2000

2002

2004

2006

2008

2010

Období [rok]

Graf č. 9 Vyrovnání výdajů exponenciální funkcí

54

2012

Tabulka v příloze č. 12 společně s výpočty je určena pro příjmy. Obsahuje stejné veličiny jako ta předchozí. Princip získání potřebných veličin a koeficientů je tedy naprosto stejný. Výsledné hodnoty koeficientů b0, b1 a trendové funkce ŷ jsou opět uvedeny níţe. Detailní výpočty jsou v příloze. Z výsledné trendové funkce činil odhad pro rok 2015 hodnotu 875,83 miliónu Kč. Graf č. 10 znázorňuje vyrovnání exponenciální funkcí společně s body reálných hodnot. b0 = 316,85, b1 = 1,07 ŷ = 316,85 * 1,07x (x = 2 pro rok 2002, x = 3 pro rok 2003 atd.)

Vyrovnání časové řady příjmů exponenciální funkcí

Příjmy [mil. Kč]

800,00 700,00 600,00 Reálná data

500,00

Vyrovnání

400,00 300,00 200,00 2000

2002

2004

2006

2008

2010

2012

Období [rok]

Graf č. 10 Vyrovnání příjmů exponenciální funkcí

55

Vyrovnání časové řady lineárně lomenou funkcí Všechny důleţité veličiny pro výpočet vyrovnání časové řady výdajů lineárně lomenou funkcí uvedené v tabulce jsou společně s detailními výpočty obsahem přílohy č. 13. Potřebné veličiny opět vycházejí ze dvou základních. Z veličiny x (období) a y (výdaje). Za pomocí dvou koeficientů b0 a b1 vznikla výsledná trendová funkce a poté dosazením správné hodnoty za x i odhad pro rok 2015. Ten je 629,95 miliónu Kč. Výsledné hodnoty lze sledovat níţe. Následující graf č. 11 znázorňuje právě vyrovnání lineárně lomenou funkcí a reálné hodnoty. b0 = 658,13, b1 = - 420,58 ŷ = 658,13 - 420,58 * 1/x (x = 2, 1/x = 0,5 pro rok 2002, x = 3, 1/x = 0,33 pro rok 2003 atd.)

Vyrovnání časové řady výdajů lineárně lomenou funkcí

Výdaje [mil. Kč]

900,00 800,00 700,00 Reálná data

600,00

Vyrovnání

500,00 400,00 300,00 2000

2002

2004

2006

2008

2010

2012

Období [rok]

Graf č. 11 Vyrovnání výdajů lineárně lomenou funkcí

56

V tabulce pro příjmy uvedené v příloze č . 14 se počítá s veličinami stejným způsobem jako u výdajů. Na základě detailních výpočtů uvedených pod tabulkou byla zhotovena výsledná trendová funkce. A z její pomocí byl realizován opět odhad pro rok 2015. Ten je 583,42 miliónu Kč. Výsledné hodnoty koeficientů a trendové funkce jsou opět uvedeny níţe. Vyrovnání lineárně lomenou funkcí i reálné hodnoty znázorňuje následující graf č. 12. b0 = 627, b1 = - 650,51 ŷ = 627 – 650,51*1/x (x = 2, 1/x = 0,5 pro rok 2002, x = 3, 1/x = 0,33 pro rok 2003 atd.)

Vyrovnání časové řady příjmů lineárně lomenou funkcí

Příjmy [mil. Kč]

800,00 700,00 600,00 500,00

Reálná data

400,00 300,00

Vyrovnání

200,00 100,00 0,00 2000

2002

2004

2006

2008

2010

2012

Období [rok]

Graf č. 12 Vyrovnání příjmů lineárně lomenou funkcí

57

7.6.1 Zhodnocení vyrovnání časových řad Získaná, reálná data výdajů a příjmů města Strakonice jsou poněkud z pohledu vyrovnání specifická. Jak u výdajů, tak i příjmů zaznamenaly totiţ poměrně velké změny především v prvním a posledním roku sledovaného období. V dalších letech se pohybovaly v odchylkách pouze několika desítek miliónů a měly jak stoupající, tak i klesající tendenci. Z těchto poznatků tedy není vhodné v tomto případě pracovat s lineární funkcí. I kdyţ teoretický odhad se poměrně blíţí k reálným hodnotám, pouţívá se hlavně v případech konstantních přírůstků, coţ o získaných datech nelze říci. Ani vyrovnání kvadratickou funkcí by nebylo vhodné volit. Absolutní přírůstky jednotlivých hodnot by musely vykazovat lineární růst či pokles a druhá diference absolutních přírůstků být konstantní. To opět získaná data nesplňují. Ovšem vyrovnání exponenciální funkcí se zdá být v tomto případě nejvhodnější variantou. A to z toho důvodu, ţe zlogaritmované hodnoty výdajů a příjmů se drţí v mnoha letech na téměř konstantní hodnotě. I poloţka odhadu výdajů a příjmů pro rok 2015 se zdá být reálná. Poslední variantou bylo vyrovnání lineárně lomenou funkcí. Ta by šla vyuţít pokud by jednotlivé hodnoty postupně s přibývajícími roky klesaly. Přírůstky by tedy znamenaly pokles. Sice v některých rocích od těch předešlých došlo k minimálnímu poklesu, ale od roku 2002 do roku 2010 došlo samozřejmě k nárůstu výdajů a příjmů. Tato varianta tedy nepřipadá v úvahu.

58

8. Závěry a doporučení I kdyţ si to asi mnozí neuvědomují, statistika je pro kaţdého z nás téměř kaţdodenní záleţitostí. Zveřejnění výsledků z určitých naměřených hodnot či získaných dat je asi tou nejdůleţitější částí. Je důleţité, aby i oko nezaujatého čtenáře či diváka dokázala výsledná statistická analýza uspokojit a dodat mu moţná co nejrychleji a nejefektivněji potřebné informace o daném tématu. Samotnému zveřejnění předchází výpočet těch nejvhodnějších statistických ukazatelů. To bývá úkolem zkušeného statistika, který se na základě svých znalostí musí co nejlépe rozhodnout a i na základě vlastností daných dat volí pro výpočet vhodné statistické ukazatele. Kromě teoretických záleţitostí se i tato bakalářská práce zabývala některými moţnostmi zpracování dat z praktického hlediska. Kromě počátečního zpracování dat pomocí poměrných ukazatelů vývoje a struktury byl realizován i budoucí odhad v podobě vyrovnání časových řad. A to za pouţití několika funkcí. Zde se ukázalo, ţe realita bývá mnohdy oproti teoretickým výkladům jiná. Reálná data totiţ zcela nesplňovaly všechna kritéria pro jednoznačné určení nejvhodnějšího jednoho způsobu vyrovnání časových řad. Dle daných teoretických odhadů, křivek a porovnáním s reálnými hodnotami byla vybrána ta nejvhodnější. I z toho lze sledovat, ţe statistická analýza dat je mnohdy otázkou určitých kompromisů, ale především stojí na znalostech a zkušenostech statistika. Jednou z moţností další realizace statistické analýzy dat je mimo vyuţití dalších statistických ukazatelů také pouţití některých ze softwarů věnovaných se statistice. V současné době se objevuje poměrně velké mnoţství softwarů a aplikací. A to i pro různé operační systémy. Tyto programy nabízí pokrok především ve vizualizaci. Dále nabízí velké mnoţství typů testů, metod a analýz dat, které za pomocí velkého mnoţství modelovacích nástrojů dokonale prezentují výsledné hodnoty.

59

Seznam pouţité literatury [1] ADM parabolické vyrovnání [pevný disk]. Písek : BIVŠ, 2003-11-02. 8 s. (DOC). Dokument je předmětem přednášek ADM. [2] BURDA, Tomáš; STRACHOTA, František. Statistika pro obchodní akademie. 3.vyd. Praha : Fortuna, 1999. 99 s. ISBN 80-7168-357. [3] CALDA, Emil; DUPAČ Václav. Matematika pro gymnázia : Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 5.vyd. Praha : Prometheus, 2009. 170 s. ISBN 978-80-7196365-3 [4] ČSÚ. Český statistický úřad [online]. Praha : 2007-12-11 [cit. 2010-03-27]. Historie statistiky v Čechách po roce 1918. Dostupné z WWW: [5] ČSÚ. Český statistický úřad [online]. 4114-03. Praha : 2003-10-18, 2006-10-26 [2010-0504]. Tab. č. 1 Obyvatelstvo podle věku, národnosti a podle pohlaví k 1. 3. 2001. Dostupné z WWW: [6] HUMLOVÁ, Vlasta; NĚMČÍK, Petr. Význam ukazatele v ekonomických rozborech [online]. Ostrava : Technická univerzita, 2005-10-09 [cit. 2010-05-05]. 31 s. (PPT). Dostupné z WWW: [7] KAŇOKOVÁ, Jara. Teorie statistiky pro řízení a plánování. 1.vyd. Praha : SNTL Nakladatelství technické literatury, 1989. 398 s. [8] MINAŘÍK, Bohumil. 9. Měření závislostí ve statistice [online]. Ţilina : Ţilinská univerzita, 2005-09-02 [cit. 2010-05-17]. 19 s. (DOC). Dostupné z WWW: [9] NOVOVIČOVÁ, Jana. III. Časové řady [online]. Praha : 2004-05-04 [cit. 2010-05-13]. 55 s. (PDF). Dostupné z WWW: [10] NOVOVIČOVÁ, Jana. IV. Indexy a diference [online]. Praha : 2004-05-11 [cit. 2010-0505]. 21 s. (PDF). Dostupné z WWW:

60

[11] SYNEK, Václav. Regresní a korelační analýza [online]. Ústí nad Labem : Univerzita Jana Evangelisty Purkyně, 2003-11-12 [cit. 2010-05-17]. 12 s. (DOC). Dostupné z WWW: [12] VALENTOVÁ, Vladimíra. Časové řady [online]. Liberec : Technická univerzita, 2008-1009 [cit. 2010-05-13]. 7 s. (PDF). Dostupné z WWW: [13] VALENTOVÁ, Vladimíra. Srovnávání hodnot statistických ukazatelů [online]. Liberec : Technická univerzita, 2008-05-13 [cit. 2010-05-05]. 9 s. (PDF). Dostupné z WWW: [14] Wikipedie : otevřená encyklopedie [online]. St. Petrsburg (Florida) : Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2010-04-05]. Geometrický průměr. Dostupné z WWW: [15] Wikipedie : otevřená encyklopedie [online]. St. Petrsburg (Florida) : Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2010-04-05]. Kvadratický průměr. Dostupné z WWW: [16] Základy statistiky [online]. 2007-10-08 [cit. 2010-04-22]. 19 s. (PDF). Dostupné z WWW:

61

Seznam pouţitých grafů, tabulek a vzorců Graf č. 1 Výdaje města s některými odbory a odvětvími Graf č. 2 Příjmy města z některých odvětvích Graf č. 3 Procentuelní poměr výdajů dle jednotlivých odborů a odvětví Graf č. 4 Procentuelní poměr příjmů dle jednotlivých odvětví Graf č. 5 Vyrovnání výdajů lineární funkcí Graf č. 6 Vyrovnání příjmů lineární funkcí Graf č. 7 Vyrovnání výdajů kvadratickou funkcí Graf č. 8 Vyrovnání příjmů kvadratickou funkcí Graf č. 9 Vyrovnání výdajů exponenciální funkcí Graf č. 10 Vyrovnání příjmů exponenciální funkcí Graf č. 11 Vyrovnání výdajů lineárně lomenou funkcí Graf č. 12 Vyrovnání příjmů lineárně lomenou funkcí Tabulka č. 1 Míry korelace Tabulka č. 2 Výdaje města v jednotkách mil. Kč Tabulka č. 3 Příjmy města v jednotách mil. Kč Tabulka č. 4 Řetězové indexy výdajů (Příloha č. 1) Tabulka č. 5 Řetězové indexy příjmů (Příloha č. 2) Tabulka č. 6 Bazické indexy výdajů (Příloha č. 3) Tabulka č. 7 Bazické indexy příjmů (Příloha č. 4) Tabulka č. 8 Poměrný ukazatel struktury výdajů (Příloha č. 5) Tabulka č. 9 Poměrný ukazatel struktury příjmů (Příloha č. 6) Tabulka č. 10 Vyrovnání časové řady výdajů lineární funkcí (Příloha č. 7) Tabulka č. 11 Vyrovnání časové řady příjmů lineární funkcí (Příloha č. 8) Tabulka č. 12 Vyrovnání časové řady výdajů kvadratickou funkcí (Příloha č. 9) Tabulka č. 13 Vyrovnání časové řady příjmů kvadratickou funkcí (Příloha č. 10) Tabulka č. 14 Vyrovnání časové řady výdajů exponenciální funkcí (Příloha č. 11) Tabulka č. 15 Vyrovnání časové řady příjmů exponenciální funkcí (Příloha č. 12) Tabulka č. 16 Vyrovnání časové řady výdajů lineárně lomenou funkcí (Příloha č. 13) Tabulka č. 17 Vyrovnání časové řady příjmů lineárně lomenou funkcí (Příloha č. 14)

62

Vzorec č. 1 Prostý aritmetický průměr Vzorec č. 2 Váţený aritmetický průměr Vzorec č. 3 Geometrický průměr Vzorec č. 4 Medián Vzorec č. 5 Variační rozpětí Vzorec č. 6 Průměrná odchylka z prostého aritmetické průměru Vzorec č. 7 Relativní průměrná odchylka Vzorec č. 8 Průměrná odchylka z váţeného aritmetické průměru Vzorec č. 9 Rozptyl z prostého, resp. váţeného aritmetického průměru Vzorec č. 10 Směrodatná odchylka z prostého, resp. váţeného aritmetického průměru Vzorec č. 11 Variační koeficient Vzorec č. 12 Dolní kvartil Vzorec č. 13 Horní kvartil Vzorec č. 14 Mezikvartilová odchylka Vzorec č. 15 Poměrný ukazatel struktury Vzorec č. 16 Poměrný ukazatel splnění plánu Vzorec č. 17 Index, absolutní rozdíl indexu (diference) Vzorec č. 18 Individuální jednoduchý index mnoţství a jeho absolutní rozdíl Vzorec č. 19 Individuální jednoduchý index úrovně a jeho absolutní rozdíl Vzorec č. 20 Individuální sloţený index mnoţství a jeho absolutní rozdíl Vzorec č. 21 Individuální sloţený index úrovně a jeho absolutní rozdíl Vzorec č. 22 Souhrnný index hodnoty Vzorec č. 23 Souhrnný index mnoţství v základním, resp. běţném období Vzorec č. 24 Souhrnný index úrovně v běţném, resp. základním období Vzorec č. 25 Parametry a výsledná trendová lineární funkce Vzorec č. 26 Tři rovnice pro výpočet výsledné trendové kvadratické funkce Vzorec č. 27 Korelační koeficient

63

Příloha č. 1 Tabulka č. 4 Řetězové indexy výdajů [%] Rok Odbor Majetkový Životního prostředí Dopravy Sociální Rozvoje Vnitřních věcí Školství Úvěry a půjčky Městská policie Kancelář tajemníka Kulturní středisko Správa města Údržba města Ostatní CELKEM

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

95,54

135,43

133,83

63,15

98,06

96,50

118,89 242,72

177,78

76,25

104,92

175,00

289,29

41,36

58,96

100,00

100,00

100,00

100,00

100,00

100,00 100,00 200,00

86,14

68,36

86,45

120,12

107,64

234,78 112,38 102,78

207,81

105,26

46,43

250,77

22,70

237,84

79,55

47,14

100,00

141,67

100,00

100,00

100,00

100,00 100,00

88,24

55,62

66,84

87,60

122,12

107,25

156,08

89,18

105,58

53,85

1928,57

91,11

111,38

13,87

94,74

150,00 122,22

116,84

108,11

101,67

106,56

104,62

109,56 107,38

87,50

131,83

69,22

142,61

110,64

74,85

108,79 107,25

93,14

294,34

34,62

112,96

131,97

104,35

108,33

94,51

104,65

102,51

78,37

106,77

120,00

107,72

49,81

164,39

92,17

184,21

91,17

113,96

100,00

103,25

104,12 102,33 100,00

100,00

814,29

23,68

49,38

1100,00

65,91

109,22

98,70

111,31

91,94

95,00

101,72

2010

140,51

83,39

108,08 108,47 142,89

Příloha č. 2 Tabulka č. 5 Řetězové indexy příjmů [%] Rok Příjmy SDP Daňové příjmy

VDP Správní poplatky Ostatní daně Lesy

Nedaňové příjmy

PZPM PSP PÚRFM

Ostatní příjmy Příjmy, dotace, příspěvky a granty Kapitálové příjmy CELKEM

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

106,48

100,00

120,68

111,03

104,88

110,23 105,55

85,58

100,00

105,26

102,50

100,00

124,39

70,59

130,56

80,85

165,52

145,83

155,71

102,75

104,46

108,55 100,00

96,85

136,67

103,25

122,05

100,65

103,85

111,11 103,33

93,55

83,33

220,00

109,09

108,33

92,31

50,00

100,00 116,67

356,89

122,18

22,45

137,18

104,47

107,56

99,06

103,07

188,89

111,76

121,05

100,00

113,04

107,69

75,00

104,76

83,33

520,00

280,77

120,55

92,05

90,12

73,97

61,11

825,00

36,91

81,34

88,07

41,67

315,00

53,97

819,12

210,79

102,51

164,09

65,77

102,10

133,96 113,15 165,18

308,33

37,84

357,14

40,00

33,33

192,00 156,25

176,39

94,87

113,87

85,49

99,38

114,79 108,88 121,46

91,67

Příloha č. 3 Tabulka č. 6 Bazické indexy výdajů [%] Rok Odbor Majetkový Životního prostředí Dopravy Sociální Rozvoje Vnitřních věcí Školství Úvěry a půjčky Městská policie Kancelář tajemníka Měs. Ústav soc. služeb Kulturní středisko Správa města Údržba města Ostatní CELKEM

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

100,00

95,54

129,39

173,16

109,35

107,22

103,47 123,02 298,58

100,00 177,78

135,56

142,22

248,89

720,00

297,78 175,56 246,67

100,00 100,00

100,00

100,00

100,00

100,00

100,00 100,00 200,00

100,00

86,14

58,89

50,90

61,14

65,81

154,52 173,64 178,46

100,00 207,81

218,75

101,56

254,69

57,81

137,50 109,38

100,00 100,00

141,67

141,67

141,67

141,67

141,67 141,67 125,00

100,00

55,62

37,18

32,56

39,77

42,65

66,57

100,00

53,85

1038,46

946,15

1053,85

146,15

138,46 207,69 253,85

100,00 116,84

126,32

128,42

136,84

143,16

156,84 168,42 147,37

100,00 131,83

91,25

130,13

143,99

107,78

117,25 125,76 117,13

100,00 124,61

110,62

110,62

106,99

2,59

100,00 294,34

101,89

115,09

151,89

158,49

171,70 162,26 169,81

100,00 102,51

80,33

85,77

102,93

110,88

55,23

100,00 184,21

167,94

191,39

191,39

197,61

205,74 210,53 210,53

100,00 100,00

814,29

192,86

95,24

1047,62 690,48 702,38 585,71

100,00 109,22

107,80

120,00

110,32

104,81

0

2009

59,37

0

90,79

2010

51,56

62,68

38,60

83,68

113,28 122,87 175,57

Příloha č. 4 Tabulka č. 7 Bazické indexy příjmů [%] Rok Příjmy SDP Daňové příjmy

VDP Správní poplatky Ostatní daně Lesy

Nedaňové příjmy

PZPM PSP PÚRFM

Ostatní příjmy Příjmy, dotace, příspěvky a granty Kapitálové příjmy CELKEM

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

100,00

106,48

106,48

128,50

142,67

149,64

164,94

174,09

148,99

100,00

100,00

105,26

107,89

107,89

134,21

94,74

123,68

100,00

100,00

165,52

241,38

375,86

386,21

403,45

437,93

437,93

424,14

100,00

136,67

141,11

172,22

173,33

180,00

200,00

206,67

193,33

100,00

83,33

183,33

200,00

216,67

200,00

100,00

100,00

116,67

100,00

356,89

436,04

97,88

134,28

140,28

150,88

149,47

154,06

100,00

188,89

211,11

255,56

255,56

288,89

311,11

233,33

244,44

100,00

83,33

433,33

1216,67 1466,67 1350,00

1216,67

900,00

550,00

100,00

825,00

304,55

247,73

218,18

90,91

286,36

154,55

1265,91

100,00

210,79

216,09

354,58

233,20

238,09

318,94

360,90

596,13

100,00

308,33

116,67

416,67

166,67

55,56

106,67

166,67

152,78

100,00

176,39

167,34

190,56

162,91

162,08

186,05

202,58

246,06

Příloha č. 5 Tabulka č. 8 Poměrný ukazatel struktury výdajů [%] Rok Odbor Majetkový Životního prostředí Dopravy Sociální Rozvoje Vnitřních věcí Školství Úvěry a půjčky Městská policie Kancelář tajemníka Měs. Ústav soc. služeb Kulturní středisko Knihovna Správa města Údržba města Ostatní Poměr v % CELKEM [mil. Kč]

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

Poměr v%

CELKEM [mil. Kč]

2,76

2,64

3,57

4,78

3,02

2,96

2,86

3,40

8,25

34,24

1750,5

0,09

0,16

0,12

0,13

0,22

0,63

0,26

0,15

0,22

1,98

101

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,02

1

1,30

1,12

0,76

0,66

0,79

0,85

2,01

2,26

2,32

12,07

617,2

0,13

0,26

0,27

0,13

0,32

0,07

0,17

0,14

0,06

1,55

79,3

0,02

0,02

0,03

0,03

0,03

0,03

0,03

0,03

0,03

0,28

14,1

1,36

0,76

0,50

0,44

0,54

0,58

0,90

0,81

0,85

6,74

344,5

0,03

0,01

0,26

0,24

0,27

0,04

0,04

0,05

0,06

1,00

51,2

0,19

0,22

0,23

0,24

0,25

0,27

0,29

0,31

0,27

2,28

116,3

1,61

2,12

1,47

2,10

2,32

1,74

1,89

2,02

1,89

17,15

876,6

0,76

0,94

0,84

0,84

0,81

0,02

0,00

0,00

0,29

4,49

229,3

0,21

0,61

0,21

0,24

0,31

0,33

0,36

0,34

0,35

2,96

151,1

0,00

0,09

0,12

0,12

0,14

0,14

0,17

0,17

0,17

1,12

57,1

0,47

0,48

0,38

0,40

0,48

0,52

0,26

0,42

0,39

3,80

194,1

0,41

0,75

0,69

0,78

0,78

0,81

0,84

0,86

0,86

6,78

346,8

0,08

0,08

0,67

0,16

0,08

0,86

0,57

0,58

0,48

3,56

181,8

9,40

10,27 10,13 11,28 10,37

9,85

10,65 11,55 16,50

100

∑

∑

5111,9

480,5 524,8

518

576,6 530,1 503,6 544,3 590,4 843,6

Příloha č. 6 Tabulka č. 9 Poměrný ukazatel struktury příjmů [%] Rok Příjmy SDP Daňové příjmy

VDP Správní poplatky Ostatní daně Lesy

Nedaňové příjmy

PZPM PSP PÚRFM

Ostatní příjmy Příjmy, dotace, příspěvky a granty Kapitálové příjmy Poměr v % CELKEM [mil. Kč]

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

Poměr v%

CEL. [mil. Kč]

2,81

3,00

3,00

3,62

4,02

4,21

4,64

4,90

4,19

34,39

1508,9

0,87

0,87

0,91

0,93

0,93

1,16

0,82

1,07

0,87

8,43

370

0,07

0,11

0,16

0,25

0,26

0,27

0,29

0,29

0,28

1,96

86,2

0,21

0,28

0,29

0,35

0,36

0,37

0,41

0,42

0,40

3,08

135,3

0,01

0,01

0,03

0,03

0,03

0,03

0,01

0,01

0,02

0,18

7,8

0,64

2,30

2,81

0,63

0,87

0,90

0,97

0,96

0,99

11,09

486,7

0,02

0,04

0,04

0,05

0,05

0,06

0,06

0,05

0,05

0,43

18,8

0,01

0,01

0,06

0,17

0,20

0,18

0,17

0,12

0,08

1,00

43,9

0,10

0,83

0,31

0,25

0,22

0,09

0,29

0,15

1,27

3,50

153,7

1,12

2,36

2,42

3,97

2,61

2,66

3,57

4,04

6,67

29,41

1290,7

0,41

1,26

0,48

1,71

0,68

0,23

0,44

0,68

0,63

6,52

286,2

6,27

11,07 10,50 11,95 10,22 10,17

11,67

12,71

15,44

100,00

∑

275,3 485,6 460,7 524,6 448,5 446,2

512,2

557,7

677,4

∑

4388,2

Příloha č. 7 Tabulka č. 10 Vyrovnání časové řady výdajů lineární funkcí n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 suma průměr

Rok 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Výdaje 480,50 524,80 518,00 576,60 530,10 503,60 544,30 590,40 843,60

x 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 54,00 6,00

x2 4,00 9,00 16,00 25,00 36,00 49,00 64,00 81,00 100,00 384,00 42,67

y 480,50 524,80 518,00 576,60 530,10 503,60 544,30 590,40 843,60 5111,90 567,99

xy odhad y 961,00 459,40 1574,40 486,55 2072,00 513,70 2883,00 540,84 3180,60 567,99 3525,20 595,14 4354,40 622,28 5313,60 649,43 8436,00 676,58 32300,20 3588,91

x - jednotlivé roky, y - výdaje města [mil. Kč], n - počet hodnot Výpočty: b1

xy x

2

x.y x

2

=

3588 ,91

6 * 567 ,99

42 , 67

6

2

= 27,15 ; 

Výsledná trendová funkce: y

b0 b0

y

b1 x = 567 ,99

b1 x = 405 ,11

=> odhad pro rok 2015 = 812,31 (x = 15)

27 ,15 * 6 =

27 ,15 x

405,11

Příloha č. 8 Tabulka č. 11 Vyrovnání časové řady příjmů lineární funkcí n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 suma průměr

Rok 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Příjmy 275,30 485,60 460,70 524,60 448,50 446,20 512,20 557,70 677,40

x 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 54,00 6,00

y 275,30 485,60 460,70 524,60 448,50 446,20 512,20 557,70 677,40 4388,20 487,58

x2 4,00 9,00 16,00 25,00 36,00 49,00 64,00 81,00 100,00 384,00 42,67

xy odhad y 550,60 364,29 1456,80 395,11 1842,80 425,93 2623,00 456,76 2691,00 487,58 3123,40 518,40 4097,60 549,22 5019,30 580,04 6774,00 610,86 28178,50 3130,94

x - jednotlivé roky, y - příjmy města [mil. Kč], n - počet hodnot Výpočty: b1

xy x

2

x.y x

2

=

3130 ,94

6 * 487 ,58

42 , 67

6

2

= 30,82 ; b0 

Výsledná trendová funkce: y

b0

y

b1 x = 487 ,58

b1 x = 302 , 65

=> odhad pro rok 2015 = 764,97 (x = 15)

30 ,82 * 6

30 ,82 x

= 302,65

Příloha č. 9 Tabulka č. 12 Vyrovnání časové řady výdajů kvadratickou funkcí n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 suma

Rok 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Výdaje 480,5 524,8 518 576,6 530,1 503,6 544,3 590,4 843,6

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 54

x2 4 9 16 25 36 49 64 81 100 384

y 480,5 524,8 518 576,6 530,1 503,6 544,3 590,4 843,6 5111,9

x3 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 3024

x4 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 25332

xy 961 1574,4 2072 2883 3180,6 3525,2 4354,4 5313,6 8436 32300,2

x2 y 1922 4723,2 8288 14415 19083,6 24676,4 34835,2 47822,4 84360 240125,8

x - jednotlivé roky, y - výdaje města [mil. Kč], n - počet hodnot Výpočty:

9 A

54

54 384

384 3024

b0 n

b1

b0

xi

b0

xi

xi

b1 2

b2

xi

b1

384

xi

2

xi

2

b2 3

yi

xi

b2

3

xi

xi y i 4

2

xi y i

5111 ,9

; b

3024

; A

32300 , 2

25332

1

240125 ,8

A

1

b



Výsledná trendová funkce y

b0

640 ,58

= b0

69 ,18

= b1

8 , 03

= b2

b1 x

b2 x

2

= 640 ,58

3 ,50

1, 24

0 ,10

1, 24

0 , 48

0 , 04

0 ,10

0 , 04

0 , 01

69 ,18 x

=> odhad pro rok 2015 = 1409,02 (x = 15, x2 = 225)

8 , 03 x

2

odhad y 534,33 505,28 492,29 495,35 514,47 549,65 600,88 668,16 751,50

Příloha č. 10 Tabulka č. 13 Vyrovnání časové řady příjmů kvadratickou funkcí n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Rok 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Příjmy 275,30 485,60 460,70 524,60 448,50 446,20 512,20 557,70 677,40

suma

x 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 54,00

y 275,30 485,60 460,70 524,60 448,50 446,20 512,20 557,70 677,40 4388,20

x2 4,00 9,00 16,00 25,00 36,00 49,00 64,00 81,00 100,00 384,00

x3 8,00 27,00 64,00 125,00 216,00 343,00 512,00 729,00 1000,00 3024,00

x4 16,00 81,00 256,00 625,00 1296,00 2401,00 4096,00 6561,00 10000,00 25332,00

x2 y odhad y 1101,20 371,58 4370,40 396,94 7371,20 423,85 13115,00 452,33 16146,00 482,37 21863,80 513,97 32780,80 547,14 45173,70 581,87 67740,00 618,16 209662,10

xy 550,60 1456,80 1842,80 2623,00 2691,00 3123,40 4097,60 5019,30 6774,00 28178,50

x – jednotlivé roky, y – příjmy města [mil. Kč], n – počet hodnot Výpočty:

A

9

54

384

54

384

3024

384 3024

b0 n

b1

b0

xi

b0

xi

xi

b1 2

b2

xi

b1

xi

2

xi

2

yi

b2 3

xi

b2

3

xi

xi y i 4

2

xi y i

4388 , 2

; b

25332

; A

28178 ,5

1

209662 ,1

A

1

b



Výsledná trendová funkce: y

325 ,57

= b0

21 , 45

= b1

0 , 78

= b2

b0

b1 x

b2 x

2

= 325 ,57

3 ,50

1, 24

0 ,10

1, 24

0 , 48

0 , 04

0 ,10

0 , 04

0 , 01

21, 45 x

0 , 78 x

 odhad pro rok 2015 = 823,05 (x = 15, x2 = 225)

2

Příloha č. 11 Tabulka č. 14 Vyrovnání časové řady výdajů exponenciální funkcí n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 suma průměr

Rok 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Výdaje 480,50 524,80 518,00 576,60 530,10 503,60 544,30 590,40 843,60

x 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 54,00 6,00

y 480,50 524,80 518,00 576,60 530,10 503,60 544,30 590,40 843,60 5111,90 567,99

Y=ln y 6,17 6,26 6,25 6,36 6,27 6,22 6,30 6,38 6,74 56,96 6,33

x2 4,00 9,00 16,00 25,00 36,00 49,00 64,00 81,00 100,00 384,00 42,67

xY 12,35 18,79 25,00 31,79 37,64 43,55 50,40 57,43 67,38 344,32 38,26

x - jednotlivé roky, y - výdaje města [mil. Kč], n - počet hodnot Výpočty: B0 Y xY

B1

B0 B1

b1 .x

x

2

x

=

2

B1 . x = 6 ,33

Y xY x

x .Y

2

38 , 26

6

42 , 67

0 , 04

6

6 ,33 6

2

= 0,04 ; B1 = ln b1 => b1 = 1,04

= 6,07 ; B0 = ln b0 => b0 = 433,46

x .Y x

2



Výsledná trendová funkce: y

x

b0 b1 = 433 , 46 1, 04

=> odhad pro rok 2015 = 823,79 (x = 15)

x

odhad y 472,21 492,86 514,41 536,91 560,40 584,91 610,49 637,19 665,06

Příloha č. 12 Tabulka č. 15 Vyrovnání časové řady příjmů exponenciální funkcí n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 suma průměr

Rok 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Příjmy 275,30 485,60 460,70 524,60 448,50 446,20 512,20 557,70 677,40

x 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 54,00 6,00

y 275,30 485,60 460,70 524,60 448,50 446,20 512,20 557,70 677,40 4388,20 487,58

Y=ln y 5,62 6,19 6,13 6,26 6,11 6,10 6,24 6,32 6,52 55,49 6,17

x2 4,00 9,00 16,00 25,00 36,00 49,00 64,00 81,00 100,00 384,00 42,67

xY 11,24 18,56 24,53 31,31 36,64 42,71 49,91 56,91 65,18 336,98 37,44

x - jednotlivé roky, y - příjmy města [mil. Kč], n - počet hodnot Výpočty: B Y

b1 .x

0

xY

B1

B0 B1

x

x

=

2

B 1 . x = 6 ,17

Y xY x

x .Y 2

2

37 , 44

6 6 ,17

42 , 67

0 , 07

6

6

2

= 0,07 ; B1 = ln b1 => b1 = 1,07

= 5,76 ; B0 = ln b0 => b0 = 316,85

x .Y x

2



Výsledná trendová funkce: y

x

b0 b1 = 316 ,85 1, 07

= > odhad pro rok 2015 = 875,83 (x = 15)

x

odhad y 362,85 388,30 415,53 444,67 475,86 509,23 544,95 583,17 624,06

Příloha č. 13 Tabulka č. 16 Vyrovnání časové řady výdajů lineárně lomenou funkcí n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 suma průměr

Rok 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Výdaje 480,50 524,80 518,00 576,60 530,10 503,60 544,30 590,40 843,60

x 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 54,00 6,00

y 480,50 524,80 518,00 576,60 530,10 503,60 544,30 590,40 843,60 5111,90 567,99

X=1/x 0,50 0,33 0,25 0,20 0,17 0,14 0,13 0,11 0,10 1,93 0,21

X2 0,25 0,11 0,06 0,04 0,03 0,02 0,02 0,01 0,01 0,55 0,06

Xy 240,25 174,93 129,50 115,32 88,35 71,94 68,04 65,60 84,36 1038,29 115,37

x - jednotlivé roky, y - výdaje města [mil. Kč], n - počet hodnot Výpočty: b0 b1

b0 b1

y

b1 . X

Xy X

2

y

X

2

b1 . X

Xy X

X .y

X .y 2

X

=

115 ,37

0 , 21 567 ,99

0 , 06

= 567 ,99

0 , 21

420 ,58

2

0 , 21



Výsledná trendová funkce: y 2

= - 420,58 = 658,13 b0

b1 . 1 / x = 658 ,13

420 ,58 1 / x

=> odhad pro rok 2015 = 629,95 (x = 1/15 = 0,067)

odhad y 447,84 517,94 552,99 574,02 588,04 598,05 605,56 611,40 616,07

Příloha č. 14 Tabulka č. 17 Vyrovnání časové řady příjmů lineárně lomenou funkcí n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 suma průměr

Rok 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Příjmy 275,30 485,60 460,70 524,60 448,50 446,20 512,20 557,70 677,40

x 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 54,00 6,00

y 275,30 485,60 460,70 524,60 448,50 446,20 512,20 557,70 677,40 4388,20 487,58

X=1/x 0,50 0,33 0,25 0,20 0,17 0,14 0,13 0,11 0,10 1,93 0,21

X2 0,25 0,11 0,06 0,04 0,03 0,02 0,02 0,01 0,01 0,55 0,06

Xy 137,65 161,87 115,18 104,92 74,75 63,74 64,03 61,97 67,74 851,84 94,65

x - jednotlivé roky, y - příjmy města [mil. Kč], n - počet hodnot Výpočty: b0 b1

b0 b1

y

b1 . X

Xy X

2

y

X

2

b1 . X

Xy X

X .y

X

94 , 65

0 , 21

0 , 06

= 487 ,58

X .y 2

=

2

487 ,58

0 , 21

2

= - 650,51

650 ,51 0 , 21 =



Výsledná trendová funkce: y

627 b0

b1 . 1 / x = 627

650 ,51 1 / x

=> odhad pro rok 2015 = 583,42 (x = 1/15 = 0,067)

odhad y 301,75 410,16 464,37 496,90 518,58 534,07 545,69 554,72 561,95