STATISTICKÉ METODY PRO VYHODNOCOVÁNÍ SENZORICKÝCH DAT STATISTICAL METHODS FOR EVALUATION OF SENSORIAL DATA

´ UCEN ˇ Í TECHNICKE ´ V BRNE ˇ VYSOKE BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ˇ YRSTV´ ´ FAKULTA STROJN´ıHO INZEN ı ´ USTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS

´ METODY PRO VYHODNOCOVAN ´ Í STATISTICKE ´ SENZORICKYCH DAT STATISTICAL METHODS FOR EVALUATION OF SENSORIAL DATA

´ PRACE ´ DIPLOMOVA MASTER’S THESIS

´ AUTOR PRACE

´ Bc. MAGDA KOZIELOVA

AUTHOR

´ VEDOUCÍ PRACE SUPERVISOR

BRNO 2009

´ doc. RNDr. JAROSLAV MICHALEK, CSc.

Abstrakt Tématem této diplomové práce je statistické vyhodnocován´ı dat z´ıskan´ ych pˇri senzorické anal´ yze potravin. Pˇrináˇs´ı v´ ybˇer vhodn´ ych statistick´ ych test˚ u, jejich podrobnou anal´ yzu a srovnán´ı dle pr˚ ubˇehu jednotliv´ ych silofunkc´ı pro dané parametry. D˚ uleˇzitou souˇcást´ı práce je naprogramován´ı uˇzivatelské aplikace pˇr´ımo urˇcené ke zpracován´ı senzorick´ ych dat. Summary The thesis deals with the statistical evaluation of data gained by the sensory analysis of the foodstuff. It brings a selection of the suitable statistical tests, a detailed analysis of these tests and their comparision based on the particular power functions for given parameters. As an important part of the thesis, there is a creating of custom software for the evaluating of sensorial data. Kl´ıˇ cov´ a slova statistické metody, senzorická anal´ yza, silofunkce, s´ıla testu Keywords statistical methods, sensory analysis, power function, power of test

´ M.Statistické metody pro vyhodnocován´ı senzorických dat . Brno: Vysoké KOZIELOVA, uˇcen´ı technické v Brnˇe, Fakulta strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı, 2009. 77 s. Vedouc´ı doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc.

ˇ Cestnˇ e prohlaˇsuji, ˇze jsem diplomovou práci Statistické metody pro vyhodnocován´ı senzorických dat vypracovala samostatnˇe pod veden´ım doc. RNDr. Jaroslava Michálka, CSc. s pouˇzit´ım materiál˚ u uveden´ ych v seznamu literatury. Bc. Magda Kozielová

T´ımto bych chtˇela podˇekovat vedouc´ımu mé diplomové práce panu doc. RNDr. Jaroslavu Michálkovi, CSc. za odborné rady a cenné pˇripom´ınky, které pˇrispˇely ke zdárnému zpracován´ı zadaného tématu. Bc. Magda Kozielová

Obsah ´ Uvod

3

1 Z´ akladn´ı pojmy 1.1 Základn´ı statistické pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vybraná rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Binomické rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Beta rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Rozdˇelen´ı Fisherovo-Snedecorovo F . . . . . . . . 1.3 Souvislost mezi rozdˇelen´ım F a binomick´ ym rozdˇelen´ım . 1.4 Aproximace binomického rozdˇelen´ı normáln´ım rozdˇelen´ım 1.5 Transformace stabilizuj´ıc´ı rozptyl . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Arcussinová transformace v binomickém rozdˇelen´ı 1.6 Testován´ı hypotéz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Intervalové odhady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Senzorick´ a anal´ yza 2.1 Rozliˇsovac´ı metody . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Párová porovnávac´ı zkouˇska . . . . 2.1.2 Zkouˇska duo-trio . . . . . . . . . . 2.1.3 Troj´ uheln´ıková zkouˇska . . . . . . . 2.2 Poˇradové metody . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Hodnocen´ı s pouˇzit´ım ordináln´ıch stupnic .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Testy hypot´ ez o parametru π binomick´ eho rozdˇ elen´ı 3.1 Kritick´ y obor testu o parametru binomického rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . 3.2 S´ıla testu o parametru π binomického rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Explicitn´ı vyjádˇren´ı intervalu spolehlivosti pro parametr π binomického rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 S´ıla testu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho Fisherovy kvantily . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Test zaloˇzen´ y na normáln´ı aproximaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 S´ıla testu zaloˇzeného na normáln´ı aproximaci . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Testy zaloˇzené na arcussinové transformaci . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 S´ıla test˚ u zaloˇzen´ ych na arcsin-transformaci . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Volba rozsahu v´ ybˇeru n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

5 5 6 6 6 7 7 9 9 10 11 12

. . . . . .

13 13 13 13 13 14 14

15 . 15 . 16 . . . . . . .

4 Srovn´ an´ı test˚ u o parametru π binomick´ eho rozdˇ elen´ı 5 Statistick´ e metody v senzorick´ e anal´ yze 5.1 Vyhodnocen´ı rozliˇsovac´ıch metod . . . . 5.1.1 Párová porovnávac´ı zkouˇska . . . 5.1.2 Zkouˇska duo-trio . . . . . . . . . 5.1.3 Troj´ uheln´ıková zkouˇska . . . . . . 5.2 Vyhodnocen´ı poˇradov´ ych metod . . . . . 1

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

18 20 22 23 31 31 37 41

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

49 49 49 50 51 52

5.3

Vyhodnocen´ı stupnicov´ ych metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.3.1 Hodnocen´ı jednoho senzorického znaku v rámci jednoho v´ yrobku . . 53 5.3.2 Srovnán´ı senzorického znaku dvou a v´ıce v´ yrobk˚ u . . . . . . . . . . 54

6 Software pro zpracov´ an´ı senzorick´ ych dat 6.1 Senzorická anal´ yza . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Rozliˇsovac´ı zkouˇsky . . . . . . . . . 6.1.2 Poˇradové zkouˇsky . . . . . . . . . . 6.1.3 Stupnicové zkouˇsky . . . . . . . . . 6.2 Anal´ yza jednorozmˇern´ ych dat . . . . . . . 6.2.1 Základn´ı zpracován´ı dat . . . . . . 6.2.2 Srovnán´ı souboru s pˇredpokladem . 6.2.3 Srovnán´ı dvou nezávisl´ ych soubor˚ u 6.2.4 Srovnán´ı dvou závisl´ ych soubor˚ u . 7 Pˇ r´ıklad senzorick´ eho experimentu 7.1 Párová porovnávac´ı zkouˇska . . . . . . . . 7.2 Poˇradová zkouˇska . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Hodnocen´ı s pouˇzit´ım ordináln´ıch stupnic . 7.4 Shrnut´ı v´ ysledk˚ u senzorického experimentu

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

57 57 58 59 61 61 62 62 62 64

. . . .

67 67 68 68 70

Z´ avˇ er

71

Literatura

73

Seznam z´ akladn´ıch pouˇ zit´ ych zkratek a symbol˚ u

75

Seznam pˇ r´ıloh

77

2

´ Uvod C´ılem této diplomové práce je vybrat a d˚ ukladnˇe popsat statistické testy vhodné pro vyhodnocován´ı dat z´ıskan´ ych pˇri senzorické anal´ yze potravin. Dále vyˇsetˇrit silofunkce tˇechto test˚ u a na základˇe jejich pr˚ ubˇehu stanovit doporuˇcen´ı t´ ykaj´ıc´ı se jejich vyuˇzit´ı. Dalˇs´ım z c´ıl˚ u je také vybrat vhodné programovac´ı prostˇred´ı a v nˇem provést programovou implementaci. Jej´ı funkˇcnost je pak nezbytné ovˇeˇrit na reáln´ ych ˇci simulovan´ ych datech. V prvn´ı kapitole jsou uvedeny základn´ı dále pouˇz´ıvané pojmy z matematické statistiky, testován´ı hypotéz a také nˇekteré závislosti nezbytné pro lepˇs´ı orientaci v dalˇs´ım textu. Druhá kapitola seznamuje s problematikou metod senzorické anal´ yzy, obsahuje struˇcnou charakteristiku jednotliv´ ych typ˚ u senzorick´ ych zkouˇsek a popis jejich provádˇen´ı. Tˇret´ı kapitola popisuje pˇet test˚ u vybran´ ych pro vyhodnocován´ı senzorick´ ych dat. Jsou zavedeny jednotlivé testovac´ı statistiky a také jsou zde odvozeny analytické vztahy pro pˇresné i aproximované silofunkce test˚ u. Souˇcást´ı je rozbor test˚ u zaloˇzen´ y na zkoumán´ı tvar˚ u silofunkc´ı, které byly vykresleny pomoc´ı novˇe naprogramovan´ ych funkc´ı v MATLABu. Jedná se o programy, které graficky znázorˇ nuj´ı pr˚ ubˇeh jednotliv´ ych silofunkc´ı, jak pro teoreticky odvozené vztahy, tak pro simulovaná data. D˚ uleˇzitou ˇcást´ı této kapitoly je také odstavec t´ ykaj´ıc´ı se volby rozsahu v´ ybˇeru pro optimalizaci experimentu. Je zde popsáno stanoven´ı minimáln´ıho rozsahu v´ ybˇeru grafick´ ym zp˚ usobem a také v´ ypoˇctem pomoc´ı analyticky odvozen´ ych vztah˚ u. Následuj´ıc´ı ˇctvrtá kapitola pˇrináˇs´ı srovnán´ı jednotliv´ ych vybran´ ych test˚ u na základˇe pr˚ ubˇehu jejich silofunkc´ı. Poukazuje na vhodnost volby test˚ u pro r˚ uzné parametry a také varuje pˇred jejich neuváˇzen´ ym pouˇz´ıván´ım. Pátá kapitola popisuje vyuˇzit´ı jednotliv´ ych vybran´ ych test˚ u pro zpracován´ı senzorick´ ych dat a dále nastiˇ nuje vyhodnocován´ı dat z´ıskan´ ych dalˇs´ımi senzorick´ ymi zkouˇskami. V rámci této diplomové práce byla autorem v prostˇred´ı Delphi naprogramována uˇzivatelská aplikace SMSA (verze 1.09) slouˇz´ıc´ı k pˇr´ımému vyhodnocován´ı senzorick´ ych experiment˚ u zaloˇzeném na pˇredem teoreticky popsan´ ych zp˚ usobech. Tento software a moˇznosti jeho praktického pouˇzit´ı vˇcetnˇe ilustruj´ıc´ıch obrázk˚ u je popsán v kapitole ˇsest. Závˇereˇcná sedmá kapitola pˇrináˇs´ı ukázku senzorického experimentu. Tento aplikaˇcn´ı pˇr´ıklad je vyˇreˇsen pomoc´ı programu SMSA.

3

4

1

Z´ akladn´ı pojmy

1.1

Z´ akladn´ı statistick´ e pojmy

Definice 1. Necht’ Ω 6= ∅ je prostor elementárn´ıch jev˚ u, A systém jev˚ u definovan´ ych na Ω. Pˇredpokládejme, ˇze plat´ı 1. A 6= ∅ , 2. A ∈ A ⇒ A¯ ∈ A , 3. Ai ∈ A, i = 1, 2, . . . ⇒

T∞

i=1

Ai ∈ A .

Pak systém A naz´ yváme jevovou σ-algebrou. Dvojici (Ω, A) naz´ yváme jevové pole. Definice 2. Necht’ (Ω, A) je jevové pole, n je poˇcet opakován´ı pokus˚ u, A je náhodn´ y jev a mn (A) je ˇcetnost nastoupen´ı jevu A v n pokusech. Pak fn (A) = mnn(A) je relativn´ı ˇcetnost A. Definice 3. Necht’ (Ω, A) je jevové pole. Necht’ P je mnoˇzinová funkce definovaná na A s oborem hodnot R = (−∞, ∞) a s vlastnostmi: 1. P (A) ≥ 0, A ∈ A . S P∞ 2. Necht’ Ai ∈ A, Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, i, j = 1, 2, · · · ⇒ P ( ∞ i=1 Ai ) = i=1 P (Ai ) .

3. P (Ω) = 1 .

Pak mnoˇzinovou funkci P : A → R naz´ yváme pravdˇepodobnost´ı na (Ω, A). Pro náhodn´ y jev A ∈ A pak ˇc´ıslo P (A) naz´ yváme pravdˇepodobnost´ı jevu A. Trojici (Ω, A, P ) naz´ yváme pravdˇepodobnostn´ı prostor. Definice 4. Necht’ (Ω, A, P ) je pravdˇepodobnostn´ı prostor. Pak zobrazen´ı X : Ω → R nazveme n´ ahodnou veliˇcinou (vzhledem k jevovému poli (Ω, A)), kdyˇz pro kaˇzdé x ∈ R plat´ı: {ω : X(ω) ≤ x} ∈ A. Definice 5. Necht’ (Ω, A, P ) je pravdˇepodobnostn´ı prostor a X : Ω → R náhodná veliˇcina vzhledem k A. Pak funkci F (x) = P ({ω : X(ω) ≤ x}) , x ∈ R, naz´ yváme distribuˇcn´ı funkc´ı náhodné veliˇciny X. Oznaˇcen´ı: F (x) = P ({ω : X(ω) ≤ x}) = P ([X ≤ x]) = P (X ≤ x) . Definice 6. Necht’ X je náhodná veliˇcina na (Ω, A, P ), B je Borelovská σ-algebra. Pak mnoˇzinovou funkci PX : B → R definovanou vztahem PX (B) = P (X ∈ B), B ∈ B, naz´ yváme rozdˇelen´ım pravdˇepodobnost´ı náhodné veliˇciny X. Definice 7. Necht’ F (x) je distribuˇcn´ı funkce náhodné veliˇciny X. Pak funkci F −1 (u) = inf x {x : F (x) ≥ u}, u ∈ (0, 1), naz´ yváme kvantilovou funkc´ı náhodné veliˇciny X nebo téˇz kvantilovou funkc´ı pˇr´ısluˇsnou k distribuˇcn´ı funkci F (x). Pro dané ˇc´ıslo γ ∈ (0, 1) naz´ yváme ˇc´ısla xγ = F −1 (γ) γ-kvantilem distribuˇcn´ı funkce F (γ-kvantilem rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny X) . 5

Definice 8. Necht’ X je náhodná veliˇcina definovaná na pravdˇepodobnostn´ Pım prostoru (Ω, A, P ) a M nejv´ yˇse spoˇcetná mnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel taková, ˇze plat´ı x∈M P (X = x) = 1 . Pak ˇrekneme, ˇze náhodná veliˇcina X je diskrétn´ıho typu (má diskrétn´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti), M se naz´ yvá obor hodnot X a funkce p (x) definovaná vztahy p (x) = P (X = x) , x ∈ M p (x) = 0 ,x∈ /M

se naz´ yvá pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı náhodné veliˇciny X . Oznaˇcen´ı X ∼ (M, p) znamená, ˇze náhodná veliˇcina X má diskrétn´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti s oborem hodnot M a pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı p . Pozn´ amka. Pro diskrétn´ı rozdˇelen´ı s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı p (x) na M staˇc´ı distribuˇcn´ı funkci zadat v bodech z M . Této skuteˇcnosti budeme dále vyuˇz´ıvat. ˇ Definice 9. Rekneme, ˇze náhodná veliˇcina X má rozdˇ R ∞ elen´ı pravdˇepodobnosti spojitého typu, kdyˇz existuje nezáporná funkce f (x), x ∈ R, −∞ f (x)dx = 1, a distribuˇcn´ı funkci F (x) náhodné veliˇciny X lze pomoc´ı f (x) zapsat ve tvaru Z x F (x) = f (t)dt −∞

Funkci f pak naz´ yváme hustotou náhodné veliˇciny X .

1.2

Vybran´ a rozdˇ elen´ı

1.2.1

Binomick´ e rozdˇ elen´ı

Uvaˇzujme náhodnou veliˇcinu X, která má binomické rozdˇelen´ı Bi(n, π) s parametry n ∈ N , π ∈ (0, 1). Ozn. X ∼ Bi(n, π). Pak jej´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce je µ ¶ n t (1.1) π (1 − π)n−t , x = 0, 1, ..., n. p(x) = P (X = x) = t Stˇredn´ı hodnota je tvaru EX = nπ a rozptyl DX = nπ(1 − π). Je-li n = 1, jedná se o tzv. alternativn´ı rozdˇelen´ı A(π).

1.2.2

Beta rozdˇ elen´ı

Náhodná veliˇcina X má beta rozdˇelen´ı Be(p, q) s parametry p, q > 0, je-li hustota pravdˇepodobnosti tvaru ( 1 xp−1 (1 − x)q−1 pro x ∈ (0, 1), B(p,q) f (x) = (1.2) 0 pro x ∈ / (0, 1), R1 kde B(p, q) = 0 xp−1 (1 − x)q−1 dx je tzv. beta funkce. Ozn. X ∼ Be(p, q). Distribuˇcn´ı funkce ( R x p−1 1 t (1 − t)q−1 dt pro x > 0, B(p,q) 0 F (x) = (1.3) 0 pro x ≤ 0, rozdˇelen´ı beta je tzv. ne´ upln´ a beta funkce.

6

1.2.3

Rozdˇ elen´ı Fisherovo-Snedecorovo F

Náhodná veliˇcina X má rozdˇelen´ı F o stupn´ıch volnosti ν1 , ν2 ≥ 0, je-li hustota pravdˇepodobnosti  ³ ´ ν21 ν ³ ´− ν1 +ν 2 2 1 −1  ν1 ν1 1 2 x pro x > 0, 1 + ν2 x fν1 , ν2 (x) = B ( ν21 , ν22 ) ν2 (1.4)  0 pro x ≤ 0.

Ozn. X ∼ F (ν1 , ν2 ). Distribuˇcn´ı funkce F rozdˇelen´ı se znaˇc´ı jako Fν1 , ν2 (x) a α-kvantil jako Fα (ν1 , ν2 ).

1.3

Souvislost mezi rozdˇ elen´ım F a binomick´ ym rozdˇ elen´ım

Vˇ eta 1.3.1. Distribuˇcn´ı funkci F (x) binomického rozdˇelen´ı lze vyjádˇrit pomoc´ı ne´ uplné beta funkce, tedy Z 1−π x µ ¶ X 1 n t n−t = z n−x−1 (1 − z)x dz . (1.5) F (x) = π (1 − π) B(n − x, x + 1) t 0 t=0 D˚ ukaz. Vˇeta se dokáˇze postupnou integrac´ı per partes (viz [9]).

Vˇ eta 1.3.2. Distribuˇcn´ı funkci F (x) binomického rozdˇelen´ı Bi(n, π) lze vyjádˇrit pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce Fν1 , ν2 (x) rozdˇelen´ı F o ν1 , ν2 stupn´ıch volnosti ve tvaru ¶ µ x µ ¶ X x+1 1−π n t n−t , · F (x) = = Fν1 , ν2 π (1 − π) n−x π t t=0

(1.6)

kde ν1 = 2(n − x), ν2 = 2(x + 1). D˚ ukaz. Vyjdeme ze vztahu (1.5) a v uvedeném integrálu provedeme substituci z=

y x+1 , kde a = . a+y n−x

Pak dz =

a dy . (a + y)2

Dále urˇc´ıme meze integrálu. Pro z =1−π 7

(1.7)

dostaneme y =a· a pro

z 1−π =a· 1−z π z=0

dostaneme y = a · 0 = 0. Po této substituci z (1.5) po u ´pravˇe dostaneme x µ ¶ X n t=0

t

π t (1 − π)n−t =

1 = B(n − x, x + 1)

Z

1 = B(n − x, x + 1)

Z

1 = B(n − x, x + 1)

a· 1−π π

0

Z

a· 1−π π

0 a· 1−π π

0 a· 1−π π

¶x a y dy 1− a+y (a + y)2 µ ¶x a a n−x−1 x+1−n y (a + y) dy a+y (a + y)2 µ

y a+y

¶n−x−1 µ

y n−x−1 ·

ax a dy (a + y)n (a + y)

an ax a · dy (a + y)n (a + y) an 0 ¶n+1 µ Z a· 1−π π 1 a n−x−1 y ax−n dy = B(n − x, x + 1) 0 a+y µ ¶n−x Z a· 1−π ³ π 1 1 y ´−n−1 n−x−1 y dy = 1+ B(n − x, x + 1) a a 0 1 = B(n − x, x + 1)

Z

y n−x−1 ·

Poloˇz´ıme ν1 = 2(n − x), ν2 = 2(x + 1). Odtud po dosazen´ı ze vztahu (1.7) za a = dostáváme 1 F (x) = ν1 ν2 B( 2 , 2 )

µ

ν1 ν2

¶ ν21 Z

ν2 1−π · π ν1

y

ν1 −1 2

0

Coˇz je distribuˇcn´ı funkce Fν1 ,ν2 rozdˇelen´ı F v bodˇe F (x) = Fν1 ,ν2

µ

µ

x+1 n−x

ν1 1+ y ν2 ·

1−π π

x+1 1−π · n−x π

8

¶

.

¶− ν1 +ν 2 2

. Tedy

dy .

x+1 n−x

=

ν2 ν1

(1.8)

1.4

Aproximace binomick´ eho rozdˇ elen´ı norm´ aln´ım rozdˇ elen´ım

Vˇ eta 1.4.1 (Moivreova-Laplaceova). Necht’ Xn ∼ Bi(n, π). Pak X − nπ X − EX =p U= √ DX nπ(1 − π)

m´ a asymptoticky normáln´ı rozdˇelen´ı N (0, 1), a tedy

lim P (U < u) = Φ(u) , −∞ < u < ∞ ,

n→∞

kde Φ(u) je distribuˇcn´ı funkce normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı N(0,1). Pn D˚ ukaz. Bud’ Xn = aln´ı limitn´ı vˇety plyne, ˇze Xn i=1 Ii , kde Ii ∼ A(θ). Pak z centr´ konverguje v distribuci k N (0, 1). Z vˇety 1.4.1 plyne, ˇze pˇri dostateˇcnˇe velkém rozsahu v´ ybˇeru n lze distribuˇcn´ı funkci binomického rozdˇelen´ı aproximovat distribuˇcn´ı funkc´ı normáln´ıho rozdˇelen´ı.

1.5

Transformace stabilizuj´ıc´ı rozptyl

Necht’ X je náhodná veliˇcina s rozdˇelen´ım závisej´ıc´ım na parametru θ. Pˇredpokládejme, ˇze plat´ı EX = θ. Na parametru θ závis´ı také rozptyl veliˇciny X, tedy DX = σ 2 (θ). Stabilizac´ı rozptylu rozum´ıme nalezen´ı vhodné netriviáln´ı transformaˇcn´ı funkce g takové, aby náhodná veliˇcina Y = g(X) mˇela rozptyl nezávisej´ıc´ı na θ. Funkce g se z´ıská pomoc´ı aproximace z Taylorova vzorce g(X) ≈ g(θ) + (X − θ)g ′ (θ) , tedy Eg(X) ≈ g(θ) Dg(X) ≈ [g ′ (θ)]2 σ 2 (θ) ,

(1.9)

Poˇzadavek na nezávislost rozptylu g(X) na parametru θ lze vyjádˇrit jako g ′ (θ)σ(θ) = c , kde c je vhodnˇe zvolená konstanta. Odtud dostáváme ˇreˇsen´ı Z dθ . g(θ) = c σ(θ)

(1.10)

Z´ıskaná transformaˇcn´ı funkce g(θ) v´ yraznˇe stabilizuje rozptyl, tedy Dg (X) závis´ı na θ jen velmi málo. Nav´ıc rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny Y b´ yvá jiˇz velmi bl´ızké normáln´ımu, aˇckoli samotné rozdˇelen´ı veliˇciny X m˚ uˇze b´ yt v´ yraznˇe nenormáln´ı.

9

1.5.1

Arcussinov´ a transformace v binomick´ em rozdˇ elen´ı

Necht’ X je náhodná veliˇcina s binomick´ ym rozdˇelen´ım Bi(n, π). Relativn´ı ˇcetnost u ´spˇech˚ u v n nezávisl´ ych pokusech je X Z= n o stˇredn´ı hodnotˇe EZ = π a rozptylu π(1 − π) X 1 = 2 DX = n n n (plyne z odstavce 1.2.1). Dle (1.10) je Z Z √ dπ dπ =c n p . g(π) = c σ(π) π(1 − π) DZ = D

√ −1 Zvol´ıme-li konstantu c = (2 n ) , dostaneme arcussinovou transformaci r X , Y = g(Z) = arcsin(Z) = arcsin n

(1.11)

pˇriˇcemˇz dle (1.9) má transformovaná veliˇcina Y stˇredn´ı hodnotu √ EY = Eg(Z) ≈ g(π) = arcsin π a rozptyl ′

2

2

DY = Dg(X) ≈ (g (π)) σ (π) =

µ

1 1 1 √ · ·√ π 1−π 2

¶2

π(1 − π) 1 = . n 4n

Jak bylo uvedeno v´ yˇse, veliˇcina Y má rozdˇelen´ı bl´ızké normáln´ımu. Standardizac´ı se odvod´ı asymptoticky normáln´ı náhodná veliˇcina Ã ! r √ √ Y − EY X = 2 n arcsin − arcsin π0 . U1 = √ (1.12) n DY V [6] je uvedeno, ˇze arcussinová transformace s s 3 Z + 8n X + 38 Y = g(Z) = arcsin = arcsin 3 1 + 4n n + 34 o stˇredn´ı hodnotˇe EY ≈ arcsin a rozptylu DY ≈

s

3 π + 8n 3 1 + 4n

1 4n + 2

10

(1.13)

je stabilnˇejˇs´ı. V´ yhodou této transformace oproti (1.11) je menˇs´ı rozptyl. Z (1.13) lze opˇet z´ıskat asymptoticky normáln´ı statistiku Ã ! r r √ 8X + 3 8nπ0 + 3 U2 = 4n + 2 arcsin . (1.14) − arcsin 8n + 6 8n + 6

1.6

Testov´ an´ı hypot´ ez

Necht’ náhodn´ y v´ ybˇer X = (X1 , . . . , Xn ) má rozdˇelen´ı o distribuˇcn´ı funkci F (x, θ), kde parametr θ je z parametrického prostoru Θ, a necht’ X je obor hodnot náhodného v´ ybˇeru X. Definujme nulovou hypotézu H0 : θ ∈ Θ1 ⊂ Θ a alternativn´ı hypotézu H1 : θ ∈ Θ¯1 = Θ − Θ1 . Je-li mnoˇzina Θ1 jednobodová, pak H0 se naz´ yvá jednoduchá nulová hypotéza. Je-li Θ−Θ1 jednobodová mnoˇzina, pak se H1 naz´ yvá jednoduchou alternativn´ı hypotézou. Na základˇe náhodného v´ ybˇeru X z rozdˇelen´ı o distribuˇcn´ı funkci F (x, θ) je potˇreba rozhodnout o platnosti H0 nebo H1 . Statistický test je pravidlo, které kaˇzdé hodnotˇe náhodného v´ ybˇeru pˇriˇrad´ı jedno ze dvou moˇzn´ ych rozhodnut´ı: hypotéza H0 se zam´ıtá, nebo se H0 nezam´ıtá. Pokud se zam´ıtne hypotéza H0 , pˇrestoˇze je správná, dojde k chybˇe I. druhu. Jestliˇze se naopak hypotéza H0 nezam´ıtne, aˇckoli neplat´ı, dojde k chybˇe II. druhu. Test se konstruuje tak, aby pravdˇepodobnost chyby I. druhu byla nejv´ yˇse rovna α. Za této podm´ınky se pak minimalizuje pravdˇepodobnost chyby II. druhu β. Test se provád´ı pomoc´ı tzv. kritického oboru. Kritick´ y obor Wα ⊂ X se zavád´ı pomoc´ı testovac´ı statistiky ym kritick´ ym oborem vedouc´ım na T a pomoc´ı kritické hodnoty kα ∈ R. Pravostrann´ jednostrann´ y test se rozum´ı Wα = {x ∈ X : T = T (x) > kα } , levostrann´ y kritick´ y obor má tvar Wα = {x ∈ X : T = T (x) < kα } , na oboustrann´ y test pak vede oboustrann´ y kritick´ y obor Wα = {x ∈ X : T < kα′ , nebo T > kα′′ }, Wα = {x ∈ X : |T | > kα′′′ } , kde kα′ , kα′′ , kα′′′ jsou kritické hodnoty. Plat´ı-li x ∈ Wα , pak se hypotéza H0 zam´ıtá, pokud ale x ∈ / Wα , hypotéza H0 se nezam´ıtá. Horn´ı hranice pro pravdˇepodobnost chyby I. druhu α = sup P (x ∈ Wα ) θ

11

ˇ ıslo se naz´ yvá hladina významnosti testu. C´ βα = 1 − β se naz´ yvá s´ıla testu. S´ılou testu v bodˇe θ se rozum´ı silofunkce testu βα (θ), coˇz je pravdˇepodobnost, ˇze hypotéza H0 se zam´ıtá, kdyˇz hodnota parametru je θ. Aby byla splnˇena podm´ınka, ˇze pravdˇepodobnost chyby I. druhu nemá b´ yt vˇetˇs´ı neˇz hladina v´ yznamnosti α, mus´ı platit βα (θ) ≤ α pro θ ∈ Θ1 . Problematika testován´ı hypotéz je podrobnˇeji popsána v [12].

1.7

Intervalov´ e odhady

Definice 10. Necht’ X = (X1 , · · · , Xn ) je náhodn´ y v´ ybˇer z rozdˇelen´ı o distribuˇcn´ı funkci ’ F (x, θ), τ (θ) je daná parametrická funkce. Necht TD = TD (X) a TH = TH (X) jsou yváme 100(1 − α)% oboustranným intervalem spolehlivosti statistiky. Pak hTD , TH i naz´ pro τ (θ), kdyˇz P (TD < τ (θ) < TH ) ≥ 1 − α . Dále interval h−∞, TH i naz´ yváme 100(1 − α)% pravostranný interval spolehlivosti pro τ (θ), kdyˇz P (τ (θ) < TH ) ≥ 1 − α . Koneˇcnˇe interval hTD , ∞i naz´ yváme 100(1 − α)% levostranný interval spolehlivosti pro τ (θ), kdyˇz P (TD < τ (θ)) ≥ 1 − α . Je-li h−∞, TH i, resp. hTD , ∞i pravostrann´ y, resp. levostrann´ y interval spolehlivosti pro yváme horn´ı, resp. doln´ı odhad τ (θ) s rizikem α. τ (θ), pak TH , resp. TD naz´

12

2

Senzorick´ a anal´ yza

Senzorická anal´ yza je jedn´ım z prostˇredk˚ u hodnocen´ı jakosti potravin. Patˇr´ı mezi tzv. psychometrické metody, jej´ı pomoc´ı se tedy nezjiˇst’uje sloˇzen´ı potravin, ale posuzuje se existence ˇci intenzita urˇcitého vjemu. Urˇcuj´ı se organoleptické vlastnosti, tedy vlastnosti vn´ımatelné lidsk´ ymi smysly (chut’, v˚ unˇe apod.). Mezi metody senzorické anal´ yzy patˇr´ı: rozliˇsovac´ı metody, poˇradové metody a hodnocen´ı s pouˇzit´ım stupnic. Pˇri provádˇen´ı anal´ yzy se obvykle vyuˇz´ıvá jejich kombinace. Senzorická anal´ yza je podrobnˇeji popsána vˇcetnˇe test˚ u v [11].

2.1

Rozliˇ sovac´ı metody

Pomoc´ı rozliˇsovac´ıch metod se stanovuje, zda mezi dvˇema hodnocen´ ymi v´ yrobky existuje rozd´ıl ve sledovaném senzorickém znaku. Po posuzovatel´ıch se vyˇzaduje tzv. vynucená odpovˇed’, hodnotitel tedy mus´ı vybrat jednu z nab´ıdnut´ ych formulac´ı. Podle zp˚ usobu provádˇen´ı posuzován´ı se rozliˇsuj´ı tyto metody: párová porovnávac´ı zkouˇska, zkouˇska duotrio, troj´ uheln´ıková zkouˇska.

2.1.1

P´ arov´ a porovn´ avac´ı zkouˇ ska

Posuzovatelé obdrˇz´ı dva za stejn´ ych podm´ınek pˇripravené vzorky A a B zkouman´ ych v´ yrobk˚ u. Jejich u ´kolem je odpovˇedˇet, kter´ y vzorek je intenzivnˇejˇs´ı pˇri zkouˇsce rozd´ılu v intenzitˇe ˇci kterému ze vzork˚ u dávaj´ı pˇrednost u preferenˇcn´ıch zkouˇsek. Pro vyhodnocen´ı párové porovnávac´ı zkouˇsky se pouˇz´ıvaj´ı testy o parametru binomického rozdˇelen´ı. Zkoumá-li se rozd´ılnost v´ yrobk˚ u jako takov´ ych, pouˇzije se pro vyhodnocen´ı obostrann´ ych test˚ u. Je-li ˇzádouc´ı zjistit smˇer této rozd´ılnosti, vyuˇzij´ı se testy jednostranné.

2.1.2

Zkouˇ ska duo-trio

Pˇri zkouˇsce duo-trio jsou posuzovatel˚ um pˇredloˇzeny celkem tˇri vzorky. Prvn´ı se naz´ yvá tzv. referenˇcn´ı, podává se jako standard. Dalˇs´ı dva jsou tzv. experimentáln´ı a jsou pˇredloˇzeny anonymnˇe. Jeden z tˇechto dvou vzork˚ u pocház´ı ze stejného v´ yrobku jako standard. Hodnotitel má pak za u ´kol rozhodnout, kter´ y vzorek ze dvou experimentáln´ıch je ve sledovaném znaku shodn´ y se standardem a kter´ y je odliˇsn´ y.

2.1.3

Troj´ uheln´ıkov´ a zkouˇ ska

Hodnotitel pˇri troj´ uheln´ıkové zkouˇsce obdrˇz´ı ˇradu tˇr´ı náhodnˇe uspoˇrádan´ ych, avˇsak za stejn´ ych podm´ınek pˇripraven´ ych vzork˚ u, z nichˇz dva pocházej´ı ze stejného v´ yrobku a tˇret´ı ´ je odliˇsn´ y. Ukolem posuzovatele je oznaˇcit vzorek, kter´ y se od ostatn´ıch dvou liˇs´ı.

13

2.2

Poˇ radov´ e metody

C´ılem poˇradové zkouˇsky je roztˇr´ıdˇen´ı skupiny v´ yrobk˚ u, jejich seˇrazen´ı podle intenzity senzorického znaku, podle preferenc´ı spotˇrebitel˚ u, nebo sledován´ı vlivu urˇcitého faktoru na organoleptické vlastnosti a senzorickou jakost v´ yrobku. Posuzovateli je pˇredloˇzena skupina vzork˚ u v náhodném poˇrad´ı a jeho u ´kolem je seˇradit vzorky podle daného ukazatele (preference ˇci intenzity znaku). I zde je doporuˇcována nucená volba, tzn. na jedno m´ısto v poˇrad´ı by nemˇelo b´ yt pˇriˇrazeno v´ıce vzork˚ u.

2.3

Hodnocen´ı s pouˇ zit´ım ordin´ aln´ıch stupnic

Existuj´ı r˚ uzné typy stupnic, v senzorické anal´ yze se vˇsak nejˇcastˇeji vyuˇz´ıvaj´ı tzv. ordináln´ı stupnice. Mˇeˇrit na ordináln´ı stupnici znamená pˇriˇradit jednotliv´ ym variantám odpovˇed´ı ˇc´ısla vyjadˇruj´ıc´ı vˇetˇs´ı nebo menˇs´ı u ´roveˇ n sledovaného senzorického znaku. V mnoˇzinˇe uspoˇrádané podle stupnice tohoto typu nelze stanovit, jaká je tzv. vzdálenost mezi dvˇema sousedn´ımi objekty. Ordináln´ı stupnice lze dále dˇelit na stupnice intenzitn´ı, tj. zkoumaj´ıc´ı intenzitu daného znaku, a hédonické, zkoumaj´ıc´ı pˇr´ıjemnost, pˇrijatelnost apod. Stupnici lze konstruovat jako tzv. stupnici prvn´ıho stupnˇe, tj. prvn´ı kategorie je vyhrazena pro nepatrnou intenzitu vlastnosti a posledn´ı kategorie pro nejvˇetˇs´ı intenzitu resp. nejlepˇs´ı jakost, nebo lze smˇer hodnot definovat obrácenˇe a vytvoˇrit tak tzv. stupnici druhého druhu. Pˇr´ıkladem intenzitn´ı ordináln´ı stupnice prvn´ıho druhu m˚ uˇze b´ yt posloupnost vyjadˇruj´ıc´ı slanost vzorku: naprosto neslan´ y, velmi málo slan´ y, málo slan´ y, . . . , nesm´ırnˇe slan´ y. Samotná zkouˇska prob´ıhá tak, ˇze zaˇskolen´ y hodnotitel obdrˇz´ı protokol s uveden´ ymi senzorick´ ymi znaky, které bude u vzork˚ u hodnotit, a stupnice, podle kter´ ych bude vzorek zaˇrazovat. Poté pˇredloˇzen´ y vzorek objektivnˇe posoud´ı a v souladu se stupnic´ı zap´ıˇse své hodnocen´ı. Toto provede u kaˇzdého vzorku a znaku.

14

3

Testy hypot´ ez o parametru π binomick´ eho rozdˇ elen´ı

Dále bude pozornost zamˇeˇrena na podrobn´ y rozbor test˚ u hypotéz o parametru π binomického rozdˇelen´ı, které jsou vhodné pro vyhodnocován´ı senzorick´ ych dat z´ıskan´ ych rozliˇsovac´ımi zkouˇskami.

3.1

Kritick´ y obor testu o parametru binomick´ eho rozdˇ elen´ı

Necht’P X1 , . . . , Xn je náhodn´ y v´ ybˇer z alternativn´ıho rozdˇelen´ı A(π), pak náhodná veliˇcina n X = i=1 Xi má binomické rozdˇelen´ı Bi(n, π). Testujme hypotézu H0 : π = π0 proti oboustranné alternativˇe H1 : π 6= π0 , kde π0 je pevná hodnota z intervalu (0, 1). Test zaloˇz´ıme na kritickém oboru je Wα = {x ∈ {0, 1, · · · , n} : x ≤ c1 , x ≥ c2 }, tj. hledáme nejvˇetˇs´ı celé ˇc´ıslo c1 , pro které pˇri daném α plat´ı Pπ0 (X ≤ c1 ) = Pπ0 (X ≤ c1 + 1) =

c1 µ ¶ X n t=0 cX 1 +1 µ t=0

t

π0t (1 − π0 )n−t ≤

α , 2

¶ n t α π0 (1 − π0 )n−t > , 2 t

(3.1)

a nejmenˇs´ı celé ˇc´ıslo c2 splˇ nuj´ıc´ı pro dané α n µ ¶ X α n t Pπ0 (X ≥ c2 ) = π0 (1 − π0 )n−t ≤ , t 2 t=c2 µ ¶ n X n t α π0 (1 − π0 )n−t > . Pπ0 (X ≥ c2 − 1) = t 2 t=c −1

(3.2)

2

V pˇr´ıpadˇe testován´ı hypotézy H0 : π = π0 proti pravostranné alternativˇe H1 : π > π0 , ym oborem mnoˇzina Wα = {X = kde π0 je pevná hodnota z intervalu (0, 1), je kritick´ x; x ≥ c}, pˇriˇcemˇz c splˇ nuje nerovnosti n µ ¶ X n t Pπ0 (X ≥ c) = π0 (1 − π0 )n−t ≤ α , t t=c n µ ¶ X n t Pπ0 (X ≥ c − 1) = π0 (1 − π0 )n−t > α . t t=c−1

15

(3.3)

Testuje-li se hypotéza H0 : π = π0 proti levostranné alternativˇe H1 : π < π0 , kde π0 je pevná hodnota z intervalu (0, 1), urˇc´ıme kritick´ y obor jako mnoˇzinu Wα = {X = x; x ≤ ≤ c}, kde c splˇ nuje Pπ0 (X ≤ c) = Pπ0 (X ≤ c + 1) =

c µ ¶ X n

t

t=0

c+1 µ ¶ X n

t

t=0

π0t (1 − π0 )n−t ≤ α , (3.4) π0t (1 − π0 )n−t > α .

ˇ ısla c1 a c2 se spoˇc´ıtaj´ı jako C´ c1 = x α2 − 1 ,

(3.5)

c2 = x1− α2 + 1 ,

(3.6)

kde x α2 , x1− α2 jsou pˇr´ısluˇsné kvantily binomického rozdˇelen´ı. Tyto závislosti vycházej´ı ze vztah˚ u (3.1) a (3.2) a definice kvantil˚ u. U jednostrann´ ych test˚ u ˇc´ıslo c spoˇcteme analogicky. V pˇr´ıpadˇe pravostranného testu máme c = x1−α + 1 ,

(3.7)

c = xα − 1 .

(3.8)

v pˇr´ıpadˇe levostranného testu pak

V´ ypoˇcet ˇc´ısel c1 a c2 (resp. c) lze tedy provést pomoc´ı kvantil˚ u binomického rozdˇelen´ı, lze vˇsak také vyuˇz´ıt souvislosti binomického rozdˇelen´ı s Fisherov´ ym (viz (1.6)) a situaci t´ım zjednoduˇsit. Tento pˇr´ıpad je rozebrán v odstavci 3.3.

3.2

S´ıla testu o parametru π binomick´ eho rozdˇ elen´ı

Silofunkce testu zaloˇzeného na kritickém oboru popsaném v odstavci 3.1 má dle odstavce 1.6 tvar pro oboustrann´ y test tvar c1 µ ¶ n µ ¶ X X n t n t n−t π (1 − π)n−t , π 6= π0 , βα (π) = + (3.9) π (1 − π) t t t=0 t=c 2

pro pravostrann´ y test βα (π) =

n µ ¶ X n

π t (1 − π)n−t , π > π0 ,

(3.10)

c µ ¶ X n

π t (1 − π)n−t , π < π0 .

(3.11)

t=c

t

pro levostrann´ y test βα (π) =

t=0

t

16

Jsou-li známa ˇc´ısla c1 , c2 (resp. ˇc´ıslo c), která zaruˇcuj´ı dodrˇzen´ı hladiny v´ yznamnosti, lze spoˇc´ıtat hodnotu s´ıly pro libovolné π. Pˇ r´ıklad: Mˇejme náhodný výbˇer rozsahu n = 100 z rozdˇelen´ı A(π). Testujme hypotézu H0 : π = π0 proti oboustranné alternativˇe H1 : π 6= π0 pro π0 = 0, 5 na hladinˇe významnosti α = 0, 05. Ze vztah˚ u (3.5) a (3.6) se spoˇc´ıtá, ˇze c1 = 39, c2 = 61, ˇc´ımˇz se zaruˇc´ı splnˇen´ı nerovnic (3.1) a (3.2): α P0,5 (x ≤ 39) = P0,5 (x ≥ 61) = 0, 0176 < 0, 025 = , 2 α P0,5 (x ≤ 40) = P0,5 (x ≥ 60) = 0, 0284 > 0, 025 = . 2 Pn Kritick´ y obor zaloˇzen´ y na statistice X = i=1 Xi (viz odstavec 3.1) je pak tvaru Wα = {x =

n X i=1

xi ; x ≤ 39, x ≥ 61} ,

Hodnoty silofunkce tohoto testu spoˇctené dle vzorce (3.9) jsou pro názornost uvedeny v tabulce 3.1. Silofunkce je znázornˇena na obrázku 3.1. Analogick´ y postup se provede u jednostrann´ ych test˚ u. V pˇr´ıpadˇe pravostranné alternativy je dle (3.7) kritick´ y obor Wα = {x =

n X i=1

xi ; x ≥ 59}

(obrázek 3.2(a)), u testován´ı levostranné alternativy pak dle (3.8) Wα = {x =

n X i=1

xi ; x ≤ 41}

(obrázek 3.2(b)). H : π = π = 0.5, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 100 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( π )

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0352 0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 π

0.6

0.7

0.8

0.9

Obr. 3.1: Silofunkce oboustranného testu

17

Tabulka 3.1: Hodnoty silofunkce oboustranného testu H0 : π = π0 = 0, 5, H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 π β(π)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.000 1.000 0.979 0.4621 0.0352 0.4621 0.979 1.000 1.000 H 0 : π = π 0= 0.5, H 1 : π ≠ π 0, α = 0.05, n = 100 1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6 β( π )

β( π )

H 0 : π = π 0= 0.5, H 1 : π ≠ π 0, α = 0.05, n = 100 1

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.0443 0 0.1

0.0443 0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 π

0.6

0.7

0.8

0.9

(a) Pravostrann´ y test

0.2

0.3

0.4

0.5 π

0.6

0.7

0.8

0.9

(b) Levostrann´ y test

Obr. 3.2: Silofunkce jednostrann´ ych test˚ u

3.3

Explicitn´ı vyj´ adˇ ren´ı intervalu spolehlivosti pro parametr π binomick´ eho rozdˇ elen´ı

Test hypotézy o parametru π binomického rozdˇelen´ı se dá provést pomoc´ı intervalu spolehlivosti pro π. Oznaˇcme tento test dále jako F-test. Vˇ eta 3.3.1. Necht’ náhodn´ a veliˇcina X ∼ Bi(n, π). Pak 100(1−α)-procentn´ım intervalem spolehlivosti pro parametr π je interval πD < π < πH , kde πH = πD =

(X + 1)F1−α1 ( 2(X + 1) , 2(n − X)) , n − X + (X + 1)F1−α1 (2(X + 1) , 2(n − X))

(3.12)

X , (n − X + 1)F1−α2 ( 2(n − X + 1), 2X) + X

(3.13)

pˇriˇcemˇz F1−α1 (ν 1 , ν 2 ) je (1 − α1 )-kvantil F-rozdˇelen´ı o ν 1 = 2(X + 1), ν 2 = 2(n − X) stupn´ıch vonosti a F1−α2 (ν 3 , ν 4 ) je (1 − α2 )-kvantil F-rozdˇelen´ı o ν 3 = 2(n − X + 1), ν 4 = 2X stupn´ıch volnosti.

18

D˚ ukaz. Krajn´ı meze πD a πH intervalu se naleznou ˇreˇsen´ım rovnic x µ ¶ X n t πH (1 − πH )n−t = α1 t t=0 a

n µ ¶ X n t=x

t

t πD (1 − πD )n−t = α2 , kde α1 + α2 = α .

(3.14)

(3.15)

Z d˚ ukazu vˇety 1.3.2 je známo, ˇze ¶ µ x µ ¶ X n t x + 1 1 − πH n−t · , kde Y ∼ F ( 2(n−x), 2(x+1)) . πH (1−πH ) =P Y < α1 = n − x π t H t=0 Za vyuˇzit´ı kvantil˚ u F-rozdˇelen´ı lze tedy po následuj´ıc´ıch u ´pravách vyjádˇrit horn´ı krajn´ı bod intervalu spolehlivosti ve tvaru (3.12). x + 1 1 − πH 1 · = Fα1 (2(n − x), 2(x + 1)) = n−x πH F1−α1 (2(x + 1) , 2(n − x)) 1 x + 1 − xπH − πH = (n − x)πH F1−α1 (2(x + 1) , 2(n − x)) πH x + 1 − (x + 1)πH = n−x F1−α1 (2(x + 1) , 2(n − x)) F1−α1 (2(x + 1) , 2(n − x)) · (x + 1) − F1−α1 (2(x + 1) , 2(n − x)) · (x + 1)πH = πH (n − x) F1−α1 (2(x + 1) , 2(n − x)) · (x + 1) = πH (n − x + F1−α1 (2(x + 1) , 2(n − x)) · (x + 1)) (x + 1)F1−α1 (2(x + 1) , 2(n − x)) πH = n − x + (x + 1)F1−α1 (2(x + 1) , 2(n − x)) Doln´ı krajn´ı bod nalezneme obdobnˇe. Nejdˇr´ıve se rovnice (3.15) pˇrevede na tvar x−1 µ ¶ X n t πD (1 − πD )n−t = 1 − α2 . t t=0

Dále se vyuˇzije vztah (1.4) pro distribuˇcn´ı funkci rozdˇelen´ı F v µ ¶ X n t πD (1 − πD )n−t = t t=0 ¶−n−1 µ µ ¶n−v Z v+1 · 1−πD n−v πD 1 n−v n−v n−v−1 y 1+ = y dy B(n − v, v + 1) v + 1 v+1 0 Dosazen´ım substituce v = x − 1 se dostane x−1 µ ¶ X n t πD (1 − πD )n−t = t t=0 ¶−n−1 µ ¶n−x+1 Z x · 1−πD µ n−x+1 πD 1 n−x+1 n−x+1 n−x y dy. y = 1+ B(n − x + 1, x) x x 0 19

Porovnán´ım se vztahem (1.4) pro hustotu F rozdˇelen´ı se z´ıská vyjádˇren´ı ¶ µ x−1 µ ¶ X 1 − πD n t x n−t · , πD (1 − πD ) 1 − α2 = =P Y < n − x + 1 π t D t=0 kde Y ∼ F 2(n−x+1),2x . Tedy x 1 − πD = F1−α2 (2(n − x + 1), 2x) · n−x+1 πD (n − x + 1) · πD · F1−α2 (2(n − x + 1), 2x) = x − xπD , odkud po u ´pravˇe se dostane tvar (3.15) doln´ıho krajn´ıho bodu intervalu spolehlivosti binomického rozdˇelen´ı x . πD = (n − x + 1)F1−α2 (2(n − x + 1), 2x) + x Platnost hypotézy H0 : π = π0 se proti oboustranné alternativˇe ˇci jednostrann´ ym alternativám testuje na základˇe pˇr´ısluˇsnosti parametru π0 k uvedenému intervalu spolehlivosti hπD , πH i dle odstavce 1.7. Je moˇzné také pouˇz´ıt upravenou verzi tohoto testu, kdy se v pˇr´ıpadˇe oboustranné alternativy H1 : π 6= π0 testuje, zda 1 − π0 X · ≥ F1− α2 (2(n − X + 1), 2X) n−X +1 π0

(3.16)

nebo

X + 1 1 − π0 · ≤ F α2 (2(n − X), 2(X + 1)) . n−X π0 U pravostranné alternativy H1 : π > π0 se pak zjiˇst’uje, zda 1 − π0 X ≥ F1−α (2(n − X + 1), 2X) , · n−X +1 π0

(3.17)

(3.18)

a u levostranné alternativy H1 : π < π0 se hodnot´ı nerovnost X + 1 1 − π0 · ≤ Fα (2(n − X), 2(X + 1)) . n−X π0

3.4

(3.19)

S´ıla testu vyuˇ z´ıvaj´ıc´ıho Fisherovy kvantily

Následuj´ıc´ı v´ ysledky byly z´ıskány pomoc´ı opakovan´ ych test˚ u na simulovan´ ych v´ ybˇerech pˇr´ımo generovan´ ych z binomického rozdˇelen´ı, pˇriˇcemˇz hodnoty silofunkc´ı byly urˇceny jako pod´ıl zam´ıtnut´ ych hypotéz H0 ku celkovému poˇctu opakován´ı pˇri dané hodnotˇe π a ych π0 . Pˇr´ısluˇsné funkce pro simulace i pro vykreslován´ı silofunkc´ı dle teoreticky odvozen´ 20

H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π ≠ π 0, α = 0.05 1 0.9 0.8 0.7

β( δ )

0.6 0.5 0.4 n = 10 n = 15 n = 20 n = 25 n = 30 n = 50 n = 100

0.3 0.2 0.1 0 −0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0 0.1 δ=π−π0

0.2

0.3

0.4

0.5

Obr. 3.3: Silofunkce oboustranného F -testu pro r˚ uzná n Tabulka 3.2: Hodnoty silofunkc´ı oboustranného F -testu pro r˚ uzná n, H0 : π = π0 = 0, 5, yznamnosti α = 0, 05 H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´

β(π)

π n = 10 n = 15 n = 20 n = 25 n = 30 n = 50 n = 100

0.1 0.732 0.960 0.987 0.996 1.000 1.000 1.000

0.2 0.376 0.669 0.801 0.881 0.926 0.991 1.000

0.3 0.153 0.296 0.415 0.515 0.595 0.785 0.985

0.4 0.049 0.091 0.098 0.147 0.176 0.248 0.429

0.5 0.029 0.036 0.044 0.044 0.034 0.035 0.035

0.6 0.036 0.097 0.117 0.166 0.177 0.252 0.476

0.7 0.141 0.281 0.412 0.511 0.595 0.766 0.976

0.8 0.383 0.651 0.798 0.889 0.926 0.996 1.000

0.9 0.748 0.922 0.988 0.999 1.000 1.000 1.000

vzorc˚ u naprogramované v prostˇred´ı MATLAB jsou uvedeny v pˇr´ıloze P2 (toto bude platit i dále). Nejprve se zab´ yvejme srovnán´ım silofunkc´ı testu pro r˚ uzné rozsahy v´ ybˇer˚ u n. Testujme yznamnosti hypotézu H0 : π = π0 = 0, 5 proti alternativˇe H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´ α = 0, 05. Volme rozsah v´ ybˇeru n = 10, 15, 20, 25, 30, 50 a 100. Z obrázku 3.3, kde jsou silofunkce z´ıskané simulacemi vyznaˇceny teˇckovanˇe a teoretické silofunkce spoˇc´ıtané dle kapitoly 3.2 zakreslené plnou ˇcarou, je patrná dobrá shoda obou tˇechto typ˚ u silofunkc´ı. Dále je zˇrejmé i z tabulky 3.2, ˇze nejvˇetˇs´ıch hodnot silofunkce β(π) dosahuje test pˇri volbˇe rozsahu n = 100, kdy β(π) nab´ yvá hodnot bl´ızk´ ych 1 jiˇz pˇri π = 0, 3 a π = 0, 7, u rozsahu n = 50 toto nastává aˇz u π = 0, 2 a π = 0, 8. Je zde patrná obecná vlastnost silofunkc´ı, a to, ˇze s rostouc´ım n roste i s´ıla testu. Také se ukázalo, 21

H : π = π , H : π ≠ π , α = 0.05, n = 100 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( δ )

0.6 0.5 0.4 π = 0.1 0

0.3

π = 0.2 0

π = 0.3

0.2

0

π = 0.4 0

0.1

π = 0.5 0

0

0

0.05

0.1

0.15 δ=π−π

0.2

0.25

0.3

0

Obr. 3.4: Silofunkce oboustranného F -testu pro r˚ uzná π0 ˇze test je pro vˇsechna n podhodnocen´ y, tj. hodnota β(π0 ) nedosahuje stanovené hladiny v´ yznamnosti α = 0, 05. Tento fakt je zp˚ usoben t´ım, ˇze jsou v´ ybˇery z diskrétn´ıho rozdˇelen´ı, distribuˇcn´ı funkce nen´ı spojitá. Nejv´ıce se hodnota silofunkce bl´ıˇz´ı k hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 pro rozsah n = 20 a n = 25, kdy β(0, 5) = 0, 044, nejménˇe pak pro n = 10, kdy β(0, 5) = 0, 029. Nyn´ı pro stejn´ y test zadáme pevn´ y rozsah n = 100 a pro hypotézu H0 : π = π0 proti alternativˇe H1 : π 6= π0 vol´ıme parametr π0 = 0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 4 a 0, 5. Z obrázku 3.4 je patrné, ˇze s´ıla testu závis´ı rovnˇeˇz na volbˇe parametru π0 . Ukázalo se, ˇze nejsilnˇejˇs´ı je test pro π0 = 0, 1 a ˇze s rostouc´ım parametrem π0 jeho s´ıla klesá. Rozd´ıl je zˇrejm´ y také z tabulky 3.3, odkud lze vyˇc´ıst, ˇze pro parametr π = π0 + 0, 1 je hodnota β(π) rovna 0, 823 u volby π0 = 0, 1, pˇriˇcemˇz u volby π0 = 0, 5 je jiˇz s´ıla rovna jen 0, 504. Test je opˇet podhodnocen´ y, tzn. hodnota β(π0 ) ani v jednom pˇr´ıpadˇe nedosahuje hladiny v´ yznamnosti α = 0, 05.

3.5

Test zaloˇ zen´ y na norm´ aln´ı aproximaci

Jako dalˇs´ı testovac´ı kriterium lze dle odstavce 1.4 pouˇz´ıt statistiku X − nπ0 U=p . nπ0 (1 − π0 )

(3.20)

Testujeme-li hypotézu H0 : π = π0 proti oboustranné alternativˇe H1 : π 6= π0 , kritick´ ym oborem jsou vˇsechna U , pro nˇeˇz plat´ı |U | ≥ u1− α2 , kde u1− α2 je kvantil normovaného 22

Tabulka 3.3: Hodnoty silofunkc´ı oboustranného F -testu pro r˚ uzná π0 , n = 100, H0 : π = yznamnosti α = 0, 05 π0 , H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´ π0 π0 β(π) π0 π0 π0

= = = = =

π 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.1 0.033 0.716 1.000 1.000 1.000

0.2 0.823 0.036 0.543 0.989 1.000

0.3 0.998 0.633 0.041 0.549 0.979

0.4 1.000 0.994 0.533 0.041 0.467

0.5 1.000 1.000 0.986 0.459 0.029

0.6 1.000 1.000 1.000 0.972 0.504

0.7 1.000 1.000 1.000 1.000 0.981

0.8 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0.9 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

normáln´ıho rozdˇelen´ı. V pˇr´ıpadˇe pravostranné alternativy H1 : π > π0 zam´ıtáme hypotézu H0 pˇri platnosti U ≥ u1−α , u levostranné alternativy H1 : π < π0 zam´ıtáme hyy na aproximaci normáln´ım potézu H0 , je-li U ≤ −u1−α . Oznaˇcme dále tento test zaloˇzen´ rozdˇelen´ım jako U -test. Jako testovac´ı kriterium pro oboustrann´ y test lze také vyuˇz´ıt upravenou statistiku U ∗ = |U | − sπ , kde

1 1 sπ = √ = p 2 DX 2 nπ(1 − π)

je korekce na spojitost (viz [7]). Pak je tedy testovac´ı kriterium tvaru |X − nπ0 | − 12 U∗ = p . nπ0 (1 − π0 )

(3.21)

V pˇr´ıpadˇe jednostrann´ ych test˚ u se vyuˇz´ıvá statistika

X − nπ0 − 12 . U = U − sπ = p nπ0 (1 − π0 ) ∗

(3.22)

Kritické obory se stanov´ı analogicky jako u testovac´ı statistiky U . Oznaˇcme tento test s korekc´ı na spojitost jako U ∗ -test.

3.6

S´ıla testu zaloˇ zen´ eho na norm´ aln´ı aproximaci

Vˇ eta 3.6.1. Silofunkce kritického oboru testu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho statistiku U (viz (3.20)) má pˇresný tvar pro oboustranný test j k √ u1− α nπ0 (1−π0 ) +nπ0 −1 µ ¶ 2 X n x βα (π) = π (1 − π)n−x , π 6= π0 , (3.23) l m x √ x= u α 2

nπ0 (1−π0 ) +nπ0 +1

23

pro pravostranný test βα (π) =

n X

l √ x= u α nπ0 (1−π0 ) +nπ0 +1 2

µ ¶ n x π (1 − π)n−x , π < π0 , m x

(3.24)

pro levostranný test k j √ u1− α nπ0 (1−π0 ) +nπ0 −1 µ 2

βα (π) =

X x=0

¶ n x π (1 − π)n−x , π > π0 . x

(3.25)

D˚ ukaz. D˚ ukaz vˇety je zaloˇzen na vyuˇzit´ı vyjádˇren´ı silofunkce pro test o parametru binomického rozdˇelen´ı: b−1 µ ¶ X n x βα (π) = 1 − Pπ (a < X < b) = π (1 − π)n−x , π 6= π0 x x=a+1 βα (π) = Pπ (U ≥ u1− α2 ) Ã ! X − nπ0 ≥ u1− α2 = Pπ p nπ0 (1 − π0 ) ! Ã X − nπ0 = 1 − Pπ u α2 < p < u1− α2 nπ0 (1 − π0 ) ³ p ´ p α α = 1 − Pπ u 2 nπ0 (1 − π0 ) + nπ0 < X < u1− 2 nπ0 (1 − π0 ) + nπ0 j k √ u1− α nπ0 (1−π0 ) +nπ0 −1 µ ¶ 2 X n x = π (1 − π)n−x l m x √ x= u α 2

nπ0 (1−π0 ) +nπ0 +1

24

Pozn´ amka. Silofunkci kritického oboru testu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho statistiku U lze kv˚ uli zjednoduˇsen´ı i aproximovat. Po jednoduchém v´ ypoˇctu (viz [15]) dostaneme βα (π) = Pπ (U ≥ u1− α2 ) Ã ! X − nπ0 ≥ u1− α2 = Pπ p nπ0 (1 − π0 ) Ã ! X − nπ0 = 1 − Pπ u α2 < p < u1− α2 nπ0 (1 − π0 ) µ p π0 (1 − π0 ) n(π − π0 ) X − nπ −p

Tedy pro oboustrann´ y test obdrˇz´ıme aproximaci ve tvaru s Ã ! √ π0 (1 − π0 ) π − π0 . n + u α2 βα (π) = Φ p π(1 − π) π(1 − π) s ! Ã π0 (1 − π0 ) π0 − π √ , π 6= π0 , +Φ p n + u α2 π(1 − π) π(1 − π)

(3.26)

pro pravostrann´ y test

. βα (π) = Φ

π0 (1 − π0 ) π(1 − π)

!

, π < π0 ,

(3.27)

s

π0 (1 − π0 ) π(1 − π)

!

, π > π0 ,

(3.28)

π − π0 √ p n + uα π(1 − π)

Ã

π −π √ p 0 n + uα π(1 − π)

pro levostrann´ y test . βα (π) = Φ

s

Ã

kde Φ(x) je distribuˇcn´ı funkce standardizovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı N (0, 1). 25

V dalˇs´ım textu bude pouˇz´ıváno oznaˇcen´ı teoretické silofunkce pro tvary silofunkc´ı z´ıskané aproximac´ı. Testujme hypotézu H0 : π = π0 = 0, 5 proti alternativˇe H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05. Rozsah náhodného v´ ybˇeru volme n = 20, 30, 40, 50, 60, 80 a 100. V obrázku 3.5 jsou zakresleny plnou ˇcarou teoretické silofunkce spoˇc´ıtané pomoc´ı v´ yˇse uveden´ ych vzorc˚ u a pteˇckovanˇe silofunkce z´ıskané simulacemi. Ze zm´ınˇeného obrázku a tabulky 3.4 je patrné, ˇze s rostouc´ım n roste i s´ıla testu pro dan´ y parametr π, zároveˇ n se ale rozd´ıly mezi silami zmˇenˇsuj´ı. Hodnot bl´ızk´ ych 1 dosahuj´ı silofunkce pro rozsahy n > 30 v bodech π = 0, 2 a π = 0, 8, pro rozsahy n > 60 jiˇz v bodech π = 0, 3 a π = 0, 7. Pro vˇsechny volby n je hodnota silofunkce β(π0 ) velmi bl´ızká hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05. H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π ≠ π 0, α = 0.05 1 0.9 0.8 0.7

β( π )

0.6 0.5 0.4 n = 20 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 80 n = 100

0.3 0.2 0.1

−0.3

−0.2

−0.1

0 0.1 δ=π−π

0.2

0.3

0.4

0.5

0

Obr. 3.5: Silofunkce oboustranného U -testu pro r˚ uzná n

Tabulka 3.4: Hodnoty silofunkc´ı oboustranného U -testu pro r˚ uzná n, H0 : π = π0 = 0, 5, yznamnosti α = 0, 05 H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´

β(π)

π n = 20 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 80 n = 100

0.1 0.987 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0.2 0.813 0.937 0.982 0.998 0.996 1.000 1.000

0.3 0.410 0.579 0.703 0.853 0.898 0.968 0.981

0.4 0.128 0.178 0.202 0.352 0.337 0.426 0.582

26

0.5 0.045 0.050 0.037 0.048 0.048 0.058 0.053

0.6 0.125 0.177 0.220 0.316 0.345 0.452 0.538

0.7 0.419 0.624 0.710 0.847 0.899 0.961 0.98

0.8 0.810 0.949 0.984 0.998 1.000 1.000 1.000

0.9 0.992 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Nyn´ı porovnáme silofunkce stejného testu pro r˚ uznou volbu parametru π0 hypotézy y v´ ybˇer z binomického rozdˇelen´ı o rozsahu n = 100 a necht’ π0 = H0 . Mˇejme náhodn´ 0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 4 a 0, 5. V´ ysledky simulac´ı jsou znázornˇeny v obrázku 3.6 a tabulce 3.5. Test je pro vˇsechny volby π0 (aˇz na π0 = 0, 4) nadhodnocen´ y, tj. hodnota silofunkce yznamnosti α = 0, 05, nejvˇetˇs´ı rozd´ıl je u parametru v daném bodˇe π0 pˇrevyˇsuje hladinu v´ π0 = 0, 1 , kdy β(π0 ) je rovna 0, 07. Tabulka 3.5: Hodnoty silofunkc´ı oboustranného U -testu pro r˚ uzná π0 , n = 100, H0 : π = yznamnosti α = 0, 05 π0 = 0, 5, H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´ π0 π0 β(π) π0 π0 π0

= = = = =

π 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.1 0.070 0.812 1.000 1.000 1.000

0.2 0.876 0.065 0.654 0.997 1.000

0.3 0.999 0.707 0.061 0.537 0.988

0.4 1.000 0.993 0.607 0.05 0.555

0.5 1.000 1.000 0.989 0.544 0.062

0.6 1.000 1.000 1.000 0.981 0.541

0.7 1.000 1.000 1.000 1.000 0.989

0.8 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0.9 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

H : π = π , H : π ≠ π , α = 0.05, n = 100 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( π )

0.6 0.5 0.4 π = 0.1 0

0.3

π = 0.2 0

π = 0.3

0.2

0

π = 0.4 0

0.1 0

π = 0.5 0

0

0.05

0.1

0.15 δ=π−π

0.2

0.25

0.3

0

Obr. 3.6: Silofunkce oboustranného U -testu pro r˚ uzná π0 Vˇ eta 3.6.2. Silofunkce kritického oboru testu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho statistiku U ∗ (viz (3.22)) má pˇresný tvar pro oboustranný test k j √ u1− α nπ0 (1−π0 ) +nπ0 + 12 −1 µ ¶ 2 X n x βα (π) = π (1 − π)n−x , π 6= π0 , (3.29) l m x √ x= u α 2

nπ0 (1−π0 ) +nπ0 + 12 +1

27


n X

l √ x= u α nπ0 (1−π0 ) +nπ0 + 12 +1 2

µ ¶ n x π (1 − π)n−x , π < π0 , m x

(3.30)

pro levostranný test k j √ u1− α nπ0 (1−π0 ) +nπ0 + 12 −1 µ 2

βα (π) =

X x=0

¶ n x π (1 − π)n−x , π > π0 . x

(3.31)

D˚ ukaz. Vˇeta se dokáˇze analogicky jako vˇeta 3.6.1. Pozn´ amka. Aproximace silofunkce kritického oboru testu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho statistiku U ∗ má pro oboustrann´ y test tvar s Ã ! nπ − nπ0 − 12 π0 (1 − π0 ) βα (π) =Φ p + u α2 π(1 − π) nπ(1 − π) s (3.32) ! Ã nπ0 − nπ − 12 π0 (1 − π0 ) , π 6= π0 , + u α2 +Φ p π(1 − π) nπ(1 − π) pro pravostrann´ y test

βα (π) = Φ

Ã

nπ − nπ0 − 12 p + uα nπ(1 − π)

s

π0 (1 − π0 ) π(1 − π)

!

, π < π0 ,

(3.33)

Ã

nπ0 − nπ − 12 p + uα nπ(1 − π)

s

π0 (1 − π0 ) π(1 − π)

!

, π > π0 ,

(3.34)

pro levostrann´ y test βα (π) = Φ

kde Φ(x) je distribuˇcn´ı funkce standardizovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı N (0, 1). Pro srovnán´ı silofunkc´ı zopakujeme u testu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho upravenou testovac´ı statisy postup simulac´ı jako dˇr´ıve. Mˇejme tedy hypotézu H0 : π = π0 = 0, 5 proti tiku U ∗ stejn´ yznamnosti α = 0, 05. Volme opˇet rozsah souboru alternativˇe H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´ n = 20, 30, 40, 50, 60, 80 a 100. Jak dokazuje tabulka 3.6 i obrázek 3.7, kde jsou teoretické silofunkce zakresleny opˇet plnou ˇcarou, test je pro vˇsechna n > 30 velmi podhodnocen´ y, napˇr´ıklad pro n = 60 je hodnota silofunkce β(π0 ) rovna pouze 0, 021. Test je tedy vhodn´ y pro malé rozsahy n. Velká podhodnocennost testu se nemˇen´ı, ani kdyˇz vol´ıme r˚ uzné hodnoty parametru π0 , ybˇeru n = 100 (viz tabulka 3.7, tedy π0 = 0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 4 a 0, 5 pˇri fixn´ım rozsahu v´ obrázek 3.8). 28

H : π = π = 0.5, H : π ≠ π , α = 0.05 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( π )

0.6 0.5 0.4 n = 20 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 80 n = 100

0.3 0.2 0.1 0

−0.3

−0.2

−0.1

0 0.1 δ=π−π

0.2

0.3

0.4

0.5

0

Obr. 3.7: Silofunkce oboustranného U ∗ -testu pro r˚ uzná n uzná n, H0 : π = π0 = 0, 5, Tabulka 3.6: Hodnoty silofunkc´ı oboustranného U ∗ -testu pro r˚ yznamnosti α = 0, 05 H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´

β(π)

π n = 20 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 80 n = 100

0.1 0.993 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0.2 0.802 0.946 0.985 0.995 0.998 1.000 1.000

0.3 0.418 0.564 0.696 0.782 0.831 0.959 0.978

0.4 0.116 0.165 0.224 0.234 0.243 0.371 0.454

0.5 0.041 0.046 0.034 0.024 0.021 0.032 0.032

0.6 0.133 0.178 0.188 0.251 0.267 0.362 0.441

0.7 0.433 0.570 0.691 0.784 0.849 0.933 0.979

0.8 0.790 0.945 0.984 0.992 0.998 1.000 1.000

0.9 0.996 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Tabulka 3.7: Hodnoty silofunkc´ı oboustranného U ∗ -testu pro r˚ uzná π0 , n = 100, H0 : π = yznamnosti α = 0, 05 π0 = 0, 5, H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´ π0 π0 β(π) π0 π0 π0

= = = = =

π 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.1 0.027 0.708 0.999 1.000 1.000

0.2 0.809 0.033 0.555 0.989 1.000

0.3 0.999 0.606 0.025 0.461 0.989

0.4 1.000 0.989 0.532 0.026 0.468

29

0.5 1.000 1.000 0.978 0.471 0.038

0.6 1.000 1.000 1.000 0.978 0.453

0.7 1.000 1.000 1.000 1.000 0.974

0.8 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0.9 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

H : π = π , H : π ≠ π , α = 0.05, n = 100 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( π )

0.6 0.5 0.4 π = 0.1 0

0.3

π 0 = 0.2 π = 0.3

0.2

0

π = 0.4 0

0.1

π = 0.5 0

0

0

0.05

0.1

0.15 δ=π−π

0.2

0.25

0

Obr. 3.8: Silofunkce oboustranného U ∗ -testu pro r˚ uzná π0

Srovnán´ı testu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho statistiku U a testu s upravenou statistikou U ∗ je pro r˚ uzná n demonstrováno na obrázku 3.9, kde jsou pomoc´ı simulac´ı vykresleny silofunkce pro testován´ı hypotézy H0 : π = π0 = 0, 5 proti oboustranné alternativˇe na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05. Silofunkce U -testu je znázornˇena plnou ˇcarou a silofunkce U ∗ pomoc´ı teˇcek. Ukázalo se, ˇze tyto dvˇe varianty testu zaloˇzeného na aproximaci normáln´ım rozdˇelen´ım se neliˇs´ı pro n ≤ 49, ovˇsem u volby rozsahu n = 50 jsou jiˇz patrné rozd´ıly. Jak lze vyˇc´ıst z tabulky 3.8 (kde ∗ oznaˇcuje druhou variantu testu), nejv´ıce se tyto dva testy liˇs´ı pro parametr π = 0, 5, kdy je hodnota silofunkce β(0, 5) U -testu rovna 0, 067 a U ∗ -testu jen 0, 029. Je zˇrejmé, ˇze je lépe vyuˇz´ıvat upravené statistiky U ∗ , protoˇze tento test je stále na pˇredepsané hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05, na rozd´ıl od testu zaloˇzeného na statistice U . Tabulka 3.8: Hodnoty silofunkc´ı U -testu a U ∗ -testu pro r˚ uzná n, H0 : π = π0 = 0, 5, yznamnosti α = 0, 05 H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´ π n = 50 β(π) n = 100 n∗ = 50 n∗ = 100

0.1 1.000 1.000 1.000 1.000

0.2 1.000 1.000 0.996 1.000

0.3 0.855 0.988 0.777 0.981

0.4 0.345 0.566 0.253 0.484

30

0.5 0.067 0.062 0.029 0.037

0.6 0.331 0.522 0.240 0.442

0.7 0.853 0.989 0.765 0.980

0.8 0.995 1.000 0.992 1.000

0.9 1.000 1.000 1.000 1.000

H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π ≠ π 0 1 0.9 0.8 0.7

β( π )

0.6 U:

0.5

n = 30 n = 40 n = 49 n = 50 n = 100 n = 30 n = 40 n = 49 n = 50 n = 100

0.4 0.3

U*:

0.2 0.1 0 −0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1 δ=π−π0

0.2

0.3

0.4

0.5

uzná n, H0 : Obr. 3.9: Srovnán´ı silofunkc´ı oboustranné varianty U -testu a U ∗ -testu pro r˚ yznamnosti α = 0, 05 π = π0 = 0, 5, H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´

3.7

Testy zaloˇ zen´ e na arcussinov´ e transformaci

Pro testy hypotéz o parametru π binomického rozdˇelen´ı lze vyuˇz´ıt také statistiky z´ıskané arcussinovou transformac´ı (viz odstavec 1.5.1) r µ ¶ √ √ x U1 = 2 n arcsin − arcsin π0 , (3.35) n Ã ! r r √ 8x + 3 8nπ0 + 3 . (3.36) − arcsin U2 = 4n + 2 arcsin 8n + 6 8n + 6 Vyhodnocen´ı oboustrann´ ych (popˇr. jednostrann´ ych) test˚ u (ozn. U1 -test, U2 -test) se provede analogicky jako v odstavci 3.5.

3.8

S´ıla test˚ u zaloˇ zen´ ych na arcsin-transformaci

Vˇ eta 3.8.1. Silofunkce kritického oboru testu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho statistiku U1 (viz (3.35)) má pˇresný tvar pro oboustranný test — „u α « 1− √ n sin2 2√n2 +arcsin π0 −1

βα (π) =

X

µ ¶ n x π (1 − π)n−x , π 6= π0 , ı x

n X

µ ¶ n x π (1 − π)n−x , π < π0 , ı x

‰ „ uα « √ x= n sin2 2√2n +arcsin π0 +1

(3.37)


« „ uα ‰ √ x= n sin2 2√2n +arcsin π0 +1

31

(3.38)

pro levostranný test — „u α « 1− √ n sin2 2√n2 +arcsin π0 −1

X

βα (π) =

x=0

µ ¶ n x π (1 − π)n−x , π > π0 . x

(3.39)

D˚ ukaz. D˚ ukaz vˇety se provede analogicky jako u vˇety 3.6.1, tedy ! Ã ! Ã r √ √ X − arcsin π0 ≥ u1− α2 βα (π) = Pπ 2 n arcsin n µ µ α ¶ µ ¶¶ u2 u1− α2 √ √ 2 2 √ + arcsin π0 < X < n sin √ + arcsin π0 = 1 − Pπ n sin 2 n 2 n — „u α « 1− √ n sin2 2√n2 +arcsin π0 −1

=

X

µ ¶ n x π (1 − π)n−x ı x

‰ „ uα « √ x= n sin2 2√2n +arcsin π0 +1

Pozn´ amka. Silofunkci kritického oboru testu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho statistiku U1 lze vyjádˇrit také v aproximovaném tvaru. Jednoduch´ ym odvozen´ım dostaneme βα (π) = Pπ (U1 ≥ u1− α2 |π = π0 ) Ã Ã ! ! r √ √ X = Pπ 2 n arcsin − arcsin π0 ≥ u1− α2 n Ã Ã ! ! r √ √ X = 1 − Pπ u α2 < 2 n arcsin − arcsin π0 < u1− α2 n √ ¡ √ √ ¢ = 1 − Pπ (u α2 − 2 n arcsin π − arcsin π0 Ã ! r √ √ X < 2 n arcsin − arcsin π n √ √ √ < u1− α2 − 2 n(arcsin π − arcsin π0 )) √ √ √ = 1 − (Φ(u1− α2 − 2 n(arcsin π − arcsin π0 )) √ √ √ − Φ(u α2 − 2 n(arcsin π − arcsin π0 ))) √ √ √ = Φ(u α2 + 2 n(arcsin π − arcsin π0 )) √ √ √ + Φ(u α2 + 2 n(arcsin π0 − arcsin π)) Tedy aproximac´ı obdrˇz´ıme pro oboustrann´ y test tvar ¡ √ ¡ √ √ ¢¢ β(π) = Φ u α2 + 2 n arcsin π − arcsin π0 + ¡ √ ¢¢ √ ¡ √ + Φ u α2 + 2 n arcsin π0 − arcsin π , π 6= π0 , 32

(3.40)

pro pravostrann´ y test ¡ √ ¡ √ √ ¢¢ β(π) = Φ uα + 2 n arcsin π − arcsin π0 , π < π0 ,

(3.41)

pro levostrann´ y test

¡ √ ¡ √ ¢¢ √ β(π) = Φ uα + 2 n arcsin π0 − arcsin π , π > π0 ,

(3.42)

kde Φ(x) je distribuˇcn´ı funkce standardizovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı N (0, 1). Testujme hypotézu H0 : π = π0 = 0, 5 proti alternativˇe H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 pomoc´ı testovac´ı statistiky U1 . Rozsah náhodného v´ ybˇeru volme n = 20, 30, 40, 50, 60, 80 a 100. V´ ysledné silofunkce z´ıskané pomoc´ı simulac´ı jsou zakresleny teˇckovanˇe v obrázku 3.10, teoretické silofunkce jsou znázornˇeny plnou ˇcarou. Hodnoty silofunkc´ı v bodˇe π0 se pohybuj´ı nad i pod hladinou v´ yznamnosti α. Nejv´ıce podhodnocen´ y a zároveˇ n nejslabˇs´ı je test v´ ybˇeru o rozsahu n = 20, kdy hodnota silofunkce β(π) v bodˇe π = 0, 2 je rovna 0, 799, zat´ım co pro rozsah n = 30 je jiˇz β(0, 2) = 0, 954. H : π = π = 0.5, H : π ≠ π , α = 0.05 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( π )

0.6 0.5 0.4 n = 20 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 80 n = 100

0.3 0.2 0.1 0 −0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0 0.1 δ=π−π0

0.2

0.3

0.4

0.5

Obr. 3.10: Silofunkce oboustranného U1 -testu pro r˚ uzná n Pro porovnán´ı závislosti silofunkc´ı na volbˇe parametru π0 zafixujme rozsah náhodného v´ ybˇeru na hodnotˇe n = 100 a testujme hypotézu H0 : π = π0 proti alternativˇe H1 : π 6= yznamnosti α = 0, 05 pro parametr π0 = 0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 4 a 0, 5. π0 na hladinˇe v´ Jak lze vyˇc´ıst z obrázku 3.11 i tabulky 3.10, silofunkce testu si jsou velmi podobné pro volbu parametru π0 = 0, 3; 0, 4; 0, 5, nejv´ıce se pak odliˇsuje silofunkce z´ıskaná volbou y zejména v bodˇe π = π0 + 0, 1, kdy se hodnota silofunkce π0 = 0, 1. Tento rozd´ıl je patrn´ β(π) pro volby parametru π0 = 0, 3; 0, 4; 0, 5 pohybuje v rozmez´ı od 0, 518 do 0, 633, 33

Tabulka 3.9: Hodnoty silofunkc´ı oboustranného U1 -testu pro r˚ uzná n, H0 : π = π0 = 0, 5, yznamnosti α = 0, 05 H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´

β(π)

π n = 20 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 80 n = 100

0.1 0.987 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0.2 0.799 0.954 0.980 0.998 1.000 1.000 1.000

0.3 0.433 0.580 0.702 0.865 0.896 0.978 0.988

0.4 0.139 0.184 0.213 0.341 0.367 0.458 0.546

0.5 0.039 0.046 0.046 0.068 0.048 0.058 0.065

0.6 0.127 0.169 0.208 0.325 0.368 0.464 0.555

0.7 0.413 0.543 0.700 0.866 0.894 0.959 0.987

0.8 0.822 0.943 0.985 0.997 1.000 1.000 1.000

0.9 0.991 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

zat´ım co pro volbu π0 = 0, 1 je β(π) = 0, 813. Ovˇsem jiˇz v bodˇe π = π0 + 0, 2 se hodnoty β(π) pro vˇsechny volby parametru π0 bl´ıˇz´ı k hodnotˇe 1 tak, ˇze pravdˇepodobnosti 1 − β chyby II. druhu pro jednotlivé volby parametru se liˇs´ı maximálnˇe jen o 2, 2%. Také je patrné, ˇze s´ıla testu v bodˇe π0 se s roustouc´ım π0 zvˇetˇsuje. H 0 : π = π 0, H 1 : π ≠ π 0, α = 0.05,n = 100 1 0.9 0.8 0.7

β( π )

0.6 0.5 0.4 π = 0.1 0

0.3

π = 0.2 0

π = 0.3

0.2

0

π = 0.4 0

0.1 0

π = 0.5 0

0

0.05

0.1

0.15 δ=π−π0

0.2

0.25

Obr. 3.11: Silofunkce oboustranného U1 -testu pro r˚ uzná π0 Vˇ eta 3.8.2. Silofunkce kritického oboru testu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho statistiku U2 (viz (3.36)) má pˇresný tvar pro oboustranný test —

βα (π) =

8n+6 8

sin2

„u

1− α 2 +arcsin √ 4n+2

q

8nπ0 +3 8n+6

« − 38 −1

X

µ ¶ n x π (1 − π)n−x , π 6= π0 , ı x

„ uα « ‰ q 8nπ0 +3 2 − 38 +1 x= 8n+6 sin2 √4n+2 +arcsin 8 8n+6

34

(3.43)

Tabulka 3.10: Hodnoty silofunkc´ı oboustranného U1 -testu pro r˚ uzná π0 , n = 100, H0 : yznamnosti α = 0, 05 π = π0 = 0, 5, H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´ π0 π0 β(π) π0 π0 π0

= = = = =

π 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.1 0.041 0.809 1.000 1.000 1.000

0.2 0.813 0.043 0.647 0.991 1.000

0.3 0.998 0.633 0.058 0.536 0.986

0.4 1.000 0.989 0.552 0.056 0.532

0.5 1.000 1.000 0.987 0.540 0.060

0.6 1.000 1.000 1.000 0.968 0.518

0.7 1.000 1.000 1.000 1.000 0.990

0.8 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0.9 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

pro pravostranný test n X

βα (π) =

‰ „ uα « q 8nπ0 +3 2 x= 8n+6 sin2 √4n+2 +arcsin − 38 +1 8 8n+6

µ ¶ n x π (1 − π)n−x , π < π0 , x ı

(3.44)

pro levostranný test —

8n+6 8

sin2

βα (π) =

„u

1− α 2 +arcsin √ 4n+2

q

8nπ0 +3 8n+6

« − 38 −1

X x=0

µ ¶ n x π (1 − π)n−x , π > π0 . x

(3.45)

D˚ ukaz. D˚ ukaz vˇety se provede analogicky jako u vˇety 3.8.1. Pozn´ amka. Aproximace silofunkce kritického oboru testu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho statistiku U2 má tvar pro oboustrann´ y test s s Ã !! Ã 3 3 √ π + 8n π0 + 8n + β(π) = Φ u α2 + 4n + 2 arcsin 3 − arcsin 3 1 + 4n 1 + 4n s s (3.46) Ã !! Ã 3 3 √ π0 + 8n π + 8n , π 6= π0 , + Φ u α2 + 4n + 2 arcsin 3 − arcsin 3 1 + 4n 1 + 4n pro pravostrann´ y test s s Ã Ã !! 3 3 √ π + 8n π0 + 8n β(π) = Φ u α2 + 4n + 2 arcsin , π < π0 , 3 − arcsin 3 1 + 4n 1 + 4n pro levostrann´ y test Ã

s s !! Ã 3 3 √ π0 + 8n π + 8n β(π) = Φ u α2 + 4n + 2 arcsin , π > π0 , 3 − arcsin 3 1 + 4n 1 + 4n

kde Φ(x) je distribuˇcn´ı funkce standardizovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı N (0, 1). 35

(3.47)

(3.48)

Provedeme-li opˇet testován´ı hypotézy H0 : π = π0 = 0, 5 proti alternativˇe H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 pro r˚ uzné volby rozsahu v´ ybˇeru n tentokrát ovˇsem pomoc´ı statistiky U2 (situaci ilustruje obrázek 3.12 a tabulka 3.11), z´ıskáme obdobné v´ ysledky jako v pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı statistiky U1 . Hodnoty silofunkc´ı β(π = π0 ) se pohybuj´ı nad i pod hladinou v´ yznamnosti α = 0, 05. H : π = π = 0.5, H : π ≠ π , α = 0.05 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( π )

0.6 0.5 0.4 n = 20 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 80 n = 100

0.3 0.2 0.1 0

−0.3

−0.2

−0.1

0 0.1 δ=π−π0

0.2

0.3

0.4

0.5

Obr. 3.12: Silofunkce oboustranného U2 -testu pro r˚ uzná n

Tabulka 3.11: Hodnoty silofunkc´ı oboustranného U2 -testu pro r˚ uzná n, H0 : π = π0 = 0, 5, yznamnosti α = 0, 05 H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´

β(π)

π n = 20 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 80 n = 100

0.1 0.989 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0.2 0.818 0.930 0.981 0.999 0.999 1.000 1.000

0.3 0.411 0.618 0.688 0.862 0.896 0.964 0.988

0.4 0.128 0.183 0.195 0.337 0.333 0.451 0.562

0.5 0.037 0.046 0.030 0.066 0.050 0.065 0.065

0.6 0.121 0.186 0.218 0.324 0.362 0.453 0.564

0.7 0.407 0.566 0.726 0.858 0.899 0.973 0.988

0.8 0.779 0.940 0.979 0.996 1.000 1.000 1.000

0.9 0.987 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Obrázek 3.13 a tabulka 3.12 demonstruj´ı simulace testu vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho statistiku U2 pro r˚ uznou volbu parametru π0 . Silofunkce pro volby π0 = 0, 3; 0, 4; 0, 5 si jsou opˇet velmi yrazn´ y rozd´ıl je v bodˇe π = π0 + 0, 1, ovˇsem bl´ızké. Nejsilnˇejˇs´ı je test pˇri volbˇe π0 = 0, 1, v´ silofunkce v bodˇe π = π0 + 0, 2 pro vˇsechny volby parametru π0 se jiˇz bl´ıˇz´ı hodnotˇe 1. 36

H : π = π , H : π ≠ π , α = 0.05, n = 100 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( π )

0.6 0.5 0.4 π 0 = 0.1

0.3

π = 0.2 0

0.2

π 0 = 0.3 π 0 = 0.4

0.1 0

π 0 = 0.5 0

0.05

0.1

0.15 δ=π−π

0.2

0.25

0.3

0

Obr. 3.13: Silofunkce oboustranného U2 -testu pro r˚ uzná π0 Tabulka 3.12: Hodnoty silofunkc´ı oboustranného U2 -testu pro r˚ uzná π0 , n = 100, H0 : yznamnosti α = 0, 05 π = π0 = 0, 5, H1 : π 6= π0 na hladinˇe v´ π0 π0 β(π) π0 π0 π0

3.9

= = = = =

π 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.1 0.045 0.827 0.999 1.000 1.000

0.2 0.805 0.047 0.683 0.997 1.000

0.3 1.000 0.631 0.060 0.552 0.987

0.4 1.000 0.990 0.543 0.057 0.540

0.5 1.000 1.000 0.986 0.530 0.041

0.6 1.000 1.000 1.000 0.987 0.544

0.7 1.000 1.000 1.000 1.000 0.988

0.8 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0.9 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Volba rozsahu v´ ybˇ eru n

V rámci plánován´ı senzorického experimentu je nutné stanovit minimáln´ı vhodn´ y rozsah souboru n odpov´ıdaj´ıc´ı pˇredem stanoven´ ym poˇzadavk˚ um, které zahrnuj´ı dodrˇzen´ı pˇredepsané chyby II. druhu. Vˇ eta 3.9.1. Uvaˇzujme test jednoduché hypotézy H0 : π = π0 proti jednoduché alternativˇe H1 : π = π1 na dané hladinˇe významnosti α pomoc´ı testovac´ı statistiky U viz (3.20). Pak rozsah výbˇeru n, pˇri nemˇz je pravdˇepodobnost chyby II. druhu nejvýˇse rovna pˇredem dané hodnotˇe β, mus´ı splˇ novat nerovnost

n≥

q ³ ´2 0 (1−π0 ) + u1−β u1− α2 ππ(1−π) (π − π0 )2 37

π(1 − π) .

(3.49)

Pˇri vyuˇzit´ı upravené testovac´ı statistiky U ∗ viz (3.21) je rozsah n urˇcen vztahem p nu + n2u − (π − π0 )2 n≥ , kde 2(π − π0 )2 s Ã !2 π0 (1 − π0 ) + u1−β + |π − π0 | . nu = π(1 − π) u1− α2 π(1 − π)

(3.50)

D˚ ukaz. Podm´ınka pro volbu rozsahu n má tvar 1 − βα (π) ≤ β, tedy Ã ! X − nπ0 ≥ u1− α2 ≤ β 1 − Pπ p nπ0 (1 − π0 ) s ! Ã π0 (1 − π0 ) π − π0 √ X − nπ n ≥1−β ≥ u1− α2 Pπ p −p π(1 − π) nπ(1 − π) π(1 − π) s π0 (1 − π0 ) π − π0 √ u1− α2 −p n = uβ π(1 − π) π(1 − π)

´ Upravou dostaneme v´ yraz pro minimáln´ı hodnotu rozsahu v´ ybˇeru

n=

³

u1− α2

q

π0 (1−π0 ) π(1−π)

+ u1−β

(π − π0 )2

´2

π(1 − π) .

Vzorec (3.50) udávaj´ıc´ı minimáln´ı rozsah souboru pro test vyuˇz´ıvaj´ıc´ı upravenou statistiku U ∗ se odvod´ı analogicky. Dan´ y problém lze ˇreˇsit také graficky (popˇr. numericky). Vykresl´ı se teoretické silofunkce pro dan´ y test pro r˚ uzná n na zadané hladinˇe v´ yznamnosti α a zjist´ı se, ke které z tˇechto silofunkc´ı má zadan´ y bod o souˇradnic´ıch [π − π0 ; βα (π − π0 )] nejbl´ıˇze. Pˇ r´ıklad: Poˇzadujme, aby pro U -test hypotézy H0 : π = π0 = 0, 5 na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 byla pravdˇepodobnost chyby II. druhu pˇri alternativˇe H1 : π = π1 = 0, 8 menˇs´ı neˇz β = 0, 2, tj. aby s´ıla testu v bodˇe δ = π − π0 = 0, 8 byla vˇetˇs´ı neˇz 0, 8. Pak dle vzorce 3.49 lze spoˇc´ıtat, ˇze je nutno volit rozsah souboru n ≥ 19.261, tedy vhodn´ y minimáln´ı rozsah je n = 20. Danou hodnotu lze také odvodit graficky. Na obrázku 3.14(b) jsou v detailu zakresleny teoreticky spoˇc´ıtané silofunkce pro zadanou hladinu α a danou alternativu H1 . Bod o souˇradnic´ıch [π − π0 ; β0,05 (π − π0 )] = [0, 3; 0, 8] leˇz´ı mezi silofunkcemi pro rozsah n = 19 a n = 20, coˇz odpov´ıdá spoˇc´ıtané hodnotˇe n. Chceme-li tento pˇr´ıpad pro danou alternativu a hladinu v´ yznamnosti za stejné podm´ınky t´ ykaj´ıc´ı se s´ıly testovat pomoc´ı testovac´ı statistiky U ∗ , pouˇzijeme ke stanoven´ı minimáln´ıho doporuˇceného rozsahu vztah 3.50. V´ ypoˇctem z´ıskáme hodnotu n ≥ 22, 471, pro U ∗ -test tedy potˇrebujeme pro dosaˇzen´ı stejné s´ıly pˇri stejné hladinˇe v´ yznamnosti a alternativˇe soubor o vˇetˇs´ım rozsahu neˇz u U -testu (viz srovnán´ı silofunkc´ı tˇechto dvou 38

H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π ≠ π 0, α = 0.05 1 0.9 0.8 0.7

β( δ)

0.6 0.5 0.4 0.3 n = 17 n = 18 n = 19 n = 20 n = 21

0.2 0.1 0 −0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0 0.1 δ=π−π

0.2

0.3

0.4

0

(a) Silofunkce oboustranného U -testu H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π ≠ π 0, α = 0.05 H : π = π = 0.5, H : π ≠ π , α = 0.05 0

0.84

0.81

0.8

0.8

β( π )

β( π )

0.82

0.78 n = 17 n = 18 n = 19 n = 20 n = 21

0.76

0.74

0

1

0

0.79

0.78

0.77

n = 19 n = 20 n* = 22 n* = 23

0.76

0.26

0.28

0.3 δ=π−π

0.32

0.34

0.36

0.27

0

0.28

0.29

0.3 δ=π−π

0.31

0.32

0

(b) Detail silofunkc´ı U -testu

(c) Detail silofunkc´ı U -testu a U ∗ -testu

Obr. 3.14: Hledán´ı minimáln´ıho rozsahu pomoc´ı silofunkc´ı oboustranného U -testu a U ∗ testu uzná n, H0 : Tabulka 3.13: Hodnoty silofunkc´ı oboustranného U -testu a U ∗ -testu pro r˚ π = π0 = 0, 5, H1 : π = π1 na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 n β(0, 8) β ∗ (0, 8)

18 19 20 21 22 23 0.768 0.794 0.817 0.838 0.857 0.874 0.669 0.703 0.734 0.762 0.789 0.812

test˚ u pro r˚ uzná n v detailu na obrázku 3.14(c)). Pro názornost jsou uvedeny hodnoty

39

silofunkce β(π1 ) v bodˇe π1 = 0, 8 také v tabulce 3.13, pˇriˇcemˇz silofunkce U ∗ -testu je znaˇcena β ∗ . Vˇ eta 3.9.2. Mˇejme test hypotézy H0 : π = π0 proti zadané alternativˇe H1 : π = π1 na urˇcené hladinˇe významnosti α zaloˇzený na testovac´ı statistice U1 viz (3.35). Pak pro ¢2 u1− α2 + u1−β √ n≥ √ 4(arcsin π − arcsin π0 )2 ¡

(3.51)

plat´ı, ˇze pravdˇepodobnost chyby II. druhu je menˇs´ı rovna dané hodnotˇe β. D˚ ukaz. Vˇeta se dokáˇze analogicky jako vˇeta 3.9.1, tedy 1 − βα (π) ≤ β Ã !! Ã r √ √ X ≤β 1 − Pπ 2 n arcsin − arcsin π0 n Ã Ã ! ! r √ √ √ √ √ X Pπ 2 n arcsin − arcsin π ≥ u1− α2 − 2 n(arcsin π − arcsin π0 ) ≥ 1 − β n √ √ √ u1− α2 − 2 n(arcsin π − arcsin π0 ) = uβ ¡ ¢2 u1− α2 + u1−β √ n= . √ 4(arcsin π − arcsin π0 )2 Pozn´ amka. Nerovnice (3.49), (3.50) a (3.51) urˇcuj´ıc´ı potˇrebn´ y minimáln´ı rozsah v´ ybˇeru n jsou odvozeny aproximac´ı, jedná se tedy pouze o pˇribliˇzné v´ ypoˇcty rozsahu. Vrát´ıme-li se k pˇr´ıkladu a spoˇc´ıtáme-li pro zadané hodnoty minimáln´ı rozsah v´ ybˇeru podle vzorce 3.51, dostaneme v´ ysledek n ≥ 18, 954, tedy pro dodrˇzen´ı s´ıly β ≥ 0, 8 v bodˇe π1 = 0, 8 je zapotˇreb´ı souboru o rozsahu n ≥ 19. Vztah pro v´ ypoˇcet minimáln´ıho rozsahu v´ ybˇeru n splˇ nuj´ıc´ıho dané podm´ınky nen´ı pro U2 -test (viz (3.36)) ani pro testován´ı pomoc´ı intervalu hπD , πH i, tedy F -testu, snadné analyticky vyjádˇrit, problém návrhu experimentu se tedy ˇreˇs´ı graficky nebo numericky. Pro v´ yˇse uveden´ y pˇr´ıklad byla z´ıskána grafickou metodou pro oba tyto testy hodnota minimáln´ıho rozsahu n = 20.

40

4

Srovn´ an´ı test˚ u o parametru π binomick´ eho rozdˇ elen´ı

Uvaˇzujme pˇet v´ yˇse popsan´ ych test˚ u: F-test zaloˇzen´ y na pouˇzit´ı kvantil˚ u Fisherova rozdˇelen´ı v intervalu spolehlivosti (viz odstavec 3.3), U -test vyuˇz´ıvaj´ıc´ı statistiku (3.20) z´ıskanou aproximac´ı normáln´ım rozdˇelen´ım, U ∗ -test s upravenou statistikou (3.22), dále pak arcussinovou transformac´ı odvozen´ y U1 -test se statistikou (3.35) a U2 -test vyuˇz´ıvaj´ıc´ı statistiku (3.36). Testujme hypotézu H0 : π = π0 proti alternativˇe π 6= π0 na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05. Tuto formulaci testu budeme uvaˇzovat pro vˇsechny následuj´ıc´ı rozbory v této kapitole, nebot’ α = 0, 05 je v praxi nejuˇz´ıvanˇejˇs´ı volbou. Nejprve volme parametr binomického rozdˇelen´ı π0 = 0, 5. Pomoc´ı simulac´ı se snadno dokáˇze, ˇze F-test pro rozsah v´ ybˇeru n ≤ 5 nikdy hypotézu H0 nezam´ıtá. Nelze totiˇz naj´ıt taková c1 a c2 (viz (3.9)), aby β(π0 ) ≤ α, jak je patrné z tabulky 4.1. V programu pro Tabulka 4.1: Srovnán´ı hodnot c1 , c2 , β(π0 ) pˇri π0 = 0, 5 n c1 c2 β(π0 )

4 5 6 7 -1 -1 0 0 5 6 6 7 0,125 0,063 0,031 0,016

vykreslován´ı teoretick´ ych silofunkc´ı F-testu (viz pˇr´ıloha P2) je tato skuteˇcnost oˇsetˇrena podm´ınkami. Necht’ je tedy n = 6. Na obrázku 4.1 lze vidˇet, ˇze ani F-test, ani U ∗ -test nedosahuj´ı H : π = π = 0.5, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 6 0

0

1

0

1 F−test U−test U*−test U −test

0.9 0.8

1

0.7

U −test 2

β( δ )

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0 0.1 δ=π−π

0.2

0.3

0.4

0.5

0

Obr. 4.1: Srovnán´ı test˚ u pro π0 = 0, 5 a n = 6 41

stanovené hladiny v´ yznamnosti, pˇriˇcemˇz v´ıce podhodnocen´ y je U ∗ -test. Nejvˇetˇs´ı s´ıly dosahuje U1 -test pro δ ∈ h−0, 47; 0, 47i, tedy pro π ∈ h0, 03; 0, 97i. Pouˇzit´ı testovac´ı statistiky U ∗ nen´ı pro dané parametry vhodné, napˇr. silofunkce β(π) v bodˇe π = 0, 1 je u U ∗ -testu rovna pouze 0.248, zat´ımco pro U1 -test je β(0, 1) = 0, 6223. Z grafu je dále patrné, ˇze silofunkce F-testu nab´ yvá vˇetˇs´ıch hodnot neˇz silofunkce U -testu v rozmez´ı π ∈ h0, 03; 0, 18i ∪ h0, 82; 0, 97i. Ve srovnán´ı s U2 -testem je F-test silnˇejˇs´ı do bodu π = 0, 11, resp. od bodu π = 0, 89. Zat´ımco s´ılu U1 -testu pˇrevyˇsuje do bodu π = 0, 02, yvá vyˇsˇs´ıch hodnot neˇz silofunkce U -testu resp. od bodu π = 0, 98. Silofunkce U2 -testu nab´ do bodu π = 0, 08, resp. od bodu π = 0, 92. Do (resp. od) tohoto bodu je vhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt y F-test. jeden z test˚ u vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch statistiky U1 , U nebo pˇresn´ Na obrázku 4.2 je znázornˇena situace pro volbu rozsahu v´ ybˇeru n = 10. F-test a U ∗ -test H : π = π = 0.5, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 10 0

0

1

0

1 F−test U−test U*−test U1−test

0.9 0.8 0.7

U2−test

β( δ )

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0 0.1 δ=π−π0

0.2

0.3

0.4

0.5

Obr. 4.2: Srovnán´ı test˚ u pro π0 = 0, 5 a n = 10 jsou opˇet podhodnocené, u obou je totiˇz s´ıla v bodˇe π = π0 rovna 0, 0228, coˇz je ménˇe neˇz je stanovená hladina v´ yznamnosti α = 0, 05. Silofunkce F-testu dosahuje vyˇsˇs´ıch hodnot ∗ neˇz silofunkce U -testu pro π ∈ h0, 04; 0, 35i ∪ h0, 65; 0, 96i. Celkovˇe nejménˇe vhodn´ ym yhodné pouze testem pro parametr π ∈ h0, 05; 0, 95i je U ∗ -test. Pouˇzit´ı této statistiky je v´ pro velká δ (|δ| ≥ 0, 45). Do bodu π = 0, 05, resp. od bodu π = 0, 95 je nejslabˇs´ı U2 -test. Nejsilnˇejˇs´ım testem na intervalu π ∈ h0, 09; 0, 91i je test vyuˇz´ıvaj´ıc´ı statistiku U1 . Pro π do 0, 09, resp. od 0, 91 je v´ yhodnˇejˇs´ı pouˇzit´ı U -testu. Testy pouˇz´ıvaj´ıc´ı statistiky U a U2 se v´ yraznˇe liˇs´ı do bodu π = 0, 16, resp. od bodu π = 0, 84. Je-li n = 15, jak je vidˇet z obrázku 4.3, v´ ysledky jsou podobné pˇredcházej´ıc´ı situaci. S´ıla v bodˇe π = π0 je pro F-test rovna 0, 0352 a pro U ∗ -test je to 0, 0265, oba testy jsou tedy opˇet podhodnocené. U ∗ -test je celkovˇe nejménˇe vhodn´ ym testem pro volbu parametru π ∈ h0, 1; 0, 9i. Do bodu π = 0, 1, resp. od bodu π = 0, 9 nab´ yvá nejniˇzˇs´ıch hodnot silofunkce U2 -testu. Pro vyˇsˇs´ı δ, tj. |δ| ≥ 0, 4 je naopak jednou z nejlepˇs´ıch variant pouˇzit´ı právˇe U ∗ -testu. Nejsilnˇejˇs´ım testem na intervalu π ∈ h0, 15; 0, 85i je test vyuˇz´ıvaj´ıc´ı statisyvá nejvyˇsˇs´ıch hodnot U -test. tiku U1 . Pro π do 0, 15, resp. od 0, 85 nab´ S rostouc´ım rozsahem v´ ybˇeru n (viz obrázek 4.4), roste s´ıla U ∗ -testu v bodˇe π = π0 smˇerem k hodnotˇe pˇredepsané hladiny α, ovˇsem nikdy j´ı nedosáhne. Dále také docház´ı 42

H : π = π = 0.5, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 15 0

0

1

0

1 F−test U−test U*−test U −test

0.9 0.8

1

0.7

U −test 2

β( δ )

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0 0.1 δ=π−π0

0.2

0.3

0.4

0.5

Obr. 4.3: Srovnán´ı test˚ u pro π0 = 0, 5 a n = 15 H : π = π = 0.5, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 50 0

1

H : π = π = 0.5, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 90

0

0

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6 β( δ )

β( δ )

0

1

0.5 0.4

0

1

0

0.5 0.4

0.3 0.2

F−test U−test U*−test U −test

0.3

U −test

0.1

0.2

1

1

0.1

F−test U−test U*−test U −test U2−test

2

0 −0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0 δ=π−π

0.1

0.2

0.3

0 −0.3

0.4

0

−0.2

−0.1

0 δ=π−π

0.1

0.2

0

Obr. 4.4: Srovnán´ı test˚ u pro π0 = 0, 5 a n = 50, 90 k z´ uˇzen´ı intervalu pro volbu parametru π, pro nˇejˇz je nejsilnˇejˇs´ım testem U1 -test, zároveˇ n k z´ uˇzen´ı intervalu, na nˇemˇz je nevhodné pouˇz´ıt testovac´ı statistiku U ∗ . Rozd´ıly mezi testy U , U1 a U2 se v´ıceménˇe vytrácej´ı. ubec naj´ıt vhodné ˇc´ıslo c1 (viz tabulka 4.2) pro Necht’ π0 = 0, 3. Pak pro n ≤ 10 nelze v˚ F-test. Na obrázku 4.5 je znázornˇeno srovnán´ı test˚ u pro minimáln´ı rozsah, tedy n = 11. Jak je patrné, silofunkce vˇsech pˇeti test˚ u maj´ı asymetrick´ y tvar, pˇriˇcemˇz nejv´ıce anomáln´ı ∗ situace nastává pˇri pouˇzit´ı statistiky U pro δ < 0, tj. π < π0 . U ∗ -test je obecnˇe nejslabˇs´ı pro volbu parametru π z intervalu h0; 0, 93i. V bodˇe π = π0 = 0, 3 je s´ıla tohoto testu rovna 0, 0221, pro F-test je β(π0 ) = 0, 0414, testy jsou tedy podhodnocené. Od bodu π = 0, 93 dosahuje nejniˇzˇs´ıch hodnot silofunkce U2 -testu. Jako nejsilnˇejˇs´ı test pro π < π0 se chová U1 -test, pro π > π0 je pak nejvhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt testovac´ı statistiku U , kterou ovˇsem pro π < π0 nelze doporuˇcit. 43

Tabulka 4.2: Srovnán´ı hodnot c1 , c2 , β(π0 ) pˇri π0 = 0, 3 n c1 c2 β(π0 )

8 9 10 11 -1 -1 -1 0 6 7 7 7 0,069 0,045 0,039 0,041 H : π = π = 0.3, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 11 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( δ )

0.6 0.5 0.4 F−test U−test U*−test U −test

0.3 0.2

1

0.1 0 −0.3

U −test 2

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2 0.3 δ=π−π

0.4

0.5

0.6

0

Obr. 4.5: Srovnán´ı test˚ u pro π0 = 0, 3 a n = 11 Na obrázku 4.6 jsou vykresleny silofunkce test˚ u pro volbu n = 15. S´ıla F-testu v bodˇe H : π = π = 0.3, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 15 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( δ )

0.6 0.5 0.4 F−test U−test U*−test U −test

0.3 0.2

1

0.1

U −test 2

0 −0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2 0.3 δ=π−π

0.4

0.5

0.6

0

Obr. 4.6: Srovnán´ı test˚ u pro π0 = 0, 3 a n = 15 π = π0 dosahuje pouze hodnoty 0, 0199, u U ∗ -testu se jedná o hodnotu 0, 0249, oba jsou tedy opˇet podhodnocené. Zmˇena nastává v tom, ˇze u ´lohu nejslabˇs´ıho testu pˇreb´ırá na 44

intervalu π ∈ h0, 31; 0, 75i F-test. Stejnˇe jako v pˇredeˇslé situaci je nejsilnˇejˇs´ım testem pro yraznˇe U -test. π < π0 U1 -test, pro π > π0 je to v´ S rostouc´ım n (viz obr. 4.7) se vytrác´ı asymetrické chován´ı silofunkc´ı. Zmenˇsuj´ı se rozd´ıly H : π = π = 0.3, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 30 0

1

H : π = π = 0.3, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 60

0

0

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6 β( δ )

β( δ )

0

1

0.5 0.4

1

0

0.5 0.4

F−test U−test U*−test U1−test

0.3 0.2 0.1 0 −0.3

0

0.2

1

0.1

U2−test −0.2

−0.1

0

0.1 δ=π−π

0.2

0.3

F−test U−test U*−test U −test

0.3

0 −0.3

0.4

U2−test −0.2

−0.1

0

0 0.1 δ=π−π

0.2

0.3

0

Obr. 4.7: Srovnán´ı test˚ u pro π0 = 0, 3 a n = 30, 60 mezi U ∗ -testem, F-testem a rovnˇeˇz mezi U1 -testem a U2 -testem. U -test z˚ ustává nadále dominantn´ı pro π > π0 . Je-li π0 = 0.1, F-test zam´ıtá hypotézu H0 oboustrannˇe aˇz od n = 36, pro niˇzˇs´ı n v˚ ubec nelze naj´ıt vhodná ˇc´ısla c1 (viz tabulka 4.3). Na obrázku 4.8 je znázornˇeno srovnán´ı silofunkc´ı test˚ u pro n = 36. Tabulka 4.3: Srovnán´ı hodnot c1 , c2 , β(π0 ) pˇri π0 = 0, 1 n c1 c2 β(π0 )

34 35 36 37 -1 -1 0 0 8 8 8 9 0,045 0,045 0,46 0,030

Pokud chceme provádˇet F-test pro π0 = 0.05 je zapotˇreb´ı volit n ≥ 72, nebot’ pro menˇs´ı rozsahy tento test zam´ıtá pouze jednostrannˇe, pˇriˇcemˇz nelze v˚ ubec naj´ıt vhodné c1 (viz tabulka 4.4). Srovnán´ı silofunkc´ı test˚ u je ilustrováno obrázkem 4.9. Je zapotˇreb´ı poznamenat, ˇze nen´ı vhodné provádˇet testován´ı dané hypotézy pomoc´ı yˇse doporuˇcené rozsahy v´ ybˇeru pro F-test. Testy statistik U , U ∗ , U1 , U2 pro menˇs´ı neˇz v´ totiˇz pro malé rozsahy zam´ıtaj´ı pouze jednostrannˇe ˇci asymetricky. Nˇekteré z nich dokonce vykazuj´ı urˇcité dalˇs´ı nedostatky. Konkrétnˇe silofunkce U -testu pro π0 = 0, 3, n = 5 ubˇehy. Tyto a silofunkce U ∗ -testu pro π0 = 0, 5, n = 5 a π0 = 0, 3, n = 10 maj´ı anomáln´ı pr˚ 45

H 0 : π = π 0 = 0.1, H 1 : π ≠ π 0, α = 0.05, n = 36 1 0.9 0.8 0.7

β( δ )

0.6 0.5 0.4 F−test U−test U*−test U1−test

0.3 0.2 0.1 0 −0.1

U2−test 0

0.1

0.2 δ=π−π

0.3

0.4

0

Obr. 4.8: Srovnán´ı test˚ u pro π0 = 0, 1 a n = 36 Tabulka 4.4: Srovnán´ı hodnot c1 , c2 , β(π0 ) pˇri π0 = 0, 05 n c1 c2 β(π0 )

70 71 72 73 -1 -1 0 0 8 9 9 9 0,051 0,035 0,035 0,034 H : π = π = 0.05, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 72 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( δ )

0.6 0.5 0.4 F−test U−test U*−test U1−test

0.3 0.2 0.1 0 −0.05

U2−test 0.05 δ=π−π0

0.15

Obr. 4.9: Srovnán´ı test˚ u pro π0 = 0, 05 a n = 72 pˇr´ıklady ilustruj´ı obrázky 4.10, 4.11 a 4.12. Pˇr´ısluˇsné hodnoty jsou uvedeny v tabulkách 4.5, 4.6 a 4.7.

46

H : π = π = 0.3, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 5 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( δ )

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

−0.2 −0.1

0

0.1 0.2 0.3 δ=π−π0

0.4

0.5

0.6

Obr. 4.10: Anomálie u U -testu pro π0 = 0, 3, n = 5 Tabulka 4.5: Anomálie u U -testu pro π0 = 0, 3, n = 5 0,01 0,03 0,05 0,1 0,15 0,18 0,2 0,0060 0,0422 0,0598 0,0664 0,0578 0,0518 0,0484 H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π ≠ π 0, α = 0.05, n = 5 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 β( δ )

π β(π)

0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 δ=π−π0

0.2

0.3

0.4

0.5

Obr. 4.11: Anomálie u U ∗ -testu pro π0 = 0, 5, n = 5

47

Tabulka 4.6: Anomálie u U ∗ -testu pro π0 = 0, 5, n = 5 π β(π)

0,01 0,015 0,02 0,03 0,04 0,05 0,08 0,1 0,1391 0,1636 0,1760 0,1855 0,1859 0,1826 0,1648 0,1514 H : π = π = 0.3, H : π ≠ π , α = 0.05, n = 10 0

0

1

0

1 0.9 0.8 0.7

β( δ )

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

−0.2 −0.1

0

0.1 0.2 0.3 δ=π−π0

0.4

0.5

0.6

Obr. 4.12: Anomálie u U ∗ -testu pro π0 = 0, 3, n = 10 Tabulka 4.7: Anomálie u U ∗ -testu pro π0 = 0, 3, n = 10 π β(π)

0,01 0,02 0,03 0,05 0,1 0,15 0,2 0,3 0,0809 0,1112 0,1176 0,1114 0,0789 0,0516 0,0324 0,0212

48

5

Statistick´ e metody v senzorick´ e anal´ yze

5.1

Vyhodnocen´ı rozliˇ sovac´ıch metod

Senzorická data z´ıskaná pˇri rozliˇsovac´ıch zkouˇskách se vyhodnocuj´ı pomoc´ı test˚ u hypotéz o parametru π binomického rozdˇelen´ı popsan´ ych v kapitole 3.

5.1.1


Necht’ π je pravdˇepodobnost, ˇze posuzovatel zvol´ı v´ yrobek A jako intenzivnˇejˇs´ı. Pak mˇejme yrobky nelze rozliˇsit, tedy π = 12 , proti oboustranné alternativˇe H1 : hypotézu H0 : v´ u, z toho nA posuzov´ yrobky jsou rozd´ılné, tj. π 6= 12 . Hodnocen´ı provedlo n posuzovatel˚ u se vyslovilo pro vzorek B, tedy n = nA + nB . vatel˚ u oznaˇcilo vzorek A a nB hodnotitel˚ Test lze provést za vyuˇzit´ı statistik : 1. F1 = a

nA n − nA + 1

(5.1)

nA + 1 (5.2) n − nA vycházej´ıc´ıch z (3.16) a (3.17), pˇriˇcemˇz hypotéza H0 se zam´ıtá, plat´ı-li na dané hladinˇe v´ yznamnosti α ³ ³α´ α´ nebo F2 ≤ Fν3 ,ν4 , F1 ≥ Fν1 ,ν2 1 − 2 2 ¡ ¡ ¢ ¢ kde Fν1 ,ν2 1 − α2 a Fν3 ,ν4 α2 jsou kvantily Fisherova rozdˇelen´ı s ν1 = 2(n − nA + 1), ν2 = 2nA a ν3 = 2(n − nA ), ν4 = 2(nA + 1) stupni volnosti, F2 =

2. U=

2nA − n √ n

(5.3)

zaloˇzené na statistice (3.20), pˇriˇcemˇz hypotéza H0 se zam´ıtá, plat´ı-li |U | ≥ u1− α2 , kde u1− α2 je kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1), 3. U∗ =

|2nA − n| − 1 √ n

dle (3.21), pˇriˇcemˇz hypotéza H0 se zam´ıtá, plat´ı-li U ∗ ≥ u1− α2 , kde u1− α2 je kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1), 49

(5.4)

4.

Ã r ! r √ nA 1 U1 = 2 n arcsin − arcsin n 2

(5.5)

odvozené z (3.35), H0 se zam´ıtá, plat´ı-li |U1 | ≥ u1− α2 , kde u1− α2 je kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1), 5. U2 =

√

Ã

4n + 2 arcsin

r

8nA + 3 − arcsin 8n + 6

r

4n + 3 8n + 6

!

,

(5.6)

viz (3.36), H0 se zam´ıtá, plat´ı-li |U2 | ≥ u1− α2 , kde u1− α2 je kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1). Diskuze, kdy je kterou z tˇechto uveden´ ych testovac´ıch statistik vhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt, je popsána v pˇredeˇslé kapitole 4. V pˇr´ıpadˇe jednostranného testu formulujeme k hypotéze H0 : v´ yrobky nelze rozliˇsit, tj. π = 12 , alternativu H1 : vlastnost v´ yrobku A je intenzivnˇejˇs´ı neˇz u v´ yrobku B, tj. π > 12 . Jako testovac´ı kriterium se pouˇzije (5.1), H0 se zam´ıtá, pokud F ≥ F1−α (ν1 , ν2 ) , kde F1−α (ν1 , ν2 ) je kvantil Fisherova rozdˇelen´ı s ν1 = 2(n − nA + 1) a ν2 = 2nA stupni volnosti. Je moˇzno pouˇz´ıt také statistiku U∗ =

2nA − n − 1 √ , n

(5.7)

hypotéza H0 se zam´ıtá, plat´ı-li U ∗ ≥ u1−α , kde u1−α je kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1). Dále se vyuˇz´ıvaj´ı statistiky (5.3), (5.5) a (5.6), pomoc´ı nichˇz se test vyhodnot´ı stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe (5.7).

5.1.2

Zkouˇ ska duo-trio

Test pro zkouˇsku duo-trio se formuluje obdobnˇe jako v odstavci 5.1.1. Pro vyhodnocen´ı se pouˇzij´ı testovac´ı statistiky stejné jako u jednostranného testu pˇri párové porovnávac´ı zkouˇsce. Zde se ovˇsem jedná o jednostrann´ y test pouze z technického hlediska, v´ ysledkem nen´ı urˇcen´ı smˇeru rozd´ılnosti, ale pouze jej´ı existence. 50

5.1.3

Troj´ uheln´ıkov´ a zkouˇ ska

Necht’ π je pravdˇepodobnost, ˇze posuzovatel zvol´ı vzorek A jako odliˇsn´ y od ostatn´ıch. Protoˇze se jedná o volbu jednoho vzorku ze tˇr´ı, pravdˇepodobnost správné kombinace je π = 13 . Mˇejme tedy hypotézu H0 : v´ yrobky nelze rozliˇsit, tj. π = 13 , proti oboustranné yrobky jsou rozd´ılné, tj. π > 13 . Hodnocen´ı provedlo n posuzovatel˚ u, alternativˇe H1 : v´ u rozpoznalo správnou kombinaci. Rozd´ıl ve sledované vlastnosti z toho nA posuzovatel˚ bude zˇrejm´ y, pokud správnou kombinaci uvede v´ıce neˇz tˇretina posuzovatel˚ u, tj. nA > n2B , za platnosti n = nA + nB . Jako testové kriterium vyuˇzijeme statistiky 1. F =

2nA n − nA + 1

(5.8)

yznamnosti odvozenou z (3.16), pak se hypotéza H0 zam´ıtá, plat´ı-li na dané hladinˇe v´ α F1 ≥ F1−α (ν1 , ν2 ) , kde F1−α (ν1 , ν2 ) je kvantil Fisherova rozdˇelen´ı s ν1 = 2(n − nA + 1), ν2 = 2nA stupni volnosti. 2. U=

3nA − n √ , 2n

(5.9)

viz (3.20), pˇriˇcemˇz hypotéza H0 se zam´ıtá, plat´ı-li U ≥ u1−α , kde u1−α je kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1), 3. U∗ =

6nA − 2n − 3 √ 8n

(5.10)

dle (3.21), hypotéza H0 se zam´ıtá, plat´ı-li U ∗ ≥ u1−α , kde u1−α je kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1), 4.

Ã r ! r √ nA 1 U1 = 2 n arcsin − arcsin n 3 odvozené z (3.35), hypotéza H0 se opˇet zam´ıtá, plat´ı-li U1 ≥ u1−α , kde u1−α je kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1),

51

(5.11)

5. U2 =

√



4n + 2 arcsin

r

8nA + 3 − arcsin 8n + 6

s

z´ıskané z (3.36), pˇriˇcemˇz hypotéza H0 se zam´ıtá, plat´ı-li

 n+3  8n + 6

8 3

(5.12)

U2 ≥ u1−α , kde u1−α je kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1), Pomoc´ı tˇechto jednostrann´ ych test˚ u stejnˇe jako u zkouˇsky duo-trio pouze odhadujeme, zda se v´ yrobky liˇs´ı ˇci nikoli, ale nelze takto zjistit smˇer rozd´ılu. Pro tento u ´ˇcel je vhodné vyuˇzit´ı párové porovnávac´ı zkouˇsky. Vhodnost pouˇzit´ı test˚ u je diskutována v kapitole 4.

5.2

Vyhodnocen´ı poˇ radov´ ych metod

Poˇradová zkouˇska se nejˇcastˇeji vyhodnocuje Friedmanov´ ym testem. Poˇrad´ı vzork˚ u od jednotliv´ ych hodnotitel˚ u se zap´ıˇsou do tabulky a následnˇe se spoˇc´ıtaj´ı souˇcty poˇrad´ı yznamné rozd´ıly ve slejednotliv´ ych vzork˚ u. Mˇejme hypotézu H0 : mezi vzorky nejsou v´ ymi vzorky je alespoˇ n jeden, kter´ y se dovaném znaku, proti alternativˇe H1 : mezi zkouman´ yt souˇcty poˇrad´ı teoreticky stejné. od jiného ˇci jin´ ych odliˇsuje. Pokud plat´ı H1 , mˇely by b´ Jako testové kriterium se pouˇzije veliˇcina R

X 12 FR = Ti2 − 3n(R + 1) , n R(R + 1) i=1

(5.13)

ych vzork˚ u kde n je poˇcet hodnotitel˚ u, R poˇcet vzork˚ u a Ti jsou souˇcty poˇrad´ı jednotliv´ pro i = 1, 2, . . . , R. Testovaná hypotéza se zam´ıtá, pokud pro dané α plat´ı F R ≥ Q1−α (R, n) , pˇriˇcemˇz Q1−α (R, n) jsou kritické hodnoty tabelované pro α = 0, 05 a 0, 01, 3 ≤ n ≤ 16, 3 ≤ R ≤ 10 (viz [11]). Pro vyˇsˇs´ı poˇcet posuzovatel˚ u ˇci vzork˚ u (pro R ≥ 5, n ≥ 5) je 2 pˇrijatelná aproximace testovac´ı statistiky Pearsonov´ ym χ rozdˇelen´ım s (R − 1) stupni volnosti. Hypotéza H0 se pak zam´ıtá, pokud pro dané α plat´ı F R ≥ χ21−α (R − 1) , kde χ21−α (R − 1) jsou kvantily Pearsonova χ2 rozdˇelen´ı s (R − 1) stupni volnosti. Zam´ıtne-li se daná hypotéza, je vhodné zjistit, které jednotlivé vzorky se od sebe liˇs´ı. K tomuto u ´ˇcelu slouˇz´ı Némenyiho metoda v´ıcenásobného párového porovnáván´ı závisl´ ych v´ ybˇer˚ u. Jedná se o oboustrann´ y test, lze tedy stanovit rozd´ılnost mezi vzorky jako takovou, ale nikoli jej´ı smˇer. Metoda v´ ycház´ı znovu ze souˇct˚ u poˇrad´ı. Rozd´ıl mezi i-t´ ym a j-t´ ym vzorkem pak je se 100(1 − α)% spolehlivost´ı v´ yznamn´ y, plat´ı-li |Ti − Tj | ≥ q1−α (R, n) , 52

(5.14)

kde q1−α (R, n) je speciáln´ı tabelovaná kritická hodnota pro párová porovnáván´ı opˇet pro α = 0, 05 a 0, 01, 3 ≤ n ≤ 16, 3 ≤ R ≤ 10 (viz [11]). V pˇr´ıpadˇe malého rozsahu tabelovan´ ych hodnot lze jiˇz pro R > 5 pouˇz´ıt aproximaci. Hypotéza se pak pro dané α zam´ıtá, plat´ı-li r n R(R + 1) |Ti − Tj | ≥ g1−α (R) (5.15) 12 u v p˚ uvodn´ı kde g1−α (R) je kritická hodnota speciáln´ı studentizované funkce pro poˇcet vzork˚ R-tici (viz [11], [4])

5.3 5.3.1

Vyhodnocen´ı stupnicov´ ych metod Hodnocen´ı jednoho senzorick´ eho znaku v r´ amci jednoho v´ yrobku

´ Ukolem metod slouˇz´ıc´ıch pro hodnocen´ı jednoho senzorického znaku v rámci jednoho v´ yrobku je srovnán´ı pravdˇepodobnost´ı kategori´ı v rámci dané otázky. Mˇejme n posuzovatel˚ u hodnot´ıc´ ıch dle stupnice o K kategori´ıch. Relativn´ı ˇcetnost kP nk té kategorie je pk = n , kde n = K ı ˇcetnost k-té kategorie pro k=1 nk a nk je absolutn´ k = 1, 2, . . . , K. Pˇri hodnocen´ı jednoho znaku chceme ovˇeˇrit, zda se pod´ıl posuzovatel˚ u hovoˇr´ıc´ıch ve prospˇech jedné a druhé kategorie v´ yznamnˇe liˇs´ı. V rámci jedné otázky se tedy ’ zjiˇst uje, zda je rozd´ıl mezi absolutn´ımi ˇcetnostmi ni a nj tˇechto dvou kategori´ı statisticky v´ yznamn´ y. Tato u ´loha se opˇet ˇreˇs´ı testem o parametru binomického rozdˇelen´ı. Mˇejme hypotézu H0 : kategorie se navzájem neliˇs´ı, tj. π = 12 , proti alternativˇe H1 : existuje rozd´ıl mezi i-tou a j-tou kategori´ı, tj. π 6= 12 . Hypotéza H0 se zam´ıtá, plat´ı-li ni ≥ F1− α2 (ν1 , ν2 ) , nj + 1

(5.16)

kde F1− α2 (ν1 , ν2 ) je kvantil Fisherova rozdˇelen´ı s ν1 = 2(nj + 1) a ν2 = 2ni stupni volnosti. Je-li k dispozici dostateˇcnˇe velk´ y poˇcet hodnotitel˚ u (dle [11] pro ni + nj > 30), lze poˇz´ıt také testovac´ı statistiku n i − nj u= √ . (5.17) ni + nj Hypotéza se pak zam´ıtá, plat´ı-li |u| ≥ u1−α/2 , kde u1−α/2 je kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1). Je-li pˇredmˇetem zájmu prokázán´ı, zda pod´ıl posuzovatel˚ u hovoˇr´ıc´ıch ve prospˇech i-té kategorie v´ yznamnˇe pˇrevyˇsuje pod´ıl hodnotitel˚ u stavˇej´ıc´ıch se ve prospˇech j-té kategorie, aplikuje se jednostrann´ y test. V pˇr´ıpadˇe, ˇze potˇrebujeme rozˇs´ıˇrit srovnáván´ı na L kategori´ı, vyuˇzijeme test o shodˇe pravdˇepodobnost´ı L kategori´ı, L ≤ K. Tento test je moˇzné provést, plat´ı-li n1 + n2 + . . . + nL > 30(viz [11]). Mˇejme hypotézu H0 : kategorie jsou shodné, tj. π1 = π2 = · · · = πL , 53

proti alternativˇe H1 : alespoˇ n jedna kategorie se od dalˇs´ı liˇs´ı, tj. πi 6= πj pro libovolné i 6= j. Pak pro test vyuˇzijeme statistiku 2

χ =

L X (nk − nπk )2

nπk

k=1

.

Protoˇze pro H0 plat´ı πk = L1 , k = 1, . . . , L, lze testovac´ı kriterium zapsat jako P L L Lk=1 n2k X χ = PL − nk . n k k=1 k=1 2

(5.18)

Hypotéza se zam´ıtá na dané hladinˇe v´ yznamnosti α, plat´ı-li χ2 ≥ χ21−α (L − 1) , kde χ21−α (L − 1) je kvantil Pearsonova rozdˇelen´ı s (L − 1) stupni volnosti. K dalˇs´ım metodám slouˇz´ıc´ım k vyhodnocen´ı jednoho senzorického znaku u jednoho v´ yrobku patˇr´ı také metoda odhadu intervalu spolehlivosti tzv. m´ıry asymetrie pro ordináln´ı znak. Pˇredpokládá se vˇetˇs´ı poˇcet posuzovatel˚ u (n ≥ 30) a stupnice o lichém poˇctu kategori´ı. Uprostˇred stupnice se nacház´ı tzv. neutráln´ı kategorie. Vˇsechna hodnocen´ı se roztˇr´ıd´ı do tˇr´ı kategori´ı. Do prvn´ı kategorie oznaˇcené symbolem − se zaˇrad´ı v´ yrobky oznaˇcované jako horˇs´ı, ˇci ménˇe intenzivn´ı neˇz stˇredn´ı u ´roveˇ n, do druhé kategorie oznaˇcené symbolem 0 se zaˇrad´ı v´ ysledky odpov´ıdaj´ıc´ı stˇredn´ı u ´rovni a posledn´ı kategorie + zahrne v´ ysledky vyjadˇruj´ıc´ı lepˇs´ı nebo v´ıce intenzivn´ı u ´roveˇ n neˇz stˇredn´ı u ´roveˇ n. Pro tyto kategorie stanov´ıme absolutn´ı a relativn´ı ˇcetnosti, oznaˇc´ıme je postupnˇe n− , n0 , n+ , p− , p0 a p+ . Za pˇredpoklad˚ u n > 30, n+ > 5 a n− > 5, lze stanovit 100(1 − α)% oboustrann´ y interval spolehlivosti ∗ ∗ , αH ) = (a∗ − u1− α2 s∗ , a∗ + u1− α2 s∗ ) , (αD

(5.19)

kde

n + − n− n ∗ je odhad charakteristiky α vyjadˇruj´ıc´ı m´ıru asymetrie (podrobnˇeji viz [11]), r p0 (1 − p0 ) + 4p+ p− s∗ = n a∗ =

je odhad smˇerodatné chyby odhadu a u1−α/2 je kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1).

5.3.2

Srovn´ an´ı senzorick´ eho znaku dvou a v´ıce v´ yrobk˚ u

Je-li potˇreba srovnat mezi sebou ve sledované senzorické vlastnosti dva v´ yrobky A a B, pouˇzije se Wilcoxon˚ uv test. Podm´ınkou je, aby pro poˇcet posuzovatel˚ u platilo nA + nB ≥ 20. Ke kaˇzdému v´ yrobku se pˇriˇrad´ı náhodn´ y v´ ybˇer reprezentovan´ y v´ ysledky posuzovatel˚ u y vzestupnˇe a ze vˇsech jednotek se vytvoˇr´ı sdruˇzen´ y v´ ybˇer o rozsahu n = nA +nB uspoˇrádan´ 54

podle velikosti. Jednotliv´ ym hodnotám se pˇriˇrad´ı poˇradová ˇc´ısla, stejn´ ym hodnotám se pˇriˇrad´ı pr˚ umˇerná poˇradová ˇc´ısla. Pro kaˇzd´ y v´ yrobek se pak spoˇc´ıtá souˇcet poˇrad´ı jednotek pˇr´ısluˇsej´ıc´ıch do j-tého v´ ybˇeru a oznaˇc´ı se Tj , j = A, B. Dále se pouˇzije modifikovaná testovac´ı statistika s opravou na spojitost uW

Tj − p =

nj (n+1) 2

±

var(sW )

1 2

,

(5.20)

kde nj je poˇcet posuzovatel˚ u j-tého v´ yrobku a P 3 nA nB n 3 − K k=1 (nk ) var(sW ) = · , 12 n(n − 1) kde K je poˇcet kategori´ı, nk jsou ˇcetnosti odpov´ıdaj´ıc´ı tzv. celkovému zastoupen´ı k-té kategorie ve sdruˇzeném v´ ybˇeru, k = 1, 2, . . . , K. Ve vztahu (5.20) pouˇzijeme + 12 , je-li v´ yraz v ˇcitateli (bez 12 ) záporn´ y, a − 12 , kdyˇz je v´ yraz v ˇcitateli kladn´ y. Provád´ıme-li oboustrann´ y test, tj. zaj´ımá-li nás, zda maj´ı v´ yrobky odliˇsnou u ´roveˇ n ve sledovaném znaku, zam´ıtneme hypotézu o shodnosti u ´rovn´ı, pokud |uW | ≥ u1− α2 , kde u1− α2 je kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1). Pouˇzit´ı jednostranného testu závis´ı na typu pˇredloˇzené stupnice. Hypotézou H0 je tvrzen´ı, ˇze oba v´ yrobky nejsou ve sledovaném znaku rozd´ılné. Pˇredpokládejme pouˇzitou ordináln´ı stupnici prvn´ıho druhu. Pak alternativa H1 tvrd´ı, ˇze v´ yrobek A je intenzivnˇejˇs´ı nebo lepˇs´ı neˇz v´ yrobek B. Hypotéza se zam´ıtá, plat´ı-li uW ≥ u1−α .

(5.21)

′

Pokud bude alternativa H1 tvrdit, ˇze A je ménˇe intenzivn´ı nebo horˇs´ı neˇz v´ yrobek B, hypotéza H0 se zam´ıtne, pokud uW ≤ −u1−α . (5.22)

Pˇredpokládáme-li pouˇzit´ı stupnice druhého druhu, pak se pˇri alternativˇe H1 hypotéza H0 ′ zam´ıtá pro (5.22) a pˇri alternativˇe H1 zam´ıtáme H0 , plat´ı-li (5.21).

Pro srovnán´ı senzorického znaku u v´ıce neˇz dvou v´ yrobk˚ u je vhodnou metodou Kruskal˚ uv-Wallis˚ uv test. Pˇredpokládejme, ˇze se hodnot´ı R v´ yrobk˚ u ve sledované vlastnosti a poˇcet posuzovatel˚ u n je alespoˇ n 5. Kaˇzdému v´ yrobku se pˇriˇrad´ı náhodn´ y v´ ybˇer reprezentovan´ y v´ ysledky posuzovatel˚ u a ze vˇsech jednotek se vytvoˇr´ı sdruˇzen´ y v´ ybˇer o rozsahu n = n1 + n2 + . . . + nR uspoˇrádán´ y vzestupnˇe podle velikosti. Jednotliv´ ym hodnotám se pˇriˇrad´ı poˇradová ˇc´ısla. Pro kaˇzd´ y v´ ybˇer se pak poˇc´ıtá souˇcet poˇrad´ı jednotek pˇr´ısluˇsej´ıc´ıch do r-tého v´ ybˇeru. Mˇejme hypotézu H0 : mezi R v´ yrobky nen´ı rozd´ıl v u ´rovni sledovaného n jeden v´ yrobek, kter´ y se ve sledované R-tici znaku, proti alternativˇe H1 : existuje alespoˇ vu ´rovni senzorického znaku liˇs´ı od jiného ˇci jin´ ych. Pouˇzije se testovac´ı kriterium R

QKW

X T2 12 r = − 3(n + 1) . n(n + 1) r=1 nr 55

(5.23)

Pokud je shodn´ ych pozorován´ı ve vˇsech v´ ybˇerech v´ıce neˇz 25%, pak se doporuˇcuje uˇz´ıt korigované testové kritérium QKW Q∗KW = , (5.24) 1 − n3D−n P 3 cet kategori´ı, R je poˇcet v´ yrobk˚ u, nk je poˇcet pozorován´ı kde D = K k=1 (nk − nk ), K je poˇ P u v r-tém v´ ybˇeru, n = R v k-té kategorii ve sdruˇzeném souboru, nr poˇcet posuzovatel˚ r=1 nr je celkov´ y poˇcet posuzovatel˚ u a Tr je souˇcet poˇrad´ı jednotek r-tého v´ ybˇeru. Hypotéza se pˇri dané hladinˇe α zam´ıtá, pokud plat´ı Q∗KW ≥ χ21−α (R − 1) , kde χ21−α (R − 1) je kvantil Pearsonova rozdˇelen´ı s (R − 1) stupni volnosti. Pokud byla na základˇe Kruskalova-Wallisova testu zam´ıtnuta hypotéza o shodˇe u ´rovn´ı, je vhodné pokraˇcovat Némenyiho metodou v´ıcenásobného porovnáván´ı nezávisl´ ych v´ ybˇer˚ u pro zjiˇstˇen´ı, které jednotlivé vzorky v R-tici posuzovan´ ych v´ yrobk˚ u se od sebe liˇs´ı. yrobk˚ u stejn´ y a plat´ı nr ≤ 25, rozd´ıl mezi i-t´ ym Jestiˇze je poˇcet posuzovatel˚ u nr u vˇsech v´ a j-t´ ym v´ yrobkem je v´ yznamn´ y se spolehlivost´ı 100(1 − α)%, plat´ı-li |Ti − Tj | > Q1−α (R, nr ) ,

(5.25)

kde Ti , Tj jsou souˇcty poˇrad´ı jednotek pˇr´ısluˇsej´ıc´ıch i-tému, j-tému v´ yrobku a R je poˇcet v´ yrobk˚ u zahrnut´ ych v p˚ uvodn´ım Kruskalovˇe-Wallisovˇe testu. Pro nr ≤ 25 a R ≤ 10 jsou kritické hodnoty Q1−α (R, nr ) tabelované pro α = 0, 05 a α = 0, 01 (viz [11]). yrobk˚ u stejn´ y, plat´ı nr > 25 a pro poˇcet v´ yrobk˚ u Jestiˇze je poˇcet posuzovatel˚ u nr u vˇsech v´ plat´ı R ≤ 20, rozd´ıl mezi i-t´ ym a j-t´ ym v´ yrobkem je v´ yznamn´ y se spolehlivost´ı 100(1 − α)%, plat´ı-li r R(Rnr + 1) . (5.26) |Ti − Tj | > g1−α (R)nr 12 Kritické hodnoty g1−α (R) speciáln´ı studentizované funkce jsou tabelované pro poˇcet posuzovatel˚ u R ≤ 20 a hladiny v´ yznamnosti α = 0, 05 a α = 0, 01 (viz [11]). Pro nestejn´ y ale dostateˇcn´ y poˇcet posuzovatel˚ u u vˇsech v´ yrobk˚ u je rozd´ıl mezi i-t´ ym a j-t´ ym v´ yrobkem v´ yznamn´ y se spolehlivost´ı 100(1 − α)%, plat´ı-li vztah ¯ s µ ¯ ¶ ¯ Ti Tj ¯ 1 1 1 ¯ − ¯> n(n + 1)χ21−α (R − 1) , + (5.27) ¯ n i nj ¯ 12 ni nj kde χ21−α (R − 1) je kvantil Pearsonova rozdˇelen´ı s (R − 1) stupni volnosti. Vˇsechny uvedené typy test˚ u Neményiho metody jsou oboustranné, tj. lze stanovit pouze rozd´ılnost v u ´rovni jako takovou, a nikoli jej´ı smˇer. Podrobn´ y popis test˚ u pro vyhodnocován´ı stupnicov´ ych metod obsahuje napˇr. [2], [8].

56

6

Software pro zpracov´ an´ı senzorick´ ych dat

V rámci diplomové práce byl na základˇe v´ yˇse uveden´ ych teoretick´ ych závislost´ı v programovac´ım jazyce Delphi vytvoˇren uˇzivatelsk´ y software SMSA verze 1.09 (zkratka názvu Statistické metody v senzorické anal´ yze) pro vyhodnocován´ı senzorick´ ych dat vybran´ ymi statistick´ ymi metodami. Skládá se ze dvou modul˚ u: Senzorická anal´ yza a Anal´ yza jednorozmˇern´ ych dat. V´ ybˇer mezi sekcemi i následnˇe mezi jednotliv´ ymi testy se provád´ı pomoc´ı roletového menu um´ıstˇeného v horn´ı ˇcásti aplikace. Vˇsechny aktuáln´ı v´ ysledky vˇcetnˇe vstupn´ıch dat lze ukládat ve formátu .txt v pr˚ ubˇehu testován´ı, vykreslené grafy lze uloˇzit ve formátu .bmp.

Obr. 6.1: Software SMSA

6.1

Senzorick´ a anal´ yza

Tento modul obsahuje prostˇredky k vyhodnocen´ı rozliˇsovac´ıch, poˇradov´ ych a stupnicov´ ych senzorick´ ych metod dle kapitoly 5, pˇriˇcemˇz je pˇresnˇe zachováno v´ yˇse uvedené názvoslov´ı a oznaˇcen´ı promˇenn´ ych. 57

6.1.1

Rozliˇ sovac´ı zkouˇ sky

Po zvolen´ı jedné z rozliˇsovac´ıch zkouˇsek z menu (viz obrázek 6.2) lze vybrat konkrétn´ı test, podle kterého se z´ıskaná senzorická data vyhodnot´ı. Na obrázku 6.3 je moˇzno vidˇet ukázku

Obr. 6.2: Roletové menu oboustranné párové porovnávac´ı zkouˇsky. Byla zadána vstupn´ı data: hladina v´ yznamnosti α, poˇcet hodnotitel˚ u nA , kteˇr´ı oznaˇcili vorek A, a poˇcet hodnotitel˚ u nB , kteˇr´ı vybrali

Obr. 6.3: Ukázka rozliˇsovac´ı zkouˇsky vzorek B. Byl zvolen test pomoc´ı statistiky F . Po v´ ypoˇctu se zobrazily zarámeˇckované 58

v´ ysledky obsahuj´ıc´ı vypoˇctené pˇr´ısluˇsné statistiky F1 , F2 a kvantily F1− α2 , F 1 , dále pak 2 ˇcervenˇe zv´ yraznˇen´ y závˇer celého testu. Uˇzivatel má moˇznost stisknout tlaˇc´ıtko Anal´ yza silofunkc´ı, ˇc´ımˇz otevˇre nové okno, kde se vykresluj´ı silofunkce pro pˇredem zadané hodnoty a vybrané druhy test˚ u (viz obrázek 6.4). Zároveˇ n se vypisuj´ı hodnoty β(δ) v bodˇe δ = 0, tedy π = π0 . Konkrétnˇe pro poˇradovou

Obr. 6.4: Anal´ yza silofunkc´ı zkouˇsku je v nab´ıdce také tlaˇc´ıtko Volba rozsahu v´ ybˇeru, po jehoˇz stisknut´ı se otevˇre okno, v nˇemˇz lze zadat potˇrebné hodnoty pro v´ ypoˇcet minimáln´ıho rozsahu v´ ybˇeru (ten se provád´ı na základˇe vzorc˚ u uveden´ ych v odstavci 3.9). Pro zadanou hladinu v´ yznamnosti α, hypotézu H0 : π = π0 proti alternativˇe H1 = π = π1 se poˇzaduje splnˇen´ı podm´ınky, ˇze pravdˇepodobnopst chyby II. druhu nebude vˇetˇs´ı neˇz β. Daná situace je ilustrována na obrázku 6.5. Ve spodn´ım rámeˇcku jsou vypsány spoˇctené hodnoty minimáln´ıho rozsahu v´ ybˇeru n pro jednotlivé vybrané testovac´ı statistiky.

6.1.2

Poˇ radov´ e zkouˇ sky

Po zvolen´ı poloˇzky Poˇradová zkouˇska, pˇriˇcemˇz na v´ ybˇer jsou obˇe varianty uvedené v odstavci 5.2, uˇzivatel zadá poˇcet vzork˚ u a poˇcet hodnotitel˚ u. Poté vypln´ı do tabulky jednotlivá poˇrad´ı z´ıskaná pˇri senzorické zkouˇsce a stiskne tlaˇc´ıtko Vypoˇcti. Zobraz´ı se tabulka s diferencemi mezi vzorky, vypoˇctené testovac´ı kritérium F R, kritické hodnoty Q, nebo χ21−α , pro Némenyiho metodu krit., závˇer a tabulka se vzorky, mezi nimiˇz jsou statisticky v´ yznamné rozd´ıly (viz obrázek 6.6).

59

Obr. 6.5: Volba rozsahu testu

Obr. 6.6: Ukázka poˇradové zkouˇsky

60

6.1.3

Stupnicov´ e zkouˇ sky

Vyhodnocen´ı jedn´ e ot´ azky v jednom v´ ybˇ eru Uˇzivatel nejdˇr´ıve zadá poˇcet kategori´ı pouˇzité stupnice, pˇriˇcemˇz maximáln´ı poˇcet je 7, poté vypln´ı tabulku z´ıskan´ ymi absolutn´ımi ˇcetnostmi a vybere si jeden z test˚ u uveden´ ych v odstavci 5.3.1, tedy Srovnán´ı relativn´ı ˇcetnosti a teoretické pravdˇepodobnosti u jedné kategorie, Srovnán´ı struktury v´ ybˇeru s pˇredpokládanou strukturou, Srovnán´ı dvou kategori´ı - pˇresn´ y test, Srovnán´ı v´ıce neˇz dvou kategori´ı nebo Vyhodnocen´ı m´ıry asymetrie. Na obrázku 6.7 je znázornˇena prvn´ı situace.

Obr. 6.7: Ukázka vyhodnocen´ı jedné otázky v jednom v´ ybˇeru

Srovn´ an´ı v´ ysledk˚ u jedn´ e ot´ azky ve dvou a v´ıce v´ ybˇ erech Zde jsou na v´ ybˇer tyto funkce: Srovnán´ı dvou nezávisl´ ych v´ ybˇer˚ u - oboustrann´ y a jednostrann´ y Wilcoxon˚ uv test, Srovnán´ı tˇr´ı a v´ıce nezávisl´ ych v´ ybˇer˚ u - Kruskal˚ uv-Wallis˚ uv test. Vyhodnocen´ı se provád´ı dle odstavce 5.3.2. Na obrázku 6.8 lze vidˇet pˇr´ıklad KruskalovaWallisova testu.

6.2

Anal´ yza jednorozmˇ ern´ ych dat

Sekce Anal´ yza jednorozmˇern´ ych dat je zpracována nad rámec teoretické ˇcásti této diplomové práce, jednotlivé v´ ypoˇcty jsou zaloˇzeny na vzorc´ıch uveden´ ych v literatuˇre [10], [5]. Tato ˇcást aplikace se dále dˇel´ı na: Základn´ı zpracován´ı dat, Srovnán´ı souboru s pˇredpokladem, Srovnán´ı dvou nezávisl´ ych soubor˚ u a Srovnán´ı dvou závisl´ ych soubor˚ u.

61

Obr. 6.8: Ukázka srovnán´ı tˇr´ı a v´ıce nezávisl´ ych v´ ybˇer˚ u

6.2.1

Z´ akladn´ı zpracov´ an´ı dat

Na základˇe vstupn´ıch dat vyplnˇen´ ych do tabulky je moˇzno jednak ovˇeˇrit normalitu v´ ybˇeru pomoc´ı C-testu (test zaloˇzen´ y na v´ ybˇerové ˇsikmosti a v´ ybˇerové ˇspiˇcatosti viz [5]) a dále pak spoˇc´ıtat tyto základn´ı charakteristiky souboru: rozsah souboru, aritmetick´ y pr˚ umˇer, momentov´ y rozptyl, momentová odchylka, v´ ybˇerov´ y rozptyl, v´ ybˇerová odchylka, koeficient ˇsikmosti a koeficient ˇspiˇcatosti (viz [5]). Ilustruj´ıc´ı ukázka je uvedena na obrázku 6.9.

6.2.2

Srovn´ an´ı souboru s pˇ redpokladem

V této sekci se provád´ı srovnán´ı hodnot s pˇredpokladem pomoc´ı parametrick´ ych test˚ u a test˚ u pro vyhodnocen´ı nomináln´ıho znaku. Testy pro nomináln´ı znak se provádˇej´ı analogicky jako pˇri vyhodnocován´ı jedné otázky v jednom v´ ybˇeru u stupnicov´ ych metod (5.3.1). Vyuˇzit´ım parametrick´ ych test˚ u m˚ uˇze uˇzivatel srovnat jak rozptyl (test χ2 pro rozptyl souboru viz [10]), tak stˇredn´ı hodnotu souboru s pˇredpokládanou konstantou (ttest pˇri známém rozptylu viz [10]). Na obrázku 6.10 je uveden pˇr´ıklad srovnán´ı stˇredn´ı hodnoty s pˇredpokladem.

6.2.3

Srovn´ an´ı dvou nez´ avisl´ ych soubor˚ u

Dva nezávislé soubory se srovnávaj´ı pomoc´ı parametrick´ ych metod, a to porovnán´ım bud’ jejich rozptyl˚ u (F -test [10]), nebo jejich stˇredn´ıch hodnot (pˇr´ıklad uveden na obrázku 6.12). Pˇred hodnocen´ım stˇredn´ıch hodnot soubor˚ u je zapotˇreb´ı zvolit pˇredpoklad heteroskedasticity, nebo homoskedasticity, dle tohoto poˇzadavku se pak zvol´ı pˇr´ısluˇsn´ y test (dvouv´ ybˇerové t-testy viz [10]). Je moˇzno také vyuˇz´ıt funkce Ovˇeˇrit shodnost rozptyl˚ u. Dle jej´ıho v´ ysledku se pˇredpoklad automaticky nastav´ı (ilustrováno na obrázku 6.11).

62

Obr. 6.9: Ukázka základn´ıho zpracován´ı dat

Obr. 6.10: Ukázka srovnán´ı souboru s pˇredpokladem

63

Obr. 6.11: Ukázka srovnán´ı dvou nezávisl´ ych soubor˚ u - ovˇeˇren´ı homoskedasticity

Obr. 6.12: Ukázka srovnán´ı dvou nezávisl´ ych soubor˚ u - srovnán´ı stˇredn´ıch hodnot

6.2.4

Srovn´ an´ı dvou z´ avisl´ ych soubor˚ u

Tato sekce vyuˇz´ıvá opˇet parametrické metody. Spoˇc´ıvá v porovnán´ı souboru zadan´ ych diferenc´ı s pˇredpokládanou nulovou stˇredn´ı hodnotou (t-test pˇri známém rozptylu [10]). Ukázku lze vidˇet na obrázku 6.13. 64

Obr. 6.13: Ukázka srovnán´ı dvou závisl´ ych soubor˚ u

65

66

7

Pˇ r´ıklad senzorick´ eho experimentu

Byl proveden senzorick´ y experiment, kdy byly 19 laick´ ym hodnotitel˚ um pˇredloˇzeny dotazn´ıky (viz pˇr´ıloha P1) a zakódované vzorky Eidamské cihly s 30% tuku v suˇsinˇe s r˚ uznou dobou zralosti: • vzorek A zral´ y 3 mˇes´ıce, • vzorek B zral´ y 4 t´ ydny, • vzorek C zral´ y 6 mˇes´ıc˚ u, • vzorek D zral´ y 5 t´ ydn˚ u, • vzorek E zral´ y 2 t´ ydny. C´ılem bylo zjistit, zda je bˇeˇzn´ y spotˇrebitel schopen rozeznat rozd´ıly mezi r˚ uznˇe zral´ ymi s´ yry a zda preferuje produkt s optimáln´ı zralost´ı, coˇz je doba 2 aˇz 3 mˇes´ıce. V´ ysledky experimentu byly zpracovány pomoc´ı softwaru SMSA (viz kapitola 6).

7.1


Nejprve byla zaˇrazena párová porovnávac´ı zkouˇska, kdy hodnotitelé odpov´ıdali na tyto otázky: 1. Kter´ y ze vzork˚ u A a C preferujete? 2. Kter´ y ze vzork˚ u A a E preferujete? 3. Kter´ y ze vzork˚ u C a E preferujete? Data (tj. ˇcetnosti) z´ıskaná t´ımto experimentem jsou uvedena v tabulce 7.1. Na základˇe anal´ yzy silofunkc´ı byl pro test hypotézy H0 : v´ yrobky se neliˇs´ı, proti alternativˇe H1 : existuj´ı rozd´ıly mezi v´ yrobky v preferenc´ıch, na hladinˇe α = 0, 05 vybrán jako vhodn´ y test U1 . Tabulka 7.1: Z´ıskané ˇcetnosti pro párovou porovnávac´ı zkouˇsku Vzorek Otázka A C E 1. 14 5 2. 13 - 6 3. - 12 7

67

Pˇri 1. otázce se vyslovilo 14 hodnotitel˚ u z 19 pro vzorek A. Vypoˇctená testovac´ı statistika je U1 = 2, 151. Protoˇze |U1 | > u0,975 = 1, 96, mezi vzorky existuj´ı na dané hladinˇe v´ yznamnosti statisticky v´ yznamné rozd´ıly. Pˇri jednostranné zkouˇsce vyˇslo, ˇze U1 = 2, 151 > u0,95 = 1, 645, tedy vzorek A je preferovanˇejˇs´ı neˇz vzorek C. Na otázku 2. odpovˇedˇelo 13 hodnotitel˚ u z 19 ve prospˇech vzorku A. V´ ysledkem je yrobky se v´ yznamnˇe neliˇs´ı na pˇredepsané hladinˇe |U1 | = 1, 645 < u0,975 = 1, 96, tedy v´ v´ yznamnosti. Pˇri otázce 3. vybralo 12 hodnotitel˚ u z 19 jako preferovanˇejˇs´ı vzorek C. Dle v´ ysledku |U1 | = 1, 442 < u0,975 = 1, 96 je zˇrejmé, ˇze se v´ yrobky v´ yznamnˇe na dané hladinˇe neliˇs´ı.

7.2

Poˇ radov´ a zkouˇ ska

Dalˇs´ım u ´kolem v rámci experimentu byla poˇradová zkouˇska preferenc´ı. Hodnotitelé mˇeli seˇradit vzorky do posloupnosti od nejpreferovanˇejˇs´ıho (poˇradové ˇc´ıslo 1) aˇz po nejménˇe preferovan´ y (poˇradové ˇc´ıslo 5). V´ ysledky hodnotitel˚ u jsou uvedeny v tabulce 7.2. Na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 yry v pˇeti stupn´ıch prozrálosti jsou v˚ uˇci sobˇe stejnˇe preferse testovala hypotéza H0 : s´ ované, proti alternativˇe H1 : mezi srovnávan´ ymi s´ yry je alespoˇ n jeden, kter´ y se v preferenc´ıch liˇs´ı od jiného ˇci jin´ ych. Zkouˇska byla vyhodnocena Friedmanov´ ym testem s Pearsonovou aproximac´ı. Testovac´ı statistika vyˇsla F R = 7, 916, kritická hodnota χ20,95 (4) = 9, 488. Protoˇze F R < χ20,95 (4), nebyla s 95% spolehlivost´ı dokázána existence statisticky v´ yznamn´ ych rozd´ıl˚ u mezi preferencemi jednotliv´ ych vzork˚ u.

7.3

Hodnocen´ı s pouˇ zit´ım ordin´ aln´ıch stupnic

Nakonec dostali hodnotitelé za u ´kol posoudit vzhled a barvu vzork˚ u a jejich chut’ a v˚ uni dle pˇredloˇzen´ ych pˇetibodov´ ych stupnic. Pouˇzité stupnice byly specifikovány pˇr´ımo v dotazn´ıku (pˇr´ıloha P1). V´ ysledné ˇcetnosti zastoupen´ı vzork˚ u v jednotliv´ ych kategori´ıch pˇri hodnocen´ı vzhledu a barvy jsou uvedeny v tabulce 7.3. Na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 se formulovala hypotéza H0 : s´ yry v pˇeti stupn´ıch prozrálosti maj´ı stejn´ y vzhled a barvu, proti alterymi s´ yry je alespoˇ n jeden, kter´ y se ve vzhledu a barvˇe liˇs´ı nativˇe H1 : mezi srovnávan´ od jiného ˇci jin´ ych. Data byla zpracována Kruskalov´ ym-Wallisov´ ym testem na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 pomoc´ı programu SMSA, konkrétnˇe vyuˇzit´ım funkce Srovnán´ı tˇr´ı a v´ıce nezávisl´ ych v´ ybˇer˚ u. Spoˇctené testovac´ı kritérium QKW = 7, 125 je menˇs´ı neˇz kri2 tická hodnota χ0,95 (4) = 9, 488, a proto s 95% spolehlivost´ı nebyl shledán mezi vzorky statisticky v´ yznamn´ y rozd´ıl ve vzhledu a barvˇe. ˇ Cetnosti kategori´ı pro hodnocen´ı chutˇe a v˚ unˇe vzork˚ u jsou uvedeny v tabulce 7.4. yry v pˇeti stupn´ıch Test byl na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 formulován jako H0 : s´ ymi s´ yry je alespoˇ n jeden, prozrálosti maj´ı stejnou chut’ a v˚ uni, H1 : mezi srovnávan´ kter´ y se v chuti a v˚ uni liˇs´ı od jiného ˇci jin´ ych. Tato zkouˇska se vyhodnotila stejn´ ym 68

Tabulka 7.2: Z´ıskaná poˇrad´ı pro poˇradovou zkouˇsku Hodnotitel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Vzorek A B C D 2 3 5 1 4 2 5 1 4 2 5 3 4 2 5 1 4 2 5 1 4 2 5 3 2 3 4 1 2 3 1 4 3 4 1 2 2 3 1 4 2 4 1 3 1 3 4 5 1 4 2 5 1 4 2 3 3 1 4 2 1 5 2 3 3 2 4 1 1 4 2 3 2 3 5 4

E 4 3 1 3 3 1 5 5 5 5 5 2 3 5 5 4 5 5 1

Tabulka 7.3: Z´ıskané ˇcetnosti kategori´ı pro stupnicovou zkouˇsku - vzhled a barva Vzorek A B C D E

Kategorie 1. 2. 3. 4. 5. 4 9 5 1 0 2 8 5 4 0 5 3 4 4 3 4 6 7 2 0 2 3 8 5 1

zp˚ usobem jako pˇredeˇslá. Bylo vypoˇcteno testovac´ı kritérium QKW = 10, 772, coˇz je ménˇe yrobky tedy s 95% spolehlivost´ı existuje statisticky v´ yznamn´ y neˇz χ20,95 (4) = 9, 488. Mezi v´ rozd´ıl. Dle hodnoty kritéria pro párové porovnáván´ı, které vyˇslo rovno 463, 6, byly urˇceny jako v´ yznamnˇe statisticky rozd´ılné v chuti a v˚ uni vzorky A a E.

69

Tabulka 7.4: Z´ıskané ˇcetnosti kategori´ı pro stupnicovou zkouˇsku - chut’ a v˚ unˇe Vzorek A B C D E

7.4

Kategorie 1. 2. 3. 4. 7 8 3 1 3 8 7 1 4 3 6 4 3 7 6 3 3 4 4 6

5. 0 0 2 0 2

Shrnut´ı v´ ysledk˚ u senzorick´ eho experimentu

Z v´ ysledk˚ u párové porovnávac´ı zkouˇsky plyne závˇer, ˇze spotˇrebitelé dávaj´ı pˇrednost s´ yru zralému 3 mˇes´ıce (vzorek A) pˇred s´ yrem zral´ ym 6 mˇes´ıc˚ u (vzorek C), tj. vol´ı sp´ıˇse s´ yr s optimáln´ı zralost´ı neˇz s´ yr pˇrezrál´ y. Rozd´ıly v preferenc´ıch mezi vzorky s´ yru s optimáln´ı zralost´ı (vzorek A) a s´ yrem nezral´ ym (vzorek E) a mezi vzorky s´ yru pˇrezrálého (vzorek C) a nezralého (vzorek E) nejsou statisticky v´ yznamné. Bˇehem poˇradové zkouˇsky, kdy hodnotitelé pˇriˇrazovali preference vˇsem vzork˚ um najednou, se ˇzádné statisticky v´ yznamné rozd´ıly mezi s´ yry s r˚ uznou dobou zrán´ı neprokázaly, a to ani v pˇr´ıpadˇe vzork˚ u A a C. Pˇri hodnocen´ı pomoc´ı stupnic se ukázalo, ˇze r˚ uzn´ y stupeˇ n prozrálosti pr˚ ukaznˇe neovlivnil vzhled a barvu jednotliv´ ych s´ yr˚ u. Ovˇsem s 95% spolehlivost´ı doˇslo k ovlivnˇen´ı u chuti a v˚ unˇe. V´ yznamné rozd´ıly se prokázaly u vzork˚ u A a E, konkrétnˇe chut’ a v˚ unˇe s´ yru s optimáln´ı zralost´ı byla hodnocena jako lepˇs´ı neˇz s´ yru nezralého. Celkov´ y závˇer tohoto senzorického experimentu je pozitivn´ı. Laick´ y spotˇrebitel dle srovnán´ı chut´ı a v˚ un´ı preferuje vzorek s optimáln´ı prozrálost´ı nad nezral´ ym vzorkem a zároveˇ n, rozhoduje-li se obecnˇe mezi s´ yrem s optimáln´ı dobou zrán´ı a pˇrezrál´ ym s´ yrem, vol´ı opˇet s´ yr optimálnˇe prozrál´ y. D˚ uvod, ˇze se bˇehem poˇradové zkouˇsky rozd´ıly mezi tˇemito vzorky nepotvrdily, m˚ uˇze spoˇc´ıvat v celkové nároˇcnosti této zkouˇsky na posuzovatele, zejména pak nároky na senzorickou pamˇet’. Tento experiment provedli pouze krátce zaˇskolen´ı hodnotitelé, pˇriˇcemˇz nebyl dodrˇzen jejich minimáln´ı poˇcet doporuˇcovan´ y v [11] pro poˇradovou zkouˇsku.

70

Z´ avˇ er Vˇsechny pˇredem vytyˇcené c´ıle byly v této diplomové práci splnˇeny. Bylo vybráno pˇet r˚ uzn´ ych test˚ u o parametru π binomického rozdˇelen´ı vhodn´ ych k vyhodnocován´ı dat z´ıskan´ ych pˇri senzorick´ ych zkouˇskách. Pozornost byla zamˇeˇrena na rozliˇsovac´ı zkouˇsky senzorické anal´ yzy. Byly odvozeny jednotlivé testovac´ı statistiky. Dále byly analyticky odvozeny pˇr´ısluˇsné silofunkce v pˇresn´ ych i aproximovan´ ych tvarech. Následnˇe byly v MATLABu naprogramovány fukce vykresluj´ıc´ı pr˚ ubˇeh silofunkc´ı z´ıskan´ ych aproximac´ı. Pomoc´ı MATLABu byly také naprogramovány simulace test˚ u na náhodnˇe generovan´ ych v´ ybˇerech z binomického rozdˇelen´ı, jejichˇz v´ ystupem jsou opˇet grafy silofunkc´ı a pˇr´ısluˇsné hodnoty. Na základˇe v´ ysledk˚ u tˇechto implementac´ı bylo provedeno srovnán´ı jednotliv´ ych test˚ u pro r˚ uzné volby parametr˚ u. Zejména se podaˇrilo zjistit, ˇze pro urˇcité hodnoty parametr˚ u jsou nˇekteré z test˚ u naprosto nevhodné. Jedná se hlavnˇe o testován´ı pˇri malém rozsahu v´ ybˇeru, kdy silofunkce nˇekter´ ych test˚ u maj´ı anomáln´ı pr˚ ubˇehy. Dále byly u vybran´ ych test˚ u odvozeny analytické vztahy pro v´ ypoˇcet minimáln´ıho rozsahu v´ ybˇeru pˇri pˇredem zadané alternativˇe a poˇzadované s´ıle testu. Také byla popsána grafická metoda pro zjiˇst’ován´ı minimáln´ıho rozsahu. V´ yznamn´ ym pˇr´ınosem této diplomové práce je téˇz vytvoˇren´ı uˇzivatelské aplikace nazvané SMSA (Statistické metody v senzorické anal´ yze). Tento software slouˇz´ı k vyhodnocován´ı vˇsech popsan´ ych typ˚ u senzorick´ ych zkouˇsek. Jsou v nˇem také zaˇclenˇeny funkce Anal´ yza silofunkc´ı a Volba minimáln´ıho rozsahu v´ ybˇeru slouˇz´ıc´ı k optimáln´ımu návrhu experimentu a jeho vyhodnocen´ı. Souˇcást´ı vyhodnocovac´ıho programu je i sekce pro základn´ı anal´ yzu jednorozmˇern´ ych dat. V rámci praktické aplikace teoretick´ ych znalost´ı byl se skupinou hodnotitel˚ u proveden senzorick´ y experiment, jehoˇz u ´kolem bylo zkoumán´ı rozd´ıl˚ u mezi vzorky s´ yr˚ u s r˚ uzn´ ymi stupni prozrálosti. Data z´ıskaná t´ımto experimentem byla vyhodnocena pomoc´ı softwaru SMSA, ˇc´ımˇz byla ovˇeˇrena jeho praktická vyuˇzitelnost.

71

72

Literatura [1] AGRESTI, A.: Analysis of ordinal categorical data. New York: J.Wiley, 1984. [2] AGRESTI, A.: Categorical data analysis. New York: J.Wiley, 1990. ˇ J.: Matematick´ [3] ANDEL, a statistika. Praha: SNTL, 1978. ˇ J.: Statistické metody. Praha: Matfyzpress, 1993. [4] ANDEL, ˇ J.: Z´ [5] ANDEL, aklady matematické statistiky. Praha: Matfyzpress, 2005. [6] ANSCOMBE, F. J.: The transformation of Poisson, binomial and negatice binomial data. Biometrics 35, 1948. [7] FLEISS, J. L.: Statistical methods for rates and proportions. New York: John Wiley & Sons, 1981. ´ ˇ AK, ´ Z.: Theory of rank tests. Praha: Academia, 1967. [8] HAJEK, J., SID ´ ˇ J.: Základy poˇctu pravdˇepodobnosti a matematické statistiky. [9] HATLE, J., LIKES, Praha: SNTL, 1972. [10] KANJI, G. K.: 100 Statistics tests. London: Sage Publications, 2007. ˇ ÍZ, ˇ O., BUNKA, ˇ ˇ J.: Senzorická analýza potravin II. - Statistické [11] KR F., HRABE, metody. Univerzita Tomáˇse Bati ve Zl´ınˇe, 2007. [12] LEHMANN, E. L.: Testing statistical hypotheses. New York: Springer Verlag, 1997. ˇ J., MACHEK, J.: Matematická statistika. Praha: SNTL, 1983. [13] LIKES, ˇ J., LAGA, J.: Základn´ı statistické tabulky. Praha: SNTL, 1978. [14] LIKES, ´ [15] MICHALEK, J.: Biometrika. Praha: SPN, 1982. [16] SPRENT, P.: Applied nonparametric statistical methods. New York: Chapman and Hall, 1989.

73

74

Seznam z´ akladn´ıch pouˇ zit´ ych zkratek a symbol˚ u Ω

prostor elementárn´ıch jev˚ u

A

systém jev˚ u definovan´ ych na Ω

A

jev

(Ω, A)

jevové pole

P (A)

pravdˇepodobnost jevu A

(Ω, A, P )

pravdˇepodobnostn´ı prostor

X, Y

náhodná veliˇcina

x, y

realizace náhodné veliˇciny

F (x)

distribuˇcn´ı funkce náhodné veliˇciny X

p (x)

pravdˇepodobnostn´ı funkce náhodné veliˇciny X

EX

stˇredn´ı hodnota náhodné veliˇciny X

DX

rozptyl náhodné veliˇciny X

Bi(n, π)

binomické rozdˇelen´ı

A(π)

alternativn´ı rozdˇelen´ı

Be(p, q)

beta rozdˇelen´ı

B(p, q)

beta funkce

F (ν1 , ν2 )

Fisherovo-Snedecorovo rozdˇelen´ı F

Fν1 , ν2 (x)

distribuˇcn´ı funkce rozdˇelen´ı F

Fα (ν1 , ν2 )

α-kvantil rozdˇelen´ı F

ν1 , ν2

stupnˇe volnosti rozdˇelen´ı F

N (0, 1)

normované normáln´ı rozdˇelen´ı

Φ(x)

distribuˇcn´ı funkce normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı

α

hladina v´ yznamnosti

uα

α-kvantil normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı

g(x)

transformaˇcn´ı funkce 75

X

náhodn´ y v´ ybˇer

θ

parametr

Θ

parametrick´ y prostor

Wα

kritick´ y obor

kα

kritická hodnota

β

pravdˇepodobnost chyby II. druhu

βα (θ)

silofunkce testu

hπD , πH i

interval spolehlivosti pro parametr π

⌊x⌋

nejbliˇzˇs´ı niˇzˇs´ı celé ˇc´ıslo k ˇc´ıslu x

⌈x⌉

nejbliˇzˇs´ı vyˇsˇs´ı celé ˇc´ıslo k ˇc´ıslu x

n

rozsah v´ ybˇeru

π

parametr binomického rozdˇelen´ı

π0

parametr binomického rozdˇelen´ı dan´ y nulovou hypotézou

π1

parametr binomického rozdˇelen´ı dan´ y alternativou

δ

rozd´ıl parametr˚ u π1 − π0

F-test

pˇresn´ y test o parametru binomického rozdˇelen´ı

U, U ∗ , U1 , U2

testovac´ı statistiky pro hypotézy o parametru π binomického rozdˇelen´ı

FR

testovac´ı statistika Friedmanova testu

uW

testovac´ı statistika Wilcoxonova testu

QK W

testovac´ı statistika Kruskalova-Wallisova testu

χ2α (R − 1)

kvantily Pearsonova χ2 rozdˇelen´ı s R − 1 stupni volnosti

≈

pˇribliˇzná rovnost

76

Seznam pˇ r´ıloh P1

Hodnotitelské schéma pro Eidamskou cihlu s 30% tuku v suˇsinˇe

P2

Programy pro vykreslován´ı teoretick´ ych a simulovan´ ych silofunkc´ı a pro v´ ypoˇcet minimáln´ıho rozsahu v MATLABu

P3

CD obsahuj´ıc´ı program SMSA.exe, sloˇzku Silofunkce s pˇr´ısluˇsn´ ymi programy v MATLABu a elektronickou podobu diplomové práce.

77

Pˇ r´ıloha P1 Hodnotitelsk´ e sch´ ema pro Eidamskou cihlu s 30% tuku v suˇ sinˇ e ˇ Cas:

Datum:

´ Ukol 1 - P´ arov´ a porovn´ avac´ı zkouˇ ska Vzorky A a C Vzorky A a E Vzorky C a E

Kter´ y z pˇredloˇzen´ ych vzork˚ u preferujete? Kter´ y z pˇredloˇzen´ ych vzork˚ u preferujete? Kter´ y z pˇredloˇzen´ ych vzork˚ u preferujete?

......... ......... .........

´ Ukol 2 - Poˇ radov´ a zkouˇ ska Seˇrad’te pˇredloˇzené vzorky podle sv´ ych preferenc´ı (1 - vzorek nejpreferovanˇejˇs´ı, 5 - vzorek s nejmenˇs´ı preferenc´ı). Vzorek Poˇrad´ı

A

B

C

D

E

´ Ukol 3 - Hodnocen´ı s pouˇ zit´ım ordin´ aln´ıch stupnic Vzhled a barva 1. Vynikaj´ıc´ı - povrch s´ yra such´ y, hladk´ y, vzhled a tvar s´ yra bez vlis˚ u, nerovnost´ı, barva s´ yrového tˇesta smetanová, homogenn´ı na celém ˇrezu. 2. V´ yborn´ a - povrch s´ yra such´ y, pˇr´ıp. jemnˇe vlhˇc´ı, neporuˇsen´ y, hladk´ y s nepatrn´ ymi nerovnostmi (vlisy), tvar s´ yra pravideln´ y, barva s´ yrového tˇesta homogenn´ı v celé hmotˇe s odst´ınem smetanov´ ym aˇz ˇzlut´ ym. 3. Dobr´ a - povrch s´ yra such´ y, pˇr´ıp. jemnˇe zmrazovatˇel´ y (vlhˇc´ı) na povrchu v d˚ usledku vypoceného tuku, resp. vlhkosti, ˇcir´ y, vzhled s´ yra pravideln´ y, pˇripouˇst´ı se menˇs´ı poˇcet patrn´ ych vlis˚ u na povrchu, m´ırné odchylky od homogenn´ı smetanové, resp. naˇzlourlé barvy u tˇesta jsou pˇr´ıpustné. 4. M´ enˇ e dobr´ a - povrch s´ yra vlhk´ y aˇz mazlav´ y, na povrchu omezen´ y v´ yskyt diz´ıch barevn´ ych skvrn a odst´ın˚ u (skvrnitost), silnˇejˇs´ı vlisy na povrchu, m´ırné deformace tvaru s´ yra, barva s´ yra mramorovitá, nehomogenn´ı, soln´ y prstenes pod povrchem. Barva tˇesta nepˇrirozenˇe b´ılá. 5. Nevyhovuj´ıc´ı - povrch a tvar s´ yra deformovan´ y, nepravideln´ y, povrch silnˇe naruˇsen´ y, barva s´ yra netypická s ciz´ımi odst´ıny napˇr. po pl´ısni. Barva s´ yrového tˇesta nehomogenná, b´ılé neprozrálé tˇesto, v tˇestˇe silná mramorovitost, ciz´ı barevné odst´ıny, hnilobná hn´ızda. I

Chut’ a v˚ unˇe 1. Vynikaj´ıc´ı - chut’ ˇcistá, typická pro eidamské s´ yry, jemnˇe mléˇcnˇe nakyslá, nebo nasládlá, v´ yrazná a plná v d˚ usledku hlubokého prozrán´ı s´ yra, harmonicvká. V˚ unˇe charakteristická, ˇcistá bez jak´ ychkoliv ciz´ıch pach˚ u. 2. V´ yborn´ a - chut’ ˇcistá, harmonická, mléˇcnˇe nakyslá, nebo slabˇe hoˇrko mandlová, stále v´ yrazná a typická v d˚ usledku odpov´ıdaj´ıc´ıho prozrán´ı s´ yra. V˚ unˇe stále ˇcistá a harmonická. 3. Dobr´ a - chut’ a v˚ unˇe ˇcistá, mléˇcná, typická pro eidamské s´ yry, m´ırné odchylky v harmonii a v´ yraznosti jsou pˇr´ıpustné, napˇr. hoˇrko mandlová, m´ırnˇe slanˇejˇs´ı nebo kyselejˇs´ı. 4. M´ enˇ e dobr´ a - Chut’ neharmonická, ale jeˇstˇe pˇrijatelná. V´ yraznˇeji pˇrevládá nˇekter´ y z hodnocen´ ych deskriptor˚ u (d´ılˇc´ıch vlastnost´ı) v˚ unˇe a chuti, tj. kyselost, hoˇrkost, ciz´ı pˇr´ıchut’, slanost apod. Ve v˚ uni v´ yraznˇejˇs´ı, ale jeˇstˇe pˇrijatelné ciz´ı pachy (neˇcistá, netypická, ciz´ı, sladová, naˇzluklá, nasládlá po duˇren´ı). 5. Nevyhovuj´ıc´ı - hoˇrká, pálivá, ostˇre kyselá, zatuchlá, plesnivá, ˇzluklá, hnilobná, nepˇrijatelná ciz´ı chut’ po chemikálii. Ve v˚ uni v´ yrazné nepˇrijatelné ciz´ı pachy, po chemikálii, hnilobná, zatuchlá, ˇzluklá apod. Pˇriˇrad’te z v´ yˇse prezentovan´ ych ordináln´ıch stupnic jednotliv´ ym s´ yr˚ um stupeˇ n (kategorii), ’ která dle Vaˇseho názoru nejlépe odpov´ıdá skuteˇcnosti (do tabulky uved te ˇc´ıslo kategorie).

Vzorek A B C D E

Senzorick´ y znak Vzhled a barva Chut’ a v˚ unˇe

II

Pˇ r´ıloha P2 1

Programy pro vykreslov´ an´ı teoretick´ ych silofunkc´ı v MATLABu

Funkce silaF, silaU, silaUstar, silaU1 a silaU2 se vstupn´ımi parametry α, n, π0 vykresluj´ı teoretick´ y pr˚ ubˇeh a vypisuj´ı spoˇc´ıtané hodnoty (dle aproximovan´ ych vztah˚ u) ∗ silofunkc´ı pro F-test, U -test, U -test, U1 -test a U2 -test. Parametr π se zvyˇsuje s krokem k. Vykreslován´ı je nyn´ı zakomentováno kv˚ uli dalˇs´ımu vyuˇzit´ı tˇechto funkc´ı pˇri srovnáván´ı pomoc´ı dále uvedené funkce comAllT. Silofunkce F-testu: function [sila] = silaF(alpha,n,Pi0) Pi = 0; k = 0.01; m =100; sila = zeros(1,m); sila1 = zeros(1,m); sila2 = zeros(1,m); osa = zeros(1,m); c1 = binoinv((alpha/2),n,Pi0)-1; if (c1<0) c1 = 0; end; c2 = binoinv((1-alpha/2),n,Pi0)+1; if (c2>n) c2 = n; end; for i = 1:m for t = c2:n sila1(1,i) = sila1(1,i) + (factorial(n)/(factorial(t)*factorial(n-t)))*Pi∧t*(1-Pi)∧(n-t); end for t = 0:c1 sila2(1,i) = sila2(1,i) + (factorial(n)/(factorial(t)*factorial(n-t)))*Pi∧t*(1-Pi)∧(n-t); end sila(1,i)=sila1(1,i)+sila2(1,i); osa(1,i)=Pi; Pi = Pi+k; end % plot(osa,sila,′ r′ ); % hold % xlabel(′ \pi′ ); % ylabel(′ \beta(\pi)′ );

I

Silofunkce U -testu: function [sila] = silaU(Pi0,n,alpha) Pi = 0; k = 0.01; m = 100; sila = zeros(1,m); osa = zeros(1,m); u = norminv(alpha/2,0,1);% kvantil normovan´ eho norm´ aln´ ıho rozdˇ elen´ ı for i = 1:m X1 = sqrt(n)*((Pi-Pi0)/sqrt(Pi*(1-Pi)))+u*sqrt((Pi0*(1-Pi0))/(Pi*(1-Pi))); X2 = sqrt(n)*((Pi0-Pi)/sqrt(Pi*(1-Pi)))+u*sqrt((Pi0*(1-Pi0))/(Pi*(1-Pi))); sila(1,i) = normcdf(X1,0,1)+normcdf(X2,0,1); osa(1,i) = Pi; Pi = Pi+k; end; % plot(osa,sila,′ r′ ); % hold % xlabel(′ \pi′ ); % ylabel(′ \beta(\pi)′ );

Silofunkce U ∗ -testu: function [sila] = silaUstar(Pi0,n,alpha) Pi = 0; k = 0.01; m = 100; sila = zeros(1,m); osa = zeros(1,m); u = norminv(alpha/2,0,1); for i = 1:m X1 = (n*Pi-n*Pi0-0.5)/sqrt(n*Pi*(1-Pi))+u*sqrt((Pi0*(1-Pi0))/(Pi*(1-Pi))); X2 = (n*Pi0-n*Pi-0.5)/sqrt(n*Pi*(1-Pi))+u*sqrt((Pi0*(1-Pi0))/(Pi*(1-Pi))); sila(1,i) = normcdf(X1,0,1)+normcdf(X2,0,1); osa(1,i) = Pi; Pi = Pi+k; end; % plot(osa,sila,′ r′ ); % hold % xlabel(′ \pi′ ); % ylabel(′ \beta(\pi)′ );

Silofunkce U1 -testu: function [sila] = silaU1(alpha,n,Pi0) Pi = 0; k = 0.01; m = 100; sila = zeros(1,m); osa = zeros(1,m); u = norminv(alpha/2,0,1); II

for i = 1:m X1 = 2*sqrt(n)*(asin(sqrt(Pi))-asin(sqrt(Pi0)))+u; X2 = 2*sqrt(n)*(asin(sqrt(Pi0))-asin(sqrt(Pi)))+u; sila(1,i) = normcdf(X1,0,1)+normcdf(X2,0,1); osa(1,i) = Pi; Pi = Pi+k; end; % plot(osa,sila,′ r′ ); % hold % xlabel(′ \pi′ ); % ylabel(′ \beta(\pi)′ );

Silofunkce U2 -testu: function [sila] = silaU2(alpha,n,Pi0) Pi = 0; k = 0.01; m = 100; sila = zeros(1,m); osa = zeros(1,m); u = norminv(alpha/2,0,1); for i = 1:m X1 = sqrt(4*n+2)*(asin(sqrt((Pi+3/(8*n))/(1+3/(4*n)))) -asin(sqrt((Pi0+3/(8*n))/(1+3/(4*n)))))+u; X2 = sqrt(4*n+2)*(asin(sqrt((Pi0+3/(8*n))/(1+3/(4*n)))) -asin(sqrt((Pi+3/(8*n))/(1+3/(4*n)))))+u; sila(1,i) = normcdf(X1,0,1)+normcdf(X2,0,1); osa(1,i) = Pi; Pi = Pi+k; end; % plot(osa,sila,′ r′ ); % hold % xlabel(′ \pi′ ); % ylabel(′ \beta(\pi)′ );

Srovn´ an´ı teoretick´ ych silofunkc´ı vˇ sech pˇ eti test˚ u: function [betaF,betaN,betaNs,betaU1,betaU2] = comAllT(alpha,Pi0,n) Pi = 0; k=0.01; m = 100; delta = zeros(1,m); for i = 1:m delta(1,i) = Pi-Pi0; Pi = Pi+k; end; betaF = silaF(alpha,n,Pi0); betaN = silaU(Pi0,n,alpha); betaNs = silaUstar(Pi0,n,alpha); betaU1 = silaU1(alpha,n,Pi0); III

betaU2 = silaU2(alpha,n,Pi0); plot(delta,betaF,′ g′ ); hold plot(delta,betaN,′ r′ ); plot(delta,betaNs,′ b′ ); plot(delta,betaU1,′ y′ ); plot(delta,betaU2,′ m′ ); legend(′ F-test′ ,′ U-test′ ,′ U*-test′ ,′ U 1-test′ ,′ U 2-test′ ,7); set(gca,′ XTick′ ,delta(1,1):0.1:delta(1,m)); title([′ H 0 : \pi = \pi 0 = ′ ,num2str(Pi0),′ , H 1 : \pi \neq \pi 0, \alpha = ′ ,num2str(alpha),′ , n = ′ ,num2str(n)]); xlabel(′ \delta =\pi - \pi 0′ ); ylabel(′ \beta(\delta )′ );

2

Programy pro simulace test˚ u v MATLABu

Funkce testF, testU, testUstar, testU1 a testU2 maj´ı vstupn´ı parametry Y , N , α, n, π0 , kde Y je náhodn´ y v´ ybˇer a N je celkov´ y poˇcet opakován´ı simulace. Tyto funkce provádˇej´ı jednotlivé simulované testy a vrac´ı hodnoty silofunkce (v´ ystupn´ı promˇenná beta). Funkce comAllS pak na základˇe tˇechto hodnot vykresluje simulované silofunkce vˇsech pˇeti test˚ u do jednoho obrázku pro zadané α, n a π0 . Simulace F-testu: function beta = testF(Y,n,Pi0,N,alpha) D = zeros(1,N); H = zeros(1,N); Y = Y′ ; F1 = finv(1-alpha/2,2.*(n-Y+1),2.*Y); F2 = finv(1-alpha/2,2.*(Y+1),2.*(n-Y)); for i = 1:N if (Y(1,i) == 0) D(1,i) = 0; else D(1,i) = Y(1,i)./(Y(1,i)+(n-Y(1,i)+1).*F1(1,i)); end; if (Y(1,i) == n) H(1,i) = 1; else H(1,i) = ((Y(1,i)+1).*F2(1,i))./(n-Y(1,i)+(Y(1,i)+1).*F2(1,i)); end; end; s1 = length(find(Pi0H)); M = s1+s2; beta = M/N ; IV

Simulace U -testu: function beta = testU(Y,u,n,Pi0,N) U = (Y-n*Pi0)./sqrt(n*Pi0*(1-Pi0)); absU = abs(U); M = length(find(absU>=u)); beta = M/N; Simulace U ∗ -testu: function beta = testUstar(Y,u,n,Pi0,N) U = (abs(Y-n*Pi0)-0.5)./sqrt(n*Pi0*(1-Pi0)); M = length(find(U>=u)); beta = M/N; Simulace U1 -testu: function beta = testU1(Y,u,n,Pi0,N) U = 2.*sqrt(n).*(asin(sqrt(Y./(n)))-asin(sqrt(Pi0))); absU = abs(U); M = length(find(absU>=u)); beta = M/N; Simulace U2 -testu: function beta = testU2(Y,u,n,Pi0,N) U =sqrt(4*n+2)*(asin(sqrt((8*Y+3)/(8*n+6)))-asin(sqrt((8*n*Pi0+3)/(8*n+6)))) absU = abs(U); M = length(find(absU>=u)) beta = M/N Srovn´ an´ı simulovan´ ych silofunkc´ı vˇ sech pˇ eti test˚ u: function [betaF,betaN,betaNs,betaU1,betaU2] = comAllS(alpha,Pi0,n) Pi = 0; k=0.01; m = 101; N = 1000; betaF = zeros(1,m); betaN = zeros(1,m); betaNs = zeros(1,m); betaU1 = zeros(1,m); betaU2 = zeros(1,m); delta = zeros(1,m); u = norminv(1-alpha/2,0,1); for i = 1:m Y = binornd(n,Pi,N,1); betaF(1,i) = testF(Y,n,Pi0,N,alpha); betaN(1,i) = testU(Y,u,n,Pi0,N); V

betaNs(1,i) = testUstar(Y,u,n,Pi0,N); betaU1(1,i) = testU1(Y,u,n,Pi0,N); betaU2(1,i) = testU2(Y,u,n,Pi0,N); delta(1,i) = Pi-Pi0; Pi = Pi+0.01; end; plot(delta,betaF,′ r′ ); hold plot(delta,betaN,′ g′ ); plot(delta,betaNs,′ b′ ); plot(delta,betaU1,′ m′ ); plot(delta,betaU2,′ y′ ); legend(′ F-test′ ,′ U-test′ ,′ U*-test′ ,′ U 1-test′ ,′ U 2-test′ ,7); title([′ H 0 : \pi = \pi 0 = ′ ,num2str(Pi0),′ , H 1 : \pi \neq \pi 0, \alpha = ′ ,num2str(alpha),′ , n = ′ ,num2str(n)]); xlabel(′ \delta = \pi - \pi 0′ ); ylabel(′ \beta( \delta )′ );

3

Programy pro v´ ypoˇ cet minim´ aln´ıho rozsahu

Funkce nU, nUstar a nU1 slouˇz´ı k v´ ypoˇctu minimáln´ıch rozsah˚ u v´ ybˇeru. Vstupn´ımi parametry jsou α, β, π0 a π1 . Minim´ aln´ı rozsah U -testu: function [n] = nU(alpha,beta,Pi,Pi0) uA = norminv(1-alpha/2,0,1); uB = norminv(1-beta,0,1); n = (Pi*(1-Pi)*(uA*sqrt((Pi0*(1-Pi0))/(Pi*(1-Pi)))+uB)∧2)/(Pi-Pi0)∧2; Minim´ aln´ı rozsah U ∗ -testu: function [n1,n2] = nUstar(alpha,beta,Pi,Pi0) uA = norminv(1-alpha/2,0,1); uB = norminv(1-beta,0,1); b = Pi*(1-Pi)*(uA*sqrt((Pi0*(1-Pi0))/(Pi*(1-Pi)))+uB)∧2+abs(Pi-Pi0); D = (b∧2)-(Pi-Pi0)∧2; n1 = (b+sqrt(D))/(2*(Pi-Pi0)∧2); n2 = (b-sqrt(D))/(2*(Pi-Pi0)∧2); Minim´ aln´ı rozsah U1 -testu: function [n] = nU1(alpha,beta,Pi0,Pi) uA = norminv(1-alpha/2,0,1); uB = norminv(1-beta,0,1); n = (uA+uB)∧2/(4*(asin(sqrt(Pi))-asin(sqrt(Pi0)))∧2); VI

STATISTICKÉ METODY PRO VYHODNOCOVÁNÍ SENZORICKÝCH DAT STATISTICAL METHODS FOR EVALUATION OF SENSORIAL DATA

Recommend Documents