1
Zkouˇ ska z pˇ redmˇ etu KMA/PST1 1. Anotace pˇ redmˇ etu N´ahodn´e jevy, pravdˇepodobnost, podm´ınˇen´a pravdˇepodobnost. Nez´avisl´e n´ahodn´e jevy. N´ahodn´a veliˇcina, distribuˇcn´ı funkce. Diskr´etn´ı a absolutnˇe spoˇ ıseln´e charakteristiky n´ahodn´e veliˇciny. Z´akladn´ı rozjit´a n´ahodn´a veliˇcina. C´ dˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı. N´ahodn´ y vektor, distribuˇcn´ı funkce n´ahodn´eho vektoru. Diskr´etn´ı a absolutnˇe spojit´ y n´ahodn´ y vektor, ˇc´ıseln´e charakteristiky n´ahodn´eho vektoru. Margin´aln´ı rozdˇelen´ı, nez´avisl´e n´ahodn´e veliˇciny, jejich y z´akon velk´ ych ˇc´ısel, klasick´e limitn´ı vˇety vlastnosti. Rozdˇelen´ı χ2 , t, F. Slab´ teorie pravdˇepodobnosti. Popisn´a statistika. 2. Pr˚ ubˇ eh zkouˇ sky
• P´ısemn´a ˇc´ast pˇr´ıkladov´a: budou zad´any dva pˇr´ıklady z probran´e l´atky. Hodnocen´ı je stejn´e jako u z´apoˇctov´ ych p´ısemek, tj. dva cel´e pˇr´ıklady spr´avnˇe - A, jeden cel´ y pˇr´ıklad spr´avnˇe - B, jinak - C. Pro postup ku ´stn´ı ˇca´sti zkouˇsky je potˇreba dos´ahnout stupnˇe A nebo B. Rozsah ´ ech u p´ısemn´e ˇca´sti pˇr´ıkladov´e je pˇrenositeln´ cca 20 - 30 minut. Uspˇ yi do dalˇs´ıch zkouˇskov´ ych pokus˚ u. • P´ısemn´a ˇca´st teoretick´a: student, postupivˇs´ı z p´ısemn´e ˇca´sti pˇr´ıkladov´e, si n´ahodnˇe vylosuje dvˇe ot´azky, obsahuj´ıc´ı stˇeˇzejn´ı pojmy uˇciva (viz seznam n´ıˇze). Ty mus´ı b´ yt zcela bezchybnˇe zodpovˇezeny, aby mohla b´ yt p´ısemn´a ˇc´ast zkouˇsky u ´spˇeˇsnˇe zakonˇcena. Rozsah cca 5 - 10 minut. ´ ı ˇc´ast: student si n´ahodnˇe vylosuje dvˇe teoretick´e ot´azky, pokr´ • Ustn´ yvaj´ıc´ı uˇcivo cel´eho semestru, plus d˚ ukaz ˇci odvozen´ı vybran´eho tvrzen´ı (viz seznam n´ıˇze). Na pˇr´ıpravu odpovˇed´ı bude 40 minut, na n´asledn´e zodpovˇezen´ı dalˇs´ıch 20 minut. Pˇri jejich pˇr´ıpravˇe m˚ uˇze b´ yt vyuˇzit podp˚ urn´ y materi´al, uveden´ y n´ıˇze; je pˇritom nutno zareagovat na kaˇzdou ´ ı ˇca´st z nich. D˚ uraz bude kladen zejm´ena na porozumˇen´ı t´ematu. Ustn´ nebude dokonˇcena, kdyˇz student prok´aˇze neznalost z´akladn´ıch pojm˚ u pˇredmˇetu (viz n´ıˇze) a jejich souvislost´ı nebo z´akladn´ıch matematick´ ych pojm˚ u a jejich vlastnost´ı (v rozsahu sylab˚ u pˇredmˇet˚ u Matematika 1, 2 a Line´arn´ı algebra 1).
2 3. Hodnocen´ı zkouˇ sky Rozhoduj´ıc´ı vliv na stanoven´ı celkov´e zn´amky budou m´ıt obˇe teoretick´e ot´azky, samozˇrejmˇe s pˇrihl´ednut´ım k v´ ysledku p´ısemn´e ˇc´asti pˇr´ıkladov´e a d˚ ukazu, resp. odvozen´ı vybran´eho tvrzen´ı. Do zn´amky z p´ısemn´e ˇc´asti pˇr´ıkladov´e jsou zahrnuty i v´ ysledky z´apoˇctov´ ych test˚ u. 4. Z´ akladn´ı pojmy ... jsou zejm´ena jev, operace s jevy, jevov´e pole, n´ahodn´ y jev, pravdˇepodobnost, klasick´a pravdˇepodobnost, podm´ınˇen´a pravdˇepodobnost, nez´avisl´e n´ahodn´e jevy, n´ahodn´a veliˇcina, rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı, distribuˇcn´ı funkce, diskr´etn´ı a spojit´e rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı, stˇredn´ı hodnota a rozptyl n´ahodn´e veliˇciny, α-kvantil, n´ahodn´ y vektor, margin´aln´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı, nez´avislost n´ahodn´ ych veliˇcin, stˇredn´ı hodnota n´ahodn´eho vektoru, kovariance, korelaˇcn´ı koeficient, varianˇcn´ı matice, korelaˇcn´ı matice, konvergence podle pravdˇepodobnosti. Pozn´ amka Tento v´ yˇcet neznamen´a, ˇze jsou ostatn´ı pojmy a vlastnosti m´enˇe d˚ uleˇzit´e. Pouze vyzdvihuje ty z nich, pˇri jejichˇz neznalosti (a neznalosti odpov´ıdaj´ıc´ıch souvislost´ı) se nen´ı d´ale o ˇcem bavit. 5. Zkouˇ sen´ e d˚ ukazy a odvozen´ı
• vlastnosti pravdˇepodobnosti v1 - v8 • ovˇeˇren´ı axiom˚ u pravdˇepodobnosti u klasick´e pravdˇepodobnosti • vˇeta 1.2, Bayesova vˇeta, vˇeta 1.6 - 1.9, vˇeta 1.14 • vlastnosti distribuˇcn´ı funkce V1 , V2 , V3 a), V4 , vˇeta 2.4 ˇ • Cebyˇ sevova nerovnost, Vˇeta 2.8 • odvozen´ı stˇredn´ı hodnoty a rozptylu u alternativn´ıho, binomick´eho, rovnomˇern´eho a norm´aln´ıho rozdˇelen´ı • vˇeta o margin´aln´ım rozdˇelen´ı, Vˇeta 3.11, 3.12a), 3.15
3 • vlastnosti 1 - 5 kovariance a korelaˇcn´ıho koeficientu • vˇeta 3.17, 3.18, 3.20, 3.21 - 1. krok ˇ • Cebyˇ sevova vˇeta, Bernoulliho vˇeta, vˇeta o aritmetick´em pr˚ umˇeru • integr´aln´ı vˇeta Moivreova - Laplaceova
V Olomouci, dne 15. 11. 2016
doc. RNDr. Karel Hron, Ph.D.
4 6. Doplnˇ ek: vybran´ e vzorce z KMA/PMS1 (podp˚ urn´ y materi´ al) P(X = k) =
λk −λ e k!
(
(x−µ)2 1 f (x) = √ e− 2σ2 σ 2π
gn (y) =
n −1 2
− y2
1 λ
!− n+1 2
exp
hn (z) =
e y , pro y > 0. n 2 2 Γ( n2 )
− λx
x ≤ 0, , x>0 z ≤ 0,
0, 2 − z2
z n−1 e , z > 0. n 2 2 −1 Γ( n2 ) !− n+1
1 t2 =√ 1 + n nB( 12 , n2 )
2
,
2 Γ( n1 +n ) n1 n21 n1 −1 2 1 y2 Γ( n21 )Γ( n22 ) n2
Z ∞
xα−1 e−x dx
0 n [
P
Z 1
n1 y n2
+
n +n − 12 2
, y > 0.
xα−1 (1 − x)β−1
0
Ai =
n X
P(Ai ) −
i=1
i=1 n−2 X n−1 X
t ∈ R1
y ≤ 0,
0,
+
0,
f (x) =
pro y ≤ 0,
0,
Γ( n+1 ) t2 2 1 + fn (t) = √ n nΓ( 12 )Γ( n2 ) g(y) =
P(X = k) = (1 − p)k p
n X
n−1 X
n X
P(Ai ∩ Aj )+
i=1 j=i+1 n−1
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) − · · · + (−1)
n \
P
Ai .
i=1
i=1 j=i+1 k=j+1
pY (yn ) = pX [ϕ−1 (yn )] gY (y) = fX [ϕ−1 (y)] |[ϕ−1 (y)]0 |, ∀y ∈ R1 α3 (X) =
E[(X − E(X))3 ] q
( var(X))3
α4 (X) =
P(a1 < X1 ≤ b1 , . . . , an < Xn ≤ bn ) =
X
E[(X − E(X))4 ] q
( var(X))4
(−1)
P
εj
−3
FX (c1 , . . . , cn ) ≥ 0
P(X = xm ) = P(X1 = x1m , X2 = x2m , X3 = x3m ) = r = x1m
!
r − x1m x2m
!
!
r − x1m − x2m (p1 )x1m (p2 )x2m (p3 )x3m x3m
5
f (x1 , x2 ) = n
· exp −
1 √ · 2πσ1 σ2 1 − %2
h (x − µ )2 (x1 − µ1 )(x2 − µ2 ) (x2 − µ2 )2 io 1 1 1 − 2% + 2(1 − %2 ) σ12 σ1 σ2 σ22
1
1 q f (x1 , . . . , xn ) = exp − (x − µ)0 V−1 (x − µ) n 2 (2π) 2 det(V)
Z ∞ "Z
G(y) =
−∞
g(y) =
−∞
f2 (x2 )dx2 f1 (x1 )dx1 =
{x2 :ϕ(x1 ,x2 )≤y}
#
f1 (x1 )dx1 f2 (x2 )dx2 ,
{x1 :ϕ(x1 ,x2 )≤y}
−∞
f2 (y − t)f1 (t) dt g(y) = n X
var
Xj =
n X
=
x˜p =
n X
var(Xj ) +
xf1 (yx)f2 (x) dx,
XX
XX
∀y ∈ R1
cov(Xi , Xj ) =
cov(Xi , Xj )
i6=j
np 6= [np],
x(np) +x(np+1) , 2
np = [np].
1 2 h, 12
y ∈ R1 .
i<j
x([np]+1) ,
m∗2 = m2 −
0
var(Xj ) + 2
j=1
Z ∞
j=1
j=1
#
Z ∞ "Z
= Z ∞
m∗3 = m3 ,
xˆ = aj −
h nj+1 − nj−1 , 2 nj+1 − 2nj + nj−1
1 7 4 m∗4 = m4 − m2 h2 + h 2 240
