Fodor Bálint, Petrik Péter
Spektroszkópiai Ellipszometria (SE) – Laboratóriumi jegyzet –
Magyar Tudományos Akadémia Természettudományi Kar Műszaki Fizikai és Anyagtudományi Kutatóintézete Fotonika osztály
Budapest, 2012 1
1. Elméleti összefoglaló 1.1.
Az ellipszometria fizikája
A fény polarizációs állapota két különböző törésmutatójú közeg határáról való visszaverődés során megváltozik. Ennek mértéke a két közeg anyagi minőségének függvénye. Az ellipszometria ezt a polarizációváltozást méri.
1. ábra: Elliptikusan polarizált fény a terjedési irányból nézve. Ex(t) és Ey(t) az elektromos térerősség vektor X és Y irányú komponensei. A legáltalánosabb polarizációs állapot az elliptikus polarizáció. A további leíráshoz az elektromos térerősség vektort felbontjuk két egymásra merőleges síkhullám komponensre (1. ábra). A határfelületről történő visszaverődés esetén a beeső sugár E elektromos térerősség vektor két eme független síkhullám komponensét érdemes úgy megválasztani, hogy az egyik merőleges, a másik párhuzamos legyen a beesési síkra (2. ábra). Ezeket jelöljük a továbbiakban rendre E s -sel és E p -vel (a felülvonás komplex értékre utal).
2
2. ábra: Polarizált fény visszaverődése és törése két közeget határoló síknál. Mivel mindkét komponens síkhullám, így az
Es E e
i ( t s )
Ep E e
i ( t
0 s
0 p
p
i
i
e
r
c
e
)
n
n
(1a) r
c
egyenletekkel írhatjuk le őket, ahol a síkhullám frekvenciája, a fázisa,
(1b) n n ik
a
komplex közegbeli törésmutató és c a vákuumbeli fénysebesség. Az E s0 és az E p0 a terek amplitúdóját jelölti. Ezek szellemében a síkhullám polarizációs állapotát a következő paraméterrel, az úgynevezett polarizációs együtthatóval jellemezhetjük:
Ep
(2)
Es
Kézenfekvő, könnyen értelmezhető, egyértelmű mérési paramétereket kapunk, ha a visszavert (r index) és a beeső (i index) sugár polarizációs együtthatóinak hányadosát tekintjük:
3
r i
.
(3)
3. ábra: Az ellipszist (vagyis polarizációt) jellemző és ellipszometriai szögek jelentése. Ez a hányados megegyezik a Fresnel-reflexiós együtthatók hányadosával:
Er,p
Er,p
E r ,s
E i, p
E i, p
E r ,s
rp
,
(4)
rs
E i ,s
E i ,s
ahol r p a beesési síkkal párhuzamos, rs a beesési síkra merőleges Fresnel-reflexiós együttható. Következésképpen -t a komplex reflexiós együtthatónak hívjuk. A XIX. század második felében Drude, az első ellipszometriai mérés megvalósítója, a következő jelölést vezette be:
r i
r i
e
i ( r i )
tan e
i
(5)
A tan a beeső és visszavert polarizációs együtthatók abszolút értékének hányadosa, ami egyenértékű a párhuzamos és a merőleges Fresnel-reflexiós együtthatók hányadosával. A pedig a két komponens fáziskülönbsége.
tan
r i
4
rp rs
(6a)
r i r , p r , s i , p i , s r , p i , p r , s i , s p s
(6b)
(a kétindexes a komponensek fázisa; s: merőleges, p: párhuzamos, i beeső, r: visszavert). A
és értékeket ellipszometriai szögeknek nevezzük (3. ábra). Megjegyezendő fontos tulajdonság, hogy sem , sem és így sem függ a beeső fény intenzitásától, csupán a vizsgált mintától és a beesési szögtől. Ezért a és ellipszometriai szögek megméréséhez nincs szükség referenciára. és az ellipszometriai mérés két független, jellemző paraméterét adják. Abban az esetben, ha a és értékeket nem csupán egyetlen hullámhossz esetén, hanem egy egész hullámhossztartományon keresztül mérjük, spektroszkópiai ellipszometriáról (SE) beszélünk.
1.2. A
Optikai modell spektroszkópiai
visszakövetkeztethetünk
ellipszometria a
minta
által
ismeretlen
mért fizikai
spektrumokból
paramétereire
(rétegvastagság,
és
törésmutató, mikroszerkezet, stb.). Ezek ily módon való meghatározásának sikere három feltétel teljesülésén múlik. Az első az, hogy ismernünk kell a mintát alkotó összetevők törésmutatóját (irodalmi adatok, tömbi anyagokon végzett referenciamérések, vagy a törésmutató hullámhosszfüggésének parametrizálása alapján). Ennek teljesítése egyáltalán nem triviális, mivel a referencia-törésmutatók meghatározásához ezen anyagokat az ellipszometria felületérzékenysége miatt ideálisan sík felületek által határolt, tömbi vagy vékonyréteg formájában kell tudnunk előállítani. A második feltétel azt követeli meg, hogy a vizsgált mintát alkotó anyagokról és ezek struktúrájáról legyen valami előzetes elképzelésünk, mely alapján felépíthetjük a mért spektrumra illesztendő optikai modellünket. Amennyiben egy minta olyan elegendően nagy térfogatú komponensekből áll, amelyek rájuk jellemző (a belőlük készült tömbi anyagénak megfelelő) dielektromos függvénnyel rendelkeznek, viszont jóval kisebbek, mint a mérő fény hullámhossza, akkor a mintát többrétegű modellekkel és az effektív közeg elmélettel lehet leírni. A harmadik kikötés pedig az, hogy e feltételezett modell hullámhossz
és
beesési
szögtől
független
paramétereit
hibameghatározás mellett illesszük a mért (λ) és (λ) görbékre. 5
szisztematikus,
objektív
A legtöbb optikai modell ideálisan sík, „félvégtelen” szubsztrátot használ egy vagy több vékonyréteggel a felületén. A félvégtelen alatt azt értjük, hogy a szubsztrát elegendően vastag vagy optikailag elegendően sűrű ahhoz, hogy a hátoldalról visszaverődött fény az elnyelés miatt ne jusson vissza a felületre. Fény és anyag kölcsönhatását a Maxwell egyenletekkel írjuk le. Ezen egyenletekből kiszámíthatjuk a Fresnel-reflexiós együtthatókat. A legegyszerűbb eset a két izotróp közeg határfelületén történő visszaverődés és törés (2. ábra). Ebben az esetben a Fresnel-reflexiós tényezők így írhatók:
Er,p Ei, p E r ,s E i ,s
rp
rs
n1 cos 0 n 0 cos 1 n1 cos 0 n 0 cos 1 n 0 cos 0 n1 cos 1 n 0 cos 0 n1 cos 1
,
(7a)
,
(7b)
ahol (a 2. ábra jelöléseit használva) n 0 a 0. számú közeg törésmutatója, n1 az 1. számú közeg törésmutatója, 0 a beesési szög, 1 pedig a törési szög. 1 -et a Snellius-Descartes törvényből kapjuk: n 0 sin 0 n1 sin 1
(8)
Tehát a komplex reflexiós együttható a beesési szög és a közegek törésmutatóinak a függvénye:
rp rs
n 0 , n1 , 0
(9)
A méréséből, mivel n 0 és 0 ismert (pl.: n 0 = 1 amennyiben a 0. közeg levegő), kiszámolható az n 1 törésmutató. Az ellipszometria szempontjából fontos, kissé összetettebb elrendezés az, mikor a polarizált síkhullám félvégtelen közegből, ún. környezetből egyetlen vékonyrétegen áthaladva, a szintén félvégtelen szubsztrátról (más néven hordozóról) verődik vissza. A 4. ábrán látható módon a fénysugarak többszörös törés és visszaverődés után jutnak ki a vékonyrétegből.
6
4. ábra: Többszöri visszaverődés 3 fázisú rendszer esetén. Ebben az esetben a visszavert fényre vonatkozó teljes reflexiós együttható a reflektált parciális hullámok összegzéséből egy végtelen geometriai sor alakjában áll elő:
R
j
r01 t 01 r12 t10 e j
j
j
j
2 i
t 01 r12 r10 t10 e j
j
j
j
4 i
... , j p , s ,
(10)
ahol r01 és r12 valamint t 01 és t12 a 0|1 (1|0) és 1|2 határfelülethez tartozó Fresnel reflexiós és transzmissziós együtthatók. Ha a vákuumban mérhető hullámhossz, d1 vékonyréteg vastagsága, n 1 a vékonyréteg komplex törésmutatója, akkor a vékonyrétegben az α törési szög ismeretében a fázistolást (más néven fázisvastagságot, vagyis azt a fázistolást amit a reflektálódott sugár szenved el az idő alatt, míg az egyik határfelülettől a másikig ér, majd újra vissza) a következő alakban írhatjuk:
d1 n1 cos .
(11)
d1 2 2 n1 n1 n 0 sin 0 ,
(12)
2
Kihasználva a Snellius-Descartes törvényt: 2
7
ahol 0 a beesési szög. Felhasználva, hogy r01 r10 és t10 t 01 1 r012 a végtelen geometriai sor az alábbi képletre egyszerűsödik: r01 r12 e j
R
j
j
i
1 r01 r12 e j
j
(13)
i
,
A rendszer paramétereinek száma a rétegszámmal növekszik. A mérhető reflexiós együttható m+2 darab közeg (környezet, szubsztrát és m számú vékonyréteg) esetén a következők függvénye: ( n 0 , n1 , , n m 1 , d 1 , d 2 , , d m , 0 , )
(14)
.
Ahhoz, hogy meghatározhassuk az ismeretlen paramétereket, növelni kell a mért független adatok számát. Erre több lehetőség is kínálkozik: pl. változtathatjuk a beesési szöget, különböző környezeteket, különböző rétegvastagságokat választhatunk ugyanolyan anyagi összetétel mellett. Legeredményesebb azonban a több hullámhosszon való mérés. Ezt teszi a fentiekben már említett SE.
1.3.
Paraméterillesztés
Egy általános megoldását a (14) komplex nem lineáris egyenletnek megkaphatjuk a lineáris regresszió alkalmazásával. A számolt és mért értékek közötti eltérést minimalizáljuk a modell paramétereinek finomításával. Ehhez célszerű bevezetni egy az illesztés jóságát jellemző számot, a négyzetes középhibát („Mean Square Error” - MSE):
MSE
meas calc j j meas N P 1 j 1 j 1
N
2
meas jcalc j meas j
2
(15) ,
ahol N a mért és értékek száma, P a modell ismeretlen paramétereinek száma, és a mért („meas”) és számolt („calc”) ellipszometriai szögek, pedig a és értékek mérésének a szórása (ezekkel súlyozzuk a mért és számolt értékek számlálóban lévő különbségét). 8
A kiértékelő programok segítségével az MSE-t fogjuk gradiens keresés útján minimalizálni, hogy megkapjuk a mért és számolt spektrumok legjobb illeszkedését eredményező paramétereket és azok 95%-os konfidencia intervallumait. A nagy MSE érték azt mutatja, hogy a modellt tökéletesíteni kell. Továbbá ahhoz, hogy megtaláljuk a legjobb MSE-t fontos, hogy a minimumkereső algoritmusunknak a várható megoldásunkhoz közeli kezdeti értékeket adjunk meg.
1.4.
Dielektromos függvény modellek
Előfordulhat, hogy a vizsgált mintánk ismeretlen törésmutatójú közeget tartalmaz. Ez esetben nem tudjuk, mely anyag irodalmi törésmutatóját érdemes felhasználni. Ilyenkor célszerű valamilyen paraméteres, általános esetben használható dielektromos függvényt használnunk. Az alábbiakban ismertetjük azokat a dielektromos függvény meghatározására alkalmas modelleket, amelyeket a laborgyakorlat során alkalmazni fogunk.
1.4.1. Lorentz oszcillátor modell Az egyik legrégebbi modell, amely közegek komplex dielektromos függvényének meghatározására szolgál, Lorentztől ered. Ebben a klasszikus modellben feltételezzük, hogy a dielekromos függvény független oszcillátorok összege. A hullámhossz szerinti komplex dielektromos függvényre a Lorentz modell az alábbi egyenletet eredményezi: n ( ) 1
A j
2
j
2
0 , j i j 2
(16)
2
.
Minden oszcillátor tag egy háromparaméteres Cauchy-Lorentz görbének felel meg. Az illesztési paraméterek az Aj, ζj és λ0,j, ezek rendre a j-edik Cauchy-Lorentz görbe amplitúdója, kiszélesedése és maximumának helye. Fontos megjegyezni, hogy a Lorentz modell által meghatározott dielektromos függvény Kramers-Kronig konzisztens, tehát kauzalitási okból kifolyólag egyértelmű kapcsolat van a dielektromos függvény valós és képzetes tagjai között ezáltal a törésmutató és az abszorpciós együttható között is. A Lorentz oszcillátor modell a legtöbb szigetelő és félvezető anyag törésmutatóját képes leírni az UV, látható és IR tartományban, és megfelelő kiegészítéssel amorf félvezetőkre is használható.
9
1.4.2. Sellmeier és Cauchy egyenlet A Lorentz egyenletből, ha feltételezzük, hogy ζj = 0, ami egyenértékű azzal, hogy elhanyagoljuk a k abszorpciós együtthatót, kapjuk a Sellmeier közelítést: n ( ) 1 2
j
A j 2
2
0, j 2
.
(17)
A Sellmeier egyenlet alkalmas a legtöbb optikailag átlátszó anyag dielektromos függvényének leírására a tiltott sávnál kisebb fotonenergiák tartományában. További közelítésekkel élve eljuthatunk a Cauchy egyenlethez, ami a törésmutatót az alábbi sorösszeggel írja le: n ( ) A
B
2
C
4
...
(18) .
Erre az egyenletre Cauchy empirikus úton jutott a törésmutatók tanulmányozásával még jóval a Lorentz modell előtt. A összegzést általában 3.-ig tagig szokták használni. A Cauchy és a Sellmeier egyenlettel leírt törésmutatók az infravörös tartományban térnek el jelentősebben, ott a Sellmeier egyenlet pontosabban írja le az üvegek törésmutatóját (5. ábra).
5. ábra: Cauchy és Sellmeier törésmutató illesztés, megfigyelhető eltéréssel az infravörös tartományban A gyakorlatban az optikailag átlátszó dielektrikumok az UV tartományban a nagyobb fotonenergiák felé növekvő abszorpciós együtthatóját egy háromparaméteres exponenciális függvénnyel szokás illeszteni. Ilyenkor azonban tudni kell, hogy a Cauchy egyenlettel illesztett törésmutató és az exponenciálissal illesztett abszorpciós együttható általában nem Kramers-Kronig konzisztens. 10
1.4.3. Effektívközeg elmélet Az effektívközeg elméletnek az a célja, hogy meghatározza a dielektromos függvényét egy makroszkopikusan homogén, de mikroszkopikusan heterogén vagy kompozit anyagnak. Azaz olyan anyagnak, amelynek a különálló fázisai elég nagyok ahhoz, hogy saját tömbi dielektromos tulajdonsággal rendelkezzenek, de elég kicsik a fény hullámhosszához képest. Keverék anyagokra példaként említhetjük a fém vékonyrétegeket, amiket tömbi fém és üreg heterogén keveréknek tekinthetünk a nem tökéletesen illeszkedő szemcsehatárok miatt. További példák lehetnek az amorf anyagok, illetve az üvegek. Egy mikroszkopikusan érdes felületet is tekinthetünk optikailag homogén rétegnek, amennyiben azt a réteg anyaga és az ezt körülvevő közeg mikro-szinten vett keverékének képzeljük el. Az effektív közeg közelítésben feltesszük, hogy a mikrostruktúrák karakterisztikus mérete elég kicsi a fény hullámhosszához képest, így elhanyagolhatjuk a struktúrákon való szórást és diffrakciót. Ezek egy makroszkopikusan inhomogén rendszerben dominánsak lennének. Számos
modell
létezik
az
effektív
dielektromos
függvény
kiszámolására
a
mikrostrukturális paraméterek és az összetevők dielektromos függvényei figyelembe vételével. A legegyszerűbb általános kifejezése a többfázisú effektívközeg elméletnek
h h
fa
a h a s h
fb
b h b 2 h
...
(19)
alakú, ahol az a, b, fa, fb, stb. a dielektromos függvényei és a térkitöltési arányai rendre az a, b, fázisnak, h a háttér (host) dielektromos függvénye, amibe a beágyazódás történik. Az úgynevezett Bruggeman effektív közeg közelítést (Effective Medium Approximation - EMA) akkor kapjuk, ha az önkonzisztens megoldást választjuk a háttér dielektromos függvényére:
h=. A továbbiakban mindig kétfázisú effektív közeggel számolunk. Amennyiben az egyik fázis vákuum (vagy levegő, v=1 minden hullámhosszra) az EMA egyenlet a következő alakra egyszerűsödik: (1 f )
a a 2
f
1 1 2
0,
ahol f a levegő térfogataránya. Polinom alakban kifejezve:
11
(20)
2 1 f 2
2 a
1 f 2 a a 0
.
(21)
2. Spektroszkópiai ellipszométer
6. ábra: Több beesési szögű Woollam M-2000DI spektroszkópiai ellipszométer. A több beesési szögű ellipszométer (Variable Angle Spectroscopic Ellipsometer, VASE, amellyel a jelenlegi laborméréseket is végezzük) két állítható dőlésszögű optikai karból áll, melynek a tengelyei egy síkba esnek. Többfajta spektroszkópiai ellipszométer létezik: a jelen mérésekhez az MTA Műszaki Fizikai és Anyagtudomány Kutatóintézet Ellipszometria Laboratóriumának
(www.ellipsometry.hu)
Woollam
M-2000DI
spektroszkópiai
ellipszométerét használjuk (6. ábra). Ennél a típusnál a bemeneti optika a fényforrásból, egy polarizátorból
és
egy
forgó
kompenzátorból
áll.
A
széles,
190-1700
nm
hullámhossztartományt két fényforrással lehet biztosítani: az ultraibolya tartományt egy deutérium, a látható és infravörös tartományt pedig egy halogén lámpával. Az elrendezés vázlata a 7. ábrán látható. A fényforrás polarizálatlan fénye először keresztülhalad egy polarizátoron. Az így létrejött lineárisan polarizált fényt egy forgó kompenzátor elliptikusan polarizálttá teszi. A mintáról visszavert, általában elliptikusan polarizált fény egy analizátoron keresztül lineárisan polarizált állapotban jut be a detektorrendszerbe. A műszerhez tartozik még az automatikus goniométer és a mintamozgató asztal, valamint az elektronikus vezérlőés feldolgozóegység. A forgó kompenzátor különböző dőlésszögű állásaiban felvett jel időbeli
12
intenzitásgörbéjén (hullámalakján) Fourier analízist alkalmazva kiszámolhatók a polarizációs állapotot jellemző és ellipszometriai szögek. Az M-2000DI többcsatornás detektorrendszerrel rendelkezik, aminek köszönhetően a teljes spektrális tartomány egy adott beesési szögnél felvehető másodperc nagyságrendű idő alatt. Ezáltal lehetővé válik „in situ” folyamatok vizsgálata, úgymint a vékonyréteg növesztés során a vastagság mérése. Továbbá a minták felületi feltérképezése is belátható idő alatt elvégezhetővé válik.
7. ábra: Forgó kompenzátoros spektroszkópiai ellipszométer sematikus vázlata.
A forgó kompenzátoros elrendezésnek további előnye a forgó polarizátoros vagy forgó analizátoros elrendezésekhez képest, hogy a teljes tartományon nagy érzékenységgel rendelkezik, függetlenül a értékétől, míg az utóbbiak hibája jelentősen megnő = 0 és 180° környékén. Forgó polarizátoros vagy forgó analizátoros mérések esetén az illesztéseknél a tan, cos értékeket szokás használni, mert ezek a detektor szinuszos jelalakjának Fourieranalíziséből közvetlenül meghatározott mennyiségek. A forgó kompenzátoros ellipszométerek pontossága tipikusan 5*10-2 mind -re, mind -ra is. Természetesen ez a pontosság függ a beesési szögtől és a fény hullámhosszától, amin a leolvasás történt. Az ellipszometria nagyon érzékeny a felületek vagy a felületi vékonyrétegek tulajdonságaira. A kevésbé érzékeny, míg a a felületi tulajdonságok kis változására is már észrevehetően különböző spektrumot eredményez. Az apró felületi különbségekre való érzékenységet a 8. ábra szemlélteti. Azon tiszta szilícium hordozó, 0.5 nm ill. 1 nm oxid réteggel bevont szilíciumok, valamint 1 nm felületi érdességgel rendelkező szilícium (50% levegő-Si EMA) 70 fokos beesési szögű szimulált és értékei szerepelnek. Látszik, hogy például a 600 nm-es hullámhosszúságnál az 1 nm-es és a 0.5 nm-es felületi oxid 3 és 1.5 foknyi eltérést eredményez a -ban a tiszta 13
szilícium értékéhez képest. Ezek a változások még mindig egy nagyságrenddel nagyobbak a mérési érzékenységnél, amivel meg fogunk ismerkedni a laborgyakorlat folyamán.
40
180
35
csak hordozó (Si) 0.5 nm oxid 1 nm oxid 1 nm érdesség
25 20
160 180
30
Beesési szög: 70
140 178
120
15 10
176
100
5 200
400
600
80
800 1000 1200 1400 1600
174 500
200
400
600
550
600
650
700
800 1000 1200 1400 1600
Hullámhossz [nm]
Hullámhossz [nm]
8. ábra: Ellipszométer érzékenysége a különböző felületi tulajdonságokkal generált adatokra.
3. Mérési feladatok 1.) Ismerkedjen meg a berendezéssel és végezzen el egy próbamérést egy referencia SiO2 szeleten. 2.) Készítsünk optikai modellt a referencia mintára amellyel meghatározható az oxid réteg vastagsága és annak pontossága. 3.) Végezzen térképezést egy a térben inhomogén oxidvastagságú szilícium szeleten. 4.) Mérje ki a hullámhosszfüggő törésmutatóját egy, a látható fény tartományában átlátszó tömbi hordozóknak 5.) Dolgozzon ki egy optikai modellt, mellyel megbecsülheti egy szilícium hordozóra felvitt szilika nanogömbök szemcseméretét és a hordozó fedettségét, majd végezze el a mérést a megadott mintára.
14
