SOMA CUBE Jako první část mého projektu jsem si zvolil Soma Cube (v češtině bohužel bez paralely). Vymyslel ji Piet Hein, skandinávský spisovatel o hlavolamech, taktických a matemativkých hrách (například Hex). Došlo k tomu údajně při přednášce kvantové fyziky Werner Heisenbergem. Hra se stala rychle populární ve Skandinávii (proto si myslím, že tématikou výborně zapadá na tento tábor), ve světě takového úspěchu ovšem nedosáhla. Hlavolam se skládá ze dvou částí. Zaprvé vymyslet samotné komponenty podle následujících pravidel: Komponenty se nesmí opakovat, Komponenty se mohou skládat pouze ze tří nebou čtyř jednotkových kostek, Komponenty nesmí mít tvar čtverce nebo obdélníku;
Komponent č.1
Komponent č.2
Komponent č.3
Komponent č.4
Komponent č.5
Komponent č.6
Komponent č.7
Druhou částí je už složit samotný hlavolam. Bylo by směšné omezovat se pouze na tvar kostky existuje 240 způsobů jak ji složit - a tak komunita vymýšlela složitější a složitější konstrukce, například well (studna), dog (pes, který připomíná spíše sfingu), crystal (krystal) nebo dva typy zdi.
Studna
Pes
Zeď č.1
Zeď č.2
Samozřejmě nelze složit libovolný útvar. Toto je příklad útvaru, který nelze složit, avšak až donedávna neexistoval matematický důkaz, který by vylučoval sestavitelnost této struktury. Princip, objevený Solomon W. Golombem, spočívá na principu„bílých“ a „černých“ kostkek.
Struktura , již nelze složit
Půdorys
Půdorys se obarví jako šachovnice a potom jsou všechny kostky nad určitou barvou považovány za stejnobarevné. Po sečtení kostek na tomto příkladu získáváme 19 černých a 8 bílých kostek (může to být i opačně), což je mírný nepoměr. Následující tabulka ukazuje maximální počet černých a minimální počet bílých kostek na komponent.
Komponent
Maximum černých kostek
Minimum bílých kostek
1
2
1
2
3
1
3
3
1
4
2
2
5
3
1
6
3
1
7
2
2
Celkově: 19 8 Z tabulky lze vyčíst, že maximální možný počet černých kostek je 18, z čehož vyplývá, že danou strukturu nelze postavit. Existují i určité modifikace, například přidání nebo odebrání komponentu. Uvedu zde pouze jeden případ, protože mi přišel přinejmenším zajímavý: Ze sedmi komponentů se odebere č.1 a ze zbylých jej lze složit do jeho dvojnásobné velikosti ve všech směrech.
Dvojnásobně zvětšený komponent č.1
HADÍ KOSTKA (SNAKE CUBE) Z názvu lze poměrně jednoduše odhadnout, že se jedná o řadu krychlí, které jsou spojené tak, aby každá krychle byla připojena k dvěma dalším, pouze krajní krychle jsou připojeny k jedné. Hadí kostka se vyskytuje v mnoha rozměrech, nemusí ani tvořit kostku, ale verze 3x3x3 je nejrozšířenější. Jsou dva možné způsoby, jak určit směr, kterým se sestavování bude udávat: buď je krychle „provrtána skrz na skrz“, nebo se uprostřed krychle směr otočí do pravého úhlu vůči původnímu směru. Z tohoto lze vyvodit, že přímou (straight) kostkou se určí umístění další kostky, zatímco u rohové (corner) ji lze rotovat do čtyř směrů. Hadí kostku si může každý vyrobit sám, stačí mu trpělivost a nějaká prostorová představivost
Rozložená hadí kostka
Složená hadí kostka
Obecně se počet řešení hadí kostky určuje pomocí Hamiltonovských cest, ovšem na konkrétní případ neznáme vzorec, který by určoval počet řešení, popřípadě jejich postup.
CONWAYOVY KOSTKY Posledním hlavolamem, jímž jsem se zabýval je Conwayova kostka, a to zejména tou v rozměrech 3x3x3 (dále jen C3). V roce 1970 slavil John Horton Conway hned dva úspěchy. Prvním byla tzv. Hra života a druhým puzzle, které se dalo složit do krychle 5x5x5 – občas se nazývá SlothouberGratsma-Conwayova krychle (Slothouber-Gratsma-Conway cube puzzle). C3 se skládá z šesti kvádrů 1x2x2 a tří krychlí 1x1x1. Právě díky těmto specifickým kvádrům údajně nelze objevit její řešení náhodou (člověk by musel mít velké štěstí), ale poloha kvádrů se musí předem promyslet, což ji odlišuje od Soma Cube i hadí kostky. Řekneme-li, že osová souměrnost, středová souměrnost, plošná souměrnost a rotace jsou shodná řešení, pak C3 má práv+ jedno řešení.
1x1x1
1x2x2
Conwayova kostka 3x3x3
Po delším čase ovšem lze dospět ke zdárnému dosažení hledaného tvaru. Rád bych se vrátil k C5, o níž jsem se zmínil v prvním odstavci. Skládá se z třinácti kvádrů 1x2x4, jednoho kvádru 1x2x2, tří kvádrů 1x1x3 a jedné krychle 2x2x2. Tato kostka je již oponěkud komplikovanější než předchozí.Její řešení je na obrázku:I zde lze ukázat, že C5 má pouze jedno řešení.
Řešení C5
