SIMULASI HAMILTONIAN CHAOS PADA OSILASI HARMONIK DAN REDAMAN MENGGUNAKAN BORLAND DELPHI 7

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXIV HFI Jateng & DIY, Semarang 10 April 2010 hal. 31-37

31

SIMULASI HAMILTONIAN CHAOS PADA OSILASI HARMONIK DAN REDAMAN MENGGUNAKAN BORLAND DELPHI 7. Nurul Fitria, Suparmi, Viska Inda Variani Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Surakarta Email : [email protected] INTISARI Telah dilakukan simulasi osilasi harmonik dan redaman pada dobel pendulum, yang persamaan geraknya diperoleh dengan menggunakan fungsi Hamilton (sehingga dihasilkan 4 persamaan diferensial non linear orde pertama). Persamaan gerak Hamilton ini diselesaikan dengan cara mengintegrasi persamaan tersebut. Perangkat lunak yang digunakan adalah Borland Delphi 7.0. Hasil perhitungan integrasi persamaan gerak ditampilkan dalam bentuk grafik ruang fase yaitu hubungan antara momentum sudut terhadap posisi sudut, serta grafik sinus hubungan antara posisi sudut terhadap waktu. Kedua visualisasi grafik ini dipakai untuk analisis secara kualitatif adanya gejala chaos. Dapat disimpulkan bahwa perangkat lunak ini bisa digunakan sebagai alat untuk mengungkap adanya gejala chaos pada sistem gerak dinamis. Keywords: Hamiltonian, Osilasi Harmonik dan Redaman, Gejala Chaos

I. PENDAHULUAN Banyak fenomena alam menunjukkan pola tingkah laku tidak teratur dan tidak dapat diprediksi dengan tepat. Misalnya, pola-pola cuaca, gerak turbulen aliran fluida dan lain sebagainya. Para ahli dinamika tak linear memberi istilah chaos untuk tingkah laku seperti ini. Secara singkat chaos dapat didefinisikan sebagai suatu sistem dinamik yang sangat sensitif terhadap kondisi awal dan memiliki sifat yaitu perubahan yang tak periodik (Batterman, 1993) Pada sistem fisis (sistem dinamika osilasi harmonik dan redaman) dengan dua atau lebih derajat kebebasan juga dapat menunjukkan gejala chaos. Perumusan persamaan gerak suatu sistem fisis dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi Hamilton H ( q i , p i ; t ) dalam dinamika klasik (Simpson, 2007), sehingga akan diperoleh 4 persamaan diferensial (persamaan gerak) non linear orde pertama. Selanjutnya persamaan gerak Hamilton ini diselesaikan dengan mengintegrasi persamaan gerak tersebut. Dengan menggunakan Hamiltonian berarti menggambarkan suatu sistem dalam ruang (p,q) yang disebut juga ruang fase (phase space) (Goldstein, 1980). Analisis dinamika non linear yang dipakai pada penelitian ini yaitu berupa analisis diagram ruang fase yang merupakan hubungan antara momentum sudut terhadap posisi sudut, dan analisis grafik sinus hubungan antara posisi sudut terhadap waktu (Thompson, 1997). Dalam penelitian ini diharapkan bahwa pengkajian hamiltonian chaos pada osilasi harmonik dan redaman dapat memberikan pemahaman serta gambaran fenomena chaos pada sistem fisis. Manfaatnya dapat diaplikasikan pada bidang material zat padat misalnya dalam pengujian suatu material apakah material itu mempunyai bentuk struktur yang teratur atau tidak teratur serta mengetahui lebih jauh tentang sistem mekanika dari sifat gerak suatu materi baik yang bersifat teratur maupun tak teratur. Simulasi Hamiltonian Chaos disusun dengan menggunakan perangkat lunak Borland Delphi 7 sebagai bahasa pemrograman yang dikuasai oleh peneliti. II. METODE PENELITIAN II.1. Alat dan Bahan Alat yang digunakan adalah: • Komputer 1 set Bahan yang digunakan: • Software Delphi 7.0 • Buku Referensi yang terkait

ISSN 0853 - 0823

32

Nurul Fitria, dkk / Simulasi Hamiltonian Chaos Pada Osilasi Harmonik dan Redaman Menggunakan Borland Delphi 7.

II.2. Persamaan Dinamika Dobel Pendulum II.2.1. Osilasi Harmonik

q&1 =

l2 pθ − l1 pθ2 cos(q1 − q2 ) ∂H = 2 1 ∂pθ1 l1 l 2 (m1 + m2 sin 2 (q1 − q2 ))

(1a)

q& 2 =

l1 (m1 + m2 ) pθ 2 − l 2 pθ 2 m2 cos(q1 − q 2 ) ∂H = ∂pθ 2 l 22 l1 m2 (m1 + m2 sin 2 (q1 − q 2 ))

(1b)

p& θ1 = −

∂H = − ( m1 + m 2 ) gl1 sin q1 − C1 + C 2 ∂q 1

p& θ2 = −

(1c)

∂H = −m2 gl2 sin q2 + C1 − C2 ∂q 2

(1d)

II.2.2. Osilasi Redaman

q&1 =

l 2 pθ − l1 pθ 2 cos(q1 − q 2 ) ∂H = 2 1 ∂pθ1 l1 l 2 (m1 + m2 sin 2 (q1 − q 2 ))

(2a)

q& 2 =

l1 (m1 + m 2 ) pθ 2 − l 2 pθ 2 m 2 cos( q1 − q 2 ) ∂H = ∂pθ 2 l 22 l1 m 2 (m1 + m 2 sin 2 ( q1 − q 2 ))

(2b)

p& θ1 = −

∂H = −(m1 + m2 ) gl1 sin q1 − C1 + C 2 − 2m1 x1 pθ1 ∂q 1

(2c)

p& θ 2 = −

∂H = − m 2 gl 2 sin q 2 + C1 − C 2 − 2 m 2 x 2 pθ 2 ∂q 2

(2d)

dengan x1 dan x2 konstanta redaman. Untuk osilasi harmonik dan redaman C1 =

C2 =

pθ1 pθ 2 sin( q1 − q 2 ) l1 l 2 ( m1 + m 2 sin 2 ( q1 − q 2 ))

l 22 m2 pθ21 + l12 (m1 + m2 ) p 22 − l1l 2 pθ 2 pθ 2 m2 cos(q1 − q2 ) 2l 22 l12 (m1 + m2 sin 2 (q1 − q2 )) 2

sin[2(q1 − q 2 )]

Persamaan 1a – 2d diturunkan terhadap waktu dan diselesaikan dengan mengintegrasi persamaan gerak tersebut. Untuk persamaan osilasi harmonik dan redaman penyelesainnya untuk nilai posisiposisi sudut terdapat dua kondisi: q1[i+1] > π maka q1[i+1] = q1[i+1] - 2π dan q2[i+1] > π maka q2[i+1] = q2[i+1] - 2π q1[i+1] < -π maka q1[i+1] = q1[i+1] + 2π dan q2[i+1] < -π maka q2[i+1]=q2[i+1] + 2π Ditetapkannya dua kondisi di atas bertujuan untuk menjaga q1 ,q2 dalam jangkau −π sampai

π harus mengikuti kondisi di atas. Jika q1 , q 2 kurang dari −π , maka nilainya bertambah sebesar 2 π . Jika q1 ,q2 lebih dari π , maka nilainya akan berkurang sebesar 2 π . Hal ini untuk menjaga agar

− π ≤ q1 ≤ π dan − π ≤ q2 ≤ π (Giordano, 1997).

II.3. Diagram Alir Pemrograman Osilasi Harmonik Dan Redaman Program simulasi yang dibuat menggunakan penyelesaian persamaan differensial (persamaan gerak) non linier orde pertama untuk osilasi harmonik dan redaman yang dirumuskan dalam persamaan 1a sampai 1d dan 2a sampai 2d. Dari persamaan gerak tersebut akan digunakan untuk menghitung besarnya momentum sudut 1 (pθ1), momentum sudut 2 (pθ2), posisi sudut 1 (q1), posisi sudut 2 (q2), dan waktu setelah memasukkan kondisi awal (pθ1, pθ2, q1, q2 dan t). Massa 1 dan massa 2 dibuat tetap sebesar 0,5 kg, panjang tali 1 dan panjang tali 2 dibuat tetap sebesar 0,5 m. Konstanta redaman juga dibuat tetap sebesar 0,5 dan percepatan gravitasi 9,8 m/s2. Program tersebut akan mulai loop dari tawal ISSN 0853 - 0823


33

adalah 0 detik sampai takhir adalah 50 detik dengan range 0,01 detik. Hasil perhitungan integrasi persamaan gerak ditampilkan dalam bentuk grafik ruang fase dan grafik sinus. Pada Gambar 1disajikan Flowchart pembuatan simulasi Hamiltonian Chaos Pada Osilasi Harmonik dan Redaman. Start

Perumusan Dinamika Dobel Pendulum untuk Osilasi Harmonik dan Redaman

Masukkan Kondisi Awal Untuk Osilasi Harmonik dan Redaman

Grafik Ruang Fase (pθ1 vs q1 dan pθ2 vs q2) Grafik Sinus (q1,q2 terhadap t)

Stop Gambar 1. Flowchart simulasi Hamiltonian Chaos Pada Osilasi Harmonik dan Redaman. III. HASIL DAN PEMBAHASAN III.1. Osilasi harmonik Pada Gambar.1 ditunjukkan hasil simulasi untuk kondisi awal q1 = −0,65 m, q2 = 1,4 m, p1 = 0,6543 Nm dan p2 = 0 Nm, dengan l1=l2 = 0,5 m, m1=m2 = 0,5 kg, g = 9,8 m/s2, tawal = 0 detik, takhir = 50 detik, ∆t = 0,01 detik dan durasi cacah 0,05 detik. Dari Gambar 2 dan 3 osilasi harmonik di atas dapat dijelaskan qi(t) berupa fungsi sinusoidal yang periodik yang sifat gerakannya terlihat teratur. Hal ini sangat sesuai dengan teori bahwa osilasi harmonik adalah gerak yang berulang (periodik). Plot ruang fase pi-qi (i = 1 dan 2) berupa kurva sangat tertutup, titik-titik pada ruang fase akan kembali lagi ke suatu lintasan yang sama. Hal ini mengisyaratkan sistem berperilaku periodik dan menunjukkan gejala chaos.

Gambar 1. Grafik Sinus osilasi harmonik. ISSN 0853 - 0823

34


Ruang fase p1 terhadap q1

Gambar 2. Grafik Chaos Osilasi Harmonik untuk Ruang fase p1 terhadap q1. Ruang fase p2 terhadap q2

Gambar 3. Grafik Chaos Osilasi Harmonik untuk Ruang fase p2 terhadap q2. III.2. Osilasi Redaman Pada Gambar 4 ditunjukkan hasil simulasi untuk kondisi awal q1 = −0,65 m, q2 = 1,4 m, p1 = 0,6543 Nm dan p2 = 0 m, dengan l1=l2 = 0,5 m, m1=m2 = 0,5 kg, g = 9.8 m/s2, tawal = 0 detik, takhir = 50 detik, ∆t = 0,01 detik, durasi cacah 0,05 detik dan konstanta redaman yang diberikan x1 = x2 = 0,5. Grafik q(1) warna merah Grafik q(2) warna biru

Gambar 4. Grafik sinus untuk osilasi redaman. Pada grafik osilasi teredam terlihat jelas bahwa terdapat tiga jenis gerak teredam dalam grafik tersebut. Untuk kurang redam gerak partikel tersebut berayun harmonik. Untuk redaman kritis, ISSN 0853 - 0823


35

perpindahan atau simpangan akan menurun secara monoton dari nilai permulaannya ke kedudukan setimbang (x=0). Untuk terlampau redam tidak menggambarkan periodik, simpangan ayunan akan berkurang atau sama sekali tidak bergerak tetap berada posisi kesetimbangan. Grafik sinus osilasi redaman di atas terbukti dapat menunjukkan grafik redaman berdasarkan teori namun pada penelitian ini belum ditentukan adanya frekuensi. Oleh sebab itu, perlu adanya penelitian lebih lanjut untuk mengetahui berapa frekuensi saat bandul tersebut kurang redam, redaman kritis, dan terlampaui redam. Grafik chaos dapat ditunjukkan pada Gambar 5 dan 6. Ruang fase p1 terhadap q1

Gambar 5. Grafik chaos Osilasi Teredam untuk ruang fase p1 terhadap q1. Ruang fase p2 terhadap q2

Gambar 6. Grafik Chaos Osilasi Teredam untuk Ruang fase p2 terhadap q2. Dari plot ruang fase pi-qi di atas dapat dijelaskan bahwa ayunan dobel pendulum dengan gesekan akhirnya berhenti pada suatu titik. Titik ini tidak bergerak dan merupakan titik tetap. Oleh karena itu, titik tetap disebut dengan atraktor. Jadi chaos dapat muncul karena ada sebuah sistem disipatif yaitu keberadaan suatu atraktor dalam ruang fase. Untuk mengetahui kapan chaos mulai teratur menjadi tidak teratur dapat dilakukan dengan mengganti variabel nilai pada parameter panjang tali dan massa. Misal pada penelitian ini panjang tali l1 = 1 meter dan l2 = 0,8 meter, m1= 2 kg dan m2 = 0,2 kg, maka akan tampak Gambar 7 dan 8, misalnya fenomena non chaos dan chaos pada osilasi harmonik dan redaman. Dari Gambar 7a, 7b dan 8a, 8b pada osilator harmonik dan redaman terlihat ada perbedaan yaitu ketika waktu akhir 10 detik ruang fase p2 terhadap q2 masih dalam keadaan yang teratur dan untuk yang redaman belum menunjukkan adanya suatu attraktor. Akan tetapi, ketika waktu akhir diperbesar yaitu sekitar 50 detik maka ruang fase p2 terhadap q2 sudah berbentuk chaos dan pada redaman sudah menunjukkan adanya suatu atraktor.

ISSN 0853 - 0823

36


(a)

(b) takhir = 10 detik (non-chaos)

Gambar. 7 (a) Grafik non-chaos Osilasi Harmonik untuk ruang fase p2 terhadap q2 (b) Grafik non-chaos Osilasi Redaman untuk ruang fase p2 terhadap q2 .

(a)

(b) takhir = 50 detik (chaos)

Gambar. 8 (a) Grafik chaos Osilasi Harmonik untuk ruang fase p2 terhadap q2 (b) Grafik chaos Osilasi Harmonik untuk ruang fase p2 terhadap q2. IV. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil penelitian pembuatan simulasi Hamiltonian Chaos pada Osilasi Harmonik dan Redaman yang telah dilakukan maka dapat disimpulkan bahwa perangkat lunak dengan menggunakan Borland delphi 7 yang dibuat telah dapat bekerja dengan baik dan dapat menunjukkan sifat – sifat gerak dobel pendulum yang berperilaku periodik maupun yang menunjukkan gejala chaos. Observasi dilakukan dengan mengamati secara kualitatif , grafik ruang fase antara momentum sudut terhadap posisi sudut dan grafik sinus antara posisi sudut terhadap waktu Disarankan untuk studi lebih lanjut dilakukan penelitian terutama jika nilai masukan awal baik untuk momentum sudut, posisi sudut dan konstanta redaman diberi nilai yang berbeda (variabel masukkan divariasi) kemudian menghitung besarnya frekuensi asli (ω0), dan diterapkan pada fenomena chaos pada bidang fisika misalnya bidang material dan engineering sehingga mudah dipahami orang yang baru mengenal chaos.

ISSN 0853 - 0823


37

V. DAFTAR PUSTAKA Batterman, Robert W. 1993. Defining Chaos. Published by: The University of Chicago Press on behalf of the Philosophy of Science Association. Vol. 60. No.1. pp. 43-66 Giordano, J.Nicholas. 1997. Computational Physics. New Jersey : Prentice Hall H. Goldstein. 1980. Classical Mechanics. New York : Addition Wesley Simpson, D.G. 2007. Lagrangian and Hamiltonian Mechanics. Department of Physical Sciences and Engineering, Prince George’s Community College. Thompson, J.M.T. 1997. Nonlinear Dynamics and Chaos. New York : John Wiley & Sons

ISSN 0853 - 0823

SIMULASI HAMILTONIAN CHAOS PADA OSILASI HARMONIK DAN REDAMAN MENGGUNAKAN BORLAND DELPHI 7

Recommend Documents