Simulace důchodových dávek z navrhovaného příspěvkově definovaného penzijního systému v ČR

3. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik VŠB-TU Ostrava, Ekonomická fakulta, katedra Financí

Ostrava 6.-7. září 2006

Simulace důchodových dávek z navrhovaného příspěvkově definovaného penzijního systému v ČR Jana Zahálková 1

Abstrakt Příspěvek je věnován popisu a aplikaci metodologie predikce ukazatele náhradového poměru v podmínkách fondového a příspěvkově definovaného důchodového systému na bázi simulace Monte Carlo. Nejdříve jsou obecně vymezeny jednotlivé typy důchodových systémů. Následně je definován pojistně matematický stochastický model, dále je popsána metodika odhadu stochastických veličin a simulace ukazatelů pomocí Choleskeho algoritmu. Poté jsou výsledky simulace graficky znázorněny a interpretovány. Klíčová slova Příspěvkově definovaný důchodový systém, fondové financování, náhradový poměr, pojistně matematický stochastický model, metoda simulace Monte Carlo, Choleskeho algoritmus

1 Úvod Ke krytí potřeb ve stáří se obvykle v různé míře uplatňuje třípilířová soustava, která zahrnuje: a) základní povinné pojištění garantované státem financované z příspěvku pojištěnců, zaměstnavatelů a státu – tzv. sociální důchodové pojištění; b) kapitálový pilíř na podnikovém nebo zaměstnavatelském principu, vesměs povinný; c) dobrovolné kolektivní připojištění financované z příspěvků účastníků a jejich zaměstnavatelů – tzv. penzijní připojištění, dále zde patří individuální spoření a individuální životní nebo důchodové pojištění u komerčních pojišťoven. Z hlediska způsobu financování je možné rozlišovat dva základní typy důchodových systému. Jedná se o tzv. PAYG (pay-as-you-gou) metodu průběžného financování (charakteristická vesměs pro I. pilíř), kdy generace ekonomicky aktivních lidí platí příspěvky na sociální zabezpečení, ze kterých se vyplácejí důchody a dávky pro generaci současných penzistů. Tento způsob financování je založen na mezigenerační solidaritě a redistribuci. Tyto systémy nevytvářejí žádné úspory pro splácení budoucích důchodů, jejich další nevýhodou je neefektivnost, neboť vytlačují soukromé úspory. PAYG systémy podléhají politickému riziku z důvodu velké nejistoty legislativních změn. Naopak výhodou těchto systémů je zvýšení mezigenerační solidarity, dále pak účinnější obrana proti inflaci a oproti fondovým systémům se nemusí čekat na akumulaci úspor. Avšak všechny tyto výhody závisejí na příznivém ekonomickém a demografickém vývoji. Druhý způsob financování důchodových systémů je systém fondový (tzv. FF – fully funded) charakteristický pro II. pilíř. Základem fondových systémů je vždy dlouhodobé spoření v době ekonomické aktivity člověka, které podporuje tvorbu dostatečných úspor, je generačně spravedlivé a nespoléhá na mezigenerační solidaritu. Fondový systém je plně vystaven riziku kapitálového trhu. Toto riziko v sobě zahrnuje riziko fluktuace míry výnosnosti dosahované penzijními fondy, riziko inflace a také riziko vyplývající z pohybu 1

Ing. Jana Zahálková, katedra Financí, Ekonomická fakulta VŠB-TU Ostrava, Sokolská 33, 701 21, [email protected]. 444



devizového kurzu, pokud jsou investice PF mezinárodně diverzifikovány. Naopak vůči demografickým a politickým rizikům jsou tyto systémy poměrně odolné. Dále je nutno rozlišovat dávkově a příspěvkově definované systémy. Dávkově definované (defined benefit – DB) systémy garantují určitou výši penzijních dávek, většinou v závislosti na kombinaci faktorů jako počet let, po které jedinec odváděl příspěvky do systému, výše příjmů jedince za určité období a výše tzv. akruálního parametru, jenž bývá stanoven zákonem. Příspěvkově definované (defined contribution – DC) penzijní systémy neposkytují svým účastníkům takovou míru jistoty ohledně výše jejich budoucích penzí jako systémy definované dávkově. Účastníci platí stanovenou příspěvkovou sazbu, ale výše jejich budoucích penzí závisí mimo velikosti odvedených příspěvků také na míře výnosu z investování těchto úspor na kapitálovém trhu a na očekávané době dožití v okamžiku přiznání důchodu. Příspěvkově definované penzijní plány jsou z hlediska financování založeny buď na plně fondovém přístupu nebo na metodě NDC (notional defined contribution - průběžně financovaný systém, ve kterém jsou účastníkům vytvářeny pomyslné účty). Důchodový systém je v České republice založen na prvním povinném průběžně financovaném pilíři, který je definován dávkově. Penzijní připojištění se státním příspěvkem jako součást III. pilíře má pouze okrajový charakter. Demografická situace charakterizovaná populačním stárnutím v důsledku stále se zvyšujícího věku dožití, snižující se porodnosti, zlepšující se zdravotní péče apod. výrazným způsobem ohrožuje budoucí finanční udržitelnost průběžně financovaného důchodového systému (viz např. Bezděk (2000), MPSV (2005), Zahálková (2004)). Dané obtíže, do kterých se dostává průběžně financovaný důchodový systém v ČR, vyvolávají diskuzi o alternativních způsobech financování penzijních systémů. Jednou z alternativ je zavedení fondového příspěvkově definovaného systému. Příspěvek je zaměřen na posouzení dopadů zavedení plně fondového příspěvkově definovaného systému a porovnání úrovně dosahovaných důchodů se současným systémem na bázi simulační metody Monte Carlo.

2 Modelování navrhovaného penzijního plánu V této části je vytvořen pojistně-matematický stochastický model, který slouží ke zkoumání možných variant důchodových příjmů členů navrhovaného příspěvkově definovaného důchodového plánu. Předpokládejme, že jsou vybrané příspěvky v průběhu akumulační fáze investovány do akcií (blue chip emise). Pro danou investiční strategii je provedeno tisíc simulací, přičemž jsou vzaty v úvahu stochastické změny příslušných výnosů z nashromážděných příspěvků a úrovně mezd jednotlivých členů. Množství naakumulovaných příspěvků za 35 let (viz níže uvedené základní předpoklady) je následně použito k výplatě doživotní anuity (důchodu). Předpokládá se, že příspěvky a investiční příjmy nejsou zdaňovány. Použití reálných jednotek v této simulaci eliminuje potřebu zahrnovat úpravy o cenovou inflaci. Základní předpoklady vytvářeného schématu použité v simulaci jsou následující: • vstupní věk: 25 let, • důchodový věk: 60 let, • typ člena penzijního plánu: svobodný muž (plně zaměstnaný před důchodem), • příspěvková sazba: 28%, • administrativní výdaje: 15% z úhrnu ročních příspěvků.

445



Vytvářený důchodový plán by měl sloužit k porovnání se současným průběžně financovaným a dávkově definovaným důchodovým systémem. Z toho důvodu byla zvolena příspěvková sazba na úrovni 28% (příspěvková sazba současného systému). Výsledkem simulace má být zjištění úrovně důchodových příjmů vyjádřených procentem ze mzdy dosažené před odchodem do důchodu. Jedná se o tzv. průměrný hrubý náhradový poměr (blíže k vymezení definic náhradového poměru viz např. Holub, Pollnerová (2004), Zahálková (2006)), který je důležitým ukazatelem životní úrovně důchodců a je vyjádřen následujícím vztahem P RR = , (1) SALW kde je RR náhradový poměr (replacement ratio), P roční výše doživotně vypláceného důchodu, SALW roční výše mzdy dosahované před odchodem do důchodu, W počet let účasti v systému (35 let). Doživotní důchod P je vyplácen z příspěvků naakumulovaných v průběhu příspěvkové periody po dobu W let. Matematicky je roční výše indexovaného důchodu P definována jako A (2) P= W , äx kde AW jsou celkové naakumulované prostředky po W letech účasti v penzijním plánu před odchodem do důchodu, äx je pojistně-matematická současná hodnota doživotního důchodu ve výši 1 Kč vyplácená na začátku každého roku po odchodu do důchodu a je dána rovnicí (3). ∞ p (3) äx = ∑ k x k , k = 0 (1 + d ) kde představuje pravděpodobnost, že se jedinec ve věku x dožije k let a je dána k px vztahem l x+k , (4) k px = lk kde je l x + k počet dožívajících se věku x + k , lx počet dožívajících se věku x , d diskontní sazba určená v konstantní výši 3% p.a. Naakumulované příspěvky za W let jsou vyjádřeny následovně W −1 ⎧ ~ ⎡ W ⎤ ~ ⎫ (5) AW = CR ⋅ (1 − E ) ⋅ ⎨SA LW + ∑ ⎢ ∏ (1 + ~ ru )⎥ SA Lt ⎬ , t = 1 u = t + 1 ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ kde je CR příspěvková sazba (contribution rate) vyjádřená jako procento roční mzdy, E administrativní výdaje (expense) jako procento z příspěvků placených v roce t , ~ SA Lt reálná roční mzda (salary) vyplácená na konci roku t a ~ rt reálná míra investičního výnosu dosažená v roce t . Úroveň mzdy v daném roce je dána vztahem (6) ~ ~ SA Lt = SA Lt −1 ⋅ (1 + ~ st ) , kde s t je roční tempo růstu průměrné reálné mzdy v roce t .

446

(6)



Roční tempo růstu reálných mezd s t je determinováno tempem růstu produktivity práce (reprezentovaného reálným HDP) a zvyšováním mzdy v důsledku seniority (předpokládejme, že tento vliv přispívá k ročnímu růstu mzdy během celé pracovní kariéry konstantně o 1%). Tempo růstu průměrné reálné mzdy je tedy dáno následujícím vztahem ~ st = g~t −1 + p , (7) ~ kde je g t −1 tempo růstu reálného HDP v roce t − 1 , p zvyšování mzdy v důsledku seniority (v %). Jednoroční zpoždění tempa růstu reálného HDP v rovnici (7) znázorňuje situaci, kdy se změna produktivity práce v daném roce projeví na tempu růstu mzdy v roce následujícím. V rovnici (7) je člen p konstantní, g~t −1 se však vyvíjí v čase náhodně. K modelovému popisu jevů náhodně se měnících v čase se většinou používají náhodné procesy (stochastické procesy), což jsou libovolné veličiny měnící se náhodným způsobem v čase. Stochastické změny v tempu růstu reálného HDP jsou modelovány prostřednictvím náhodné proměnné ε~1 , pro kterou platí vztah ε~1 ~ N (0;1) . Tempo růstu reálného HDP lze tedy vyjádřit následovně g~ = exp µ ⋅ dt + σ ⋅ ε~ ⋅ dt − 1 , (8)

(

t

)

1t

1

roční časový interval ( dt = 1 ), µ1 střední hodnota reálného tempa růstu HDP, σ1 směrodatná odchylka reálného tempa růstu HDP. ~ ε 1t náhodná proměnná z normálního rozložení. Během akumulační fáze je pro simulaci využit jeden druh aktiva – akcie. Pro zjištění reálné míry investičního výnosu ~ rt je použit Wilkieho autoregresivní stochastický model (Wilkie, 1995) ve tvaru (9) ln(1 + ~ r ) = µ + ρ [ln(1 + ~ r ) − µ ] + σ 1 − ρ 2 ⋅ ε~ , kde je dt

t

2

rt kde je ~ µ2 σ2

t −1

2

2

(

)

2t

spojitý akciový výnos v roce t , střední hodnota ln(1 + rt ) získaná na základě historických hodnot, směrodatná odchylka ln(1 + rt ) získaná na základě historických hodnot, ρ korelační koeficient mezi ln(1 + rt ) a ln(1 + rt −1 ) získaný na základě historických hodnot, ε~2t náhodná proměnná z normálního rozložení. rt ) závisí na svých předcházejících hodnotách, Z rovnice (9) je patrné, že hodnota ln(1 + ~ na náhodné chybě stejně jako na její střední hodnotě, směrodatné odchylce a korelaci. 2.1 Metoda simulace náhodných faktorů Ukazatel AW je determinován náhodnými ukazateli ln(1 + ~ rt ) a g~t . Při jeho predikci je tedy nutné vzít v úvahu korelace mezi náhodnými faktory. Existuje-li statistická závislost mezi rezidui náhodných procesů jednotlivých ukazatelů, je jednou z možností provedení generování náhodného vektoru prvotních faktorů z podle Choleskeho algoritmu takto, T

T

z = e ⋅ P, kde je e P

(10)

vektor nezávislých proměnných z rozdělení Φ(0;1), horní trojúhelníková matice odvozená z kovarianční matice C .

Vztah mezi touto maticí a kovarianční maticí je následující, C = PT ⋅ P .

447



⎞ p11 ⋅ p12 L p11 ⋅ p1 j ⎛ σ 11 σ 12 L σ 1 j ⎞ ⎛ p112 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2 2 L σ σ σ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ p p p p L p p p p ⎜ ⎜ 21 22 2j ⎟ 12 22 12 1j 22 2j ⎟ = ⎜ 11 12 ⎟. ⎟ ⎜ M M O M M M O M ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜p ⋅p ⎜σ ⎟ L σ σ L ⋅ + ⋅ p p p p p i2 ij ⎠ ∑ ij 12 1j 22 2j ⎝ i1 ⎝ 11 1 j ⎠ Horní trojúhelníková matice se sestrojí podle následujících pravidel, 12

j −1 ⎛ ⎞ p jj = ⎜⎜ σ jj − ∑ p kj2 ⎟⎟ , k =1 ⎝ ⎠ i −1 ⎛ ⎞ pij = ⎜ σ ij − ∑ p ki ⋅ p kj ⎟ ⋅ pii−1 , k =1 ⎝ ⎠

pro

j = 1,2,...N ,

pro

1< i < j ≤ N ,

p1 j = σ 1 j ⋅ σ 11 2 ,

pro

j = 1,2,...N ,

pij = 0 ,

pro

i > j;

−

1

i, j = 1,2,...N .

3 Aplikace V této části je pozornost blíže zaměřena na postup řešení, vymezení vstupních dat a odhad parametrů sloužících v daném modelu jako vstupní parametry simulace. 3.1 Aplikace přístupu simulace Monte Carlo Postup řešení probíhal v těchto krocích: • volba vhodného modelu (dílčího stochastického procesu) pro popis chování jednotlivých veličin v pojistně-matematickém modelu; • odhad dílčích parametrů historickým přístupem analýzou časových řad sloužících jako vstupní parametry simulace ( µ1 , σ 1 , µ 2 , σ 2 , ρ );

• • • •

výpočet kovarianční matice C a její rozklad dle Choleskeho algoritmu pro vyjádření horní trojúhelníkové matice P ; generování náhodných proměnných ~z1 a ~z 2 a za pomoci příslušného stochastického procesu výpočet 1000 scénářů vývoje ln(1 + ~ rt ) a g~t pro 35 kroků simulace (35 let); výpočet hodnot AW a P pro jednotlivé scénáře po 35-ti krocích simulace pro danou investiční strategii; výpočet hrubého průměrného náhradového poměru ( RR ) pro jednotlivé scénáře pro příslušné percentily z množiny simulovaných vzestupně seřazených hodnot.

3.2 4.2 Vstupní data a odhad parametrů Pro výpočet vztahu (3) byla potřebná data získána na základě úmrtnostních tabulek České republiky pro muže z roku 2005 (www.czso.cz). Důchodovému věku x = 60 let pro muže odpovídá pojistná současná hodnota ve výši a&&60 = 13,6338 . Tato částka znamená, že pokud by chtěl jedinec získávat důchod ve výši 1 Kč ročně od 60 let věku až do smrti, musí mít za svůj pracovní život nakumulováno 13,6338 Kč ve formě příspěvků očištěných od administrativních výdajů. Na základě historických dat tempa růstu reálného HDP v letech 1996 – 2005 získaných z Českého statistického úřadu bylo odhadnuto, že střední hodnota reálného tempa růstu HDP µ1 = 0,0255 a směrodatná odchylka σ 1 = 0,0232 .

448



Během akumulační fáze je pro simulaci využit jeden druh aktiva – akcie. Spojitý investiční výnos českých akcií byl zjištěn z průměrných ročních hodnot indexu PX (cenový index blue chip emisí, přičemž index PX převzal historii indexu PX 50) na Burze cenných papírů Praha za období od září 1993 do roku 2005. Odhad střední hodnoty ln(1 + rt ) ( µ 2 ) byl zjištěn na úrovni 0,03262 a směrodatná odchylka ( σ 2 ) 0,32581 , což odráží volatilní povahu akciového výnosu v ČR. Korelační koeficienty mezi řadou historických dat ln(1 + rt ) a shodnými hodnotami časově zpožděnými ln(1 + rt − k ) pro k = {1,2,3}mezi lety 1994 - 2005 jsou uvedeny v Tab. 1. k 1 2 3

korelace -0,17309 0,05565 0,39746

Tab.č. 1: Korelační koeficienty mezi řadou historických dat ln(1 + rt ) a ln(1 + rt − k ) pro k = {1,2,3}mezi lety

1994 – 2006.

Dle Wilkieho (1995) data z Tab. 1 potvrzují, že je vhodné využití autoregresivního stochastického modelu ve tvaru dle rovnice (9). Ukazatel AW je determinován náhodnými ukazateli ln(1 + ~ rt ) a g~t . Při jeho predikci je tedy nutné vzít v úvahu korelace mezi náhodnými faktory. Korelace mezi řadou historických hodnot reálného tempa růstu HDP g t a spojitého akciového výnosu ln(1 + rt ) v letech 1996 až 2005 byla zjištěna ve výši 0,679 . Existuje zde statistická závislost mezi rezidui náhodných procesů jednotlivých ukazatelů. Je tedy nutné provést generování náhodných vektorů prvotních faktorů ~ z i pro i = {1,2} dle Choleskeho algoritmu popsaného výše. Vzorce (8) a (9) je tedy nutné modifikovat na g~t = exp µ1 ⋅ dt + σ 1 ⋅ ~ z1t ⋅ dt − 1 , ln (1 + ~ rt ) = µ 2 + ρ [ln (1 + ~ rt −1 ) − µ 2 ] + σ 2 1 − ρ 2 ⋅ ~ z2t .

(

)

(

)

(11) (12)

Po dosazení lze psát g~t = exp(0,0255 + 0,0232 ⋅ ~ z1t ) − 1 , 2 ln(1 + ~ rt ) = 0,03262 − 0,17309[ln (1 + ~ rt −1 ) − 0,03262] + 0,32581 ⋅ 1 − (− 0,17309 ) ⋅ ~ z 2t .

4 Výsledky simulace V této části jsou prezentovány výsledky simulace vycházející z použití stochastického pojistně-matematického modelu popsaného výše. Bylo vygenerováno 1000 scénářů možného vývoje tempa růstu reálného HDP a akciového výnosu a na základě těchto propočtů byly dále zjištěny hodnoty mezd pro jednotlivé kroky a doživotní důchodové dávky vyplácené z naakumulovaných příspěvků pro zvolenou investiční strategii. Výsledné hodnoty simulace rozdělení pravděpodobnosti a tedy predikce ukazatele tempa růstu reálného HDP ukazují následující grafy.

449



Graf č. 1: Vývoj tempa růstu reálného HDP v průběhu následujících 35 let.

tempo růstu reálného HDP

Hodnoty v Grafu 1 představují průměrnou hodnotu tempa růstu HDP získanou z tisíce nasimulovaných hodnot pro každý krok simulace. Graf č. 2: Predikce rozdělení pravděpodobnosti g t dle kvantilů. 3,00% 2,80%

min 5%

2,60%

50% 95%

2,40%

max 2,20% 2,00% 1

5

10

15

20

25

30

35

roky

Graf č. 3: Rozdělení pravděpodobnosti g t dle předikovaných let.

450



Výsledné hodnoty pro spojitý akciový výnos ln(1 + ~ rt ) jsou ukázány v grafech 4, 5 a 6. Graf č. 4: Vývoj spojitého akciového výnosu rt .

Hodnoty v Grafu 4 představují průměrnou hodnotu spojitého akciového výnosu získanou z tisíce nasimulovaných hodnot pro každý krok simulace. Graf č. 5: Predikce rozdělení pravděpodobnosti ln(1 + rt ) dle kvantilů. 0,5 0,4

ln(1+rt)

0,3 0,2

min

0,1

5% 50%

0 -0,1

1

5

10

15

20

25

30

35

-0,2

95% max

-0,3 -0,4 -0,5 roky

Graf č. 6: Rozdělení pravděpodobnosti ln(1 + rt ) dle predikovaných let.

451



V Tab. 2 jsou prezentovány vypočtené hodnoty doživotně vyplácené penzijní dávky vyjádřené jako procento z konečné mzdy (náhradový poměr) pro jednotlivé percentily výsledného rozložení tisíce pozorování. V grafu 7 je znázorněno rozložení pravděpodobnosti náhradového poměru. Náhradový poměr Percentily 24,91% minimum 30,74% 1% 38,03% 5% 41,02% 10% 48,34% První kvartil 59,34% Druhý kvartil 73,63% Třetí kvartil 95,39% 95% 121,72% 99% 179,67% maximum Tab.č. 2: Velikost náhradového poměru pro jednotlivé percentily. Graf č. 7: Rozložení pravděpodobnosti náhradového poměru.

Dle zjištěných údajů lez očekávat důchodové příjmy na úrovni 59,34% konečné mzdy s pravděpodobností 50% (viz řádek pro druhý kvartil v Tab. 2). Oproti současnému průběžně financovanému důchodovému systému sociálního důchodového pojištění je tento průměrný hrubý náhradový poměr vyšší o 20%. Z tabulky je dále patrná značná variabilita možných dosahovaných důchodových příjmů jednotlivců, které se pohybují od 25% do 180% úrovně mzdy před odchodem do důchodu.

5 Závěr V příspěvku byla popsána a aplikována metodologie predikce ukazatele náhradového poměru v podmínkách plně fondového a příspěvkově definovaného důchodového systému v ČR pomocí simulace Monte Carlo. Nejdříve byl definován pojistně-matematický stochastický model, byla popsána metodika odhadu stochastických veličin a simulace ukazatelů pomocí Choleskeho algoritmu. Na základě výše uvedeného byl proveden odhad náhradového poměru pro 25-letého plně zaměstnaného muže, u něhož je předpoklad odchodu do důchodu za 35 let. Vycházelo se ze dvou náhodných proměnných ( g~t , ln(1 + ~ rt ) ).

452



Z výsledků simulace vyplývá, že při dané investiční strategii fondového systému (investování pouze do akcií) by náhradový poměr dosahoval nejpravděpodobněji hodnoty kolem 56% (viz graf č. 7). To znamená, že navrhovaná varianta příspěvkově definovaného fondového systému by dosahovala oproti stávajícímu dávkově definovanému PAYG systému lepších výsledků zhruba o 20 %. Dále byla prokázána značná variabilita možných dosahovaných důchodových příjmů (od 25% do 180% předdůchodových příjmů). Tato variabilita důchodových příjmů je jedním z nejvýznamnějších rizik příspěvkově definovaných penzijních systémů. Rizika je možné snižovat investováním do méně volatilních aktiv, např. státních dluhopisů. Výpočty lze tedy rozšířit zahrnutím dalších investičních strategií (např. 50% dluhopisy-50% akcie, 100% dluhopisy)2.

Literatura [1] BEZDĚK, V. Penzijní systémy obecně i v kontextu české ekonomiky (současný stav a potřeba reforem). Praha: ČNB, Sekce měnová, 2000. [2] BLAKE, D., CAIRNS, A., DOWD, K. PensionMetrics II: Stochastic pension plan design During the Distribution Phase. Insurance: Mathematics and Economics 33: 29-47, 2001. [3] BLAKE, D., CAIRNS, A., DOWD, K. PensionMetrics: Stochastic pension plan design and value-at-risk during the accumulation phase. Insurance: Mathematics and Economics 29: 187-215, 2001. [4] BLAKE, D.: Take (Smoothed) Risks When You Are Young, Not When You Are Old: How to Get The Best From Your Stakeholder Pension Plan. IMA Journal of Management Matematics, Working Paper No. 14: 145-161, 2003 [5] CIPRA, T.: Matematika cenných papírů. HZ Praha, Praha, 2000, ISBN 80-86009-35-1. [6] DLUHOŠOVÁ, D. a kol. Nové přístupy a finanční nástroje ve finančním rozhodování. VŠB – TU Ostrava, Ostrava, 2004, ISBN 80-248-0669-X. [7] HOLUB, M., POLLNEROVÁ, Š.: Relace důchodu ke mzdě. Praha: VÚPSV, 2004 [8] HUŠEK, R., LAUBER, J. Simulační modely. SNTL – Nakldatelství technické literatury, Praha, 1987. [9] KHORASANEE, M., Z.: Simulation of Investment Returns for a Money Purchase Fund. Actuarial Research Paper No. 74, Department of Actuarial Science and Statistic, City University, London, 1995. [10] KIM, J., MALZ, A., M., MONA, J. LongRun Technical Document. Riskmetrics Group. J. P. Morgan, 1999. [11] KNOX, D.: A Critique of Defined Contribution Using a Simulation Approach. Research Paper No. 7, University of Melbourne: Centre of Actuarial Studies, Melbourne, 1993. [12] KUBÍČEK, J. Fondový penzijní systém v konvergijící ekonomice. In Finance a úvěr, 54, č. 11-12, 2004.

2

Je nutné zmínit, že v praktické rovině problematika zavedení příspěvkově definovaného fondového schématu zahrnuje širší aspekty – je nutné vzít v úvazu náklady přechodu, ochotu členů přejít na dané schéma a důvěra v něj, otázka provozovatele, státních garancí, apod. 453



[13] MERCER, M., W.: Analýza důchodových reforem z hlediska české důchodové reformy. VÚPSV, 2001. [14] MPSV: Národní strategická zpráva o přiměřených a udržitelných důchodech. 2005, http://www.mpsv.cz/files/clanky/1450/CZ_nsrp_cz.pdf. [15] STEUERLE, E., SPIRO, Ch.: What Happens to Replacement Rates over the Course of Retirement? Straight Talk on Social Security and Retirement Polisy. Urban Institute, 2000b, No.25. [16] STEUERLE, E., SPIRO, Ch., CARASSO, A.: Measuring Replacement Rates at Retirement. Straight Talk on Social Security and Retirement Polisy, Urban Institute, 2000a, No.24. [17] TEKSÖZ, A., T., SAYAN, S.: Simulation of Risks and Benefits from a Private Pension Scheme for Turkey. Bilkent University, Ankara, 2001. [18] WHITEFORD, P.: The Use of Replacement Rates in International Comparision of Benefit System. York: SPRC (Social Policy Research Centre), 1995, Discussion Paper No. 54. [19] WILKIE, A., D.: More on a Stochastic Model for Actuarial Use. British Actuarial Journal, 5, 777-945, 1995. [20] ZAHÁLKOVÁ, J.: Finanční (ne)udržitelnost systému starobních důchodů v ČR. In Sborník abstraktů z konference studentů doktorského studia MendelNET 2004. Brno: KONVOJ, s. r. o, 2004. ISBN 80-7302-088-2 [21] ZAHÁLKOVÁ, J.: Náhradový poměr. In Sborník příspěvků VIII. Ročníku mezinárodní konference MEKON 2006. VŠB – TU, Ostrava, 2006. ISBN 80-248-1013-1 [22] ZMĚŠKAL, Z. et al.: Financial models. VSB-Technical University of Ostrava, Ostrava, 2004, ISBN 80-248-0754-8. [23] http://www.czso.cz [24] http://www.duchodovareforma.cz [25] http://www.pensions-institute.org

Summary Simulation of pension benefits from the proposed defined contribution pension system in the Czech Republic This paper is devoted to description and application of the replacement ratio prediction methodology using Monte Carlo approach under fully funded and defined contribution pension system conditions. Initially, particular kinds of pension systems are defined. Consequently the actuarial stochastic model is defined, there is described the methodology of stochastic values estimation. The simulation of values by means of Cholesky algorithm is shown. Then the simulation results are graphically illustrated and explained.

454

Simulace důchodových dávek z navrhovaného příspěvkově definovaného penzijního systému v ČR

Recommend Documents