VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA fakulta strojní katedra hydromechaniky a hydraulických zařízení
SIMULACE A MODELOVÁNÍ HYDRAULICKÝCH SYSTÉMŮ doc. RNDr. Milada Kozubková, CSc.
2009 Ostrava
Obsah OBSAH .................................................................................................................................................................. 2 1.
2.
3.
4.
5.
MODELOVÁNÍ A IDENTIFIKACE.......................................................................................................... 4 1.1
TEORIE MODELOVÁNÍ .............................................................................................................................. 4
1.2
TVORBA MATEMATICKÉHO MODELU ........................................................................................................ 6
1.3
ELEKTRICKÁ ANALOGIE HYDRAULICKÝCH ODPORŮ................................................................................. 8
1.4
ŘAZENÍ ODPORŮ R, L, C .......................................................................................................................... 9
METODY ŘEŠENÍ HYDRAULICKÝCH OBVODŮ ............................................................................. 12 2.1
PROGRAMY PRO ŘEŠENÍ HYDRAULICKÉHO OBVODU............................................................................... 13
2.2
FLOWMASTER ........................................................................................................................................ 13
2.3
MATLAB ................................................................................................................................................ 15
2.4
SIMHYDRAULICS ................................................................................................................................... 18
STATICKÉ CHARAKTERISTIKY HYDRAULICKÝCH SYSTÉMŮ................................................ 26 3.1
ODPOR PROTI POHYBU ........................................................................................................................... 26
3.2
VÝPOČET TLAKOVÉHO SPÁDU ................................................................................................................ 31
3.3
VÝPOČET STATICKÉ CHARAKTERISTIKY................................................................................................. 37
3.4
VÝPOČET ROZVĚTVENÉ NEBO OKRUHOVANÉ SÍTĚ ................................................................................. 41
DYNAMICKÉ ODPORY HYDRAULICKÝCH PRVKŮ V SIMHYDRAULICS ............................... 48 4.1
ODPOR PROTI ZRYCHLENÍ ...................................................................................................................... 48
4.2
ODPOR PROTI DEFORMACI A HYDRAULICKÁ KAPACITA .......................................................................... 49
4.3
ZNAČENÍ HYDRAULICKÝCH ODPORŮ ...................................................................................................... 55
4.4
ČASOVÉ KONSTANTY ............................................................................................................................. 56
MATEMATICKÝ MODEL SLOUPCE KAPALINY ............................................................................. 60 5.1
R-(L+C) ČLÁNEK (TZV. T ČLÁNEK) ....................................................................................................... 60
5.2
R-L – ČLÁNEK ........................................................................................................................................ 65
5.3
C+(R-L) - LČLÁNEK .............................................................................................................................. 66
5.4
SYMETRICKÝ T ČLÁNEK......................................................................................................................... 67
5.5
π
ČLÁNEK .......................................................................................................................................... 68
5.6
SEGMENTOVANÉ POTRUBÍ...................................................................................................................... 68
5.7
SROVNÁNÍ ŘEŠENÍ PRO RŮZNÉ TYPY MODELŮ ........................................................................................ 70
5.8
RYCHLOST ZVUKU V POTRUBÍ ................................................................................................................ 71 2
6.
LAPLACEOVA A FOURIEROVA TRANSFORMACE, PŘENOSY................................................... 73 6.1
LAPLACEOVA TRANSFORMACE SPOJITÉ FUNKCE .................................................................................... 73
6.2
PŘENOS SYSTÉMU .................................................................................................................................. 75
6.3
POZNÁMKY K POČÁTEČNÍM PODMÍNKÁM ............................................................................................... 78
6.4
STABILITA SYSTÉMU .............................................................................................................................. 80
6.5
FYZIKÁLNÍ VÝZNAM PŘENOSŮ VYŠŠÍCH ŘÁDŮ A JEJICH PARAMETRŮ ..................................................... 81
6.6
FOURIEROVA TRANSFORMACE SPOJITÝCH SIGNÁLŮ ............................................................................... 83
6.7
FREKVENČNÍ ANALÝZA V SIMHYDRAULICS ........................................................................................... 86
7.
HYDRAULICKÝ RÁZ............................................................................................................................... 90 7.1
EXPERIMENTÁLNÍ ZKOUMÁNÍ HYDRAULICKÉHO RÁZU VE VODĚ............................................................ 90
7.2
ŘEŠENÍ METODOU ELEKTROHYDRAULICKÉ ANALOGIE ........................................................................... 90
7.3
PŘENOS .................................................................................................................................................. 96
8.
HYDRAULICKÝ AKUMULÁTOR ......................................................................................................... 99 8.1
VÝZNAM AKUMULÁTORU ...................................................................................................................... 99
8.2
ODPORY HYDRAULICKÉHO PLYNOVÉHO AKUMULÁTORU ....................................................................... 99
8.3
MATEMATICKÝ MODEL HYDRAULICKÉHO PLYNOVÉHO AKUMULÁTORU .............................................. 101
8.4
PŘENOS ................................................................................................................................................ 104
8.5
PARALELNÍ ZAPOJENÍ AKUMULÁTORU V OBVODU ............................................................................... 105
8.6
VAZBA MEZI PŘENOSEM SÉRIOVĚ A PARALELNĚ ZAPOJENÝCH R,L,C PRVKŮ ....................................... 109
8.7
DYNAMICKÉ KONSTANTY NĚKTERÝCH AKUMULÁTORŮ ....................................................................... 110
8.8
PRVKY S PŘEVAŽUJÍCÍ KAPACITOU....................................................................................................... 111
9.
ROTAČNÍ HYDROGENERÁTOR ........................................................................................................ 112 9.1
TEORETICKÝ ROZBOR .......................................................................................................................... 112
9.2
MATEMATICKÝ MODEL HYDROGENERÁTORU ...................................................................................... 112
9.3
SOUČINITELE STATICKÝCH PRŮTOKOVÝCH A MOMENTOVÝCH CHARAKTERISTIK HYDROSTATICKÝCH
ČERPADEL ........................................................................................................................................................ 114
9.4
ZÁKLADNÍ PARAMETRY ČERPADEL ...................................................................................................... 115
9.5
CHARAKTERISTIKA ČERPADLA ............................................................................................................. 115
9.6
ODSTŘEDIVÉ ČERPADLO V SIMHYDRAULICS ....................................................................................... 116
10.
ŘÍDICÍ PRVKY .................................................................................................................................... 125
11.
LITERATURA:..................................................................................................................................... 127
11.1
LINEARIZACE ODPORU PROTI POHYBU U DYNAMICKÝCH ÚLOH ............................................................ 128 3
1. Modelování a identifikace 1.1
Teorie modelování
Teorie modelování spočívá v sestavení modelů s uvažováním dynamiky, přitom přístupy mohou být následující •
matematické modely
•
experimentální modely
Starší a velmi dobře propracovanou metodou je metoda fyzikálního modelování, založená na experimentální práci v hydraulické laboratoři, což je velmi významnou složkou výzkumné práce. Zkoumají se modely nejrůznějších strojů a zařízení, aby se poznaly jejich základní vlastnosti nebo zjistily a opravily vady, ověřují se teoretické předpoklady návrhu či projektu a velmi často se pokusně zjišťují vzájemné závislosti zúčastněných veličin. Výsledky získané na modelu se pak aplikují na skutečné zařízení, tzv. dílo. Prozkoumání jevu na modelu umožňuje také zavést opravné součinitele do teoreticky odvozených rovnic, jejichž řešení bylo založené na zjednodušujících předpokladech (aby se matematické řešení usnadnilo nebo zjednodušilo), které se však od skutečných poměrů částečně odchylují. V některých složitých případech, které nejsou dosud teoreticky řešitelné, se experimentem získávají pro praxi potřebné vztahy veličin. Řadu jevů nelze ale fyzikálně postihnout modelem. Týká se to především řešení přenosu tepla, zvláště typického vysokými teplotami. Proto se v současné době rozvíjí matematické modelování, resp. matematicko-fyzikální modelování, které je založeno na aplikaci fyzikálních zákonů, pomocí kterých lze vytvořit matematické modely mechanických, hydraulických, pneumatických, elektrických a tepelných systémů. Dílo
Fyzikální model křídla s odběry tlaku
Detail 4
Matematický model křídla s sítí
Rozložení tlaku
obr. 1.1 Dílo, fyzikální model, matematický model
Experimentální identifikace je postup, kdy na základě měření význačných veličin se odhadne chování systému a na základě zkušeností a identifikačních metod se definuje matematický model. Simulace slouží ke zkoumání dynamických vlastností soustavy, což zpravidla vede až ke zjištění časových průběhů řešených veličin. Simulace spočívá ve vytvoření simulačního modelu, který tvoří matematický model - algebraické rovnice diferenciální rovnice obyčejné diferenciální rovnice parciální Řešení matematického modelu je možné následovně analyticky – exaktně, užití Laplaceovy transformace pro linearizované případy numericky – analogové, číslicové (Eulerova metoda, Runge-Kutta, metoda charakteristik, obecná diferenční metoda) 5
K simulaci je možno využít obecných programovacích jazyků nebo komerčně vytvořených programových balíků: obecné - Pascal, Fortran, Mathcad, Matlab, Dynast, Sipro speciální - Simula, Simet, Hyvos, Flowmaster. Matlab-SimHydraulics Matematické modelování je rychlejší, levnější, umožňuje prověřit řadu variant za různých počátečních podmínek, ale předpokládá se v co největší míře ověřování s experimentem.
1.2
Tvorba matematického modelu
Při tvorbě matematického modelu se zkoumaný prvek rozkládá na jednodušší části, které jsou schopné samostatné dílčí činnosti a umožňují popis základními rovnicemi. Tak např. u hydrogenerátoru jsou to těsnicí mezery, třecí plochy, pohybující se hmotnosti apod. Průtoky, tření, setrvačné síly apod. se dají vyjádřit základními rovnicemi, známými z mechaniky a proudění. Soustava všech rovnic tvoří pak matematický model prvku či soustavy. Soustava rovnic obsahuje algebraické i diferenciální rovnice. Tento postup při tvorbě matematického modelu lze aplikovat na různé systémy, a to mimo tekutinové též na elektrické, mechanické, tepelné apod. Porovnávají-li se soustavy rovnic různých systémů, dochází se k poznatku, že matematický popis (model) je v mnoha případech kvalitativně shodný. To vede k uplatnění poznatků z jednoho oboru v druhém, což se před několika lety uskutečnilo při řešení dynamiky tekutinových mechanismů, kdy se využily poznatky z teorie elektrických obvodů. Řešení hydraulických problémů spočívalo v nalezení analogických hydraulických veličin, které odpovídají elektrickým veličinám, jako jsou např. pro pasivní členy ohmický odpor, indukčnost a kapacita. Těm v hydraulice odpovídají odpory proti pohybu, zrychlení a deformaci. Na základě elektrické analogie se začala intenzivně rozvíjet dynamika tekutinových mechanismů. Přenos energie u hydraulických, pneumatických, mechanických, tepelných a elektrických systémů je charakterizován dvojicemi parametrů, které se mohou měnit v čase a případně v prostoru. Jsou to: •
tlak p a průtok
•
síla
•
moment
Q u tekutinových mechanismů
F a rychlost v u mechanických zařízení s přímočarým pohybem M a úhlová rychlost ω (případně otáčky n nebo frekvence f ) u mechanických zařízení
s rotačním pohybem •
napětí
U a proud i u elektrických obvodů
Pro tekutinové mechanismy se aplikují základní zákony, které jsou běžné v mechanice pevných a tekutých látek (Newton, Euler), podobně v elektrotechnice platí obdobné zákony (Kirchhoff a Maxwel). V elektrickém obvodu vystupují tři základní pasivní prvky, a to odpor, cívka a kondenzátor. Neelektrické systémy se dají tak rozložit na základní prvky analogické elektrickému odporu, kondenzátoru a cívce. Jejich různorodým zapojením vznikají obvody - systémy. Matematický model systémů se pak odvodí ze základních rovnic pro uvedené tři elektrické prvky a jejich zapojení v obvodu. S omezením na případy, kdy původní systém se nahrazuje soustředěnými Iineárními prvky, 6
mohou se zavést komplementámí proměnné v podobě intenzivní veličiny
I (t ) a extenzivní veličiny
E (t ) . Na elementu v systému je pak vyjádřen vztah mezi intenzivní a extenzivní veličinou rovnicemi I (t ) = R.E (t ), I (t ) =
1 dE (t ) 1 E (t )dt , I (t ) = L ⇒ E (t ) = ∫ I (t )dt ∫ C dt L
V těchto rovnicích vystupují veličiny
( 1.2.1)
R , C , L představující v elektrických obvodech ohmický odpor,
kapacitu a indukčnost, pokud intenzivní veličinou je napětí
U (t ) , tj. I (t ) = U (t ) a extenzivní veličinou
E (t ) je elektrický proud i (t ) , tj. E (t ) = i (t ) . Analogie mezi elektrickými, mechanickými, hydraulickými, pneumatickými a tepelnými systémy je vyjádřena v Tab. 1.1. Tab. 1.1 Veličina Systém elektrický mechanický translační mechanický rotační
hydraulický
pneumatický
tepelný
intenzivní
extenzivní
I (t )
E (t )
napětí
proud
odpor
R=
I (t ) E (t )
odpor ohmický
kapacita
I (t ) =
1 E (t )dt C∫
kapacita
indukčnost
E (t ) =
1 I (t )dt L∫
indukčnost
U
i
R
C
L
síla
rychlost
tlumení
konstanta pružiny
hmotnost
F
v
b
moment
úhlová rychlost
tlumení
konstanta pružiny
1 Cm = cϕ
Cm =
1 c
M
ω
b
tlak
průtok
odpor třecí
p
Q
tlak
průtok hmotnostní
p
Qm
teplotní rozdíl
tepelný tok
odpor vedení
tepelná kapacita
Q
1 RT = λS
CT = mc
∆T
RH =
8ηl πr 4
odpor třecí
RP =
8ηl πr 4
přestup
RT =
1 αS
ohřev, ohlazení
RT =
1 Qc
7
hydraulická kapacita
CH =
V K
pneumatická kapacita
CP =
m0 V = p0 RT
Lm = m moment setrvačnosti
Lm = J
odpor proti zrychlení
LH =
m S2
odpor proti zrychlení
LP =
V S2
neexistuje
1.3
Elektrická analogie hydraulických odporů
Elektrohydraulická analogie umožňuje zkoumat hydraulické prvky, jejich skupiny a systémy pomocí elektrických obvodů, jejichž přechodové vlastnosti jsou srovnatelné. Při aplikaci elektrohydraulické analogie je třeba splnit tyto předpoklady: •
ze zapojení hydraulických prvků v systému se musí odvodit zapojení prvků elektrického obvodu
•
musí být známy fyzikální veličiny v hydraulickém systému a analogické elektrické veličiny je nutno z nich určit.
V praxi se téměř výlučně používá analogie: •
elelktrické napětí U - tlak p
•
elektrický proud
i - průtok Q .
Na základě uvedené analogie hydraulických veličin
(p,Q )
a elektrických veličin
(U, i )
jsou
definovány odpory: Hydraulický odpor proti pohybu
RH =
d (∆p ) dQ
tedy
d (∆p ) = RH dQ
U dU = R = i di
( 1.3.1)
představuje odpory třením a místní při proudění kapaliny. Hydraulická indukčnost
∆p LH = dQ dt
U L = di dt
dQ tedy ∆p = LH dt
( 1.3.2)
která představuje odpor proti zrychlení. Z hlediska mechaniky jde o vliv setrvačnosti hmoty . Hydraulická kapacita a deformace
CH
Q = d ∆p dt
d∆p 1 tedy Q = CH ⇒ ∆p = ∫ Qdt dt C
i C = dU dt
( 1.3.3)
představuje převrácenou hodnotu odporu proti deformaci (kapaliny, plynu, potrubí, pružiny apod.).
d∆p d∆p DH = dt = Q d∆V
( 1.3.4)
Poznámka: Elektrohydraulická analogie
U ↔ p , i ↔ Q má výhodu v tom, že se v obou systémech řadí odpory
stejně, tj. paralelnímu řazení odporů v elektrickém obvodu odpovídá paralelní řazení odporů v hydraulickém obvodu. Nepřesnost je v analogii elektromotoru a hydrogenerátoru. Elektromotor pracuje při
U = konst . a mění se proud i , zatímco hydrogenerátor pracuje při průtoku konstantním, tj. 8
Q = konst . a mění se tlak p . Z tohoto porovnání vyplývá nepřímá analogie U ↔ Q a p ↔ i . Toto však má nevýhodu v tom, že paralelnímu řazení odporů v hydraulickém obvodu odpovídá sériové řazení odporů v elektrickém obvodě.
1.4
Řazení odporů R, L, C
Odpory se mohou řadit paralelně a sériově. Při obecném kombinovaném řazení odporů, kdy některé odpory jsou řazeny sériově a jiné paralelně, se hovoří o odporové síti, jejíž řešení je obsaženo v teorii grafů, využívané v elektrotechnice spolu se známými Kirchhoffovými zákony. V hydraulice bude platit zákon o uzlech a zákon o okruzích. Zákon o uzlech (zákon zachování hmotnosti resp. rovnice kontinuity) vyjádřený vztahem n
∑Q
=0
i
( 1.4.1)
i =1
což je vyjádření rovnice kontinuity, tedy součet průtoků s ohledem na znaménko je roven nule. Zákon o okruzích (zákon zachování energie resp. Bernoulliho rovnice) je vyjádřen rovnicí n
∑ ∆p
i
=0
( 1.4.2)
i =1
a znamená, že součet tlakových spádů na odporech v jednom okruhu je roven nule.
Q Q
Q
n-1
. .
(1)
.
n
.
∆ p2
. Q
1
k
(m)
Q
..
2
Q
.
.
.
i
∆ pn
n
∆ pk-1
(n-1) k-1 k (k-1) ∆ pk
n
∑Q
2
(n)
(2)
3
obr. 1.2 Bilance průtoků
∆ p1 1
n-1
∆ pn-1
(k) n
=0
obr. 1.3 Bilance tlaků
i =1
∑ ∆p
i
=0
i =1
Prvek je často chápán jako jediná součástka (odpor, indukčnost, kapacita). Mnohdy je možné a výhodné za prvek považovat útvar vzniklý z mnoha součástek a lze hovořit o funkčních blocích, viz tab. 1.2.
9
tab. 1.2 Funkční bloky
Dvojpóly
jedna vstupní a jedna výstupní veličina
R
Qv
Q2
Q1 Trojpóly
∆p
tří vstupní resp. výstupní veličiny
Q3 Čtyřpóly
Qv
∆p
∆p
Qv
čtyři varianty vstupních a výstupních veličin
Čtyřpól je nejběžnější kombinace dvou vstupních a dvou výstupních veličin a proto se čtyřpól často nazývá dvojbran (dvě brány - vstupem jsou dvě dvojice).
1.4.1 Řazení prvků Dva prvky lze vzájemně propojit
paralelně (vedle sebe)
seriově (za sebou)
Podobně tři prvky lze propojit pěti způsoby
10
Pro větší počet prvků množství různých zapojení vzrůstá. Proto je třeba zavést určitý jednoznačný systém označení větví, uzlů a prvků. Tímto systémem se zabývá teorie grafů využívající maticového zápisu. Ve složitějších případech se může dojít k soustavám závislých rovnic nebo nedokonale určeným soustavám. Proto se omezíme na obvody složené z dvojpólů resp. čtyřpólů, což umožní bezprostředně využít teorii grafů.
11
2. Metody řešení hydraulických obvodů Hydraulické obvody se skládají z hydraulických prvků a potrubního systému. Pokud se zabýváme konstrukcí hydraulických prvků, pak je nutné řešit úplný vícerozměrný systém pohybových rovnic proudění a rovnice kontinuity. Výsledkem je rozložení tlaků a rychlostí resp. průtoků v celé řešené oblasti. Přitom musí být zohledněny okrajové podmínky, které řešení významně ovlivňují. Klasické hydraulické obvody často propojené dlouhými potrubími jsou tímto způsobem neřešitelné z důvodu časové náročnosti, proto jsou odvozovány jednodušší modely hydraulických potrubí a prvků, které svou topologií velmi připomínají elektrické obvody. Také jednotlivé prvky vykazují formálně analogické vlastnosti. Proto se přistupuje k řešení zjednodušených soustav rovnic v analogii s elektrickými obvody. Toto zjednodušení s sebou přináší ale řadu problémů s definicí stlačitelnosti kapalin, tření atd. Přesto je tato metoda zpracovaná do řady komerčních programů. Nejkvalitnějším z nich je Flowmaster, v současné době byla vyvinuta nadstavba Matlab Simulinku, tj. SimHydraulics. Výše uvedená soustava rovnic aplikovaná na hydraulické obvody je řešitelná dvojím způsobem: •
řešení celého systému rovnic metodou konečných objemů, výsledkem je prostorové rozložení proudových polí, viz obr. 2.1.
obr. 2.1 Prostorové řešení proudění ve ventilu kolem škrtící hrany. •
řešení zjednodušeným přístupem nazývaným elektrohydraulická analogie, což plyne z jisté podobnosti hydraulických a elektrických obvodů včetně definování hydraulických odporů proti pohybu, hydraulických indukčností a hydraulických kapacit. Sloupec kapaliny pak odpovídá elektrickému vedení včetně problematiky dlouhého vedení. Tedy hydraulické prvky se předpokládají jako funkce času a jsou nezávislé na prostorové souřadnici, tj. jednorozměrným modelem a proudění sloupce kapaliny může být funkcí času a případně navíc jedné prostorové souřadnice. Na obr. 2.2 je zobrazeno stacionární řešení hydraulického obvodu, proto jsou vyhodnoceny je ve vybraných bodech číselné hodnoty tlaků a průtoku. 12
0.001
PS S
Kapalina A f(x)=0
Q
PS-S m3/s A
B
Prutokomer
A
S PS
Konstanta
S-PS m3/s
T
S
Ideal zdroj prutoku 0.001
B
Potrubi-R
P
Vypoc. konfigurace
Prutok
B P
Manometr
PS S
3.562e+006
PS-S Pa
Tlakovy spad
Nadrz
obr. 2.2 Řešení hydraulického obvodu, zobrazení číselných hodnot ve vybraných bodech obvodu.
2.1
Programy pro řešení hydraulického obvodu
2.2 Flowmaster Flowmaster je systém užívaný širokým okruhem průmyslových odvětví, například v leteckém, lodním a automobilovém průmyslu, pro usnadnění a zkrácení vývojového procesu termotekutinových systémů. Flowmaster je rozdělen do několika podskupin. Jsou to jednotlivě zaměřené programy, které umožňují řešit konkrétní úlohy. Dělí se na kapalinové systémy, tepelné systémy, plynové systémy, tekutinové systémy. Poslední jmenovaný program dokáže komplexní řešení systémové simulace včetně závislosti spojenou s kapalinovými, plynovými a tepelnými systémy. Je vhodný pro návrh nebo simulaci složitých tekutinových systémů. Má rozsáhlou knihovnu komponentů vytvořených na základě hodnot získaných empiricky a výzkumem, viz obr. 2.3. Aby se předešlo chybě, jsou nástroje nadefinovány tak, že není možno propojit nekompatibilní prvky. Je možná vícenásobná simulace a grafické znázornění, viz obr. 2.4. Tento interaktivní program na analýzu proudění tekutin simuluje jednorozměrné proudění tekutiny a přestup tepla ve vedení, armaturách a ostatních prvcích. Program je používán k předpovídání teploty, tlaku a rychlosti toku ve stálých i přechodových podmínkách v grafickém prostřdí Windows.
13
obr. 2.3 Ukázka ikon v programu Flowmaster
Programový systém je schopen řešit: •
simulace tekutinových systému v jakékoliv složitosti,
•
tlaky, teploty a průtoky systému,
•
ustálený stav, přechodový stav a teplotní analýza,
•
propojení s MATLAB-Simulink pro simulaci a analýzu řídících systémů,
•
kompatibilita se Simulinkem v úrovni časových kroků,
•
umožňuje orginální vzorkování kompletních systémů.
Flowmaster může vykonávat simulaci v kombinaci s Matlab Simulink a tím je schopen provést detailní namodelování kompletní tekutiny a řídicího systému. Data z modelu Flowmasteru procházejí modelem Simulinku v každém časovém kroku. Simulink poté počítá nový řídicí signál, který je aplikován na model Flowmasteru. Tato spolu – simulace umožňuje vytvářet virtuální modely celých systémů.
14
obr. 2.4 Ukázka obvodu v programu Flowmaster
2.3
Matlab Výpočetní systém MATLAB se během uplynulých let stal celosvětovým standardem v oblasti
technických výpočtů a simulací nejen ve sféře vědy, výzkumu a průmyslu, ale i v oblasti vzdělávání. MATLAB poskytuje svým uživatelům nejen mocné grafické a výpočetní nástroje, ale i rozsáhlé specializované knihovny funkcí spolu s výkonným programovacím jazykem čtvrté generace. Knihovny jsou svým rozsahem využitelné prakticky ve všech oblastech lidské činnosti. Díky své architektuře je MATLAB určen zejména těm, kteří potřebují řešit početně náročné úlohy a přitom nechtějí nebo nemají čas zkoumat matematickou podstatu problémů. Více než milion uživatelů po celém světě využívá možnosti jazyka MATLABu, který je mnohem jednodušší než například Fortran nebo C jazyk a který skýtá obrovský potenciál produktivity a tvořivosti. Za nejsilnější stránku MATLABu je považováno mimořádně rychlé výpočetní jádro s optimálními algoritmy, které jsou prověřeny léty provozu na špičkových pracovištích po celém světě. MATLAB byl implementován na všech významných platformách (Windows, Linux, Solaris, Mac). Systém MATLAB nabízí: •
rychlé výpočetní jádro,
•
působivá 2D a 3D grafika, 15
•
konfigurovatelné uživatelské rozhraní Matlab Desktop,
•
velké množství aplikačních knihoven,
•
programovací jazyk 4. generace,
•
objektové programování,
•
integrace s jazykem Java,
•
podpora vícerozměrných polí a uživatelsky definovaných datových struktur,
•
interaktivní nástroje pro tvorbu grafického uživatelského rozhraní,
•
podpora řídkých matic,
•
interaktivní průvodce importem dat,
•
zvukový vstup a výstup, animace,
•
komunikace s externím přístrojovým vybavením,
•
výpočetní jádro pro programy psané ve Fortranu a jazyce C,
•
distribuce nezávislých uživatelských aplikací: překlad do jazyka C, runtime, modul, WWW technologie,
•
rozsáhlá tištěná i hypertextová on-line dokumentace.
Simulink je program pro simulaci a modelování dynamických systémů, který využívá algoritmy MATLABu pro numerické řešení nelineárních diferenciálních rovnic. Poskytuje uživateli možnost rychle a snadno vytvářet modely dynamických soustav ve formě blokových schémat a rovnic. Pomocí Simulinku a jeho grafického editoru lze vytvářet modely lineárních, nelineárních, v čase diskrétních nebo spojitých systémů pouhým přesouváním funkčních bloků myší. Simulink nově umožňuje spouštět určité části simulačního schéma na základě výsledku logické podmínky. Tyto spouštěné a povolované subsystémy umožňují použití programu v náročných simulačních experimentech. Samozřejmostí je otevřená architektura, která dovoluje uživateli vytvářet si vlastní funkční bloky a rozšiřovat již tak bohatou knihovnu Simulinku. Hierarchická struktura modelů umožňuje koncipovat i velmi složité systémy do přehledné soustavy subsystémů prakticky bez omezení počtu bloků, viz obr. 5.1. Simulink, stejně jako MATLAB, dovoluje připojovat funkce napsané uživateli v jazyce C. Vynikající grafické možnosti Simulinku je možné přímo využít k tvorbě dokumentace. Mezi neocenitelné vlastnosti Simulinku patří nezávislost uživatelského rozhraní na počítačové platformě. Přenositelnost modelů a schémat mezi různými typy počítačů umožňuje vytvářet rozsáhlé modely, které vyžadují spolupráci většího kolektivu řešitelů na různých úrovních. Otevřená architektura Simulinku vedla ke vzniku knihoven bloků, nazývaných blocksety, které rozšiřují základní knihovnu bloků Simulinku a umožnují použití programu v příslušných vědních a technických oborech. Knihovny je možné rozšiřovat i o vlastní bloky, vytvořené uživatelem.
16
Simscape rozšiřuje Simulink o nástroje pro modelování a simulace tzv. "multi-domain" systémů obsahujících propojení mechanických, elektrických a hydraulických komponent. Simscape využívá nový přístup k modelování systémů. Zavádí do simulačních schémat reálné fyzikální veličiny, jako jsou síly, momenty, napětí, proudy, tlaky, průtoky atd. Podobně jako při montáži reálného systému, vzniká model v Simscape grafickým propojením bloků, které přímo odpovídají fyzickým prvkům reálného systému. Bloky se spojují do sítě, ve které spojení mezi elementy odpovídají přenosům energie v systému. Tento přístup umožňuje systémy modelovat přímo popisem jejich fyzické struktury, odbourává se potřeba odvozování příslušných matematických vztahů mezi sledovanými veličinami. Simscape tyto vztahy generuje automaticky. Simscape obsahuje následující knihovny bloků: •
mechanické bloky,
•
elektrické bloky,
•
hydraulické bloky.
Tyto bloky umožňují vytvářet uživatelské bloky komplexnějších komponent systému. Využití Simscape je široké, uplatnění najde v automobilovém průmyslu, letectví, obraně, návrhu průmyslových a stavebních strojů a podobně
SimHydraulics je nový modelovací nástroj rozšiřující simulační schopnosti Simulinku o modelování a simulace hydraulických systémů. Umožňuje modelování tzv. "multi-domain" systémů obsahujících propojení hydraulických a mechanických komponent s použitím přímé analogie s reálnými prvky systémů. SimHydraulics využívá nový přístup k modelování systémů. Model vzniká propojením bloků (přímo odpovídajícím fyzickým prvkům skutečných systémů) do sítě, ve které spojení mezi elementy odpovídá přenosům energie v systému. Tento přístup umožňuje systémy modelovat přímo popisem jejich fyzické struktury, odbourává se potřeba odvozování příslušných matematických
vztahů
mezi
sledovanými
veličinami.
SimHydraulics
společně
s
produkty
SimMechanics, SimDriveline a SimPowerSystems umožňuje modelování složitých jevů ve vzájemně propojených hydromechanických a hydroelektrických systémech.
SimMechanics je další z řady tzv. "multi-domain" modelovacích nástrojů, které rozšiřují simulační schopnosti Simulinku z obecné roviny abstraktních signálových toků do oblasti reálných fyzikálních veličin jako jsou síly, momenty a pohyby. Dovoluje modelovat složité mechanické soustavy, které jsou součástí většiny reálných zařízení, jako jsou výrobní a stavební stroje, automobily, letadla, lékařské přístroje a podobně.
17
SimElectronics rozšiřuje Simscape o nástroje pro modelování a simulaci elektrických a elektomechanických systémů. SimElectronic zahrnuje analogové elekronické a elekromechanické komponenty jako fyzické sítě v multidomain modelovém systému. Poskytuje polovodič, motor, pohon, snímač, a akční (regulátory) komponenty stejně jako stavební bloky, které umožňují tvorbu vlastních podsystémů.
2.4
SimHydraulics Program Simulink a programový systém Simscape - SimHydraulics jsou nástavbou známého
softwaru MATLAB. S jejich pomocí je uživatel schopen rychle a poměrně přesně simulovat děj, který se odehrává v daném hydraulickém obvodu. Mezi další nástroje SimScape patří kromě SimHydraulics také SimMechanics, SimDriveline a SimPowerSystems (všechno je dostupné odděleně). To umožňuje popsat kombinované systémy obsahující hydraulické a mechanické součásti a uživatel je schopen modelovat komplexně vzájemné působení v hydromechanických a hydroelektrických systémech. Simulink je systém, který umožňuje modelovat hydraulické systémy tak, jako by se vytvářely nejdříve konstanty charakterizující kapalinu, hydraulický prvek, odpory, dále algebraické a diferenciální rovnice pro řešení dle matematického předpisu. Dále se zadávají prvky umožňující grafické vyhodnocení. V SimHydraulics se modelují systémy právě tak, jako by se sestavovaly reálné hydraulické obvody. Symboly použité v modelu jsou založeny na normě ISO 1219 standardních silových kapalin. Z modelu, který se velice podobá hydraulickému schématu, SimHydraulics automaticky vykonstruuje rovnice charakterizující chování prvků a automaticky je propojí do systému. Knihovny SimHydraulics poskytují více než 45 modelů hydraulických a mechanických komponent, včetně modelů pro hydrogenerátory, hydromotory, akumulátory, ventily a hydraulické vedení. Je možné kombinovat jednotlivé bloky z knihovny SimHydraulics a vytvořit tak vlastní uživatelský blok, který se pak jako u Simulinku zahrne do subsystému a parametrizuje. Program umožňuje: •
simulaci systému, který chceme analyzovat,
•
analyzovat průběhy požadovaných veličin,
•
snadno modifikovat již navržený systém,
•
vytvářet uživatelské bloky,
•
kombinovat hydraulické prvky s prvky mechanickými a elektrickými.
18
SimHydraulics jako jako nadstavba Simulinku se spouští v matlabovském okně, viz obr. 2.5. Nedříve se nastaví pracovní adresář (modře označené okno) a následně se spustí Simulink ikonou
(červeně označené okno).
obr. 2.5 Spuštění Simulinku
19
Po spuštění Simulinku se objeví nabídka základního menu, kde je možno sledovat v podnabídce Simulink základní skupiny bloků, jejichž názvy jsou vypovídající. Nejčastěji
používané
bloky
budou
- Commonly Used Blocks (často užívané bloky) - Continuous (spojité funkce) - Math Operations (matematické operace) - Subsystems (podsystémy) - Signal Routing (vstupní signály) - Sinks (prvky zobrazení) - Sources (zdroje) - User – Defined Functions (uživatelem definované funkce) obr. 2.6 Menu Simulinku Po stručném seznámení se s obsahem jednotlivých bloků a Helpem je uživatel schopen nadefinovat základní vstupní data a vytvořit algebraický vztah pro definici všech hydraulických odporů a následně vytvořit charakteristiku. Okno pro vytváření nových schémat se otevře pomocí příkazu
z roletového menu File Nové okno, viz obr. 2.6
.
Sestaví se schéma úlohy pomocí prvků, které jsou v programu k dispozici tak, aby co nejvíce odpovídalo skutečnému experimentálnímu obvodu. Jednotlivé prvky se vloží do schématu obvodu, propojí se čarami, které symbolizují přenos výkonu nebo informace. Bloky mají různé vstupy resp. výstupy, jako je vstup A – bezrozměrný signál, vstup B – fyzikální signál a hydraulický vstup C.
20
obr. 2.7 Připojování bloků Pomocí pravého tlačítka myši lze označené prvky (včetně vedení) kopírovat. Parametry jednotlivých prvků se nastaví v tabulkách, které se zobrazí po dvojím kliknutí myší na daný prvek.
Prvky v SimHydraulics Proudění v každém hydraulickém obvodu je dáno pro určitou kapalinu, bude tato se svými vlastnostmi vložena do obvodu. Hydraulická kapalina (Custom Hydraulic Fluid) uvádí vlastnosti kapaliny pro jednotlivé smyčky obvodu. Každá smyčka v systému je připojena jen k jednomu bloku hydraulického oleje. (Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic utilities/Custom fluid) tab. 2.1 Parametry pro definování kapaliny Fluid density Kinematic viscosity Bulk modulus
Hustota Kinematická viskozita Modul pružnosti
Relative amount of trapped air
Rel. množství obsaženého vzduchu
21
1000 0.000001 9 2.10 -12
1.10
-3
kg.m 2 -1 m .s Pa 1
obr. 2.8 Definování parametrů hydraulické kapaliny Kapalina je do obvodu dopravována čerpadlem nebo jiným způsobem Tyto varianty budou diskutovány později. Proto bude nyní zjednodušeně definován pouze fiktivně zdroj kapaliny bez udání způsobu, jak byl získán. Dále jsou definovány další nezbytné prvky, které budou užitečné pro určení charakteristiky potrubí. Zdroj průtoku (Ideal Hydraulic Flow Rate Source) slouží jako náhrada hydrogenerátoru. Je v simulaci použit z důvodu zjednodušení analýzy. Jedná se o ustálený
zdroj
průtoku.
Hodnota
průtoku
je
dána
konstantou.
(Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic sensors and sources/ Ideal Hydraulic Flow Rate Source) 0.001 Konstanta
Konstanta (Constant) umožní vkládat číselnou hodnotu, lze vložit také vektor do hranatých závorek, přitom jednotlivé složky vektoru jsou odděleny mezerou. Hodnota průtoku je tedy vložena tímto prvkem (Simulink/Commonly Used Blocks/Constant) Nádrž (Hydraulic Reference) je prvek, který v hydraulickém obvodu plní funkci zásobníku kapaliny pro pracovní mechanismus a představuje připojení k atmosféře. Má
jeden
hydraulický
vstup.
(Simulink/Simscape/Foudation
library/Hydraulic/Hydraulic elements/ Hydraulic Reference) Potrubí (Resistive Tube) je blok pro definici odporu proti pohybu při proudění v potrubí, přitom zohledňuje i nekruhové průřezy potrubí. Je možno přidat také ekvivalentní délku pro případ, že se v potrubí vykytují místní ztráty.
22
tab. 2.2 Parametry pro definování odporového potrubí Pipe internal diameter Pipe length Aggregate eguivalent length of local resistances Internal surface roughness height Laminar flow upper margin Turbulent flow lower margin
Vnitřní průměr potrubí Délka potrubí Ekvivalentní délka místních ztrát
0,01 5
m m
1
m -5
Drsnost vnitřního povrchu 1.5.10
m
3
1 1
Horní laminární hranice Dolní turbulentní hranice
2.10 3 4.10
Odpor proti pohybu je počítán dle výše definované závislosti a liší se pro laminární a turbulentní proudění. V této souvislosti je také určen součinitel tření dle varianty Colebrook-White.
23
Pro vyhodnocení hydraulických veličin se používají tlakoměry a průtokoměry, které se i s tímto názvem definují v SimHydraulics. Pro konverzi bezrozměrných veličin na fyzikální veličiny a naopak se používají tzv. měniče, protože některé vyhodnocovací prvky nejsou schopny využívat fyzikální veličiny. Průtokoměr (Ideal Hydraulic Flow Rate Sensor) je ideální průtokový snímač, přeměňuje průtok kapaliny naměřený mezi dvěma výstupy na fyzikální signál. (Simulink/Simscape/Foudation library/ Hydraulic/Hydraulic sensors and sources/ Ideal Hydraulic Flow rate sensor) Manometr (Ideal Hydraulic Pressure Sensor) je ideální tlakový snímač, přeměňuje tlak kapaliny naměřený mezi dvěma výstupy na fyzikální signál. (Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/ Hydraulic sensors and sources/ Ideal Hydraulic pressure sensor) PS-S Simulink měnič (PS-Simulink Converter ) převádí fyzikální vstupní signál na bezrozměrný signál Simulinku. Jednotka parametru musí odpovídat vstupnímu signálu. (Simulink/Simscape/Utilities/PS-Simulink Converter) Simulink S-PS měnič (Simulink-PS Converter) převádí bezrozměrný vstupní signál Simulinku na fyzikální signál. Jednotka parametru je přidělena výstupu fyzikálního signálu. (Simulink/Simscape/Utilities/ Simulink-PS Converter) Display – zobrazí číselnou hodnotu (Simulink/Sinks/ Display)
Data pro spuštění analýzy Před spuštěním výpočtu je ještě nutné nastavit konfigurační parametry výpočtu. Patří mezi ně především typ kroku, volíme – variabilní, automatický; výpočet (solver) – ode15s (stiff/NDF), což je jediná možná numerická metoda pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic v SimHydraulics. Ostatní položky jsou nastaveny a není potřeba je měnit. V tomto okně lze rovněž nastavit čas výpočtu, který ale lze nastavit i na hlavní liště programu, což je rychlejší, především v případě, je-li potřeba jej často měnit.
24
Výpočet se spustí příkazem Simulink/Simulace/Start. Výpočtová konfigurace (Solver configuration) je prvek, který definuje výpočetní zařízení nastavené pro simulaci. (Simulink/Simscape/Utilities/Solver configuration) Další prvky budou definovány dle potřeby.
25
3. Statické charakteristiky hydraulických systémů 3.1
Odpor proti pohybu
Hydraulický odpor proti pohybu zahrnuje odpory při proudění kapaliny, které mohou být Iaminámí nebo turbulentní. Laminámí odpor odpovídá ohmickému odporu v elektrickém obvodu, neboť je Iineámě závislý na průtoku. Turbulentní odpor ve vyvinutém stádiu je kvadraticky závislý na průtoku. To přináší do řešení dynamiky hydraulických obvodů nelinearitu. Aby bylo možno použít Iineámí teorie obvodů, musí se nelineámí průběh Iinearizovat. Výsledek s použitou Iinearizací pak platí jen v oblasti, kde nahrazuje nelineámí průběh s nevelkými odchylkami. Pro tlakový spád na hydraulickém odporu platí obecně mocninová funkce
∆p = R.Q n
( 3.1.1)
Odpor proti pohybu je určen vztahem ( 1.3.1).
RH =
d (∆p ) ∆p nebo RH = . dQ Q
3.1.1 Třecí odpor Pro laminární proudění je
kruhové potrubí je
RHlam =
λ=
n = 1, tedy ∆p = R.Q a pak RH = R =
64 128 ρνl , neboli ∆p = Q , takže Re π d4
128 ρνl π d4
Pro vyvinuté turbulentní proudění je závislostí
∆p -5 -1 -4 [Nsm = kgs m ]. Pro Q
( 3.1.2)
n = 2 a hydraulický odpor je určen kvadratickou
∆p = R.Q 2 , přitom rozměr odporu R je [kg.m-7s-2]. Pro kruhové potrubí je R =
Součinitel tření
λ
je závislý na velikosti Reynoldsova čísla a relativní drsnosti
ε=
8 ρλl . π 2 d5
k , kde k [m] je d
absolutní drsnost stěny potrubí
λ = f (Re, ε )
( 3.1.3)
Rovnice pro třecí součinitel se nedá řešit analyticky, proto musela být stanovena experimentálně. Pro hladké potrubí ( k = 0 ) v roce 1913 odvodil Blasius empirický vztah
26
λ=
0,3164 4 Re
≤ Re ≤ 8.10 4 )
( Re k
( 3.1.4)
Nikuradse pro hladké potrubí udává podle výsledků pokusů vzorec
λ=
(Re〉 6.10 )
1
4
[2 log(Re λ ) − 0,8]
2
( 3.1.5)
Součinitel tření v Altšulově vzorci při uvažování drsnosti potrubí je explicitně vyjádřený ve formě
100 k + Re d
0.25
λ = 0,1
( 3.1.6)
Pro oblast, kde je významný vliv drsnosti, bylo různými autory odvozeno několik desítek rovnic, nejčastěji se však používá vzorec, který odvodil Colebrook - White
λ=
1 k 2,51 + 0,27 2 log d Re λ
Tato rovnice je implicitní a odvozeny pro
λ
λ
2
( 3.1.7)
se musí řešit iterací. Proto byly v posledních letech mnoha autory
explicitní vzorce. Jako příklad je uvedena rovnice odvozená Churchillem 1
8 12 12 1 λ = 8 + (a + b )1,5 Re ( 3.1.8)
7 0,9 a = − 2,457 ln + 0,27ε Re
16
37530 b= Re
16
V dostupných software na řešení proudění v potrubí (SimHydraulics) se užívá následující kombinace vztahů pro určení součinitele tření (varianta Colebrook-White):
64 Re
laminární proudění
λl =
přechodové proudění
λ = xλt + (1 − x ) ⋅ λl
Re<2000 2000
27
x=
Re− 2000 2000
λt =
turbulentní proudění
1 6,9 k 1,11 − 1,8 log + Re 3 , 7 d
2
Re>4000
Graficky zpracované závislosti součinitele tření na Reynoldsově čísle a případně drsnosti jako parametru byly vyhodnoceny v diagramu autora Nikuradseho, viz obr. 3.1. Vliv drsnosti potrubí vyšetřoval Nikuradse (v letech 1930 až 1933), Colebrook, Churchill a další. Absolutní drsnost potrubí
k
závisí na druhu materiálu, zpracování a provozních podmínkách
(koroze, eroze). Podle zkušeností různých autorů jsou v tab. 3.1
uvedeny drsnosti
vybraných
materiálů. tab. 3.1 Absolutní drsnost materiálů potrubí
k
Materiál potrubí
Původní stav (mm)
Korodovaný stav (mm)
0,0015 až 0,003
0,003 až 0,1
Bezešvé trubky ocelové
0,04 až 0,1
0,1 až 0,9
Tažené trubky ocelové
0,03 až 0,12
0,12 až 0,9
Svařované trubky ocelové
0,05 až 0,1
0,1 až 0,9
Pozinkované trubky ocelové
0,15 až 0,5
0,5 až 3,5
Tažené trubky mosazné, měděné, hliníkové
Vodovodní potrubí po 20-ti a více letech v provozu Skleněné trubky, trubky z plastů
0,6 až 3,0 0,001 5 až 0,01
Pryžové hadice
0,01 až 0,03
Betonové potrubí
0,3 až 6,0
28
obr. 3.1 Nikuradseho diagram λ =(Re,ε)
3.1.2 Místní odpor 2
v 2 ρζ Q Pro místní odpory je tlakový spád určen vztahem ∆p = ρζ = 2 , 2 S 2 pro nekruhový průtočný průřez S . Pro kruhový průřez je
R=
R=
ρζ S2
, což platí i
8 ρζ . Součinitel místního odporu ζ π 2d 4
není obecně konstantou a může se měnit v závislosti na změně průtoku. Pak může být také takto použit.
3.1.3 Linearizace odporu proti pohybu Nelineární průběh
∆p = f (QV ) je vhodný pro řešení závislosti tlaku a průtoku na čase (tj. pro
statické a dynamické charakteristiky), ale pro řešení frekvenční analýzy je tato nelineární formulace 29
nevhodná. Tedy nelineární průběh se Iinearizuje a to několika způsoby. Nejčastější je Iinearizace tečnou v provozním bodě, sečnou procházející provozním bodem a počátkem nebo sečnou procházející dvěma body v okolí provozního bodu, tj. parabolická závislost přímkou v obecném tvaru vytíná
na
ose
y = kx + q , kde k =
∆p = f (QV ) se nahradí
dy je směrnice přímky a q je úsek, který přímka dx
y . Pro přímku danou bodem a směrnicí je
y = kx + [y 1 − kx1 ] . Směrnice je pak k =
y − y 1 = k (x − x1 ) ⇒
dy y 1 − y 2 = ). dx x1 − x 2 a
∆p
b c 1
obr. 3.2 Linearizace odporu proti pohybu
a) tečnou b)
sečnou
procházející
dvěma
provozními
body c) sečnou procházející počátkem a provozním
2
0
Q
bodem
Linearizace tečnou Pro obecný výraz tlakového spádu
∆p = R.Q 2 je určen Iinearizovaný odpor proti pohybu derivací
(směrnice tečny)
RH =
∆p d (∆p ) = 2RQ1 = 2 1 dQ Q1
Linearizovaná rovnice
( 3.1.9)
∆p = f (QV ) je dána vztahem ∆p − ∆p1 = RH .(Q − Q1 ) , z čehož plyne
∆p = RH .Q + ∆p1 − RH Q1 Linearizace sečnou procházející dvěma provozními body Jestliže se provozní stavy vyskytují v určitém rozmezí, lze zvolit dva pracovní body
(Q1, ∆p1 )
(Q2 , ∆p2 ) , jimiž se proloží přímka b -obr. 3.2. Její směrnice určuje linearizovaný odpor proti pohybu RH =
∆p1 − ∆p2 Q1 − Q2
( 3.1.10)
Linearizace sečnou procházející počátkem Je to předchozí případ, kdy provozni bod 2 má nulové souřadnice, tedy linearizovaný odpor je
RH =
∆p1 Q1
( 3.1.11) 30
a
Pro dynamické charakteristiky se bude uvažovat ještě linearizace, která splňuje podmínku shodnosti ustáleného stavu (při řešení rozběhu proudění apod.) Bude vysvětlena v kapitole dynamických charakteristik.
3.2
Výpočet tlakového spádu
Schéma pro výpočet tlakového spádu v SimHydraulics je na obr. 3.3. Výsledkem jsou číselné hodnoty průtoku a tlakového spádu v oknech Display. Pokud potrubí stoupá do určité výšky, je nutno uvažovat s hydrostatickým tlakem. Tento tlak snižuje
hodnotu
tlakového
spádu
v potrubí.
V SimHydraulics
neexistuje
blok
pro
hydrostatického tlaku, proto je vložen jako záporný zdroj tlaku na konci potrubí. 0.001
PS S
Kapalina A f(x)=0
Q
PS-S m3/s
B
A
Prutokomer
B
Potrubi-R
P
Vypoc. konfigurace
Prutok
S PS
Konstanta
S-PS m3/s
P
T
S 0.001
B
A
Ideal zdroj prutoku
Manometr
PS S
3.562e+006
PS-S Pa
Tlakovy spad
Nadrz
obr. 3.3 Schema pro výpočet tlakového spádu na potrubí S PS
Hydrostaticky tlak
S-PS1 Pa
A f(x)=0
Q
PS-S lm3/s
B
A
Prutokomer
T Ideal zdroj tlaku
B
Potrubi-R
Potrubi-R2
P
Vypoc. konfigurace
Prutok
A
Kapalina
Nadrz2
P
0.001
PS S
S
10000
0.001
S PS
Konstanta
S-PS m3/s
T
S
B
Ideal zdroj prutoku
A
B P
Manometr
PS S
3.572e+006
PS-S Pa
Tlakovy spad
Nadrz
obr. 3.4 Schema pro výpočet tlakového spádu na potrubí se stoupáním. 31
zadání
Do obvodu mohou být vloženy také hydraulické prvky, jako jsou kolena, T kusy (prvky pro větvení obvodu), prvky pro rozšíření průřezu, clony a obecné odpory. Tyto prvky představují místní odpory, upřesńují obvod, jsou v SimHydraulics definovány a mohou být využity.
Clona (otvor) (Constant Area Orifice) definuje průtok ostrohranným otvorem (clonou). (Simulink/Simscape/Foudation library/ Hydraulic/Hydraulic elements/)
Průtok je dán rovnicí: 2 p .sign(p ) pro Re ≥ Recr CD .A. ρ QV = 2C .A. DH p pro Re〈Recr DL νρ
kde QV
průtok
p
tlaková diference
CD
ztrátový součinitel
A
průtočná plocha otvorem
DH
hydraulický průměr otvoru
Recr
kritické Reynoldsovo číslo
32
Hydraulický odpor (Linear Hydraulic Resistence) definuje obecný linární místní odpor. (Simulink/Simscape/Foudation library/ Hydraulic/Hydraulic elements/) ∆p = RQV
Odpor plyne z Bernouliho rovnice pro laminární proudění, pro turbulentní je nutno jej linearizovat.
33
Náhlá změna průřezu - redukce (Sudden Area Change) definuje odpor při náhlém rozšíření nebo zúžení průřezu (Simulink/Simscape/SimHydraulics/ Local Hydraulic Resistances/) A K SE = K corr 1 − S AL
2
A K SC = K corr .0,5 1 − S AL
0,75
kde K SE
ztrátový součinitel při náhlém rozšíření (enlagement) (proudění od A do B)
K SC
ztrátový součinitel při náhlém zúžení (contraction) (proudění od B do A)
AS ,L
malá (small) resp. velká (large) průtočná plocha kolenem
34
Model parametrization definuje způsob vyčíslení odporového součinitele. -
By semi-empirical formulas – bude použit výše uvedený vztah
-
By loss coeff. vs. Re table – vloží se vektor ztrátového součinitele a odpovídající Reynoldsovo číslo
Koleno (Elbow) definuje odpor kolena v závislosti na úhlu a zaoblení (Simulink/Simscape/SimHydraulics/ Local Hydraulic Resistances/) ∆p = K
ρ 2A2
kde QV
QV QV
průtok 35
p
tlaková diference
K
ztrátový součinitel
průtočná plocha kolenem
A
K = 30fT
pro úhel 900
(
K = 30fT α 0,0142 − 3,703.10 −5 α
kde
fT
) pro jiné úhly
je třecí součinitel, který se počítá jako pro potrubí
36
3.3
Výpočet statické charakteristiky
Kvalitnějším výsledkem má být statická charakteristika, což je závislost tlakového spádu na průtoku při proudění vody potubím nebo daným hydraulickým prvkem obecně ve tvaru
∆p = RQ 2 Odpor proti pohybu
( 3.3.1)
R v potrubí je dán pro laminární a turbulentní proudění odlišným vztahem, přitom
odpor proti pohybu pro turbulentní proudění lze pro daný pracovní bod linearizovat, takto:
R lam =
128 ρνl 8 ρλl , R turb = 2 , R lin = 2R turb Q1 4 π d π d5
( 3.3.2)
Závisí na geometrických faktorech potrubí, vlastnostech kapaliny případně třecím součiniteli, což musí být vloženo do systému. Z důvodu získání charakteristiky je třeba do systému vložit řadu hodnot průtoku. To lze provést zadáním vektoru hodnot do bloku „constant“ nebo fiktivně lineární (nebo jinou) funkční závislostí na čase pomocí bloku „Signal Builder“, kde se souřadnicemi dvou bodů taková závislost nastaví, viz obr. 3.5. Počet složek takto vytvořeného vektoru Q bude dán volbou časového kroku 37
v simulaci. Počet složek vektoru tlakového spádu bude mít tentýž počet složek. Pro statickou charakteristiku se pak vytvoří graf, kde hodnotám průtoku se vyberou odpovídající hodnoty tlaku.
-4
stat_charakteristika_2008r/Signal-prutok : Group 1
x 10
Signal 3
10
8
6
4
2
0 0
0.5
1
1.5 Time (sec)
2
2.5
3
obr. 3.5 Signal Builder pro zadání funkční závislosti průtoku na čase.
Zobrazení charakteristiky je možné přímo v ikonou v SimHydraulics, která má ale omezené možnosti z hlediska vyhodnocení více charakteristik do jednoho grafu. Zcela univerzální přístup pro použití i v jiných grafických software, jako je EXCEL apod. bude také vysvětlen. Zobrazovací příkazy jsou následující: XY Graph - blok pro vykreslení grafu, horní vstup je použit pro osu x a dolní vstup pro osu y. Rozsah os je nutno zadávat ručně, nepočítá tedy automaticky. (Simulink/Sinks/XY Graph) blok pro zápis do pracovní oblasti (To workspace) zapisuje vstupy vybraného pole do hlavní pracovní oblasti Matlabu a najdou se v základním okně Matlab/Workspace. (Simulink/Sinks/To Workspace) V tomto prostoru se mohou závislosti vykreslovat podobně jako v EXCELu a také do tohoto software exportovat.
38
blok pro kreslení grafu (Scope) zobrazí časový průběh vybrané veličiny (Simulink/Sinks/Scope) přímo v Simulinku. Dplam-graf
V tomto bloku lze také zapsat data do Workspace, není nutno vkládat nový blok
Zobrazovací a vyhodnocovací elementy jsou stejné. Obvod sestavený v SimHydraulics při oužití jednoduššího zobrazení charakteristiky je na obr. 3.6.
PS S
Kapalina A f(x)=0
PS-S
Q
XY Graph A
B
Prutokomer
Potrubi-R
A
P
Vypoc. konfigurace
Signal-prutok
B PS S
P
Manometr
T
S
Ideal zdroj prutoku
Signal 3
B
PS-S1
S PS S-PS
Nadrz
obr. 3.6 Obvod pro výpočet statické charakteristiky potrubí – užití Graf XY
Prutok PS S
Kapalina A f(x)=0
PS-S
Q
A
B
Prutokomer
Signal-prutok
B P
Manometr
T
S
Ideal zdroj prutoku
Signal 3
Potrubi-R
A
P
Vypoc. konfigurace
B
PS S PS-S1
T lakovy spad
S PS S-PS
Nadrz
obr. 3.7 Obvod pro výpočet statické charakteristiky potrubí – přenos dat do EXCELu
39
Při použití druhého schématu jsou výsledkem jsou kontrolní křivky závislosti tlaku na čase a průtoku na čase, viz obr. 3.8.
obr. 3.8 Závislosti průtoku a tlaku na čase
Je vidět, že obrázky jsou jen orientační a navíc je nelze graficky upravit tak, aby se změnilo pozadí apod. Proto se použije přenosu dat do prostoru Workspace a dále do Excelu, kde se mohou tvořit libovolné grafy. Přenos dat je umožněn ikonou Scope. Dvojím kliknutím se otevře graf, dvojím kliknutím na druhou ikonu se otevře okno parametrů, použije se záložka Data History, zatrhne se Save Data History to Workspace a vloží jméno proměnné a format Array. Tento formát umožní zapsat vektor o dvou sloupcích, první je čas a druhý je tlak.
obr. 3.9 Zápis dat do Workspace.
40
V základním okně Matlabu se otevře Workspace, dvakrát klikne na jméno proměnné (tlak). Otevře se tabulka se dvěma sloupci, druhý se prosvětlí jako v Excelu, zkopíruje a vloží do Excelu. Podobně se přenese průtok případně další počítané veličiny a zobrazí se charakteristika.
20000000 20000000
18000000
14000000 12000000
0.001
16000000 14000000
průtok [m3s-1]
tlakový spád [Pa]
16000000
Tlakový spád [Pa]
0.0012
18000000
0.0008
12000000 10000000
0.0006
8000000 0.0004
6000000 4000000
0.0002
2000000
10000000
0
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
čas [s]
8000000 6000000 4000000 2000000 0 0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
0.0007
0.0008
0.0009
0.001
3 -1
Průtok [m s ]
obr. 3.10 Charakteristika potrubí
3.4
Výpočet rozvětvené nebo okruhované sítě Potrubní systém je buď jednoduchý,
tvořený
jedním
potrubím
nebo
p1
složený,
p1
sestávající z většího počtu potrubí tvořících obvod obsahující uzly a větve (viz teorie elektrických
obvodů),
případně
h1
zdroje
v1
1 0 2 v2
U=0
kapaliny. Na obr. 3.11 je schéma případu jednoduchého potrubního systému.
obr. 3.11 Schéma jednoduchého potrubního systému
41
Na obr. 3.12 je schématicky znázorněn
p0
4
složený potrubní systém, kde je možno
C
identifikovat části rozvětveného a okružního systému
v
kombinaci.
Řešení
takového
systému je matematicky složitější, využívá se maticového
5
1
A
2
F 8 Diagonála 6 G
B 3
přístupu k popisu systému a
D
počítačů při numerickém zpracování.
7 H
Pro rozvětvenou nebo okružní síť dle obr. 3.12 při izotermickém proudění pro
obr. 3.12 Schéma složeného potrubního systému, tj. rozvětveného a okružního
každou její větev
musí platit Bernoulliho rovnice. Tak obecně pro větev mezi uzly
i a i + 1 lze napsat:
∆pi = ρg (hi +1 − hi ) + kQi Qi2
( 3.4.1 )
Pro každý uzel sítě musí platit rovnice kontinuity (uzlová podmínka)
∑Q
i
=0
( 3.4.2 )
což je analogie Kirchhofova zákona u elektrických obvodů, přitom průtoky mají znaménko podle toho, jestli kapalina do uzlu přitéká nebo vytéká. Pro okružní síť pro každý její okruh musí analogicky platit analogie druhého Kirchhofova zákona, tj. že součet měrných energií (resp. tlakových diferencí, resp. tlakových výšek) v jednotlivých větvích postupně sčítaných v jednom smyslu je opět roven nule (okruhová podmínka):
∑ ∆p
i
=0
( 3.4.3 )
Celkový počet rovnic, který pro danou síť lze napsat je
n = j +k kde
(3.4.4 )
j je počet větví a k je počet uzlů. Počet okruhů je m = j − k + 1. Pokud je počet rovnic
relativně malý, je možno výše uvedené systémy řešit analyticky. Nechť je pro názornost dána okruhovaná síť [11] pro jednoduchost s jedním okruhem, pěti potrubími a jedním vstupem průtoku
q1 a výstupem q3 podle schématu obr. 3.13
42
obr. 3.13 Schéma okruhované sítě s jedním okruhem Okruh je označený I, uzly jsou označeny číslicemi 1-5 (náhodně) a větve písmenem P (potrubí) a dvojicí čísel definovaných uzly, které jsou tímto potrubím spojeny, tj. P12, P23, P34, P45 a P15, přitom pořadí uzlů nesouvisí se směrem průtoku, ten je dán znaménkem. Pro hledané průtoky v uzlech platí uzlová podmínka, tj.
1:
q1 − Q12 − Q15 = 0
2:
Q12 − Q23 = 0
3:
Q23 + Q34 − q3 = 0
4:
Q45 − Q34 = 0
5:
Q15 − Q45 = 0
(3.4.5 )
Pro tlakový spád v okruhu platí okruhová podmínka 2 2 2 2 2 ∆pI = 0 = kQ12Q12 + kQ 23Q23 − kQ 34Q34 − kQ 45Q45 − kQ15Q15
(3.4.6 )
Rovnici (3.4.5 ) lze zjednodušit tak, že všechny průtoky se vyjádří pomocí a výstupního průtoku
Q12 a zadaného vstupního
q1 a q3
Q15 = q1 − Q12 Q23 = Q12 Q34 = q3 − Q23 = q3 − Q12 Q45 = Q34 = q3 − Q12 Vztahy se využijí v rovnici (3.4.6 )
(
2 2 0 = kQ12Q12 + kQ 23Q12 − kQ 34 q3 − Q12
)
2
(
− kQ 45 q3 − Q12
43
)
2
(
− kQ15 q1 − Q12
)
2
Kvadratické dvojčleny se umocní a roznásobí:
(
)
(
)
2 2 2 2 0 = kQ12Q12 + kQ 23Q12 − kQ34 q32 − 2q3Q12 + Q12 − kQ 45 q32 − 2q3Q12 + Q12 −
(
2 − kQ15 q12 − 2q1Q12 + Q12
)
(
)
2 = (kQ12 + kQ 23 − kQ 34 − kQ 45 − kQ15 )Q12 + 2 kQ 34q3 + kQ 45q3 + kQ15q1 Q12 − 144444 42444444 3 144 4442444443 a
b
− kQ 34q − kQ 45q − k q 14444 4244444 3 2 3
2 3
2 Q15 1
c
Získala se kvadratická rovnice o je jedné neznámé
2 aQ12 + bQ12 + c = 0 ⇒ Q12 =
Q12 , kterou lze vyřešit analyticky:
− b ± b 2 − ac 2a
Ostatní průtoky se určí zpětným dosazením. V případě složitějšího potrubního systému se dvěma okruhy, viz schéma na obr. 3.14 se využije výše popsaná metodika, tj. vytvoří se pět rovnic z uzlové podmínky pro průtoky (stejný počet jako pro jeden okruh, protože počet uzlů je stejný) a dvě rovnice pro tlakové spády z okruhové podmínky.
obr. 3.14 Schéma okruhované sítě se dvěma okruhy Tedy rovnice (3.4.5 ) bude ve tvaru
44
1:
q1 − Q12 − Q15 = 0
2:
Q12 − Q23 − Q25 = 0
3:
Q23 + Q34 − q 3 = 0 ⇒
4:
Q45 − Q34 = 0
5:
Q15 + Q25 − Q45 = 0
Q15 = q1 − Q12 Q23 = Q12 − Q25
(3.4.7 )
Q34 = q 3 − Q23 = q3 − Q12 + Q25 Q45 = Q34 = q3 − Q12 + Q25
Bylo nutné zvolit dva neznámé průtoky (např.
Q12 a Q25 ) a ostatní pomocí nich vyjádřit. Dvě rovnice
pro okruhy jsou následující 2 2 2 ∆pI = 0 = kQ12Q12 + kQ 25Q25 − kQ15Q15
(3.4.8 )
2 2 2 2 ∆pII = 0 = kQ 23Q23 − kQ 34Q34 − kQ 45Q45 − kQ 25Q25
Je zjevné, že dosazením průtoků z rovnice (3.4.7 ) se získají dvě kvadratické rovnice o neznámých
Q12 a Q25 . Tyto průtoky lze vypočítat jen numericky. Proto se využije následující postup spočívající v linearizaci výše uvedených kvadratických rovnic. Ve větvích potrubní sítě se průtoky rozdělí tak, že v každé uzavřené smyčce je součet tlakových ztrát roven nule. Protože rozložení průtoků je neznámé, provede se počáteční odhad těchto průtoků s tím, že platí uzlová podmínka (součet průtoků v uzlu je roven nule). Součet tlaků v okruzích pro tako odhadnuté průtoku nebude roven nule, tedy nebude splněna podmínka o okruzích, tj. v každém okruhu bude součet tlakových ztrát roven tzv. reziduálu
∑ ∆p
i
∆p
= ± ∆p ≠0
(3.4.9 )
Podle velikosti reziduálu a znaménka je možno posoudit, která větev smyčky a do jaké míry je předimenzována a naopak. Pro získání správných veličin průtoků a ztrát v úsecích sítě je nutno korigovat nesprávně dimenzované úseky. Síť se koriguje do té doby, než všechna rezidua neklesnou pod únosnou mez, tj. pro smyčky je
∆hdov ≤ 0.5 m a pro sítě je ∆hdov ≤ 1 m. Pro provedení korekce
existují různé iterační metody. Potrubní síť je popsána soustavou algebraických rovnic, z nichž 3.4.2 ) a
k
rovnic je lineárních dle (
j rovnic je nelineárních (kvadratických) dle ( 3.4.3 ), přičemž neznámými jsou průtoky
v jednotlivých větvích. Při větším počtu rovnic se pro řešení využije numerických metod pro řešení soustav algebraických nelineárních rovnic, např. Newtonovy iterační metody. Při velkém počtu rovnic může úloha pomalu konvergovat, proto se používají i jiné metody výpočtu, u nichž je rychlost konvergence větší. Jako příklad bude prezentována metoda Hardy-Cross.
45
Ve větvích jsou označeny počáteční aproximace průtoků včetně směru a z nich jsou určeny tlakové ztráty. Rezidua za předpokladu pro všechny smyčky jsou dána dle obr. 3.14: 2 2 2 ∆pI = kQ12Q12 + kQ 25Q25 − kQ15Q15 2 2 2 2 ∆pII = kQ 23Q23 − kQ 34Q34 − kQ 45Q45 − kQ 25Q25
Předpokládá se, že při počáteční aproximaci hodnot a směrů průtoků mají rezidua ve všech smyčkách kladná znaménka. Pak poddimenzované jsou části s pohybem ve směru hodinových ručiček. Definují se tzv. korekční průtoky, které musí být záporné a směrovány proti pohybu hodinových ručiček. Po zavedení korekčních průtoků pro oba okruhy
( ) + k (Q − ∆Q + ∆Q ) − k (Q + ∆Q ) (Q − ∆Q ) − k (Q + ∆Q ) − k (Q + ∆Q ) − (Q − ∆Q + ∆Q ) = 0 2
kQ12 Q12 − ∆QI kQ 23
∆QI , ∆QII je možno zapsat následující rovnice: 2
Q 25
25
I
II
2
23
− kQ 25
II
2
Q15
15
I
2
Q 34
34
=0
2
II
Q 45
45
II
2
25
I
II
Výrazy v závorkách se umocní a zanedbají se členy obsahující
(∆QI )2 , (∆QII )2 ,
konvergenci výpočtu konvergují k nule a jejich druhé mocniny jsou tedy zanedbatelné, např.
(
kQ12 Q12 − ∆QI
)
2
2 2 2 = kQ12 Q12 − 2Q12 ∆QI + ∆ Q I { ≈ kQ12 Q12 − 2Q12 ∆QI = ≈0 2 = kQ12Q12 − 2kQ12Q12 ∆QI
(
Tím se získá soustava lineárních algebraických rovnic pro neznámé
(
∆QI , ∆QII :
)
2 2 2 kQ12Q12 + kQ25Q25 − kQ15Q15 − 2∆QI kQ12Q12 + kQ25Q25 − kQ15Q15 + 2∆QIIkQ25Q25 = 0
(
2 2 2 2 kQ23Q23 − kQ34Q34 − kQ45Q45 − kQ25Q25 − 2∆QII kQ23Q23 − kQ34Q34 − kQ45Q45 − kQ25Q25
+ 2∆QI kQ25Q25 = 0 nebo stručněji
∆pI − 2∆QI ∑ (kQi Qi )I + 2∆QII kQ 25Q25 = 0 3
i =1
∆pII − 2∆QII ∑ (kQi Qi )II + 2∆QI kQ 25Q25 = 0 4
i =1
Tato soustava je jednoduchá, pro lepší přehlednost se zapíše ve tvaru
46
)
)
které při
aI ∆QI + aII ∆QII = ∆pI bI ∆QI + bII ∆QII = ∆pII se vyřeší pro neznámé
∆QI = bI
∆QI , ∆QII eliminací následujícím postupem:
∆pI − aII ∆QII aI
∆pI − aII ∆QII + bII ∆QII = ∆pII ⇒ aI
bI ∆pI − bI aII ∆QII + aI bII ∆QII = aI ∆pII ⇒ ∆QII (aI bII − bI aII ) = aI ∆pII − bI ∆pI ⇒
∆QII =
aI ∆pII − bI ∆pI ∆p − aII ∆QII , ∆QI = I aI bII − bI aII aI
Obecně takových rovnic je možno napsat tolik, kolik je smyček v potrubním systému. Počet rovnic odpovídá počtu neznámých, obecný tvar rovnice je
∆pmi − 2∆Qmi ∑ (kQQ )mi + 2kQk Qk ∆QIk + 2kQr Qr ∆Qr + ... = 0 kde
(3.4.10 )
mi je číslo smyčky, k , r ,... jsou indexy společných větví sousedních smyček. Pro vyřešení
soustavy lineárních algebraických rovnic pro neznámé
∆Qmi se užije maticového vyjádření, tj. teorie
elektrických obvodů a eliminačních nebo iteračních metod řešení s využitím počítače. Existuje celá řada komerčních programů týkajících se výpočtu potrubních sítí, které jsou zaměřené na rozvody vody, kanalizace, ústřední topení (s teplotou) apod.
47
4. Dynamické odpory hydraulických prvků v SimHydraulics 4.1
Odpor proti zrychlení
Příčinou odporu proti zrychlení je setrvačnost kapaliny nebo setrvačnost pohybujících se hmotností (píst, pístnice, pružina, apod.).
4.1.1 Odpor proti zrychlení u přímočarého pohybu Pro zrychlení sloupce kapaliny o délce
l
v potrubí o průřezu S je zapotřebí síla
m S
F = ∆pS . Tlakový spád
∆p =
V
∆p=p1-p2
v
p1
∆p na délce l je
p2 l
F ma m dv m dQ dQ = = = 2 = LH S S S dt S dt dt
obr. 4.1 Odpor proti zrychlení sloupce kapaliny
Odpor proti zrychlení neboli hydraulická indukčnost je tedy určena vztahem
LH =
[
m ρSl ρl = 2 = = kgm − 4 2 S S S
]
( 4.1.1)
4.1.2 Odpor proti zrychlení u rotačního pohybu Odpor proti zrychlení při otáčivém pohybu se odvodí
p1
analogicky z následujících momentových rovnic
S
dω 1 dv 1 dQ M = Jε = J =J =J dt r dt Sr dt kde
v p2
J [kg.m2] je moment setrvačnosti rotujících hmot, tj.
r
kapaliny, případně částí hydrogenerátoru, hydromotoru, zátěže atd.),
M = Fr = ∆pSr . Objem za jednu otáčku
hydrogenerátoru je
Pak
Vt = 2πrS , z čehož Sr =
moment je roven
M=
Vt . 2π
obr. 4.2 Odpor proti zrychlení
∆pVt . Porovnáním výrazů pro momenty je tlakový spád 2π
2
2π dω 2π dQ J ∆p = J = . Hydraulická indukčnost při otáčivém pohybu je tedy Vt dt Vt dt
48
2π LH = Vt
2
[
J = kg.m − 4
]
( 4.1.2)
Jestliže v obvodu se otáčejí jednotlivé části různými otáčkami, redukuje se moment setrvačnosti na jeden hřídel, a to zpravidla na hřídel hydromotoru. Pak redukovaný moment setrvačnosti je
J red = Ji h2 , i h =
n , kde J je moment setrvačnosti hmoty otáčející se otáčkami n , nm jsou otáčky nm
hydromotoru.
4.1.3 Hydraulická indukčnost sloupce kapaliny v SimHydraulics Potrubí s hydraulickou indukčností (Fluid Inertia) je blok pro definici odporu A
B
Fluid Inertia
proti zrychlení při proudění v potrubí. Zadává se průtočná plocha a délka potrubí. Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic elements/ Fluid Inertia)
4.2
Odpor proti deformaci a hydraulická kapacita
Odpor proti deformaci je určen vztahem
DH =
hodnotou.
49
∆p , hydraulická kapacita je převrácenou ∆V
4.2.1 Odpor proti deformaci sloupce kapaliny Pro sloupec kapaliny o průřezu S a délce l se vyjádří odpor proti deformaci nebo hydraulická kapacita z definice modulu objemové pružnosti kapaliny
[
1 ∆V 1 ∆V 1 V =− ⇒− = CH = = kg −1 m 4 s 2 K V ∆p ∆p DH K
]
Pro pružné potrubí je třeba uvažovat také odpor proti deformaci potrubí, což lze provést korekcí modulu objemové pružnosti kapaliny
K s = κ 2K , CH =
K vztahem
V V = 2 Ks κ K
( 4.2.1)
Pro tenkostěnné potrubí kruhového průřezu platí
κ=
1 , což je známo z hydraulického rázu. Kd 1+ Es
E je modul pružnosti materiálu potrubí a s je tloušťka stěny. Hydraulickou kapacitu lze vyjádřit také v závislosti na rychlosti zvuku, neboť platí
je
CH =
a = κat = κ
K
ρ
⇒ κ 2K = a 2 ρ , čili hydraulická kapacita
V V V Kd = = 1 + . 2 2 K Es κ K ρa
Jestliže tlak v kapalině klesne pod tlak nasycených par (dosáhne se kavitačních parametrů), pak musí být rovnice upraveny. Kapalina se bude předpokládat jako vícefázová směs kapaliny a plynu o malém objemovém množství. Modul pružnosti se pak upraví na tvar 1/ n
pa 1 + α pa + p K = Kk pa1/ n 1 + αK k n +1 n (pa + p ) n kde
( 4.2.2)
K k je modul pružnosti čisté kapaliny pa je atmosférický tlak
α
je relativní obsah plynu,
α=
Vg Vk
Vg je objem plynu v kapalině při atmosférickém tlaku
Vk objem kapaliny
n je podíl měrných tepel plynu 50
Hlavním důvodem k uvažování kapaliny jako směsi kapaliny a plynu je zavedení aproximativního modelu kavitace pro případ, že tlak v systému klesne pod tlak nasycených par kapaliny. 1.4E+09
1.2E+09
K [Pa]
1.0E+09
8.0E+08
0 0.000025 0.00005
6.0E+08
0.000075
alfa
4.0E+08
0.0001 0.0005 0.001 0.005
2.0E+08
0.01 0.1
0.0E+00 0.E+00
1.E+06
2.E+06
3.E+06
4.E+06
5.E+06
6.E+06
p [Pa]
obr. 4.3 Modul objemové pružnosti v závislosti na tlaku a objemovém obsahu vzduchu. Při vysokém tlaku je v kapalině malé objemové množství nerozpuštěného vzduchu a nemá praktický vliv na modul pružnosti. Kavitace je v podstatě termodynamický proces vyžadující vícefázové proudění, přenos tepla atd., což nemůže být přesně řešeno v SimHydraulics. Ale i tento zjednodušený přístup je postačující pro řešení hydraulických obvodů. Jestliže je jasné, že v obvodu nenastace situace, aby tlak klesl pod tlak nasycených par, lze objemový zlomek plynu nastavit přímo jako nulu (resp. malé číslo, např. 1e-15), což samozřejmě urychlí výpočet.
4.2.2 Odpor proti deformaci pružiny Kapacita pružiny je určena stejně jako u kapaliny pružiny
Cp =
∆V dV = . Změna objemu (stlačení ∆p dp
∆x ) je vyvolána pohybem pístu o ploše S , takže ∆V = S∆x . Pro sílu potřebnou na
stlačení pružiny platí vztahy
F = ∆pS = c∆x , z čehož stlačení je ∆x =
51
∆pS a změna objemu c
∆V = S∆x =
∆V S 2 ∆pS 2 . Pak kapacita pružiny se vypočte ze vztahu C p = = , kde c je ∆p c c
konstanta pružiny.
4.2.3 Odpor proti deformaci plynu Pro plynovou pružinu při izotermické změně stavu ( T = konst ) platí rovnice
p1V1 = p2V2 . Změna objemu je
V2 p2
p ∆p ∆V = V1 − V2 = V11 − 1 = V1 . Kapacita plynové pružiny p2 p2
V1
je
Cp = Pro
∆V V1 = ∆p p2
polytropickou
změnu
( 4.2.3) stavu
p1
p1V1 = p2V2 , tj. n
platí
n
1
p n V2 = V1 1 . Změna objemu po dosazení je p2 1 p1 n ∆V = V1 − V2 = V11 − . p2
Kapacita
obr. 4.4 Odpor proti deformaci plynu
se
odvodí
z definice
pomocí
průtoku
1
d (∆V ) d (∆V ) dp2 V1 1 p1 n dp2 QV = = = a je definována jako dt dp2 dt p2 n p2 dt 1
Q V 1 p n V 1 V2 V C p = V = 1 1 = 1 = 2 dp2 p2 n p2 p2 n V1 np2 dt
52
( 4.2.4)
4.2.4 Kapacita nádrží V hydraulických systémech se může vyskytovat nádrž
QV
s volnou hladinou. Při konečném objemu resp. konečném průřezu nádoby (ve vodorovné rovině) je nutno uvažovat
S
pohyb hladiny při rozdílném přítoku a odtoku z nádoby. Schopnost nádrže pojmout určitý objem kapaliny, případně ho
h v
vydat, představuje akumulační schopnost, která se dá vyjádřit kapacitou nádrže. Přiteklý objem do nádrže je po dosazení je
Q =S
p0
dh
dV = Qdt a
Qdt = Sdh . Po úpravě se dostane
obr. 4.5 Kapacita nádrže
dh S dp dp = =C dt ρg dt dt
Kapacita nádrže je
C=
S ρg
( 4.2.5)
kde S je vodorovný průřez nádoby.
4.2.5 Hydraulická kapacita objemu kapaliny v SimHydraulics Kapacitu je možno jej definovat prvkem Constant Volume Chamber. Kapacita jako izolovaný prvek potrubního systému nemá fyzikálně smysl, pouze v souvislosti s dalšími odpory (alespoň odporem proti pohybu), takže se používá např. přímo jako potrubí s hydraulickou kapacitou (Hydraulic Pipeline). Kapacita (Constant Volume Chamber) představuje odpor proti deformaci. Constant Volume Chamber
Převrácená hodnota odporu proti deformaci je hydraulická kapacita. Definice odporu
proti
deformaci
(Simulink/Simscape/Foudation
library/Hydraulic/Hydraulic
Volume Chamber):
Vf = Vc + kde
Vc dVf p a průtok pak Q = K dt
Q - objemový průtok do nádrže
Vf - objem kapaliny v nádrži Vc - geometrický objem nádrže K - modul objemové pružnosti kapaliny p - přetlak kapaliny v nádrži 53
definovaná
v SimHydraulics elements/Constant
Stlačitelnost kapaliny a stěn je definována dle následujících parametrů -
nádrž s nepružnými stěnami (rigid walls), kapalina bez plynu
-
nádrž s pružnými stěnami (compliant walls) a válcovým tvarem, kapalina bez plynu
-
nádrž s nepružnými stěnami (rigid walls), kapalina s plynem
-
nádrž s pružnými stěnami (compliant walls) a válcovým tvarem, kapalina s plynem
Obsah plynu v kapalině se zadává v bloku kapaliny, může být i roven nule.
Potrubí s hydraulickou kapacitou a odporem proti pohybu (Hydraulic Pipeline) je blok pro definici odporu proti deformaci a pohybu při proudění v potrubí. Zadávají se parametry jako pro Resistive Tube. (Simulink/Simscape/SimHydraulics/Pipelines/Hydraulic Pipeline)
54
4.3
Značení hydraulických odporů
Odpory, které se vyskytují při přenosu energie, představují podle lineární teorie obvodů dvojpóly, pro které platí, že průtoky na vstupu a výstupu jsou stejné a přenosový kanál je dokonale těsný. Pro základní odpory je zavedeno v hydraulice následující označení, které se trošku liší od značení odporů v SimHydraulic
R [Nsm-5]
odpor proti pohybu
L [kgm-4]
odpor proti zrychlení
D=
1 1 -4 -2 [kg m s ] C 55
odpor proti deformaci
Odpory se mohou řadit paralelně a sériově. Při obecném kombinovaném řazení odporů, kdy některé odpory jsou řazeny sériově a jiné paralelně, se hovoří o odporové síti, jejíž řešení je obsaženo v teorii grafů, využívané v elektrotechnice spolu se známými Kirchhoffovými zákony. V hydraulice bude platit zákon o uzlech a zákon o okruzích. V SimHydraulics se objeví trochu odlišné znační odporů, jejich význam ale je stejný.
A
B
R [Nsm-5]
odpor proti pohybu
L [kgm-4]
odpor proti zrychlení
Fluid Inertia
Constant Volume Constant Volume Chamber Chamber
D=
1 1 -4 -2 [kg m s ] C
odpor proti deformaci
Odpory se budou řadit graficky s tím, že číslování odporů kontrola zapojení sítě se bude v SimHydraulics provádět automaticky.
4.4
Časové konstanty
Časové konstanty vyjadřují vztahy mezi základními odpory
R , L , C a lze z nich odhadnout
dynamické chování hydraulického obvodu. Označují se
TLR =
L R
TRC =
R = RC D
2 TLC =
L L = LC = RC = TLRTRC D R
Lze dosazovat např. hodnoty odporů pro kruhové potrubí a pak tyto konstanty specifikovat. Pro laminární proudění v kruhovém potrubí lze časové konstanty následněí upřesnit
TLR =
L 4 ρl πd 4 d2 = = R πd 2 128 ρνl 32ν
56
TRC =
128 ρνl πd 2 l ρνl 2 R = RC = = 32 πd 4 4K d D d 2K D
TLC = LC = l
ρ KD
=
l a
a z poslední konstanty odhadnout dynamiku děje, tj. dobu běhu vlny. Výraz
l je polovina doby běhu a
vlny u hydraulického rázu.
Příklad 4.4.1 Určete časové konstanty dané paramery potrubí a měřením při proudění vody v tomto potubi. Hydraulický obvod se stlačitelnou viskózní kapalinou (voda) pro experimentální stanovení dynamických parametrů a následně odezvy tlaku na skokový vstupní signál je uveden na obr. 4.7.. Obvod je složen z hydrogenerátoru HG, pojistného ventilu PV, vlastní měřicí trati T, rozváděče R, snímačů tlaku S1 až S4, teploty S5 a průtoku S6. Pro vyhodnocování je využit měřící systém M5050 a notebook NB, včetně software pro měření a vyhodnocování veličin. Odpady a svody jsou odvedeny do nádrže N.
HG
UTC
H P C
N
V
obr. 4.6 Pohled na měřící zařízení
57
PC
obr. 4.7 Schéma hydraulického obvodu
Na fyzikálním zařízení pro hydraulický ráz bylo možno definovat okrajové podmínky pro numerickou simulaci. Tyto podmínky byly následující: •
ustálený stav při otevřeném ventilu: průtok před skokovou změnou byl Q =0.15 l.s ,
•
maximální tlak na čerpadle je p pv =40 kPa
-1
Další dynamické parametry byly počítány.
58
59
5. Matematický model sloupce kapaliny K sestavení matematického modelu proudění v potrubí je možno využít teorii dvojbranů (čtyřpólů), kdy matematický popis spočívá ve vytvoření matematického modelu turbulentního proudění potrubím pro zadané fyzikální vlastnosti proudící tekutiny, potrubí dané délky, průměru, síly stěny a materiálu a jeho řešení (SimHydraulics). Ze všech kombinací sériově-paralelních řazení odporů budou v následujících kapitolách vybrány ty obvody, které mohou reprezentovat proudění v potrubí a matematické modely, které takto budou vytvořeny, se nazývají modely se soustředěnými parametry, protože odpory R, L, C jsou soustředěny do jednoho bodu a neuvažuje se vliv délky potrubí. K řešení nelineárních rovnic popisujících turbulentní, laminární a přechodové proudění se využije systém SimHydraulics, který je z hlediska zadávání obvodu a parametrů potrubí a kapaliny uživatelsky přívětivější. Jako první model bude popsán model T-článku, který je nejznámější a nejpoužívanější prvek. Na něm bude vysvětlen přístup k řešení metodou analytickou a numerickým řešením v SimHydraulics. Další prvky jsou pak již variantami.
5.1
R-(L+C) článek (tzv. T článek) Nechť je dán obvod, složený z R, L a C
Q
odporů (tzv. T článek). Ze zákonů o okruzích
R
L
∆pR
dle schématu vyplývá
∆pL QC
∆p = ∆pR + ∆pL = ∆pR + ∆pC
∆p
⇒ ∆pL = ∆pC
D=1/C
∆pC
Ze zákona o uzlech platí
Q = QC + QL ⇒
dQ dQC dQL = + dt dt dt
Pro průtoky a tlaky odporech platí vztahy laminární nebo linearizované proudění
turbulentní proudění
∆pR = RlinQ
∆pR = RQ 2
∆pL = L ⋅ ∆pC =
dQL dt
1 ⋅ QC ⋅ dt C ∫
60
QL
1 QC dt C∫ dQC d 2 ∆p d 2Q ⇒ =C − CR lin dt dt 2 dt 2
1 QC dt C∫ dQC d 2 ∆p d 2 Q2 ⇒ =C − CR lin dt dt 2 dt 2
∆p = RQ 2 +
∆p = RlinQ +
( )
2
dQC d 2Q d 2 ∆p dQ ⇒ =C − 2CR − 2CRQ 2 dt dt 2 dt dt dQL dQL ∆p R 2 ∆p = RQ 2 + L ⇒ = − Q dt dt L L
∆p = RlinQ + L
dQL dQL ∆p Rlin ⇒ = + Q dt dt L L
dQ d 2 ∆p d 2Q ∆p Rlin =C − + + Q CR lin dt dt 2 dt 2 L L
2
dQ d 2 ∆p d 2Q dQ =C − 2 CRQ − 2CR + 2 2 dt dt dt dt ∆p R 2 + + Q L L
Po úpravě jsou výsledné rovnice následující laminární nebo linearizované proudění
Rlin LC
turbulentní proudění
2 d 2Q dQ d 2 ∆p d 2Q dQ dQ + L + R Q = LC + ∆ p 2RLCQ 2 + 2RLC + RQ 2 = lin +L 2 2 dt dt dt dt dt dt
= LC
d 2 ∆p + ∆p dt 2
Rovnice jsou druhého řádu vzhledem k průtoku i tlaku. Tedy ze zákonů o okruzích a uzlech platí výše uvedené diferenciální rovnice pro laminární resp. turbulentní proudění, přitom pro laminární nebo linearizované proudění je lineární a pro turbulentní proudění je nelineární.
5.1.1 Analytické řešení linearizované rovnice Analyticky lze řešit jen linearizované rovnice, což i tak není úplně jednoduché a závisí na tvaru pravé strany. Snadno lze najít alespoň charakter řešení. Za předpokladu skokové změny tlaku je
∆p = ∆p0 platí, že derivace tlaku je rovna nule a rovnice přejde po vydělení Rlin LC na tvar d 2Q 1 dQ 1 1 + + Q= ∆p0 2 RlinC dt LC Rlin LC dt
( 5.1.1)
Rovnice je lineární a nehomogenní, tudíž lze určit partikulární řešení příslušné homogenní rovnice
d 2Q 1 dQ 1 + + Q = 0 pomocí charakteristického polynomu. Nechť řešení Q má tvar 2 RlinC dt LC dt
Q = konst .e λt a dosadí se do ( 5.1.1). Charakteristická rovnice a její kořeny jsou dány vztahem
61
2
1 1 4 − − ± RlinC LC 1 1 RlinC λ2 + λ+ = 0 ⇒ λ 1,2 = RlinC LC 2 Vlastnosti řešení vyplývající z vlastností diskriminantu kvadratické rovnice a tudíž následně z kořenů: I)
λ 1,2
- reálná čísla, potom řešení je ve tvaru exponenciály
Q = C1e λ 1t + C 2e λ 2t II)
( 5.1.2)
λ 1,2 = α ± iω . řešení v tomto případě je harmonické a pro α ≤ 0
je tlumené (řešení je stabilní):
Q = eα t (C1 cos(ωt ) + C 2 sin(ωt ))
1 α =− ,ω = 2RlinC
kde
III)
1 1 − LC 2RlinC
( 5.1.3) 2
λ 1= λ 2 , potom řešení má tvar Q = e λ t (C1 + C2t )
Konstanty
( 5.1.4)
C1 a C2 se určí variací konstant a z reálných počátečních podmínek pro Q (0 ) a její první
derivaci. Protože výchozí rovnice je nehomogenní (s nenulovou pravou stranou), mohou být obě počáteční podmínky nulové (pro homogenní rovnici by se dostalo triviální řešení). Jinak se zvolí například
QV (0 ) z podmínky ustáleného stavu pro tlak ∆p = 40kPa , tj. Q(0 ) =
nechť je nulová první derivace, tj.
∆p = 0.00015 a R lin
dQ0 (0 ) = 0. dt
5.1.2 Numerické řešení - SimHydraulics Příklad 5.1.1 Numericky řešte diferenciální rovnici druhého řádu odpovídající T článku RLC s nulovými počátečními podmínkami a danými konstantami. V rovnici se předpokládá, že změna tlaku
∆p0 je
vstupní signál a průtok je hledaná funkce. Vstupní signál je roven skokové změně na hodnotu
∆p0 .
Linearizovaná diferenciální rovnice je řešena v Simulinku. Pro turbulentní proudění nelinearizované se využije programu SimHydraulics shéma připravené pro výpočet statické charakteristiky s následujícími úpravami: •
potrubí (Resistive Tube) se doplní paralelně připojeným blokem kapacity (Constant Volume Chamber) a sériově blokem indukčnosti (Fluid Inertia). 62
•
Zdroj průtoku se nahradí zdrojem ideálního tlaku (Ideal Hydraulic Pressure Source), který je definován v bloku Signal Builder skokovou funkcí z
p = 0Pa na p = 40kPa v čase
t = 0.002s . •
V bloku kapaliny je nutno nastavit objem nerozpuštěného plynu na nulu (tj. 1e-16), neboť obsah plynu v kapalině je zohledněn ve změřeném modulu pružnosti (pro vodu v tomto systému je K=7e6 Pa).
Základní parametry potrubí a proudicí kapaliny jsou dány z minulého příkladu a budou vloženy do obvodu.:
Pro kontrolu a ilustraci je diferenciální rovnice pro linearizovaný odpor řešena jako diferenciální rovnice pomocí Matlab – Simulink, viz obr. 5.1. Následuje schéma přesně odpovídající téže rovnici, potrubí je schématicky zakresleno jako T článek, odpor proti pohybu je definován konstantou (Linear Hydraulic Resistace 2.57e8). Řešení oběma schématy je naprosto shodné. potrubi+kapalina l,S,d,s,E,la,ro,K,ni
b a
Demux
Rlam,Rturb,Rlin,L,C
Odpory Selector
b*Q
c
skok Dp0 40000
a*dQ/dt Qlin To Workspace
c*Dp0
1 s
1 s
dQ/dt
Q
obr. 5.1 Schéma řešení linearizovaného obvodu QODR, Simulink
63
Scope
PS-S1
To Workspace1
PS S
Q_za_zdrojem
C ustom Hydraulic Fluid A
Solver Configuration
Q za zdrojem
Q A
B
T
S
P
prutokomer
B
A
Linear Hydraulic Resistance
B
PS S
Q B
Q za ventilem
prutokomer1
C onstant Volume C hamber
Ideal Hydraulic Pressure Source
S PS
nadrz2 tlakovy spad
B P
Manometr1
S-PS
A
Fluid Inertia
A
Signal Builder
Q_za_T PS-S
f(x)=0
Signal 2
To Workspace3
PS S
tlakovy_spad_na_T
PS-S2
To Workspace2
nadrz1
obr. 5.2 Schéma řešení linearizovaného obvodu Qlin, SimHydraulics Pro úplnost je řešen T článek pro turbulentní proudění s využitím SimHydraulics. Je zřejmé, že lze využí stejné schéma dle obr. 5.2, je konstatní odpor proti pohybu, který je zakroužkovaný, se vymění přesnější definici odporu, která závisí na typu proudění a je definována prvkem Pesistive Tube. Při harmonickém průtoku je jasné, že se mění rychlost a Reynoldsovo číslo a tudíž také součinitel tření
λ . Proto je výsledek odlišný od linearizovaného přístupu včetně ustáleného stavu. V grafu na následujícím obrázku jsou porovnána všechna ři řešení. 0.00025
0.0002
3 -1
Q [m s ]
0.00015
0.0001
QODR Qlin Qnelin
0.00005
0 0
50
100
150
200
t [s]
obr. 5.3 Řešení T článku všemi metodami 64
250
300
Je možno konstatovat, že v SimHydraulics vytvořený model vystihuje jak laminární tak turbulentní proudění. Z numerické řešení je možno odečíst periodu, ustálený stav a pod. Je vidět, že perioda pro všechny varianty se řádově shodná, odlišnost je pozorována v tlumení a ustáleném stavu, neboť odpor Resistive Tube sám určí z rychlostního profilu, jakým vzorcem bude definovat tření. Hydraulické odpory pro tuto úlohu lze vyčíslit jen z schématu QODR.. Je třeba poznamenat, ře řešení nelze konfrontovat s výše popsaným experimentem, tj. se změřenými průběhy hydraulického rázu. Důvodem je to, že rovnice pro T článek popisuje vztah mezi vstupním tlakem a vstupním průtokem. Dynamická změna je vyvolána dynamickou změnou tlaku na vstupu do potrubí. Hydraulický ráz je vyvolán dynamickou změnou na konci potrubí. Navíc průběhy průtoků nelze odměřit, neboť není k dispozici průtokoměr pro měření dynamického průtoku. Hydraulický ráz bude řešen a porovnán s experimentem později.
Příklad 5.1.2 Otestujte tuto úlohu pro harmonický vstupní signál.
5.2
R-L – článek Tento model je velmi často používaný model
R
L
pro krátké potrubí i v komerčních software. Pro sériově řazené odpory okruzích ve tvaru
∆pR
R , L , se využije zákon o
∆pL ∆p
∆p = ∆pR + ∆pL .Pro tlakové
spády na odporech platí vztahy laminární nebo linearizované proudění
turbulentní proudění
∆pR = Rlin ⋅ Q
∆pR = RQ 2 ∆pL = L
∆p = RlinQ + L
dQ dt
dQ dt
∆p = RQ 2 + L
dQ dt
Lineární diferenciální rovnici prvního řádu lze řešit analyticky (nebude se nadále používat z důvodu sjednocení přístupů k řešení) a Laplaceovou metodou dle rozboru provedeném v kap 6. Numericky se řeší jak lineární tak nelineární rovnice bez problémů. Rovnice budou řešeny pro nulovou počáteční podmínku diference
∆p . 65
Q (0 ) = 0 a vstupní signál je tlakové
5.2.1 Numerické řešení laminárního i turbulentního proudění Úloha bude řešena jako zjednodušený případ řešení T článku pomocí SimHydraulics s tím, že prvek definující kapacitu bude vynechán.
5.3
C+(R-L) - Lčlánek
Pro sériově-paralelní řazení odporů
Q
R,L,C dle schématu plyne ze zákona o
R
QRL
∆p R
QC
okruzích
∆p = ∆pR + ∆pL = ∆pC .
L
∆ pL ∆p
∆p
Ze zákona o uzlech vyplývá pro tento
D=1/C
obvod
∆pC=∆p
Q = QRL + QC .
Pro průtoky na jednotlivých odporech platí vztahy laminární nebo linearizované proudění
QRL =
turbulentní proudění
∆pR Rlin
QRL = QRL =
1 ∆pL dt L∫ d∆p dt
QC = C Q =C
d∆p ∆pR + dt Rlin
Q =C
⇒ ∆pR = RlinQ − RlinC Q =C
d∆p dt
d∆p 1 + ∫ ∆pL dt dt L
d∆p + dt
∆pR R
d∆p ⇒ ∆pR = R Q − C dt Q =C
dQ d 2 ∆p ∆pL ⇒ =C + dt dt 2 L
⇒ ∆pL = L
∆pR R
d∆p 1 + ∫ ∆pL dt dt L ⇒
dQ d 2 ∆p − LC dt dt 2
dQ d 2 ∆p ∆pL =C + dt dt 2 L
⇒ ∆pL = L
Pro odvození rovnice se sečtou tlakové spády a získá se diferenciální rovnice
66
2
dQ d 2 ∆p − LC dt dt 2
laminární nebo linearizované proudění
LC
turbulentní proudění
d 2 (∆p ) d (∆p ) dQ + RlinC + ∆p = L + RlinQ 2 dt dt dt
Diferenciální rovnice vyjadřuje závislost průtoku
d 2 (∆p ) d (∆p ) d (∆p ) + 2RCQ − RC 2 + ∆p 2 dt dt dt dQ =L + RQ 2 dt 2
LC
Q a tlakového spádu ∆p , přitom obě veličiny jsou
v derivacích, tedy z hlediska matematického lze volit libovolnou proměnnou (a potřebné derivace) jako vstupní veličinu a druhou veličinu spolu se zadanými potřebnými počátečními podmínkami řešit. Vzhledem ke komplikovanosti vztahů se analytické řešení nebude uvažovat a další kapitoly se zabývají již pouze numerickým řešením realizovaným v SimHydraulics.
5.3.1 Numerické řešení turbulentního proudění Úloha bude řešena metodicky stejně jako T článek pomocí SimHydraulics, případně se upraví typ vstupního signálu.
5.4
Symetrický T článek Q
L/2
∆ pL
R/2
R/2
∆ pR
∆ pR
L/2
QR
∆ pL
QC
∆p
D=1/C
∆ pC
Rovnice odpovídající výše uvedenému schématu je rovnicí druhého řádu pro tlak a třetího řádu pro průtok. Vzhledem ke složitosti se již uvádí pouze rovnice pro linearizovaný odpor proti pohybu odvozená ze schématu a pro turbulentní proudění se již odvození neprovádí. 2 dQ CL d 2 ∆p CRlin d∆p CL2 d 3Q LRlinC d 2Q Rlin C + + ∆ p = + + + L 2 3 2 4 dt + Rlin .Q 2 dt 2 dt 4 dt 2 dt
5.4.1 Numerické řešení symetrického T článku Předpokládá se tlakový vstupní signál ve tvaru skokové funkce, tj. ∆p0 , a průtok je výstupní hledaná funkce. Schéma řešení v Simulinku je podobné. Při použití odporu proti pohybu Resistive Tube se ale řeší nelineární tvar rovnic, tj. obecné turbulentní proudění . 67
Další variantou řešení je průtok jako skokový vstupní signál
Q0 a změna tlaku je hledaná
funkce. Tvar řešení závisí na tvaru vstupního signálu tlaku nebo průtoku (skoková, harmonická a exponenciální funkce) a na hodnotách konstant R, L, C. Odezvou na skokovou změnu je přechodová charakteristika. Příprava schématu pro tento článek je mnohem snažší v SimHydraulics, neboť koeficienty jsou složité a navíc není třeba přepracovat schéma pro změnu vstupního signálu.
5.5
π
článek Q
L/2
R
∆pL
∆pR
QR
∆pL QC
QC
∆p
L/2
D=2/C
D=2/C
∆pC
∆pC
Rovnice odpovídající výše uvedenému schématu je obyčejnou diferenciální rovnicí třetího řádu pro tlak a čtvrtého řádu pro průtok. Vzhledem ke složitosti se opět uvádí pouze rovnice pro linearizovaný odpor proti pohybu.
Rlin LC 2 d 3 ∆p LC d 2 ∆p RlinC d∆p Rlin L2C 2 d 4Q L2C d 3Q Rlin LC d 2Q + + + ∆p = + + + 8 2 dt 2 2 dt 16 4 dt 3 2 dt 3 dt 4 dt 2 dQ +L + RlinQ dt
5.5.1 Numerické řešení Numerické řešení je schůdné v SimHydraulics jako v předchozí kapitole.
5.6
Segmentované potrubí Dělené potrubí (Segmented pipeline): je prvek, který slouží k vedení pracovního média v systému. Reprezentuje hydraulické potrubí s kruhovým průřezem rozděleným příčnými řezy jako soubor stejných, sériově zapojených dílů - soustředných parametrů. Každá část se skládá z odporové trubky, bloku setrvačnosti kapaliny a stlačitelnosti kapaliny. 68
(Simulink/Simscape/Simhydraulic/Pipelines/Segmented pipeline) Pipe internal diameter
Vnitřní průměr potrubí
0,025
m
Pipe length
Délka potrubí
1000
m
Number of segments
Počet segmentů
60
-
Aggregate eguivalent length of
Ekvivalentní délka
local resistances
místních ztrát
1
m
Drsnost vnitřního povrchu
0,025
mm
Horní laminární hranice
2.10
Internal surface roughness height Laminar flow upper margin
3
-
3
Turbulent flow lower margin
Dolní turbulentní hranice
4.10
-
Pipe wall type
Typ stěny trubky
Rigid
-
Specific heat ratio
Měrné teplo
1,4
-
Dělené potrubí se skládá z odporů řazených za sebou dle obr. 5.4. Takovéto sestavení odpovídá tomu, že v případě jednoho segmentu se bude jednat o symetrický T-článek. Každý další segment je pak počítán jako tzv. L-článek. 69
obr. 5.4 Skladba děleného potrubí Výše definovaná úloha je definovaná obvodem v SimHydraulics. To Workspace3 PS-S1
C ustom Hydraulic Fluid
Q_za_zdrojem PS-S
A
Solver Configuration
Q B
T
S
P
prutokomer
A
B
Q B
nadrz1
PS S Q za ventilem
prutokomer1 nadrz2
Ideal Hydraulic Pressure Source
S PS S-PS
A
Segmented Pipeline
A
Signal Builder
Q_za_T
PS S
f(x)=0
Signal 4
To Workspace1
Q za zdrojem
tlakovy spad
B P
Manometr1
PS S
tlakovy_spad_na_T
PS-S2
To Workspace2
obr. 5.5 Obvod se segmentovaným potrubím.
5.7
Srovnání řešení pro různé typy modelů
V následujícím obrázku je vidět rozdíly v řešení při použití klasických T-článků a segmentovaného potrubí. Varianty řešení jsou definovány modelem s 1 T-článkem a segmentovaným potrubím s 1, 2, 10 a 20 segmenty..
70
0.0002 0.00018 0.00016 0.00014
3 -1
Q [m s ]
0.00012 0.0001 0.00008
Qnelin 1T 2T 10T 20T
0.00006 0.00004 0.00002 0 0
50
100
150
200
250
300
t [s]
obr. 5.6 Zhodnocení tlaků za dlouhým potrubím pro všechny varianty modelů.
Závěrem lze říci, že se zvyšujícím se počtem T článků se zvyšuje přesnost řešení, neboť se vužívá kvalitnější matematický model. Dále se zvyšuje amplituda kmitání a snižuje frekvence. Stejný počet T článků a segmentů v elementu segmentovaného potrubí dává stejný výsledek, ale výpočet užitím segmentovaného prvku je časově náročnější. První vlastní frekvence se pohybuje v rozmezí od 20 do 30 Hz.
5.8
Rychlost zvuku v potrubí
Z numerického řešení charakterizovaného harmonickým průběhem lze určit rychlost zvuku. Nechť
T per je perioda harmonického signálu. Pak časová konstanta je dána vztahem T = LC Doba běhu vlny je
TB =
2l as
Pak rychlost zvuku je
as =
2l 4l l = = T B T per T 71
Rychlost zvuku se měří a její hodnoty pro vybrané kapaliny je v tab. 5.1.
tab. 5.1 Fázová rychlost šíření změn -1
Rychlost šíření (m.s ) 8 3.10 8 1,5 až 2,95.10 8 0,5 až 1,25.10 3 4.10 1415 1100 až 1600 344 300 až 550 650 až 800 20 až 800 až 8
Fyzikální systém, látka Světlo ve vakuu Elektrický kabel Železo, sklo Beton Volná vodní hladina Ocelová trubice s kapalinou, p=50MPa Atmosféra Středotlaké hadice s kapalinou Vysokotlaké hadice s kapalinou Umělohmotné trubice s kapalinou Tepny s krví
72
6. Laplaceova a Fourierova transformace, přenosy 6.1
Laplaceova transformace spojité funkce
Teorie Laplaceovy a následně Fourierovy transformace je platná pouze pro lineární resp. linearizované systémy, tedy pro laminární nebo linearizované turbulentní proudění.
6.1.1 Definice komplexního čísla a funkcí Komplexní čísla jsou čísla ve tvaru
Im(a)
a = Re(a ) + iIm(a ) = β + iω0 kde
β , ω0
( 6.1.1) r=│a│
jsou reálná čísla. Každé komplexní číslo různé
ψ
od nuly lze vyjádřit v goniometrickém tvaru
a = β + iω0 = a e iψ = a (cosψ + i sinψ ) ( 6.1.2)
Re(a)
a = Re(a ) + Im(a ) = β 2 + ω 02 , 2
2
ω Im(a ) = arctg 0 ψ = arctg Re(a ) β
obr. 6.1 Zobrazení komplexního čísla
Jednotkový skok Signál ve tvaru funkce jednotkového skoku je popsán matematicky
0 t 〈0 u (t ) = 1 t 〉0
0 n 〈0 u [n ] = 1 n〉0
( 6.1.3)
Impulz Signál popsaný jednotkovou impulzní funkcí je svázán s jednotkovým skokem a má tvar
δ (t ) = u (t ) =
du (t ) dt t
∫ δ (τ )dτ
−∞
x (t )δ (t ) ≅ x (0 )δ (t )
0 n ≠ 0 1 n = 0
δ [n ] = u [n ] =
n
∞
m = −∞
k =0
∑ δ [m] =∑ δ [n − k ]
x [n ]δ [n ] ≅ x [0]δ [n ]
73
( 6.1.4)
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0 -2
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
-0.5
24
u(t) d(t) x(t)
26
n
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
d(t) x(t) u(t)
obr. 6.2 Reálná exponenciála, jednotkový skok, impulz v analogovém a diskrétním tvaru
6.1.2 Laplaceova transformace spojité funkce Laplaceovým obrazem funkce
x (t ) se nazývá funkce komplexní proměnné X(s), daná
integrálem ∞
X (s ) = ∫ e −st x (t )d (t ),
( 6.1.5)
0
pokud uvedený integrál konverguje (ukáže se, že v některých případech je třeba se z tohoto důvodu omezit na některé hodnoty s). Funkce
x (t ) se nazývá vzor. Často se také označuje X (s ) = L[x (t )] .
Dále budou definovány obrazy jednoduchých často používaných funkcí, které lze integrací snadno odvodit. Např.
x (t )
X (s ) = L[x (t )]
0 pro t 〈0 u (t ) = - jednotkový skok 1 pro t ≥ 0 0 pro t 〈0, ε 〈t 〈∞ u (t ) = -impulz 1 pro 0〈t 〈ε
1 s 1 1 s −α 1 s2 1 2 s + ω2 1 2 s − ω2 s 2 s + ω2 sL[x (t )]
e −α t t
1
ω 1
ω
sin ωt sinh ωt
cos ωt
x ′(t ) - první derivace s nul. poč. podmínkami 74
s n L[x (t )]
x (n ) (t ) - n-tá derivace s nul. poč. podmínkami
L(x (t )) s
t
∫ x (τ )dτ 0
V tabulkách lze nalézt přehled nejdůležitějších funkcí, které se vyskytují často v aplikacích i s jejich Laplaceovými obrazy. Obrácené užití takového přehledu dovoluje řešit i inverzní úlohu, tj. vyhledat k danému Laplaceovu obrazu jeho vzor. Tato úloha je obecně řešitelná též pomocí inverzní transformace (Riemannův-Mellinův vzorec).
x (t ) =
1 2π i
a +i ∞
∫e
st
X (s )ds
( 6.1.6)
a −i ∞
Již nyní je zřejmá výhoda, kterou bude pro aplikace zavedení operátorového počtu. Obecně obtížné integrování, pro které ani nelze zavést obecná pravidla, je zde nahrazeno dělením Laplaceovým parametrem
s , derivace násobením s . V tomto smyslu připomíná zavedení operátorového počtu
zavedení logaritmů, kdy se násobení a dělení „vzorů“, tedy čísel, nahradí sčítáním a odčítáním jejich „obrazů“, tedy logaritmů. Inverzní transformaci lze řešit pomocí Laplaceova slovníku přímo, pomocnými úpravami, tj. rozkladem na parciální zlomky a pak využitím Laplaceova slovníku nebo numericky.
6.2
Přenos systému
Metody vyhodnocení fyzikálních dynamických dějů popsaných matematickým modelem ve tvaru diferenciálních rovnic jsou dvojího typu a) obrazové přenosy - jsou definovány závislosti stavových veličin na čase přechodová charakteristika je odezva dynamického systému s nulovými počátečními podmínkami na vstupní signál ve tvaru skokového signálu, viz obr. 6.2 impulzní charakteristika je odezva dynamického systému při nulových počátečních podmínkách na vstupní signál ve tvaru Diracova impulzu, viz obr. 6.2 b) frekvenční přenosy - jsou definovány závislostí podílu Laplaceových obrazů výstupního a vstupního signálu na frekvenci, vyšetřují se tzv. frekvenční charakteristiky systému (tj. amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky). Přesněji jsou definovány Fourierovými obrazy, což bude vysvětleno později.
Příklad 6.2.1 Určete přenos linearizované diferenciální rovnice druhého řádu odpovídající T článku RLC s nulovými počátečními podmínkami a danými konstantami.
75
d 2Q 1 dQ 1 1 d 2 ∆p 1 + + Q = + ∆p 2 2 R linC dt LC R lin dt R lin LC dt Laplaceova
transformace
se
odvodí
při
použití
označení
( 6.2.1)
L(Q (t )) = q (s ), L(∆p(t )) = P (s )
následovně
s 2 q (s ) +
1 1 1 2 1 sq (s ) + q (s ) = s P (s ) + P (s ) R linC LC R lin R lin LC
1 2 1 1 1 = P (s ) q (s ) s 2 + s+ s + R C LC R R LC lin lin lin Přenos pro vstupní tlak je
1 2 1 s + R lin R lin LC q (s ) Yqp (s ) = = 1 1 P (s ) s2 + s+ R linC LC Přenos pro vstupní průtok je převrácenou hodnotou
1 1 R 1 s+ R lin s 2 + s + lin RlinC LC P (s ) C LC Ypq (s ) = = = 1 2 1 1 q (s ) 2 s + s + R lin R lin LC LC s2 +
Příklad 6.2.2 Určete graficky přenos
Y (s ) = Y (β , ω ) = Re(Y (β , ω )) + i Im(Y (β , ω )) = Y e iψ rovnice uvedené
v příkladu pro T-článek. a) Tlak je vstupní veličina a průtok je výstupní veličina
LC 2 1 s + Rlin Rlin q (s ) Y (s ) = = L P (s ) LCs 2 + s +1 Rlin Velikost přenosu
Y (s ) = Re 2 [Y (s )] + Im 2 [Y (s )] (absolutní hodnota, resp. amplituda přenosu), viz
obr. 6.3, fáze přenosu ψ
= arctg
Im[Y (s )] Re[Y (s )]
76
77
Laplaceova transformace
4
14
3
12
2 1
8 arctg(Y)
abs(Y)
10
6
0 -1
4
-2
2
-3
0 -15 -10
60
-4 -15
40
-5 beta
0
20
-5
20 0
60 40
-10 0
omega
0
omega
beta
obr. 6.3 Grafické vyhodnocení absolutní hodnoty obecného přenosu nad rovinou
6.3
β,ω
Poznámky k počátečním podmínkám Obyčejná diferenciální rovnice řešená numericky nebo Laplaceovou transformací vyžaduje zadání
počátečních podmínek. Z předešlého výkladu plyne, že při výpočtu obecného přenosu a frekvenčních 78
charakteristik je zvykem uvažovat počáteční podmínky rovny nule, což je omezující předpoklad. Proto se uvažovaný děj, který obsahuje jak stacionární tak nestacionární složku, rozdělí na součet těchto složek. Nechť
∆p a Q jsou celkové tlaky a průtoky, pak lze psát:
∆p = ∆pu + ∆p′ Q = Qu + Q ′
( 6.3.1)
∆pu a Qu jsou stacionární neboli časově ustálené veličiny a ∆p′ a Q′ jsou dynamické neboli neustálené, časově závislé veličiny. Pak lze uvažovat počáteční podmínky pro ustálené hodnoty jako nenulové a pro dynamické hodnoty jako nulové (při vyšetřování dynamiky se ustálená složka neřeší). Výchozí rovnice se rozdělí na dvě rovnice pro ustálené a neustálené veličiny a řeší se jako izolovaný systém. Celý postup se pro ilustraci uvádí na příkladu určeném rovnicí
L
dQ + RQ 2 = ∆p dt
( 6.3.2)
Dosadí se součet ustálené a dynamické složky a upraví:
L
d (Qu + Q ′ ) dt
+ R (Qu + Q ′ ) = (∆pu + ∆p′) 2
dQ ′ dQu L +L + RQu2 + 2RQuQ ′ + RQ ′ 2 = ∆pu + ∆p′ dt dt Derivace ustálených veličin podle času jsou rovny nule, výraz dynamických odchylek
( 6.3.3)
RQ ′ 2 je zanedbatelný (druhá mocnina
Q ′ 2 je mnohem menší než Qu2resp.2Qu Q ′ - je to běžná metoda linearizace)
rovnice se tedy zjednoduší:
L.
dQ ′ dt
(
)
+ R 2QuQ ′ + Qu2 = ∆pu + ∆p′
( 6.3.4)
Rovnice se rozdělí na rovnice dynamické a ustálené tak, aby v součtu tvořily výchozí rovnici
dQ ′
+ 2RQuQ ′ = ∆p′ dt RQu2 = ∆pu L
Označme
( 6.3.5)
Rlin = 2RQu . Pak předchozí soustava bude mít tvar:
dQ ′
+ RlinQ ′ = ∆p′ dt RQu2 = ∆pu L
( 6.3.6)
Pro takto definovanou diferenciální rovnici jsou počáteční podmínky rovny nule a ustálený děj je popsaný dle předpokladu. Z důvodu snazšího zápisu se označení s apostrofem nebude používat.
79
6.4
Stabilita systému
Soustava je stabilní, jestliže odezva na konečný vstupní signál je také konečná. Nechť soustava je určena přenosem
Y (s ) =
f (s ) F (s )
( 6.4.1)
F (s ) je tzv. charakteristický polynom. Kořeny polynomu F (nulové body) se nazývají póly
Nechť
přenosu. Soustava, která je lineární, spojitá, reálná a časově invariantní, bude považována za stabilní v případě, že kořeny polynomu
F (s ) resp. póly přenosu jsou záporné nebo se zápornou reálnou
částí tj.
s k = β k + iωk
〉 〈
β k 〈0, ω k 0
( 6.4.2)
Bude-li aspoň jedno číslo ležet na imaginární ose, tj.
s k = β k + iω k
〉 〈
β k ≤0, ω k 0
( 6.4.3)
pak v případě, že toto číslo je jednoduché, se soustava bude nazývat soustavou na mezi stability. se nazývá vlastní kruhovou frekvencí soustavy,
ωk = 2πf , f
ωk
je vlastní frekvence, jejíž význam
bude zřejmý při rezonanci. Vlastní frekvence se projeví v grafu přenosu jako hodnota rovna nekonečnu a pro
α =0
jako hodnota maximální.
Příklad 6.4.1 Určete stabilitu rovnice uvedené v příkladu pro T-článek. a) Tlak je vstupní veličina a průtok je výstupní veličina
Y (s ) =
q (s ) LCs + 1 = P (s ) Rlin LCs 2 + Ls + Rlin 2
LC 2 1 s + R lin R lin = L LCs 2 + s +1 R lin 2
Y (s ) → ∞ pro R lin LCs 2 + L . s + Rlin Reálná část je záporná, soustava je stabilní,
ωi
1 1 4 − − ± R linC LC R linC = 0 ⇒ s 1,2 = 2 stabilitu neovlivní.
b) Průtok je vstupní veličina a tlak je výstupní veličina
80
Y (s ) =
P (s ) Rlin LCs 2 + Ls + Rlin = q (s ) LCs 2 + 1
Y (s ) → ∞ pro LCs 2 + 1 = 0 ⇒ s 1,2 = −
1 1 =i = iω LC LC
Reálná část je rovna nule, výstupní signál je netlumený. Imaginární část definuje harmonický signál.
6.5
Fyzikální význam přenosů vyšších řádů a jejich parametrů
V technické praxi se nejčastěji vyskytují přenosy prvního a druhého řádu odpovídající fyzikálnímu ději, popsanému obyčejnou diferenciální rovnicí prvního nebo druhého řádu. Proto je vhodné se seznámit s jejich významem a vyhodnocením.
6.5.1 Přenos prvního řádu Přenos
Y (s ) =
dQ q (s ) K = odpovídá diferenciální rovnici T + Q = K∆p , kde T je tzv. P (s ) 1 + Ts dt
časová konstanta a
K je součinitel zesílení. Přechodová charakteristika je dána rovnicí
t − T Q = Qust 1 − e
kde
Qust
y A ys
je asymptota (ustálená hodnota pro
t → ∞ ) a může se určit z výchozí diferenciální α
rovnice (první derivace pro asymptotu je rovna nule)
Qust = K∆p .
Časová
konstanta
se
odečte
0
t
T
z přechodové charakteristiky. V počátku souřadnic se sestrojí tečna přechodové charakteristiky, která protne přímku ustálené hodnoty Qust v bodě A, jehož souřadnice udává časovou konstantu T .
6.5.2 Přenos druhého řádu Přenos
T2
Y (s ) =
q (s ) K = P (s ) 1 + 2aTs + T 2 s 2
d 2Q dQ + 2aT + Q = K∆p , kde T 2 dt dt
odpovídá
diferenciální
je tzv. časová konstanta, a
je tzv. součinitel
poměrného tlumení a K je součinitel zesílení. Časová konstanta bude definována jako T =
81
rovnici
LC
a=
a součinitel poměrného tlumení
1 L 1 R . Pokud se zavede tzv. kruhová frekvence ω0 = , 2 C T
pak přenos bude mít tvar
K ´ω02 q (s ) K´ = Y (s ) = = P (s ) 1 + 2a Ts + T 2s 2 ω02 + 2aω0 s + s 2 T je časová konstanta (není to perioda), a je poměrné tlumení, ω0 =
( 6.5.1)
1 je frekvence kruhová. T
Přenos charakterizuje periodický nebo aperiodický průběh podle toho, jaké jsou póly přenosu, resp. kořeny jmenovatele přenosu. Tedy
(
)
s1,2 = −ω0 a ± a 2 − 1
Q
I)
pro
a〉1 jsou kořeny reálné, přechodová
Qs
charakteristika bude aperiodická
t
0
II)
pro
a 〈1 jsou kořeny komplexně
Q
Qs
A2
bude periodická, frekvence tlumeného
A1
sdružené, přechodová charakteristika
kmitání je
ωN = 1 − a 2 ω0 =
1 − a 2 2π = T Tk
Tk 0
t
Z přenosu lze přímo určit přechodovou charakteristiku jako odezvu na impulzní vstupní signál, viz. [10]. Na příkladu obvodu RLC se demonstruje určení přenosu a vlastní frekvence jak početně tak graficky.
Příklad 6.5.1 Rovnice T-článku v Laplaceově obrazu je
d 2Q dQ d 2 ∆p Rlin LC 2 + L + R linQ = LC + ∆p dt dt dt 2 a přenos je určen podílem Laplaceova obrazu výstupní a vstupní veličiny 82
Y (s ) =
q (s ) LCs + 1 = P (s ) Rlin LCs 2 + Ls + Rlin 2
Časová konstanta
a=
1 2Rlin
LC 2 1 s + Rlin Rlin = L LCs 2 + s +1 Rlin
netlumených kmitů je dána
vztahem
( 6.5.2)
T = LC
a poměrné tlumení
L . Pro určení stability se naleznou póly přenosu, tj. C 2
Y (s ) → ∞ pro Rlin LCs 2 + L . s + Rlin
1 1 4 − − ± RlinC LC RlinC = 0 ⇒ s 1,2 = 2
Reálná část je záporná, soustava je stabilní. Diskriminant může být kladný i záporný. Z toho vyplývá, že 2
1 1 − 〉 0 , jsou kořeny s1,2 reálné, tudíž vlastní frekvence neexistuje, I) v případě, že LC 2RlinC respektive je nulová. 2
1 1 − II) v případě, že 〈0 , jsou kořeny s1,2 komplexně sdružené, vlastní kruhová LC 2RlinC 2
1 1 + frekvence je ω = ± − . 2 R C LC lin
6.6
Fourierova transformace spojitých signálů Pro prezentaci spojitých lineárních funkcí je postačující uvažovat zvláštní případ Laplaceovy
transformace – Fourierovu transformaci, která je definovaná pro argument s = iω , tedy parametr
β
je nulový. Zvláště pro určení přenosu a dalších vlastností z přenosu vyplývajících je tento přístup vhodný. Nechť funkce
x (t ) je absolutně integrovatelná a x (t ) , x ′(t ) jsou po částech spojité
v prostoru reálných čísel R, pak funkce
F (iω ) =
+∞
∫ x(t )e
−i ω t
dt
( 6.6.1)
−∞
se nazve komplexním Fourierovým obrazem funkce (předmětem). 83
x (t ) . Funkce x (t ) je tedy originálem
Zobrazení, které předmětu
x (t ) , t∈R, přiřazuje Fourierův obraz F (iω ) dle vztahu ( 6.6.1) se
nazývá Fourierovou transformací a značí se F. Fourierův obraz funkce nebo spektrální hustota originálu
F (iω ) se nazývá též spektrální
x (t ) a charakterizuje spojité spektrum funkce x (t ) , t∈R:
F (iω ) tvoří amplitudovou spektrální hustotu,
•
hodnota
•
ψ = arg(F (iω )) (resp. − arg(F (iω )) ) je fázová spektrální hustota, ψ ∈ − π , π
Snadno lze vyhodnotit
F (iω ) = Re(F (iω )) + Im(F (iω )) , ψ = ψ (ω ) = 2
2
.
Im(F (iω )) graficky a Re(F (iω ))
získat tzv. amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku.
Příklad 6.6.1 Vyhodnoťte přenos příslušný diferenciální rovnici pro T-článek. Počáteční podmínky průtoku jsou nulové podle definice přenosu. Tudíž Laplaceův obraz zadané rovnice je
q (s ) LCs + 1 Y (s ) = = P (s ) R lin LCs 2 + Ls + R lin 2
(
)
LC 2 1 1 s + LCs 2 + 1 R lin R lin R lin c a1s 2 + 1 = = = 2 L L s + 1 a1s + b1s + 1 LCs 2 + s + 1 LCs 2 + R lin R lin
(
)
Přenos je určen podílem výstupní a vstupní veličiny a jeho amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku pro
s = iω lze graficky zobrazit. V Simulinku je možno pracovat s komplexními čísly a
tedy tabelovat výše definovanou funkci. Pro zobrazení se zvolí blok pro rozdělení komplexního čísla na jeho velikost - amplitudu (Magnitude) a úhel, který svírá průvodič příslušného vektoru s osou x (Angle), viz schéma na obr. 6.4. 1 konst
1 C
c 1
Demux 2
odpory a1
A1
3 Selector
b1
84
B1
BETA -0.02767
ALFA
odpory
odpory
4.835e-018 + 0.07896i
OMEGA
cas. konstanty TLR,TRC,TLC
omega
alfa,omega 1 1j
l,S,d,s,E,la,ro,K,ni
magnitude to Workspace cplxmap(compl,magnitude)
potrubi+kapalina C Rlam,Rturb,Rlin,L,C
Dp0 40000
odpory
konst pro prenos
A1*s2
Real-Imag to Complex Re
|u| u s2
Im Signal 2
s1 Signal Builder
Magnitude
B1
Odpory const 0
citatel
A1
B1*s
compl
om To Workspace4 To Workspace
Y(s)
jmenovatel
Magnitude -Angle
1 Angle
1
angle To Workspace2
obr. 6.4 Schéma bloku konst pro prenos a obvodu pro vyhodnocení přenosu v SimHydraulics.
ω , viz obr.
Pak lze obě funkce, tj. závislost magnitudy a úhlu, vykreslit v závislosti na úhlové rychlosti
6.5. Přitom je nutné přejít do Workspace (podobně jako při vykreslování statických charakteristik). -8
10
-9
magnitude
10
-10
10
-11
10
-12
10
-3
10
-2
10
-1
10 omega
0
10
obr. 6.5 Amplitudová frekvenční charakteristika
85
1
10
6.7
Frekvenční analýza v SimHydraulics
SimHydraulics umožňuje metodou linearizace po blocích provést linearizaci obvodu sestaveného v SimHydraulics a vyhodnotit přenosy, které jsou podle definice aplikovatelné jen na lineární systémy. Existuje také možnost zpětně se zabývat kvalitou linearizace, tj. linearizovaný systém uložit, vytvořit obvod analogický původnímu nelineárnímu se shodnými vstupními parametry, jen obvod bude linearizovaný a porovnat reálné řešení. Pro naše účely bude postačovat grafické vyhodnocení frekvenčních charakteristik. Postup vyřešení frekvenční analýzy bude aplikován na obvod s nelineárním T článkem následovně: •
určí se polohy vstupního a výstupního bodu v nelineární obvodu, které mohou ležet na spojnici bloků Simulinku, nikoliv SimHydraulics (testovaný signál musí být bezrozměrný)
•
vloží se vstupní bod (input), tj. pravým tlačítkem myši se rozklikne spojnice mezi blokem Signal Builder a převodníkem S-PS, čímž se rozbalí roleta kde se vybere Linearization Points/Input Point.
Po odkliknutí se vytvoří specifická značka vstupu na spojnici
. Podobně se vytvoří výstup,
který musí ležet kdekoliv v obvodě za PS-S převodníkem, v našem případě na zobrazovací větvi za průtokoměrem1. Značka výstupu je odlišná
.
•
po nastavení vstupu a výstupu se spustí simulace, ODE15s,
•
v Tools/Control Design/ Linear Analysis se otevře tabulka Control and Estimation Tools Manager a spustí Linearize Model. 86
•
vytvořený graf lze dále upravovat kliknutím myší (kurzorem) do okna vlevo dole a z nabídky vybrat např. bode diagram pro amplitudovou a fázovou charakteristiku.
87
•
logaritmické osy běžné pro frekvenční analýzu případně další úpravy lze dále vytvořit kliknutím myší (kurzorem) do okna grafu a z nabídky vybrat Properties (pro rozsah os, stupnice, barvy atd.), resp. Charakteristics-Peak Response pro určení vlastní frekvence
Příklad Vytvořte frekvenční charakteristiky pro obvod prezentující T článek. PS-S1
To Workspace1
PS S
Q_za_zdrojem
C ustom Hydraulic Fluid A
Solver Configuration
B
T
P
prutokomer
S
Q za zdrojem
Q A
B
Linear Hydraulic Resistance
A
A
Q
PS S
B
P
nadrz2 tlakovy spad
B
Manometr1
PS S
tlakovy_spad_na_T
PS-S2
To Workspace2
nadrz1
obr. 6.6 Obvod T článek s vloženými body vstupu a výstupu
88
Q za ventilem
prutokomer1
C onstant Volume C hamber
Ideal Hydraulic Pressure Source
S PS S-PS
B
Fluid Inertia
A
Signal Builder
Q_za_T PS-S
f(x)=0
Signal 2
To Workspace3
Bode Diagram From: Signal Builder (pt. 1) To: PS-S (pt. 1)
-8
10
-9
Magnitude (abs)
10
-10
10
-11
10
-12
10
0
Phase (d eg)
-45
-90
-135
-180 -3
10
-2
-1
10
10
0
10
1
10
omega (rad/sec)
obr. 6.7 Upravená amplitudová a ftekvenční charakteristika. Z výsledků je zřejmé, že hodnota vlastní frekvence odpovídá vlastní frekvenci určené z numerického řešení i z přímého vyčíslení přenosu programem Simulink.
89
7. Hydraulický ráz Matematické modely pro zkoumání těchto jevů jsou velmi složité, neboť jsou silně závislé na experimentálně zjištěných datech. Vzhledem ke složitosti celého děje je vhodné zvolit následující postup •
experimentálně definovat typickou úlohu se stlačitelností vody z důvodu definice modulu pružnosti,
•
výsledky měření pak využít k definici okrajových podmínek,
•
vyřešit matematický model,
•
porovnat výsledky matematického modelu s experimentem.
Po vyřešení těchto testovacích úloh je pak možno přistoupit k modelování kavitace a aerace ve složitějších geometriích, kde zabývat se podrobným ověřováním výsledků je nemožné.
7.1
Experimentální zkoumání hydraulického rázu ve vodě.
Zařízení
bylo
1.E+05
definováno
9.E+04
v příkladu 4.2.2 včetně geometrických
8.E+04
parametrů
rázu
demonstraci
dlouhého
potrubí
okraojových podmínek. Průběhy tlaků na počátku potrubí před a za clonou, uprostřed a na konci potrubí před ventilem
byly snímány
do
počítače
pomocí programu Matlab-Simulink
a
P1 P4
7.E+04
a p [Pa]
hydraulického
pro
6.E+04 5.E+04 4.E+04 3.E+04 2.E+04 1.E+04 0.E+00 0
graficky vyhodnoceny, viz obr. 7.1.
2
7.2
6
8
10
12
14
16
čas [s]
Z grafu lze odečíst periodu děje při hydraulickém rázu.
4
obr. 7.1 Měřené průběhy tlaku na manometrech P1 a P4
Řešení metodou elektrohydraulické analogie Dle fyzikálního experimentu byl zvolen jako zdroj tlakové kapaliny prvek Ideal Pressure Source,
kde se definoval konstantní tlak na vstupu do obvodu před rázem. Uzavírání obvodu se zabezpečilo dvoucestným rozvaděčem s ovládáním, které je definováno řídícím signálem. Dále jsou ve schématu použity průtokoměry a manometry s grafickým a digitálním textovým výstupem. Manometry na začátku P1 a konci P4 potrubí jsou rozmístěny ve shodě s experimentem a měřené tlaky označeny p1
90
a p2. Další významné bloky jsou nádrž, hydraulická kapalina pro definování fyzikálních vlastností kapaliny a bloky pro parametry numerické simulace.
Rozváděč (2-Way Directional Valve): slouží v obvodu jako uzavírací ventil. Jeho úkolem v obvodu je vyvolat skokovou změnu signálu. K jeho parametrizaci jsou dostupné 3 volby: max. plochou a regulací zdvihu, tabulkou průtočné plochy ventilu a regulací zdvihu nebo tlakem a průtokem. Pro tuto práci byla použita volba č.1. (Simulink/Simscape/Simhydraulic/Valves/Directional
valves/2-Way
Directional
Valve) Model parameterization
Model parametrizace
Valve passage maximum area
Maximální průtočná plocha
1,6.10
m
Valve maximum opening
Maximální otevření ventilu
0,01
m
Flow discharge coefficient
Výtokový součinitel (odporový)
0,7
-
Initial opening
Počáteční otevření
0
m
Critical Reynolds number
Kritické Reynoldsovo číslo
12
Leakage area
Průtočná plocha lekáže
91
-5
-12
1.10
2
m
2
Tvořič signálu (Signal Builder): tento blok slouží k nastavení časového průběhu otevírání a zavírání rozváděče. Čas uzavírání ventilu byl nastaven na tuz = 20ms. (Simulink/Sources/Signal Builder)
Nejdůležitějším prvkem obvodu je segmentované potrubí, kde vzhledem k turbulentnímu proudění budou využity odlišné vztahy pro součinitel tření, které se ale vybírají podle rychlosti v daném místě obvodu a Reynoldsova čísla. Obvod je tedy stejný jako pro proudění vody včetně subsystémů. Pro numerické řešení užitím programu SimHydraulics se využije schéma připravené pro výpočet statické charakteristiky s následujícími úpravami: •
Potrubí (Resistive Tube) se vymění za segmentované potrubí (Segmented Pipe), tj. využije se bloku, který obsahuje potrubí (Resistive Tube), dále se paralelně připojený blok kapacity (Constant Volume Chamber) a sériově blok indukčnosti (Fluid Inertia), přitom počet segmentů definuje právě počet těchto prvků. Čím více segmentů se zvolí, tím je přesnější výpočet, ale také se velmi prodlužuje doba výpočtu a úloha může divergovat z důvodu zaokrouhlovacích chyb.
•
Zdroj ideálního tlaku (Ideal Hydraulic Pressure Source) je definován v bloku Signal Builder skokovou funkcí z p = 6742Pa na p = 41798Pa v čase t = 0.02s a jeho průběh plyne z měření.
V bloku kapaliny je nutno nastavit objemový zlomek nerozpuštěného plynu na nulu (např. 1e-15), neboť obsah plynu v kapalině je zohledněn ve změřeném modulu pružnosti.
92
Signal 3
S PS
Signal zavreni
S-PS m
prutoky
To Workspace1
kapalina/voda
prutok1
To Workspace3 PS-S 1
PS S f(x)=0 Solver Configuration
A
Q
PS-S1 1
Q1
B A
B
prutokomer
S B
A
A
Segmentovane porubi
2/2ventil A
P
PS S PS-S3 1
P T
S
Q2
P2 tlak2
A
To Workspace
B
P1
P
Manometr1
S PS S-PS Pa
B
prutokomer1
Ideal zdroj tlaku
Signal tlaku
PS S
Q
B
Manometr
Signal 3
prutok2
nadrz2
PS S PS-S2 1
nadrz1
tlak1 To Workspace2
tlaky
obr. 7.2 Schéma obvodu na řešení hydraulického rázu užitím segmentovaného potrubí.
7.2.1 Okrajové podmínky a fyzikální vlastnosti kapaliny Okrajové podmínky se definují na konci a začátku potrubí a jsou dány fyzikálním experimentem. Okrajová podmínka na vstupu do oblasti je dána hodnotou tlaku v ustáleném stavu při otevřeném obvodu a uzavřeném obvodu. Změna je definována uzavřením rozvaděče, které je řízeno signálem se změnou polohy v čase odpovídajícím přestavné době. Tato změna se realizuje v čase 1 s, kdy numericky dojde k ustálenému proudění v obvodu. Po uzavření následuje po dobu 11 vteřin odezva obvodu na tuto dynamickou změnu. Rozvaděčem je definovaná okrajová podmínka na výstupu, kdy průtok je změněn skokově z hodnoty ustáleného stavu na nulu.
93
4
4.5
seg_clanek_raz_prenos/Signal Builder : Group 1
x 10
Signal 3 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5
0
2
4
6
8
10 Time (sec)
12
14
16
18
20
obr. 7.3 Tlaková podmínka na vstupu do potrubí
-3
seg_clanek_raz_prenos/Signal Builder1 : Group 1
x 10
Signal 3
5
4
3
2
1
0 0
2
4
6
8
10 Time (sec)
12
14
16
18
20
obr. 7.4 Řídící signál pro uzavření rozvaděče.
Fyzikální vlastnosti kapaliny jsou dány při atmosférickém tlaku v bloku hydraulické kapaliny. -3
Fluid density Kinematic viscosity Bulk modulus
Hustota Kinematická viskozita Modul pružnosti
1000 -6 1.10 6 12,4.10
kg.m 2 -1 m .s Pa
Relative amount of trapped air
Relativní množství obsaženého vzduchu
0.000001
1
tab. 7.1 Parametry pro definování kapaliny
94
Modul pružnosti kapaliny byl v daném případě určen z experimentu. Hodnota tohoto modulu pružnosti 9
je nižší, než se uvádí pro vodu (2,1.10 ). Hodnota je ovlivněna přítomnosti vzduchu v kapalině. Bohužel určit tuto hodnotu není snadné. Tedy numerický výpočet bude realizován pro změřenou hodnotu modulu pružnosti a následně se bude realizovat pro teoretickou hodnotu modulu pružnosti a pro různé hodnoty objemového zlomku vzduchu. Výsledky se porovnají s experimentem.
p [Pa]
7.2.2 Vyhodnocení řešení
1.E+05 9.E+04 8.E+04 7.E+04 6.E+04 5.E+04 4.E+04 3.E+04 2.E+04 1.E+04 0.E+00
p4-exp p4-12e6 p4-2e9-02
0
2
4
6
8
10
12
14
16
čas [s] obr. 7.5 Srovnání tlaku před ventilem
Objemový zlomek vzduchu ovlivňuje řešení podobně jako modul pružnosti. V grafu na obr. 7.5 je zobrazen průběh tlaku pro následující varianty •
fyzikální experiment
•
z měření určený modul pružnosti K=12.4.10 Pa a nulový obsah vzduchu
•
teoretický modul pružnosti K=12.4.10 Pa a objemový zlomeck vzduchu α =0.02
6
6
Významným výsledkem simulace je vyhodnocení průběhu rychlosti na začátku potrubí v bodě P1, kde je opět patrný vliv stlačitelnosti a tudíž je možno pozorovat periodické chování děje.
95
0.00025 0.0002 0.00015
R-21e8-02 R-12e6
0.0001
3 -1
Q [m s ]
0.00005 0 2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.00005 -0.0001 -0.00015 -0.0002 -0.00025
t [s]
obr. 7.6 Průběh rychlosti na začátku potrubí.
Rychlost na konci potrubí kopíruje okrajovou podmínku uzavření rozvaděče a tedy skokové změny rychlosti z ustálené hodnoty na nulu.
7.3
Přenos
Přenos je řešen výše popsaným způsobem využití linearizační metody.
96
Step Response -4
1
From: Signal Builder (pt. 1) To: PS-S3 (pt. 1)
x 10
0.9 0.8 0.7
Amplitude
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
5
10
15
20
Time (sec)
obr. 7.7 Odezva na skokový jednotkový signál při otevřeném obvodu
97
25
Bode Diagram -4
From: Signal Builder (pt. 1) To: PS-S3 (pt. 1)
Magnitude (abs)
x 10
1
0 180
Phase (deg)
90
0 -90
-180 -2
10
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
98
2
10
3
10
8. Hydraulický akumulátor 8.1
Význam akumulátoru
Hydraulický akumuláror akumuluje tlakovou energii kapaliny v hydraulických obvodech. Používá se jako •
tlumič tlakových pulzací
•
jako ochrana proti přetížení
•
zrovnoměrňuje dodávku energie při nerovnoměrném odběru
•
nouzový zdroj tlakové energie
Hydraulické akumulátory se rozdělují podle konstrukce na: •
pístové akumulátory (závažové, pružinové)
•
plynové akumulátory (s přímým a nepřímým stykem s kapalinou)
8.2
Odpory hydraulického plynového akumulátoru Ideální hydraulický akumulátor představuje ideální zdroj tlaku
pa o konstantní hodnotě, neboli
∂pa 1 =− ⋅ Qa = 0 . Pro průtok akumulátorem Qa > 0 musí kapacita akumulátoru splňovat ∂t Ca podmínku
Ca =
V0 → ∞ . K dosažení velké kapacity akumulátoru by byl potřebný značně velký K
objem akumulátoru
V0 → ∞ .
Skutečný akumulátor má konečný objem a tudíž i kapacitu, která se určí vztahem
Ca =
V0 npa
p0 pa
1 n
. Pro izotermickou (tj. pomalou) změnu je n = 1 a u polytropické změny záleží
hodnota koeficientu na rychlosti změny a určuje se experimentem. Ze zkušeností bylo stanoveno rozmezí exponentu
n1 =
n1 < n < n 2 v závislosti na době změny stavu τ . Mezní hodnoty jsou
1.65 + τ 3.55 + τ a n2 = . Pomalé změny stavu trvají po dobu až 10 min. Rychlé změny 1.18 + τ 2.54 + τ
trvají pod 1 min. Izoentropicý součinitel
κ = 1.4
(pro dvouatomové plyny) je závislý na teplotě a tlaku plynu. Pro dusík
lze závislost vyjádřit lineární funkcí
κ = 1.4 + (0.03833 − 1.7833.10 −4 t ) pro 0 ≤ t ≤ 100 99
a
0 ≤ p ≤ 60
( 8.2.1)
kde t je teplota ve stupních Celsia a tlak v MPa. Do přetlaku 100 MPa se projevuje nelinearita a při 10 MPa se odchylka exponentu největší ( κ je o 0,05 až 0.1 menší než vypočtená hodnota dle ( 8.2.1)). Do přetlaku 10 MPa se prakticky vliv teploty zanedbává. Obecné schéma membránového akumulátoru je na
Va
obrázku. Je třeba uvažovat hmotnost a tuhost membrány či
pa
pryžového vaku. V případě, že se zanedbává tato hmotnost, pak při přímém styku kapaliny a plynu odpadá pohybová rovnice. Pro
průtok
Qa
z akumulátoru
platí
vztah
dp Qa = −C a a , kde kapacita akumulátoru je dána při dt polytropické změně vztahem
je
Ca =
V1 npa
V1
S
V0
l1
p1 Vk
Qa
1 n
p1 . Ve vzorci pa
Sa l a
p
p1 statická složka tlaku na počátku děje a V1 odpovídající objem plynu. Při relativně malých
změnách tlaku a průtoku je kapacita akumulátoru konstantní. Odpor proti pohybu z odporu v hrdle akumulátoru
R a se skládá z odporu vaku, odporu kapaliny v nádobě a především
Ra =
ρζ 2Sa2
, neboť v tomto místě je největší rychlost i zrychlení. Pak se
využije vztahu pro odpor proti pohybu u potrubí. Odpor proti zrychlení se skládá z odporu proti zrychlení pryžového vaku a sedla, dále z odporu
La = ρ
la Sa
kapaliny
v nádobě
akumulátoru
a
hlavně
kapaliny
v hrdle
akumulátoru
l Sa 1 + . la S
Příklad 8.2.1 Řešte dynamické parametry akumulátoru typu 215AGV-1. Tvar akumulátoru je koule o poloměru r = 0,15 m, objem plynu je dán vzorcem pro objem koule
V0 =
4 3 πr . 3
Zadané počáteční parametry jsou: plnící tlak
p0 = 1 MPa (rel.) = 1,1 MPa (abs.)
stlačení na tlak
p1 = 2 MPa (rel.) = 2,1 MPa (abs.)
Při stlačení platí pro plyn stavová rovnice
p0V0n = p1V1n , pro pomalé plnění je adiabatická konstanta
n =1, tj. jedná se o izotermní stlačení, tedy 100
p0V0 = p1V1 ⇒ V1 = V0
p0 p1
Dynamická změna je v systému vyvolána skokovou změnou tlaku z p1 = 2 MPa (rel.) na pa = 10 MPa (rel.). Pro adiabatickou změnu platí
R 1 n
p p1V1n = paVan ⇒ Va = 1 V1 pa Kapacita akumulátoru při těchto podmínkách je dána vztahem:
Ca =
V2
∆V V1 − Va = ∆p pa − p1 R
Místní odpor proti pohybu v hrdle akumulátoru se určuje odlišně podle toho, zda se jedná o proudění turbulentní nebo laminární, kdy ale odpor proti pohybu je třeba linearizovat
turbulentní
Ra =
laminární
Ra =
ρζ 2S
2 a
ρζ 2S
2 a
=
=
ρλl a πd a2 2d 4
2
,
128 ρνl a πd a4
Odpor proti zrychlení v hrdle akumulátoru je určený vztahem
jednodušeji
8.3
La = ρ
La = ρ
la Sa
h Sa 1 + nebo la S
la . Sa
Matematický model hydraulického plynového akumulátoru Rovnice vyjadřující průtok a tlakový spád v akumulátoru jsou pak dány vztahem
laminární nebo linearizované proudění
turbulentní proudění
∂pa 1 1 =− ⋅ Qa resp. pa = − Qa dt ∂t Ca Ca ∫ pa = p1 + R alin Qa + La
dQa dt
pa = p1 + R aQa2 + La
101
( 8.3.1)
dQa dt
Rovnice ( 8.3.1) tvoří matematický model proudění v akumulátoru, kde neznámé veličiny jsou tlak na vstupu do akumulátoru,
p1
pa je tlak nad kapalinou v akumulátoru a Qa je průtok akumulátorem.
Jsou to dvě rovnice o třech neznámých, tedy jedna veličina, tj. tlak
p1 , bude zvolena jako vstupní
signál a zbývající dvě se vypočítají. Linearizovaný model lze upravit jednoduše na jednu rovnici se závislostí na se do druhé rovnice dosadí za
p1 a Qa tak, že
pa z první rovnice:
pa = p1 + R alin Qa + La
dQa dQa 1 ⇒ − Qa dt = p1 + R alinQa + La ⇒ ∫ dt Ca dt
Po úpravě je
Vzhledem
( 8.3.2)
dQa 1 Qa dt + R alinQa + La ∫ Ca dt
− p1 =
k definicím
tlakového
p1
Ra
La
D=1/Ca
p=0
spádu na hydraulických odporech této
rovnici
odpovídá
∆ pR
schéma
∆ pL
∆ pC
∆p=p1
sériového řazení všech tří odporů.
8.3.1 Numerické řešení linearizovaného modelu. Linearizovaný model je pro ilustraci řešen v Matlab – Simulinku dle metodik použitých v předchozích kapitolách, přitom schéma je na obr. 8.1. Qalin Ra,Ralin,La,Ca
To Workspace Qalin
odpory Qalin
Odpory 2e5
P1
P1
Palin
Palin
Akumlin
To Workspace1
palin
Magnitude
To Workspace3 magnitude
|u| odpory prenos omega
Signal Builder
omega
angle
u
Prenos
Magnitude -Angle
102
Angle
To Workspace4
-Ra*Qa-P1+Pa 1 1
Demux
Qalin
1 s
Ra*Qa
odpory
Qa Ralin,La,Ca
(-Ra*Qa-P1+Pa)/La
2 P1
1 s
-1 Qa/Ca
-Qa/Ca
2 Palin
Pa
obr. 8.1 Schéma řešení linearizovaného modelu akumulátoru a přenosu
Řešení linearizovaného proudění je na obr. 8.2. -3
3
5
x 10
3.5
3
1
2.5
0
2 Palin
Qalin
2
x 10
-1
1.5
-2
1
-3
0.5
-4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 t
0.6
0.7
0.8
0.9
0
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 t
0.6
0.7
0.8
0.9
1
obr. 8.2 Linearizovaný průtok a tlak
8.3.2 Numerické řešení nelineárního modelu. Nelineární model se řeší stejně jako linearizovaný s tím že se upraví rovnice. Simulace v SimHydraulics nemá smysl, neboť akumulátor je definovaný pouze rovnicí s kapacitou, odpor proti pohybu a zrychlení se neuvažuje. Navíc se předpokládá nekonstantní kapacita, daná stlačitelností
103
plynu. Tedy model je zcela odlišný a akumulátor musí být zařazený do celého hydraulického obvodu. Nelze jej testovat izolovaně v sériovém zapojení.
8.4
Přenos Přenos se určí z dané soustavy platné pro linearizované proudění z rovnice ( 8.3.1)
− p1 =
dQa 1 Qa dt + R alinQa + La ∫ Ca dt
Po Laplaceově transformaci při nulových počátečních podmínkách je
− P1 (s ) = YQaP =
1 Qa (s ) + Ralin Qa (s ) + La sQa (s ) Ca s
Qa (s ) − Cas = 2 P1(s ) CaLas + RalinCas + 1
Dosazením vztahu
( 8.4.1)
dpa dp 1 =− Qa ⇒ Qa = −Ca a do rovnice ( 8.3.1) se získá přenos mezi dt Ca dt
tlakem v akumulátoru a tlakem na vstupu
YPaP =
Pa (s ) 1 = 2 P1 (s ) LaCa s + R alinCa s + 1
( 8.4.2)
Je vidět, že oba přenosy definují shodnou vlastní frekvenci. Časová konstanta a vlastní frekvence jsou významnými veličinami a z tvaru přenosu pro linearizované proudění jsou určeny takto
Ta = LaCa , fa =
1 2πTa
Frekvenční charakteristiky jsou na obr. 8.3, kde amplitudová charakteristika určuje vlastní úhlovou frekvenci akumulátoru
ωa = 100 s-1
a fázová charakteristika ji potvrzuje. Přenos -10
vlastní frekvenci, jen amplituda bude jiná (zhruba řádově 10
104
).
YQaP má stejnou
1
10
0
-0.5 0
10
-1
-1
10
angle
-1.5
-2
-2
10
-2.5 -3
10
-3
-4
10
-4
10
-3
10
-2
-1
10
10
0
1
10 omega
10
2
10
3
10
4
10
-3.5 -4 10
-3
-2
10
-1
10
10
0
1
10 omega
10
obr. 8.3 Amplitudová a fázová frekvenční charakteristika přenosů
8.5
10
2
3
4
10
10
YPaP
Paralelní zapojení akumulátoru v obvodu Předchozí
zadání
sloužilo
k testování
funkce
a
vlastností
akumulátoru. Pokud má být akumulátor zapojen v obvodu, pak je zapojen paralelně a výsledkem testování je tlak na vstupu do akumulátoru a průtok před a za akumulátorem. Zapojení akumulátoru a označení počítaných veličin je patrné ze schématu. Tedy tlak před akumulátorem akumulátorem
p 0 a za Qa
p jsou shodné, průtok před akumulátorem je označený Q0 .
Průtok za akumulátorem je definován jako
Q = Q0 − Qa . Z toho se určí
Qa = Q0 − Q . Tento výraz se dosadí do výchozích rovnic laminární nebo linearizované proudění
p0
p
Q0
Q
turbulentní proudění
dpa dp 1 1 (Q0 − Q ) =− Qa ⇒ a = − dt Ca dt Ca dQa p − p − RalinQa = a ⇒ dt La d (Q0 − Q ) pa − p − R alin (Q0 − Q ) = dt La
dQa pa − p − R aQa Qa = ⇒ dt La d (Q0 − Q ) pa − p − R a (Q0 − Q )Q0 − Q = dt La
105
( 8.5.1)
V systému dvou rovnic jsou 4 neznámé funkce. Tlak
p a vstupní průtok Q0 jsou veličiny dané, které
v ustáleném stavu nabývají definovaných hodnot. Např. při náhlém zvýšení tlaku
p se zvýší i průtok
Q0 o definovanou hodnotu. Připojený akumulátor začne tlumit vzniklé pulzace a jeho vlivem se změní průtok za akumulátorem. Tedy základní neznámá je
Q a tlak pa je pomocná veličina, kterou lze ze
systému rovnic vyloučit a získat jednu rovnici druhého řádu. Pro numerické řešení by se ale provedla zpětná substituce na dvě rovnice prvního řádu, což je zbytečné. Paralelení zapojení akumulátoru do obvodu a jeho vliv lze sledovat modelováním v SimHydraulics. Uvažme schéma na obr. 7.2, kde se zdroj tlakový změní na průtokový a signál se skokem změní z hodnoty 0 na hodntu 7e-4. Navíc je do obvodu vložen akumulátor. Kapacita akumulátoru je dána objemem akumulátoru. Dále je dán plnicí tlak akumulátoru a počáteční objem kapaliny. Specific heat ratio je poměr měrnýh tepel při konstantním tlaku a teplotě a pro vzduch je 1,4. Pokud je tlak na vstupu do akumulátoru větší než plnicí tlak, pak kapalina vtéká do akumulátoru a naopak.
Parametry, které se zadávají do menu akumulátoru, jsou: Capacity – objem vzduchu v akumulátoru (zpravidla objem daný geometrií) 106
Preload pressure – plnicí tlak Initial volume – objem kapaliny v počátečním stavu (t=0). Tento objem je zpravidla roven nule, ale významně ovlivňuje řešení. Je optimální v bloku řešiče (f(x)=0) zatrhnout parametr pro výpočet stacionárního stavu pro čas t=0. Tím je hodnota Initial volume nastavena na hodnotu odpovídající stacionárnímu stavu. Matematický model je dán následně
Qa =
dVk dt
VK = 0 pro p ≤ p pr kde
p pr VK = VA 1 − p
a
1/ k
pro p〉 p pr
VK objem kapaliny VA kapacita akumulátoru (objem) p
aktuální tlak na vstupu
p pr tlak plnicí
k poměr měrných tepel Q
objemový průtok
t
čas
Je vidět, že neobsahuje odpor proti pohybu ani zrychlení.
Kapalina/voda
0.005
S PS
Constant
m
To Workspace1
f(x)=0
To Workspace3
Q_za_zdrojem PS-S1
Konfigurace
Q_za_T PS-S
PS S Akumulator
A
B
T
S
P
prutokomer
A
B
Signal prutoku
nadrz1
B
A
Q
A
B
Fluid Inertia
2/2ventil
B
PS S Q za ventilem
prutokomer1
C onstant Volume C hamber
Ideal zdroj prutoku
S PS m3/s
A
Resistive Tube
A Signal 3
S
Q za zdrojem
Q
B P
PS S
Manometr1 PS-S2
tlak
nadrz2 tlak
To Workspace2
obr. 8.4 Schéma obvodu s T článkem a akumulátorem. 107
3.50E+04
2.50E-04
3.00E+04 2.00E-04
1.50E-04
p [Pa]
2.00E+04
1.50E+04
Q [m3s-1]
2.50E+04
1.00E-04
1.00E+04 Dp bez A Dp 20000 Q bez A Q 20000
5.00E+03
5.00E-05
0.00E+00
0.00E+00
0
2
4
6
8
10
12
14
t [s]
obr. 8.5 Skokový signál průtoku na vstupu do obvodu a průběh tlakového spádu v obvodu s akumulátorem a bez akumulátoru. Z obr. 8.5 je zřejmé, že akumulátor tlumí tlakový pulz.
108
Bode Diagram From: Signal prutoku (pt. 1) To: PS-S2 (pt. 1)
12
Magnitude (abs)
10
10
10
8
10
6
10 90
Phase (deg)
45
0 -45
-90 -4
10
-3
10
-2
10
-1
0
10
1
10
2
10
10
3
10
Frequency (Hz)
8.6
Vazba mezi přenosem sériově a paralelně zapojených R,L,C prvků
Vzájemný vztah mezi přenosy sériově a paralelně zapojených prvků budou objasněny na jednoduchém příkladě. Uvažme sériově zapojené odpory R, L, C. Pak tlakový spád
∆p = RQv + L
∆p je definovaný takto
dQv 1 + ∫ Qv dt dt C
Po Laplaceově transformaci lze definovat přenos
P (s ) = Rq (s ) + Lsq (s ) +
1 q (s ) = q (s ) ⇒ Cs P (s )
Pro paralelně zapojené prvky R, L, C platí vztah
Qv =
∆p 1 d∆p + ∫ ∆pdt + C R L dt
Po Laplaceově transformaci lze definovat přenos
109
1 R + Ls +
1 Cs
=
Cs LCs + RCs + 1 2
q (s ) =
1 1 q (s ) Ls + R + RLCs P (s ) + P (s ) + CsP (s ) ⇒ = = R Ls P (s ) RLs 2
L s +1 R Ls
LCs 2 +
Porovnáním obou přenosů je zřejmé, že přenosy jsou přibližně ve vztahu převrácených hodnot, tedy v amplitudové frekvenční charakteristice vyznačená vlastní frekvence se v druhém přenosu projeví opačně, tj. hodnoty amplitudové frekvenční charakteristiky k této hodnotě klesají. Hodnota vlastní frekvence netlumených kmitů je stejná. Takto se také projevuje akumulátor zapojený do obvodu, viz obr. 8.6.
abs(YPaP),abs(YQaP)
10 10 10 10 10 10 10
2
10
0
10
-2
abs(YPaP),abs(YQaP)
10
-4
-6
-8
-10
10 10 10 10 10
-12
0
50
100
150
200 j
250
300
350
10
400
12
10
8
6
4
2
0
-2
0
50
100
150
200 j
250
300
350
400
obr. 8.6 Porovnání amplitudové frekvenční charakteristiky při sériovém a paralelním zapojení prvků R,L,C.
8.7
Dynamické konstanty některých akumulátorů Pro určení dynamických vlastností akumulátorů nejsou od výrobců k dispozici potřebné údaje.
Pro několik vybraných akumulátorů jsou známé jejich parametry z literatury a byly získány na základě experimentů. Vlastní frekvence a časové konstanty netlumených kmitů jsou dopočítány na základě známých vztahů Akumulátory
215AVG-1
215AVG-25
TGL10-160
TGL25-160
Jihlavan
Jihlavan
Orsta
Orsta
p1 [MPa]
2
5
2
5
p2 [MPa]
10
10
10
10
V1 [m3]
0.001
0.0025
0.01
0.025
Ra (lin) [Nm-5s]
(1.23÷1.6).10
La [Nm-5s2]
(4÷5).10
Ca [N-1m5]
(0.26÷0.21).10
Ta
(0.00322÷0.00324) (0.00601÷0.00606) (0.00488÷0.00477) (0.01372÷0.01386)
fa
(49.35÷49.12)
7
7
(1÷1.2).10
5
5
(4.4÷5.1).10 -10
-10
(26.50÷26.26)
110
2.10
5
(1.96÷1.98).10
-10
(9.6÷9,7).10
(1.4÷1.9).10
(0.82÷0.72).10
6
6
(1.3÷1.8).10
(1.7÷1.2).10
(32.62÷33.33)
5
-10
(11.60÷11.48)
8.8
Prvky s převažující kapacitou
8.8.1 Nádoba naplněná kapalinou Uvažuje se zpravidla pouze stlačitelnost kapaliny a dokonale pružná nádoba. Kapacita je definována jako
CN =
VN . Přenosová matice je dána vztahem K
111
9. Rotační hydrogenerátor 9.1
Teoretický rozbor p2 Q2
Q
2
ω
Z V =0
y
Z V=konst
pV
M
Z V=kons
1 p1 obr. 9.1
Q1
∆p
0
Schéma rotačního HG
Statická charakteristika HG
V hydraulickým mechanizmech se uskutečňuje převod energie z pevných částí na sloupec kapaliny prostřednictvím hydrogenerátoru. Označení základních veličin je použito dle schématu. Statická charakteristika hydrogenerátoru je dána závislostí průtoku
Q na tlakovém spádu ∆p .
Jedním ze základních parametrů hydrogenerátoru, který je dán konstrukcí, je teoretický objem
Vt .
Matematický model regulačního hydrogenerátoru je určen rovnicemi pro moment hydrogenerátoru
M a pohybovými rovnicemi pro průtoky Q1 a Q2 , podobnými rovnicím hydromotoru. Nutno přihlížet ke změně smyslu proudění, což se projeví ve změně znaménka.
9.2
Matematický model hydrogenerátoru
Pro skutečný průtok hydrogenerátorem je statická charakteristika dána: laminární nebo linearizované proudění
turbulentní proudění
Q = Qt − Qz = ynVt − Zv ∆p
Q = Qt − Qz = ynVt − k1∆p − k 2 ∆p
kde
( 9.2.1)
k1, k2 jsou součinitelé hydraulických ztrát hydrogenerátoru, vnitřní tzv. svodová propustnost je
určena vztahem
Zv =
∂Q 1 = a teoretický průtok je dán Qt = ynVt . ∂(∆p ) Rv
Pro neustálené stavy je třeba uvažovat odpor proti deformaci, který ovlivňuje průtok a platí rovnice
Q = ynVt − k1∆p − k 2 ∆p + C kde
C=
d (∆p ) dt
( 9.2.2)
Vt + V1 + V2 je kapacita daná teoretickým objemem hydrogenerátoru, objemem přívodního K
potrubí a potrubí na výtlačné straně. 112
Pro skutečný moment hydrogenerátu lze definovat momentovou charakteristiku: laminární nebo linearizované proudění
turbulentní proudění
M = Mt + M z =
M = Mt + M z =
=y
Vt ∆p + bn n + k 3′ ∆p 2π
=y
Vt ∆p + Mc + bo n + b1n 2 + k 3′ ∆p 2π
kde vnitřní tzv. svodová propustnost je určena vztahem
Zv =
∂Q 1 = a ∂(∆p ) Rv
k3 =
( 9.2.3)
Vt + k 3′ , 2 ⋅π
k3′ ≥ 0 (zjednodušeně lze předpokládat k3′ = 0 ). Skutečný moment pro neustálený stav je dán vztahem
M = Mt + M z + 2πJ
dω V dn = y t ∆p + M c + bo n + b1n 2 + k 3′ ∆p + 2πJ dt 2π dt
resp.
( 9.2.4)
M = k 3 ∆p + Mc + b0 n + b1n 2 + 2πJ kde
dn dt 2
J
moment setrvačnosti hydrogenerátoru, rotující kapaliny a zátěže [kg.m ]
y
parametr nastavení hydrogenerátoru
M=
Mz i
moment hydrogenerátoru, což je moment zatížení redukovaný na hřídel
hydrogenerátoru [N.m]
Rovnice pro průtok a moment neregulačním hydrogenerátorem lze souhrnně zapsat laminární nebo linearizované proudění
Q = nVt − Zv ∆p − C
d∆p dt
dn M = k 3 ∆p + Mc + bn n + 2πJ dt
turbulentní proudění
Q = nVt − k1∆p − k 2 ∆p − C
d∆p dt
dn M = k 3 ∆p + M c + b0 n + b1n + 2πJ dt
( 9.2.5)
2
Výše uvedená soustava je soustavou dvou obyčejných diferenciálních rovnic o neznámých Q, ∆pu . K vyřešení je třeba dvě proměnné volit jako vstupní signál a zbývající dvě spočítat. Tyto dvě veličiny mohou být definovány jako funkce určené regresí z měření.
113
9.3
Součinitele statických průtokových a momentových charakteristik
hydrostatických čerpadel Statické charakteristiky hydrostatických čerpadel jsou dány závislostmi
Q = Q (∆p, n ) a
M = M (∆p, n ) , kde nezávisle proměnné jsou tlakový spád ∆p a otáčky n . Podrobněji platí Q = nVt − k1∆p − k 2 ∆p Součinitelé
csv = cvv
M = k 3 ∆p + Mc + b0n + b1n 2
( 9.3.1)
k1, k 2 , b1, b0 a součinitelé cvs , cst , cvv , ctv spolu souvisí následnými vztahy 2πη1k1 Vt
cst =
ρ1 2
V − 2 / 3k 2 ( 9.3.2)
4πb1 ctv = ρ1Vt 5 / 3
b = 0 η1Vt
Hodnoty součinitelů
k1, k 2 , b1, b0 byly vyhodnoceny z měření pro několik druhů hydrogenerátorů a
jsou uvedeny v tab. 9.1.
tab. 9.1. Hodnoty bezrozměrových součinitelů vřetenová
zubová
čerpadla
lamelová
čerpadla -8
axiální
čerpadla
pístová
čerpadla
-8
(3÷4,3).10
-4
(3,5÷9).10
čerpadla
-8
-8
(0,5÷2).10
-8
-4
(0,5÷2,8).10
csv
(10÷45).10
(2÷40).10
cst
(8÷38).10
-4
(2÷30).10
cvv
(0,2÷0,4).10
(0,2÷1).10
(0,4÷1,6).10
(0,2÷2).10
(0,2÷0,8).10
ctv
500÷1400
20÷270
10÷60
100÷250
10÷50
Olej:
5
5
-4
5
5
Vt =10.10-6 ÷50.10-6 m3, ρ1 =850 kgm-3, η1 =0.008÷0.055 Pa.s -11
k1
(0,0145÷45).10
k2
(0,1÷25).10
b0
(0,0016÷0,55)
b1
(0,003÷6,5).10
-8
-3
114
(0,5÷2).10
-4
(0,5÷2,8).10
5
9.4
Základní parametry čerpadel Každé čerpadlo je charakterizováno průtokem
[
]
čerpadla m 3 s −1, ls −1, lmin −1, m 3h −1 , otáčkami
H [m] ,
dopravní výškou
výkonem
n
Ph [W ] ,
Q,
který má rozměr udávaný podle velikosti
[s ] , −1
příkonem
měrnou energií
Pp [W ]
Y
, účinností
[m s ], −2
2
η
případně
a kavitačními
(sacími) vlastnostmi.
obr. 9.2 – Schéma kola hydrodynamického čerpadla a rychlostní trojúhelníky
9.5 Charakteristika čerpadla Charakteristika čerpadla je křivka závislosti skutečné měrné energie
dopravní výšky výkonu
H)
Ph − Q ,
na průtoku
účinnosti
Q.
ηc − Q
K této základní
Y −Q
Y
(resp. skutečné
charakteristice se připojují křivky
a měrné energie pro potrubí
YP − Q ,
viz obr. 9.3.
Charakteristiku čerpadla nelze určit přímo, protože složité proudění v oběžném kole a difuzoru a především hydraulické ztráty z geometrických charakteristik a provozních podmínek čerpadla nelze matematicky prozatím kvantitativně přesně popsat. Rozbor hydraulických ztrát lze však provést kvalitativně. Dílčí charakteristiky jsou:
•
měrná energie čerpadla
[Y = f (Q )]n=konst
•
účinnost čerpadla
[ηc = f (Q )]n=konst 115
•
výkon čerpadla
[Ph = f (Q )]n=konst
•
charakteristika potrubí
[YP = f (Q )]n=konst
Provozní bod čerpadla (Yc ;Qc ) je dán průsečíkem závislosti Y (Q ) a charakteristiky potrubí
YP (Q ) .
160
200
160 120 140
Yp
120
80
pracovní bod
100 80 60
40
η
Účinnost čerpadla η [%]
Měrná energie čerpadla Y a portubí Yp [J/kg]
180
Y
40 20
0 0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0 0.012
3
Objemový průtok Q [m /s]
obr. 9.3 – Charakteristika čerpadla 9.6 Odstředivé čerpadlo v SimHydraulics Odstředivé čerpadlo se definuje charakteristikou čerpadla danou -
polynomickou závislostí tlakového spádu na průtoku
-
dvěma 1D charakteristikami p-Q and Pp-Q, vytvořenými tabulkou závislosti tlakového spádu na průtoku a příkonu na průtoku. Pro propojení bodů je možno vybrat 3 interpolační metody a 2 extrapolační metody
-
dvěma 2D characteristikami: P-Q-W and N-Q-W — vytvořenými tabulkou závisloti tlakového spádu a příkonu na průtoku při různých úhlových rychlostech resp. otáčkách. Tlakový spád a příkon jsou dány dvourozměrnými tabulkami (maticemi). Opět je možno pro propojení bodů vybrat jednu ze tří interpolačních metod a dvou extrapolačních metod.
116
Nejjednodušší způsob pro zadání charakteristiky je následující. Graf charakteristiky pro zadání do tabulky získáme z experimentu nebo z katalogového listu (internet) pro dané čerpadlo. Tento postup předpokládá pouze jednu zadanou charakteristiku pro jedny otáčky (čerpadlo nemá možnost měnit otáčky).
výběr typu charakteristiky otáčky referenční hustota vektor průtoku vektor tlaku vektor průtoku vektor příkonu interpolační metoda extrapolační metoda
Třetí varianta předpokládá, že je k dispozici čerpadlo, které má např. pro 3 otáčky odměřené charakteristiky (má přepínač otáček). Pak je možno zadat 117
referenční hustota vektor průtoku pro tlak vektor otáček matice tlaku vektor průtoku pro příkon matice příkonu interpolační metoda extrapolační metoda
Matice tlaku pro 4 hodnoty otáček a 8 hodnot průtoku je definována takto:
n1
n2
n3
zápis v okně (je to jeden řádek)
n4
Q1
p11 p12 p13
p14
[ 8.3 8.8 9.3 9.9 ;
Q2 Q3
p21 p22 .
p24
7.8 8.3 8.8 9.4 ;
Q4 Q5 Q6 Q7 Q8
.
7.2 7.6 8.2 8.7 ;
.
6.5 7.0 7.5 8.0 ;
. .
5.6 6.1 6.6 7.1 ; 4.7 5.2 5.7 6.2 ;
. p81 p82
3.4 4.0 4.4 4.9 ;
p88
2.3 2.7 3.4 3.6 ; ]
Referenční hodnoty jsou hodnoty, při kterých byly určeny charakteristiky. Ty ale mohou být použity i pro jiné hodnoty a přepočtou se pomocí afinních vztahů: Z jejich podrobnosti vyplývají afinní vztahy pro parametry čerpadla, tj. pro unášivé rychlosti a
u 2′
a pro meridiální rychlosti
cm2
a
′2 cm
v závislosti na otáčkách
u2 n Q n c = = , m2 = u 2′ n ′ c m′ 2 n′ Q′
n
a
n′
platí vztahy
(9.6.1)
pro dopravní výšku resp. měrnou energii platí 118
u2
2 Q u2cu2 n H Y = = = = Q′ H ′ Y ′ u 2′ c u′ 2 n ′
2
(9.6.2)
pro výkon čerpadla
Ph Q Y n = = Ph′ Q ′ Y ′ n ′
3
(9.6.3)
a pro kroutící moment
Mk P n′ n = h = ′ Mk n Ph′ n ′ 9.6.1
2
(9.6.4)
1D charakteristika čerpadla WILO RS 25/4 230 V PN 10
Údaje o čerpadle, které je používáno v obvodech katedry, je možno nálézt v internetu, nebo získat měřením. Konkrétně čerpadlo WILO RS 25/4 má podrobné informace v internetu včetně změřených charakteristik. Čerpadlo bezúdržbové, mokroběžné topenářské - výrobce: WILO. Rozteč 180 mm. Napájení 1x230 V/50 Hz. Provozní tlak PN 10. Teplota -10 až 110°C. Max. dopravní výška 4 m. Max. otáčky 2000 ot/min. Světlost DN 1". Připojení závit G 1 1/2" (6/4"). Těleso čerpadla z šedé litiny. Technické parametry: - Čerpané médium: užitková voda - Provozní teplota: 20 - 100 °C - Okolní teplota (max): 40°C - Provozní max: 10 bar - Druh napájení: 1~230V/50Hz - Příkon: 27-32/40-48/56-68 W - Otáčky: 1200/1650/2000 ot/min - Potrubní přípojka - šroubení: G 1 1/2" (6/4") Materiál: - Těleso: legovaná šedá litina GG 20 - Hřídel: X 40 Cr 13 - Obežné kolo: polypropylén - Ložisko: grafit 119
Použítí údajů z internetu pro definovaní čerpadla v SimHydraulics: Dle popisu je možno vkládat •
Polynomickou závislost tlakového spádu na čerpadle příkonu na průtoku polynomem 2. stupně. Závislost v katalogovém listu není dána, je nutno ji vyhodnotit přepláním křivky tlaku a příkonu pro jedny hodnoty otáček do Excelu a spočítat (spojnice trendu)
•
1D charakteristiku závislosti tlakového spádu na průtoku a příkonu na průtoku
Pro praktické použití se vyberou charakteristiky pro použité otáčky, tlakové výšky se přepočítají na tlaky ∆p = ρgH Pa a všechny veličiny se navíc přepočítají na jednotky, které akceptuje SimHydraulics, nejlépe základní. Celá úprava se provede v Excelu:
Wilo RS 25/4 - charakteristika z katalogového listu
otáčky
otáčky
příkon
Qmax
Qmax
geom objem
min-1
rad/s
kW
l/s
m3/s
m3/rad
1200
3.183099
0.03
0.48 120
0.00048
0.000151
průtok
průtok
Dp=ro.g.H
příkon
příkon
l/s
m3/s
Pa
kW
W
0
0
21000
0.026
26
0.1
0.0001
16000
0.028
28
0.2
0.0002
11000
0.029
29
0.3
0.0003
7000
0.03
30
0.4
0.0004
3000
0.031
31
25000
0.032 0.031
20000
15000
0.029
10000
0.028 0.027
5000 0.026 0
0.025 0
0.0001
0.0002 3
0.0003 -1
průtok [m .s ]
Vložení charakteristiky do Sim Hydraulice:
121
0.0004
příkon [W]
tlak [Pa]
0.03
S PS
Signal 1
kapalina m
Signal Builder
PS-S3
S
konfigurace
B f(x)=0
A
B
A
Resistive Tube2 3.183 uhlova rychlost 1200ot/min
S PS S-PS1 rad/s
S C
rozvadec
P
R
A
S T
Mechanical Rotational Reference
Q
P
PS S
8.931e-008
B
Display
prutokomer
B
Manometr1
Ideal Angular cerpadlo Velocity 1200min-1 Source
A
prutok m3/s PS S PS-S2 1
2.1e+004 Display1 XY Graph tlak Pa
nadrz
122
nadrz1
9.6.2
2D charakteristika čerpadla WILO RS 25/4 230 V PN 10
Charakteristiky jsou odečteny ze stejného katalogového listu. Počet otáček je 3, pro zadaní 2D charakteristiky se vyžadují nejméně 4 charakteristiky, proto je třeba spočítat čtvrtou charakteristiku pomocí afinních vztahů opět užitím Excelu. Wilo RS 25/4 - charakteristiky z katalogového listu otáčky min-1 1200 1650 2000
otáčky příkon Qmax geom objem Qmax rad/s W l/s m3/rad m3/s 3.1831 30 0.48 0.0001508 0.00048 4.37676 44 0.68 0.00015537 0.00068 5.30516 62 0.88 0.00016588 0.00088
tlak Pa Dp=1300/1200*Dp(1200) výkon W Pp=(1300/1200)^3*Pp(1200) 1300 otáčky ot/min 1200 1650 2000 1200 1300 1650 2000 otáčky rad/s 3.1831 3.4484 4.3768 5.3052 3.1831 3.4484 4.3768 5.3052 průtok průtok Dp=ρ Dp výkon výkon výkon ρgH Dp=ρ ρgH Dp=ρ ρgH výkon l/s m3/s Pa Pa Pa Pa W W W W 0 0 21000 24646 35000 42000 26 33 40 50 0.1 0.0001 16000 18778 29000 39000 28 36 44 55 0.2 0.0002 11000 12910 24000 35000 29 37 48 59 0.3 0.0003 7000 8215 18000 31000 30 38 50 62 0.4 0.0004 3000 3521 13000 28000 31 39 52 64
123
70
45000 1200 40000
1300
35000
1650
60
2000
50
25000
příkon [W]
D p [P a ]
30000
20000
40
30
15000 10000
20
1200
5000
1300 10
1650 2000
0 0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0 0
3 -1
průtok [m .s ]
0.00005
0.0001
0.00015
0.0002
0.00025
průtok [m 3.s -1]
Vstupní data čerpadla jsou
124
0.0003
0.00035
0.0004
Obvod pro kontrolní výpočet charakteristiky je stejný jako předešlý a spočtená charakteristika je:
tedy je stejná. 10. Řídicí prvky Energii v obvodech tekutinových mechanismů přenášenou tekutinou jako nositelkou energie je třeba řídit. Řízení energie je ovlivněno účelem a z toho vyplývá způsob provedení. Řízení energie v obvodech tekutinových mechanismů lze rozdělit na řízení proudu a řízení tlaku. Řízení proudu lze provést několika způsoby •
změnou geometrického (teoretickou) objemu hydrogenerátoru, což je energeticky výhodný způsob, neboť proud tekutiny se řídí podle provozních podmínek a není třeba snižovat energii na odporech měnicích nevratně tlakovou energii na teplo.
•
větvením proudu
•
změnou odporů proti pohybu, na kterých dochází k rozptylu energie přeměnou v tepelnou energii. Toto jednoduché řízení je proto omezeno energetickým hlediskem, neboť jeho účinnost je nízká. Při jeho aplikaci je třeba provést tepelnou bilanci obvodu, aby byly zajištěny během provozu přípustné teplotní režimy. Řízení tlaku v tekutinovém obvodu zajišťují tlakové ventily, které řídí jeden ze základních
parametrů obvodu, a to tlak, který je vyvolán zátěží (vnější odpor) a vnitřními odpory. K řízení proudem je možno přiřadit hrazení proudu, které se využívá pro tyto účely: •
tok nositele energie jedním směrem
•
změna směru pohybu hydromotoru
•
blokování pohybu hydromotoru
125
Hrazení proudu se realizuje odporem proti pohybu a je obvykle charakteristické dvěma mezními stavy: otevřeno ( R → 0 ) a zavřeno ( R → ∞ ). V otevřeném stavu se umožní průtok, uzavřený stav zabraňuje průtoku ( Q = 0). Řídicí prvky s řízením toku energie škrcením mají proměnný odpor. Základní konstrukční prvek tvoří sedlový ventil a šoupátkový ventil. V SimHydraulics
je
definována
řada
ventilů
a
šoupátek
charakteristikami, proto se jimi z dynamického hlediska nebudeme zabývat.
126
definovaných
statickými
11.
Literatura:
[1] Angot , A.: Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry, Praha: SNTL, 1971 [2] Kubíček,M.: Numerické algoritmy chemicko-inženýrských úloh. SNTL 1983 [3] Ralston,A.: Základy numerické matematiky. Academia Praha, 1973. [4] Braun, J.-Čížek,V.-Kvasil,HJ.-Novák,M.: Analýzy lineárních obvodů a soustav. SNTL 1973. [5] Noskievič,J.:Dynamika tekutinových mechanismů. Skripta VŠB Ostrava 1993. [6] Pochylý František: Dynamika tekutinových systémů. Skriptum, VUT Brno, 1990 [7] Rektorys K. a Kol.: Přehled užité matematiky. SNTL, Praha 1968 [8] Turza, J.: Dynamika tekutinových systémov. Skriptum VŠDS v Žiline, 1994 [9] Zymák, V.: Dynamika pulzujícího průtoku. PC-DIR spol, s R.O. Brno, 1994 [10] Noskievič, P.: Modelováí a identifikace systémů. MONTANEX a.s. ,1999 [11] Šerek M., Šálek J.: Inženýrské sítě a závlahové stavby, vodohospodářské tabulky. Skripta VUT Brno, 1979, 181 str. [12] Miller D. S.: Internal Flow System, BHRA UK, 396 s., ISBN 0-947711-77-5 [13] References[1] Meritt, H.E., Hydraulic Control Systems, John Wiley & Sons, New York, 1967 [14] Holcke, Jan, Frequency Response of Hydraulic Hoses, RIT, FTH, Stockholm, 2002 [15] Kozubková, M. Dynamika 2003.
127
11.1 Linearizace odporu proti pohybu u dynamických úloh Určení linearizovaného odporu proti pohybu v dynamických úlohách, např. při rozběhu proudění v obvodu, spočívá v tom, že se bude očekávat shoda řešení v ustáleném stavu. Při řešení hydraulického obvodu se předpokládá, že vstupním dynamickým signálem bude tlak (skoková změna, impulzní změna apod.) a pak se počítá průtok v závislosti na čase nebo naopak. vstupní signál
výstupní signál
skoková změna tlaku
odezva průtoku
linearizovaný odpor proti pohybu
∆pust = RlinQust ⇒ Qust =
∆pust Rlin
2 ∆pust = RQust ⇒ Qust =
∆pust R
Q
Q
∆p
∆pust
Qust
⇒ t
t
skoková změna průtoku
∆pust ⇒ R
R lin = R∆pust
odezva tlaku Q
Q
∆pust = R lin
∆pust = RlinQust
∆p
Qust
∆pust
2 ∆pust = RQust 2 ⇒ RlinQust = RQust
R lin = RQust t
t
128
