Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire jók a differenciálegyenletek?

Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó – avagy mire jók a differenciálegyenletek? Besenyei Ádám [email protected] Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Matematikai Intézet Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest

ELTE Matematikai Intézet Nyílt Nap 2015. 12. 02.

Gondolatébresztő

Wigner Jenő (1902–1995)

„. . . a matematika roppant hasznos volta a természettudományokban a titokzatossal határos, és kielégítő magyarázatot nem is tudunk rá adni. . . . a »természettörvények« létezése egyáltalán nem természetes, még kevésbé az, hogy az ember képes azokat felfedezni. . . . A csoda, a matematika nyelvének alkalmas volta a fizika törvényeinek megfogalmazására, varázslatos adomány, melyet nem értünk és nem érdemlünk meg.” (Előadás a New York Egyetemen, 1959.)

Mi az előadás célja?

Miről lesz szó? • kérdés: térben és időben lezajló természeti (fizikai, kémiai, biológiai. . . ) jelenségek hogyan modellezhetők matematikai eszközök segítségével • cél: olyan egyszerűsített modell felállítása, amely matematikailag még kezelhető, de a jelenségről is mond valamit • eszköz: differenciálegyenletek • hol fordulnak elő: aki természettudományos szakra jön, biztosan találkozik vele, de nem csak a természettudományokban (műszaki tudomány, közgazdaságtan, orvostudomány. . . ) • elmélet: sok eszközt igényel és gyakran bonyolult számolásokat • gyakorlat: számítógépes szimulációk • most: közérthető ízelítő a szépségből

Besenyei Ádám (ELTE)

Differenciálegyenletek

ELTE, 2015. 12. 02.

4 / 29

Egy kis ízelítő...

Ízelítő Sherlock Holmes és a Coolbody eset Egy éjjel a nagy angol színész, Archibald Coolbody feleségét holtan találják otthonában. Mellette a férj, kezében a gyilkos fegyverrel. Lestrade felügyelő a Scotland Yardtól már-már lezártnak tekintené az ügyet, mikor hajnali 1 órakor beviharzik Sherlock Holmes és az alábbi beszélgetés zajlik le közöttük. Lestrade: Mr Holmes, önnek semmi keresnivalója itt, az ügy teljesen egyértelmű. A férj kezében volt a gyilkos fegyver, ő tette. Holmes: Csak ne olyan hevesen, Lestrade! Megmérte a halottkém a holttest hőmérsékletét? Lestrade: Természetesen. Pontban éjfélkor a test 33◦ -os volt. Ekkor Holmes előkapta kabátzsebéből a hőmérőjét és megvizsgálta a testet. Holmes: Hmm. . . Most 31◦ -os; és látja, a szoba hőmérője 20◦ -ot mutat. A halál fél 11 körül állt be, márpedig akkor Coolbody még Hamletet játszotta a Queen’s Theatre-ben, ahogy minden este. Ő nem lehet a gyilkos. Besenyei Ádám (ELTE)


ELTE, 2015. 12. 02.

6 / 29

Ízelítő Sherlock Holmes és a Coolbody eset Hogyan állapította meg Sherlock Holmes, hogy mikor hunyt el az áldozat?



ELTE, 2015. 12. 02.

6 / 29

Ízelítő A hangya és a gonosz manó esete Eljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez?

1 cm s



1m s

ELTE, 2015. 12. 02.

6 / 29

Ízelítő A fura Rómeó és a normális Júlia esete Rómeó és Júlia együtt járnak. • Júlia „normális”: minél inkább/kevésbé szereti őt Rómeó, annál inkább/kevésbé szereti ő Rómeót. • Rómeó kissé „fura”: minél inkább/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/inkább szereti ő Júliát. Hogyan alakul a kapcsolatuk?



ELTE, 2015. 12. 02.

6 / 29

Kulcsfogalom: a változás sebessége



ELTE, 2015. 12. 02.

7 / 29

A változás sebessége • x(t) egy időtől függő mennyiség: – megtett út, hőmérséklet, szeretet/ellenszenv intenzitása stb. • mit jelent x(t) változási sebessége? • például: ha x(t) az autópályán haladó gépkocsi aktuális helyzete, akkor a gépkocsi pillanatnyi sebessége, amelyet a műszerfalon látunk mit is jelent?



ELTE, 2015. 12. 02.

8 / 29

A változás sebessége • x(t) mennyiség megváltozása a [t, t + ∆t] intervallumon: megváltozás = x(t + ∆t) − x(t) • ha x(t) az autó helyzete, akkor a megváltozás az (előjelesen) megtett út • ha a megváltozás egyenletesen/lineárisan (azaz egyenlő időközök alatt egyenlő mértékben) történne, akkor a változás sebessége: x(t + ∆t)

megváltozás x(t + ∆t) − x(t) = eltelt idő ∆t

x(t) t

t + ∆t

• ha a mozgás nem egyenletes, akkor ez csak átlagsebesség • ha viszont ∆t „piciny” időintervallum, akkor a mozgás közelítőleg lineáris • az átlagsebesség határértékben a változás pillanatnyi sebessége



ELTE, 2015. 12. 02.

8 / 29

A változás sebessége • példák: – a gépkocsi helyzetének változási üteme a pillanatnyi sebesség – a gépkocsi sebességének változási üteme a pillanatnyi gyorsulás • differenciálegyenletekben hagyományos jelölés (Newton): – x(t) változási sebessége x(t) ˙ – x(t) ˙ változási sebessége x ¨(t) stb. • intuitív módon világos: – ha x˙ = 0, akkor x(t) állandó (a gépkocsi sebessége 0 =⇒ egy helyben vagyunk) – ha x˙ > 0, akkor x növekszik, minél nagyobb x, ˙ annál gyorsabban (gépkocsi sebessége nagy =⇒ egyre jobban távolodunk a kiindulási ponttól) – ha x˙ < 0, akkor x csökken, minél kisebb x(t), ˙ annál gyorsabban (a gépkocsi tolat, a műszerfalon a sebesség nagyságát látjuk, az előjelét az ablakon kinézve)



ELTE, 2015. 12. 02.

8 / 29

Sherlock Holmes

A hőmérséklet-csökkenés sebessége Newton lehűlési törvénye 1701-ből „...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron. Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in a Geometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms.”



ELTE, 2015. 12. 02.

10 / 29


Newton lehűlési törvénye a középiskolában A test és a közeg hőmérsékletének különbsége egyenlő időközök alatt ugyanannyiad részére csökken, vagyis az egyenlő időközökben mért hőmérséklet-különbségek mértani sorozatot alkotnak: Ttest (t) − Tközeg = q t (Ttest (0) − Tközeg ).



ELTE, 2015. 12. 02.

10 / 29


Newton lehűlési törvénye a középiskolában A test és a közeg hőmérsékletének különbsége egyenlő időközök alatt ugyanannyiad részére csökken, vagyis az egyenlő időközökben mért hőmérséklet-különbségek mértani sorozatot alkotnak: Ttest (t) − Tközeg = q t (Ttest (0) − Tközeg ).

Newton lehűlési törvénye differenciálegyenlettel A test közeghez képesti hőmérsékletének változása arányos a test és a közeg hőmérsékletének különbségével: (Ttest (t) − Tközeg )· = −λ(Ttest (t) − Tközeg ). Besenyei Ádám (ELTE)


ELTE, 2015. 12. 02.

10 / 29

Newton lehűlési törvénye – alkalmazás Sherlock Holmes és Newton • Ttest − Tközeg kezdetben = ∆T0 (= 13◦ ) • Ttest (t) − Tközeg egységnyi idő múlva = ∆T1 (= 11◦ ) • ∆T1 = q∆T0 =⇒ Megvan q! (q = 11/13) • Mikor lesz/volt a különbség egy adott érték? Milyen t-re lesz ∆T2 = q t ∆T0 ? (∆T2 = 16,5 =⇒ t ≈ −1,4 =⇒ kb. másfél órával éjfél előtt)



ELTE, 2015. 12. 02.

11 / 29

Newton lehűlési törvénye – alkalmazás Sherlock Holmes és Newton • Ttest − Tközeg kezdetben = ∆T0 (= 13◦ ) • Ttest (t) − Tközeg egységnyi idő múlva = ∆T1 (= 11◦ ) • ∆T1 = q∆T0 =⇒ Megvan q! (q = 11/13) • Mikor lesz/volt a különbség egy adott érték? Milyen t-re lesz ∆T2 = q t ∆T0 ? (∆T2 = 16,5 =⇒ t ≈ −1,4 =⇒ kb. másfél órával éjfél előtt)

További „italos” alkalmazások • Mikor tegyük a tejet a kávéba, hogy minél lassabban hűljön ki? • Mikorra józanodunk ki bizonyos mennyiségű alkohol elfogyasztása után?



ELTE, 2015. 12. 02.

11 / 29

A hangya és a gonosz manó

A hangya és a gonosz manó – a probléma A kis hangya és a gonosz manó esete Eljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez?

1 cm s



1m s

ELTE, 2015. 12. 02.

13 / 29

A hangya és a gonosz manó – a probléma A kis hangya és a gonosz manó esete Eljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez?

1 cm s

1m s

Egy kis történelem • 1972. december, Science et Vie folyóirat, Denys Wilquin (New Caledonia): „small creature on an elastic rope” • Martin Gardner, Scientific American („worm”)



ELTE, 2015. 12. 02.

13 / 29

A hangya és a gonosz manó – megoldás A megoldás A manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m s A hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme = hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm s sebessége + gumi adott pontjának u távolodási sebessége t idő múlva távolodási ütem= u =? x(t)



távolodási ütem= V d+Vt

ELTE, 2015. 12. 02.

14 / 29



x(t) u = V d+Vt



ELTE, 2015. 12. 02.

14 / 29



x(t) u = V d+Vt x(t) ˙ =v+


V x(t) d+Vt


ELTE, 2015. 12. 02.

14 / 29

A hangya és a gonosz manó – megoldás A megoldás Aki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy v Vt a hangya távolsága a faltól x(t) = (d + V t) · log 1 + , V d V d találkozási időpont T = ev −1 , V V találkozási hely x(T ) = d · e v .



ELTE, 2015. 12. 02.

15 / 29


Mit is jelent ez? m Ha d = 1m, v = 1 cm s , V = 1 s , akkor

találkozási időpont ∼ 2,68 · 1043 s ∼ 8,5 · 1035 év, találkozási hely ∼ 2,68 · 1043 m ∼ 2,8 · 1027 fényév.



ELTE, 2015. 12. 02.

15 / 29


Mit is jelent ez? m Ha d = 1m, v = 1 cm s , V = 1 s , akkor

találkozási időpont ∼ 2,68 · 1043 s ∼ 8,5 · 1035 év, találkozási hely ∼ 2,68 · 1043 m ∼ 2,8 · 1027 fényév. Összehasonlításképpen: az univerzum életkora = 4 · 1017 s ∼ 13 · 109 év, az univerum átmérője = 8,8 · 1026 m ∼ 9,3 · 1010 fényév. Besenyei Ádám (ELTE)


ELTE, 2015. 12. 02.

15 / 29

Rómeó és Júlia

Rómeó és Júlia – a probléma Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...) Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát: ˙ R(t) = −J(t).



ELTE, 2015. 12. 02.

17 / 29


Júlia „normális” Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót: ˙ = R(t). J(t)



ELTE, 2015. 12. 02.

17 / 29



Kérdés Hogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?



ELTE, 2015. 12. 02.

17 / 29



Kérdés Hogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?

Megoldás Célszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.



ELTE, 2015. 12. 02.

17 / 29

Rómeó és Júlia – megoldás Fura Rómeó és normális Júlia Matematikailag (a legegyszerűbben): ˙ R(t) = −J(t), ˙ = R(t). J(t)



ELTE, 2015. 12. 02.

18 / 29

Rómeó és Júlia – megoldás Fura Rómeó és normális Júlia Matematikailag (a legegyszerűbben): ˙ R(t) = −J(t), ˙ = R(t). J(t) J

R

centrum



ELTE, 2015. 12. 02.

18 / 29

Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok Normális Rómeó és normális Júlia Matematikailag (a legegyszerűbben): ˙ R(t) = J(t), ˙ = R(t). J(t)



ELTE, 2015. 12. 02.

19 / 29

Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok Normális Rómeó és normális Júlia Matematikailag (a legegyszerűbben): ˙ R(t) = J(t), ˙ = R(t). J(t) J

R

nyereg



ELTE, 2015. 12. 02.

19 / 29

Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia Matematikailag (a legegyszerűbben): ˙ R(t) = −J(t), ˙ J(t) = R(t) + J(t).



ELTE, 2015. 12. 02.

20 / 29

Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia Matematikailag (a legegyszerűbben): ˙ R(t) = −J(t), ˙ J(t) = R(t) + J(t).

J

R

fókusz Besenyei Ádám (ELTE)


ELTE, 2015. 12. 02.

20 / 29

Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia 2. Matematikailag (a legegyszerűbben): ˙ R(t) = −J(t), ˙ J(t) = R(t) + 2J(t).



ELTE, 2015. 12. 02.

21 / 29

Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia 2. Matematikailag (a legegyszerűbben): ˙ R(t) = −J(t), ˙ J(t) = R(t) + 2J(t). J

R

csomó



ELTE, 2015. 12. 02.

21 / 29

Rómeó és Júlia – történelem Rómeó és Júlia szerelme Steven Strogatz (1959–), Love Affairs and Differential Equations, 1988.



ELTE, 2015. 12. 02.

22 / 29

Rómeó és Júlia – Petrarca és Laura Petrarca és Laura Francesco Petrarca (1304–1374)


Laura de Noves (1310–1348) ??


ELTE, 2015. 12. 02.

23 / 29

Rómeó és Júlia – Petrarca és Laura Petrarca érzései Laura iránt Sergio Rinaldi, 1998.



ELTE, 2015. 12. 02.

23 / 29

Hol fordulnak még elő differenciálegyenletek?

Differenciálegyenletek mindenütt • fizika: – elektromágnesség: Maxwell-egyenletek – áramlástan: Navier–Stokes-egyenletek (1 millió dollár) – kvantummechanika: Schrödinger-egyenlet • biológia: – ragadozó–zsákmány modellek: Lotka–Volterra – életkor függő populációs modellek • kémia: – reakciók leírása • közgazdaságtan, pénzügy: – opciók árazása: Black–Scholes-egyenlet (Nobel-díj, 1997) • betegségterjedés modellezése (nagy hálózatok) • gyógyszeradagolási modell, követési modell, tanulási modell • harci modellek (Lancester) • az alkalmazások köre végeláthatatlan. . . Besenyei Ádám (ELTE)


ELTE, 2015. 12. 02.

25 / 29

Érdemes-e tehát matematikával foglalkozni?

Miért foglalkozzunk matematikával? Siméon Denis Poisson (1781–1840): „Az élet csak két dologra jó: matematikával foglalkozni és matematikát tanítani.” Dirk Jan Struik (1894–2000) (106 évesen halt meg!) „A matematikusok sokáig élnek; a matematika egy egészséges hivatás. Azért élünk sokáig, mert kellemes gondolataink vannak. Matematikával és fizikával foglalkozni nagyon kellemes dolog.” De vigyázat! John Edensor Littlewood (1885–1977) „A matematikus hivatás veszélyes: egy jelentős részünk megőrül.”



ELTE, 2015. 12. 02.

27 / 29

Olvasnivalók Besenyei Ádám, Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó – avagy mire jók a differenciálegyenletek?, ELTE Kárpát-medencei Nyári Egyetem előadás, 2014. július 11. http://abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf Besenyei Ádám, A differenciálegyenletek csodálatos világa, Eötvös Kollégium Természettudományos Tábor, 2015. július 22. http://abesenyei.web.elte.hu/publications/csodalatos.pdf A differenciálegyenletek csodálatos világa, speciálelőadás az ELTE-n tanárszakosok számára, a kurzus honlapja: http://abesenyei.web.elte.hu/mattanar/15o/diffegy15o/diffegy15o.php Hatvani László – Pintér Lajos, Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, Polygon, Szeged, 1997.



ELTE, 2015. 12. 02.

28 / 29

Vége

Köszönöm a figyelmet!

Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire jók a differenciálegyenletek?

Recommend Documents