Semiring Pseudo-Ternary. Pseudo-Ternary Semiring

Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2014, Vol. 19 Nomor 2

Semiring Pseudo-Ternary Maxrizal dan Ari Suparwanto Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, Jurusan Matematika FMIPA UGM, e-mail: [email protected]; [email protected] Diterima 22 November 2013, disetujui untuk dipublikasikan 4 Maret 2014 Abstrak Dalam makalah ini akan diperkenalkan definisi dan sifat-sifat semiring pseudo-ternary. Selanjutnya, akan diperkenalkan subsemiring pseudo-ternary dan ideal pada semiring pseudo-ternary. Lebih lanjut, ideal-ideal yang terbentuk pada semiring pseudo-ternary akan digunakan untuk membentuk semiring pseudo-ternary faktor. Kata kunci: Semiring pseudo-ternary, Semiring pseudo-ternary faktor.

Pseudo-Ternary Semiring Abstract In this paper we introduce the notion of pseudo-ternary semiring. Furthermore, we will introduce pseudo-ternary subsemiring and ideals in pseudo-ternary semiring. Finally, ideals in pseudo-ternary semiring will be used for constructing pseudo-ternary factor semiring. Keywords: Pseudo-ternary semiring, Factor pseudo-ternary semiring.

ketiga matriks persegi panjang bisa dioperasikan dengan metode perkalian matriks biasa.

1. Pendahuluan Konsep semiring ternary diperkenalkan oleh Dutta dan Kar (2004). Semiring merupakan generalisasi dari ring ternary yang diperkenalkan oleh Lister pada tahun 1971. Himpunan S tak kosong yang dilengkapi operasi biner penjumlahan (+) dan operasi triner perkalian () disebut semiring ternary jika (S, +) merupakan semigrup abelian, (S,) merupakan semigrup dan (S, +, ) memenuhi sifat distributif. Perhatikan bahwa operasi triner menyebabkan sifat asosiatif pada (S,) didefinisikan sebagai berikut: untuk setiap a, b, c, d,  S berlaku (abc)de = a(bcd) e = ab(cde).

Berdasarkan sifat-sifat penjumlahan dua matriks, ( M nn (  ), ) merupakan semigrup abelian well-defined

T



asosiatif

pada

pada

M n  n (  )

karena

AB C  M nn ( ) . Selanjutnya, akan diselidiki sifat

( M nn (  ), ) .

Ambil



A, B, C , D  M nn ( ), maka berlaku ( A  B  C )  D  E  ( ABT C )  D  E  ABT CDT E

Faktanya, definisi semiring ternary dimotivasi oleh struktur pada himpunan bilangan bulat negatif (  ) yang dilengkapi operasi biner penjumlahan dan triner perkalian biasa. Selanjutnya, konsep semiring ternary pada   diperluas pada matriks persegi atas   sehingga M nn (  ) yang dilengkapi operasi biner penjumlahan dan triner perkalian matriks biasa juga merupakan semiring ternary. Perhatikan bahwa M nn (  ) merupakan matriks khusus dari matriks persegi panjang sehingga perlu diselidiki konsep yang lebih umum yaitu konsep semiring ternary pada M m n (  ) . Untuk itu, dibentuk matriks ( M nn (  ), , )



dan

A  ( B  C  D)  E  A  ( BC T D)  E  A( BC T D)T E  ADT CBT E A  B  (C  D  E )  A  B  (CDT E )  ABT CDT E

Perhatikan bahwa hanya berlaku sifat ( A  B  C )  D  E  A  B  (C  D  E ) . Hal ini disebabkan karena untuk sebarang matriks berukuran m  n , hubungan BT CDT  DT CBT belum tentu berlaku. Jadi, ( M nn (  ), , ) bukan meruternary, walaupun pada pakan semiring  ( M nn ( ), , ) juga berlaku sifat distributif.

dengan definisi operasi biner

A  B  A  B dan operasi triner A  B  C  ABT C . Perhatikan bahwa, operasi triner  dibentuk agar

Berdasarkan permasalahan di atas, dalam makalah ini didefinisikan suatu struktur baru yang 50

51

Maxrizal dan Suparwanto, Semiring Pseudo-Ternary

disebut semiring pseudo-ternary. Semiring pseudoternary bersifat lebih umum dari semiring ternary sehingga memberikan peluang untuk menyelidiki sifat-sifat pada semiring ternary yang masih tetap berlaku pada semiring pseudo-ternary. Selanjutnya, dijelaskan contoh dan sifat dari semiring pseudoternary, subsemiring pseudo-ternary dan ideal pada semiring pseudo-ternary. Pada bagian akhir makalah dikaji proses pembentukan semiring faktor pseudoternary. 2. Semiring Ternary

Berikut adalah beberapa definisi tentang semiring ternary dan sifat-sifat yang dimiliki oleh semiring ternary. Definisi 1. Diberikan himpunan S   yang dilengkapi dengan operasi biner penjumlahan + : S  S  S dan triner perkalian  + : S  S  S. Himpunan S disebut semiring ternary jika memenuhi:

1. (S, +) merupakan semigrup abelian. 2. (S,) merupakan semigrup, yaitu untuk setiap a,b,c,d,e  S berlaku abc  S dan (abc)de = a(bcd)e = ab(cde).

3. Berlaku sifat distributif kanan, kiri dan tengah, yaitu untuk setiap a,b,c,d  S berlaku

(i) (a + b)cd = acd + bcd (ii) a(b + c)d = abd + acd (iii) ab(c + d) = abc + abd Definisi 2. Suatu elemen disebut elemen nol dari semiring ternary S dinotasikan dengan “0” jika untuk setiap x,y  S berlaku 0 + x = x dan 0xy = x0y = 0. Semiring ternary S yang mempunyai elemen nol disebut semiring ternary dengan elemen nol.

Pada pembahasan selanjutnya S merupakan notasi untuk semiring ternary dengan elemen nol dan S* merupakan notasi untuk semiring ternary tanpa elemen nol, yaitu S *  S \ 0 . Definisi 3. Suatu elemen e  S disebut elemen satuan dari semiring ternary S, jika untuk setiap x  S berlaku eex = exe = xee = x. Proposisi 1. Jika elemen e  S merupakan elemen satuan dari semiring ternary S maka untuk setiap x,y  S berlaku exy = xey = xye. Definisi 4. Semiring ternary S disebut semiring ternary komutatif jika untuk setiap s1 , s2 , s3  S maka s1 s2 s3  s2 s1 s3  s2 s3 s1 .

Definisi 5. Diberikan sebarang s1  0 dari suatu semiring ternary S , s1 disebut elemen pembagi nol kiri (tengah, kanan) dari S jika terdapat s2 , s3  S1 dengan s2  0 dan s3  0 sehingga s1 s2 s3  0 ( s2 s1 s3  0, s2 s3 s1  0). Elemen pembagi nol kiri yang sekaligus elemen pembagi nol tengah dan kanan disebut elemen pembagi nol. Definisi 6. Diberikan semiring ternary komutatif. Jika S tidak mempunyai elemen pembagi nol maka S disebut suatu semi-daerah integral ternary . Definisi 7. Diberikan semiring ternary (S, +, ). Himpunan T  S disebut subsemiring ternary jika (T, +, ) juga merupakan semiring ternary. Proposisi 2. Diberikan suatu semiring ternary (S, +, ) dan subhimpunan T  S. Himpunan T merupakan subsemiring ternary jika dan hanya jika untuk setiap t1 , t2 , t3  T , berlaku t1  t2  T dan t1t2 t3  T . Definisi 8. Diberikan suatu semiring ternary (S, +, ) dan subhimpunan I  S dengan syarat untuk setiap i1 , i2  I berlaku i1  i2  I . Jika untuk setiap s1 , s2  S dan iI berlaku s1 s2 i  I (is1 s2 , s1is2  I ) , maka I disebut ideal kiri (kanan, tengah) dari S. Jika I merupakan ideal kiri, kanan dan tengah dari S, maka I disebut ideal dari S. Definisi 9. Suatu relasi ekuivalensi  pada semiring ternary S disebut relasi kongruensi jika memenuhi kondisi berikut:

untuk setiap a, a , b, b, c.c  S berlaku a  a  dan b  b  (a  b)  (a   b) a  a , b  b dan c  c  (abc)  (a bc)

Definisi 10. Diberikan I ideal sejati dari semiring ternary S. Relasi 1 Bourne atas S didefinisikan

sebagai berikut: untuk tiap s, s   S , s  I s  jika hanya jika s  a1  s   a2 untuk suatu a1 , a2  I . Proposisi 3. Relasi Bourne 1 pada S merupakan relasi kongruensi pada S. Selanjutnya, relasi 1 ini

disebut relasi kongruensi Bourne. Definisi 11. Diberikan I suatu ideal sejati dari semiring ternary S dan 1 kongruensi Bourne atas I. Didefinisikan operasi biner penjumlahan dan triner perkalian pada S/I sebagai berikut:

untuk setiap s,t,u  S,

52

Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2014, Vol. 19 Nomor 2 s I  t I  (s  t ) I ( s I )(t I )(u I )  ( stu ) I

Dengan operasi biner penjumlahan dan triner, ( s I , , ) merupakan suatu semiring ternary dan disebut semiring ternary faktor Bourne. 3. Hasil dan Pembahasan

Berdasarkan permasalahan pada bagian pendahuluan, berikut ini diberikan definisi dari semiring pseudo-ternary. Definisi 12. Diberikan himpunan S   yang dilengkapi dengan operasi biner  : S  S  S dan operasi triner  : S  S  S  S . Himpunan S disebut semiring pseudo-ternary jika

S, 

merupakan semigrup abelian,

 S , 

merupakan semigrup pseudo-ternary yaitu

untuk setiap a , b, c, d , e  S berlaku abc  S dan (abc)de = ab(cde), dan Berlaku sifat distributif kanan, kiri dan tengah, yaitu untuk setiap a,b,c,d  S, yaitu

(i) (a + b)cd = acd + bcd (ii) a(b + c)d = abd + acd (iii) ab(c + d) = abc + abd Contoh 1. Himpunan matriks persegi panjang ( M nn (  ), , ) dengan definisi operasi biner

A  B  A  B dan operasi triner A  B  C  ABT C merupakan semiring pseudo-ternary. Contoh 2. Setiap semiring ternary merupakan semiring pseudo-ternary.

Selanjutnya, akan didefinisikan elemen nol pada semiring pseudo-ternary. Definisi 13. Suatu elemen disebut elemen nol dari semiring pseudo-ternary S dinotasikan dengan “0” jika untuk setiap x, y  S berlaku 0 + x = x dan 0xy = x0y = xy0 = 0.

Semiring pseudo-ternary S yang mempunyai elemen nol disebut semiring pseudo-ternary dengan elemen nol. Selanjutnya, pada pembahasan di bawah ini S merupakan notasi untuk semiring pseudo-ternary dengan elemen nol dan S *  S \ 0 . Definisi 14. Suatu elemen e  S disebut elemen satuan dari semiring pseudo-ternary S, jika untuk setiap x  S berlaku eex = exe = xee = x.

Jika S semiring pseudo-ternary maka untuk setiap x, y  S berlaku xye = (exe)ye = ex(eye) = exy dan xye = (xee)ye = xe(eye) = xey. Perhatikan bahwa untuk setiap x, y  S berlaku exy = xey = xye. Jadi, proposisi pada semiring ternary masih berlaku pada semiring pseudo-ternary. Selanjutnya, didefinisikan sifat komutatif pada semiring pseudo-ternary. Definisi 15. Semiring pseudo-ternary S disebut semiring pseudo-ternary komutatif jika untuk setiap s1 , s2 , s3  S maka s1 s2 s3  s2 s1 s3  s2 s3 s1 . Contoh 3. Diberikan himpunan    a 0 0  A   a, b   0     0 0 b  

Semiring pseudo-ternary ( A, , ) semiring pseudo-ternary komutatif.

merupakan

Proposisi 4. Setiap semiring pseudo-ternary komutatif merupakan semiring ternary. Bukti: Perhatikan Definisi 12, untuk setiap a, b, c, d, f  S berlaku (abc)df = ab(cdf). Akan dibuktikan (abc)df = a(bcd)f = ab(cdf). Perhatikan bahwa S semiring pseudo-ternary komutatif sehingga berlaku a(bcd)f = (abc)df = (bcd)af = bc(daf) = (bca)df = (abc)df. Jadi, S merupakan semiring ternary. ■ Contoh 4. Semiring pseudo-ternary ( A, , ) pada Contoh 3, merupakan semiring ternary komutatif.

Perhatikan bahwa struktur matriks menyebabkan munculnya elemen-elemen pembagi nol. Hal itu juga berlaku pada semiring pseudo-ternary. Definisi 16. Diberikan suatu semiring pseudo-ternary S. Misalkan s1  0 elemen S , s1 disebut elemen pembagi nol kiri (tengah, kanan) dari S jika terdapat s2 , s3  S1 dengan s2  0 dan s3  0 sehingga s1 s2 s3  0( s2 s1 s3  0, s2 s3 s1  0) . Elemen pembagi nol kiri yang sekaligus elemen pembagi nol tengah dan kanan disebut elemen pembagi nol.

 

Contoh 5. Diberikan S  M 23  0

dan dibentuk

semiring pseudo-ternary ( S , , ) . Misalkan A, B, C,  S tak nol, dengan a A  0 0 C   0

0 0 0 0

0 0 , B   b  0 e 0 

c d

0 , d an 0 

Elemen A merupakan salah satu elemen pembagi nol di S.

53

Maxrizal dan Suparwanto, Semiring Pseudo-Ternary Definisi 17. Semiring pseudo-ternary komutatif S yang tidak mempunyai pembagi nol maka S disebut semi-daerah integral pseudo-ternary . Akibat 1. Setiap semi-daerah integral pseudoternary merupakan semi-daerah integral ternary. Bukti: Berdasarkan Proposisi 4 dan Definisi 6.



■



Contoh 6. Dibentuk h  (a ) a   0 . Semiring

pseudo-ternary ( H , , ) merupakan suatu semidaerah integral pseudo-ternary sekaligus semi-daerah integral ternary. Selanjutnya akan diselidiki sifat dari suatu subhimpunan pada semiring pseudo-ternary. Berikut ini diberikan definisi dari subsemiring pseudoternary. Definisi 18. Diberikan semiring pseudo-ternary  S , ,  . Himpunan T  S disebut subsemiring

pseudo-ternary jika T , ,  juga merupakan semiring pseudo-ternary. Proposisi 5. Diberikan suatu semiring pseudoternary  S , ,  dan subhimpunan T  S . Himpunan

T subsemiring pseudo-ternary jika dan hanya jika untuk setiap t1 , t2 , t3  T , berlaku t1  t2  T dan t1t2 t3  T .

simetris. Diambil s, s   S dengan s  I s  , maka untuk suatu a1, a2 T , s  a1  s  a2 s  a2  s  a1 sI s . Dengan demikian, 1 bersifat simetris. Selanjutnya, akan dibuktikan 1 bersifat transitif. Diambil s, s , s   S dengan s  I s  dan s  I s , maka untuk suatu a1 , a2 , a3 , a4  T , berlaku s  a1  s   a2 dan s   a3  s   a4 sehingga s  (a1  a3 )  s   (a2  a3 ) dan s   (a2  a3 )  s   (a2  a4 ) . Akibatnya s  (a1  a3 )  s   (a2  a4 ) . Jadi, 1 bersifat transitif. Dengan demikian, 1 merupakan relasi ekuivalen. ■ Perhatikan bahwa relasi ekuivalen pada semiring pseudo-ternary S menyebabkan S terpartisi menjadi kelas-kelas ekuivalen yang saling asing. Selanjutnya, kelas ekuivalen dari suatu elemen s dari s  I s  dinotasikan dengan s T dan semua himpunan kelas ekuivalen dari S dinotasikan dengan S T . Definisi 20. Diberikan kelas-kelas ekuivalen s T dan s  T pada semiring pseudo-ternary S. Kelas s T dan s  T dikatakan sama, dinotasikan dengan s T  s  T jika dan hanya jika s  I s  .

Seperti halnya pada semiring, pada semiring pseudo-ternary juga dapat didefinisikan relasi kongruensi. Berikut definisi relasi kongruensi pada semiring pseudo-ternary S.

Contoh 7. Diberikan subhimpunan T  M m m (2 0 ) . Struktur (T , , ) merupakan subsemiring pseudoternary dari semiring pseudo-ternary ( M m m (2 0 ), ) .

Definisi 21. Suatu relasi ekuivalen  pada semiring pseudo-ternary S disebut relasi kongruensi jika memenuhi kondisi: untuk setiap a, a , b, b, c.c  S berlaku

Selanjutnya, akan diselidiki proses pembentukan semiring pseudo-ternary factor. Secara umum, untuk sebarang semiring pseudo-ternary S diberikan relasi dengan definisi berikut.

a  a  dan b  b  (a  b)  (a   b) a  a  , b  b dan c  c   (abc )  (a bc ) . Selanjutnya, akan diselidiki kongruensi pada relasi Bourne 1 pada semiring pseudo-ternary S.

Definisi 19. Diberikan T subsemiring pseudo-ternary pada semiring pseudo-ternary S. Untuk setiap s , s   S , s dikatakan berelasi (Bourne)  I dengan s  dinotasikan s  I s  jika hanya jika s  a1  s   a2 untuk suatu a1 , a2  T .

Berdasarkan Proposisi 6, relasi  I merupakan relasi ekuivalen pada S.

Proposisi 6. Relasi Bourne  I pada semiring pseudo-ternary S merupakan relasi ekuivalen pada c. Bukti:

Pertama, akan dibuktikan  I bersifat refleksif. Diambil s  S, maka s  a1  s  a1 untuk setiap a1  T , sehingga s  I s . Dengan demikian,  I bersifat refleksif. Kedua, akan dibuktikan  I bersifat

1. 2.

Pertama, akan ditunjukkan jika untuk setiap  s, s , t , t   S , s  I s  , dan t  I t  maka berlaku (a  t )  I ( s   t ) . Misalkan s  I s  dan t  I t  . Berdasarkan Definisi 19 berlaku, s  I s   s  a1  s   a2 t  I t   t  b1  t   b2

untuk suatu a1 , a2 , b1 , b2  T . Jika kedua persamaan dijumlahkan, maka diperoleh ( s  t )  (a1  b1 )  ( s   t )  (a2  b2 )

54

Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2014, Vol. 19 Nomor 2

untuk suatu a1 , a2 , b1 , b2  T atau ( s  t )  c1  ( s   t )  c2 untuk suatu c1 , c2  T . Berdasarkan Definisi 19, berlaku ( s  t )  I ( s   t ) . Kedua, akan ditunjukkan jika s  I s  , t  I t  , dan u  I u ' maka berlaku ( stu )  I ( st u ) , untuk setiap s, s ', t , t ', u, u '  S . Diambil s  I s  , t  I t  dan

uI u ' . Berdasarkan Definisi 19, s  I s '  s  a1  s ' a2 , t  I t '  t  b1  t ' b2 , dan u  I u '  u  c1  u ' c2 untuk suatu a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2  T . Jika ketiga persamaan dikalikan maka diperoleh ( s  a1 )(t  b1 )(u  c1 ) = ( s  a2 )(t   b2 )(u   c2 ) . Dari ruas kiri diperoleh stu  (stc1  sb1u  sb1c1  ta1u  ta1c1  a1b1u  a1b1c1 ) . Karena a1 , b1 , c1  T , maka a1b1c1  T tetapi stc1 , sb1u , sb1c1 , ta1u , ta1c1 dan a1b1u belum tentu di dalam T karena T hanya suatu subsemiring pseudoternary di S. Hal yang sama terjadi di ruas kanan. Perhatikan bahwa, jika di ruas kiri disyaratkan stc1 , sb1u , sb1c1 , ta1u , ta1c1 , dan a1b1u di dalam T maka diperoleh stu  d1 , dengan d1  stc1  sb1u  sb1c1  ta1u  ta1c1  a1b1u  a1b1c1 di dalam T. Hal yang sama terjadi di ruas kanan sehingga diperoleh s ' t ' u ' d 2 . Syarat tambahan inilah yang memotivasi munculnya definisi ideal pada semiring pseudo-ternary S. Definisi 22. Diberikan suatu semiring pseudo-ternary S dan subhimpunan I  S dengan syarat untuk setiap i1 , i2  I maka berlaku i1  i2  I . Jika untuk setiap s1 , s2  S dan iI berlaku s1 s2 i  I (is1 s2 , s1is2  I ) maka I merupakan suatu ideal kiri (kanan, tengah) dari S. Jika I merupakan ideal kiri, kanan dan tengah dari S maka I disebut suatu ideal dari S.

Perhatikan bahwa T subsemiring pseudoternary harus merupakan ideal di semiring pseudoternary S agar persamaan di ruas kiri dan kanan menjadi stu  d1  s t u   d 2 , untuk suatu d1 , d 2  T . Berdasarkan Definisi 19, berlaku ( stu )  I ( s t u ) . Jadi, relasi  I pada semiring pseudo-ternary S merupakan relasi kongruensi. Selanjutnya, akan diselidiki eksistensi dari semiring pseudo-ternary faktor dari semiring pseudoternary S. Diberikan ideal I dari semiring pseudoternary S dan  I relasi kongruensi pada S. Didefinisikan operasi biner penjumlahan dan triner perkalian pada S I dengan S I  t I  ( s  t ) I dan

( S I )(t I )(U I )  ( s  t ) I , untuk setiap s, t , u  S . Akan dibuktikan bahwa S I yang dilengkapi operasi

biner (+) dan triner   merupakan semiring ternary. Pertama, akan dibuktikan S I yang dilengkapi operasi biner (+) merupakan semigrup komutatif. Akan ditunjukkan operasi (+) pada S I welldefined. Diambil s I , t I , s  I , t  I  S I dengan s, s , t , t   S . Akan ditunjukkan jika S I  s  I dan t I  t I maka s  t I  s   t  I . Berdasarkan Definisi 20, jika s I  s  I dan t I  t  I maka berlaku s  I s  dan t  I t  . Karena  I relasi kongruensi pada S dan berdasarkan Definisi 21, jika s  I s  dan t  I t  maka berlaku ( s  t )  I ( s   t ) . Berdasarkan Definisi 20, berlaku s  t I  s   t  I . Jadi, operasi (+) pada S I well-defined. Akan ditunjukkan operasi (+) pada S I bersifat asosiatif. Diambil s I , t I , u I  S I dengan s, t , u  S . Dibentuk persamaan ( s I  t I )  u I  ( s  t I )  u I   ( s  t )  u I    s  (t  u ) I 

 s I  (t  u I )  s I  (t I  u I )

Jadi, operasi (+) pada S I bersifat asosiatif. Akan ditunjukkan operasi (+) pada S I bersifat komutatif. Diambil s I , t I  S I dengan s, t  S . Dibentuk s I  t I  (s  t ) I  t  s I  t I  s I . Jadi, operasi (+) pada S I bersifat komutatif.

Kedua, akan dibuktikan operasi triner

 

S I

dilengkapi

merupakan semigrup pseudo-

ternary. Akan ditunjukkan operasi   pada S I welldefined. Diambil s I , t I , u I , s ' I , t ' I , u' I S I dengan s, s , t , t , u , u   S . Akan ditunjukkan jika s I  s  I , t I  t  I dan u I  u  I maka stu I  s t u  I . Berdasarkan Definisi 20, jika s I  s  I , t I  t  I dan u I  u  I maka berlaku s  I s , t  I t  dan u  I u  . Karena  I relasi kongruensi pada S dan berdasarkan Definisi 21, jika s  I s , t  I t  dan u I u maka berlaku ( stu )  I ( s t u ) . Berdasarkan Definisi 20, berlaku stu I  s t u  I . Jadi, operasi () pada S I well-defined.

55

Maxrizal dan Suparwanto, Semiring Pseudo-Ternary Akan ditunjukkan operasi

 

pada S I

bersifat asosiatif. Misalkan s I , t I , u I , v I , w I  S I dengan s, t , u, v, w  S . Maka

(s

I ) (t I ) (u I )  (v I ) ( w I )   ( stu I )  (v I ) ( w I )  ( stu )vw I

triner   memenuhi sifat distributif kiri, tengah dan kanan. Dengan demikian,

 ( s I ) (t I )  (uvw) I 

Jadi,   pada S I bersifat asosiatif.

operasi biner (+) dan triner   merupakan semiring

yang

dilengkapi operasi biner (+) dan triner   memenuhi

Bukti: Berdasarkan Proposisi 4.

sifat distributif kiri, tengah dan kanan. Diambil s I , t I , u I , v I  S I dengan s, t , u , v, w  S . Maka

4. Kesimpulan

I )  (t I )  (u I ) (v I )   ( s  t ) I  (u I ) (v I )  (( s  t )uv ) I  (( suv)  (tuv) I  suv I  tuv I  ( s I )(u I )(v I )  (t I )(u I )(v I )

( s I )  (t I )  (u I )  (v I )  ( s I )  (t  u ) I  (v I )  (( s  t )v) I  (( stv)  ( suv) I  stv I  suv I  ( s I )(t I )(v I )  ( s I )(u I )(v I ) ( s I )(t I )  (u I )  (v I )   ( s I )(t I )  (u  v) I 

  st (u  v )  I   ( stu )  ( stv)  I  stu I  stv I  ( s I )(t I )(u I )  ( s I )(t I )(v I )

yang dilengkapi

Akibat 2. Jika S I merupakan semiring pseudoternary faktor komutatif maka S I semiring ternary faktor.

 ( s I ) (t I )  (u I ) (v I ) ( w I ) 

(s

S I

pseudo-ternary dan disebut semiring pseudo-ternary faktor Bourne.

 st (uvw) I

Ketiga, akan dibuktikan bahwa S I

Jadi, S I yang dilengkapi operasi biner (+) dan

■

Dari pembahasan di atas dapat diberikan dua kesimpulan, beberapa sifat pada semiring ternary masih berlaku pada semiring pseudo-ternary seperti sifat subsemiring pseudo-ternary, ideal dan pembentukan semiring pseudo-ternary faktor; setiap semiring pseudo-ternary komutatif merupakan semiring ternary. Daftar Pustaka

Dutta, T. K. and S. Kar, 2004, On Ternary Semifield, Discussiones Mathematicae General Algebra and Applications, 24, 185-198. Kar, S., 2011, Ideal Theory in Ternary Semiring  0 , Bulletin of Malaysian Mathematics Sciences Society, 34, 69-77. Kar, S. and B. K. Maity, 2007, Congruence On Ternary Semigroups, Journal of The Chungcheong Mathematical Society, 20, 3.