SELINT AS TENT ANG RUANG MODULAR DAN PERANANNY A DALAM PENGEMBANGAN ILMU PENGETAHUAN

SELINT AS TENT ANG RUANG MODULAR DAN PERANANNY A DALAM PENGEMBANGAN ILMU PENGETAHUAN

UNIVERSITAS GADJAH MADA

Pidato Pengukuhan Jabatan Guru Besar pada Fakultas Matematika dan IImu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada

Oleh: Prof. Dr. Supama, M.Si.

SELINT AS TENT ANG RUANG MODULAR DAN PERANANNYA DALAM PENGEMBANGAN ILMU PENGETAHUAN

UNIVERSITAS GADJAH MADA

Pidato Pengukuhan Jabatan Guru Besar. pada Fakultas Matematika dan IImu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada Diucapkan di Depan Rapat Terbuka Majelis Guru Besar Universitas Gadjah Mada pada Tanggal27 Agustus 2014 di Yogyakarta

Oleh: Prof. Dr. Supama, M.Si.

Bism illahirrohmanirrah im. Assalamu 'alaikum warahmatul/ahi wabarakatuh. Selamat pagi, salam sejahtera bagi kita semua. Yang saya hormati: Pimpinan dan segenap anggota Majelis Wali Amanat Universitas Gadjah Mada, Pimpinan dan segenap anggota Majelis Guru Besar Universitas Gadjah Mada, Pimpinan dan segenap anggota Senat Akademik Universitas Gadjah Mada, Rektor dan para Wakil Rektor Universitas Gadjah Mada, Dekan dan Wakil Dekan di lingkungan Universitas Gadjah Mada, Segenap civitas akademika, khususnya para dosen FMIP A Universitas Gadjah Mada,

Tamu undangan, handai taulan, kerabat, saudara, dan keluarga saya. Pertama-tama, marilah kita panjatkan puji dan syukur ke hadirat Allah Swt. yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya kepada kita semua sehingga pada pagi ini kita dapat berkumpul di tempat yang mulia ini, untuk menghadiri Rapat Terbuka Majelis Guru Besar dalam keadaan sehat. Selanjutnya, saya mengucapkan terima kasih kepada Pimpinan Majelis Guru Besar Universitas Gadjah Mada atas kesempatan yang diberikan kepada saya untuk menyampaikan pidato ilmiah sebagai bentuk kewajiban dan tanggung jawab akademik saya sebagai guru besar dalam bidang analisis matematika pada Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada, terhitung sejak 1 September 2013, sebagaimana dinyatakan dalam Surat Keputusan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan RI Nomor 122105/A4.3/KP/2013 Tanggal 02-092013. Hadirin yang saya muliakan, Ada dilema yang saya hadapi ketika saya harus memilih topik dan mempersiapkan naskah pidato ini. Di satu sisi, saya menyadari

2 bahwa saya akan menghadapi para tamu undangan yang sangat beragam latar belakang akademiknya. Namun, di lain pihak, saya pun menyadari bahwa saya harus menyampaikan suatu paparan akademik yang secara substansif tidak boleh mengabaikan kualitas. Setelah melalui perenungan yang sangat panjang, akhimya saya memilih topik atau judul untuk pidato saya: SELINT AS TENT ANG RUANG MODULAR DAN PERANANNYADALAMPENGEMBANGAN ILMU PEN GET AHUAN Hadirin yang saya muliakan, Tentu kita semua mengetahui dan sering mendengar bahwa di kalangan masyarakat kita, terutama para peserta didik, matematika dianggap sebagai suatu pengetahuan/pelajaran yang sangat sulit. Allggapan demikian tidaklah sepenuhnya keliru. Adapun perasaan sulit antara lain disebabkan karena mereka kurang/tidak mengenal apa matematika itu. Sebagaimana diyakini oleh beberapa ahli di bidang pedagogi, dengan memahami sejarah matematika, yang berarti memahami apa matematika itu, maka seseorang akan lebih rilUdahdan cepat menerima dan memahami suatu konsep di dalam matematika (Carter', Donette Baker, 2006; Haverhals Nick and Matt Roscoe, 2010). Mengingat kenyataan itu, saya akan mengawali pidato saya dengan pertanyaan: Apa dan mengapa matematika? Hadirin yang saya muliakan, Seperti dijelaskan di dalam Ziegler (2011), kata matematika (mathematics) berasal daribahasa Yunani Kuno, mathema (~.ui8TJJlu), mathematik6s (JlU8TJJlU'ttK6<;), atau mathematika (JlU8TJJlu'ttKa). Mathema (kata benda) berarti 'pengkajian', 'pembelajaran', atau 'ilmu', sedangkan mathematik6s atau mathematika (kata sifat) mempunyai makna 'yang berkaitan dengan pengkajian', atau 'tekun belajar'. Selanjutnya, matematika diartikan sebagai ilmu ataU studi tentang besaran/bilangan, struktur, dan perubahan besaran.

3 Sebetulnya, definisi atau pengertian matematika dari waktu ke waktu senantiasa mengalami perubahan dan perkembangan, sesuai dengan kondisi pada waktu itu. Pada awalnya, oleh Aristoteles (384322 BC), matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang bilangan atau besaran (the science of quantity) (Franklin, J., 2009). Pengertian ini bertahan sampai abad ke-18. Mulai awal abad ke-19, ketika studi tentang matematika mulai membahas topik-topik yang bersifat abstrak, seperti teori grup dan geometri proyektif, yang tidak secara eksplisit memiliki hubungan dengan bilangan dan pengukuran, maka para matematikawan dan filsuf mulai memberikan beberapa definisi atau pengertian barn tentang matematika (Florian, 1893). Beberapa definisi atau pengertian menekankan pada sifat deduktif, beberapa menekankan pada sifat keabstrakan, dan beberapa yang lain menekankan pada sifat-sifat lain dalam matematika. Terlepas dari berbagai macam definisi yang diberikan orang untuk matematika, sesungguhnya sampai saat ini tidak pernah ada konsensus atau kesepakatan mengenai pendefinisian matematika, bahkan di kalangan profesional sekalipun. Lebih dari itu, para ahli sesungguhnya juga tidak pernah mempersoalkan apakah matematika itu termasuk seni, ilmu pengetahuan, atau bukan kedua-duanya (Mura, 1993). Di dalam Renate and Neunzert (2012) secara tegas dikatakan bahwa beberapa matematikawan besar, bahkan sarna sekali tidak tertarik untuk membicarakan apa dan bagaimana pengertian atau definisi matematika itu. Mereka berpikiran sangat sederhana dan cukup dengan mengatakan, "Matematika ada/ah apa yang dilakukan o/eh para matematikawan." Hadirin yang saya muliakan, Matematika muncul karena berbagai masalah yang dihadapi oleh manusia. Apa yang dilakukan oleh para matematikawan adalah mencari berbagai pola, merumuskan konjektur barn, dan membangun kebenaran dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian secara deduktif. Sebagaimana disampaikan oleh Benjamin Peirce (1809-1880), seorang matematikawan berkebangsaan Amerika dan pengajar di Harvard University, "mathematics is the science that

4 draws necessary conclusions." Kesimpulan-kesimpulan di dalam matematika, yang selanjutnya disebut hukum atau dalil, dibuat dengan mernjuk pada kenyataan. Perlu diketahui, beberapa asumsi sering diambil dalam mengonstruksi suatu daliUhukum. Oleh karena itu, sesungguhnya hukum-hukum di dalam matematika ."tidaklah pasti". Terkait hal itu, Albert Einstein (1879-1955) menyatakan bahwa "As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality" (Sumber: Wikipedia, thefree encyclopedia). Hadirin yang saya hormati, Sebagaimana telah saya sampaikan sebelumnya, matematika muncul sebagai akibat dari berbagai masalah yang dihadapi manusia, terntama masalah-masalah yang melibatkan kuantitas, struktur, rnang, atau pernbahan. Pada mulanya, masalah-masalah tersebut dijumpai di

. dalam

kegiatan perdagangan, proses pengukuran tanah, dan astronomi.

Namun, belakangan, semua ilmu pengetahuan, termasuk matematika itu sendiri, senantiasa memunculkan masalah-masalah yang mampu menginspirasi seseorang untuk mengembangkan matematika lebih lanjut atau untuk membangun konsep barn di bidang matematika. Sebagai contoh, seorang fisikawan bernama Richard Feynman (1918-1988) berhasil mengembangkan teori integral lintasan untuk mekanika kuantum, sesaat setelah dia dihadapkan pada suatu masalah perhitungan di bidang fisika, khususnya mekapika kuantum (Johnson and Lapidus, 2002). Untuk kontribusinya tersebut, Feynman bersama-sama dengan Julian Schwinger dan Sin-Hiro Tomonaga mendapatkan hadiah Nobel di bidang fisika pada tahun 1965. Contoh lain, John F. Nash Jr., seorang matematikawan Amerika, pada tahun 1950-an mengembangkan suatu konsep matematika berdasarkan teori yang disusun oleh John yon Neumann dan Oskar Morgenstern pada 1944 dalam bukunya yang berjudul The Theory of Games and Economic Behavior (von Neumann and Morgenstern, 1953). Teori yang dikembangkan Nash tersebut selanjutnya dikenal dengan nama Nash equilibrium dan terapannya lebih luas dibanding teori yang disampaikan oleh yon Neumann dan

5 Morgenstern (von Ahn, L. 2008). Atas kontribusinya yang luar biasa di bidang ilmu ekonomi, Nash bersama-sama dengan Reinhard Selten dan John Harsanyi mendapatkan hadiah Nobel pada bidang ilmu ekonomi pada tahun 1994. Perlu diketahui bahwa beberapa peneliti dari berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan yang lain memenangkan hadiah Nobel di bidang masing-masing justru karena karyanya atau keberhasilannya dalam mengembangkan konsep atau teori barn di bidang matematika. Konsep di dalam matematika dibangun dengan tujuan untuk membantu manusia dalam menyelesaikan masalah yang telah menginspirasi pengembangan konsep tersebut. Namun, dalam kenyataannya, banyak konsep di dalam matematika yang aplikasinya tidak hanya terbatas pada masalah yang menginspirasi kemunculannya, namun juga pada beberapa masalah atau area yang lain. Sebagai contoh, bidang riset operasi (operation research) yang semula dikembangkan untuk kepentingan militer, ternyata kemudian dapat diaplikasikan pada berbagai bidang, mulai dari bidang keteknikan sampai bidang ekonomi dan sosial. Sebagaimana kita ketahui, riset operasi pada mulanya dikembangkan dalam rangka perencanaan operasi militer tentara sekutu selama Perang Dunia II (Morse and. Kimball, 1954). Hadirin yang saya hormati, Cerita tadi hanyalah sepenggal kisah yang menggambarkan sejarah munculnya beberapa konsep dalam matematika. Apabila sejarah matematika kita telusuri secara detail dan lebih lengkap, maka kita akan sampai pada suatu kesimpulan bahwa: 1. Konsep di dalam matematika adalah bentuk abstraksi berbagai peristiwa nyata yang dihadapi manusia. . 2. Dalil/hukum dalam matematika diformulasikan dalam rangka mencari alat untuk menyelesaikan permasalahan nyata. 3. Konsep-konsep dalam matematika dapat diterapkan tidak hanya pada masalah yang melatarbelakangi kemunculannya, namun sering kali dapat diterapkan pula pada bidang lain.

6 4. Matematika bukan hanya sekadar alat untuk membantu manusia menyelesaikan berbagai masalah yang dihadapi, namun lebih dari itu, matematika adalah bahasa bagi bidang/ilmu lain. 5. Dengan menggunakan bantuan matematika, berbagai masalah dapat diselesaikan secara sistematis. Dengan demikian jelaslah bagi kita semua, bahwa matematika adalah masalah yang. dihadapi manusia sekaligus alat untuk menyelesaikannya. ltulah alasan utama mengapa kita perlu belajar .

matematika. Hadirin yang saya muliakan, Setelah saya sampaikan secara ringkas apa dan mengapa matematika, selanjutnya saya akan menyampaikan beberapa uraian terakit dengan judul pidato saya. Sebagaimana dijelaskan dalam Tao (2008), ketika kita bicara bilangan, baik itu bilangan real maupun bilangan kompleks, maka tidak akan terjadi ambigu terhadap besaran nilai mutlak lxi, untuk sebarang bilangan x E R atau C. Apabila diberikan sepasang bilangan (real atau kompleks) x dan y, maka sangatlah jelas mana y~ng lebih besar dan mana yang lebih kecil di antara Ixldan Iyl' demikian pula jarak antara x dan y atau Ix- yl. Akankah demikian halnya apabila kita berbicara tentang objek-objek dengan dimensi yang lebih tinggi? Misalkan saja kita berbicara tentang balok, apa yang akan kita jadikan ukuran? Apakah panjangnya, lebamya, tingginya, volumenya, ataukah ukuran yang lain? Membandingkan sepasang balok tentunya tidak sesederhana membandingkan besaran yang terkait dengan dua bilangan real/kompleks. Beberapa ukuran sebagaimana disebutkan di atas tentu tidak akan dapat memberikan kesetaraan perbandingan. Volume balok A mungkin lebih besar dibanding volume balok B. Akan tetapi, balok A temyata lebih pendek dibanding balok B. Jadi, mana yang lebih "baik", apakah balok A atau balok B? Satu pertanyaan yang tidak mudah untuk dijawab. Adalah tidak mungkin kita menghilangkan atau mengabaikan berbagai ukuran

7 yang ada tersebut dan menggantikannya dengan satu ukuran saja. Masing-masing ukuran tentu mempunyai kegunaan dan peranan tersendiri. Seperti halnya balok, fungsi juga mempunyai dimensi lebih kompleks dibanding bilangan. Suatu fungsi bisa dikaitkan dengan berbagai macam ukuran yang masing-masing akan memberikan jawaban yang berbeda pada suatu pertanyaan, seperti: "Berapa besarkah fungsi.f?" atau "Seberapa dekatkah fungsi f terhadap fungsi g?", dan seterusnya. Suatu fungsi dapat mempunyai besar tak hingga terhadap suatu ukuran, namun dapat mempunyai besar tertentu yang berhingga terhadap ukuran yang lain. Kelihatannya sangat tidak beraturan, namun sesungguhnya suatu fungsi dapat menggambarkan berbagai karakter suatu objek yang sedang kita amati. Sebagai contoh, suatu fungsi tertentu yang didefinisikan pada "keadaan fisik tubuh seseorang" dapat digunakan untuk menerangkan suhu atau temperatur setiap bagian tubuh orang tersebut, suatu fungsi tertentu yang lain dapat menerangkan kondisi jantung seseorang. Atau fungsi tertentu yang didefinisikan pada suatu kondisi di muka bumi dapat memberikan gambaran kepada kita keadaan geografis suatu wilayah, dan sebagainya. Hadirin yang saya muliakan, Seperti telah saya sampaikan di awal, matematika adalah ilmu atau studi tentang besaran/bilangan, struktur, dan perubahan besaran (Ziegler, 2011). Pada kesempatan ini, saya akan membahas salah satu topik di antaranya, yaitUstruktur. Sebagaimana sebagian yang hadir di sini mengetahuinya, di dalam matematika dikenal beberapa macam struktur, salah satu di antaranya adalah ruang linear atau ruang vektor. 8ejak abad ke XVII sampai sekarang, ruang vektor merupakan salah satu topik yang mendapatkan atensi secara khusus para peneliti dari berbagai bidang, baik di luar maupun di dalam matematika itu sendiri. Mengapa demikian? Karena ruang vektor mempunyai peranan dan aplikasi yang cukup penting di berbagai bidang, mulai dari fisika, ilmu keteknikan, ekonomi, sampai ilmu-ilmu sosial (Dorier, 1995).

8 Di dalam Harrell II and Herod (2000), diceritakan bahwa Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665) merupakan orang-orang yang pertama kali membicarakan ruang vektor ;g2 dan ;g3, namun yang penekanannya masih sebatas pada titik dan grafik, belum pada konsep vektomya. Ide awal yang mendasari munculnyadefinisi formal ruang vektor baru muncul pada abad ke XVII dan bersumber dari masalah-masalah yang ada di dalam geometri analitik, matriks, sistem persamaan linear, dan vektor pada bidang/ruang pada masa itu (Stillwell 2004 dan Cooke, 1997). Seiring dengan berjalannya waktu, ruang vektor kemudian berkembang secara aksiomatis ke arah yang lebih umum dan abstrak, tidak hanya terbatas pada bidang/ruang semata. Menurut Giuseppe Peano (1858-1932) hampir semua objek dapat dipandang sebagai bentuk perumuman/perluasan atau generalisasi ide-ide yang ada di dalam geometri klasik, seperti garis dan bidang (Moore, 1995 dan Peano 1888). Atas dasar pandangan itulah, Peano (pada tahun 1888) kemudian memberikan definisi aksiomatis (abstrak) ruang vektor. Hadirin yang saya muliakan, Meskipun pada tahun 1888 Peano telah memberikan suatu terobosan yang luar biasa dengan memberikan definisi abstrak ruang vektor, namun pada kenyataannya teori mengenai ruang vektor nyaris tidak mengalami perkembangan selama periode waktu yang cukup lama, yaitu sampai tahun 1920-an. Baru pada tahun 1930-an, teori ruang vektor mengalami perkembangan yang sangat pesat hingga menjadi suatu teori yang mempunyai peran sangat penting dalam pengembangan berbagai cabang, baik dalam matematika maupun ilmu-ilmu lain. Begitu penting dan krusialnya peran ruang vektor bagi bidang lain sehingga para ahli mempunyai pandangan bahwa teori ruang vektor adalah "bahasa" bagi banyak bidang ilmu (Dorier, 1995). Salah satu hasil pengembangan ruang vektor yang cukup penting adalah pengonstruksian ruang fungsi

9

oleh Henri Lebesgue meskipun menurut Bourbaki, (1987) ruang tersebut pertama kali diperkenalkan oleh Frigyes Riesz pada 1910. Ruang LP, yang selanjutnya dikenal dengan nama ruang Lebesgue, merupakan salah satu kelas ruang Banach atau ruang vektor topologi yang sangat penting, terutama karena aplikasinya di bidang-bidang fisika, statistika, finance, teknik, dan bidang-bidang lain termasuk ekonomi dan ilmu sosial. Dengan mendasarkan pada beberapa sifat dasar 1.1 ' yaitu (i) Ixl= 0 <::} x = 0, (ii)

1.1

naik pada l!r = [0,(0) ,

(iii)

1.1

kontinu pada R, dan

(iv) limlxl = 0, limlxl x--+o x--+oo = 00,

W. Orlicz pada awal tahun 1930-an mendefinisikan suatu fungsi rp:R ~R dengan (i)

rp(x) = 0 <::} x = 0 ,

(ii) rp naik pada R+ = [0,(0), (iii) rp kontinu pada R , dan

(iv) limrp(x) = 0, x-+ao limrp(x) = 00. x--+o Fungsi rp:R ~ R dengan sifat demikian disebut fungsi Orlicz. Selanjutnya, pada awal tahun 1931, Z. Birnbaum dan W. Orlicz, dengan menggunakan fungsi Orlicz rp:R ~ R , mendefinisikan ruang

10

L" ~{/:R

->

R:

! 9'
untuk suntu l > O}

sebagai perumuman ruang Lebesgue LP. Arah pengembangan lebih lanjut ruang L'I' secara garis besar diklasifikasikan dalam dua topik utama, yaitu teori ruang Banach dan teori ruang modular. Teori Ruang Banach dikembangkan pertama kali pada tahun 1955 oleh W.A.J. Luxemburg. Ide utama yang mendasari teori ini adalah ruang fungsi L yang terdiri atas semua fungsi

terukurI :X

~

R sehingga I1III < 00 , dengan 11.11 suatunormafungsi,

yaitu norma yang memenuhi

III1I

~ Ilgll

untuk semua

I, gEL

dengan

sifatl/(x)1 ~ Ig(x)1hampir di mana-mana padaX. Arah pengembangan yang kedua, yaitu teori ruang modular, terinspirasi oleh cerita kesuksesan pengembangan ruang Orlicz. Teori ruang modular pertama kali diperkenalkan oleh Hidegoro Nakano, seorang matematikawan berkebangsaan Jepang, pada tahun 1950. Kemudian, hasil-hasil yang telah dikerjakan oleh Nakano diperumum dan dikembangkan lebih lanjut oleh W.AJ. Luxemburg dan W. Orlicz pada tahun 1959. Sejak saat itulah, kemudian penelitian di bidang teori ruang modular begitu semarak dan banyak dilakukan para peneliti, antara lain: W.M. Kozlowski, J. Musielak, M.A. Khamsi, H. Hudzik, dan lain-lain. Di Indonesia, khususnya di Universitas Gadjah Mada, penelitian tentang ruang modular dilakukan oleh Supama dan Soepama Darmawijaya bersama-sama dengan beberapa mahasiswanya mulai tahun 1994 dan telah dihasilkan beberapa paper yang terpublikasi di beberapa jumal nasional/intemasional. Hadirin yang saya muliakan, Sejenak izinkan saya untuk bercerita tentang ruang modular dan beberapa hal yang terkait dengannya. Pertama, mari kita perhatikan kembali ruang Lebesgue LP sebagaimana telah saya sebutkan terdahulu. Apabila didefinisikan

11 fungsi p: LP ~ R dengan rumus

p(f)

=IlflP n

maka: (i)

p(f)=O~

f=O,

(ii) (iii)

p(- f) = p(f) untuk setiap f E LP, dan p(Af+(I-A)g)~p(f)+p(g) untuk setiap f,gELP dan untuk setiap A E [0,1].

Ide inilah yang dipakai oleh Nakano untuk mendetinisikan suatu fungsi yang kemudian dikenal dengan nama modular. Untuk lebih jelasnya, apabila X menyatakan ruang vektor atau ruang linear real,

makafungsi p: X

~

[0,00]disebutmodularjika memenuhi

(i) p(f)=O~ f=O, (ii) p( - f) = p(f) untuk setiap f EX, dan (iii) p(Af + (1- A)g) ~ p(f) + p(g) untuk setiap f,g EX dan untuk setiap A E [0,1]. Adapun yang dimaksud ruang modular adalah suatu ruang linear yang dilengkapi dengan suatu modular. Mudah ditunjukkan bahwa setiap norma yang didetinisikan pada sebarang ruang vektor merupakan suatu modular. Oleh karena itu, setiap ruang bernorma pasti merupakan ruang modular. Karena ruang modular merupakan perumuman ruang bernorma, tentunya banyak sifat-sifat dan konsep pada ruang bernorma yang dapat diperumum ke dalam ruang modular. Salah satu konsep dalam ruang bernorma yang dapat digeneralisasikan ke dalam ruang modular adalah konsep topologi.

12 Hadirin yang saya muliakan, Sebagaimana halnya suatu norma, modular pada ruang vektor merupakan fungsi genap yang bemilai tak negatif. Dengan memperhatikan kenyataan ini, maka tidaklah aneh apabila pada setiap ruang modular dapat dibangun suatu konsep topologi dengan menggunakan modular, seperti: limit modular, konvergen modular, sifat Cauchy modular, lengkap modular, terbatas modular, kontinu modular, dan lain sebagainya. Konsep topologi yang dibangun dengan menggunakan modular disebut topologi modular. Selanjutnya, dengan konsep topologi modular tersebut dapat dibangun berbagai teori baru, antara lain tentang operator superposisi, operator aditif ortogonal, dan teori titik tetap pada ruang modular. Operator superposisi, atau dikenal pula sebagai fungsi komposisi, telah sejak awal dikenal oleh para mahasiswa dan dapat dijumpai pada halaman-halaman awal buku teks mengenai kalkulus . dasar. Operator superposisi mempunyai peranan yang sangat penting dan aplikasi pada persamaan integral dan persamaan diferensial (Appel and Zabrejko, 1990). Demikian pula halnya dengan operator aditif ortogonal. Dalam Chew Tuan Seng (1985) dijelaskan bahwa operator aditif ortogonal banyak diaplikasikan dalam bidang keteknikan dan fisika, khususnya pada hal-hal menyangkut persamaan diferensial. Beberapa peneliti, seperti: Chew Tuan Seng, R. Pluciennik, L.I. Paredes, S.D. Unoningsih, Supama, serta Herawaty dkk. telah berhasil mengidentifikasi sifat-sifat suatu operator superposisi danlatau fungsional aditif ortogonal pada suatu ruang modular tertentu. Hadirin yang saya muliakan, Sebagaimana telah saya sampaikan sebelumnya, ruang modular merupakan perumuman ruang Lebesgue dan ruang barisan terjumlahp (p-summable). Apabila ruang barisan dan ruang fungsi yang terjumlah kuat secara Cesaro (Cesaro strongly summable) ke nol masing-masing dinotasikan dengan Wodan Wo, maka kedua ruang tersebut dapat pula dipandang sebagai ruang modular. Chew Tuan

13 Seng telah secara komprehensif berhasil memformulasikan beberapa karakteristik untuk fungsional aditif ortogonal pada ruang Wodan Wo (Chew Tuan Seng, 1985, Chew Tuan 8eng and Lee Peng Yee, 1985; and Chew Tuan Seng, 1987) dan operator superposisi yang memetakan ruang-ruang Wodan Wo masing-masing ke ruang £1 dan L([O,oo)(Chew Tuan Seng, 1990). Hasil-hasil yang diperoleh dalam Chew Tuan Seng (1990) kemudian dikembangkan lebih lanjut dalam Pluciennik (1990) dan Pluciennik (1991). Pada tahun 1993, Paredes,

mengonstruksi

ruang

barisan

wo(
= (~k)

barisan fungs1-~, yaitu fungsi genap, bemilai tak negatif, naik pada himpunan semua bilangan real tak negatif, kontinu pada R, serta memenuhi x--+O( lim00) ~k(X)=O(oo) untuk semua kEN. Selanjutnya, Paredes, (1993) berhasil memformulasikan dan meneliti karakteristik fungsional aditif ortogonal dan operator superposisi pada ruang Wo(<1». Seirama dengan penelitian yang dilakukan oleh Paredes, Unoningsih dkk. (1995) berhasil membangun ruang barisan Cesaro kuat dan memformulasikan suatu representasi operator superposisi terbatas pada ruang tersebut. Perlu saya sampaikan bahwa ruang barisan Cesaro kuat merupakan bentuk perumuman dari ruang Wosebagaimana telah dirumuskan oleh Chew Tuan Seng dan Pluciennik. Selanjutnya, Unoningsih (1998) berhasil mengembangkan hasil yang telah dicapai dalam Unoningsih, dkk. (1995) untuk beberapa jenis ruang barisan. Hadirin yang saya mu/iakan, Ada banyak kemiripan antara barisan dan fungsi. Sebagaimana telah diketahui oleh sebagian besar yang hadir di sini, barisan adalah fungsi dengan domain atau daerah pendefinisian khusus, yaitu sistem bilangan asli. Lebih lanjut, apabila kita perhatikan, ada hubungan sangat dekat antara ruang barisan Wodan ruang fungsi Wo. Dengan mendasarkan pada kenyataan tersebut, Supama dan Soepama Darmawijaya (2004a) membangun ruang Wo(~) sebagai perumuman

14 ruang-ruang sebagaimana telah disebutkan terdahulu, yaitu ruang wo, Wo, ruang Wo(
15 persamaan diferensial dan persamaan integral. Mula-mula teori titik tetap, baik itu teori titik tetap versi Banach, versi Brauwer, maupun versi Schauder, diformulasikan untuk fungsi-fungsi yang bekerja pada ruang metrik atau lebih khusus lagi ruang bernorma. Sebagaimana telah saya singgung di awal, modular dibangun sebagai bentuk perumuman norma. Banyak konsep di dalam ruang bernorma dapat dibawa ke ruang modular. Beberapa contoh di antaranya dapat diceritakan sebagai berikut. Khamsi dkk. (1990) berhasil mengembangkan teori titik tetap Banach pada ruang bermodular. Penemuan tersebut kemudian diikuti oleh penelitianpenelitian lain. Taleb and Hanebaly (2000), selain mengembangkan teori titik tetap pada ruang bermodular, juga berhasil memberikan gambaran tentang pengaplikasian teori titik tetap pada penyelesaian permasalahan-permasalahan yang dapat dimodelkan dalam persamaan integral. Sementara itu, Supama (2012) berhasil mengembangkan hasil dalam Khamsi dkk. (1990) untuk mendapatkan perumusan teori titik tetap bersama untuk dua operator yang bekerja pada ruang modular. Dalam Farajzadeh dkk. (2011), teori titik tetap pada ruang modular sebagaimana dibicarakan dalam Khamsi dkk. (1990) berhasil dikembangkan lebih lanjut, yaitu dengan terlebih dahulu memperumum pengertian sifat kontraksi. Kiftiah and Supama (2013), dengan mendetinisikan beberapa tipe fungsi kontraksi modular (yaitu tipe Ciric, tipe Meier-Keeler, dan tipe Jachymski), berhasil membangun teori titik tetap untuk beberapa fungsi kontraktif, baik untuk tipe Ciric, tipe Meier-Keeler, maupun tipe Jachymski pada ruang modular. Hadirin yang saya muliakan, Masih banyak hal yang bisa diceritakan terkait dengan ruang modular. Tentu tidak mungkin untuk saya sampaikan secara lengkap dan detail dalam forum ini. Teori ruang modular merupakan pengetahuan yang relatif masih sangat muda usianya (mulai dikenalkan pada tahun 1950). Lazimnya suatu cabang ilmu yang masih baru, tentu masih banyak hal yang dapat dikembangkan lebih lanjut dan banyak kemungkinan cabang-cabang baru dapat diteliti dan

16 dikembangkan. Saat ini, tepatnya mulai pertengahan tahun 2012, salah seorang mahasiswa saya, Burhanuddin Arief, 'sedang membangun suatu konsep tentang ruang modular-2, yaitu perumuman ruang modular dan ruang bernorma-2. Hadirin yang saya muliakan, Sebelum saya mengakhiri pidato saya, perkenankan saya menggarisbawahi beberapa hal. 1. Konsep di dalam matematika dibangun berdasarkan masalahmasalah yang dihadapi manusia. Karena langkah-langkah pengonstruksiannya dilakukan seumum mungkin dan dengan meminimalkan syarat atau kendala yang ada, maka konsep yang dihasilkan mempunyai aplikasi yang luas, tidak hanya pad a masalah yang melatarbelakangi kemunculannya. 2. Matematika bukan sekadar alat, namun matematika merupakan . bahasa bagi bidang lain. 3. Mengenal sejarah matematika, meskipun secara garis besar, adalah hal yang sangat penting dan perlu dilakukan untuk pemahaman matematika dan aplikasinya secara lebih baik. 4. Penemuan ruang Lebesgue memberikan dampak yang sangat besar pada perkembangan analisis fungsional. Secara garis besar, arah pengembangan ruang Lebesgue dapat diklasifikasikan dalam dua topik utama, yaitu teori ruang Banach dan teori ruang Modular. 5. Beberapa konsep terkait ruang modular, antara lain oper.ator superposisi, fungsional aditif ortogonal, dan teori titik tetap telah dapat diformulasikan oleh beberapa peneliti. Dengan demikian,

ranahaplikasinyamakinluasdan umum. Memperhatikan beberapa rangkuman di atas, khususnya yang pertama dan kedua, saya memberanikan diri dan mohon perkenan untuk memberikan saran kepada almamater saya yang sangat saya cintai. Ke mana pun masa depan UGM mau dibawa, perkuatlah ilmuilmu dasar, khususnya matematika di tiap-tiap bagian.

17 Hadirin yang saya muliakan, Untuk mengakhiri pidato saya ini, izinkan saya untuk menyampaikan rasa terima kasih saya kepada berbagai pihak yang telah ikut campur pada perjalanan karier akademik saya. Pertama, terima kasih yang tak terhingga saya haturkan kepada aIm. ayah saya, Setyawan Harsomadiyono dan aIm. ibu saya, Suminten. Engkaulah pahlawanku, yang senantiasa mengajarkan kepada anak-anaknya suatu sikap teguh pada prinsip, jujur, dan disiplin, serta keberanian menyampaikan suatu kebenaran, seberapa pun pahit akibatnya. AIm. Eyang Djojopawiro (Tunggul Nogo) yang telah menyayangi saya sebegitu besamya dan senantiasa mendoakan dan memberikan kekudangan kepada saya, "Le, putuku lanang sing paling ndak tresnani, tak donga 'ake, suk yen gedhe bisoo mlebu Gadjah Modo, kareben tembe mburine uripmu biso migunani tumrape sapadha-padha." Kepada bapak mertua saya, Madiro dan ibu mertua saya, Siti Maryam (aIm.), matur sembah nuwun atas doanya. Selanjutnya, terima kasih yang tulus saya sampaikan kepada guru-guru saya, baik di SDN Gunting I, SMPN 2 Wonosari, maupun SMAN 1 Solo, khususnya kepada Bapak Kardiman, B.A. dan Drs. Zainal Makarim, guru-guru matematika saya semasa di SMP. Beliau berdua dengan gayanya yang tidak biasa bagi seorang guru matematika telah berhasil menyemaikan benih-benih cinta saya kepada matematika. Terima kasih saya sampaikan pula kepada Rektor UGM dan jajarannya, Pimpinan Majelis Guru Besar dan jajarannya, Dekan FMIPA dan jajarannya, serta seluruh dosen dan karyawan FMIPA, khususnya di Jurusan Matematika. Hormat dan terima kasih saya untuk aIm. Prof. R. Sumantri dan aIm. Prof. Zanzawi Soejoeti yang senantiasa memberikan nasihat dan teladan sikap seorang akademisi. Kepada Prof. Sri Wahyuni dan Dr. Sri Daru Unoningsih (aIm.) selaku pembimbing skripsi serta Prof. Bambang Soedijono selaku pembimbing (co-promotor) disertasi saya, saya mengucapkan terima kasih. Terima kasih dan rasa hormat saya haturkan kepada bapak, ternan, sekaligus guru, pembimbing tesis, dan promotor disertasi saya, Prof. Soepama Darmawijaya. Beliaulah guru sejati saya yang selalu memberikan nasihat dan teladan dalam bersikap, '\

18 keberanian menjadi diri sendiri, serta keberanian menyuarakan kebenaran, sepahit apa pun risikonya. Kepada rekan-rekan satu grnp KBK (Lab.) Analisis: Prof. Soepama, Yusuf, M.A., Dr. Rini Indrati, Atok Zulijanto, Ph.D., Imam S, Ph.D., Nur K, M.Sc., Hadrian A., M.Sc., Dewi K, M.Sc., serta D.M. Hanung, M.Si, terima kasih atas ketulusan dan kebersamaannya selama ini. Kepada Profesor Lee Peng Yee dari NIB Singapore, terima kasih atas "filosofi makan bubur"nya. Sungguh hal itu tak akan pemah saya lupakan dan senantiasa saya tularkan kepada para mahasiswa saya. Rasa harn dan terima kasih saya sampaikan kepada sahabat saya, Profesor Tran Quoc Binh dari Debreceen University Hungary yang tiada henti-hentinya menyemangati dan mendoakan saya dalam menghadapi berbagai badai yang menerjang saya serta telah memberikan kesempatan kepada saya untuk program visiting profesor di Debreceen Univesity. Kepada mahasiswa saya: Sumardiyono, M.Si., Elvina H, M.Si., dan Burhanuddin, M.Sc. saya mengucapkan terima kasih atas dukungan dan doanya. Kepada saudara-saudara saya: Mbak Sis-Mas Giyono, Mbak Gun-Mas Dunung, Mas Bambang-Mbak Ida, Dhik Utik-Dhik Ju, Dhik Joko-Mumun, matur nuwun atas doa dan kebersamaannya. Saya juga mengucapkan terima kasih kepada saudara-saudara ipar saya atas doanya. Terakhir dan teristimewa, penghargaan yang tinggi dan rasa terima kasih yang tulus saya sampaikan kepada mutiara-mutiara hati saya: anak-anakku, Abdurrahman Said Setyawan Supama ~Ganang) dan Aisyah Putri Nastiti Supama (Dhenok) serta istriku, Ani Nurkinasih yang telah dengan setia menemani hari-hari saya, baik di kala susah maupun di kala senang. Engkaulah kekuatan dan keteguhan hati saya dalam menghadang badai kehidupan. Terakhir, terima kasih atas kesabaran para hadirin dalam mendengarkan pidato saya. Semoga Allah Swt. selalu membimbing kita semua serta memberikan petunjuk dan kekuatan kepada saya untuk senantiasa mengamalkan ilmu dan budi kebaikan kepada seisi alam semesta. Wassalamu 'alaikum warahmatul/ahi wabarakatuh.

19

DAFTAR PUST AKA

von Ahn, L. (2008), Preliminaries of Game Theory. Appell, J. And Zabrejko, P.P. (1990), Nonlinear Superposition Operators, Cambride University Press. Bourbaki, N. (1987), Topological Vector Spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, Bridgman, P.W (1927), The Logic of Modern Physics, The MacMillan Company. Carter, Donette Baker (2006), "The Role of The History of Mathematics in Middle School", M.Sc's Thesis, East Tennessee State University. Chew Tuan Seng (1985), "Orthogonally Additive Functionals", Ph.D. Dissertation, NUS Singapore. Chew Tuan Seng (1987), "Characterization of Orthogonally Additive Operators on Sequence Spaces", SEA Bull. Math. 11,39-44. Chew Tuan Seng (1990), "Superposition

Operators on Woand

~

",

Comment. Math. Chew Tuan Seng and Lee Peng Yee (1985), "Orthogonally Additive Functional on Sequence Spaces", SEA Bull. Math. 9, 81-85. Cooke, R. (1997), "The Calculus", The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. p. 326. Dorier, J.L. (1995) "A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory", Historia Mathematica, Vol. 22, pp. 227-261. Farajzadeh, A.P., Mohammad, M.B., and Noor, M.A. (2011), "Fixed Point Theorems in Modular Spaces", Mathematical Communications, 16, 13-20. Filip, P. (2013), "The Apprentice Economist: Seven Steps to Mastery", Cooper-Wolfling Press. Florian, C. (1893), "A History of Mathematics", American Mathematical Society (1991 reprint). pp. 285-6. Franklin, J. (2009), "Aristotelian Realism", Philosophy of Mathematics, ed. A.D. Irvine, p. 104. Elsevier.

20 Harrell II, E.M. and Herod, J.V. (2000), "Linear Methods of AppliedMathematics", http://www.mathphvsics.com/pde/ vechist. html Haverhals Nick and Matt Roscoe (2010), "The History of Mathematics as A Pedagogical Tool: Teaching the Integral of Thesecant via Mercator's Projection", The Montana Mathematics Enthusiast, Vol. 7, no.2 & 3, pp. 339-368. Herawaty, Supama, I.E. Wijayanti (2013), "The Locally Boundedness Criteria for Superposition Operators on RI..L)", Applied Mathematical Sciences, Volume 7 (15). Johnson, G.W. and Lapidus, M.L. (2002), "The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus", Oxford University Press. Khamsi, M.A., Kozlowski, W.M., Reich, S. (1990), "Fixed Point Theory in Modular Function Spaces", Nonlinear Anal. 14(11), 935-953. Kiftiah, M. and Supama (2013), "Fixed Point Theorems for Modular Contraction Mappings on Modulared Spaces", Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 7, Nomor 20,965-972. Moore, G.H. (1995), "The Axiomatization of Linear Algebra: 18751940" Historia Mathematica 22 (3): 262-303, doi:10.1006/ hmat. 1995. 1025

Morse, P.M., and Kimball, G.E (1954), Methods of Operations Research, 1st Edition Revised, pub. MIT Press & J. Wiley, 5th printing. Mura, R. (1993), "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences", Educational Studies in Mathematics 25 (4), pp.375-385. Musielak, J. (1983), Orlicz Spaces and Modular Spaces, SpringerVerlag, New York. von Neumann, J. and O. Morgenstern, O. (1953), Theory of Games and Economic Behavior, copyright 1944, Princeton University Press Paredes, L.I. (1993), "Orthogonally Additive Functionals and Superposition Operators on wo(
21 Peano, G. (1888), Calcolo Geometrico Secondo l'Ausdehnungslehredi H. Grassmann Preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva, Turin. Pluciennik, R. (1990), "Continuity of Superposition Operators on Woand Wo", Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, Vol. 31 No.3, 529-542. Pluciennik, R. (1991), "Boundedness of Superposition Operators on Wo and Wo", SEA Bull. Math. 15.

Rao, M.M. and Ren, Z.D. (2002), "Applicatons of Orlicz Spaces", Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker. Renate: T. and Neunzert, H. (2012), Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry, Springer. pp.9. Sodhi, M.S. (2007), "What about the '0' in O.R.?" OR/MS Today, December, 2007, p. 12, http://www.lionhrtpub.com/orms/orms12-07/frqed.html. Stillwell, J. (2004), "Analytic Geometry". Mathematics and its History (Second Edition ed.), Springer Science + Business Media Inc. p. 105. Supama and Soepama Darmawijaya (2004a), "Superposition Operators on Wo(~)", Bulletin of Malaysian Mathematical Society. (2004b), "A Representation Theorem for Orthogonally Additive Operators on Modulared Spaces of Banach Lattice Valued Functions", Journal of Indonesian Mathematical Society (MIHMI). Supama (2008), On the Young Inequality and Locally Boundedness of Superposition Operators on Modulared Spaces", Proceedings of the 5Th SEAMS - GMU International Conference on Mathematics and Its Applications. (2008), Continuity and Boundedness of Superposition Operators on W~,x[a,CX)), International Journal on Mathematical Analysis.

22 (2009),

"Orthogonally

W; [a, (0) ", Journal

of Analysis

Additive

Functionals

on

and Applications.

(2012), "On Some Common Fixed Point Theorems in Modulared Spaces", International Mathematical Forum, Vol. 7, Nomor 52,2571-2579. Taleb, A. and Hanebaly, E. (2000), "A Fixed Point Theorem and Its Application to Integral Equations in Modular Function Spaces", Proc. Am.Math. Soc. 128 (2),419-426 Tao, T. (2008), "Function Spaces", terrytao.files.-wordpress.coml 2008/03/function_spaces l.pdf. Unoningsih, S.D. (1998), "Operator Superposisi Terbatas pada Beberapa Ruang Barisan", Disertasi Doktor, Universitas Gadjah Mada Unoningsih, S.D., Pluciennik, R., and Lee Peng Yee (1995), "Boundedness of Superposition Operators on Sequence Spaces", Commentationes Mathematicae, 209-216. Ziegler, Giinter M. (2011), "What Is Mathematics?", An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research, Springer.

23

BIODATA

Alamat Kantor

Nama

: Supama

Tempat/tgllahir NIP.

: Klaten,05-09-1967 : 196709051992031001

Jabatan

: Guru besar dalam bidang analisis matematika di Jurusan Matematika, Fakultas MIPA UGM

Jurusan Matematika FMIPA UGM Sekip Utara, Yogyakarta 55281 Banjarsari RT. 06, RW. 12, Sukoharjo, Ngaglik, Sleman

Alamat Rumah

Keluarga: . Istri : Ani Nurkinasih . Anak : 1. Abdurrahman Said S. Supama (Ganang) 2. Aisyah Putri Nastiti Supama (Dhenok) Riwayat Pendidikan: . 1991 sarjana (Drs.) dalam bidang matematika, Universitas Gadjah Mada . 1998 master (M.Si.) dalam bidang matematika, Universitas Gadjah Mada . 2004 doktor (Dr.) dalam bidang matematika, Universitas Gadjah Mada Riwayat PekeIjaan:

. . . . .

1992 2007 2007 2010 2011-

kini 2011 2012 2012 2013

: Dosen Jurusan Matematika FMIPA UGM : Anggota Senat FakuItas FMIPA UGM : Anggota Senat Akademik VGM : Anggota Komite Riset UGM : Sekretaris Majelis Wali Amanat UGM

24

.

2009 - kini : Kepala KBK (Lab.) Analisis, Jurusan Matematika, FMIP A-UGM

Publikasi Ilmiah (Beberapa Contoh): 1. Supama, (2008), "On the Young Inequality and Locally Boundedness of Superposition Operators on Modulared Spaces, Proceedings of the 5ThSEAMS - GMU International Conference on Mathematics and Its Applications", Yogyakarta. 2. Supama, (2008), "Continuity and Boundedness of Superposition Operators on W~,x[a,oo) ", International Journal on Mathematical Analysis, Volume 2 (24) 3. Supama, (2009), "Orthogonally Additive Functionals on W*,[a,oo)", Journal of Analysis and Applications, Vol. 7 (3) 4. Supama, (2012), "On Some Common Fixed Point Theorems in Modulared Spaces", International Mathematical Forum, Volume 7 (52). 5. Herawaty, Supama, I.E. Wijayanti (2013), "The Locally Bo-undedness Criteria for Superposition Operators on f*,(L) ", Applied Mathematical Sciences, Volume 7 (15). 6. M. Kiftiah, Supama (2013), Fixed Point Theorems for Modular Contraction Mappings on Modulared Spaces, International Journal of Mathematical Analysis, Volume 7 (20). 2013 Pengalaman Lainnya: 2006-2009 Pembinaan Guru Matematika "Center MIPA" di Provo NTT. 201O-kini Tim Pengembang Kisi-kisi Ujian Masuk SNMPTNI SBMPTN 2011 Program visiting professor di Department of Analysis and Department of Geometry, University of Debreceen, Hungary.