Schéma – pilíř matematické znalosti M. Hejný, Karlova Univerzita v Praze, Pedagogická fakulta Abstrakt. Ve známém prostředí (vlastním bytě, sídlišti, vlastní pracovně, nebo supermarketu kam chodíme běžně nakupovat) se orientujeme na základě schémat, která jsou uložena v naši hlavě. Podobně se žák orientuje v problémové matematické situaci na základě matematických schémat, která má ve své hlavě vytvořeny. Schémata všedního dne i schémata matematická se nebudují nácvikem, ale frekventovanou a různorodou činností individua v daném prostředí. V článku je popsán historie objevu matematického schématu jako nástroje poznávání mentálních procesů žáků v oblasti matematiky a je ukázáno zařazení tohoto konstruktu do teorie generického modelu s přihlédnutím k teorii proceptu a teorii APOS. Uvedeny jsou i některé projekce této teoretické struktury do třídní praxe učitele. Klíčová slova. Schéma, procept, generický a izolovaný model, teorie APOS, experiment, operace sčítání, aditivní trojice. Poznámka. Studie byla vypracována s podporou výzkumného záměru MSM 0021620862.
1. Úvod Již v předškolním věku většina dětí umí zjistit, že dvě panenky a tři panenky dohromady dá pět panenek. Klíčem k nalezení výsledku „pět“ je proces počítání po jedné. Po mnohanásobném opakování podobných výpočtů již dítě nemusí proces výpočtu dělat, protože v jeho vědomí je uložen poznatek 2 + 3 = 5 jako automatizovaný spoj. Proces počítání byl nahrazen konceptem spoje a byl uchopen v jazyce znaků. Automatizací spoje 2 + 3 → 5 vývoj poznatku nekončí. V další etapě dojde ve vědomí dítěte k vytvoření proceptu, tj. k takové asociace 2 + 3 ↔ 5, která umožní kdykoli a okamžitě jednu ze stran spoje nahradit stranou druhou. Jinak řečeno již v nápisu 2 + 3 žák vidí číslo 5 a naopak v čísle 5 vidí jeho možné rozklady a mezi nimi i 2 + 3. Na začátku roku 2007 jsme společně s kolegyněmi J. Slezákovou a D. Jirotkovou hledali nástroj, kterým by bylo možné diagnostikovat u žáka druhého ročníku ZŠ vytvoření proceptu 2 + 3 ↔ 5. Podařilo se nám najít jedno prostředí, které umožňuje tvorbu takových diagnostických úloh. Prostředí jsem nazvali SOUSEDÉ. Experimenty s úlohami z tohoto prostředí vedly k velice překvapivému chování žáků. Ti neviděli vztah, který se nám jevil jako zcela samozřejmý. To jsme nedokázali uspokojivě vysvětlit ani pomocí naši teorie generických modelů, ani pomocí teorie proceptu. Oba přístupy dokázaly situaci pouze popsat, nikoli popsat mechanizmem, který řešitelský proces žáka řídí. Hledání takového mechanizmu nás dovedlo k pojmu schéma, který se jeví být podstatou všech nosných matematických poznatků. V současnosti popsaný překvapivý jev dovedeme vysvětlit, dokonce známe již i některé aplikační projekce tohoto teoretického poznatku. Nová zjištění rozpracováváme tak, aby je bylo možné v dostatečně srozumitelné formě předložit i posluchačům, budoucím učitelům prvního stupně a to zejména z hlediska zvyšování úrovně kognitivního a meta-kognitivního porozumění žákovi ze strany učitele. V článku nejprve popíšeme teoretickou instrumentaci potřebnou k výkladu, tedy pojmy teorie generického modelu a teorie proceptu a zavedeme ústřední pojem schéma. Podrobněji osvětlíme, jak jsme došli k objevu schématu jako klíčového agenta nejen procesu řešení úlohy ale i poznání matematiky vůbec.
3
2. Teoretická východiska 2.1. Generický model Teorii generického modelu koncipoval na začátku sedmdesátých let minulého století Vít Hejný jako nástroj na odhalení a zkoumání formálních poznatků žáků. V uplynulých 35 letech byla teorie rozpracováván a jeho novější verzi lze najít v knize Hejný, Kuřina (2001) a v Hejný (2004a). Při prezentaci teorie v jazyce anglickém došlo k dvěma terminologickým změnám, které se promítly i do jazyka českého, neboť se vztahují k slovům latinského původu. V roce 2003 na popud G. Littlera byl původní termín „separovaný model“ nahrazen termínem „izolovaný model“ a v roce 2005 na popud A. Simpsona byl původní termín „univerzální model“ nahrazen termínem „generický model“. Pojmotvorný proces lze chápat jako sekvenci pěti etap: motivace
→
izolované modely
→
generické modely
→
abstraktní poznatek
→
krystalizace
O jednotlivých etapách pojednáme podrobněji. Klíčovou roli zde hraje etapa generických modelů. Motivace1 je touha po poznávání, která pramení z rozporu mezi „nevím" a „potřebuji znát“; někdy i z jiných potřep a rozporů. Dítě je zvídavé, má silnou potřebu poznávání věci, které je obklopují. Ptá se na vše co se octne v jeho poli vnímání. Podnětné prostředí, které umožňuje dítěti seberealizaci a je k němu vstřícné, zvídavost dítěte umocňuje. Žel, škola většinou není podnětným prostředím a zvídavost dítěte spíše tlumí, než rozvíjí. Izolovaný model je konkrétní případ příští znalosti. Tuto etapu dělíme na 4 podetapy: 1. Ve vědomí se usadí první konkrétní zkušenost, první model - zárodek příštího poznání. 2. Postupný příchod dalších a dalších izolovaných modelů, které zatím nejsou propojeny. 3. Některé modely začnou na sebe navzájem poukazovat a shlukovat se do skupin a oddělovat od jiných. Vzniká předtucha, že tyto modely jsou v jistém smyslu „stejné“. 4. Zjištění podstaty oné „stejnosti“, vede k vytvoření komunity modelů. Vzájemná vazba izolovaných modelů příštího poznatku má v poznávacím procesu kruciální roli. Bez ní nemůže být konstruován generický model. Člověk, který má tuto vazbu u daného poznatku vytvořenu, umí k danému izolovanému modelu vytvořit paralelní model v jiné sémantické situaci a dokáže pak jednotlivé dříve izolované modely zastřešit novým poznáním, které se ve vědomí člověka objevuje v důsledku procesu zobecnění a které nazveme generický model. Generický model působí v poznávacím procesu jako pivot. Směrem k izolovaným modelům je a) sjednotitelem jejich komunity a b) prototypem každého jedince této komunity. Směrem k abstraktnímu poznání tvoří základnu pro uskutečnění kroku abstrakce. Velice často se objeví nejprve dílčí generický model, který sjednocuje pouze část komunity izolovaných modelů. Abstraktní poznatek překračuje tu hladinu názornosti (konkrétnosti) na níž pracují etapy izolovaných a generických modelů. Velice často zde dochází k použití nového jazyka, který umožní daný generický model formulovat tak, aby byl schopen k dalším poznávacím procesům. 1
Ne vždy je žák k matematice motivován. Nezřídka bývá nucen. Pak nemluvíme o motivaci, ale stimulaci. Rozdíl vychází z latinských slov: moveō = hýbati, pohybovati, stimulō = ostnem bodati, píchati.
4
Krystalizace. Každý nový poznatek se již během svého vzniku propojuje s dalšími poznatky. tento proces nazýváme krystalizací poznatku. Někdy nový poznatek vede i k reorganizaci dřívější poznatkové struktury (například objevení se záporného nebo komplexního čísla). Protože v této studii s krystalizací nepracujeme, nebudeme zde tento termín zkoumat podrobněji. Ilustrace 1. Učitel chce dovést žáka druhého ročníku ZŠ k poznání „součet dvou lichých čísel je číslo sudé“ (*) Dá tedy žákovi úlohu: „Najdi dvě lichá čísla jejichž součet je číslo liché“. Žák udělá více neúspěšných pokusů s jednomístnými čísly, pak to zkouší s čísly dvoumístnými a dojde k závěru, že úloha nemá řešení, neboť platí (*). Z mnoha neúspěšných pokusů o řešení úlohy (izolovaných modelů) dospěl žák zobecněním k přesvědčení, že úlohu řešit nelze (první náznak generického modelu poznatku (*)). Žák ale nedovede svoje přesvědčení podepřít jasnou argumentací. Učitel navrhne žákovi sázku. Řekne: „najdu-li dvě taková čísla dáš mi čokoládu; když je nenajdu, dám čokoládu já tobě“. Žák sázku odmítne, protože pochybuje, zda se mezi troj-, nebo více-místnými čísly taková dvojice nenajde. Je ale ochoten vsadit se, že (*) platí pro dvoumístná čísla. To učitel odmítne. Žákovo silné přesvědčení týkající se dvoumístných čísel je dílčí generický model poznatku (*). Je to generický model poznatku zúženého na čísla do 100, model, který je opřen pouze o mnohonásobně opakovanou zkušenost izolovaných modelů, nikoli o hlubší argument. Ve třetím ročníku, když žák již umí zacházet i s většími čísly, opět zkouší hledat dvě lichá čísla, jejichž součet je číslo sudé. Série dalších pokusů, dalších izolovaných modelů vede tentokráte k objevu. Při experimentování žák najednou zjistí, že o paritě čísla rozhoduje pouze poslední číslice. Tento objev otevře žákovi cestu k jasné argumentaci svého tvrzení: stačí ukázat, že (*) platí pro jednomístná čísla. K odhalení významu poslední číslice čísla došlo při porovnávání jednotlivých izolovaných modelů, tedy ve třetí podetapě etapy izolovaných modelů. Ihned po tomto odhalení nastupuje podetapa čtvrtá a objev generického modelu. Tento generický model je na stejné abstrakční úrovni jako příslušné izolované modely – na úrovni čísel psaných číslicemi v desítkové soustavě. Jiný generický model poznatku (*) je opřen o jinou představu pojmu „liché číslo“, která je založena na vizualizaci (pséfoforii). Soubor teček nakreslím do dvouřadu. Bude-li v tomto obrázku každá tečka ve spolu s jinou tečkou, je počet teček sudý. Jestliže ale bude jedna tečka „přebývat“ je počet teček lichý. Když takto představená dvě lichá čísla dáme dohromady, uděláme ze dvou přebývajících teček nový spol a výsledkem bude dvouřad teček, ve kterém žádná tečka nepřebývá. tedy to je číslo sudé. O čtyři roky později, když už žák dokáže pomocí písmen vyjádřit některé obecné číselné jevy, pozná, že pojem sudého resp. lichého čísla je možné uchopit výrazem 2n resp. 2n + 1 a pomocí tohoto jazyka pak dokázat nejen tvrzení o součtu dvou lichých čísel, ale i mnohá další tvrzení o součtu nebo součinu libovolné konečné skupiny čísel z hlediska jejich sudosti nebo lichosti. Přechod od představ konkrétních (v naši ilustraci jsou to ty, které sudost/lichost opisují pomocí číslic) k představám abstraktním (v naši ilustraci jsou to ty, které sudost/lichost opisují pomocí písmen) je náročná mentální operace, kterou nazýváme abstrakční zdvih. Algebraický důkaz poznatku (*) (tj. 2n + 1 + 2m + 1 = 2(n + m +1)) je abstraktní poznatek. Když se tento poznatek – tedy tento důkaz – objeví ve vědomí žáka, stává se jedním z izolovaných poznatků použití jazyka písmen pro popis a argumentaci obecných aritmetický vztahů. To je etapa krystalizace tohoto poznatku. 2.2. Procept Pojem procept zavedli a přesně vymezili D. Tall a E. Gray (1994). V této stati uvažujeme o dualitě mezi procesem a konceptem v matematice, zvláště o té, v níž se stejný znakový systém používá i jako proces (jakým je sčítání dvou čísel 3 + 2) i jako produkt tohoto procesu (součet 3 + 2). Dvojznačnost zápisu umožňuje myslícímu člověku 5
pružně v myšlenkách přecházet od procesu, jímž nějakou úlohu řeší, ke konceptu, s nímž pracuje jako s částí širšího schématu. Znak, který přirozeně reprezentuje amalgam dvojznačnosti proces/koncept, nazýváme „procept“…. (s. 116) Toto vymezení rozšíříme takto: procept se skládá ze souboru elementárních proceptů, které mají stejný objekt. (s. 121)2 Poslední věta citace ukazuje, že procept je pojem s vrstvenou organizací. Stavebním kamenem organizace je elementární procept a soubor elementárních proceptů (se stejným objektem) tvoří procept „vyššího řádu“. I když se v horní definici mluví pouze o dvou vrstvách – elementární a obecné, organizace většiny proceptů bývá složitější – skládá se z několika vrstev hierarchicky uspořádaných. Podobně je tomu často i u generických modelů. Zásadní důležitost pro naše zkoumání mají následující slova uvedeného vymezení:„ …ke konceptu, s nímž pracuje jako s částí širšího schématu“. Těmito slovy autoři říkají, že k tomu, aby měl žák vytvořen procept spojů typu a ± b = c, nestačí, aby uměl bezchybně a rychle počítat. Musí umět se spoji typu a ± b = c zacházet jako s prvky schémat. Protože Gray a Tall považují znakový zápis za klíčový moment vzniku proceptu, řídili jsme se i my v ilustraci tímto poukazem. Dodejme ale, že Gray a Tall požadují, aby kromě znakového3 zápisu zde byla i schopnost použít koncept v širším schématu. K tomu ovšem nemusí dojít ihned v okamžiku vzniku znakového zápisu, jak uvidíme níže . Mezi teorií proceptu a teorii generického modelu jsou přinejmenším tři rozdíly. 1) Generický model není vázán na znak, jak je tomu u proceptu a 2) procept není nástrojem na popis procesu zobecňování, jak je tomu u generického modelu. 3) Navíc pro tvorbu generického modelu je potřebné poznávat i jiné typy izolovaných modelů (modely zdánlivé a modely překvapivé), ale u proceptu se tyto jevy neobjevují. Obě uvedené teorie lze dobře propojit, protože každá sleduje poznávací proces v matematice s trochu jiného úhlu. Gray a Tall používají pojem „procept“ pouze v oblasti aritmetiky. Studie Hejný (2000) a Meissner (2002) navrhují dva různé způsoby zavedení proceptu do geometrie. V obou konstrukcích je na geometrický procept nahlíženo jako poznání ve kterém se proces tvorby jistého geometrického objektu a výsledek této tvorby – tedy objekt sám – amalgamují do jediného mentálního celku. Účinnost tohoto nástroje je dokladována ve výzkumu Jirotková (1998). Dodejme, že D. Tall nepřijal ani jeden ze dvou navrhovaných rozšíření konstruktu procept na oblast geometrie. Jeho hlavní argument je poukaz na neexistenci jasného znaku, kterým by byl „geometrický procept“ popsán. Více o proceptu je uvedeno v Hejný (1999).
2
In this paper we consider the duality between process and concept in mathematics, in particular, using the same symbolism to represent both a process (such as addition of two numbers 3 + 2) and the product of that process (the sum 3 + 2). The ambiguity of notation allows the successful thinker the flexibility in thought to move between the process to carry out a mathematical task and the concept to be mentally manipulated as part of the wider mental schema. Symbolism that inherently represents the amalgam of process/concept ambiguity we call a „procept.“ … (p. 116) We extend the definition as follows: A procept consists of a collection of elementary procepts that have the same object. (p. 121) 3
Záměrně nepoužíváme termín symbolický zápis, protože symbol chápeme ve shodě s J. Sokolem jako „…smluvený znak s … velkým emotivním nábojem…“ (Sokol, 1994, s.71). Zde se o žádný emotivní náboj nejedná.
6
2.3. Schéma V odborné literatuře z oblasti kognitivní psychologie i didaktiky matematiky najdeme širokou paletu interpretací termínu schéma. Zde budeme vycházet z psychologické literatury a v ní budeme hledat takové vymezení pojmu schéma, které odpovídá pojetí Graye a Talla ve výše uvedeném vymezení pojmu procept. Domníváme se, že takovou interpretaci nacházíme například u R. J. Gerriga (1991): Teoretici vytvořili termín schéma k označení paměťové struktury, která zahrnuje klastry informací relevantní k porozumění… Základní vhled do teorií schématu spočívá ve skutečnosti, že v paměti nemáme jenom izolované fakta. Informace jsou shlukovány do smysluplných funkčních jednotek.4 Pojem schéma se neomezuje na oblast matematiky, ale prostupuje všechny oblasti našeho poznání. Na tuto skutečnost poukáží následující dvě ilustrace. Ilustrace 2. Jestliže se vás někdo zeptá na počet dveří nebo koberců ve vašem bytě (domě), asi stěží budete schopni ihned odpovědět. Ale po chvíli odpovíte docela spolehlivě. V mysli projdete všemi místnostmi a spočítáte příslušné objekty. Obě požadované informace a mnoho dalších máte ve svém vědomí potenciálně uloženo jako soubor informací, který nazýváme schéma vašeho bytu. Schéma bytu se ve vědomí buduje postupně v důsledku činností, které člověk v bytě dělá. Činnosti probíhají v čase, ale schéma se mění jen pozvolna. Činnosti, týkající se bytu, na které zaměříme pozornost (něco v bytě opravujeme), přispívají k budování schématu bytu více; činnosti, u nichž je naše pozornost zaměřena na jiný objekt, než je byt (díváme se na televizi), přispívají k budování schématu bytu méně. Každý člen rodiny, který v daném bytě bydlí, má vytvořeno vlastní schéma bytu a tato schémata se liší. Otec, který pečuje o všechna svítidla v bytě, ví například i to, kolik jich je uloženo ve sklepě a jaké žárovky jsou teď ve které lampě. Matka zná podrobně vše, co se nachází v kuchyni a spíži. Desetiletý Vít se ptá matky, jestli neví, kde je jeho švihadlo. Matka odpoví: „Sám sis jej uklidil do sportovní skříně.“ Zdánlivě překvapivé je, že švihadlo, které je potřebnější pro hocha než pro matku, je v matčině schématu bytu a není ve schématu bytu syna. Vysvětlení je nasnadě: lepší evidenci o švihadle má matka, která před dvěma týdny přiměla syna udělat si v pokoji pořádek a sama soustředěně řídila jeho práci. Ona byla orgán řídící a syn pouze exekutivní. Ona byla intelektuálně aktivní, syn pasivní. Hoch si při práci málo uvědomoval, co jeho ruce dělají. Proto informace o švihadle je součástí aktuálního schématu matky a schází ve schématu hocha. Podobně, když je žák při řešení úlohy řízen učitelem, obohacuje se obvykle jeho příslušné matematické schéma jen málo. Schéma bytu, uložené ve vědomí matky, je možné rozkládat na „podschémata“ jako schéma kuchyně, schéma spíže, schéma ložnice, schéma nábytku, nebo schéma nábytku v ložnici apod. Soubor všech uvedených a mnoha dalších podobných schémat je složitě organizován a kdybychom jej chtěli nějak formalizovat, použili bychom asi jazyk grafů. V některých případech matematických schémat může být tento jazyk užitečný. Ilustrace 3. Dvouleté dítě zná slova matka, otec, bratr,… jako označení konkrétních osob, s nimiž se stýká. Tato znalost rodinných vztahů zatím není na úrovni schématu, pouze na úrovni klastrů. Po jisté době dítě poznává, že i jiné dítě má matku, otce a bratra, a tato slova se pro ně stávají již označením vztahů mezi členy rodiny. Již to nejsou slova označující individua, ale vztahy. Každé z těchto slov je již uloženo ve vědomí dítěte jako dílčí generický 4
Theorists have coined the term schemata to refer to the memory structure that incorporate clusters of information relevant to comprehension… . A primary insight to schema theories is that we do not just have isolated facts in memory. Information is gathered together in meaningful functional units.”
7
model. O dílčím modelu mluvíme proto, že dítě slova „matka“ a „otec“ vztahuje k jisté věkové úrovni osob a protestuje, když slyší, že jeho matka řekne babičce „maminko“ (Hejný, 2002). Dítě desetileté dokáže již přesně vymezit slova matka, otec, babička, děda, syn, dcera, vnuk, vnučka, bratr, sestra, sourozenec, i když nikde dříve tato vymezení neslyšelo. Tyto pojmy má teď již na úrovni generického modelu a jejich souhrn vytváří ve vědomí dítěte schéma Rodina. Je možné, že některá další slova (sestřenice, synovec, prateta) nebude umět obecně vymezit a při jejich osvětlování se uchýlí k příkladům. Konečně i my bychom měli problémy s řešením některých nestandardních situací; například když se svobodná žena A po úmrtí své sestry B vdá za švagra - vdovce C, vznikne mezi A a C manželský vztah, ale asi není jasné, zda dřívější švagrovský vztah tím zaniká. Po dvou ilustracích se vraťme ke Gerrigově vymezení. Uvedeme šest poznámek. Poslední poznámka je z hlediska didaktiky matematiky nejzávažnější. 1. Slovo „cluster“ nemá v českém jazyce přiměřený ekvivalent. Označuje shluk, seskupení, chumel, hlouček, trs nebo hrozen. V anglické odborné literatuře je slovo cluster frekventováno a v některých oborech (např. biochemii) je převzato do češtiny jako klastr. Proto si dovolíme převzít slovo klastr do české terminologie didaktiky matematiky. Tímto termínem budeme označovat soubor zatím nepropojených nebo jen málo navzájem propojených informací náležících jednomu schématu. Například slova „červený“, „modrý“, „bílý“ ,… vnímá dítě jako informace klastru barev, byť zatím nedokáže jednotlivé barvy poznat. Podobně dítě vnímá slova „tři“, „pět“, „osm“ jako slova klastru mnohosti, i když zatím nezná jejich přesný význam. 2. Gerrig vymezuje schéma v širokém kontextu životních zkušeností člověka. Naše vymezení je podstatně užší, protože se vztahuje pouze ke schématům matematickým. To nám umožňuje zúžit a specifikovat termín matematické schéma dvěma požadavky, které na pojem naložíme. První specifikace propojí pojem schéma s teorií generického modelu. Druhá zdůrazní náš úhel pohledu. První specifikace upřesňuje vztah izolovaných a generických modelů a schématu k němuž náleží. Izolované modely vystupují jako informace shlukující se do klastrů a tvoří půdu pro vznik schématu. Schéma ale vzniká až objevením se prvního generického modelu. Všechny dřívější izolované modely i ty, které se objeví dodatečně náleží do schématu, ale opornými sloupy schématu jsou jeho modely generické. Schéma každého závažnějšího matematického pojmu obsahuje celou sérii generických modelů. Druhá specifikace říká, že na schéma hledíme jako na dynamickou organizací různorodých prvků. Slovo organizace zdůrazňuje, že se nejedná jen o množinu prvků, ale i o soubor vazeb mezi prvky. Adjektivum dynamická poukazuje na krátkodobou i dlouhodobou proměnnost jak souboru prvků, tak i celé jejich organizace. Přitom některá schémata jsou stabilnější, jiná flexibilnější. Navíc některé rozsáhlejší schémata vznikají amalgamací menších schémat. Například schéma pojmu „racionální číslo“ vzniká jako amalgám schémat pojmů „zlomek“ a „záporné číslo“. Pro dynamizmus schématu jsou rozhodující okamžiky objevení se vnitřního rozporu, které nejčastěji přichází z novým izolovaným modelem. Například když žák prvního ročníku zjistí, že polovina je číslo, nebo když žák čtvrtého ročníku objeví že čtyřúhelník může být i nekonvexní, nebo když žák osmého ročníku zjistí, že existuje trojúhelník jehož obvod je neomezeně veliký a obsah neomezeně malý. 3. Dodejme, že pokud jde o schémata v matematice, je obyčejně jejich dynamizmus nárazový. V době, kdy se žák daným objektem zabývá, mění se jeho schéma objektu uloženého v jeho vědomí, rychle. Důležité je upozornit, že i v době, kdy se žák daným objektem přímo nezabývá, může se příslušné schéma měnit v důsledku jeho provázanosti na jiná, měnící se schémata.
8
4. Podobně jako pojem procept i schéma je pojem s vícevrstvovou organizací. Zejména velice bohatá jsou schémata geometrických pojmů jako mnohoúhelník, krychlové těleso, souměrnost nebo objem. U těchto schémat budeme mluvit o pod-schématech, průniku schémat, řetězci schémat nebo grafu schémat. V oblasti aritmetiky základní školy má nejbohatší strukturu schéma číslo. Známá organizace pojmů reálné číslo, racionální číslo, nezáporné číslo, celé číslo a přirozené číslo naznačuje složitost tohoto schématu. 5. Při řešení úloh týkajících se jistého schématu si řešitel obyčejně volí některý jeho generický model. Ten, který dané situaci dobře vyhovuje. Jestliže řešitel ve svém schématu příslušný generický model nemá, stává se pro něj úloha problémem. Proto kvalitu schématu určuje v první řadě bohatost a různorodost jeho generických modelů. Úlohy, které jsou pro žáky nesnadné, ukazují na absenci příslušných generických modelů. Příkladem jsou slovní úlohy s operátorem změny (například úlohy o věku), které jsou široce diskutovány v článku Ruppeldtové (2006). Tam jsou naznačeny cesty jak je možné scházející generické modely budovat. 6. Matematické schéma se ve vědomí člověka vytváří spontánně, v procesu řešení různorodých úloh, které vyžadují spekulativní přístup řešitele. Nácvik není činnost vedoucí k vytváření schémat. V ilustraci 2 se schéma „mého bytu“ netvoří tak, že jeden den se učím okna, druhý den koberce, třetí den spíži atd. Schéma vzniká tím, že v bytě žiji a s jednotlivými jevy bytu přicházím stále do kontaktu. V mém vědomí ukládají různorodé informace, které se shlukují do klastrů, z nichž pak vznikají izolované a generické modely. Podobně i poznávání matematiky probíhá tak, že žák řeší různorodé úlohy a každá z těchto aktivit se do jeho vědomí projektuje souborem různorodých informací. Žel tento přirozený způsob učení se matematice je často námi učiteli nepochopen a proto potlačován. Když například při nácviku rozkladu čísla na prvočísla některý žák objeví, že číslo 210 je trojúhelníkové, považuje učitel tento objev za narušení výuky. 7. Další poznatky o matematických schématech u žáků prvního stupně najde čtenář v myšlenkově vzájemně propojených článcích Jirotkové (2006) a Slezákové (2006), kde je podrobně analyzováno schéma z hlediska procesních i z hlediska konceptuálních představ. 2.4. Pojem schéma v APOS teorii Jedna z teorií popisujících poznávací proces má termín Schéma přímo ve svém názvu. Je to teorie APOS, která, jak uvádí její autoři, vznikla v návaznosti na Piagetovu teorii reflektivní abstrakce. Ta propojuje mechanizmus abstrakčního zdvihu (projekce toho, co bylo vytvořeno na nižší úrovni na úroveň vyšší) a reflexe, která rekonstruuje a reorganizuje to, co bylo projektováno. APOS teorie se ukázala „… velice užitečná při pokusech pochopit proces učení se studenta u analýzy abstraktní algebry, statistiky, diskrétní matematiky a dalších oblastí vysokoškolské matematiky5.“ Dubinsky, E. McDonald, M. (1999). Tedy teorie byla rozpracována a dále je rozpracovávána na úrovni vysokoškolské matematiky. Nicméně tato teorie je podnětná i pro analýzy myšlenkových pochodů žáka střední školy i prvního stupně. Z mnoha studií, které byly teorii APOS věnovány, uvádíme, kromě již citovaného článku dostupného na internetu i článek Czarnocha et al. (1999) z PME-23. V obou výše zmíněný článcích je teorie APOS představena stejně: předpokládáme, že „ matematická znalost odpovídá na snahu člověka řešit danou problémovou situaci konstrukcí mentální akce, procesu, objektu a schématu aby vedla k porozumění situace a řešení problému.6“ 5
…has been very useful in attempting to understand students’ learning of a broad range of topics in calculus, abstract algebra, statistics, discrete mathematics, and other areas of undergraduate mathematics.
9
Čtyři klíčová slova, která dala teorii zkratku APOS pak Dubinsky osvětluje slovy: „Akce je transformace vnějších objektů vnímaných člověkem, které požadují, ať již přímo, nebo pomocí paměti instrukce, které krok za krokem ukazují, jak uskutečnit operaci. Reflektovaným opakováním akce si člověk vytvoří vnitřní mentální konstrukci zvanou proces, pomocí které člověk může danou akci realizovat ve svém vědomí bez vnější opory. Člověk může akci realizovat ve vědomí aniž by ji reálně dělal a tedy může uvažovat o ní v obráceném průběhu a v propojení na jiné procesy. Objekt je konstruován z procesu, když již člověk vnímá proces v celistvosti a je schopen na něm uskutečňovat transformace. Konečně schéma matematického konceptu je soubor akcí, procesů, objektů a jiných schémat, vázáných jistým obecným principem, aby ve vědomí člověka vytvořily rámec, který umožňuje člověku řešit problém vztahující se k danému konceptu.7“ Dubinsky, E. McDonald, M. (1999). Z citace je vidět, že schéma v APOS teorii se v mnoha ohledech shoduje s tímto termínem u Gerriga. Naše vymezení je trochu užší než v APOS teorii. V APOS teorii se do schématu zahrnují již první akce a procesy, ale my zrod schématu vážeme na objevení se prvního generického modelu. Dále Dubinsky neodděluje úroveň schématu a struktury. Pro naše chápání procesu matematického poznávání je toto oddělení důležité. Na druhé straně Dubinsky rozvádí další jevy schématu, o nichž my uvažujeme v jiné terminologii. Zejména je to triáda Piagetových vývojových mechanizmů intra, inter a trans, která je v teorii generického modelu popsána pomocí tvorby izolovaných modelů, procesu vzájemného propojování těchto modelů a zrodu modelu generického. Poslední poznámku osvětlíme ilustracemi, v nichž vystupuje Rita, hypotetická žačka druhého ročníku a Leoš, hypotetický student prvního ročníku oboru matematika. Leoše uvádíme proto, že jeho myšlenkové pochody může čtenář poznávat i introspekcí a že teorii APOS (následující kapitola) je zaměřena na úroveň vysokoškoláka. Ilustrace 4. Pojem číslo je ve vědomí Rity vnímán jako schéma, které obsahuje rozsáhlé podschéma strukturální (čísla bez sémantického kotvení) a dílčí podschémata sémantická (kotvená v životní zkušenosti žáka). Jedná se zejména o číslo vnímané jako: stav (tři prsty), operátor porovnání (mám o 7 Kč více než Eva), operátor změny (přestěhovali jsme se o 2 podlaží výše) a adresa (Radkovi je 8 let). Když má Rita řešit slovní aritmetickou úlohu, použije k tomu generický model příslušného podschématu. Vezměme například následující dvě úlohy. Úloha 1. Když spravedlivě rozdělíš 32 bonbónů mezi 4 děti, pak každé dítě dostane ___ bonbónů. 6
… that mathematical knowledge consists in an individual’s tendency to deal with perceived mathematical problem situations by constructing mental actions, processes, and objects and organizing them in schemas to make sense of the situations and solve the problems.
7
An action is a transformation of objects perceived by the individual as essentially external and as requiring, either explicitly or from memory, step-by-step instructions on how to perform the operation. When an action is repeated and the individual reflects upon it, he or she can make an internal mental construction called a process which the individual can think of as performing the same kind of action, but no longer with the need of external stimuli. An individual can think of performing a process without actually doing it, and therefore can think about reversing it and composing it with other processes. An object is constructed from a process when the individual becomes aware of the process as a totality and realizes that transformations can act on it. Finally, a schema for a certain mathematical concept is an individual’s collection of actions, processes, objects, and other schemas which are linked by some general principles to form a framework in the individual’s mind that may be brought to bear upon a problem situation involving that concept.
10
Úloha 2. Janě jsou 3 roky. Když bude Janě tolik, co je Hugovi dnes, bude Hugovi 15 let. Kolik je dnes Hugovi? V úloze 1 vystupuje číslo jako Stav. Dívka úlohu vyřeší manipulací s knoflíky. Rozdělí 32 knoflíků po jednom na 4 hromádky. K řešení tedy použije manipulaci s předměty. Zjistí, že každé dítě dostane 8 bonbónů. V úloze 2 vystupuje číslo jako Adresa i jako Operátor změny. Úlohu vyřeší Rita metodou pokus – omyl pomocí číselné osy a dvou figurek J a H, které představují Janu a Huga. Figurku J postaví na číslo 3 a figurku H postaví třeba na číslo 7. Teď obě figurky posouvá současně vždy o jedno číslo dopředu (J na 4, H na 8; J na 5, H na 9;…) Tím modeluje stejné stárnutí Jany i Huga. Když dojde s figurkou J na číslo 7, je figurka H na čísle 11. Pokus se nezdařil, protože H měla být na čísle 15. Rita musí volit jinou výchozí pozici pro figurku H. Musí ji posunout na vyšší číslo. Posune ji třeba na číslo 9. Pokus opakuje a tentokrát uspěje. Figurka J vstoupí na číslo 9 právě když H vstoupí na číslo 15.¨Rita napíše odpověď: Hugovi je dnes 9 let. Každou z úloh řešila Rita pomocí jiného generického modelu schématu číslo. Úlohu 1. pomocí manipulace s předměty (knoflíky, kuličky, prsty,…), což je generický model pro podschéma Stav. . Úlohu 2 pomocí číselné osy, jejíž čísla představují věk figurky, která na čísle stojí. Tento nástroj je generický model pro podschéma Adresa. Následující ilustrace se vztahuje k náročnější matematice. Leoš studuje matematiku na VŠ. Ilustrace 5. Pojem iracionální číslo je ve vědomí Leoše uložen jako schéma, které nesou dva generické modely: ne-zlomek a desetinné číslo ne-periodické. Když má Leoš řešit úlohu týkající se iracionálních čísel, bude jeho úvaha používat jeden z těchto modelů. Vezměme například úlohy: Úloha 3. Dokažte, že číslo √7 je iracionální.¨ Úloha 4. K číslu π najděte racionální číslo p tak, že |π – p| < 10-7. Úlohu 1 bude Leoš řešit zřejmě pomocí ne-zlomku: nechť existují nesoudělná p, q ∈ N tak, že √7 = p/q; pak 7q2 = p2 a tedy 7|p, tj. p = 7r, kde r ∈ N; pak q2 = 7r2; odtud 7|q – spor. Úlohu 2 vyřeší hoch pomocí čísla ne-periodického na kalkulačce: p = 3,14159265. Ilustrace 6. Pojem čtyřúhelník je ve vědomí Leoše uložen jako schéma, které nese bohatá paleta generických modelů (pravoúhelník, rovnoběžník, lichoběžník, tětivový čtyřúhelník, osově souměrný čtyřúhelník,…). Když má Leoš řešit úlohu týkající se čtyřúhelníka, bude mezi těmito modely hledat ten, který odpovídá dané situaci. Vezměme například úlohu: Úloha 5. Najděte nejmenší a největší hodnotu čísla u/o, kde u je součet délek úhlopříček čtyřúhelníku a o je jeho obvod. Leoš postupně v představě probírá různé generické modely čtyřúhelníku a zastaví se u nekonvexního čtyřúhelníku. Načrtne si obrázek, ve kterém jsou strany dlouhé a úhlopříčky krátké, a ihned mu je jasné, že u může být libovolně malé a zároveň o libovolně velké, tedy u/o je jakékoli malé kladné reálné číslo. Jinak řečeno min u/o neexistuje a inf u/o = 0. Náročnější je hledat max u/o. Leoš si uvědomí, že čtverec často bývá extrémním čtyřúhelníkem, a zjistí, že pro čtverec je u/o = 1/√2. Zjištění, že pro kosočtverec je u/o < 1/√2, podpoří jeho hypotézu, že hledaný extrémní čtyřúhelník je čtverec. Pak ale zkusí obdélník o stranách a, b a zjistí, že když a je o hodně větší než b, tak poměr u/o je libovolně blízký k číslu 1. Původní hypotéza je vyvrácena a nahrazena novou: max u/o neexistuje a sup u/o = 1. Po chvíli uvažování se Leoši povede najít jednoduchý důkaz druhé domněnky, který přesně formuluje.
11
Nechť CD je nejkratší strana čtyřúhelníka ABCD. Pak z trojúhelníkových nerovností |AC| < |AD| + |CD| a |BD| < |CD| + |BC| plyne |AC| + |BD| < |AD| + 2|CD| + |BC| ≤ |AB| + |BC| + |CD| + |AD|, tj. u/o < 1. Na druhé straně, nechť ε je libovolně malé kladné číslo. Pak pro obdélník o stranách 1, ε platí: o = 2 + 2ε, u > 2; tedy u/o > 1/(1 + ε) > 1 – ε. Odtud plyne sup u/o = 1. Q.E.D. Popsaný řešitelský proces ukazuje, jak do něj vstupují jednotlivé generické modely schématu čtyřúhelník a jak je jejich vstup určován organizací schématu čtyřúhelník ve vědomí Leoše. První hypotéza není produktem generického modelu čtverec, ale celkového poznání schématu čtyřúhelník. Vychází z intuice, kterou určuje soubor předchozích zkušeností uložených ve tomto schématu. Druhá hypotéza, kterou Leoš dokáže, vzniká v důsledku analýzy situace pomocí dalších generických modelů. Stručně řečeno: mít vybudováno schéma jistého pojmu, procesu, nebo prostředí je v podstatě totéž jako mít do daného pojmu, procesu, nebo prostředí vhled (insight). Z Semadeni zde mluví o hluboké myšlence a ve studii Semadeni (2002) podrobně analyzuje značný počet schémat – jak na úrovni základní, tak i střední a vysoké školy. Z tohoto hlediska kriticky posuzuje současný stav vyučování matematice na základních a středních školách a uvádí řadu moudrých myšlenek předních světových matematiků a didaktiků, kteří tento názor podporují. Jeden z citátů si dovolíme převzít. Jeho autorem je polský logik a matematik světového formátu. Pedagogové přijali přesvědčení, že zformalizovaná moderní logika je základem matematiky. Toto přesvědčení částečně dalo směr školní matematice. … Škoda, že z arzenálu současné matematiky byl do školního kurikula vybrán ten více-méně beznadějný směr8. (Mostowski, 1972, s. 81-84) V době kdy Mostowski tato slova psal, byli učitelé ve většině zemí nuceni studovat teorii množin a moderní logiku. Aniž by pronikli k hlubokým myšlenkám těchto fundamentálních oblastí matematiky, učili se procedury a definice a tuto svoji výbavu pak přenášeli do škol. Přesvědčení o tom, že matematika je soubor kalkulativních procedur, které se v té době zakořenilo ve vědomí značné části komunity učitelů, přetrvává dodnes. Převážná většina učitelů prvního stupně si pod matematikou představuje nacvičovaní algoritmů a skutečné matematické činnosti jako je budování schémat pomocí experimentování, spekulování, hledání, analyzování situace, diskutování o pojmech apod. považuje více-méně za ztrátu času. Schéma tedy představuje hluboké porozumění dané myšlence, ale u profesionálně orientovaného studenta matematiky to není závěrečná etapa poznávacího procesu. Tou je až struktura, tedy abstraktní úroveň, přesných definic, tvrzení a důkazů. To je též poslední pojem teoretické přípravy. 2.5. Struktura Většinou se slovo struktura používá na označení objektů ležících mimo lidské vědomí. Pro nás bude struktura součástí lidského vědomí. Podobně jako termín schéma má i termín struktura mnoho interpretací. Našim potřebám vyhovuje úzké chápání pojmu struktura. Strukturou budeme nazývat takový relativně ucelený systém pojmů a propojujících je vztahů, jehož prvky jsou přesně vymezeny a artikulovány pomocí aspoň jednoho formalizovaného jazyka.
8
Przekonanie, ze sformalizowana nowoczesna logika jest podstawa matematyki, przyjelo sie wśród pedagogów, i ono cześciowo jest przyczyna powstania pewnych kierunków w matematyce szkolnej. ... Szkoda, ze z arsenalu nowoczesnej matematyki wybrano dla wielu szkolnych programów wlaśnie ten troche beznadzejny kierunek.
12
Klíčová jsou zde slova „…prvky jsou přesně vymezeny ....“ , která ukazují v čem je hlavní rozdíl mezi schématem a strukturou. Požadavek formalizovaného jazyka je již důsledkem požadované přesnosti vymezení pojmů. Například pojem grupy v mém vědomí je strukturou, protože dovedu grupu přesně definovat, umím vyslovit i dokázat různá tvrzení, které struktuře náleží. Moje první seznámení se s pojmem grupa nebylo opřeno o žádné schéma, protože pojem mi byl na přednášce představen definicí. Několik ilustrací, které definici doplňovaly, mi dalo jistý vhled do pojmu, ale schéma grupy jsem ve svém vědomí začal budovat, až když jsem začal řešit první, v té době pro mne překvapivé úlohy. I když jsem znal přesnou definici a měl formalizovaný jazyk, kterým jsem s pojmem grupa mohl zacházet, nebylo moje poznání pojmu grupa na úrovni struktury, protože zde scházelo schéma, které by orientovalo moji práci s pojmem. Až po dobudování schématu jsem byl schopen o grupách uvažovat na úrovni struktury. Popsaný postup – nejprve se student doví přesně vymezené pojmy a až dodatečně si pomocí řešení úloh pod ně vybuduje potřebné schéma (nebo schémata) – je běžný pro vysokoškolskou přípravu profesionálních matematiků. Student, který si nedokáže potřebné schémata vytvořit, bude mít k dané matematické oblasti negativní vztah, protože stále bude cítit, že mu zde podstata poznání uniká – a to i v případě, že z dané disciplíny dostane u zkoušky známku „výborně“.
3. Překvapivý experiment 3.1. Vstupní úloha pro čtenáře Po teoretické přípravě přistoupíme k popisu událostí, které jsme zmínili již v úvodu. Začalo to hledání úloh, jimiž by bylo možné zjišťovat, zda konkrétní žák má poznatek 2 + 3 = 5 (nebo jiný číselný spoj a ± b = c) pouze na úrovni procesu, nebo na úrovni konceptu, nebo dokonce i na úrovni proceptu. Nebylo nijak těžké vytvořit diagnostický test pro úroveň procesu i pro úroveň konceptu. Problém je s konstrukcí testu, který by diagnostikoval úroveň proceptu. Taková úloha musí od řešitele požadovat použití číselného spoje a ± b = c jako části širšího schématu (viz odstavec 2.2). Jinak řečeno, hledaná úloha musí řešiteli předložit situaci, řešení které podstatně závisí na uzření toho, že výraz a + b, případně a – b, je možné nahradit příslušným součtem, nebo rozdílem. Čím méně je potřeba takového nahrazení viditelná, tím náročnější je úloha. K takovým úlohám náleží například některé úlohy o součtových trojúhelnících, nebo o hadech. Tyto úlohy se ale běžně objevují v učebnicích a žáci již namnoze znají návody na jejich řešení. Proto je nelze použít na diagnostiku. Po různých pokusech se nám podařilo sestrojit nejen takovou úlohu, ale dokonce celé prostředí, které nabízí tvorbu těchto úloh na různých úrovních náročnosti. Čtenáři, který chce tento nástroj zkusit sám na sobě, předkládáme úlohu 6. K úloze se vrátíme v odseku 3.2, kde podáme její různá řešení a popíšeme, v čem spočívá její náročnost. Úloha 6. Do každého z deseti prázdných polí tabulky 1 napište jedno číslo tak, aby součet tří čísel v každém obdélníku (vodorovném i svislém), který se skládá ze tří sousedních polí, byl 6. Dále zjistěte, kolik má úloha řešení, a svoje tvrzení dokažte. Čtenář, který úlohu vyřešil, vidí již, v čem spočívá podstata diagnostické síly nejen této úlohy, ale všech úloh tohoto prostředí, které dostalo pracovní název Sousedé. Komentář k úloze je až za úlohou 8.
2 1 1 3
3.2. První experimenty Vraťme se na začátek výzkumu a uveďme experimenty, jimž náš výzkum začal. 13
Tabulka 1a
Experiment 1. (Většinu diskusí se žáky realizovala a protokolovala J. Slezáková.) Dva žáci druhého ročníku, Tomáš a Filip, kteří patří z matematiky k nejlepším žákům třídy, individuálně řešili několik úloh podobných úloze 7a. Úloha 7. a) Do každého ze čtyř prázdných polí obdélníka na obr. 1 dopište jedno číslo tak, aby součet čísel každé trojice sousedních čísel byl 9. b) Analogicky pro obdélník na obr. 2. 9
2
9
4
Obr. 1
2
3
Obr. 2
Úlohy vyřešili bez problémů. Ty nastaly až u úlohy z obrázku 2. Navzdory našemu očekávání, že chlapci záhy objeví neřešitelnost úlohy, oba dosti dlouho soustředěně hledali řešení. Nakonec se rozhodli, že to vyřeší doma. Po týdnu jsme se opět setkali s Tomášem (Filip byl nemocen) a on nám sdělil, že jeho maminka řekla, že ta „Úloha je blbost“. Přesto se opět pustil do hledání řešení. Nakonec zklamaně řekl, že to řešit neumí. Tedy ne, že „to nelze řešit“, ale „já to neumím“. Přenesli jsme tedy úlohy do manipulativního kontextu. Na levou stranu lavice jsme dali lístek s číslem 2 a na pravou lístek s číslem 3. Tomáš dostal do ruky dva prázdné lístky. Požádali jsme hocha, aby na každý lístek napsal jedno číslo, a to tak, aby součet těchto dvou čísel s číslem na levé straně lavice byl 9 a součet těchto dvou čísel s číslem na pravé straně lavice byl též 9. Po několika neúspěšných pokusech Tomáš řekl, že to neumí. Jak vysvětlíme Tomášovo překvapivé chování? Jak to, že navzdory různým pokusům, neodhalil neřešitelnost úlohy z obrázku 2? Odpověď získáme analýzou jeho řešitelského procesu. Tomáš používal stále stejnou řešitelskou strategii. Podíval se na jedno z daných čísel, například na číslo 2 a k němu dohledal dvě čísla tak, aby součet všech tří byl 9. Na jeden lísteček napsal například 4, pak dopočítal, že na druhý lísteček musí napsat 3. Oba lístečky přenesl na druhý konec lavice a zde opětovně spočítal všechny tři čísla 4 + 3 + 3. Výsledek 10 ukázal, že napsaná čísla nevyhovují. Hoch čísla 4 a 3 škrtnul a hledal jiná. Ani jednou jej nenapadlo sčítat nejprve čísla na lístcích a tento součet (například číslo 7) pak přidávat k číslům 2 a 3. To jasně ukazuje, že Tomáš ještě nemá vybudován procept vztahu 4 + 3 = 7, protože s ním nedokáže pracovat jako s částí schématu. 3.3. Další experimenty Překvapivé chování Tomáše nás vedlo k dalším experimentům se žáky různého věku i s posluchači pedagogické fakulty, budoucími učiteli 1. stupně, dokonce i s kolegy učiteli. Ukázalo se, že jestliže dvě daná čísla tabulky jsou blízko sebe, nedělají tyto úlohy potíže ani v případě, že tabulka má 10 a více prázdných polí. Právě úlohy s dlouhými tabulkami pomohly mnoha řešitelům odhalit periodicitu posloupnosti čísel v tabulce. Většina z těch, kteří periodicitu odhalili, ji formulovala slovně. Ti byli schopni odpovědět i na otázku, jaké je poslední číslo v obdélníku o 100 polích, když v prvních třech polích jsou čísla 2, 5, 1. Řekli „je to opět číslo 2“, ale přesto poznanou periodicitu nevyužili jako schéma k řešení dalších úloh. Ukazuje to následující experiment. Experiment 2. Posluchačka Jana řešila úlohu z prostředí Sousedé. Její řešení je na obrázku 3. Silně značené číslice 8, 2, 6 byly předtištěny, zbytek dopsala Jana.
Obr. 3 14
Jana začala u čísla 6. Řekla si, že číslo v posledním poli nemůže být větší než 8 – 6 = 2. Vyzkoušela tedy systematicky všechny možnosti: 0, 1 a 2. Až poslední číslo vedlo k úspěchu. Toto řešení pak dívka přepsala na další lístek. U tohoto řešení jsme se zeptali, zda očekávala, že čísla se budou pravidelně opakovat 6, 2, 0, 6, 2, 0, 6, 2? Jana řekla, že to se u těchto úloh musí opakovat. Zeptali jsme se, zda se to nedalo využít u řešení. Jana po chvíli zaváhání řekla „no ano, dalo“, ukázala na pole s tlustou šestkou, pak na pole, v němž jsou tři šestky a pak i na levé krajní pole a řekla „tady jsou šestky“. Po chvíli dodala, „ale takhle jsem si jista“. Odhalená periodicita zřejmě ještě nebyla v jejím vědomí pevnou součástí jejího schématu úloh typu Sousedé. Nejistota, která brání Janě použít jev periodicity pro řešení úlohy, není nic neobvyklého. Taková nejistota je přítomna ve vědomí mnoha lidí. Například já (autor), když mám zjistit, kolik dnů trvala služební cesta, kterou jsem nastoupil 12.3. a ukončil 19.3., najdu rozdíl 19 – 12 = 7, přičtu jedničku a dostane výsledek 8, ale pro jistotu si to prověřím pomocí prstů. Použitý „vzorec“ je v mém vědomí zatížen nejistotou. Snad někdy v mládí mi byl tento vzorec vložen do vědomí zvenčí a pak jsem jej možná někde špatně použil. Již nikdy nezjistím, proč je tento poznatek v mém vědomí uložen tak labilně, že zde nelze mluvit o proceptu. Experiment 3. V únoru 2007 jsme analýzy našich experimentů z prostředí Sousedé prezentovali na dvou konferencích. Na obou jsme v úvodu prezentace dali účastníkům následující úlohu. Úloha 8. Do tabulky s 25 okny doplňte do každého prázdného okna jedno číslo tak, aby součet každých tří čísel v obdélníku 3x1 položeném horizontálně nebo vertikálně byl 6.
3 1
Na první konferenci, která se uskutečnila v Praze za účasti více než 100 2 učitelů převážně z druhého stupně ZŠ, se již po dvou minutách ozvali první 1 řešitelé. Všichni řešili metodou pokus-omyl, stejně jako Jana Tabulka 2 v experimentu 2. Stejná situace byla i na mezinárodní konferenci CERME na Kypru, kde jsme úlohu předložili asi 15 účastníkům pracovní skupiny WG3. I zde všichni účastníci dílny, až na jednoho, použili hned strategii pokus-omyl. Onen výjimečný řešitel použil jazyk písmen. Poslední řádek v jeho řešení měl tvar: 1, x, 5-x, 1, 2 a vedle bylo připsáno 8 – x = 6, x = 2. Žádný účastník ale nepoužil řešení, založené na konceptuálním uchopení podmínky o součtu tří sousedních čísel: protože krajní čísla obdélníku 4x1 jsou stejná, je v poli vedle čísla 2 číslo 1 a v poli nad číslem 2 je číslo 3. Zbytek se dopočítá snadno. Dodejme, že řešení založené na konceptu se kolegům velice líbilo. Všichni účastnící dílny, kteří se vyslovili k příčinám svého „selhání“, potvrdili že je vůbec nenapadlo dívat se na situaci jako na koncept. Čtenář, který se o řešení úlohy 6 pokusil samostatně, dokáže již nabytou zkušenost analyzovat. Pro čtenáře, který se nad úlohou 6 nezastavil ukážeme tři hlavní její řešitelské strategie. Komentář k úloze 6. Nejčastěji použitá bývá strategie pokus-omyl. Ta obyčejně dovede řešitele k přesvědčení, že řešení neexistuje. Když ale řešitel chce neřešitelnost dokázat, použije algebru (když tento jazyk ovládá). Například do levého dolního pole napíše písmeno x a dopočítá všechna další pole, jak ukazuje tabulka 1b. V posledním sloupci se objeví spor: z podmínky 2 + 1 + ? = 6 plyne ? = 3 a z podmínky 1 + ? + 3 = 6 plyne ? = 2. Tyto rovnosti jsou ve sporu. 15
x
2
4-x
x
2
5-x
1
1
?
x
3
3-x
x
Tabulka 1b
3
Řešitel, který uchopí podmínku „součet tří čísel v každém obdélníku (vodorovném i svislém), který se skládá ze tří sousedních polí, je 6“ jako koncept, vidí, že „v každém obdélníku (vodorovném i svislém), který se skládá ze čtyř sousedních polí, jsou krajní čísla stejná“. Na základě tohoto pravidla řešitel přenese číslo 2 do horního pravého pole a číslo 3 do dolního pravého pole. Teď vidí, že pravý sloupec, který je svislý obdélník skládající se ze čtyř polí, nesplňuje uvedené pravidlo, protože jeho krajní čísla jsou různá (2 ≠ 3). Úloha tedy nemá řešení. 3.4. Závěry plynoucí z experimentů Nejen žáci druhého ročníku, ale ani posluchači vysoké školy, ba ani učitelé a experimentátoři se na úlohy typu Sousedé nedokázali podívat přes koncept. Zřejmě je to důsledek způsobu, který všichni tito řešitelé byli seznamování s operací sčítání a součtovou triádou (a, b, a+b) od první třídy ZŠ. Proto v jejich vědomí ve schématu „sčítání přirozených čísel“ dominují generické modely procesní a absentují generické modely konceptuální. Tato skutečnost je pro didaktiku matematiky výzvou, zamyslet se, zda není možné zvýšit účinnost vyučování základům aritmetiky tím, že v současnosti převládající procesně orientovanou edukační strategii budeme postupně přesouvat k edukační strategii zaměřené na schémata. Jinak řečeno místo masivních nácviků sčítacích a odčítacích spojů budeme se žáky řešit úlohy které vedou k tvorbě generických modelů součtových/rozdílových triád jak procesních tak konceptuálních. Didaktické poznání, ke kterému jsme dospěli v jedné konkrétní oblasti matematiky prvního stupně, je asi možné zobecnit i na další partie školské matematiky. Autor je na základě svých učitelských zkušeností přesvědčen, že zdůrazněním významu schémat ve výuce matematiky, dojde ze zvýšení porozumění matematice u značného počtu žáků.
9. Literatura Czarnocha, B. Dubinsky, Prabhu, V., Vidakovic D. (1999). One theoretical perspective in undergraduate Mathematics Education Research. In O. Zaslavsky (Ed) Proceedings of the 23rd Conference of the international Group for the Psychology of Mathematics Education, , Haifa, Israel, I-95. Dubinsky, E. McDonald, M. (1999). APOS: A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research, http://www.google.com/search?q=cache:15KOEsDDMkwJ:www.math.kent.edu/~edd/IC MIPaper.pdf+APOS
Gerrig, R. J. (1991): Text comprehension. In The psychology of human thought (Eds.) R. J. Sternberg, E. E. Smith, Cambridge University Press, Cambridge 1991, p. 244-245. Gray, E., Tall, D. (1994): Duality, ambiguity and flexibility: A proceptual view of simple arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 25, no. 2, pp. 116-141. Hejný, M. (1999): Procept, In: Zborník bratislavského seminára z teórie vyučovnia matematiky (Grant VEGA 1/5197/98), KZaDM, Bratislava 1999, s.40-61. Hejný, M. (2000): Budování geometrických proceptů, 7. setkání učitelů matematiky všech stupňů škol, 25.-27.říjen 2000, Mariánské Lázně, JČMF, In: ed.: M. Ausbergerová a J.Novotná, s.11-17 Hejný, M.(2001): Analiza dydaktyczna pojenć matematycznych – przyklady geometryczne, In: (Ed). Jerzy Tocki: Zeszyty naukowe Uniwersytetu rzeszowskiego 1. Seria Matematyczno Przyrodnicza, Matematzka 1, Rzesów 2001, s. 19-41. Hejný, M., Kuřina, F. (2001): Dítě, škola a matematika, Portál, Praha Hejný, M. (2002): Izomorfismus jako strukturotvorný nástroj. . In (Eds). V. Burjan, M. Hejný, 16
Š. Jány Zborník príspevkov z letnej školy teórie vyučovania matematiky PYTAGORAS 2002, JSMF, EXAM, Bratislava, s. 16-32, Hejný, M. (2004a): Mechanizmus poznávacího procesu, in (Ed). M. Hejný, J.Novotná, N. Stehlíková: Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky 1, Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, Praha, 2004, s. 23-42. Hejný, M. (2004c): Záporná čísla, in: (Ed). M. Hejný, J.Novotná, N. Stehlíková: Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky 1, Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, Praha, 2004 s.327-342. Hejný, M. (2004d): Zlomky, in (Ed). M. Hejný, J.Novotná, N. Stehlíková: Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky 1, Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, Praha, 2004, s. 343-356. Hejný, M.: (2006) Prostředí, která otevírají svět čísel. In: ed. M. Lávička, B. Bastl,M. Ausbergerová. Sborník z konference 10 setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol, Vydavatelský servis, Plzeň, s. 115-120. Hejný, M. Jirotková, D. (2004): Svět aritmetiky a svět geometrie, in: (Ed). M. Hejný, J.Novotná, N. Stehlíková: Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky 1, Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, Praha, 2004, s. 125-135 Jirotková, D.: (1997) Creating the concept of infinity in a geometrical context. In: Hejný, M., Novotná, J., (eds), ERCME 97, Proceedings, Charles University, Faculty of Education, Poděbrady, s. 89-94. Jirotková, D. (1998), Pojem nekonečno v geometrických představách studentů primární pedagogiky. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 43, č. 4, s. 326-334. Jirotková, D. (2006) Budování konceptuálních představ čísla u dítěte ve věku 5 – 8 let. In: ed. M. Lávička, B. Bastl,M. Ausbergerová. Sborník z konference 10 setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol, Vydavatelský servis, Plzeň, s. 143-150. Kopáčková, A.(2002): Nejen žákovské představy o funkcích. Pokroky matematiky, fyziky astronomie, roč. 47, č. 2, s. 149 – 161. MEISSNER, H. (2002): Procepts in Geometry. In: Proceedings of CERME 2, Marianske Lazne, Czech Republic Mostowski, A. (1972): Matematyka a logika, Wiadomości Matematycyne, 15, 79-89 Repáš, V., Černek, P., Pytlová, Z., Vojtela, I.: (1997) Učebnica matematiky pre 5. ročník ZŠ. Orbis Pictus Istropolitana, Bratislava Semadeni, Z, (2002): Trojaka natura matematyki: idee glebokie, formy powierzchniowe, modele formalne, Dydaktyka matematyki , 24, 41-92. Ruppeldová, J, (2006): Interpretačná dominanta riešenia slovnej úlohy. In Uhlířová M (Ed): Matematika jako prostředí pro rozvoj osobnosti žáka primární školy, Sborník příspěvků z konference s mezinárodní účastí, Olomouc 2006, str. 212-217. Slezáková, J. (2006) Budování procesuálních představ čísla u dítěte ve věku 5 – 8 let. In: ed. M. Lávička, B. Bastl,M. Ausbergerová. Sborník z konference 10 setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol, Vydavatelský servis, Plzeň, s. 253-258. Stehlíková, N. (2004) Structural Understanding in Advanced Mathematical Thinking, Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta. Swoboda, E. (2006): Przestrzeń, regularności geometryczne i kształty w uczeniu się i nauczaniu dzieci. Rzeszów: Wydawnictwo Uczelniane Uniwersytetu Rzeszowskiego, 2006.
17
