Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Moderní geometrie

Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Katedra didaktiky matematiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta [email protected] www.surynkova.info

Přehled 

 





Motivace a praktické aplikace Studium geometrie Deskriptivní geometrie Klasické úlohy deskriptivní geometrie s využitím počítačových programů a aplikace geometrie v praxi 

promítací metody – speciálně lineární perspektiva



konstruktivní fotogrammetrie, fotografování



geometrické osvětlení



plochy stavební praxe, užití v architektuře



konstrukce kuželoseček

Geometrie v rovině a v prostoru 



konstrukční úlohy

Praktická část 

programy GeoGebra, Rhinoceros

Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková

Motivace a praktické aplikace 

Geometrie 

celá řada geometrických disciplín 



diferenciální , analytická, počítačová geometrie, …

základ moderních aplikací 

stavební obory



počítačové projektování



navrhování architektonických a designových prvků



výrobní průmysl


Petra Surynková


Geometrie 

přenos reálných interiérů a exteriérů do virtuálních světů - např. virtuální procházka městem nebo domem



počítačové hry


Petra Surynková


Geometrie 

digitalizace skutečných objektů – rekonstrukce povrchů 3D skenováním



replikace tvarů skutečných předmětů pomocí 3D tisku



počítačová grafika 

geometrické algoritmy – základem elementární geometrické principy


Petra Surynková


Geometrie 

moderní aplikace  

 



matematický obor vyžadující logické myšlení, prostorovou představivost studium většiny geometrických oborů velmi náročné

Deskriptivní geometrie 

zobrazování reálných objektů – nezastupitelná role v řadě odvětvích, ve kterých je správná vizualizace rozhodující 



společným základem geometrické principy a poznatky užité metody mnohdy vycházejí z elementární geometrie

v aplikacích, které jsme uvedli, hraje názorné zobrazení prostoru důležitou roli

Geometrie v rovině a v prostoru 

nezbytná součást všech jmenovaných oblastí – tedy i základ DG



klasické rýsování neprávem považováno za přežitek, je ale nutné přizpůsobit se nárokům moderní doby


Petra Surynková

Studium geometrie 

Všeobecně velmi náročné    





malá úspěšnost studentů, nezájem se geometrii učit na ZŠ i SŠ někdy opomíjena pokud nezbývá ve výuce čas, bývá redukována nebo dokonce zcela vynechávána právě geometrie především v nižších ročnících by však geometrie měla být v matematice na prvním místě

Prostorovou představivost se můžeme do jisté míry naučit, rozvíjet ji a zdokonalovat

Nutné začít včas – v raném dětském věku 

lze promeškat vhodnou dobu učení prostorového vidění



klást důraz na výuku geometrie již na ZŠ – podstatná a nenahraditelná



později je obtížné mezery dohnat 

na SŠ náročné, na VŠ téměř nemožné


Petra Surynková

Deskriptivní geometrie 





Deskriptivní geometrie dříve 

ukázky rysů



precizní zpracování, tuš, kvalitní výtvarná stránka

Deskriptivní geometrie a rýsování dnes 

považováno za přežitek



po nástupu počítačů zbytečné?



má smysl vypracovávat rysy podobné těm starším?

nutné přizpůsobit se reálné praxi


Petra Surynková


Moderní počítačové programy 

CAD systémy - pokročilé grafické programy 





běžné ve výrobních procesech při konstruování, navrhování či modelování nejrůznějších objektů

velmi účinný nástroj

ALE POZOR! 

geometrické zákonitosti je nutné v každém případě znát, i když rýsujeme nebo modelujeme prostorové situace na počítači



projekce skutečných reálných objektů a situací, jejich zakreslování, navrhování objektů nových… - neobejde se bez znalostí prostorových vztahů



musíme rozumět principům vzniku prostorových objektů


Petra Surynková


Správné črtání, rýsování   

dnes neoprávněně považováno za zbytečné (v praxi přece nic rýsovat nebudeme) samozřejmě – elektronická tvorba je dnes běžný standard ale představuje nenahraditelnou roli ve fázi navrhování 



žádný software nemůže nahradit tužku a papír v okamžiku, kdy má např. architekt nápad a potřebuje jej rychle vyjádřit, zaznamenat a rozvíjet

Geometrie nás učí preciznosti, přesnosti, trpělivosti  

nezáleží na daném tématu nelze zcela opustit


Petra Surynková


Klasická disciplína – okruhy 

promítací metody 

Mongeovo a kosoúhlé promítání, pravoúhlá a kosoúhlá axonometrie, středové promítání (speciálně lineární perspektiva)



křivky a plochy



aplikace promítání 

reliéfy, konstruktivní fotogrammetrie



v rámci všech témat – poznatky z geometrie v rovině a v prostoru



sice hovoříme o DG, ale některá témata a oblasti využitelné i při výuce geometrie na SŠ v rámci planimetrie a stereometrie



navíc se nemusí jednat o konkrétní téma, spíše jde o způsob pojetí a využité prostředky


Petra Surynková

Klasické úlohy DG s využitím počítačových programů 

Rýsování na počítači a počítačové 3D modelování 

lze používat v rámci všech klasických geometrických témat 



Program Rhinoceros (NURBS modeling for Windows) 



geometrie v rovině a v prostoru, deskriptivní geometrie

3D modelovací komerční program (existují alternativy)

GeoGebra 

software dynamické 2D (3D) geometrie a matematiky



motivace studentů



podpora prostorové představivosti



inovace vyučování geometrie



zlepšení výsledků žáků a studentů


Petra Surynková

Lineární perspektiva 

Speciální případ středového promítání 

určeno průmětnou (rovina nebo obecná plocha, na kterou promítáme) a středem promítání, který v průmětně neleží



středový obraz bodu A v prostoru (různý od středu promítání ) = s průsečík paprsku (SA) s průmětnou (bod A )

 S promítací přímka

As


A

Petra Surynková


Vhodně zvolené středové promítání 

vzdálenost středu promítání od průmětny – nejméně 20 – 25 cm distance 



minimální vzdálenost, ze které jsme schopni zřetelně pozorovat objekty

pozorovaný objekt uvnitř zorného kužele  

rotační kuželová plocha - vrchol ve středu promítání, osa kolmá k průmětně, vrcholový úhel 20° až 45° objekty mimo zorný kužel – velké zkreslení



d

O střed promítání - oko

Ap


A Petra Surynková


další možné podmínky a pojmy 

zobrazované předměty stojí na základní rovině za průmětnou



oko (střed promítání) – nad základní rovinou – výška 1,5 až 2 m



hlavní bod, obzorová rovina, horizont, …

d

O

H A

výška oka



hlavní bod p

h

obzorová rovina

horizont

A

A1p

z

A1



základnice Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková


Čtvercová síť (dlažba) v půdorysné rovině - tzv. pavimentum a její perspektivní obraz  

důležité pro malíře díky obrazu dlažby lze do perspektivního obrazu přesněji umisťovat další objekty


Petra Surynková


Přechod do průmětny


Petra Surynková


Nalezení správné konstrukce pavimenta se v historii vždy věnovala značná pozornost 

U

situace v průmětně – pavimentum v průčelné poloze

H

V h

z Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková


Čtvercová síť (dlažba) v půdorysné rovině - tzv. pavimentum a její perspektivní obraz  

důležité pro malíře díky obrazu dlažby lze do perspektivního obrazu přesněji umisťovat další objekty


Petra Surynková


Přechod do průmětny


Petra Surynková

Lineární perspektiva 

U

situace v průmětně – pavimentum v neprůčelné poloze

H

W

V h

z Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková


Perspektivní obraz 3D objektu

 O

H h

 z


Petra Surynková


Zrcadlení v lineární perspektivě situace v prostoru


Petra Surynková


Zrcadlení v lineární perspektivě


zobrazení ve zvolené lineární perspektivě - rys na počítači a 3D počítačový model

Petra Surynková



situace v prostoru – princip lineární perspektivy


Petra Surynková




zobrazení ve zvolené lineární perspektivě - 3D počítačový model

Petra Surynková




zobrazení ve zvolené lineární perspektivě - rys na počítači

Petra Surynková


Zrcadlení v lineární perspektivě zadání pro studenty pomocí pravoúhlých průmětů

275

110



35°


Petra Surynková


Zrcadlení v lineární perspektivě situace v prostoru


Petra Surynková

Konstruktivní fotogrammetrie 

Rekonstrukce fotografického snímku – konstruktivní fotogrammetrie 

vkreslení nového objektu do fotografie, vymodelování prostorové situace


Petra Surynková


Rekonstrukce fotografického snímku – konstruktivní fotogrammetrie


Petra Surynková


Rekonstrukce fotografického snímku – konstruktivní fotogrammetrie


Petra Surynková


Jak z daného středového průmětu vymodelovat prostorovou situaci? 

používají se metody konstruktivní fotogrammetrie



Co všechno musíme znát, aby byl středový průmět jednoznačný?

Jaké těleso může mít tento průmět?


Petra Surynková

Konstruktivní fotogrammetrie příklad tělesa a lineární perspektivy

 H h

O

 z Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková


Předpokládejme nyní, že jde o krychli v průčelné poloze stojící na základní rovině 

dokážeme tak najít horizont, střed promítání



známe-li velikost hrany krychle, lze k perspektivními průmětu jednoznačně přiřadit prostorový model

 O H

h

 z Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková


Dnes se fotogrammetrické metody mohou využívat k rekonstrukci fotografie 

pro vymodelovaní prostorové situace je nutné znát další informace 



které přímky jsou rovnoběžné, známe úhly, poměry délek, ... – takto nalezneme horizont a střed promítání

nutné znát nějaký rozměr objektu, abychom získali přesný prostorový model objektu


Petra Surynková


Rekonstrukce fotografického snímku

situace v prostoru


Petra Surynková




Lze rovněž využít k rekonstrukcím malířských děl a posoudit tak geometrické metody použité při zobrazování prostoru Pouze jedna stránka výtvarného díla 

způsoby zobrazování trojrozměrného prostoru na ploše obrazu 



toto hledisko není jediným měřítkem, podle kterého lze hodnotit velikost a kvalitu výtvarného díla (někdy dokonce nedůležité) 

perspektiva - nemusí být nutně použita, je pouze jednou ze složek výtvarného projevu



každá historická epocha má své estetické normy, své vlastní způsoby uměleckého vyjadřování



v minulosti – ve většině kultur šlo o jiné priority než realistické zobrazování prostoru (nemluvě o soudobém výtvarném umění)

Tři okruhy problémů, s nimiž se malíři potýkali 

zobrazení postavy



zachycení vztahů mezi postavami



znázornění prostoru, do něhož jsou postavy umístěny


Petra Surynková






Ambrogio Lorenzetti (1290 –1348)

Zvěstování 

kolem r.1344



čtvercový obraz, hlavní bod umístěn do průsečíku úhlopříček



víra ve správnost souměrné kompozice



symetrie je zdůrazněna stejnými výklenky a symetrií postav

Petra Surynková



Tommaso di Ser Giovanni di Mone Cassai (1401 –1428)



zvaný Masaccio, italský malíř



považován za průkopníka renesanční malby



Svatá Trojice 

kolem r. 1427, freska



Santa Maria Novella, Florencie, Itálie



dokonalá perspektivní konstrukce, lidé zprvu mysleli, že umělec udělal do zdi otvor



zobrazení imaginární architektury, výklenku, valené klenby (typické pro Brunelleschiho)



Bůh – Otec podpírá ukřižovaného Ježíše, u jehož nohou se nacházejí Panna Maria a sv. Jan



u paty kříže na sarkofágu Adamova kostra – symbol lidstva



vně obrazu – donátoři – mimo boží prostor, v prostoru pozemském


Petra Surynková



Jan van Eyck (1390 –1441)



z Nizozemí



Podobizna manželů Arnolfiniových 

r. 1434, olej na dřevě



National Gallery, Londýn



údajně se jedná o zobrazení sňatku





pes – symbol věrnosti



nad zrcadlem napsáno – ,,Jan van Eyck byl při tom.‘‘



lustr – hoří jediná svíce symbolizující Kristovu přítomnost

pozoruhodné - vypuklé zrcadlo, ve kterém se odráží strop, zahrada, podlaha a dvě další postavy – malíř a zřejmě svědek


Petra Surynková



Leonardo da Vinci (1452 –1519)



prototyp tvůrčího renesančního člověka



Poslední večeře 

1495 – 1498, olej a tempera na sádrové desce – velmi brzy poničené



Santa Maria delle Grazie (refektář), Milán, Itálie


Petra Surynková

Geometrické osvětlení 

Lze chápat jako projekci v daném směru nebo ze středu


Petra Surynková


Lze chápat jako projekci v daném směru nebo ze středu


Petra Surynková

Geometrické osvětlení



Lze měnit pohled na modelovaný objekt – velká výhoda modelovacího softwaru


Petra Surynková

Geometrické osvětlení Ručně narýsovaný rys – osvětlení kulové plochy v lineární perspektivě – poměrně těžký geometrický problém


Petra Surynková

Geometrické osvětlení půdorys

nárys

S

S


Petra Surynková

Geometrické osvětlení 

Osvětlení – situace v prostoru  

zadání lineární perspektivy průmět kulové plochy a stínů do perspektivní průmětny 

zobrazeny promítací kužele

• 3D modelování na počítači

S

▫ může pomoci nejen k řešení prostorové situace, ale také k pochopení principů zobrazování celé situace ve zvolené lineární perspektivě


Petra Surynková


Skupina těles – pravoúhlá axonometrie – podhled! 

úkol studentů narýsovat ručně osvětlení skupiny těles v daném směru

z

s W p p2

V U

x

s1


y Petra Surynková

Geometrické osvětlení


Petra Surynková

Plochy stavební praxe

Vznik rotační plochy Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková

Plochy stavební praxe Vznik rotační plochy


Petra Surynková


Vznik šroubové plochy Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková

Plochy stavební praxe Vznik šroubové plochy


Petra Surynková


Vznik přímého parabolického konoidu


Petra Surynková


Plocha jednodílného rotačního hyperboloidu Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková

Plochy stavební praxe Frézierův cylindroid


Petra Surynková

Plochy stavební praxe Přímé kruhové konoidy


Petra Surynková

Plochy stavební praxe Hyperbolický paraboloid


Petra Surynková

Plochy stavební praxe Hyperbolický paraboloid


Petra Surynková

Plochy stavební praxe Cyklická šroubová plocha

Přímková šroubová plocha


Petra Surynková

Plochy stavební praxe Translační plocha


Petra Surynková


Válcová plocha jako klenba Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková


St. Mary‘s Cathedral – San Francisco, USA

Hyperbolický paraboloid Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková


St. Mary’s Cathedral Tokyo, Japonsko

Hyperbolický paraboloid Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková

Aplikace geometrie v praxi 

Geometrie vždy vycházela z praktických potřeb 

k rozvíjení geometrických znalostí nejvíce přispívala stavitelská činnost – platí i obráceně nejpevnějším základem, na kterém se mohla architektura vyvinout, byla znalost geometrických zákonitostí 





vyměřování pozemků, stavba obydlí, opevnění

Využití geometrie v praxi je nejviditelnější a nejhmatatelnější v architektuře

Ukázky architektonických děl 





geometrické plochy, které se využívají v architektuře nebo v technické praxi ukázky využití těchto ploch v architektuře v minulosti i dnes, některé architektonické zajímavosti geometrie staveb


Petra Surynková

Geometrie v architektuře 

Rotační plochy


Petra Surynková

Geometrie v architektuře Použití části kulové plochy a pendentivů k zaklenutí

Bazilika sv. Petra – Vatikán


Petra Surynková

Geometrie v architektuře

Placková klenba

Vatikánská muzea


Petra Surynková


Nika u Fontana di Trevi – Řím, Itálie Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková


tzv. koncha

Model niky – výklenek poloválcového tvaru zakončený čtvrtinou kulové plochy


Petra Surynková


Kulová plocha jako kupole

Bazilika sv. Petra – Vatikán Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková


Petra Surynková


Petra Surynková


(www.en.wikipedia.org)

Kulová plocha jako kupole - Bazilika sv. Petra – Vatikán Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková

Geometrie v architektuře Rotační jednodílný hyperboloid

Planetárium (zakladatel James S. McDonnell ) – St. Louis, USA (www.en.wikipedia.org)

Katedrála (architekt Oscar Niemeyer) – Brasília, Brazílie (http://www.trekearth.com)

Roy Thomson Hall - Toronto, Kanada Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková

Roy Thomson Hall - Toronto, Kanada Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková

City Hall - Toronto, Kanada


Petra Surynková


Fuji Television Building in Odaiba (architekt Kenzo Tange) – Tokyo, Japonsko


Petra Surynková


(http://cs.wikipedia.org)

Televizní vysílač na Ještědu – část věže ve tvaru rotačního jednodílného hyperboloidu - ČR

(http://www.zinger-travel.com/Jested.htm)


Petra Surynková


Přímkové rozvinutelné plochy


Petra Surynková


a)

Valená klenba u Negrelliho viaduktu – Praha, ČR

c)

b)

S

S


d)

S

S1

Petra Surynková

Geometrie v architektuře Křížové klenby


Petra Surynková


Vatikánská muzea - Vatikán Bazilika sv. Petra - Vatikán Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková

Geometrie v architektuře Oblouky akvaduktů a viaduktů

Akvadukt Avre Verneuil-sur-Avre, Francie

Akvadukt Pont du Gard Francie

(http://www.trekearth.com)


Viadukt Ribble Head – Hawes, Velká Británie (http://www.trekearth.com)


Petra Surynková


(http://familyramble.com)

Válcové plochy na Palmovém pavilonu v Kew Gardens – Londýn, Anglie

(http://picasaweb.google.com)


Petra Surynková


Použití eliptické válcové plochy a částí anuloidů u stanice metra – Praha, ČR


Petra Surynková

Geometrie v architektuře Válcové a kuželové skořepiny

(http://baixaki.ig.com.br)

Kostel v Belo Horizonte (architekt Oscar Niemeyer) Brazílie (http://www.trekearth.com)


Petra Surynková

Geometrie v architektuře Válcová skořepina

(www.avizora.com)

Niterói (architekt Oscar Niemeyer) Brazílie



Petra Surynková


Přímkové zborcené plochy


Petra Surynková

Geometrie v architektuře Hyperbolický paraboloid

Kostel Sv. Athanasia – Reading, Massachusetts, USA

Hyperbolický paraboloid chránící vchod do budovy

(http://tullyinternational.com)



Petra Surynková

Geometrie v architektuře Hyperbolický paraboloid


Tenká skořepina ve formě průniku hyperbolických paraboloidů Restaurace v oceánografickém parku – Valencie, Španělsko Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková

Geometrie v architektuře Konoidy

Oxford Road Station Manchester, Anglie (http://commons.wikipedia.org)

Soudní budova - Boston, Massachusetts, USA (http://picasaweb.google.com)


Petra Surynková


Plocha šikmého průchodu na Negrelliho viaduktu – Praha, ČR


Petra Surynková


Šroubové plochy


Petra Surynková


Přímá uzavřená přímková šroubová plocha – Praha, ČR Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková


Přímková šroubová plocha Muzeum Louvre - Paříž, Francie Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková


Další zajímavé stavby


Katedrála v Independence – Missouri, USA (http://www.trekearth.com) Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková



Muzeum umění ( architekt Oscar Nimeyer) - Rio de Janeiro, Brazílie



Petra Surynková


(www.en.wikipedia.org)

Oceánografický park a muzeum (Město umění a vědy, architekt Santiago Calatrava) – Valencie, Španělsko (www.en.wikipedia.org)


Petra Surynková



Biodome - Montreal, Kanada (www.en.wikipedia.org)


Petra Surynková


Walt Disney Concert Hall (architekt Frank Gehry) – Los Angeles, California, USA Moderní geometrie – Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně

Petra Surynková

Konstrukce kuželoseček 

Příklad využití dynamického programu GeoGebra  

obraz kružnice ve středové kolineaci kuželosečka určená pěti prvky 

tři body a dvě tečny – celkem čtyři různá řešení (zjišťuje se algebraicky), obtížná úloha, vychází osm různých středových kolineací, které převádějí zvolenou kružnici na kuželosečku danou těmito pěti prvky, vždy dvě dávají stejný výsledek 



dva body a tři tečny – analogie, opět čtyři různá řešení 

 



součástí úlohy je též zjistit druh kuželosečky a zobrazit ji součástí úlohy je též zjistit druh kuželosečky a zobrazit ji

dva body, dvě tečny, parabola asymptota, tři body, hyperbola …

K programu GeoGebra lze namodelovat všechna řešení 

navíc lze dynamicky měnit zadání a sledovat, jaké typy kuželoseček vycházejí


Petra Surynková


Obraz kružnice ve středové kolineaci


Petra Surynková


Kuželosečka určená pěti prvky


Petra Surynková

Geometrie v rovině 

Vepsaná a opsaná kružnice trojúhelníku


Petra Surynková


Pythagorova a Euklidovy věty


Petra Surynková


Tětivový a tečnový čtyřúhelník


Petra Surynková


Středový, obvodový a úsekový úhel příslušný k oblouku kružnice


Petra Surynková

Shrnutí a závěr 

Existuje celá řada výukových metod a postupů 



Počítače mohou být jednou z možností, jak dát výuce geometrie nový rozměr 





jak zvýšit zájem o studium geometrie a úspěšnost v jejím absolvování

geometrii znovu chápat jako nezbytnou součást technického vzdělání

Velmi kladný ohlas u studentů 

vnímají geometrii jako zajímavou a moderní disciplínu



počítačové modelování se zdá být vhodnou didaktickou pomůckou

Důraz na propojení geometrie a praxe


Petra Surynková

Praktická část 



Ukázky modelování v programu Rhinoceros 

tvorba rysů



3D modelování



práce studentů



užití na SŠ – technické zaměření, na VŠ – hodiny DG

Užití programu GeoGebra 

seznámení s GeoGebrou



základní ovládání



konstrukční úlohy



užití na všech stupních vzdělávání


Petra Surynková

Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Recommend Documents