ROZDĚLENÍ PŘÍJMŮ A JEHO MODELY. Jitka Bartošová

ROZDĚLENÍ PŘÍJMŮ A JEHO MODELY Jitka Bartošová Katedra managementu informací, Fakulta managementu, Vysoká škola ekonomická Praha, Jarošovská 1117/II, 377 01 Jindřichův Hradec [email protected]

Abstrakt: Proces transformace ekonomiky, který byl v České republice zahájen po roce 1990, významně ovlivnil mj. také platy a příjmy obyvatelstva. Různost zdrojů, ze kterých příjmy pocházejí, a současný proces diferenciace mezd, který probíhá v některých společenských skupinách velmi bouřlivě, má za následek vzrůst neshody empirického rozdělení příjmů s pravděpodobnostním modelem především na jeho okrajích. Vznikají velmi vysoké hodnoty příjmů, které mohou být považovány za odlehlé a mohou způsobovat narušení (kontaminaci) zvoleného modelu. V některých sociálních skupinách odpovídá empirické rozdělení příjmů směsi a nelze ho proto dobře vystihnout jednovrcholovým pravděpodobnostním modelem atp. Tento příspěvek je zaměřen na rozklad příjmových souborů, které se vyznačují dvouvrcholovým empirickým rozdělením četností. Klíčová slova: pravděpodobnostní model, rozdělení příjmů, třídění směsi.

1. Úvod Příjmy domácností jsou objektem zkoumání ekonomů všech vyspělých zemí světa, neboť v sobě odrážejí životní úroveň obyvatelstva. Znalost rozdělení příjmů obyvatelstva a možnost jeho porovnávání z různých sociálně-ekonomických a časově-prostorových hledisek je podmínkou posouzení životní úrovně, úrovně sociálního zabezpečení a sociální spravedlnosti v rozdělování materiálních hodnot, vytvořených společností. Statistická analýza rozdělení příjmů obyvatelstva by měla být také východiskem pro rozhodování v oblasti rozpočtu a sociální politiky. Přímá souvislost příjmů s kupní silou obyvatelstva staví sledování úrovně, struktury a vývoje rozdělení příjmů na přední místo také při zjišťování odbytových možností pro výrobky dlouhodobé i krátkodobé spotřeby. Můžeme je rovněž využít při úvahách o úrovni daňového zatížení apod. Životní úroveň, která je v širším smyslu dána souhrnem všech životních podmínek hmotných i společenských, nelze v tomto obecném pojetí zcela uspokojivě kvantifikovat. Proto se při statistické analýze životní úrovně zaměřujeme pouze na měřitelné složky životní úrovně. Pro správnou kvantifikaci té složky životní úrovně obyvatelstva, která je přímo závislá na příjmech, je potřeba vystihnout úroveň a strukturu příjmů obyvatelstva komplexně a nalézt vhodné pravděpodobnostní modely příjmových rozdělení pro jednotlivé sociální skupiny i pro obyvatelstvo jako celek, bez ohledu na sociální skupinu. Znalost pravděpodobnostního modelu, který představuje jednoduchou aproximaci mnohdy složitého empirického rozdělení, a znalost trendu vývoje jeho parametrů by měly tvořit základ pro konstrukci odhadu spotřeby v budoucnosti i pro predikci dopadu různých sociálních a ekonomických opatření. Často používaný typ pravděpodobnostního modelu rozdělení příjmů (logaritmicko-normální rozdělení) je odvozen z charakteru sledovaného znaku a vychází z dlouhodobé zkušenosti s jeho chováním před zahájením transformačního procesu. Dřívější plánovaná forma ekonomiky, která se vyznačovala vysokou homogenitou příjmů obyvatelstva ve všech sociálních skupinách, se v současné době mění na formu tržní a tato změna sebou přináší i některé změny ve struktuře příjmů obyvatelstva.

8.

NÁRODNÍ KONFERENCE

STATISTICKÉ DNY

V

BRNĚ, BRNO 27. - 28.

ČERVNA,

2006

Proces transformace ekonomiky, který byl v České republice zahájen po roce 1990, významně ovlivnil mj. také platy a příjmy obyvatelstva. Různost zdrojů, ze kterých příjmy pocházejí, a současný proces diferenciace mezd, který probíhá v některých společenských skupinách velmi bouřlivě, má za následek vzrůst neshody empirického rozdělení příjmů s pravděpodobnostním modelem především na jeho okrajích. Vznikají velmi vysoké hodnoty příjmů, které mohou být považovány za odlehlé a mohou způsobovat narušení (kontaminaci) zvoleného modelu (viz [4], [5], [6]). V některých sociálních skupinách odpovídá empirické rozdělení příjmů směsi a nelze ho proto dobře vystihnout jednovrcholovým pravděpodobnostním modelem atp. Tyto změny se v průběhu transformačního procesu stále prohlubují a s rozdílnou intenzitou a setrvačností se postupně projevují v rozdělení příjmů všech obyvatel i v některých sociální skupinách. 2. Datové soubory Setrvačnost příjmů domácností způsobuje zpoždění jejich reakce na proces transformace. Nelze tedy předpokládat, že hospodářské změny se projeví v rozdělení příjmů bezprostředně po roce 1990. Proto byly k analýze rozdělení příjmů domácnostní po roce 1990 použity výběrové soubory, pocházejí z Mikrocensu 1996, které monitorují příjmy českých domácností po uplynutí šesti let od počátku transformačního procesu a můžeme proto očekávat, že v jejich rozdělení se budou ekonomické změny zřetelně odrážet. 2.1 Mikrocensus 1996 V roce 1996 se výběrové šetření Mikrocensus provádělo na přibližně 1% domácností, což činilo v té době asi 28 tis. bytů. K účelům zkoumání rozdělení ročních příjmů obyvatelstva byly od Českého statistického úřadu získány následující údaje: •

sociální skupina určená podle typu zaměstnání osoby v čele domácnosti 1 – dělníci, 2 – samostatně činní (mimo zemědělství), 3 – zaměstnanci, 4 – samostatně hospodařící rolníci, 5 – družstevní rolníci, 6 – důchodci v domácnosti s ekonomicky aktivními členy, 7 – důchodci v domácnosti bez ekonomicky aktivních členů, 8 – nezaměstnaní, 0 – ostatní,

•

počet členů domácnosti,

•

čistý roční peněžní příjem domácnosti (v Kč za rok).

Neagregované datové soubory příjmů mají tu výhodu, že umožňují získat kvalitní odhady charakteristik jejich empirického rozdělení i parametrů zvoleného teoretického modelu. Tyto soubory rovněž dovolují provádět detekci odlehlých hodnot příjmů a odhad kontaminace vybraného modelu. Informace o uvedených zvláštnostech rozdělení příjmů by nebylo možné získat z agregovaných souborů, publikovaných na internetových stránkách Českého statistického úřadu a ve statistických ročenkách. Údaje, publikované ČSÚ, například neobsahují bližší informace o krajích rozdělení příjmů – oba krajní intervaly jsou zde ponechány otevřené. To způsobuje velké problémy především v pravém krajním intervalu, kde hodnoty příjmů nejsou koncentrovány v okolí jeho dolní hranice. Navíc podíl těchto hodnot trvale roste. V posledním

8.

NÁRODNÍ KONFERENCE

STATISTICKÉ DNY

V

BRNĚ, BRNO 27. - 28.

ČERVNA,

2006

mikrocensním šetření, provedeném v r. 2002, přesahoval podíl hodnot, ponechaných v obou krajních intervalech, v některých sociálních skupinách 25%. 2.2 Volba statistické jednotky a statistického znaku Vzhledem k tomu, že při modelování příjmových rozdělení nejsou rozhodující vztahy příbuzenské, ale vztahy hospodářské, představuje zde statistickou jednotku hospodařící domácnost. Pro koupěschopnost domácností většinou není rozhodující jejich celkový příjem, ale ukazatel z něj odvozený – příjem na hlavu, tj. na jednoho člena domácnosti. Jedním ze zkoumaných statistických znaků tedy bývá čistý roční peněžní příjem na hlavu. Výjimku tvoří zboží dlouhodobé a kolektivní spotřeby, kde má pro koupěschopnost domácností rozhodující význam jejich celkový příjem. Dalším zkoumaným znakem je proto celkový čistý roční peněžní příjem na domácnost. 3. Směsové soubory a jejich třídění Při analýze empirického rozdělení celkových příjmů domácností, pocházejících z Mikrocensu 1996, lze ve dvou případech (příjmy domácností důchodců bez ekonomicky aktivních členů a příjmy všech domácností) pozorovat dvouvrcholovost rozdělení (viz grafy 1 a 2). Takže empirické rozdělení v těchto dvou případech signalizuje směs, kterou nelze namodelovat unimodálním teoretickým rozdělením. Nejprve je potřeba provést vhodný rozklad směsi na dvě jednovrcholové složky, které jsou pak modelovány samostatně. V obou případech se zřejmě jedná o směs dvou posunutých jednoduchých unimodálních křivek. Navíc v případě všech domácností, bez ohledu na sociální skupinu, se bude jednat pravděpodobně o směs více křivek. V tomto souboru jsou zahrnuty domácnosti všech velikostí i všech sociálních skupin, takže příjmy na domácnost zde závisí jednak na sociální skupině a jednak na počtu členů domácnosti. Situace je tedy v tomto případě velmi komplikovaná (viz graf 2). Graf 1. Jádrový odhad rozdělení příjmů domácností důchodců bez ekonomicky aktivních členů a jeho tříparametrický logaritmicko-normální model (příjmy na domácnost)

8.

NÁRODNÍ KONFERENCE

STATISTICKÉ DNY

V

BRNĚ, BRNO 27. - 28.

ČERVNA,

2006

Graf 2. Jádrový odhad rozdělení příjmů všech domácností a jeho tříparametrický logaritmicko-normální model (příjmy na domácnost)

V uvedených grafech 1, 2 jsou zobrazeny jednak jádrové odhady hustoty ) 1 n  Xi − x  ⋅ ∑ K f E ( x) =  n ⋅ h i =1  h 

(1)

s kosinovým jádrem

1  X −x cos i  2  h 

pro

Xi − x π ≤ h 2

 X − x K i =  h 

(2) 0

jinak

a jednak hustoty příslušných tříparametrických logaritmicko-normálních modelů

1

1 e σ 2π ( x − γ )

−

(ln( x−γ )− µ )2 2σ 2

pro x ∈ (γ , ∞ )

f T ( x; µ , σ 2 , γ ) =

(3) 0

jinak,

kde µ , σ 2 , γ jsou parametry logaritmicko-normálního modelu a parametr h ovlivňuje stupeň vyhlazení křivky jádrového odhadu.

3.1 Třídění směsových souborů Při třídění směsí můžeme postupovat dvěma různými způsoby:

8.

NÁRODNÍ KONFERENCE

STATISTICKÉ DNY

V

BRNĚ, BRNO 27. - 28.

ČERVNA,

2006

• •

logickým, datově orientovaným.

Přednost mají vždy logické metody třídění. K tomu je ovšem nezbytná znalost dalších doplňkových informací o datových souborech. Logický přístup má především tu výhodu, že umožňuje nalézt skutečné příčiny vzniku směsí. Další výhodou je rovněž možnost zpracování vzniklých podskupin příjmů podle odlišných pravděpodobnostních modelů. Teprve v případě, kdy nejsou k dispozici vhodná logická kritéria, používají se ke třídění různé datově orientované statistické postupy. Přitom je nezbytné brát v úvahu i to, že rozdělení příjmů v jednotlivých podskupinách se mohou lišit jak hodnotami některých ukazatelů (např. polohou nebo rozptylem), tak funkčním tvarem. Pokud jsou náhodné veličiny X 1 ,..., X n nezávislé, lze při znalosti funkčních tvarů rozdělení v podskupinách J1 a J 2 použít k roztřídění prvků metodu maximální věrohodnosti. Tato metoda spočívá v maximalizaci logaritmické věrohodnostní funkce

(

)

( )

( )

( )

∑ ln f1 (xi ;θ1 ),

r r r r l θ 1 ,θ 2 x = l 1 θ 1 x + l 2 θ 2 x , kde

r l 1 θ1 x =

( ) r

l2 θ2 x = r

(4)

r

xi ∈J1

(5)

r

∑ ln f 2 ( xi ;θ 2 ) ,

xi ∈J 2

r

r

r

θ1 a θ 2 jsou vektory parametrů hustot rozdělení f1 ( x;θ1 ) a f 2 ( x;θ 2 ) v jednotlivých r r r r podskupinách. Maximalizací funkce l θ 1 ,θ 2 x vzhledem k vektorům parametrů θ1 a θ 2 i

(

)

vzhledem k prvkům v podskupinách J1 a J 2 lze nalézt optimální roztřídění datového souboru. Tento rozklad je nutné provádět iteračně (viz [1]).

3.2 Třídění souborů příjmů domácností bez EA členů a všech domácností Rozklad „směsových“ souborů příjmů domácností lze tedy provádět dvěma způsoby –logicky nebo vhodnou datově orientovanou statistickou metodou. K logickému rozkladu souborů s dvouvrcholovými (bimodálními) grafy jádrových odhadů hustot do dvou podskupin lze použít pouze jedinou doplňkovou informaci, kterou máme k dispozici, tj. počet členů domácnosti. Tento faktor může mít vliv na rozdělení četností pouze v případě příjmů na domácnost jako celek. Pokud by byla směs identifikována také u rozdělení příjmů na hlavu, bylo by nutné použít k rozkladu příjmových souborů do podskupin jinou metodu než logickou. V takovém případě by bylo nezbytné použít některou vhodnou statistickou metodu rozkladu, např. metodu maximální věrohodnosti. Logické třídění směsi by v tomto případě nebylo možné provést, neboť soubory příjmů domácností, získané z Mikrocensu 1996, neobsahovaly žádné další doplňkové informace. K rozkladu dvouvrcholových rozdělení zde byla nejprve použita iterační procedura, založená na principu maximální věrohodnosti. Popis iterační procedury lze nalézt v práci (viz [1]). Tato procedura byla realizována v programu MatLab. Za počáteční odhad dělícího bodu byla v této proceduře zvolena hodnota příjmů, v níž jádrový odhad empirické hustoty dosahuje minima mezi oběma vrcholy. Protože v průběhu iterační procedury prakticky nedocházelo k dalšímu přeskupení dat, je výsledek shodný se zvoleným počátečním dělením souboru. To znamená, že první složka směsi je tvořena prvky menšími než toto minimum a druhá složka prvky většími. Vzhledem k tomu, že tento způsob rozkladu vychází pouze 8.

NÁRODNÍ KONFERENCE

STATISTICKÉ DNY

V

BRNĚ, BRNO 27. - 28.

ČERVNA,

2006

z empirického rozdělení četností a nezkoumá příčiny vzniku směsi, bylo nutné použít jiný způsob třídění – logický. Jak bylo uvedeno, datové soubory, získané z Mikrocensu 1996, obsahují kromě informace o sociální skupině a o hodnotě čistého ročního příjmu rovněž informaci o počtu členů domácnosti. Protože se jedná o celkové příjmy domácností, jsou v obou případech splněny předpoklady pro aplikaci logického rozkladu a uvedené doplňkové kritérium může být použito k rozkladu obou směsových souborů.

4. Výsledky logického třídění směsových souborů 4.1 Soubory celkových příjmů domácností bez EA členů Graf 3. Jádrový odhad rozdělení příjmů domácností důchodců bez ekonomicky aktivních členů a jeho logaritmicko-normální model (jednočlenné domácnosti)

Graf 4. Jádrový odhad rozdělení příjmů domácností důchodců bez ekonomicky aktivních členů a jeho logaritmicko-normální model (vícečlenné domácnosti)

8.

NÁRODNÍ KONFERENCE

STATISTICKÉ DNY

V

BRNĚ, BRNO 27. - 28.

ČERVNA,

2006

Zvolená metoda rozkladu ve skupině důchodců bez ekonomicky aktivních členů tedy vycházela z hypotézy, že počet členů by v této skupině mohl mít dominantní vliv na celkový příjem domácnosti. Lze očekávat, že jednočlenné domácnosti důchodců bez ekonomicky aktivních členů budou mít významně nižší roční příjmy než domácnosti vícečlenné. Provedený rozklad tuto hypotézu potvrdil – směs se rozdělila na dvě složky s unimodálními rozděleními. Jádrové odhady obou složek s unimodálním empirickým rozdělením jsou zobrazeny v grafech 3 a 4. Ve všech případech je do grafu zakreslen rovněž tříparametrický logaritmicko-normální model. K oběma složkám směsi, vzniklým logickým rozkladem, byly zkonstruovány příslušné logaritmicko-normální modely. Odhady parametrů modelů byly provedeny iteračně metodou maximální věrohodnosti. Navržená iterační procedura je uvedena v pracích [1], [6]. Pro ilustraci výsledků jsou logaritmicko-normální modely obou složek zobrazeny společně do grafu 5.

Graf 5. Překrývání logaritmicko-normálních modelů složek směsi rozdělení příjmů domácností důchodců bez ekonomicky aktivních členů (příjmy na domácnost) Logaritmicko-normální modely složek směsi (důchodci bez ekonomicky aktivních členů)

osa x ……. příjmy na domácnost

osa y ……. hustota tříparametrických logaritmicko-normálních modelů

vícečlenné domácnosti

jednočlenné domácnosti

4.2 Soubory celkových příjmů všech domácností Dalším směsovým souborem příjmů na domácnost jako celek je soubor příjmů všech domácností, bez ohledu na sociální skupinu. Zde je situace zkomplikována značnou složitostí struktury tohoto příjmového souboru, která se projevuje mj. i tím, že oba vrcholy empirického rozdělení četností jsou zde méně výrazné – „zastíněné“ jinými vlivy. Důvod dvouvrcholovosti empirického rozdělení není v tomto případě tak zřejmý, jako tomu bylo v předchozím případě. K počáteční orientaci v této složité situaci přispělo určení „vlivných“ skupin, tj. skupin s velkým rozsahem, které mají zásadní vliv na charakter rozdělení celého výběrového souboru. Z tabulky 1 a grafu 1 vyplývá, že nejvlivnějšími skupinami byly v r. 1996 domácnosti dělníků a domácnosti důchodců bez ekonomicky aktivních členů, které tvořily dohromady dvě třetiny všech domácností. Další velkou skupinu tvořily domácnosti zaměstnanců (téměř jedna čtvrtina všech domácností v České republice.) Všechny další

8.

NÁRODNÍ KONFERENCE

STATISTICKÉ DNY

V

BRNĚ, BRNO 27. - 28.

ČERVNA,

2006

sociální skupiny tvořily dohromady pouhých 13,2% všech prošetřených domácností, takže nemohly mít na výsledné empirické rozdělení četností zásadní vliv. Důvod podobného chování rozdělení příjmů všech domácností a rozdělení příjmů domácností důchodců bez ekonomicky aktivních členů lze spatřovat ve velikosti této sociální skupiny, která tvoří téměř třetinu všech celého výběrového souboru, získaného z Mikrocensu 1996 (viz práce [1], [2], [3]). Hledaná příčina dvouvrcholovosti empirického rozdělení příjmů všech domácností je tedy obsažena buď přímo v rozdělení některé z těchto „vlivných“ složek, nebo vzniká jejich smísením. Z uvedených „vlivných“ skupin má výrazně dvouvrcholové rozdělení pouze skupina domácností důchodců bez ekonomicky aktivních členů. Vzhledem k tomu, že tyto domácnosti tvoří celou jednu třetinu všech domácností v České republice, mohla by zapříčiňovat dvouvrcholovost empirického rozdělení i zde.

Graf 6. Jádrový odhad rozdělení příjmů všech domácností a jeho logaritmicko-normální model (jednočlenné domácnosti)

Graf 7. Jádrový odhad rozdělení příjmů všech domácností a jeho logaritmicko-normální model (vícečlenné domácnosti)

8.

NÁRODNÍ KONFERENCE

STATISTICKÉ DNY

V

BRNĚ, BRNO 27. - 28.

ČERVNA,

2006

Proto zde byla k rozkladu použita stejná hypotéza jako v předchozím případě a celý soubor byl rozložen na jednočlenné a vícečlenné domácnosti. Z grafů obou vzniklých složek (viz grafy 6 a 7) je vidět, že i v tomto případě byly získány složky s unimodálním rozdělením četností. Dvouvrcholové rozdělení četností příjmů všech domácností, bez ohledu na sociální skupinu, lze tedy považovat za směs rozdělení příjmů jednočlenných a vícečlenných domácností. K jednotlivým složkám byly opět zkonstruovány příslušné logaritmicko-normální modely, které jsou pro ilustraci zobrazeny společně do grafu 8. Z tohoto grafu je vidět, že rozdělení vícečlenných domácností má rovněž směsový charakter, neboť rozdělení druhé složky je výrazně zploštělé, takže bude tvořeno směsí dalších jednoduchých posunutých křivek, které mohou mít zároveň i různé rozptyly.

Graf 8. Překrývání logaritmicko-normálních modelů složek směsi rozdělení příjmů všech domácností (příjmy na domácnost) Logaritmicko-normální modely složek směsi (všechny domácnosti)

osa x ……. příjmy na domácnost (všichni)

osa y ……. hustota tříparametrických logaritmicko-normálních modelů

vícečlenné domácnosti

jednočlenné domácnosti

5. Závěr Rozhodování o metodě, která bude použita ke třídění směsových souborů příjmů domácností po roce 1990, bylo založeno na logickém principu. Volba vycházela ze znalosti typů metod a jejich použitelnosti v dané situaci. Na základě získaných informací byly použity oba doporučované postupy – logický i datově orientovaný. Důvodem použití méně vhodné datově orientované metody byl malý počet doplňkových informací, které byly obsaženy v analyzovaném souboru příjmů domácností z r. 1996. Tento datový soubor obsahoval kromě informací o příjmech a sociální příslušnosti pouze jednu další (doplňkovou) informaci – počet členů domácnosti. Proto byl k rozkladu použit nejprve datově orientovaný postup, založený na principu maximální věrohodnosti. Protože tento způsob rozkladu, jak známo, vychází pouze z empirického rozdělení četností příjmů, byl proveden také rozklad logický, který vycházel ze znalosti doplňkové informace. K logickému rozkladu byla použita hypotéza: „Dvouvrcholová rozdělení četností jsou směsí dvou jednovrcholových složek rozdělení příjmů jednočlenných a vícečlenných domácností.“ Výsledek empirického ověřování zvolené metody logického rozkladu potvrdil v obou uvedených případech (tj. v případě domácností důchodců bez ekonomicky aktivních

8.

NÁRODNÍ KONFERENCE

STATISTICKÉ DNY

V

BRNĚ, BRNO 27. - 28.

ČERVNA,

2006

členů a všech domácností) platnost použité hypotézy. Obě dvouvrcholová rozdělení četností se rozdělila na dvě jednovrcholové složky, kde první složka byla tvořena rozdělením příjmů jednočlenných domácností a druhá rozdělením příjmů vícečlenných domácností. Výsledky logického rozkladu zároveň ukazují, že v případě příjmů všech domácností, bez ohledu na sociální skupinu, odpovídá charakter rozdělení četností druhé složky opět směsi několika jednovrcholových složek. Obě zvolené metody rozkladu směsových souborů příjmů domácností tedy vedly k vytčenému cíli – získání dvou složek s jednovrcholovým rozdělením četností. Výsledkům logického rozkladu je však dána přednost před datově orientovaným. Kromě uvedeného způsobu pravděpodobnostního modelování rozdělení příjmů mohou být použity také techniky, které vycházejí ze setříděných datových souborů – tzv. kvantilové modelování (viz např. práce [7], [8], [9]). Oby přístupy mají své výhody a nevýhody. Hlavní výhodou modelování, založeného na distribuční funkci či hustotě, které bylo použito zde, je možnost využití nezávislosti náhodných veličin při odhadech parametrů vybraného pravděpodobnostního modelu.

6. Literatura: [1] BARTOŠOVÁ, J.: Volba a aplikace metod analýzy stavu rozdělení příjmů v České republice po roce 1990. Doktorská dizertační práce. Fakulta informatiky a statistiky VŠE v Praze, Praha, 2006. [2] BARTOŠOVÁ, J.: Logarithmic-normal model of income distribution in the Czech Republic, Austrian Journal of Statistics, Special Issue devoted to the Workshop Perspectives in Modern Statistical Inference III, Mikulov, July 17-22, 2005, Wien, 2006 (přijato). [3] BARTOŠOVÁ, J.: Income Distribution in the Czech Republic after Velvet Revolution. In (eds.) 5th International Conference APLIMAT 2006, STU, Bratislava, 2006, s. 417-423, ISBN 80-969264-2-X. [4] BARTOŠOVÁ, J.: Statistic Model of Households‘ Annual Income Distribution in the Czech Republic. In Antoch, J. (ed.) COMPSTAT 2004, 16th Symposium of IASC, Praque, August 23-17, 2004, Books of Posters and Abstracts, [CD-ROM], Czech Statistical Society, for IASC, Praha, 2004, s. 1-8, ISBN 80-239-3459-8. [5] BARTOŠOVÁ, J.: Příspěvek k analýze rozdělení příjmů domácností v ČR, In Antoch, J., Dohnal, G. (eds.) Robust 2004, Sborník prací 13. letní školy JČMF ROBUST 2004 uspořádané Jednotou českých matematiků a fyziků za podpory KPMS MFF UK a České statistické společnosti ve dnech 7.-11. června v Třešti, JČMF, Praha, 2004, s. 451-458, ISBN 80-7015-972-3. [6] BARTOŠOVÁ, J.: Statistický model příjmových rozdělení, Acta Universitatis Bohemiae Meridionales, vědecký časopis pro ekonomiku, řízení a obchod, 7(2), JU, České Budějovice, 2004, s. 39-46, ISSN 1212-3285. [7] BARTOŠOVÁ, J.: Contamination Level Estimate of Household Income Distribution by Distant Observations in the Czech Republic, Forum Metricum Slovacum, 8, SŠDS, Bratislava, 2004, s. 74-78, ISBN 80-88946-23-9. [8] PACÁKOVÁ, V., SIPKOVÁ, L´., SODOMOVÁ, E.: Štatistické modelovanie príjmov domácností v Slovenskej republike. Ekonomický časopis 53, 2005, s. 427-439, ISSN . [9] SIPKOVÁ, L.: Štatistická analýza rozdělení príjmov domácností v Slovenskej republike. Doktorká disertačná práca. Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita v Bratislave, 2004.

8.

NÁRODNÍ KONFERENCE

STATISTICKÉ DNY

V

BRNĚ, BRNO 27. - 28.

ČERVNA,

2006