Relativistische kinematica

Relativistische kinematica • Gebruik van de Speciale Relativiteitstheorie – vier‐vectoren – Lengte van 4‐vector: – Inproduct van twee 4‐vectoren

• Snelheid van CM systeem – In LAB systeem staat deeltje 2 stil en kunnen we snelheid achterhalen

– En zo wordt de Lorentzfactor gegeven door:

Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

1

Mandelstam variabele s • Invariante scalar, identiek in elk inertiaalsysteem p1

– ‘s’ is totale energie aanwezig in het CM systeem:

p2

p3 p4

TOT als – In botsingen wordt vaak gesproken over E g g p CM

• De LEP versneller had • De LHC versneller zal

– Behoud van impuls betekent: B h d i l b k


2

‘LAB’ versus ‘CM’ systeem y • Wat is het voordeel van een ‘botsende bundel’ machine? – Twee bundels op elkaar hebben bepaalde E Twee bundels op elkaar hebben bepaalde Etot – Stel nu experiment voor in LAB stelsel • Bundel op een trefplaatje

• Welke energie heeft bundel op trefplaatje om zelfde Etot te verkrijgen? – Stel ‘botsende bundel’ machine heeft CM energie • Bijvoorbeeld elektron‐elektron botsingen bij LEP

• Waarbij massa van elektron is verwaarloosd b l k l d

– Energie van bundel in LAB stelsel – Oftewel (m Oftewel (me~0.5 0.5 MeV/c MeV/c2)

• Veel gunstiger om botsende bundels te hebben Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

3

Mandelstam variabele t • Volgende Lorentz invariant: de 4‐impuls‐overdracht t Andere notatie

– Voor CM systeem, en elastische verstrooiing – Met qCM de verstrooiingshoek in CM systeem qCM

– q2 is de ‘hardheid’ van botsing in LAB stelsel • Klassiek is dit de impuls overdracht: 2: – ‘‘resolutie’ van botsing gegeven door waarde van q l ti ’ b ti d d

• Lage waarden voor kleine hoek qCM


4

Fenomenologie van Kernen Hoofdstuk 2 Overslaan: 2.2.4 & 2.2.5


5

Eigenschappen g pp van atoomkernen • Notatie van kernen: – Een kern van atoom X wordt weergegeven door Een kern van atoom X wordt weergegeven door • Elektrische lading of atoomgetal Z • Totaal aantal nucleonen A – Totaal aantal neutronen: N=A‐Z

• Isotopen: – Gelijk aantal protonen maar verschillend aantal neutronen

• Isobaren: – Gelijk aantal nucleonen maar verschillend aantal protonen

• Massa van kernen Massa van kernen – Voor massa van een atoomkern verwacht je – Maar de massa blijkt kleiner te zijn: • Deze DM(A,Z) is negatief Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

6

Eigenschappen g pp van atoomkernen • Bindingsenergie – De waarde van DM(A,Z) geeft aan hoe moeilijk is de kern op te breken De waarde van DM(A Z) geeft aan hoe moeilijk is de kern op te breken – Oftewel: ‐EB.E. is de minimale energie die nodig is om de kern op te breken

• Bindingsenergie per nucleon – Definieer de bindingsenergie per nucleon als:

– Grootheid bepaald voor alle atoomkernen • Wordt groter tot aan A~20 • Piekt bij j 56Fe tot ~9 MeV • Wordt heel langzaam kleiner voor zwaardere kernen


7

Kernkrachten • Geen klassieke analogie voor kernkracht – Zwaartekracht niet sterk genoeg Zwaartekracht niet sterk genoeg – Is geen elektromagnetisme • Deuterium (p+n) stabiel terwijl neutronen elektrisch neutraal zijn

– Kracht moet korte reikwijdte hebben • Structuur van atoom buiten de kern goed beschreven door elektromagnetisme • Dracht van orde 10‐13 – 10‐12 cm

• Ook bindingsenergie voor elementen impliceert korte dracht – Totale bindingsenergie B ~ A(A‐1) – Voor ‘Coulomb‐achtige’ kracht: bindingsenergie lineair met aantal protonen A • Dit is niet wat we observeren: bindingsenergie is konstante voor A>40

• Kracht moet aantrekkend zijn Kracht moet aantrekkend zijn – Anders blijven de nucleonen niet bij elkaar – Op heel kleine afstanden (<
8

Kernkrachten • Een model voor de potentiaal – ‘Vierkante Vierkante put put’ potentiaal potentiaal – Nucleonen gevangen in put – In werkelijkheid natuurlijk niet zo scherp afgebakend

• Natuurlijk ook de elektromagnetische Coulomb interactie – Extra bijdrage aan de totale potentiaal voor nucleonen (protonen) – Hierdoor schematisch potentiaal ‘vervormd’ naar:


9

Niels Bohr & Werner Heisenberg •

Heisenberg onzekerheidsrelaties – Fundament van de quantummechanica – Formulering van de ‘Copenhagen’ interpretatie, samen met Niels Bohr interpretatie, samen met Niels Bohr

•

Heisenberg Nobel Prize 1932 – for the creation of quantum mechanics, the application of which has, inter alia, led to the discovery of the allotropic forms of hydrogen

•

(1901 – 1976)

Bohr Nobel prize 1922 Bohr Nobel prize 1922 – for his services in the investigation of the structure of atoms and of the radiation emanating from them them" (1885‐1962) Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

10

Korte dracht • Bindingsenergie per nucleon bereikt maximum bereikt maximum – Dit kan niet worden verklaard met ‘oneindige’ Coulomb interactie – Hedeki Yukawa (1935) suggereert een nieuwe interactie voor de ‘kernkracht • Korte Korte dracht dracht – korter dan grootte korter dan grootte van atoomkern van zware elementen

• Voorspelling massief deeltje: – De Coulomb interactie, V(r)~1/r, correspondeert met uitwisseling foton • Foton is massaloos

– Korte dracht potentiaal correspondeert met nieuw deeltje met massa Korte dracht potentiaal correspondeert met nieuw deeltje met massa • De massa waardoor het ‘korte tijd’ kan bestaan (Heisenberg)


11

Kosmische straling • Elektroscoop – ‘spontane ontlading’ van de elektroscoop

• Theodor Wulf (1907) Theodor Wulf (1907) – Onder de grond weinig ontlading – Bovenin de Eiffeltoren meer ontlading Bovenin de Eiffeltoren meer ontlading

• Victor Franz Hess (1912) – Op 5 kilometer hoogte veel ontlading Op 5 kilometer hoogte veel ontlading – "die Höhenstrahlung" – Nobelprijs in 1936 Nobelprijs in 1936

• Kosmische straling – Permanente Permanente bekogeling deeltjes op bekogeling deeltjes op onze atmosfeer. Welke deeltjes?

Kosmische showers

Pionen en muonen 1937:

1946: 1947:

Anderson bestudeerde kosmische straling Elke seconde gaat er een kosmisch deeltje met massa ongeveer gelijk aan Yukawa’s meson door ons heen. ‐Levensduur te lang (faktor ~1000) ‐Massa iets te laag M i l Anderson’s deeltje heeft maar een zwakke wisselwerking met atoomkernen. Voor Yukawa’s mesonen is een sterke interactie verwacht Powell gebruikte photo‐emulsies om op een bergtop kosmische straling te observeren en ontdekte dat er twee deeltjes aanwezig waren

Het meson m=140 MeV/c2; korte levensduur. Het π‐meson, 140 M V/ 2 k t l d Wordt geproduceerd in hogere luchtlagen en vervalt voordat het de aardoppervlakte bereikt.

Het muon (µ) m=105 MeV/c2; Het muon (µ), m=105 MeV/c2; Bereikt zee‐niveau en heeft een zwakke wisselwerking met materie

Het π‐meson werd theoretisch ‘voorspelt’; het µ kwam totaal ‘onverwacht’.

Rabi (1947) over het muon: ‘Who ordered that?’ Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

14

Het p pion ((π±) en het muon (µ±) π-decay

µ µ-decay y

+

+

π → µ +ν µ + µ → e+ + ν µ + ν e Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

15

Hideki Yukawa • Eerste model voor een kernkracht – Voorspelling van bestaan van nieuw deeltje in 1935 – Deeltje met mass m zodanig dat het kernkracht kan overbrengen massa ~164 MeV/c overbrengen – massa ~164 MeV/c2

• Ontdekking van het pion in 1947 – In kosmische straling werden nieuwe deeltjes ontdekt In kosmische straling werden nieuwe deeltjes ontdekt

1907 ‐ 1981

• Dit ‘pion’ was het kerndeeltje van Yukawa!

– Uiteindelijk 3 typen pionen (mesonen) gevonden: Tegelijkertijd werd een ander deeltje ontdekt: het muon het muon

• Nobel prijs Yukawa 1949 – For his prediction of the existence of mesons on the basis of th theoretical work on nuclear forces ti l k l f Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

16

Kern straling Hoofdstuk 4 van Das & Ferbel


17

a-straling g • Op weg naar een kwantitatief begrip van a‐straling – Uit elkaar vallen van moeder naar dochter deeltje plus Helium‐kern: Uit elkaar vallen van moeder naar dochter deeltje plus Helium‐kern: – Neem aan dat moeder kern in rust was, dan behoud van energie: • Waarbij TD en Ta de kinetische energie voorstelt

– Isoleer de kinetische energie: I l d ki ti h i – En dit kan geschreven worden in termen van atoom massa En dit kan geschreven worden in termen van atoom massa’ss als: als: – Neem aan dat deeltjes niet‐relativistisch bewegen, zodat: – Dit is verval naar twee deeltjes • a‐deeltje tegengesteld aan dochter kern; impulsbehoud: aan dochter kern; impulsbehoud: Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

18

a-straling g - vervolg g • Uitdrukking voor kinetische energie a‐deeltje en dochter kern: – Elimineer Elimineer vvD in vorige in vorige uitdrukkingen zodat: – Waarmee de kinetische energie van a‐deeltje: • Randconditie: kinetische energie Ta>0 (exotherm) oftewel:

• Aanname: dochter kern veel massiever dan a‐deeltje: – Oftewel – Voor zware dochter kernen: Ma/MD~4/(A‐4): – Hiermee kan energie opbrengst in verval van atoomkern worden geschat – Nogmaals: de energie van a‐deeltje N l d i a d ltj is ‘uniek’ i ‘ i k’ • 2‐deeltjes verval: kinetische energie is een konstante Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

19

Energie g nivo’s in kernen • Metingen van kinetische energie a‐straling – Verschillende waarden voor Q gevonden Verschillende waarden voor Q gevonden – ‘fijn‐splitting’ van energie

• Hoogst energetische a‐deeltjes alleen geproduceerd • Lagere energetische a‐deeltjes h d l samen met foton f

– Moeder kern kan vervallen naar de grondtoestand van dochter kern op verschillende wijzen j • Hiermee ‘discrete’ nucleaire • Direct verval naar grondtoestand niveaus aangetoond • Verval via ‘aangeslagen toestand’ van dochter kern, gevolgd door van dochter kern gevolgd door verval via foton straling


20

Verval van p plutonium • Het a‐verval van plutonium naar uranium • Plutonium: zilver wit metaal dat door oxidatie snel geel wordt. Het voelt altijd warm aan door a‐straling door a straling • Ontdekt in 1940 door a‐botsing met uranium, tijdens 2e wereldoorlog 300 ton geproduceerd voor toepassing in kernwapens voor toepassing in kernwapens

iso

half‐life

DM DE (MeV)

238Pu

88 y

α

5.5

234U

239Pu

2.41×104 y

α

5.245

235U

240Pu

6.5×103 y

α

5.256

236U

241Pu

14 y

β−

.02078

241Am

242Pu

3.73×105 y

α

4.984

238U

244Pu

8.08×107 y

α

4.666

240U

– Uitgestraalde a‐deeltjes hebben energie van 5.17 en 5.12 MeV – De twee Q‐waarden zijn dan gelijk aan: – Voor het verval voor Q=5.21 MeV V h t l Q 5 21 M V is i 236U92 in aangeslagen toestand i l t t d • Uitzenden van een foton met energie

• Nucleaire energieniveaus ~ 100 KeV – Atoomniveaus van totaal andere orde: ~ 1 eV


21

DP

Quantum tunneling Q g • Hoe kan a‐straling worden verklaard? • Energie a Energie a‐deeltjes deeltjes typisch typisch ~5 5 MeV MeV • Coulomb barrière ongeveer Ec=20‐25 MeV

– Laag energetisch a‐deeltje gevangen in nucleaire potentiaal l l • Hoe kan a‐deeltje ‘ontsnappen?

– Oplossing: quantum Oplossing: quantum‐tunneling tunneling

Gamow: 1904‐1968

• Aangetoond door George Gamow, Ronald Gurney, Edward Condom

• Voorbeeld: verval van b ld l Thorium naar Radium – Halfwaardetijd Halfwaardetijd 1.39·10 1 39·1010 jaar Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

22

Quantum tunneling Q g • Berekening transmissie coëfficiënt T: – Vereenvoudiging: vierkante potentiaal Vereenvoudiging: vierkante potentiaal • a‐deeltje met energie E in potentiaal‐put met diepte U0 • Hoogte potentiaal V H i l V0 met ‘breedte’ 2a

• Vul potentiaal in Schrödinger‐ p g vergelijking in – Resultaat voor coefficient T: – De getallen voor thorium verval zijn ingevuld: • Berekening Berekening niet erg gevoelig niet erg gevoelig voor U0


23

Quantum tunneling Q g • Transmissie coëfficiënt T – Voornamelijk Voornamelijk bepaald bepaald door exponent – Verschrikkelijk kleine kans dat a‐deeltje hier door ‘tunneld’

• Hoe vaak ‘botst’ a‐deeltje in potentiaalput – Kinetische energie in de put is – Hieruit kan de snelheid van a‐deeltje in put worden bepaald, en daarmee de frequentie waarmee het oscilleert de frequentie waarmee het oscilleert – De kans P dat a‐deeltje wordt uitgestoten (vervalsconstante): – Gemiddelde levensduur voor vervalsproces – K Komt goed overeen met d observatie Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

24

Werner Schrodinger g & Paul Dirac • Schrodinger vergelijking – B Begin van de quantummechanica, i d t h i gebaseerd op klassieke energie vergelijking

• Gedeelde nobel prijs 1933 – for the discovery of new productive forms of atomic theory

• Dirac Di vergelijking lijki – Gebaseerd op relativistische energie vergelijking energie vergelijking – Voorspelling van anti‐ materie • Specifieke eigenschappen vastgelegd

(1887 – 1961)


(1902 – 1984)

25

Anti-materie • Begin van relativistische quantummechanica in 1927 quantummechanica in 1927 – Dirac‐vergelijking met twee oplossingen • Positieve en negatieve energie

• Probleem met interpretatie

E 2 − p 2c 2 = m 2c 4 E = + p 2c 2 + m 2c 4 E = − p 2c 2 + m 2c 4

– Wat stelt negatieve energie voor? In alle systemen zouden elektronen blij blijven vervallen naar lagere energie. ll l i

• Interpretatie van Paul Dirac: – Er is een ‘zee’ van elektronen, die alle energieniveaus bezetten (cf Pauli principe). • Als Als een elektron positieve energie krijgt een elektron positieve energie krijgt ontstaat een ‘gat’ in de zee.

– Dit gat kan worden geïnterpreteerd als een elektron met positieve lading en positieve elektron met positieve lading en positieve energie (positron). Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

26

Ontdekking van het positron •

Observatie van het positron in kosmische straling in 1931 door Carl Anderson – Nobel prijs 1936

Lood‐‐plaat Lood

positron it

B⊗

• Eigenschappen positron – Elektrische lading +1e Elektrische lading +1e – Zelfde massa als elektron

• Eerste anti‐deeltje ontdekt! (1905 – 1991)

– We weten nu dat voor elk deeltje ook een corresponderend antideeltje bestaan Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

27

Anti materie Anti-materie 1940 1950 Feynman‐Stuckelberg 1940‐1950: Feynman Stuckelberg interpretatie:

Negatieve energieoplossingen zijn positieve energieoplossingen van andere deeltjes Geen ∞‐zee van elektronen, maar voor elk soort deeltje bestaat een anti‐deeltje: Berkeley Bevatron: anti‐proton (1955) anti‐neutron (1956)

A+ B

→

C+D

A A+C

→ B +C + D → B+D

C +D

→

A+B

e−

→

e+

n

→

n

p

→

p

γ

→ γ =γ

Principe van crossing symmetrie: Principe van crossing‐symmetrie: Als de reactie A+B→C+B mogelijk is, dan gekruiste reacties ook. Mits energie balans dit toelaat.

b b-verval • Kern met teveel aan neutronen zendt b‐straling uit: – b b‐straling straling oude benaming voor uitzenden van elektronen oude benaming voor uitzenden van elektronen – Andere mogelijkheid is uitzenden van positronen – Of het ‘invangen’ van elektronen – Samengevat:

• Berekening van de energie van de b‐straling Berekening van de energie van de b straling – Vergelijken met de berekening voor a‐straling:

– Hierbij is aangenomen dat het verval naar twee deeltjes gaat Deeltjesfysica I ‐ Hoorcollege 3

29

Relativistische kinematica

Recommend Documents