Regularitas Operator Potensial Layer Tunggal

JMS Vol. 2 No. 1, hal. 8 - 15, April 1997

Regularitas Operator Potensial Layer Tunggal Wono Setya Budhi Jurusan Matematika, FMIPA Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesa 10 Bandunng, 40132

Abstrak Regulitas operator 1 ln| x − ξ | φ (ξ )ds (ξ ) x∈Ω 2π ∫∂Ω dibuktikan dengan teknik serupa untuk membuktikan regularitas operator integral Cauchy. Khususnya. Jika φ merupakan fungsi kontinu di ∂Ω, maka u merupakan fungsi kontinu Holder dengan eksponen α secara uniform α ∈ (0,1). Tetapi, berdasarkan uraian bukti dapat disimpulkan, jika φ∈ L∞ ( ∂Ω) maka u mempunyai sifat yang sama. u ( x) =

Abstract We prove the regularity of the operator 1 u ( x) = ln| x − ξ | φ (ξ )ds (ξ ) x∈Ω 2π ∫∂Ω using similar technique for proving Cauchy integral operator. If φ are continue on ∂Ω, we prove that u is uniformly Holder continue in Ω with Holder exponent α for every α ∈ (0,1). However, from the proof, if u∈ L∞ (∂Ω) then u is in the same space as before.

1. Pendahuluan Masalah fisis yang kita hadapi pada umumnya dapat diformulasikan dalam bentuk persamaan diferensiak parsial. Persamaan diferensial parsial yang umum kita hadapi adalah persamaan Laplace. Misalkan Ω ⊂ Rn himpunan terhubung buka di Rn dengan batas ∂Ω = Γ. Bentuk umum persamaan Laplace adalah mencari u ∈ C2 (Ω) fungsi yang dapat diturunkan dua kali secara kontinu di Ω dan memenuhi persamaan ∂2u ∂2u di Ω (1) ∆u = 2 + L + 2 = 0 ∂x1 ∂xn dilengkapi dengan syarat batas Dirichlet u = f di Γ1 ⊂ Γ dan syarat batas Neumann ∂u =g di Γ2 ⊂ Γ ∂n dengan di Γ1 ∪ Γ2 = Γ. Perhatikan bahwa Γ1 atau Γ2 dapat saja kosong. 8

(2) (3)

JMS Vol. 2 No.1, April 1997

9

Banyak pilihan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Teknik yang paling sederhana dipakai adalah persamaan beda hingga. Teknik yang lain adalah metoda elemen batas. Nanti dapat kita lihat, khusus untuk bidang (n = 2), dalam menggunakan metoda elemen batas tersebut kita akan berhadapan dengan operator. u ( x) = ∫ G ( x; ξ ) g (ξ )ds(ξ ) x∈Ω (4) dengan g ( x; ξ ) = −

r 1 2π

ln| x − ξ| . Operator ini disebut operator potensial layer tunggal. Makalah

ini memberikan bukti regularitas dari operator dengan menggunakan gagasan dari bukti regularitas operator Cauchy yang ada di (2). Operator ini disebut operator layer tunggal potensial. 2. Jawab Fundamental Persamaan Laplace Untuk keperluan kita, misalkan diketahui daerah buka, tersambung dan terbatas Ω ⊂ R2 dan persamaan Laplace ∆u = 0 di Ω. Kemudian yang dimaksud dengan jawab fundamental G(x;ξ) untuk persamaan Laplace adalah jawab persamaan ∆G = -δ(x - ξ) (5) dengan δ(x - ξ) merupakan fungsi Dirac yang berpusat di ξ. Untuk mencari jawab ini, cukup dengan mengasumsikan bahwa fungsi Dirac di ξ = 0, kemudian jawab (5) diperoleh dengan translasi. Dengan asumsi bahwa media yang digunakan isotropis, dalam koordinat polar, jawab tersebut hanya bergantung pada jari-jari. Sehingga persamaan yang harus dipenuhi oleh jawab fundamental tersebut adalah ∂ 2 u 1 ∂u untuk r > 0 . + =0 ∂r 2 r ∂r Jawab persamaan terakhir ini adalah u(r) = C1 ln r + C2. Kemudian untuk keperluan normalisasi, kita pilih bahwa u(1) = 0 yang memberikan C2 = 0. Selanjutnya dengan menggunakan syarat ∫ δ ( x)dxdy = ∫ ∆u dxdy = ∫ ∇u ⋅ nds =1 C∈

C∈

∂C∈

dengan C∈ lingkaran berjari-jari ∈ berpusat di (0, 0), memberikan syarat mengenai C2. Jawab persamaan (5) diperoleh dengan menggunakan translasi yaitu 1 G ( x; ξ ) = u(| x − ξ|) = − ln| x − ξ|. 2π Selanjutnya dengan menggunakan kesamaan Green ∂f ⎞ ⎛ ∂g ∫Ω ( f∆g − g∆f )dxdy=∫∂Ω ⎜⎝ f ∂n − g ∂n ⎟⎠ds dan menggunakannya untuk f = u dan g = G, maka

10

JMS Vol. 2 No.1, April 1997

∫

Ω

∂u ⎞ ⎛ ∂G (u∆ ( x − ξ ))dxdy = ∫ ⎜ u − G ⎟ds ∂Ω ∂n ⎠ ⎝ ∂n

dan memberikan

∂u ⎞ ⎛ ∂G − G ⎟ds u (ξ ) = ∫ ⎜ u ∂Ω ∂n ⎠ ⎝ ∂n

Dalam kasus persamaan Laplace disertai hanya dengan syarat batas Neumann, diperoleh1) ∂u u (ξ ) = ∫ − G ds ∂Ω ∂n yaitu operator yang akan dikaji pada uraian berikut. 3. Regularitas Kita akan membuktikan regularitas persamaan u ( x) = ∫ G ( x; ξ )φ (ξ )ds(ξ ) ∂Ω

(6)

dengan Ω ⊂ R2 dan ∂Ω. Ruang yang tepat untuk pembicaraan ini adalah ruang kontinu HolderL). Misalkan C0,α(Ω) (C0,α(∂Ω)) adalah fungsi yang terbatas di Ω (∂Ω) dan memenuhi sifat Holder kontinu secara uniform dengan order α. Teorema berikut yang merupakan modifikasi dari teorema serupa untuk operator integral Cauchy2) sebagai hasil utama adalah Teorema 1. Misalkan Ω ⊂ R2 himpunan buka, terhubung dan terbatas dan ∂Ω lengkungan licin. Kemudian untuk φ ∈ C(∂Ω), maka u ∈ C0,α (Ω) untuk setiap 0 < α < 1 dan (7) u C 0,α ( Ω ) ≤ C ( α ) φ C ( Ω ) dengan C(α) konstanta yang hanya bergantung pada eksponen Holder. n Untuk membuktikan teorema ini, kita perlu memperlihatkan mengenai beberapa sifat geometri dari ∂Ω. Lemma 2. Misalkan ∂Ω lengkungan tutup dan terbatas di R2 dan dapat diturunkan dua kali secara kontinu, maka ada bilangan M > 0 sehingga | 〈 n ( y ), x − y 〉| ≤ M | x − y |2 | n( x ) − n( y )| ≤ M | x − y| untuk setiap x,y ∈ Ω, dengan n(x) vektor normal terhadap ∂Ω di x. Bukti : Misalkan y ∈ ∂Ω, kemudian definisikan f y ( x ) = 〈 n ( y ), x − y 〉. Kemudian nilai f y ( y ) = 0 dan nilai turunan berarah sepanjang ∂Ω untuk f adalah f y′( x ) = 〈 n ( y ), T ( x ) 〉 T ( x )

dengan T(x) menyatakan vektor singgung terhadap ∂Ω di x, dan nilai f'y di y adalah nol. Berdasarkan Teorema ekspansi dari Taylor, maka

JMS Vol. 2 No.1, April 1997

11

| f y ( x )| ≤ M| x − y|2 dengan

M = sup| f y′′( z )| z ∈Ω

Bukti untuk bagian kedua menggunakan teorema nilai rata-rata. n Lemma 3. Misalkan Ω ⊂ R2 himpunan buka, terhubung dan terbatas dan ∂Ω lengkungan licin. Kemudian, ada bilangan M sehingga untuk x ∈ Ω dan ξ ∂Ω, x ≠ ξ berlaku | G ( x ; ξ )| ≤ M | x − ξ|− δ untuk setiap δ > 0. Bukti : Bukti dari lemma ini bergantung kepada penyelidikan sifat fungsi satu variabel f(t) = ln t, t > 0 dengan δ > 0. Fungsi ini monoton turun di (0, e-1/δ) dan monoton naik di t > e-1/δ. sedangkan nilai lim f ( t ) = 0 , oleh karena itu f terbatas pada daerah tδ

t →0

terbatas n Lemma 4. Misalkan Ω ⊂ R2 himpunan buka, tersambung dan terbatas dan ∂Ω lengkungan licin. Kemudian, ada bilangan M sehingga untuk setiap x1, x2 ∈ Ω dan x ∈ ∂Ω berlaku | G ( x1 ; ξ ) − G ( x2 ; ξ )| ≤ M | x2 − ξ|−1 | x1 − x2 | Bukti : Karena | x1 − ξ|| x2 − ξ|−1 ≤ 1+ | x1 − x2 || x2 − ξ|−1 , maka kita cukup memperlihatkan bahwa untuk t ≥ 0 berlaku ln (1 + t) ≤ t. Tetapi hal ini akibat dari 1 ≤1 1+ t untuk setiap t ≥ 0. n Bukti teorema utama. Pertama, kita harus memperlihatkan bahwa integral (6) mempunyai arti. Misalkan h0 > 0 bilangan cukup kecil dan definisikan Ω h0 = x ∈ R 2 | x = z + hn( z ), z ∈∂Ω, | h |≤ h0

{

}

Akan diperlihatkan bahwa ada bilangan C > 0 sehingga | u ( x )| ≤ C φ

∞

untuk setiap x ∈ Ω h0 ∪ Ω dengan φ

∞

(8) = sup{φ( r )| x ∈ ∂Ω} . Kemudian untuk x ∈ Ω\ΩR dengan

R bilangan cukup kecil dan R ≤ h0 berlaku

| u ( x) |≤ ∫ G ( x; ξ )φ (ξ )ds(ξ ) ≤M R −δ φ ∂Ω

Misalkan x ∈ ΩR, maka

∞

(9)

12

JMS Vol. 2 No.1, April 1997

x = z + h n(z) untuk suatu z ∈ ∂Ω, dan 0 ≤ h ≤ R ≤ h0. Karena 〈n(z), n(x)〉 = 1 - 〈n(z), n(z) - n(x)〉 maka kita dapat memilih bilangan R > 0 sehingga 〈 n( z ), n( ξ ) 〉 ≥ 21

(10)

untuk setiap ξ,z ∈ ∂Ω dengan |x - ξ| ≤ R. Kita juga dapat mengasumsikan bahwa R cukup kecil sehingga himpunan Lz,R = {ξ ∈ ∂Ω| |ξ - z| ≤ R, z dan x dihubungkan berdasarkan (10)} terhubung untuk setiap x ∈ ∂Ω dan kita dapat memproyeksikan satu-satu ke garis singgung terhadap ∂Ω di titik z. Selanjutnya dρ ≤ 2 dρ ds( ξ ) = 〈 n( z ), n ( ξ ) 〉 dengan dρ ukuran panjang pada garis singgung dan

∫

Lz , R

G ( x; ξ )φ (ξ )ds (ξ ) ≤M φ

∫

∞ L ,R z

| x − ξ | −δ ds (ξ )

≤ 3M φ ∞ R − δ / (1 − δ )

(11)

jika | x − ξ| ≥ 43 | z − ξ| , asalkan R cukup kecil. Selain syarat tersebut, hal terakhir ini berlaku jika proyeksi terhadap garis singgung tersebut termuat dalam interval dengan panjang kurang atau sama dengan 2R. Selanjutnya

∫∂

Ω \ Lz , R

G ( x; ξ )φ (ξ )ds (ξ ) ≤M φ

∫

∞ ∂Ω \ L , R z

R −δ ds (ξ )

≤ M φ ∞ R − δ panjang ( ∂Ω)

(12)

Berdasarkan (9), (11) dan (12), kita telah memperlihatkan (8). Sekarang tinggal ditunjukkan bahwa u(x) kontinu Holder secara uniform. Untuk itu, misalkan x1 , x2 ∈Ω h0 , dengan xj = zj + hjn(zj), dengan j = 1,2. Misalkan R bilangan seperti di (9) dan

0 < | x1 − x2 | < 41 R Dengan menggunakan ketaksamaan kedua di lemma 2, berlaku 1 2 | x1 − x2 | ≤ | z1 − z2 | ≤ 2 | x1 − x2 | asalkan R dan h0 cukup kecil (dengan memperhatikan nilai M pada lemma tersebut). Misalkan r = 4 |x1 - x2|, maka Lz1 ,r ⊂ Lz2 ,3r / 2 , karena |y - z2| ≤ |y - z1| + |z1 - z2| ≤ r + 2 |x1 - x2| ≤ r + 21 r = 23 r Selanjutnya dengan argumentasi serupa dengan (12), maka ⎧ −δ ∫Lz1 ,R [G( x1 ; ξ ) − G( x2 ; ξ )]φ (ξ )ds(ξ ) ≤M φ ∞ ⎨⎩∫Lz1 ,R | x1 − ξ | ds(ξ )

JMS Vol. 2 No.1, April 1997

13

| x 2 − ξ | −δ ds(ξ )⎫⎬ ⎭ 1− δ ≤ C1 φ ∞ | x1 − x2 | +∫

Lz 2 , 3 r / 2

(13)

untuk suatu C1 > 0 yang bergantung pada M dan δ. Kemudian, dengan menggunakan lemma 4, maka

∫

Lz1 , R \ L z

1 ,r

[G ( x1 ; ξ ) − G ( x 2 ; ξ )]φ (ξ ) ds (ξ ) ≤ M φ ∞ | x1 − x 2 |∫

Lz1 , R \ Lz1 , r

≤4πM φ

∞

| x1 − x 2 |∫

R

r/4

= 4 π M φ ∞ | x1 − x2 |ln

| x1 − ξ | −1 ds (ξ )

ρ −1 dρ

R | x1 − x2 |

Sedangkan untuk δ ∈ (0, 1) berlaku | x1 − x2 |ln| x1 − x2 |−1 ≤ δ1 | x1 − x2 |1− δ Oleh karena itu

∫

Lz1 , R \ Lz1 , r

[G ( x1 ; ξ ) − G ( x 2 ; ξ )]φ (ξ )ds(ξ ) ≤C 2 φ

∞

| x1 − x 2 |1−δ

(14)

untuk suatu C2 > 0 yang bergantung pada M, R dan δ. Perhatikan bahwa untuk δ → 0, konstanta C2 → ∞. Sekali lagi dengan menggunakan Lemma 4, maka

∫∂

Ω \ Lz1 , R

[G ( x1 ; ξ ) − G ( x 2 ; ξ )]φ (ξ )ds(ξ ) ≤M φ

∞

| x1 − x 2 |∫

∂Ω \ Lz1 , R

| x1 − ξ | −1 ds(ξ )

≤ C3 φ ∞ | x1 − x2 |

(15)

dengan C3 bergantung pada M, R dan ∂Ω. Dengan mengkombinasikan (15), (13) dan (14) kita dapat menyimpulkan bahwa | u ( x1 ) − u( x2 )| ≤ ( C1 + C2 + C3 ) | x1 − x2 |1− δ φ ∞ untuk setiap x1 , x2 ∈Ω h0 dengan | x1 − x2 | < 41 R. Jika | x1 − x2 | < 41 R , kita cukup menggunakan (8) untuk menyimpulkan bahwa | u ( x1 ) − u ( x2 )| ≤ 2 C R4 | x1 − x2 | φ ≤ 8RC | x1

1− δ

− x2 |

∞

φ

∞

Oleh karena itu. | u( x1 ) − x ( x2 )| ≤ C4 | x1 − x2 |1− δ φ ∞ untuk setiap x1 , x2 ∈ Ω ∪ Ω h0 atau kita telah membuktikan kekontinuan Holder secara uniform untuk u(x). Selanjutnya, karena Ω kompak, maka (7) berlaku. n Corollary 5. Misalkan φ ∈ L∞ ( ∂Ω ) , maka u ∈C 0,α ( Ω ) untuk setiap α ∈ (0, 1) dan u C 0,α ( Ω) ≤ C ( α ) φ L∞ ( ∂Ω)

14

JMS Vol. 2 No.1, April 1997

Ucapan Terima Kasih Riset ini dibiayai oleh (1) Commision of European Communities, Directorate General XII B, Joint Project CI1*-CT93-0018 antara Jurusan Matematika, Institut Teknologi Bandung, Indonesia dan Faculty of Applied Mathematics, University of Twente, the Netherlands. Riset ini juga dibiayai oleh Hibah Tim Urge Project No : 012/HTPP-II/URGE/1996. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Hendra Gunawan untuk komentar yang telah diberikan. Referensi 1. Brebia, C.A., Dominguez, J., "Boundary Elements, An Introduction Course", Second Edition, Computational Mechanics Publication, McGraw Hill Book Company, 1992. 2. 3. 4.

Kress, R., "Linear Integral Equations", Pringer Verlag, 1989. Hayakawa, K. and Iso, Y., "High-Order Uniform Convergence Estimation of Boundary Solutions for Laplace's Equation", Publ. Rims, Kyoto Univ. (1991), 333-345. Sloan, H.I., "Error Analysis of Boundary Integral Methods", Acta Numerica (1991), 287339.