RADVÁNYI TAMÁS Egy laikus a matematikatanítás módszeréről

RADVÁNYI TAMÁS Egy laikus a matematikatanítás módszeréről How to Teach Maths (Suggestions of an Outsider) The author of this paper has never taught maths, but he is an enthusiast of mathematics. He regards maths as not only the queen of sciences but a garden of intellectual pleasure. He does not believe in mathematical anti-talent, in people who nearly boast of “understanding nothing about maths”. He doesn’t like to see a large number of students failing their maths exams. He does not agree with most maths teachers who require that students learn verbatim the definitions of maths concepts. He is not happy with the language of math textbooks. He would like to see students who enjoy maths and understand maths problems. The author encourages his math teacher colleagues to seek new methods of instruction and examination. He invites his colleagues to come up with ideas how to improve language teaching.

Szeretettel és tisztelettel ajánlom matematikus barátaimnak, kollégáimnak. R. T.

Mentegetőzés Merészség olyasmiről írnom, amiről igazán semmit sem tudok, bár – teszem hozzá némi malíciával – bizonyára nem az első vagyok e téren. A matematikai tanulmányaim az érettségivel végződtek, – s ez bizony már jó régen volt. Tehát a matematikához bizonyosan nem értek, de nem sokkal többet értek a módszertanhoz sem. Igaz, hogy a szakdidaktika kötelező kurzus minden tanár szakon, mégsem eléggé egzakt tudomány ahhoz, hogy az igazi szakértelem pontosan mérhető legyen ebben a diszciplínában. A tanítási módszerek természetesen fejleszthetőek, de maga a tanítás legalább annyira veleszületett tehetség, érzék, mondhatnám művészet kérdése, mint elsajátítható képesség; röviden: a tanítás művészet és mesterség is. Én például hallottam szakdidaktika tanárokról, akik saját maguk igencsak unalmas és népszerűtlen előadók. Hogy mégis egy olyan tárgy oktatásának a módszeréről írok, ami nem szakterületem, annak több oka is van. Először is – bármilyen meglepő is ez – nagyon szeretem és csodálom a matematikát, s erről még a következőkben majd részletesebben szólok. Másrészt azt hiszem laikusként azért könnyebb erről a témáról írnom, mert bármit írok is, matematikus kollégáim könnyen (és joggal) elhessenthetik, hiszen mondhatják, hogy könnyű a nézőnek a lelátóról bekiabálni, – és tán elnézik, ha ostobaságot mondok. Egyébként a matematikusokat nagyon nyílt és elfogulatlan embereknek ismerem, akik készek elfogadni egy gondolatot vagy ötletet, bárhonnan jön is, – ha igaz vagy használható. De a legfontosabb ok, amiért a matematika oktatásáról merek írni az, hogy nagyon szeretném, ha diákjaink is olyan tisztelettel, csodálattal és szeretettel vélekednének a matematikáról, mint én. Elnézést kérek azért is, hogy betolakodom vele tudós kollégáim komoly írásai közé, holott ez a dolgozatom nem tudományos munka, inkább egy szubjektív esszé.

106

RADVÁNYI T.: EGY LAIKUS A MATEMATIKATANÍTÁS MÓDSZERÉRŐL

A matematika csodás világa Mikor a matematikáról beszélek, a matematika szót a legtágabb értelemben használom. Értem rajta a geometriát, számelméletet, statisztikát stb., minden tudományágat, ami a matematikához kapcsolódik, még tulajdonképpen a számvitelt is, hiszen ismeretes, hogy a kettős könyvelés első leírása (szerintem joggal) egy matematikai mű részeként jelent meg.1 A matematika világa legelőször is talán azért olyan impozáns, mert eredményei úgyszólván minden más tudományban megjelennek vagy felhasználhatóak. A földmérésnél a legrégebbi idők óta használták a geometria eredményeit, a püthagóreusok hamar felfedezték a hangmagasságok közti matematikai összefüggéseket, s a már az ókori görög tudósok ki tudták számítani a Föld és a Hold távolságát. A matematikát használják a fizikusok, csillagászok, közgazdászok, gyakorlatilag mindenki, aki valamivel valóban tudományosan akar foglalkozni. A hozzám legközelebb álló tudománynak, a nyelvészetnek is van matematikai nyelvészeti ága. Ugyanakkor, a matematika sok tekintetben egyedülálló tudomány – vagy (legalábbis a szememben) művészet, hiszen magas fokon való művelése olyan alkotóművészet, akár a költészet, a zene, vagy a festészet, akármilyen más művészeti ág. Csak éppen a matematika műveléséhez nem kell semmilyen szerszám: sem hangszer, sem ecset és festék, legfeljebb papír és ceruza, de ezek is csak feledékenyebb művelőinek. A körzőt és vonalzót is csak a precizitás kedvéért használják, egyébként a homok és egy fapálcika is megteszi, miként ezt Arkhimédesz példázata is mutatta.2 Miképpen minden művészet egy külön világot alkot, más-más dimenzióba csalva a műélvezőt: a színek és formák világába a festészet; a hangok világába a zene; a szavak világába (az emberi elme egy másik csodálatos találmánya!) pedig a költészet és az irodalom, – úgy a matematika a legelvontabb emberi gondolatok világába varázsolja az embert3. Minden új matematikai gondolat meghökkentő – legalábbis az első találkozás alkalmával. Emlékszem, hogy milyen nehezen ment a fejembe gyermekkoromban a negatív számok fogalma. Hiszen egy alma, két ceruza, három könyv, ezek mind kézzelfogható dolgok voltak számomra, de mit jelenthet mínusz egy alma, mínusz két ceruza, vagy mínusz három könyv?4 Feltételezem, hogy a matemati-

1 Luca Pacioli (1447?–1517) 1494-ben megjelent Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita (Minden az aritmetikáról, geometriáról, az arányokról és az arányosságról) című matematikai kompendiumának egy fejezete, a De Computis et Scripturis (Az elszámolásokról és feljegyzésükről), szól a könyvvezetésről. 2 Mint ismeretes, Szürakuszai (ma: Siracusa) rómaiak által történt megszállása után Arkhimédesz éppen egy feladaton elmélkedve rajzolgatta köreit a homokba, mikor egy római katona közelgett felé; a nagy görög matematikus azonban főként azon bosszankodott, hogy a katona a rajzokat letapossa, és ezért Noli tangere circulos meos! (Ne zavard köreimet!) kiáltással próbálta – sajnos sikertelenül – elzavarni a gyilkost. 3 A matematikát nem a számok, hanem a gondolatok művészetének tartom, a számok csak a matematika nyelve, csak eszköz a gondolatok kifejezésére. A matematika alkalmazása és felhasználása természetesen más terület. 4 Persze később az adósság fogalmának a példája hozzásegített a megértéshez.

107

BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA – MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2010 kusok sem a mínusz gyümölcsökből indultak ki, mikor a számegyenest „balfelé” is kiterjesztették, hanem inkább azért, hogy egy kisebb számból is ki lehessen vonni egy nagyobbat. És így volt ez minden újabb kiterjesztéssel, pl. az irracionális számok fogalmával, amire a püthagóreusok is csak szent borzalommal tekintettek, mert nem fért bele a számok közötti összefüggésekről alkotott akkori elképzelésükbe. (Mint ismeretes, a „titkok” boncolgatásáért és kifecsegéséért halálbüntetés is járt1 – holott ez a kemény büntetés inkább a fanatikusok és nem a matematikusok eszköztárába tartozik.) De hasonlóan abszurd ötletre épül a differenciálszámítás is (iskoláskoromban így hívták az analízist). A matematika-tanárunk ugyanis így magyarázta az alapkoncepciót: „Keressük meg egy adott pontban egy parabola érintőjét. Ennek az x-tengellyel alkotott szögét egy derékszögű háromszög adja meg, s tulajdonképpen ennek a befogói arányából számíthatjuk ki. Természetesen maga a háromszög a végén eltűnik, csak az aránya marad meg, ez adja meg a keresett szöget, azaz az érintő egyenest.” Matematikus barátaim legkegyesebb elnézését kérem a szakszerűtlen magyarázatért, a tanárunk biztosan pontosabban mondta el, de szavaiból annyi évtized után ennyi maradt meg emlékezetemben. Így lett a parabola másodfokú egyenletéből egy elsőfokú egyenlet, az érintő egyenlete. Az alapgondolat nagyon megragadt a fejemben: „egy derékszögű háromszög, amelyik eltűnik, csak a befogóinak az aránya marad meg!” Ez egy gyönyörű abszurd gondolat, épp olyan, mint korai gyermekkorom negatív almája, ami létezik is, meg nem is. Később olvastam Alice a csodák országában2 című mesében, hogy Alice hoszszasan beszélgetett a Cheshire-i vigyorgó macskával. Már az is furcsa volt, hogy a macska vigyorgott, de az még furcsább, hogy a macska egyre jobban halványodott, míg végleg el nem tűnt Alice szeme előtt, csak a vigyora maradt ott a faágon. Vajon honnan jött az egyébként matematikus LEWIS CARROLLnak eszébe az unokahúgának, Alicenak írt mese eme részlete? De volt más, hasonló élményem is a matematika rejtélyes világában. Amikor a négyzetre emelést tanultuk, alaposan a fejünkbe verték, hogy – 2 és + 2 négyzete egyaránt négy, így mikor 4 négyzetgyökét keressük, el ne felejtsük, hogy az lehet akár plusz, akár mínusz kettő. Viszont – 2-ből, vagy mínusz akármilyen számból nem lehet gyököt vonni, mert negatív szám nem lehet négyzetreemelés eredménye. Rendben van, elhittük, ez nagyon logikus. Mígnem egy szép napon bejött a matektanár és ezt mondta: „Felejtsétek el, amit eddig a negatív számok gyökéről mondtunk. Mondjuk azt, hogy létezik − 1 , és nevezzük ezt képzeletbeli, imaginárius számnak, vagy i-nek.” Megint egy abszurd ötlet, ami

1

Hippaszosznak hívták azt a püthagoreust, aki – a legenda szerint – “kifecsegte”, hogy vannak “számokkal nem kifejezhető hosszúságok” (ma úgy fogalmaznánk: vannak irracionális számok), s ezért a tengerbe vetették. Ilyenfajta veszélytől, szerencsénkre, a mai matematika-tanároknak nem kell félniük. 2 Lewis Carroll: Alice’s Adventures in Wonderland, 1865. Igazi neve Charles Lutwidge Dodgson volt, és ezen a néven publikálta matematikai írásait. Carroll-Dodgson tehát ama ritka matematikusok közé tartozik, aki egyben szépíró is, vagy – ha úgy tetszik – átmenet a matematikus és a művész között..

108

RADVÁNYI T.: EGY LAIKUS A MATEMATIKATANÍTÁS MÓDSZERÉRŐL ellentmond minden eddig tanult dolognak. A matematika világa tovább tágult; pedig eddig is végtelen nagy volt: először is a számegyenesen mehettünk jobbra a végtelenségig, aztán balra is. Később kiderült, hogy törtekkel két természetes szám közötti részt is végtelenül tovább oszthatjuk. Sőt, az irracionális számok is ideférnek. De a komplex számok már csak a számsíkon férnek el. Vajon miért is nem jutott eszünkbe előbb, hogy a számok nemcsak egy egyenesen lehetnek? Na és vannak-e számok a harmadik dimenzióban, a térben is? Azokat hogy hívják? Azóta tudjuk, hogy a világ nem is három dimenziójú, hanem négy, és valójában téridőben élünk1. És mi van a még több dimenzióval, RIEMANN n-dimenzióival? Ott is vannak számok?

A matematika végtelen szabadsága és szigorú kötöttségei a költői szabadsággal szemben A matematikusok gondolatai a végtelenségben száguldanak. Tudom, hogy ez egy laikus véleménye, de a matematikusok soha nem fogják azt mondani: már mindent tudunk, újabb felfedeznivalónk nincsen. Valahányszor bárki is ezt mondta, az élet megcáfolta. Ugyanakkor a matematika a legszigorúbb tudomány; nem enged meg laza, felületes gondolatokat. Amíg valamit pontosan és alaposan be nem bizonyítottunk, akármennyire valószínűnek tűnik is, addig csak „sejtésről” beszélhetünk. FERMAT egy lapszélre könnyedén odavetett „tételét” évszázadokig próbálták nagy matematikusok százai és amatőrök ezrei bebizonyítani, míg végre ANDREW WILES 1995-ben egy 100 oldalas bizonyítással pontot tett a kérdésre. Pedig addigra – a matematikusokon kívül – már mindenki jól „tudta”, hogy az a2+ b2 = c2 típusú egyenlőség nem lehet igaz 2-nél nagyobb kitevőkre, hiszen számítógépekkel ez már milliós nagyságrendű kitevőkre is bebizonyosodott; ám tudjuk, a matematikusok számára az ilyesmi nem számít elegendő bizonyítéknak. Azt is régóta ismerjük, hogy a térkép színezéséhez elegendő négy szín úgy, hogy egymással határos országok mindig különböző színnel térjenek el egymástól, bármilyen furcsa, cikcakkos és szokatlan legyen is az a határvonal2. A bizonyítás azonban, úgy hallom, még nem tökéletes. Vagy ott van a mi matematikus-zsenink, BOLYAI JÁNOS esete is a „paralelákkal”; a szó szoros értelemben az őrület határáig ment el erőfeszítéseivel3, hogy az ötödik posztulátumot megmagyarázhatóvá tegye, mígnem megadta 1 Matematikus barátaim felhívták figyelmemet arra, hogy a matematikai dimenziók és a minket körülvevő világ dimenziói nem azonosak, ennek ellenére eljátszadozom ezzel az inkább filozófiai jellegű gondolattal. 2 Francis Guthrie 1854-ben vette észre, hogy 4 szín elegendő a térképek színezéséhez. Appel és Haken 1976-ban 1200 óráig (50 napig!) futtattak egy számítógép programot a négyszínelmélet bizonyítására, de sok matematikust ez – nem meglepő módon – nem elégít ki. 3 Holott atyja, Bolyai Farkas, levélben is óvta fiát: „az Istenért kérlek! Hagyj békét paraleláknak – úgy írtózz tőlük éppúgy mint feslett társalkodástól …” (Wessely Tibor: Bolyai János, Vince kiadó, 2002, p. 62.

109

BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA – MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2010 magát, és a párhuzamosok posztulátuma nélkül alkotott egy új geometriát, amely a görbült terekig vezetett el. „Görbült” terek! Micsoda nonszensz ez a fogalom is. Hiába bizonyították be kísérletileg a fizikusok, hogy a térnek bizony lehet (sőt: van!) görbülete, a mi kis világunk dimenziójából nézve mégis nehezen tudjuk a görbült teret elképzelni. Sehol másutt nincs olyan fegyelem a gondolkodásban, mint a matematikában – legfeljebb a katonaságnál, de ott is inkább csak az igény szintjén, mert azért mindig akad rosszul felvarrt gomb az egyenruhán, vagy kissé ferdén álló sapka a fejen. (Azaz, talán a zene világában van még nagy rend, bár azért a zene rendje is más, mint a matematikáé. De ezt az egyébként igen érdekes gondolatot, úgy vélem, nem kellene itt tovább folytatnom.) Az irodalom és költészet viszont alig ismer előírást azon kívül, hogy az olvasót (hallgatót, nézőt) le kell kötni, el kell bűvölni valamivel. Még az olyan „szabályok” is, mint a klasszikus görög dráma mintájára kialakított elv a dráma hármas (a tér, az idő és a cselekmény) egységéről1, csak ritkán érvényesülnek, inkább olyan szabályok, amelyeket jobb megsérteni, mint betartani. A költészet ismer egy másik formai kötöttséget: a szonett formai szabályait. Mint ismeretes, a szonett PETRARCA idejéből, a 14. század óta ismeretes versforma; 14 tízszótagos jambikus pentameterben (∪–∪–∪–∪–∪–) írott versről van szó, amely a rímelés és a versszakok elrendezésében mutathat különbözőséget, aminek következtében ez a legkötöttebb versforma is sok változatosságot mutathat. Az 1. táblázatban (a következő oldalon) néhány jellemző típust mutatok be. A szonett, mint műfaj, több mint félévezrede él, s annak ellenére, hogy talán a legkötöttebb költői műfaj, mint a felsorolt példákból látható, igen sokféle formát ölthet. És csak néhány példát mutattam be. Nem kell különösebb képzelőerő ahhoz, hogy még hányféle változatot lehet alkotni. Mindezt azért idéztem fel, hogy bemutassam, milyen különbség van a sokat emlegetett „költői szabadság” néha kissé kötött világa, és a matematika szigorúan zárt, de mégis hihetetlenül merész gondolatokat is megengedő világa között. Ez a két világ (és még más világok is) majdnem mindannyiunk fejében él; valószínűleg nem egyforma arányban, de mindannyiunk gondolatvilágában más-más rend szerint kavarognak a gondolatok, s ezért gyakran nem könnyű megértenünk egymást. De ideje visszatérni a matematika-oktatás sajátos gondjaihoz.

1

A cselekmény, hely és idő „hármas egységét” állítólag Arisztotelész fogalmazta meg, és valójában a klasszikus francia drámaírók, Corneille és Racine ragaszkodtak ahhoz, hogy a dráma egy helyen játszódjék, egy időfolyamatban (ne legyenek időbeli törések) és egy történetre épüljön.

110

RADVÁNYI T.: EGY LAIKUS A MATEMATIKATANÍTÁS MÓDSZERÉRŐL 1. táblázat Egyes szonett-típusok versszak beosztása és rímképlete Petrarca a b b a – a b b a – c d e – c d e 1) 2) 3) 4) 5)

a b b a – a b b a – c d c – d c d

WordsVerShakesHeine3 Spenser Milton1 worth2 laine4 peare a a a a a a b b b b b b a a b b b b b b a a c a – – – – – – c b a a c c d c b c b d c b b c b d d c a a a c – – – – – – e c c c d e f d d d e e e c e c d f f d – – – – – – c d f g g e d c d f g e e d f g

József Attila5 a b a b – a b a b – c c d – e e d

a b a b – a b a b – c d e – d c e

On his blindness On the Extinction of the Venetian Republic Fresko-Sonnet No VI Mon rêve familier Külvárosi éj

A matematikaoktatás gondjai – egy kívülálló szemével A csontkovács merészségével beszélek a matematikaoktatásról, holott – potenciális tanítványaim szerencséjére – sosem tanítottam matematikát. Azaz, mégis. Ezt röstelkedve mondom, de „vészhelyzetben”1, baráti alapon rövid ideig segítettem ismerősöknek az érettségire felkészülni. De ez már évtizedekkel ezelőtt történt. A főiskolánkon folyó matematika-oktatásról csak hallgatói pletykák, elkobzott puskák kiállítása, oktatói értekezleteken elhangzott megjegyzések, és leginkább a kollégákkal folytatott beszélgetések révén tudok valamicskét. A leggyakrabban hallott panasz az, hogy sok a bukás. A bukás pedig kellemetlen, sőt rossz dolog. Természetesen a legrosszabb a hallgatónak, aki megbukott, és újból meg kell kísérelnie a vizsgát. Ehhez tanulni kell(ene), amit nem mindenki szeret. S vannak egyéb veszélyek is: izgalom, hogy mi lesz, ha a következő vizsga sem sikerül? Mi lesz a nyári tervekkel? Nem is beszélve a fruszt-

1

Külföldön voltunk, és nem akadt „igazi” matematikatanár.

111

BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA – MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2010 rációról. Ki szeret butának látszani? De rossz a tanárnak is. Egy híres szegedi professzor nyíltan hangoztatta, hogy ő nem buktat meg soha senkit, mert a bukott diák újra eljön vizsgázni hozzá, ő pedig megvallotta, hogy nemigen kedveli a bukott diákok társaságát. (Persze, azért buktatott diákokat, mert mit is lehet tenni, ha egyáltalán semmit sem tudnak?) De tény, hogy nem kellemes rossz dolgozatokat javítani (még jókat se nagyon). Irigykedve lehet gondolni a szerencsés bölcsészkari professzorokra, akik RIMBAUD verseiről írott hallgatói esszéket olvasnak dolgozatjavítás ürügyén, vagy a zeneakadémiai professzorokra, akik BEETHOVEN zongoraszonátákat hallgatnak vizsgáztatás örvén. Ezzel szemben a matematika professzora elrontott számításokat, rosszul felírt egyenleteket nézeget hosszú órákon keresztül, és adogatja össze a pontokat. Nagyon szomorú foglalatosság. (Nem hiszem, hogy vigasztalja matematikus kollégáimat, hogy a nyelvi dolgozatok javítása sem nagyobb gyönyör.) És természetesen nem örül a sok bukásnak a főiskola vezetősége sem. Rossz fényt vet az iskolára, a lemorzsolódás mindenképpen kudarc: a kimaradt hallgatók rossz hírünket keltik. A sok bukás miatt leggyakrabban a vezetőség emel szót. Ez érthető: a bukott hallgató nemigen szólhat semmit – miért nem tanult? Legtöbbnyire el is ismeri, hogy nem tudja az anyagot megfelelően. A tanár meg kinek panaszkodjon? Nyilván nem panaszkodhat sem a hallgatónak, sem a vezetőségnek, hiszen ő a „hibás”: ő buktatott. Annak legfőbb bizonyítéka, hogy a tanár kényszerűségből buktat éppen az, hogy a tanárnak majdnem olyan kellemetlen a buktatás, mint a hallgatónak a bukás, hiszen a tanár kétfelől kaphat szemrehányást: a hallgatóktól és a feletteseitől, és ráadásul saját magának okoz többletmunkát. Matematikus kollégáim a hibák gyökerét keresve lefelé mutatnak, a középiskolára. Gyenge a hallgatók előképzettsége, és ehhez járul hozzá az, hogy megszűnt a felvételi, készpénznek kell elfogadnunk a középiskolai érettségik korántsem egyenértékű valutáit. Akármennyire igaz is mindez, ezen nem tudunk változtatni, és nem is biztos, hogy jó lenne. Főiskolánk nem tud Harvarddá, Yale-lé vagy MIT-vé alakulni. Azokat kell tanítani, akik hozzánk jelentkeztek, és akiket felvettünk. „Hozott anyagból” kell dolgoznunk, mint a szabóknak. Még élénken emlékszem a rendszerváltás utáni évekre, amikor sok vendég érkezett nyugati egyetemekről tapasztalatcsere és segítségnyújtás céljából. Mindig azzal tudtunk dicsekedni, hogy nálunk ötszörös-hatszoros túljelentkezés van. Ilyen körülmények között könnyű volt kiválasztani a legjobbakat, és úgy vélem természetes az, hogy a felvett hallgatók jobb felkészültségről tettek tanúságot, hiszen a felvételi során találkoztunk is velük. Meg kell mondanom, hogy nyugati barátaink nem mindig értették azt, hogy miért büszkélkedünk a nagyarányú túljelentkezéssel, mintha örömet jelentene számunkra a hozzánk jelentkező hallgatókat elhessegetni magunktól. „Miért nem vesztek fel több hallgatót?” ezt kérdezték tőlünk. Most már megváltozott a világ. Hazánkban sok felsőoktatási intézmény veszélybe került: nagy a versenyhelyzet, itt a demográfiai hullámvölgy, a gazdasági világválság, s lassan telítődik a mi hallgatóink számára vonzó álláskínálatok piaca. „Sok az eszkimó és kevés a fóka”, hogy MADÁCHot idézzem. Ezt nagyon erősen emlékezetünkbe kell vésnünk. A múltat nem lehet visszahozni (azt

112

RADVÁNYI T.: EGY LAIKUS A MATEMATIKATANÍTÁS MÓDSZERÉRŐL hiszem, nem is akarjuk), azzal a helyzettel kell megbirkózni, ami előttünk áll. Azt hiszem, többet lamentálunk bajainkon (amelyek persze valóságosak), mint azon gondolkodnánk, hogy mégis mit lehet tenni az adott helyzetben. Azt is panaszolni szoktuk, hogy nagy anyag, és kevés az idő. Az is érthető, hogy a tananyag megkurtítása a legfájdalmasabb dolgok közé tartozik. De meg kell gondolni, hogy valójában mi a legszükségesebb, és arra kell koncentrálni. (Ezt azért merem mondani, mert sokan szenvedünk ettől, például a nyelvoktatók is.) Sok a hallgató – ez is gondot jelent. Mindenki vágyakozva gondol arra, hogy milyen jól lehet kis csoportokban oktatni, ahol minden hallgatót személy szerint ismerünk, és testre szabottan tudunk oktatni. De ki nem tudja, hogy ez legfőképpen pénz kérdése? És miért feledkezünk meg arról, hogy a hallgatóknak jó az, ha egy-egy híres jó oktatónkat megismerhetik, ha nem is egy kis szemináriumi szobában, hanem egy nagyobb előadóban? Kíséreljük meg egy adott körülmények között megkeresni azokat a pontokat, amelyek felhasználhatók a helyzet javítása érdekében. Látjuk, hogy milyen gondjaink vannak, és nem is soroltam fel mindet. De most nézzük meg, hogy milyen gondokkal küzdhet a hallgatóságunk.

„Hülye vagyok a matekhoz!” Nem szeretem, mikor valaki ezt mondja; pedig ez sokszor előfordul: sokan szinte dicsekszenek azzal, hogy nem értik, sőt utálják a matematikát. „Hülye vagyok hozzá,” mondják könnyedén és mosolyogva, mint aki büszke valamilyen jó tulajdonságára. De ugyanezek az emberek nem szívesen mondanák azt, hogy „Egyszerűen nem tudok logikusan gondolkodni” vagy azt, hogy „Én egy eléggé buta ember vagyok, csak úgy, nagy általánosságban.” Ilyesmit még egy okos ember sem állít szívesen magáról, egy valóban buta meg végkép nem. Amikor pedig valaki gyenge matematikai képességeit veszi könnyedén, nekem egy kicsit ugyanazt jelenti, mintha általános szellemi fogyatékosságával hencegne. Vannak gyenge pontjaink, amelyeket nem nagyon röstellünk; bevalljuk, hogy rossz az arcmemóriánk, vagy névmemóriánk, hogy botfülünk van, hogy könnyen megfeledkezünk feleségünk (vagy férjünk) születésnapjáról, és még sorolni lehetne ezeket a „bocsánatos bűnöket”, de azt senki sem mondja szívesen, hogy „abszolút semmi humorérzése nincsen,” vagy hogy „nem szeretem a gyerekeket.” Én azt hiszem, hogy nem ad semmiféle büszkeségre alapot az, ha valakinek semmi érzéke nincs a matematikához. Igaz, hogy senki nem tehet arról, hogy nem tud jól rajzolni, nem jó a látása, nincs jó nyelvérzéke, nem tud úszni, nincs jó hallása stb., stb. Ma már tudjuk, hogy az emberi agy egy roppant bonyolult szerv, és zavarmentes működése sok tényezőtől függ. Az agy mechanikus sérüléseit tanulmányozva nagyon sok meglepő felfedezést tettek a tudósok. EUGÈNE IONESCO abszurd darabjában, a Különórában1 egy tanár számtanórát ad egy 1

Eugène Ionesco (1909-1994): La leçon (1951), magyarul Különóra címen ismert. A darab azzal végződik, hogy a tanár megöli tanítványát, mert megőrjíti tudatlansága, ezért is nevezi a szerző ezt az abszurd drámát tragikus komédiának, franciául «drame comique en

113

BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA – MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2010 tanítványának. Minden tökéletesen megy, amíg az összeadást kéri számon egészen ötig. A gond akkor kezdődik, amikor a kivonásra térnek át. Mennyi 4 – 3; ez az első feladat. A lány hallgat. „Mennyi marad, ha négyből elveszünk hármat?” fogalmazza át a feladványt a tanár. „Hét!” mondja a tanítvány. Innen kezdve megindul a képtelen komédia: a tanár erőlködik, magyaráz, a válaszok szinte mind találgatások: 4, 3, 10, majd az 5 is elhangzik, a tanár egyre türelmetlenebb, de csak nem sikerül a helyes eredményt kicsikarnia. A darab vége felé a tanár egy hirtelen ötlettel egy nehéz kérdést tesz fel: Mennyi 3 755 998 251 × 5 162 303 508? Mire a leány azonnal rávágja a jó választ: 19 389 602 947 179 164 508. A megdöbbent tanár érdeklődésére, hogy akkor ezt honnan tudja, a tanítvány bevallja: bevágta minden lehetséges szám szorzótábláját. A számolni tudás és szövegek memorizálása nem azonos agyi funkciók. Lehetséges, hogy egy súlyos akalkuliás beteg a szorzótáblát nagyon jól tudja, de az számára éppen olyan, mint egy bemagolt versike – pl. Egyszer egy az egy / Megérett a meggy / Egyszer kettő kettő / csipkebokor vessző, – csak éppen értelme nincs sok – legalábbis az ő számára. A darabra STANISLAS DEHAENE1 hivatkozik, és azt írja, hogy – bár nem hiszi, hogy IONESCO tudatosan írt le egy akalkuliás beteget, a darabban leírt eset pontosan megegyezik az ő (DEHAENE), klinikai tapasztalataival. Érdekes, hogyan ítéljük meg a fogyatékosságokat. A testileg súlyosan fogyatékos embereket szánjuk és igyekszünk minden segítséget megadni nekik. A szellemi fogyatékosok megítélése egy kicsit más. Esetükben is a súlyosan fogyatékosokat sajnáljuk, de igyekszünk távol tartani magunktól: az igazi őrültektől kicsit irtózunk vagy félünk. De azt is tudjuk, hogy a klinikai és a „könnyebb” esetek között nincs éles határvonal. Egy zsémbes, örökösen zsörtölődő öregember és egy depressziós között gyakran nehéz különbséget tenni. Az örökké elégedetlenkedőt nem szeretjük, talán utáljuk is, de a súlyos depresszióst kezeljük. A butácska fruskát, vagy ostoba kamaszt lenézzük vagy kinevetjük, a buta embereket nem szeretjük, de a „klinikai eseteket” másként látjuk. Másrészt nem szabad elfelejtenünk, hogy az ember lehet egyes területeken nagyon ügyes, okos és tehetséges, más területeken nagyon gyenge. Hiszen óriási művészek is lehettek más területen tökéletlenek. VILLON, a zseniális költő bűnöző volt, TOULOUSE-LAUTREC (és még sok más művész) alkoholista volt, VAN GOGH életének egy részében nem volt teljesen beszámítható, BEETHOVEN – közismert ellentmondás – életének jelentős részében nagyothalló, élete végén pedig teljesen süket volt. Ezt azért kell hangsúlyoznunk, mert hajlamosak vagyunk lebecsülni azokat, akik a mi szakterületünkön járatlanok. „Laikus, amatőr”, – mondjuk lenézően azokra, akik a mi tudományunkhoz nem sokat konyítanak2. Ebből származik a prose»-nak. A darabot minden matematika-szakos tanárjelölt számára kötelezővé tenném, nem azért, hogy mintául szolgáljon tudatlan tanítványaik megöléséhez, hanem azért, hogy megértsék, hogy van olyan tanítvány is, akinek nagyon nehezen megy a matematika – vagy akármi más. 1 Stanislav Dehaene: A számérzék, Osiris Kiadó, Budapest, 2003, pp. 242-244 2 Karinthy Frigyesnek van egy szellemes humoreszkje egy színészről, aki leereszkedően fogadja sikeres szereplése után öltözőjében egy orvos rajongójának a gratulációját; a hu-

114

RADVÁNYI T.: EGY LAIKUS A MATEMATIKATANÍTÁS MÓDSZERÉRŐL tanárok „szakmai betegsége”, az, hogy mivel mindig tanítanak, s így olyanokkal találkoznak, akik náluk kevesebbet tudnak, fennáll a veszély, hogy azt fogják magukról gondolni, hogy általában mindenkinél okosabbak. A matematikusokra külön veszedelmet jelent egyik erényük: az igazság szeretete. A matematikusok szerint ugyanis egy állítás vagy igaz, vagy hamis (esetleg nem tudjuk róla, hogy igaz-e vagy hamis); olyan azonban nincs, hogy egy kicsit igaz, egy kicsit nem az. Olyan nincs, hogy egy tétel egy picikét igaz, részben azonban hamis, ahogy egy nő sem lehet „egy kicsit terhes1”. A matematikus (és persze őket követően szinte mindenki) szerint 7×7 = 49 igaz, 7×7 = 47 és 7×7 = 2723 egyaránt hamis, és nincs értelme azt mondani, hogy az előző kevésbé hamis (igazabb), mint a második állítás. Hiába is kérném kedves matematikus barátaimat, legyenek egy kicsit nagyvonalúbbak, toleránsabbak és megengedőbbek, s legalább az én kedvemért, a szépen rímelő 5×5 = 25 és a 6×6 = 36 mintájára fogadják el igaznak (legalább is egy kis mértékben), hogy 7 × 7 = 47, – azt hiszem, ők hajthatatlanok maradnának2. Úgy hírlik, hogy Ecuador fővárosa Quito és nem Bogotá vagy Caracas. De azt mondani, például hogy Venezuela Caracas fővárosa, sokkal kevésbé igaz (hiszen egy országról azt állítjuk, hogy egy város, egy városról pedig azt, hogy egy ország, ráadásul egyiknek sincs köze a másikhoz) mint két szomszédos ország fővárosát összecserélni. Az, hogy Magyarország fővárosa Budapest-e vagy Bukarest, egy tízezer dolláros kérdés lehet egy amerikai kvízműsorban, de azt hinni, hogy Washington Seattle állam fővárosa, nagy műveletlenség. A matematikus számára az igaz és a hamis szavakat nem lehet fokozni, pedig az életben ezek a dolgok sokkal bonyolultabbak. Vannak igaz és igazabb, hamis és hamisabb állítások. De főként: nem biztos, hogy mindig az „igaz” a legmegfelelőbb választás. Egy matematikus kollégámmal gyakran vettünk rész értekezleteken, ahol ő mindig bátran kiállt az „igazság” mellett, amivel nem minden esetben aratott sikert. Ő mindig megkérdezte tőlem „De Tamás, mondd, hát nem volt igazam?” Persze, mindig igaza volt, de ezt nem minden esetben célszerű hangoztatni. Ez gyávaságnak tűnhet, főként akkor, ha a világ dolgait csak fehéren-feketén tudjuk látni, a szürke (vagy egyéb színek) árnyalatai nélkül. Egy másik ilyen veszély a matematika egy másik nagy erényének tulajdonítható, és ez a matematika nyelve. A matematika nyelve azért csodálatos, mert 1) teljesen egyértelmű, 2) teljesen nemzetközi, és 3) igencsak tömör. Ezért ennek a tudománynak az egyetemességét és nemzetekfelettiségét soha senki nem kérmoreszk második részében megfordul a helyzet: a színész a kórházban van, s most az orvos beszél vele leereszkedően, s már nyoma sincs a nagy csodálatnak, a színész pedig az orvosnak hajbókol. 1 Bezzeg a franciáknak van egy szép szavuk demi-vierge (félszűz), amit olyan lányokra alkalmaznak, akik tkp. szűzek is, de mégsem igazán azok. Az életben ugyanis van ilyen – állítólag. 2 Annak ellenére, hogy Gödel és Schrödinger felfedezései óta a matematikában és fizikában is polgárjogot nyert a bizonytalanság és a határozatlanság fogalma. Úgy tűnik tehát, hogy az „abszolút igazságok” korszakának alkonyát éljünk. Ma már világos, hogy a matematika nem egy egyszerű gépezet, amely a különböző belétáplált kérdésekről megállapítja, hogy azok igazak-e vagy sem. Sokszor mégis ilyennek tűnik.

115

BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA – MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2010 dőjelezte meg. Az is érthető, hogy mindenki szereti a saját nyelvét, és minden más nyelvnél különbnek tartja. Akinek az angol az anyanyelve természetesen büszke arra, hogy ez a nyelv lett mára vitathatatlanul a nemzetközi érintkezés nyelve1, az olasz joggal csodálja anyanyelve dallamosságát, és mi is szeretjük és csodáljuk saját anyanyelvünket, a magyart („Mely nyelv merne versenyezni véled?”2). Természetes, hogy a matematikusok is szeretik saját nyelvüket, amely a természetes nyelvektől eltérően nem ismer kivételeket, rendhagyást, logikátlan kifejezéseket, és ahol minden tökéletes rendben a helyén van. Eszükbe sem jut, hogy egy ilyen, mint a például következő, a legtöbb matematikus számára nyilván tökéletesen világos „matematikai mondat”:

i

∂ Ψ ( dn ) 1 = ∂t 2a3

  ∂2  − + n 2 d n2 a 4  + Ψ ( d n ) 2  ∂d n 

3

nem mindenki számára azonnal átlátható és érthető. Ne feledjük, hogy a matematika nyelvének tömörsége igen sok gondot okozhat a nemmatematikusnak! A legfőbb dolog: türelmesnek lennünk a hallgatókkal, megérteni azt, hogy nem matematikusok, nem nyelvészek, nem úgy látják a világot, mint én. Mert ezt természetesen magamnak is mondom, mert hiába vagyok már annyi évtizede ezen a pályán, még most is zavarnak bizonyos hallgatói megnyilvánulások. Többször előfordult velem (remélem, mások nem ismerik az ilyen jelenségeket), hogy feltettem a szemináriumon egy kérdést a hallgatónak. A szemünk összeakad; az én szememben a kíváncsi várakozás tükröződhet, a hallgatóéban rejtélyesen bizonytalan fények lobbannak. Bizonyára most fontolgatja, hogy fogja legfrappánsabban összefoglalni a választ; nem hosszasan, hanem a lényeget tömören összefoglalva. Várok. A türelmesség ilyenkor a legfontosabb. Vétek lenne sürgetéssel megzavarni a gondolatok formába öntésének kényes folyamatát. Ekkor, percek múlva, végre megszólal a hallgató: „Elnézést, mi volt a kérdés?” Ezt nem nagyon szeretem. Persze értem, hogy a hallgató várta, hogy hirtelen megvilágosodjon, mint a Buddha, és csak akkor nyilatkozott meg, mikor látta, hogy ez nem történt meg. A hallgató a legdrágább kincsünk, olyan, mint saját gyermekünk. Elmúlt nagyapáink ideje, mikor a figyelmetlen vagy lusta tanulót a tanító bácsi körmössel büntette. Mikor a fentiekhez hasonló kudarcok érnek, arra próbálok gondolni, vajon mivel tehettem volna mondanivalómat olyan érdekessé, hogy még ez az álmos hallgató is felébredjen.

1

A Newsweek 2010 június 22-i számában megjelent cikk (Robert Mccrum: Glob·ish) szerint a világ lakosságának mintegy 2/3-a (4 milliárd ember) beszéli az angolt valamilyen szinten, köztük 400 000-nek pedig anyanyelve. 2 Igaz, Petőfi ezt a természetről írta (A Tisza) és nem a magyar nyelvről, de írhatta volna éppen anyanyelvünkről is, amelynek oly nagy mestere volt! 3 Egy Schrödinger egyenlet, (Nem csoda, hogy nem olyan egyszerű!) idézi: Stephen Hawking–Roger Penrose: A tér és idő természete, p. 124. Talentum, 1999. (Az idézet pontos, de tartalmáért nem vállalok felelősséget!)

116

RADVÁNYI T.: EGY LAIKUS A MATEMATIKATANÍTÁS MÓDSZERÉRŐL

Szükség van-e a matematika-tanuláshoz külön számérzékre? Időnként felmerül, hogy a nyelvérzékhez hasonlóan valamiféle számérzékre is szükség van ahhoz, hogy valaki sikeresen tudjon matematikát tanulni. Érdekes, hogy néhány évtizeddel ezelőtt hasonló kérdésen vitatkoztak a napilapok fórumán tudós nyelvész és nyelvoktató kollégáim: vajon szükséges-e a nyelvérzék a nyelvtanuláshoz. Voltak, akik azt sem fogadták el, hogy van valami különös nyelvérzék. „Minden embernek (kivéve a patologikus eseteket) van nyelvérzéke, hiszen anyanyelvét mindenki tökéletesen el tudja sajátítani; nincsen tehát semmiféle különleges képesség, amire szükség lenne ahhoz, hogy egy (vagy több) idegen nyelvet is el tudjunk sajátítani.” Így lehet összefoglalni azt az optimista véleményt, amelyet egyik fél hangoztatott, szinte biztatva mindenkit, hogy csak bátran fogjon neki a nyelvtanulásnak, az mindenkinek egyforma könnyedséggel fog menni. A másik fél kissé óvatosabban fogalmazott, s hivatkozott különleges tehetségekre, nyelvzsenikre, akik könnyedén megtanultak több nyelvet is, ilyen volt például MEZZOFANTI bíboros, aki állítólag 58 nyelven beszélt és írt1, vagy JOHN BROWRING angol politikus, diplomata, író és népdalgyűjtő, akiről azt mondják, száz nyelvet is ismert2. Az ilyen tehetségeknek csak kellett rendelkezniük valamiféle különleges képességgel, amit nyelvérzéknek lehet nevezni, állította a másik fél. Bármiként van is, tudjuk, hogy (ismét eltekintve a patologikus esetektől) minden embernek veleszületett képessége, hogy megtanuljon legalább egy nyelvet (saját anyanyelvét) és megtanuljon számolni (valamiképpen). A második és n-edik nyelv megtanulásáról nem szólok a továbbiakban, de érdemes elgondolkodni azon, hogy meddig terjed az a bizonyos számérzék, ami mindannyiunkban megvan, – valószínűleg különböző mértékben. Feltétlenül különbséget kell tennünk azonban a számolási készségek és a matematika-tudás között. DEHAENE ismertet egy klinikai esetet3, egy agykárosodott gyerekről, aki még huszonéves korában sem tud beszélni, verbális IQ-ja gyakorlatilag nem mérhető, viszont logikai tesztekkel mért intelligenciahányadosa 128! A betűket és számokat ismeri, és kedvenc időtöltése az aritmetikai műveletek végzése, a számok törzstényezőkre bontása. Egy értelmes mondatot nem tud elmondani, de azt nyomban észreveszi, hogy 627 = 3×11×19. Matematikai zseni? Távolról sem. Mint ahogyan a régi számolóművészek sem voltak azok, akik azelőtt a cirkuszi közönséget bűvölték el azzal, hogy három-, négy- vagy ötjegyű számokat szoroztak össze fejben „hihetetlen” gyorsasággal, de akik művészetének bealkonyult a zsebszámológépek elterjedése óta. Igaz, az igazi matematikai 1 Giuseppe Mezzofanti (1774–1849), nyelvtudós, könyvtáros, pap, majd bíboros. Más források úgy tudják, hogy 50 nyelven beszélt folyékonyan, további 20-at értett, és 114 nyelvből tudott fordítani. A bíboros nyelvtudásának írott bizonyítékai azonban nemigen maradtak fenn. 2 Sir John Browring (1792–1872) nyelvtudásáról sincsenek pontos adatok, de tény az, hogy a világot beutazta, és népdalokat gyűjtött valamint fordított jávai, orosz, spanyol, lengyel, szerb és cseh nyelvből, és Poetry of Magyars címmel is írt egy művet. 3 Dehaene, op. cit. 192-193.

117

BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA – MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2010 zsenik között is akadt, aki jól tudott fejben számolni, de a matematikusok fő feladata mégsem az aritmetikai műveletek gyors elvégzésében csúcsosodik ki. Matematikai zseni igen sok volt: a matematika története nem más, mint egyes matematikai zsenik hozzájárulása egy-egy építőkővel a matematika csodálatos épületének kialakításához. Más művészetektől eltérően nemigen fordul elő, hogy valaki életének csak egy későbbi szakaszában kezdte tudományát művelni1. A matematikai zseni korán kibontakozik, mint GAUSS, akinek tehetségét már gyermekkorában felfedezték, vagy kedvencem, a szerencsétlen sorsú zseni, ÉVARISTE GALOIS, aki mindössze 21 évet élt, és ezalatt sikerült olyat alkotnia, hogy neve örökre bekerült a matematika történetébe. Pedig legfőbb gondolatait, az utókor szerencséjére, végzetes párbaja előtt (amelynek elkerülhetetlen kimenetelét előre sejtette), utolsó éjszakáján lázas sietséggel és kuszasággal vetette papírra. Eddig csak férfi matematikusokról írtam. Lehet, hogy a matematika a férfiak tudománya, s azért nehéz a matematika oktatása, mert hallgatóink zöme leány? Ez persze badarság, hiszen a matematika tanszéken is szép számban vannak hölgyek. És a matematika története is számos zseniális matematikusnőt ismer. Elsőként itt van HÜPATIA (HYPATIA) az ókor kiemelkedő, ám tragikus sorsú matematikusnője, aki (többek között) a kúpszeletek szakértője és tanára volt Alexandriában. A felbőszített keresztény tömegek, mint pogány tudósok hívét, a szó szoros értelmében felkoncolták, így HÜPÁTIA nemcsak az első tudós matematikusnő, hanem a matematikai és filozófiai tudományok első mártírnője is volt. Néhány évszázadot ugrunk, s itt van SOPHIE GERMAIN, aki sokáig férfinak álcázta magát, hogy matematikus férfikollégái komolyan vegyék. Többek között a FERMAT-sejtés bizonyításán is dolgozott, s munkálkodásának eredményeit sok későbbi kutató is felhasználta. S hadd említsek még csak egy nevet, CHARLOTTE ANGAS SCOTTét, aki arról nevezetes, hogy egyik úttörője volt a sztenderdizált felvételi teszteknek. (Lehet, hogy sokat tanulhatnánk tőle? Sajnos 1931-ben meghalt.) Főiskolánk folyosóin nem hemzsegnek a GAUSS-ok, GAULOIS-k, sem HYPÁTIÁK; gyanítom, hogy hallgatóink egy része nem is kifejezetten matematikai elme. Ez az objektív helyzet, és ezen nemigen tudunk változtatni. De én találkoztam matektanár-hallgatóval is, aki a tanszékvezetőjének a következőket mondta: „Tessék elhinni, hogy én sosem leszek igazi matematikus. Mindent rendesen meg fogok tanulni, de látom, hogy az én agyam kerekei nem úgy forognak, mint a matematikusoké.” A hallgató elvégezte a matek szakot, büszke is volt rá, de élete további részében nem a matematikával foglalkozott. Például mi, bölcsészek, általában nem vagyunk matematikai gondolkodásra berendezkedve. Egy társaságban felmerült J. A. PAULOS könyvében2 említett „becsapós” kérdés, hogy Judy esetében, – aki politikatudományt tanult egy neves egyetemen, ahol a hallgatói szervezetben aktívan részt vett a nők egyenjo1 Nem úgy, mint Gauguin vagy Van Gogh, akik meglett emberként kezdtek festeni, vagy Pirandello, akinek írói pályája 50 éves kora után bontakozott ki. A zenei tehetség, a matematikaihoz hasonlóan, szintén korán szokott kivonatozni (lásd Mozart). 2 John Allen Paulos: Számvakság, HVG könyvek, 2004, p. 102.

118

RADVÁNYI T.: EGY LAIKUS A MATEMATIKATANÍTÁS MÓDSZERÉRŐL gúságáért folytatott mozgalomban – mi a valószínűbb, hogy ma, miután már végzett a) pénztáros egy bankban, vagy b) pénztáros egy bankban és aktív feminista? A jelenlévő közgazdászok gondolkodás nélkül rávágták, hogy az a) válasz valószínűbb. A jelenlévő igen művelt és világot járt bölcsész végzettségű kolléga szerint attól függ, hogy melyik országról van szó, és hosszasan fejtegette, hogy a feminizmus milyen mértékű az egyes országokban, és ez mennyire az adott ország történelmétől függ, és a kérdésnek milyen pszichológiai és szociológiai implikációi vannak. Összefoglalásként azt mondta, hogy Európában – szerinte –a két lehetőségnek egyenlő esélye van. Érvei, melyeket szenvedélyes meggyőződéssel adott elő, annyira elfogadhatónak tűntek, hogy a közgazdászok is elhallgattak. Valószínűleg csak udvariasságból. (Persze az sem mindig jó, amikor matematikusok tévednek a filológia területére, ahogyan ezt GEORG CANTORnak, a halmazelmélet zseniális megalkotójának esete is bizonyítja, aki többet foglalkozott annak a meddő kérdésnek a bizonyításával, hogy FRANCIS BACON írta SHAKESPEARE műveit, mint matematikai problémákkal.) Egy matematikus tanítványom pedig értelmetlennek tartotta azt a közismert angol mondást, hogy „She doesn’t eat enough to keep a sparrow alive” (szó szerint: ahhoz sem eszik eleget, hogy egy verebet életben tartson; magyarul: annyit sem eszik, mint egy madár) és makacsul ismételgette, hogy egy veréb életben maradása teljesen független attól, hogy egy ember mennyit eszik – s ebben persze teljesen igaza volt. Csakhogy a köznapi nyelvet nemcsak matematikusok használják. Mennyi matematikát tud megtanulni egy „nem matematikus elme”? Azt hiszem, annyit meg tud tanulni, amennyi a munkájához kell. Az igazi matematikus nem elégszik meg azzal, hogy tanítványa egyes kérdésekre tudja a választ; arról akar meggyőződni, hogy érti is. Hiszen hiába magol be a tanítvány egy képletet, ha aztán egy előjelet vagy kitevőt eltéveszt benne, és ennek következtében természetesen helytelen eredményeket kap. A matematikus nem attól tud valamit (mint például egy színész, aki szó szerint megtanulja szerepét), hogy memorizálja a tudnivalók szövegét, hanem attól, hogy érti, miről van szó, és mi miért van úgy, ahogy van. Ez igaz. De valljuk meg, hogy elég jól lehet dolgozni a másodfokú egyenlet megoldó képletével azután is, amikor már régen elfelejtettük, hogyan is jutottunk el hozzá. Itt persze a kognitív ismeretek és verbális tudás összevetéséről van szó, ami – köztudottan – elég bonyolult ismeretelméleti, filozófiai és pszichológiai kérdés. Én megértem a matematikus kollégákat, hiszen a IONESCO-darab is azt bizonyítja a maga abszurd eszközeivel, hogy micsoda különbség van egy bemagolt szöveg felmondása és lényegének megértése között. Ennek ellenére nem találkoztam még olyan matematikus kollégával, aki nem tartotta volna elengedhetetlennek bizonyos matematikai definíciók pontos ismeretét. (Persze, hogy pontosat, hiszen hiába ismeri valaki egy definíciónak, mondjuk, négyötödét, vagy akár kilenc tizedét, ha éppen a lényeg marad ki belőle.) De miért gondolják, hogy az a hallgató, aki a vizsgára bemagolja a definíciókat, valójában érti is azokat? (Itt mintha egy pillanatra elfeledkeznénk a kognitív ismeretek primátusáról a verbális tudással szemben.) És ha még érti is, miért gondolják azt, hogy a vizsga után akár egy hónappal is emlékszik még rá? Én például, azt hiszem, tudom, mi az a kúp (mint mértani test). Ha nagyon erőlködnék, talán még

119

BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA – MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2010 el is tudnám magyarázni, hogy milyen. De nem tartom fontosnak, hogy a meghatározásával bajlódjam (s matematikus kollégáimat közismert tapintatosságukra hivatkozva kérem, hogy ne is tegyenek próbára). Hiszen legmindennapibb fogalmainkat nem is nagyon tudjuk meghatározni. Pl. mit értünk egy fán? A piros színen? Azon, hogy lyuk? Persze, meg lehet határozni ezeket a fogalmakat; mindennapi életünkben azonban csak használjuk, lazán és meggondolatlanul, és mégis megvagyunk. Meg kell jegyeznem, hogy nyelvoktató kollégáim is definíciópártiak. Természetesen más meggondolásból, mint a matematikusok. Mi azt mondjuk, azért tanácsos a definíciókat gyakorolni, mert ha egy szó nem jut eszünkbe, jó megoldás lehet, ha körülírjuk, hogy miről is van szó. Például, ha nem jut eszünkbe a kés vagy olló szó, mondhatjuk helyette, hogy vágóeszköz. Nem azt állítom, hogy definícióra nincs szükség, de fontoljuk meg, hogy mit tartunk fontosnak definiálni, és a definíciót mennyire kérjük számon. Állítólag az egyik budapesti egyetem Áruismeret tankönyvében szerepelt a „nadrág” meghatározása (ha esetleg valaki nem tudná, mi az). De a főiskolánkon (nemcsak a matematika tanszéken!) használt tankönyvek kedvelt fejezet (al)címe gyakran ilyen: „A [valaminek a] fogalma”. Egyetemista koromban a fiúk katonai kiképzésének egy része még az egyetemi órák keretében történt. Emlékszem, amikor a fegyverekről volt szó, ilyen részei voltak a tananyagnak: A závárzat fogalma és részei. Persze, ezt mind azelőtt tanultuk, hogy puskát láttunk volna. Amiről azt hiszem, hogy főiskolai oktatásunk módszertanilag leggyengébb pontja tankönyveink és jegyzeteink nyelvezete. Beiratkozó 18-20 éves hallgatóinkat elárasztjuk számukra szinte idegen nyelven írott tananyagokkal. A jogszabályok és PhD-disszertációk nyelvezetét használó anyagok szinte érthetetlenek egy éppen most érettségizett diák számára. Ami alkalmas arra, hogy meghasson egy szigorú doktori vizsgabizottságot, vagy egy tudományos folyóirat szerkesztőit korántsem lehet alkalmas arra, hogy ezzel szerettessük meg a hallgatóval a számára ismeretlen tudományágat. Tananyagainkból legtöbbnyire a személytelen közlés ridegsége, az elvont tudományok jéghideg levegője árad. Mintha nem egy laikusnak akarnánk elmagyarázni valamilyen fontos de alapjában véve egyszerű dolgot, hanem a téma komolyságáról és nehézségeiről (és ezzel kapcsolatban természetesen saját szakértelmünkről) akarnánk meggyőzni az ártatlan ifjút. Tudom, hogy más tárgyak esetében talán könnyebb lenne a stíluson változtatni, s azt is, hogy a matematikát nem lehet a népmesék közvetlen modorában magyarázni vagy ifjú hölgyolvasókat megcélzó szerelmes regények modorában megírni, s az is világos hogy a matematika nyelve valójában külön nyelv, és ezt is meg kell tanulni. De láttam már matematika könyvet, amelyik érdekesen volt megírva, statisztika könyvet, amelyik közvetlenül szólt az olvasóhoz. Sokszor az az érzésem, hogy a tudományok iránti érthető tiszteletünk és csodálatunk feledteti velünk a hallgatót, akinek fejébe valamit át kellene csöpögtetnünk a tudomány végtelen anyagából. Ha én matematikát tanítanék ezen a főiskolán (amitől azért az isten mentse meg a hallgatóságot), mindig azon lennék, hogy azt látassam meg a hallgatósággal, hogy milyen hihetetlenül érdekes és izgalmas ez a tantárgy, amit tanítok. Mert az, nem?

120

RADVÁNYI T.: EGY LAIKUS A MATEMATIKATANÍTÁS MÓDSZERÉRŐL

Tanulságok? Örülnék, ha matematikus barátaim találnának hasznosítható gondolatokat ebben a dolgozatban. Akkor is, ha nem értenek egyet a mondottakkal, de talán elindíthatott bennük olyan gondolatokat, amelyekkel tovább javíthatják nehéz és áldozatos munkájukat. Annak is örülnék, ha matematikus kollégáink közül valaki (vagy bárki más, más tanszékről is!) a nyelvoktatásról írná meg a véleményét. Biztos vagyok benne, hogy ők tanulságosabb dolgokat tudnának mondani, mint amilyen ötleteket én tudtam ebben a dolgozatban nyújtani. A dolgozatok végére „Összefoglalás” vagy „Tanulságok” címmel szokták az írás fő gondolatait vagy a javaslatokat kiemelni. Pontokba szedem mondanivalómat: 1) Nagyon sokat segítene, ha a tananyagot a hallgatók számára vonzóbbá tudnánk tenni. Úgy gondolom, hogy az előadásokon és szemináriumokon úgyis ez történik. Hogyan jelenhetne meg ez az írott anyagokban is? Nagyon fontosnak tartom a motivációt: lényeges, hogy a hallgatók megtanuljanak gondolkodni, és a matematika éppen erre tanít. 2) Azt mondják, a leggyakoribb gond az, hogy a hallgató az előadás egy bizonyos pontján (szerencsétlen esetben rögtön az elején) valamit nem ért, és attól kezdve elveszíti a gondolatmenet szálait, és a továbbiakból semmit sem ért. (Milyen más például egy irodalom óra, aminek egy részén nyugodtan elbóbiskolhatunk, hogy az érdekesebb részeknél magunkhoz térhessünk!) 3) A matematika a logikus gondolkodásra tanítás egyik fő eszköze (azt hiszem, szerényen fogalmaztam). Úgy hiszem, hogy igen fontos, hogy a matematika oktatásában nagy hangsúlyt kapjon a gondolatmenetek bemutatása. Ehhez természetesen szükség van a megértésre, és talán a legnagyobb gond, hogy a hallgatók félnek kérdezni (ezt a nyelvórákon is tapasztani lehet). Próbáljuk a hallgatókat bátorítani arra, hogy bátran kérdezzenek. 4) Próbálják matematikus kollégáim terhelésüket az oktatási és számonkérési módszerek korszerűsítésével könnyíteni. Például a dolgozatokat a hagyományos elemek mellett könnyebben javítható (pl. feleletválasztós) feladatokkal egészítsék ki; sőt, időnként tisztán feleletválasztós tesztekkel is lehetne kísérletezni. 5) A középiskolai lemaradást felzárkóztató programokkal lehet orvosolni. Ilyenek, úgy tudom, voltak/vannak; ezekre is nagyon oda kell figyelni.

Hivatkozások CARROLL, LEWIS: Alice’s Adventures in Wonderland, 1865. DEHAENE, STANISLAV: A számérzék, Osiris Kiadó, Budapest, 2003. HAWKING, STEPHEN– PENROSE, ROGER: A tér és idő természete, p. 124. Talentum, 1999. MCCRUM, ROBERT: Glob·ish, in: Newsweek, 22 June 2010. PACIOLI, LUCA: Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita, 1494. PAULOS, JOHN ALLEN: Számvakság, HVG könyvek, 2004. WESSELY TIBOR: Bolyai János, Vince kiadó, 2002. 121