Radek Kučera ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

NUMERICKÉ METODY Radek Kučera

Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro předměty teoretického základu studia. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ESF – ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY

ISBN 80-248-1198-7

Numerické metody

STUDIJNÍ OPORY S P EVAŽUJÍCÍMI DISTAN NÍMI PRVKY PRO P EDM TY TEORETICKÉHO ZÁKLADU STUDIA je název projektu, který usp l v rámci první výzvy Opera ního programu Rozvoj lidských zdroj . Projekt je spolufinancován státním rozpo tem

R a Evropským sociálním fondem.

Partnery projektu jsou Regionální st edisko výchovy a vzd lávání, s.r.o. v Most , Univerzita obrany v Brn a Technická univerzita v Liberci. Projekt byl zahájen 5.1.2006 a bude ukon en 4.1.2008. Cílem projektu je zpracování studijních materiál z matematiky, deskriptivní geometrie, fyziky a chemie tak, aby umožnily p edevším samostatné studium a tím minimalizovaly po et kontaktních hodin s u itelem. Je z ejmé, že vytvo ené texty jsou ur eny student m všech forem studia. Studenti kombinované a distan ní formy studia je využijí k samostudiu, studenti v prezen ní form si mohou doplnit získané v domosti. Všem student m texty pomohou p i procvi ení a ov ení získaných v domostí. Nezanedbatelným cílem projektu je umožnit zvýšení kvalifikace širokému spektru osob, které nemohly ve studiu na vysoké škole z r zných d vod (sociálních, rodinných, politických) pokra ovat bezprost edn po maturit . V rámci projektu jsou vytvo eny jednak standardní u ební texty v tišt né podob , koncipované pro samostatné studium, jednak e-learningové studijní materiály, p ístupné prost ednictvím internetu. Sou ástí výstup je rovn ž banka testových úloh pro jednotlivé p edm ty, na níž si studenti ov í, do jaké míry zvládli prostudované u ivo. Bližší informace o projektu m žete najít na adrese http://www.studopory.vsb.cz/. P ejeme vám mnoho úsp ch p i studiu a budeme mít radost, pokud vám p edložený text pom že p i studiu a bude se vám líbit. Protože nikdo není neomylný, mohou se i v tomto textu objevit nejasnosti a chyby. P edem se za n omlouváme a budeme vám vd ni, pokud nás na n upozorníte.

ESF – ROVNÉ P ÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY

-1-

Numerické metody

Pokyny ke studiu

POKYNY KE STUDIU V úvodu si vysv tlíme jednotnou pevnou strukturu každé kapitoly textu, která by vám m la pomoci k rychlejší orientaci p i studiu. Pro zvýrazn ní jednotlivých ástí textu jsou používány ikony a barevné odlišení, jejichž význam nyní objasníme.

Pr vodce studiem

vás stru n seznámí s obsahem dané kapitoly a s její motivací. Slouží také k instrukci, jak pokra ovat dál po vy ešení kontrolních otázek nebo kontrolních text .

Cíle

vás seznámí s u ivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování m li um t.

P edpokládané znalosti

shrnují stru n u ivo, které byste m li znát ješt d íve než kapitolu za nete studovat. Jsou nezbytným p edpokladem pro úsp šné zvládnutí následující kapitoly.

Výklad

ozna uje samotný výklad u iva dané kapitoly, který je len n zp sobem obvyklým v matematice na definice, v ty, p ípadn d kazy. Definice 1.1.1. Zavádí základní pojmy v dané kapitole.

V ta 1.1.1. Uvádí základní vlastnosti pojm zavedených v dané kapitole.

D kaz:

Vychází z p edpoklad v ty a dokazuje tvrzení uvedené ve v t . -2-

Numerické metody

Pokyny ke studiu

Poznámka neformáln komentuje vykládanou látku..

ešené úlohy

ozna ují vzorové p íklady, které ilustrují probrané u ivo. P íklad Uvádí zadání p íkladu. ešení:

Uvádí podrobné ešení zadaného p íkladu.

Úlohy k samostatnému ešení

obsahují zadání p íklad

k procvi ení probraného u iva. Úlohy ozna ené

pat í

k obtížn jším a jsou ur eny zájemc m o hlubší pochopení tématu.

Výsledky úloh k samostatnému ešení

obsahují správné výsledky p edchozích p íklad , slouží ke kontrole správnosti ešení.

Kontrolní otázky

obsahují soubor otázek k probranému u ivu v etn n kolika odpov dí, z nichž je vždy alespo jedna správná.

Odpov di na kontrolní otázky

uvád jí správné odpov di na kontrolní otázky.

Kontrolní test

obsahuje soubor p íklad k probranému u ivu.

Výsledky testu

uvád jí správné odpov di na p íklady kontrolního testu. -3-

Numerické metody

Pokyny ke studiu

Shrnutí lekce

obsahuje stru ný p ehled u iva, které by m l student po prostudování p íslušné kapitoly zvládnout.

Literatura

obsahuje seznam knih, které byly použity p i tvorb p íslušného textu a na které byly p ípadn uvedeny odkazy k hlubšímu prostudování tématu.

Piktogram, který upozor uje na d ležité vztahy nebo vlastnosti, které je nezbytné si zapamatovat.

-4-

Numerické metody

OBSAH

Obsah 1. Numerick´ e metody a chyby

7

1.1. Obsah pˇredmˇetu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Chyby v numerick´ ych v´ ypoˇctech . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

ˇ sen´ı neline´ 2. Reˇ arn´ıch rovnic

21

2.1. Separace koˇren˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2. Nejjednoduˇsˇs´ı metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.1. Metoda p˚ ulen´ı intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.2. Metoda regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3. Newtonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4. Metoda prosté iterace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3. SLR – pˇ r´ım´ e metody

40

3.1. Formulace u ´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.2. Gaussova eliminaˇcn´ı metoda (GEM)

. . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.2.1. Zpˇetn´ y chod GEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.2.2. Dopˇredný chod GEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2.3. V´ ybˇer hlavn´ıho prvku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.3. LU–rozklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.4. Pouˇzit´ı LU-rozkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

ˇ sen´ı soustav lineárn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Reˇ

54

3.4.2. V´ ypoˇcet inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.4.3. V´ ypoˇcet determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.5. Maticové normy a podm´ınˇenost matic . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4. SLR – iteraˇ cn´ı metody

66

4.1. Pˇr´ıklad iteraˇcn´ıho v´ ypoˇctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.2. Obecné iteraˇcn´ı metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

-5-

OBSAH

Numerické metody 4.2.1. Jacobiova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

4.2.2. Gauss-Seidelova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

4.3. Vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matic . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

4.3.1. V´ ypoˇcet vlastn´ıch ˇc´ısel metodou LU-rozkladu . . . . . . .

82

4.4. Konvergence iteraˇcn´ıch metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

5. Interpolace a aproximace funkc´ı

92

5.1. Interpolaˇcn´ı polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.1.1. Lagrange˚ uv tvar interpolaˇcn´ıho polynomu . . . . . . . . .

95

5.1.2. Newton˚ uv tvar interpolaˇcn´ıho polynomu . . . . . . . . . .

97

5.1.3. Interpolaˇcn´ı chyba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

5.2. Interpolaˇcn´ı splajny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2.1. Lineárn´ı splajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2.2. Kubick´ y splajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.3. Aproximace metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u . . . . . . . . . . . . . . 108 6. Numerick´ e integrov´ an´ı a derivov´ an´ı

113

6.1. Newton-Cotesovy vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.2. Sloˇzené vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.3. V´ ypoˇcet integrálu se zadanou pˇresnost´ı . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.4. Numerické derivován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7. ODR – poˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ lohy

132

7.1. Formulace u ´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.2. Eulerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.3. Jednokrokové metody vyˇsˇs´ıho ˇra´du . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.4. V´ıcekrokové metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Literatura

152

-6-

Numerické metody

1.

´ METODY A CHYBY 1. NUMERICKE

Numerick´ e metody a chyby

1.1.

Obsah pˇ redmˇ etu

Pr˚ uvodce studiem Numerickou u ´lohou rozum´ıme jasn´ y a jednoznaˇcný popis vztahu mezi koneˇ cn´ ym poˇctem vstupn´ıch a v´ ystupn´ıch dat (reáln´ ych ˇc´ısel). Podstatná je pˇritom koneˇcnost vstupn´ıho a v´ ystupn´ıho souboru, která ve svém d˚ usledku umoˇzn ˇ uje pˇri ˇreˇsen´ı pouˇz´ıt poˇc´ıtaˇc. Postupy ˇreˇsen´ı numerick´ ych u ´ loh se pak naz´ yvaj´ı numerické nebo poˇc´ıtaˇcové metody. Numerické u ´ lohy patˇr´ı do skupiny u ´ loh diskrétn´ıch. Matematické modely se vˇsak ˇcasto formuluj´ı jako u ´lohy spojité, u nichˇz se mezi vstupn´ımi nebo výstupn´ımi daty vyskytuj´ı spojité funkce. Pokud chceme takové u ´ lohy ˇreˇsit numerick´ ymi metodami, mus´ıme je nejdˇr´ıve na u ´ lohy diskrétn´ı pˇrevést, tj. diskretizovat.

C´ıle Na pˇr´ıkladech ukáˇzeme diskrétn´ı a spojité u ´ lohy. Dále pˇredvedeme diskretizaci a vysvˇetl´ıme pojmy diskretizaˇcn´ı parametr a ˇra´d.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Kvadratická rovnice, soustava lineárn´ıch rovnic, urˇcit´ y integrál, poˇcáteˇcn´ı u ´ loha pro obyˇcejnou diferenciáln´ı rovnici.

V´ yklad ´ ´ loha diskrétn´ı. 1) Uloha ˇreˇsit kvadratickou rovnici ax2 + bx + c = 0, a = 0, je u Vstupn´ı data jsou koeficienty a, b, c, v´ ystupn´ı data jsou reálná ˇc´ısla α1 , β1 , α2 , β2 , která urˇcuj´ı dva komplexn´ı koˇreny xk = αk + iβk , k = 1, 2.

-7-


Numerické metody

2) Diskrétn´ı u ´ lohou je také soustava lineárn´ıch rovnic Ax = b, y sloupcov´ y kde A = (aij ) je daná ˇctvercová matice ˇra´du n, b = (bi ) je dan´ y vektor neznám´ ych také o n sloˇzkách. vektor o n sloˇzkách a x = (xi ) je sloupcov´ Napˇr´ıklad pro n = 3 m˚ uˇzeme takovou soustavu psát v maticovém tvaru ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ x b a a a ⎜ 11 12 13 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ a21 a22 a23 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ b2 ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ a31 a32 a33 x3 b3 nebo po jednotliv´ ych rovnic´ıch a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 . Vstupn´ımi daty jsou zde prvky matice aij a vektoru prav´ ych stran bi . V´ ystupn´ımi ych. Pˇripomeˇ nme jeˇstˇe, ˇze ˇreˇsen´ı m˚ uˇze být daty jsou sloˇzky xi vektoru neznám´ jediné, nemus´ı existovat, nebo jich m˚ uˇze být nekoneˇcnˇe mnoho. ´ 3) Uloha vypoˇc´ıtat urˇcit´ y integrál

b

f (x) dx

I= a

je spojitá u ´ loha, protoˇze jedn´ım ze vstup˚ u je spojitá funkce f . Na tomto pˇr´ıkladˇe si pˇredvedeme diskretizaci. Integraˇcn´ı interval a, b rozdˇel´ıme na n u ´ sek˚ u o délce h pomoc´ı bod˚ u xi , i = 0, 1, . . . , n, tak, ˇze xi − xi−1 = h, x0 = a a xn = b. Pak m˚ uˇzeme psát x2 xn x1 f (x) dx + f (x) dx + . . . + f (x) dx. I= x0

x1

xn−1

Kaˇzdý d´ılˇc´ı integrál nahrad´ıme jeho pˇribliˇznou hodnotou

xi xi−1 + xi f (x) dx ≈ hf 2 xi−1

-8-


Numerické metody

a m´ısto hodnoty I budeme poˇc´ıtat jej´ı aproximaci

x0 + x1 x1 + x2 xn−1 + xn Ih = hf + hf + . . . + hf . 2 2 2

(1.1.1)

Výpoˇcet podle posledn´ıho vzorce je jiˇz u ´ loha diskrétn´ı. Vstupn´ımi daty jsou xi−1 +xi , i = 1, . . . , n a parametr h. V´ ystupn´ı data pˇredstavuje funkˇcn´ı hodnoty f 2 pˇribliˇzná hodnota Ih .

Integr´ al I

Aproximace Ih

Obrázek 1.1.1: Znázornˇen´ı integrálu I a jeho aproximace Ih . Smysl vzorce (1.1.1) ukazuje obrázek 1.1.1, kde jsou hodnoty I a Ih znázornˇeny jako velikosti plochy pˇr´ısluˇsného obrazce. Odtud m˚ uˇzeme usoudit, ˇze pˇri menˇs´ım h bude Ih lépe aproximovat I, tj., ˇze plat´ı lim Ih = I.

h→0+

(1.1.2)

Jinými slovy ˇreˇsen´ı diskretizované u ´ lohy se m˚ uˇze pˇribl´ıˇzit libovolnˇe pˇresnˇe k ˇreˇsen´ı p˚ uvodn´ı u ´ lohy spojité, pokud zvol´ıme dostateˇcnˇe mal´ y diskretizaˇcn´ı parametr h. Kladné ˇc´ıslo p, pro nˇeˇz plat´ı |I − Ih | ≤ Chp ,

(1.1.3)

kde C > 0 je konstanta nezávislá na h, se naz´ yvá ˇra´d diskretizace. V´ yraz na levé stranˇe nerovnosti (1.1.3) je velikost diskretizaˇcn´ı chyby. Tato chyba bude pˇri zmenˇsuj´ıc´ım se h klesat k nule t´ım rychleji, ˇc´ım vˇetˇs´ı bude hodnota p. Diskretizace vysokého ˇra´du je proto pˇresnˇejˇs´ı neˇz diskretizace n´ızkého ˇra´du; viz tabulka 1.1.1.

-9-


Numerické metody

Tabulka 1.1.1: Odhady diskretizaˇcn´ı chyby Chp pro C = 1. h

p=1

p=2

p=3

0.1

0.1

0.01

0.001

0.01

0.01

0.0001

0.000001

0.001

Pˇ r´ıklad 1.1.1.

0.001 0.000001 0.000000001

Pomoc´ı vzorce (1.1.1) vypoˇctˇete pˇribliˇznou hodnotu integrálu 1 x2 dx I= 0

pro h = 0.5, 0.25 a 0.125. Z v´ ysledk˚ u odhadnˇete, jaký je ˇra´d diskretizace. ˇ sen´ı: Pˇresná hodnota integrálu je I = 1 . Pˇribliˇzné hodnoty vypoˇc´ıtáme takto: Reˇ 3 I0.5 = 0.5(0.252 + 0.752 ) = 0.3125, I0.25 = 0.25(0.1252 + 0.3752 + 0.6252 + 0.8752 ) = 0.328125, I0.125 = 0.125(0.06252 + 0.18752 + . . . + 0.93752 ) = 0.33203125. Diskretizaˇcn´ı chyby maj´ı hodnotu: E0.5 = |I − I0.5 | = 0.02083333333333, E0.25 = |I − I0.25 | = 0.00520833333333, E0.125 = |I − I0.125 | = 0.00130208333333. Pˇri odhadu ˇra´du diskretizace budeme pro jednoduchost pˇredpokládat, ˇze v (1.1.3) nastane rovnost. Pro h = 0.5 pak dostáváme Chp E0.5 = = 2p E0.25 C(h/2)p

=⇒

p = log2

E0.5 . = 2.00000000000069. E0.25

. Podobnˇe pro h = 0.25 vypoˇcteme p = 2.00000000000277. Z tˇechto v´ ysledk˚ u m˚ uˇzeme usoudit, ˇze diskretizace podle vzorce (1.1.1) je druhého ˇra´du.

- 10 -

2


Numerické metody

´ 4) Uloha naj´ıt funkci y = y(x), která splˇ nuje diferenciáln´ı rovnici y = x2 − 0.2y

(1.1.4)

a vyhovuje poˇcáteˇcn´ı podm´ınce y(−2) = −1, je spojitá u ´ loha. Jak uvid´ıme pozdˇeji, diskretizace této u ´ lohy bude v mnohém podobná postupu, kter´ y jsme pouˇzili pˇri diskretizaci urˇcitého integrálu.

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak´ y je rozd´ıl mezi diskrétn´ı a spojitou u ´ lohou? Otázka 2. Co je to diskretizace? Jak´ y je v´ yznam diskretizaˇcn´ıho parametru? Otázka 3. Je pˇresnˇejˇs´ı diskretizace vysokého nebo n´ızkého ˇra´du?

´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Vyˇreˇste rovnice: a) x2 + 3x + 1 = 0; b) x2 + 2x + 1 = 0; c) x2 + x + 1 = 0. ˇ ste následuj´ıc´ı soustavy lineárn´ıch rovnic: 2. Reˇ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ x x 1 2 1 3 6 3 ⎠⎝ 1 ⎠ = ⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎠ = ⎝ ⎠ , b) ⎝ ⎠, a) ⎝ −1 −2 2 −1 5 −3 x2 x2 ⎛ c) ⎝

⎞⎛ 1

2

−1 −2

⎠⎝

⎞ x1

⎛

⎠=⎝

x2

⎞ 1

⎠.

1

Jak lze rozhodnout z hodnoty determinantu matice o existenci ˇreˇsen´ı? 3. Pomoc´ı vzorce (1.1.1) vypoˇctˇete pˇribliˇznou hodnotu integrálu 1 x2 dx I= −1

pro h = 1, 0.5 a 0.25 a urˇcete diskretizaˇcn´ı chyby. 4. Vyˇreˇste diferenciáln´ı rovnici (1.1.4) pomoc´ı znám´ ych analytick´ ych metod.

- 11 -


Numerické metody

V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı . . 1. a) Dva koˇreny x1 = −2.6180, x2 = −0.3820; b) jeden (dvojnásobn´ y) koˇren . x1 = x2 = −1; c) dva komplexnˇe sdruˇzené koˇreny x1 = x2 = −0.5 ± i 0.8660. 2. a) x = (3, 1) , det A = −7; b) nekoneˇcne mnoho ˇreˇsen´ı x = (3 − 2t, 3 − 2t) , t ∈ R, det A = 0; c) ˇreˇsen´ı neexistuje. . . . 3. I = 0.6667, I1 = 0.5, |I − I1 | = 0.1667, I0.5 = 0.625, |I − I0.5 | = 0.0417, . . I0.25 = 0.6563, |I − I0.25 | = 0.0104. 4. Obecné ˇreˇsen´ı je y(x) = 5x2 − 50x + 250 + Ce−0.2x, ˇreˇsen´ı vyhovuj´ıc´ı poˇcáteˇcn´ı podm´ınce je urˇceno konstantou C = −248.688737.

Shrnut´ı lekce Ukázali jsem rozdˇelen´ı matematick´ ych u ´ loh na u ´ lohy diskrétn´ı a spojité. Diskrétn´ı u ´ lohy lze zpravidla okamˇzitˇe ˇreˇsit pomoc´ı numerick´ ych metod. Spojité u ´ lohy je potˇreba nejdˇr´ıve diskretizovat.

- 12 -

Numerické metody

1.2.


Chyby v numerick´ ych v´ ypoˇ ctech

Pr˚ uvodce studiem Chyby, kter´ ymi jsou ovlivnˇeny v´ ysledky numerick´ ych v´ ypoˇct˚ u, maj´ı r˚ uznou podstatu. Chyba matematického modelu vzniká v d˚ usledku toho, ˇze m´ısto skuteˇcného technického nebo fyzikáln´ıho problému ˇreˇs´ıme jeho matematick´ y model. Je-li ˇreˇsen´ı tohoto modelu z nˇejakého d˚ uvodu nároˇcné nebo nemoˇzné, provedeme jeho aproximaci jednoduˇsˇs´ı u ´ lohou, ˇc´ımˇz vznikne chyba aproximaˇcn´ı. Jej´ım speciáln´ım pˇr´ıpadem je diskretizaˇcn´ı chyba, kterou jsme zm´ınili v pˇredchoz´ım odstavci. Dalˇs´ım zdrojem chyb je poˇc´ıtán´ı s nepˇresnými” ˇc´ısly. Sem patˇr´ı chyby vstup” n´ıch dat a chyby zaokrouhlovac´ı. Vstupn´ı data mohou b´ yt namˇeˇrené veliˇciny, jejichˇz nepˇresnost je dána rozliˇsovac´ı schopnost´ı mˇeˇr´ıc´ıch zaˇr´ızen´ı. K zaokrouhlován´ı meziv´ ysledk˚ u docház´ı v pr˚ ubˇehu celého v´ ypoˇctu, protoˇze pro ukládán´ı ˇc´ısel je k dispozici pouze omezený pamˇet’ov´ y prostor. Koneˇcnˇe jsou v´ ysledky ovlivnˇeny také chybami lidského faktoru. Jedná se o chyby v poˇc´ıtaˇcov´ ych programech, ˇspatná zadán´ı vstupn´ıch dat, nevhodnou volbu matematického modelu nebo nesprávn´ y v´ ybˇer metody ˇreˇsen´ı.

C´ıle Budeme se zabývat chybami zaokrouhlovac´ımi a ukáˇzeme jejich vliv na stabilitu numerického v´ ypoˇctu.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Základn´ı aritmetické operace, urˇcit´ y integrál, rekurentn´ı v´ ypoˇcty.

- 13 -


Numerické metody

V´ yklad Definice 1.2.1. Necht’ x¯ je pˇresná hodnota reálného ˇc´ısla a x je jeho aproximace. Rozd´ıl e(x) = x¯ − x se nazývá absolutn´ı chyba. Odhad absolutn´ı chyby je ˇc´ıslo (x), pro které plat´ı |¯ x − x| ≤ (x). Je-li x = 0, pak ˇc´ıslo r(x) =

(1.2.1)

x¯ − x x

se nazývá relativn´ı chyba. Odhad relativn´ı chyby je ˇc´ıslo δ(x), pro které plat´ı

x¯ − x

x ≤ δ(x).

Relativn´ı chyba a jej´ı odhad se ˇcasto udávaj´ı v procentech. Nerovnost (1.2.1) znamená x¯ ∈ x − (x), x + (x), coˇz symbolicky zapisujeme x¯ = x ± (x). Pokud nebude hrozit nedorozumnˇen´ı, budeme psát e, r, a δ m´ısto e(x), r(x), (x) a δ(x).

ˇ ıslo x = 2.72 je aproximace Eulerova ˇc´ısla x¯ = 2.7182818.... Pˇ r´ıklad 1.2.1. C´ Absolutn´ı chyba je e = −0.001718... a jej´ı odhad je napˇr´ıklad ˇc´ıslo = 0.002, protoˇze |e| ≤ . Proto x¯ = 2.72 ± 0.002. Relativn´ı chyba je r = −0.00063168... a za odhad relativn´ı chyby m˚ uˇzeme vz´ıt δ = 0.00064, protoˇze |r| ≤ δ. Nyn´ı ukáˇzeme jak se ˇs´ıˇr´ı chyby pˇri provádˇen´ı aritmetick´ ych operac´ı. Budeme pˇritom pˇredpokládat, ˇze vykonáváme pˇresné aritmetické operace s nepˇresnými ˇc´ısly, tj. s aproximacemi, a ˇze známe chyby, respektive jejich odhady.

- 14 -


Numerické metody Necht’ x¯i = xi + e(xi ),

|e(xi )| ≤ (xi ),

|r(xi )| ≤ δ(xi ),

i = 1, 2.

(a) Je-li u = x1 + x2 aproximace souˇctu u¯ = x¯1 + x¯2 , potom u¯ = x1 + e(x1 ) + x2 + e(x2 ) = u + e(u), kde e(u) = e(x1 ) + e(x2 ) a plat´ı |e(u)| ≤ |e(x1 )| + |e(x2 )| ≤ (x1 ) + (x2 ). (b) Je-li v = x1 − x2 aproximace rozd´ılu v¯ = x¯1 − x¯2 , potom e(v) = e(x1 ) − e(x2 ) a plat´ı |e(v)| ≤ |e(x1 )| + |e(x2 )| ≤ (x1 ) + (x2 ). (c) Je-li w = x1 x2 aproximace souˇcinu w¯ = x¯1 x¯2 , potom w ¯ = (x1 + e(x1 ))(x2 + e(x2 )) = w + x1 e(x2 ) + x2 e(x1 ) + e(x1 )e(x2 ) a klademe e(w) ≈ x1 e(x2 ) + x2 e(x1 ). Odtud |e(w)| |x1 |(x2 ) + |x2 |(x1 ). (d) Je-li z = x1 /x2 aproximace pod´ılu z¯ = x¯1 /¯ x2 , potom z¯ = kde e(z) =

x1 + e(x1 ) = z + e(z), x2 + e(x2 )

x2 e(x1 ) − x1 e(x2 ) x2 e(x1 ) − x1 e(x2 ) ≈ x2 (x2 + e(x2 )) x22

- 15 -


Numerické metody

a plat´ı |e(z)|

|x2 |(x1 ) + |x1 |(x2 ) . |x2 |2

Pro relativn´ı chyby m˚ uˇzeme z pravidel (a), (b), (c) a (d) odvodit:

1 1 e(x1 ) e(x2 ) + x2 (x1 r(x1 ) + x2 r(x2 )) , x1 = (A) r(u) = x1 + x2 x1 x2 x1 + x2 1 (|x1 |δ(x1 ) + |x2 |δ(x2 )) , |x1 + x2 |

1 1 e(x1 ) e(x2 ) x1 = r(v) = − x2 (x1 r(x1 ) − x2 r(x2 )) , x1 − x2 x1 x2 x1 − x2 |r(u)| ≤

(B)

|r(v)| ≤ (C)

r(w) ≈

1 (|x1 |δ(x1 ) + |x2 |δ(x2 )) , |x1 − x2 |

x1 e(x2 ) + x2 e(x1 ) = r(x2 ) + r(x1 ), x1 x2

|r(w)| δ(x2 ) + δ(x1 ), (D)

r(z) ≈

x2 e(x1 ) − x1 e(x2 ) x2 · = r(x1 ) − r(x2 ), x22 x1

|r(z)| δ(x1 ) + δ(x2 ).

Pozn´ amka Pˇri odˇc´ıtán´ı bl´ızkých ˇc´ısel (pravidlo (B)) m´ a na velikost relativn´ı chyby rozhoduj´ıc´ı atˇe relativn´ı pˇresnosti. vliv zlomek 1/|x1 − x2 |, který ukazuje, ˇze docház´ı ke ztr´

Pˇ r´ıklad 1.2.2. Necht’ x¯1 = 758 320, x1 = 758 330, x¯2 = 757 940 a x2 = 757 930. Urˇcete k jak velké ztrátˇe relativn´ı pˇresnosti dojde pˇri odˇc´ıtán´ı. ˇ sen´ı: Protoˇze e(x1 ) = −10, e(x2 ) = 10, m˚ Reˇ uˇzeme poloˇzit

−10 . −5

758330 = 1.32 · 10 = δ(x1 ),

10 . −5

757930 = 1.32 · 10 = δ(x2 ).

- 16 -


Numerické metody

Dále je v¯ = x¯1 − x¯2 = 380 a v = x1 − x2 = 400, a proto

v¯ − v −20 . −2

=

v 400 = 5 · 10 = δ(v). Doˇslo ke ztrátˇe relativn´ı pˇresnosti zhruba o tˇri ˇra´dy. Podle pravidla (B) totiˇz plat´ı |r(v)| ≤

758330 (δ(x1 ) + δ(x2 )) ≈ 2000(δ(x1 ) + δ(x2 )). 400

V´ yklad Pˇri provádˇen´ı rozsáhlejˇs´ıch v´ ypoˇct˚ u m˚ uˇze nastat situace, kdy se zaokrouhlovac´ı chyby nekontrolovatelnˇe hromad´ı a mohou znehodnotit v´ ysledek. O takovém v´ ypoˇctu ˇr´ıkáme, ˇze je numericky nestabiln´ı. Ukáˇzeme to na pˇr´ıkladu. Pˇredpokládejme, ˇze je naˇs´ım u ´ kolem vypoˇc´ıtat hodnoty integrál˚ u 1 xi yi = dx pro i = 0, 1, . . . , 8. 0 x+5 Pomoc´ı u ´ pravy

yi + 5yi−1 =

1

0

xi + 5xi−1 dx = x+5

1

i−1 x

x 0

+5 dx = x+5

1

xi−1 dx =

0

(1.2.2)

1 i

odvod´ıme rekurentn´ı vzorec yi =

1 − 5yi−1 i

pro i = 1, 2, . . . , 8.

(1.2.3)

Pˇri v´ ypoˇctu budeme zaokrouhlovat na tˇri desetinná m´ısta. Nejdˇr´ıve urˇc´ıme startovac´ı hodnotu y0 =

0

1

1 . dx = [ln |x + 5|]10 = 0.18232... = 0.182 x+5

a potom pomoc´ı (1.2.3) poˇc´ıtáme y1 = 1 − 5y0 1 y2 = − 5y1 2 1 − 5y2 y3 = 3 1 y4 = − 5y3 4

= 1 − 5 · 0.182 = 0.090, 1 = − 5 · 0.090 = 0.050, 2 1 . − 5 · 0.050 = 0.083, = 3 1 − 5 · 0.083 = −0.165. = 4

- 17 -


Numerické metody

Posledn´ı hodnota y4 je zjevnˇe nesmyslná, protoˇze vˇsechny integrály mus´ı b´ yt kladné. Správná hodnota je y4 = 0.03427.... Výpoˇcet podle vzorce (1.2.3) je tedy numericky nestabiln´ı. Nestability se zbav´ıme vhodnˇejˇs´ı organizac´ı v´ ypoˇctu. Rekurentn´ı vzorec (1.2.3) pˇrep´ıˇseme pro v´ ypoˇcet v opaˇcném smˇeru, tj. yi−1 =

1 1 − yi 5i 5

pro i = 9, 8, . . . , 1.

. . Startovac´ı hodnotu y9 urˇc´ıme z pˇribliˇzné rovnosti y10 = y9 , odkud y9 = . a proto y9 = 0.017. Pomoc´ı vzorce (1.2.4) dostaneme: 1 1 1 1 − y9 = − · 0.017 45 5 45 5 1 1 1 1 − y8 = − · 0.019 = 40 5 40 5 .. .

y8 =

. = 0.019,

y7

. = 0.021,

y0 =

(1.2.4) 1 50

− 15 y9 ,

1 1 1 1 . − y1 = − · 0.088 = 0.182. 5 5 5 5

Hodnota y0 je pˇresná (na tˇri desetinná m´ısta), takˇze výpoˇcet podle vzorce (1.2.4) je numericky stabiln´ı. Definice 1.2.2. Uvaˇzujme u ´ lohu y¯ = U(¯ x). Necht’ x je poruˇsená vstupn´ı hodnota a y je odˇ ıslem podm´ınˇenosti u pov´ıdaj´ıc´ı poruˇsená hodnota v´ ysledku. C´ ´ lohy U naz´ yváme ˇc´ıslo CU , pro které plat´ı |r(y)| = CU |r(x)|, kde r(x) a r(y) jsou relativn´ı chyby. ˇ ıslo podm´ınˇenosti vyjadˇruje citlivost u C´ ´lohy na poruchu ve vstupn´ıch datech. Je-li CU ≈ 1, ˇr´ıkáme, ˇze u ´ loha U je dobˇre podm´ınˇen´ a. Je-li CU velké, ˇr´ıkáme, ˇze u ´ loha U je ˇspatnˇe podm´ınˇen´ a. Podle ˇc´ısla podm´ınˇenosti m˚ uˇzeme posoudit také citlivost u ´ lohy na zaokrouhlovac´ı chyby, protoˇze je m˚ uˇzeme interpretovat jako

- 18 -


Numerické metody

d˚ usledek (teoretické) poˇcáteˇcn´ı poruchy. Pokud um´ıme urˇcit jenom odhady relativn´ıch chyb, stanov´ıme ˇc´ıslo pom´ınˇenosti pˇribliˇznˇe, tj. CU ≈


δ(y) . δ(x)

Urˇcete ˇc´ıslo podm´ınˇenosti u ´ lohy U vypoˇc´ıtat hodnotu y4 podle

vzorc˚ u (1.2.3) pˇri zaokrouhlován´ı na tˇri desetinná m´ısta. ˇ sen´ı: Reˇ

Dostáváme 0.18232... − 0.182 0.182 0.03427... + 0.165 r(y4 ) = −0.165

r(y0 ) =

CU =

. = 0.001758, . = −1.207,

|r(y4)| . = 686.6. |r(y0)|

Vˇsimnˇeme si, ˇze pˇri v´ ypoˇctu podle vzorc˚ u (1.2.3) se hodnota yi−1 násob´ı pˇeti, ˇc´ımˇz dojde také k pˇetinásobnému zvˇetˇsen´ı chyby. Vstupn´ı porucha se v hodnotˇe y4 prom´ıtne násobená ˇc´ıslem 54 = 625, coˇz je zhruba ˇc´ıslo podm´ınˇenosti CU .

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak se definuje absolutn´ı a relativn´ı chyba a jejich odhady? Otázka 2. Jak se chovaj´ı chyby pˇri provádˇen´ı aritmetick´ ych operac´ı? Otázka 3. Jak se definuje ˇc´ıslo podm´ınˇenosti u ´lohy?

´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Pro aproximaci x = 3.14 Ludolfova ˇc´ısla x¯ = 3.1415926... urˇcete absolutn´ı a relativn´ı chybu a jejich odhady. 2. Pro data z pˇr´ıkladu 1.2.2. urˇcete relativn´ı chyby pˇri sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı a dˇelen´ı. u (1.2.4). 3. Urˇcete ˇc´ıslo podm´ınˇenosti u ´lohy vypoˇc´ıtat y0 podle vzorc˚

- 19 -


Numerické metody

V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. e(x) = 0.0015926..., (x) = 0.0016, r(x) = 0.000507197, δ(x) = 0.00051. 2. Pro u = x1 + x2 je e(u) = 0, |e(u)| ≤ 20, r(u) = 0, |r(u)| ≤ 1.32 · 10−5; pro w = x1 x2 je e(w) = 3900, |e(w)| ≤ 15162600, r(w) = 6.79 · 10−9 , |r(w)| ≤ 2.64 · 10−5 ; pro z = x1 /x2 je e(z) = −2.64 · 10−5 , |e(z)| ≤ 2.64 · 10−5 , r(z) = −2.64 · 10−5 , |r(z)| ≤ 2.64 · 10−5 . . 3. y9 = 0.0169264..., r(y9) = (y9 − 0.017)/0.017 = −0.004329, r(y0) = (0.18232 − . . 0.1824)/0.1824 = −4.01758, CU = |r(y0)|/|r(y9)| = 0.4061.

Shrnut´ı lekce Ukázali jsem, jak se ˇs´ıˇr´ı chyby pˇri provádˇen´ı aritmetick´ ych operac´ı. Dále jsme ukázali jak posuzovat citlivost u ´loh na vstupn´ı a zaokrouhlovac´ı chyby.

- 20 -

Numerické metody

ˇ SEN ˇ Í NELINEARN ´ ÍCH ROVNIC 2. RE

ˇ sen´ı neline´ Reˇ arn´ıch rovnic

2.

Pr˚ uvodce studiem Budeme se zabývat v´ ypoˇctem reáln´ ych koˇren˚ u nelineárn´ı rovnice f (x) = 0,

(2.0.1)

kde f je v jistém smyslu rozumná” reálná funkce. Pro nˇekteré funkce (kvadra” tické, goniometrické atp.) um´ıme koˇreny vypoˇc´ıtat pomoc´ı (uzavˇren´ ych) vzorc˚ u, pro drtivou vˇetˇsinu funkc´ı vˇsak ˇzádné takové vzorce neexistuj´ı. Metody, s nimiˇz se seznám´ıme v této kapitole, lze pouˇz´ıt pro libovolnou funkci f . Patˇr´ı do tˇr´ıdy metod iteraˇcn´ıch, které poˇc´ıtaj´ı posloupnost {xk } konverguj´ıc´ı pro k → ∞ ke koˇrenu x¯. Obecnˇe plat´ı, ˇze konvergence nastane, pokud je poˇcáteˇcn´ı aproximace x0 zvolena dostateˇcnˇe bl´ızko u hledaného koˇrene. Jednotlivé iteraˇcn´ı metody se pak liˇs´ı rychlost´ı konvergence.

2.1.

Separace koˇ ren˚ u

C´ıle Ukáˇzeme nˇekolik moˇznost´ı, jak provést rozbor rovnice f (x) = 0, jehoˇz v´ ysledkem je separace koˇren˚ u v dostateˇcnˇe krátk´ ych intervalech.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Spojitost funkce, grafy elementárn´ıch funkc´ı.

V´ yklad a) Grafická separace 1. Z grafu funkce f najdeme polohu pr˚ useˇc´ık˚ u s x-ovou osou. b) Grafick´ a separace 2. Rovnici f (x) = 0 pˇrevedeme na ekvivalentn´ı rovnici h(x) = g(x) a nakresl´ıme grafy funkc´ı g a h. Pr˚ useˇc´ıky tˇechto graf˚ u prom´ıtneme

- 21 -


Numerické metody

do x-ové osy, ˇc´ımˇz zjist´ıme polohu koˇren˚ u. c) Separace tabelac´ı. Sestav´ıme tabulku funkˇcn´ıch hodnot funkce f a podle znaménkov´ ych zmˇen urˇc´ıme intervaly obsahuj´ıc´ı koˇreny. Vyuˇz´ıváme pˇritom následuj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 2.1.1. Necht’ f je spojitá funkce na intervalu a, b, pro niˇz plat´ı f (a)f (b) < 0.

(2.1.1)

Pak uvnitˇr intervalu (a, b) leˇz´ı aspoˇ n jeden koˇren rovnice f (x) = 0. Jinými slovy vˇeta ˇr´ıká, ˇze ze znaménkové zmˇeny u funkˇcn´ıch hodnot v krajn´ıch bodech intervalu a, b m˚ uˇzeme rozpoznat v´ yskyt koˇrene uvnitˇr tohoto intervalu. Pˇ r´ıklad 2.1.1. Pro rovnici 10 cos (x − 1) − x2 + 2x − 1 = 0 urˇcete intervaly délky nejvýˇse 0.1 obsahuj´ıc´ı koˇreny. ˇ sen´ı: Z grafu funkce f (x) = 10 cos (x − 1) − x2 + 2x − 1 na obrázku 2.1.1.a lze Reˇ usoudit, ˇze existuj´ı dva koˇreny x¯1 a x¯2 , které leˇz´ı v v intervalu −5, 5. Zadanou rovnici pˇrep´ıˇseme do tvaru 10 cos (x − 1) = x2 − 2x + 1. Grafy funkc´ı g(x) = 10 cos (x − 1) a h(x) = x2 − 2x + 1 jsou znázornˇeny na obrázku 2.1.1.b. Odtud plyne, ˇze x¯1 ∈ −1, 0 a x¯2 ∈ 2, 3. Dalˇs´ı zpˇresnˇen´ı polohy koˇren˚ u provedeme pomoc´ı tabelace. Z Tabulky 2.1.1 je patrné, ˇze koˇreny leˇz´ı v intervalech x¯1 ∈ −0.4, −0.3 a x¯2 ∈ 2.3, 2.4.

- 22 -


Numerické metody

0

30

−20 20

−40 −60

10

−80

0

−100 −120 −10

−5

0

5

10

−10 −5

0

a

b

Obrázek 2.1.1: a) Graf funkce f ; b) Grafy funkc´ı g a h. Tabulka 2.1.1: Tabelace funkce f . x

f (x)

... ... −0.5 −1.5426 −0.4 −0.2603 −0.3 0.9850 −0.2 2.1836 ... ...

x

f (x)

... ... 2.2 2.1836 2.3 0.9850 2.4 −0.2603 2.5 −1.5426 ... ...

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak se provád´ı separace koˇren˚ u rovnic? Otázka 2. Jak´ y je grafick´ y smysl vˇety 2.1.1.? ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Proved’te separaci koˇren˚ u rovnice x2 − x − 67 ln x = 0. V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Dva koˇreny: x¯1 ∈ (0.9, 0.91), x¯2 = 1.

- 23 -

5


2.2.

Numerické metody

Nejjednoduˇ sˇ s´ı metody

C´ıle Seznám´ıme se s nejjednoduˇsˇs´ımi iteraˇcn´ımi metodami pro v´ ypoˇcet koˇren˚ u rovnice f (x) = 0. Jsou zaloˇzeny na postupném zkracován´ı intervalu, kter´ y obsahuje koˇren. Tato strategie zaruˇcuje konvergenci pro kaˇzdou spojitou funkci, v´ ypoˇcet je vˇsak pomal´ y.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Urˇcen´ı polohy koˇrene pomoc´ı znaménkov´ ych zmˇen, vˇeta 2.1.1. Rovnice pˇr´ımky.

V´ yklad Princip zkracován´ı intervalu pouˇzijeme u dvou metod. Zaˇcnˇeme proto nejdˇr´ıve jeho obecn´ ym popisem. Budeme pˇritom pˇredpokládat, ˇze f je spojitá funkce na ym intervalu a0 , b0 , pro niˇz plat´ı f (a0 )f (b0 ) < 0. Zvol´ıme bod x1 ∈ (a0 , b0 ), kter´ rozdˇel´ıme p˚ uvodn´ı interval na dvˇe ˇcásti, a jako nov´ y interval a1 , b1 vezmeme tu ˇcást, v n´ıˇz leˇz´ı koˇren x¯. Rozhodujeme se takto: • je-li f (x1 ) = 0, potom x1 je koˇren, tj. x¯ = x1 ; • je-li f (a0 )f (x1 ) < 0, poloˇz´ıme a1 , b1 = a0 , x1 ; • je-li f (x1 )f (b0 ) < 0, poloˇz´ıme a1 , b1 = x1 , b0 . Pokud nastane prvn´ı pˇr´ıpad, jsme hotovi. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe zopakujeme cel´ y y bud’to je koˇrenem, postup na intervalu a1 , b1 , tj. zvol´ıme bod x2 ∈ (a1 , b1 ), kter´ nebo s jeho pomoc´ı urˇc´ıme dalˇs´ı interval a2 , b2 koˇren obsahuj´ıc´ı atd.. Uvedeným postupem tedy vytvoˇr´ıme posloupnosti {ak }, {bk } a {xk } takové, ˇze koˇren x¯ leˇz´ı uvnitˇr kaˇzdého z interval˚ u ak , bk . Abychom byli schopni urˇcit ˇc´ıselnou hodnotu koˇrene x¯, mus´ı k nˇemu konvergovat posloupnost {xk }. To zajist´ıme vhodnou konkrétn´ı volbou bod˚ u xk .

- 24 -


Numerické metody 2.2.1.

Metoda p˚ ulen´ı intervalu

Bod xk+1 urˇc´ıme jako stˇred intervalu ak , bk podle vzorce xk+1 =

ak + bk . 2

(2.2.1)

Intervaly tedy postupnˇe p˚ ul´ıme a jejich stˇredy tvoˇr´ıc´ı posloupnost {xk } konverguj´ı ke koˇrenu x¯. Výpoˇcet ukonˇc´ıme pˇri dosaˇzen´ı zadané pˇresnosti , tj. kdyˇz plat´ı |¯ x − xk+1 | ≤ . Otázkou je, jak takovou situaci rozpoznat, jelikoˇz x¯ neznáme. Mus´ı vˇsak platit |¯ x − xk+1 | ≤

bk − ak , 2

protoˇze koˇren x¯ leˇz´ıc´ı v intervalu ak , bk se od stˇredu xk+1 nem˚ uˇze liˇsit v´ıc neˇz o polovinu délky intervalu. Pro ukonˇcen´ı v´ ypoˇctu proto pouˇzijeme kritérium bk − ak ≤ 2 a posledn´ı stˇred xk+1 je pak aproximac´ı koˇrene x¯ s pˇrenost´ı . Algoritmus (Metoda p˚ ulen´ı intervalu) Vstup: f , a0 , b0 , . Pro k = 0, 1, . . . opakuj: xk+1 := (ak + bk )/2; je-li f (xk+1 ) = 0, potom jdi na V´ ystup; je-li f (ak )f (xk+1 ) < 0, potom ak+1 := ak , bk+1 := xk+1 ; je-li f (xk+1 )f (bk ) < 0, potom ak+1 := xk+1 , bk+1 := bk ; dokud bk+1 − ak+1 > . Výstup: posledn´ı hodnota xk+1 .

Pˇ r´ıklad 2.2.1. Metodou p˚ ulen´ı intervalu vypoˇctˇete koˇren rovnice f (x) ≡ 10 cos (x − 1) − x2 + 2x − 1 = 0, kter´ y leˇz´ı v intervalu 2.3, 2.4 s pˇresnost´ı = 10−3 .

- 25 -

(2.2.2)

ˇ SEN ˇ Í NELINEARN ´ ÍCH ROVNIC 2. RE ˇ sen´ı: Reˇ

Numerické metody

Na zaˇcátku je a0 = 2.3, b0 = 2.4 a prvn´ı stˇred je x1 = 2.35. Ta-

bulka 2.2.1 ukazuje pr˚ ubˇeh v´ ypoˇctu. Symbolem + nebo − za ˇc´ıslem zaznamenáváme znaménko funkˇcn´ı hodnoty funkce f v tomto bodˇe. Vˇsimnˇeme si, ˇze xk+1 nahrazuje ak nebo bk tak, aby byla zachována znaménková zmˇena. Aproximace koˇrene s pˇresnost´ı je posledn´ı ˇc´ıslo ve sloupci xk+1 . Proto x¯ = 2.378±10−3. Tabulka 2.2.1: Metoda p˚ ulen´ı intervalu.

2.2.2.

k

ak

bk

xk+1

(bk − ak )/2

0

2.3+

2.4−

2.35+

0.05

1

2.35+

2.4−

2.375+

0.025

2

2.375+

2.4−

2.3875−

0.0125

3

2.375+

2.3875−

2.38125−

0.00625

4

2.375+

2.38125−

2.378125+

0.003125

5

2.378125+

2.38125−

2.3796875−

0.0015625

6

2.378125+

2.3796875−

2.37890625+

0.00078125 < 10−3 =

Metoda regula falsi

V intervalu ak , bk zvol´ıme bod xk+1 jako koˇren pˇr´ımky p, která procház´ı krajn´ımi body grafu funkce f , viz obrázek 2.2.1.α. Uvaˇzovaná pˇr´ımka je dána pˇredpisem p(x) = f (ak ) +

f (bk ) − f (ak ) (x − ak ) bk − ak

a jej´ı koˇren je urˇcen rovnost´ı p(xk+1 ) = 0. Odtud lze snadno odvodit vzorec xk+1 = ak −

bk − ak f (ak ), f (bk ) − f (ak )

(2.2.3)

kter´ y se pouˇz´ıvá pˇri v´ ypoˇctu. Geometrick´ y smysl metody regula falsi je patrn´ y z obrázku 2.2.1.β. Ukonˇcen´ı iterac´ı se provád´ı podle kritéria |xk+1 − xk | ≤ ,

- 26 -

(2.2.4)


Numerické metody

xk+1

x1 x ¯

ak

x2 x3 x ¯

a0

bk

α

b0

β

Obrázek 2.2.1: Metoda regula falsi. kde > 0 je dané malé ˇc´ıslo. Algoritmus (Metoda regula falsi) Vstup: f , a0 , b0 , , x0 := a0 . Pro k = 0, 1, . . . opakuj: xk+1 := ak − (bk − ak )/(f (bk ) − f (ak ))f (ak ); ystup; je-li f (xk+1 ) = 0, potom jdi na V´ je-li f (ak )f (xk+1 ) < 0, potom ak+1 := ak , bk+1 := xk+1 ; je-li f (xk+1 )f (bk ) < 0, potom ak+1 := xk+1 , bk+1 := bk ; dokud |xk+1 − xk | > . Výstup: posledn´ı hodnota xk+1 .


Metodou regula falsi vypoˇctˇete koˇren rovnice z pˇr´ıkladu 2.2.1.

ˇ sen´ı: Na zaˇcátku je a0 = 2.3, b0 = 2.4 a poloˇz´ıme jeˇstˇe x0 = a0 . V prvn´ı Reˇ iteraci vypoˇc´ıtáme . x1 := 2.3 − (2.4 − 2.3)f (2.3)/(f (2.4) − f (2.3)) = 2.379095, |x1 − x0 | = |2.379095 − 2.3| = 0.079095. Tabulka 2.2.2 zachycuje cel´ y v´ ypoˇcet, kter´ y se ˇr´ıd´ı podobn´ ymi pravidly jako u me-

- 27 -


Numerické metody

tody p˚ ulen´ı intervalu. V´ ysledná aproximace koˇrene je x¯ = 2.379 ± 10−3 . Tabulka 2.2.2: Metoda regula falsi. k

ak

bk

xk+1

|xk+1 − xk |

0

2.3+

2.4−

2.379095+

0.079095

1

2.379095+

2.4−

2.379363+

0.000268 < 10−3 =

Pozn´ amka Ukonˇcovac´ı kritérium (2.2.4) ˇr´ıká, ˇze posledn´ı dvˇe aproximace koˇrene se liˇs´ı ménˇe neˇz . M˚ uˇze se ovˇsem st´ at, ˇze obˇe jsou od skuteˇcné hodnoty koˇrene vzd´ alené v´ıce neˇz . Poznáme to tak, ˇze u funkˇcn´ıch hodnot f (xk − ), f (xk ), f (xk + ) nedojde ke znaménkové zmˇenˇe. V takovém pˇr´ıpadˇe je moˇzno provést doplˇ nuj´ıc´ı výpoˇcet funkˇcn´ıch hodnot . . . , f (xk − 2), f (xk − ), f (xk ), f (xk + ), f (xk + 2), . . . který zastav´ıme, kdyˇz dojde ke znaménkové zmˇenˇe. Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. V ˇcem se shoduj´ı a v ˇcem se liˇs´ı metoda p˚ ulen´ı intervalu a metoda regula falsi? Která z nich je rychlejˇs´ı? Otázka 2. Podrobnˇe odvod’te vzorec (2.2.3). Otázka 3. Proˇc nelze metodu regula falsi ukonˇcovat podle kritéria (2.2.2)? ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı ulen´ı intervalu, = 10−3 . 1. Vypoˇctˇete koˇreny rovnice x2 −x− 67 ln x = 0 metodou p˚ 2. Vypoˇctˇete koˇreny rovnice z pˇredchoz´ı u ´ lohy metodou regula falsi. V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Zaˇcneme-li na intervalu (0.9, 0.91), bude ve ˇctvrté iteraci x¯ = 0.9019 ± 10−3 . 2. Zaˇcneme-li na stejném intervalu, bude ve druhé iteraci x¯ = 0.9021 ± 10−3 .

- 28 -


Numerické metody

2.3.

Newtonova metoda

C´ıle Odvod´ıme Newtonovu metodu, která kromˇe funkˇcn´ıch hodnot pouˇz´ıvá také hodnoty prvn´ı derivace. D˚ usledkem je vyˇsˇs´ı ˇra´d metody a rychlejˇs´ı konvergence. Nev´ yhodou je nutnost zvolit poˇcáteˇcn´ı aproximaci bl´ızko” koˇrene tak, aby byly ” splnˇeny pˇredpoklady zaruˇcuj´ıc´ı konvergenci.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Spojitost funkce. Výpoˇcty derivac´ı. Taylor˚ uv rozvoj.

V´ yklad Budeme pˇredpokládat, ˇze známe aproximaci xk koˇrene x¯ rovnice f (x) = 0 a chceme urˇcit dalˇs´ı (pˇresnˇejˇs´ı) aproximaci xk+1 . Zap´ıˇseme-li danou rovnici pomoc´ı Taylorova polynomu prvn´ıho stupnˇe v okol´ı bodu xk , dostaneme f (xk ) + (x − xk )f (xk ) + (x − xk )2

f (ξ) = 0, 2

kde ξ je bl´ıˇze neurˇcené ˇc´ıslo mezi x a xk . V tomto tvaru rovnice provedeme lineaˇ sen´ım linearizované rizaci, pˇri n´ıˇz vypust´ıme kvadratick´ y ˇclen na levé stranˇe. Reˇ rovnice urˇc´ıme aproximaci xk+1 , tj. f (xk ) + (xk+1 − xk )f (xk ) = 0. Odtud snadno vyjádˇr´ıme vzorec xk+1 = xk −

f (xk ) . f (xk )

(2.3.1)

Vˇsimnˇeme si jeˇstˇe, ˇze t(x) = f (xk ) + (x − xk )f (xk ) je rovnice teˇcny ke grafu funkce f v bodˇe xk , jej´ıˇz koˇren je aproximace xk+1 , viz obrázek 2.3.1.α. Geometrick´ y smysl Newtonovy metody je znázornˇen na obrázku 2.3.1.β.

- 29 -


Numerické metody

Pro zahájen´ı v´ ypoˇctu podle vzorcem (2.3.1) mus´ıme zadat poˇcáteˇcn´ı aproximaci x0 . O ukonˇcen´ı iterac´ı rozhodujeme pomoc´ı vhodného kritéria, budeme pouˇz´ıvat opˇet kritérium (2.2.4).

x ¯

x ¯ x3 x2 x1 x0

xk+1 xk α

β

Obrázek 2.3.1: Newtonova metoda. Algoritmus (Newtonova metoda) Vstup: f , f , x0 , . Pro k = 0, 1, . . . opakuj: xk+1 := xk − f (xk )/f (xk ); dokud |xk+1 − xk | > . Výstup: posledn´ı hodnota xk+1 .


Newtonovou metodou vypoˇctˇete koˇren rovnice z pˇr´ıkladu 2.2.1.

s pˇresnost´ı = 10−6 . ˇ sen´ı: Reˇ

Derivace funkce f (x) = 10 cos (x − 1) − x2 + 2x − 1 má tvar f (x) =

−10 sin (x − 1) − 2x + 2. Newtonova metoda je proto dána vzorcem xk+1 = xk −

10 cos (xk − 1) − (xk )2 + 2xk − 1 . −10 sin (xk − 1) − 2xk + 2

Poˇcáteˇcn´ı aproximaci zvol´ıme napˇr´ıklad x0 = 2.4 a dostaneme x1 = 2.4 −

10 cos (2.4 − 1) − 2.42 + 2 · 2.4 − 1 = 2.37942798004. −10 sin (2.4 − 1) − 2 · 2.4 + 2

- 30 -


Numerické metody

Celý pr˚ ubˇeh v´ ypoˇctu je zachycen v tabulce 2.3.1. V´ ysledná aproximace koˇrene je x¯ = 2.379364 ± 10−6 .

2 Tabulka 2.3.1: Newtonova metoda. k

|xk − xk−1 |

xk

1

2.37942798004 0.02057201996

2

2.37936459485 0.00006338519

3

2.37936459422 0.00000000062

V pˇr´ıkladu jsme mˇeli moˇznost si vˇsimnout velice rychlé konvergence Newtonovy metody. Následuj´ıc´ı anal´ yza ukazuje, ˇze se nejednalo o náhodu. Vˇ eta 2.3.1. Necht’ f je spojitá, f nenulová na a, b a necht’ {xk } je posloupnost na a, b poˇc´ıtaná podle vzorce (2.3.1), která konverguje k ˇc´ıslu x¯. Potom x¯ je koˇrenem rovnice f (x) = 0 a plat´ı x − xk |2 |¯ x − xk+1 | ≤ C|¯

pro k = 0, 1, 2, . . . ,

(2.3.2)

kde konstanta C ≥ 0 nezávis´ı na k. D˚ ukaz: Limitn´ım pˇrechodem ve vzorci (2.3.1) dostaneme f (¯ x) = 0, ˇcili x¯ je uˇzeme f (¯ x) = 0 zapsat koˇren. Protoˇze pˇredpokládáme, ˇze f je spojitá funkce, m˚ pomoc´ı Taylorova rozvoje ve tvaru x − xk )f (xk ) + (¯ x − xk )2 f (xk ) + (¯

f (ξ) = 0, 2

kde ξ je bod mezi xk a x¯. Vydˇel´ıme derivac´ı f (xk ) a dosad´ıme ze vzorce (2.3.1), ˇc´ımˇz dostaneme

f (ξ) = 0. 2f (xk ) Oznaˇc´ıme-li C = maxξ,x∈a,b |f (ξ)/2f (x)|, m˚ uˇzeme psát

f (ξ) x − xk |2 . |¯ x − xk+1 | =

k

|¯ x − xk |2 ≤ C |¯ 2f (x ) x − xk )2 x¯ − xk+1 + (¯

2

- 31 -


Numerické metody

Pozn´ amka Nerovnost (2.3.2) dokazuje, ˇze Newtonova metoda je druh´ eho ˇ ra ´du. D˚ usledkem tohoto faktu je velmi rychlá konvergence, pˇri n´ıˇz se poˇcet správných ˇc´ıslic za desetinnou teˇckou v kaˇzdé iteraci pˇribliˇznˇe” zdvojn´ asob´ı. ” Následuj´ıc´ı vˇeta ˇr´ıká, za jak´ ych pˇredpoklad˚ u konvergence nastane. Vˇ eta 2.3.2. Necht’ jsou splnˇeny následuj´ıc´ı pˇredpoklady: a) f je nenulová na intervalu a, b; b) f nemˇen´ı znaménko v intervalu (a, b); c) plat´ı f (a)f (b) < 0; d) plat´ı |f (a)/f (a)| < b − a a |f (b)/f (b)| < b − a. Potom posloupnost {xk } poˇc´ıtaná podle vzorce (2.3.1) konverguje pro libovolnou poˇcáteˇcn´ı aproximaci x0 ∈ a, b. Pˇ r´ıklad 2.3.2.

Ukaˇzte, ˇze pro rovnici z pˇr´ıkladu 2.3.1. jsou na intervalu

2.3, 2.4 splnˇeny pˇredpoklady vˇety 2.3.2. ˇ sen´ı: Reˇ

Rovnice je zadaná funkc´ı f (x) = 10 cos (x − 1) − x2 + 2x − 1, jejiˇz

prvn´ı a druhá derivace maj´ı tvar f (x) = −10 sin (x − 1) − 2x + 2 a f (x) = uˇzeme −10 cos (x − 1)−2. V tabulce 2.3.2 jsou vypoˇcteny hodnoty f , f , z nichˇz m˚ usoudit, ˇze jsou splnˇeny pˇredpoklady a) a b). . . Výpoˇctem dostáváme f (2.3)f (2.4) = −0.2564 < 0, |f (2.3)/f (2.3)| = 0.0805 < . 0.1 a |f (2.4)/f (2.4)| = 0.0206 < 0.1, coˇz znamená, ˇze jsou splnˇeny také pˇredpoklady c) a d). Poˇcáteˇcn´ı aproximaci x0 je proto moˇzné zvolit libovolnˇe na 2.3, 2.4.

- 32 -


Numerické metody

Tabulka 2.3.2: Tabelace prvn´ı a druhé derivace. x

f (x)

f (x)

2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40

−12.2356 −12.2818 −12.3272 −12.3715 −12.4148 −12.4572 −12.4986 −12.5391 −12.5785 −12.6170 −12.6545

−4.6750 −4.5785 −4.4818 −4.3848 −4.2875 −4.1901 −4.0924 −3.9945 −3.8964 −3.7981 −3.6997

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak se odvozuje vzorec (2.3.1)? Jak´ y je jeho grafick´ y smysl? Otázka 2. Zkuste nakreslit situace, kdy Newtonova metoda diverguje. Otázka 3. Jakého ˇra´du je Newtonova metoda a jak se to projev´ı pˇri v´ ypoˇctu? ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Ovˇeˇrte, ˇze pro rovnici x2 − x − 67 ln x = 0 jsou na intervalu 0.9, 0.91 splnˇeny pˇredpoklady a)–d) z vˇety 2.3.2. 2. Vypoˇctˇete koˇren z pˇredchoz´ı u ´ lohy pomoc´ı Newtonovy metody, = 10−6 . V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Z tabelace f (x) = 2x − 1 −

6 7x

a f (x) = 2 +

6 7x2

zjist´ıme, ˇze na uvedeném

intervalu je prvn´ı derivace záporná a druhá derivace kladná. Pˇr´ım´ ym v´ ypoˇctem . . dostaneme f (0.9)f (0.91) = −3.28 · 10−7 < 0, |f (0.9)/f (0.9)| = 2.03 · 10−3 < 0.01 . a |f (0.91)/f (0.91)| = 8.71 · 10−3 < 0.01. 2. Zaˇcneme-li z x0 = 0.9, dostaneme ve tˇret´ı iteraci x¯ = 0.9020709 ± 10−6 .

- 33 -


2.4.

Numerické metody

Metoda prost´ e iterace

C´ıle Seznám´ıme se s obecnou metodu pro v´ ypoˇcet pevného bodu funkce. Metody z pˇredchoz´ıch odstavc˚ u m˚ uˇzeme chápat jako jej´ı speciáln´ı varianty. Pojem pevného bodu hraje d˚ uleˇzitou roli v r˚ uzných oblastech matematického modelován´ı.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Spojitost funkce. Výpoˇcty derivac´ı. Vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe diferenciáln´ıho poˇctu.

V´ yklad Rovnici f (x) = 0 pˇrevedeme na ekvivalentn´ı rovnici x − g(x) = 0, kde g je vhodná spojitá funkce. M´ısto p˚ uvodn´ı rovnice budeme ˇreˇsit rovnici v iteraˇcn´ım tvaru: x = g(x).

(2.4.1)

ˇ ıslo x¯, které je ˇreˇsen´ım rovnice (2.4.1), se nazývá pevný bod funkce g. C´ Vˇ eta 2.4.1. (Brouwerova vˇ eta o pevn´ em bodu) Necht’ g je spojitá funkce na intervalu a, b, pro niˇz plat´ı g(x) ∈ a, b ∀x ∈ a, b.

(2.4.2)

Pak na intervalu a, b existuje pevný bod funkce g. D˚ ukaz: Poloˇzme f (x) = x − g(x). Pokud f (a) = 0 resp. f (b) = 0, pak je bevn´ ym bodem a, resp. b. Necht’ f (a) = 0 a f (b) = 0. Protoˇze g(a) ∈ a, b, plat´ı f (a) = a − g(a) < 0. Podobnˇe lze ukázat f (b) > 0. Dohromady dostáváme

- 34 -


Numerické metody

2

f (a)f (b) < 0, takˇze existence pevného bodu plyne z vˇety 2.1.1.

O funkci g, která splˇ nuje (2.4.2), ˇr´ıkáme, ˇze zobrazuje interval a, b do sebe. yváme Necht’ x0 ∈ a, b je poˇcáteˇcn´ı aproximace. Metodou prostých iterac´ı naz´ v´ ypoˇcet podle pˇredpisu: xk+1 = g(xk ),

k = 0, 1, 2, . . . .

(2.4.3)

Jestliˇze posloupnost {xk } poˇc´ıtaná t´ımto postupem konverguje k ˇc´ıslu x¯, pak limitn´ım pˇrechodem v (2.4.3) dostaneme, ˇze x¯ je pevným bodem funkce g. Výchoz´ı rovnici f (x) = 0 m˚ uˇzeme pˇrevést na iteraˇcn´ı tvar r˚ uznými zp˚ usoby, ale jen nˇekteré vedou ke konvergentn´ımu v´ ypoˇctu.


Rovnici f (x) ≡ ex − x2 + 1 = 0,

(2.4.4)

pˇreved’te na iteraˇcn´ı tvar a poˇc´ıtejte koˇren, který leˇz´ı v intervalu −1.2, −1.1. ˇ sen´ı: Navrhneme tˇri iteraˇcn´ı tvary: Reˇ √ x = − ex + 1

≡ ga (x);

x = x + (ex − x2 + 1) ≡ gb (x); x = x−

ex − x2 + 1 ex − 2x

≡ gc (x).

ypoˇcet konverguje Pr˚ ubˇeh v´ ypoˇct˚ u pro x0 = −1.1 ukazuje tabulka 2.4.1. Pro ga v´ ypoˇcet diverguje a pro gc v´ ypoˇcet konverguje rychle. pomalu, pro gb v´

- 35 -

2


Numerické metody

Tabulka 2.4.1: Metoda prosté iterace. k

xk+1 = ga (xk )

xk+1 = gb (xk ) xk+1 = gc (xk )

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−1.1 −1.1545003 −1.1468282 −1.1478861 −1.1477398 −1.1477600 −1.1477572 −1.1477576 −1.1477576

−1.1 −0.9771289 −0.5555196 +0.7096523 +3.2393301 +19.262693 ∞

−1.1 −1.1485105 −1.1477578 −1.1477576 −1.1477576

Pˇri studiu konvergence metody prost´ ych iterac´ı se pouˇz´ıvá pojem kontrakce. Definice 2.4.1. Funkce g se nazývá kontrakce na intervalu a, b, jestliˇze existuje konstanta L, 0 < L < 1, taková, ˇze |g(x) − g(y)| ≤ L|x − y| ∀x, y ∈ a, b.

(2.4.5)

Vˇ eta 2.4.2. Necht’ g je spojitá kontrakce na a, b, která zobrazuje tento interval do sebe. Pak na intervalu a, b existuje jedin´ y pevn´ y bod x¯ funkce g. Nav´ıc posloupnost {xk } vypoˇc´ıtaná podle pˇredpisu (2.4.3) konverguje k x¯ pro kaˇzdou poˇcáteˇcn´ı aproximaci x0 ∈ a, b.

D˚ ukaz: Existence pevného bodu plyne z vˇety 2.4.1. Jednoznaˇcnost dokáˇzeme sporem. Necht’ x˜ je dalˇs´ı pevn´ y bod g. Pomoc´ı (2.4.5) dostaneme |¯ x − x˜| = |g(¯ x) − g(˜ x)| ≤ L|¯ x − x˜|, odkud (1 − L)|¯ x − x˜| ≤ 0. Protoˇze 1 − L > 0, dostáváme x¯ = x˜. Zbývá dokázat, ˇze posloupnost {xk } vypoˇc´ıtaná podle pˇredpisu (2.4.3) konverguje

- 36 -


Numerické metody k x¯. Podle (2.4.5) je

x)| ≤ L|xk−1 − x¯|, |xk − x¯| = |g(xk−1) − g(¯ odkud plyne |xk − x¯| ≤ Lk |x0 − x¯|. Protoˇze L ∈ (0, 1), je limk→∞ Lk = 0, a proto limk→∞ |xk − x¯| = 0.

(2.4.6) 2

V konkrétn´ıch situac´ıch je zpravidla nesnadné dokázat, ˇze daná funkce g je kontrakce. Jednoduˇsˇs´ı je ovˇeˇrovat následuj´ıc´ı silnˇejˇs´ı pˇredpoklad: necht’ g má v (a, b) derivaci a ∃L ∈ (0, 1) tak, ˇze |g (η)| ≤ L ∀η ∈ (a, b).

(2.4.7)

Vˇ eta 2.4.3. Necht’ g je spojitá funkce na a, b, která zobrazuje tento interval do sebe a splˇ nuje (2.4.7). Pak plat´ı tvrzen´ı vˇety 2.4.2..

D˚ ukaz: Pomoc´ı vˇety o stˇredn´ı hodnotˇe diferenciáln´ıho poˇctu dostáváme |g(x) − g(y)| = |g (η)| |x − y| ≤ L|x − y|, kde η ∈ (x, y). Funkce g je proto kontrakce na intervalu a, b a vˇeta 2.4.3. je tak 2

d˚ usledkem vˇety 2.4.2.

Následuj´ıc´ı poznámka dává návod, jak rozhodnout o konvergenci metody prost´ ych iterac´ı. Pozn´ amka Je-li ˇc´ıslo Mg = max |g (x)| x∈(a,b)

menˇs´ı neˇz jedna, pak m˚ uˇzeme poloˇzit L = Mg a funkce g bude kontrakce na intervalu a, b. Rychlost konvergence lze posoudit podle velikosti L. Vztah (2.4.6) totiˇz ukazuje, ˇze výpoˇcet bude konvergovat rychleji pro menˇs´ı hodnoty L.

- 37 -



Numerické metody

Rozhodnˇete o konvergenci metody prost´ ych iterac´ı u iteraˇcn´ıch

tvar˚ u z pˇr´ıkladu 2.4.1. ˇ sen´ı: Reˇ

Derivován´ım ga , gb a gc dostaneme ex ga (x) = − √ x , 2 e +1 gb (x) = 1 + ex − 2x, gc (x) =

(ex − x2 + 1)(ex − 2) . (ex − 2x)2

Tabulka 2.4.2 obsahuje absolutn´ı hodnoty tˇechto derivac´ı na intervalu −1.2, −1.1. . . . Odtud Mga = 0.1442, Mgb = 3.7012 a Mgc = 0.0323. Protoˇze Mgb > 1 iteraˇcn´ı tvar b) diverguje. Pro iteraˇcn´ı tvary a) resp. c) m˚ uˇzeme poloˇzit Lga = Mga resp. Lgc = Mgc , takˇze funkce ga a gb jsou kontrakce a metoda prost´ ych iterac´ı konverguje. Protoˇze Lgc < Lga , je konvergence rychlejˇs´ı u iteraˇcn´ıho tvaru c). Tabulka 2.4.2: Posouzen´ı rychlosti konvergence metody prosté iterace. x

|ga (x)|

|gb (x)|

|gc (x)|

−1.2000 −1.1875 −1.1750 −1.1625 −1.1500 −1.1375 −1.1250 −1.1125 −1.1000

0.1320 0.1335 0.1350 0.1365 0.1380 0.1395 0.1410 0.1426 0.1442

3.7012 3.6800 3.6588 3.6377 3.6166 3.5956 3.5747 3.5537 3.5329

0.0323 0.0248 0.0172 0.0094 0.0014 0.0067 0.0149 0.0233 0.0319

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Co naz´ yváme pevn´ ym bodem funkce? Jak se pevný bod poˇc´ıtá? ˇ ım je zaruˇcena konvergence metody prost´ Otázka 2. C´ ych iterac´ı? Otázka 3. Jak´ y je vztah mezi metodou prosté iterace a Newtonovou metodou?

- 38 -


Numerické metody

´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Pro rovnici x2 − x − 67 ln x = 0 uvaˇzujte iteraˇcn´ı tvar x = x2 − 67 log x ≡ g(x). Vypoˇc´ıtejte hodnotu konstanty Mg na intervalu 0.9, 0.91. 2. U iteraˇcn´ıho tvaru z pˇredchoz´ı u ´ lohy vypoˇc´ıtejte pevný bod s pˇresnost´ı = 10−6 . V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Z tabelace g (x) = 2x −

6 7x

. zjist´ıme, ˇze Mg = L = 0.8781.

. 2. Zaˇcneme-li z x0 = 0.9, dostaneme ve 38-mé iteraci x38 = 0.9020659 a plat´ı . |x38 − x37 | = 0.00000086 < .

Shrnut´ı lekce Probrali jsem základn´ı metody pro ˇreˇsen´ı nelineárn´ıch rovnic a ukázali jsme jak tyto metody souvis´ı s vlastnostmi funkce, která rovnici popisuje. Metoda p˚ ulen´ı intervalu a metoda regula falsi konverguj´ı pro kaˇzdou spojitou funkci. Rychlejˇs´ı Newtonova metoda vyˇzaduje spojitost druhé derivace a splnˇen´ı dalˇs´ıch pˇredpoklad˚ u. Metoda prosté iterace zahrnuje ostatn´ı iteraˇcn´ı metody jako speciáln´ı pˇr´ıpad.

- 39 -

ˇ ÍME ´ METODY 3. SLR – PR

3.

Numerické metody

SLR – pˇ r´ım´ e metody

Pr˚ uvodce studiem Pˇr´ımé metody ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic (SLR) jsou zaloˇzeny na eliminaci neznám´ ych. Výchoz´ı myˇslenka spoˇc´ıvá v tom, ˇze z nˇekteré rovnice vyjádˇr´ıme jednu neznámou a dosad´ıme ji do ostatn´ıch rovnic tak, aby soustava po eliminaci byla snáze ˇreˇsitelná neˇz soustava p˚ uvodn´ı. Základn´ı algoritmus tohoto typu je Gaussova eliminaˇcn´ı metoda. V maticovém zápisu j´ı odpov´ıdá LU-rozklad matice. Charakteristick´ ym rysem pˇr´ım´ ych metod je v´ ypoˇcet (pˇresného) ˇreˇsen´ı po koneˇcném poˇctu eliminac´ı, tj. po koneˇcném poˇctu aritmetick´ ych operac´ı.

3.1.

Formulace u ´lohy

C´ıle Pˇripomeneme základn´ı poznatky o soustavách lineárn´ıch rovnic.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Operace s maticemi. Determinant. Matice jednotková a inverzn´ı.

V´ yklad V pˇredchoz´ıch odstavc´ıch jsme ˇreˇsili rovnici f (x) = 0. Nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıkladem je lineárn´ı rovnice ax = b. Je–li a = 0, m˚ uˇzeme ˇreˇsen´ı zapsat ve tvaru ´ lohy: x = a−1 b. Nyn´ı se budeme zabývat zobecnˇen´ım této u Necht’ A = (aij ) je daná ˇctvercová matice ˇra´du n s prvky aij a necht’ b = (bi ) je dan´ y sloupcov´ y vektor s n prvky bi , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n; hledáme sloupcov´ y vektor x takov´ y, ˇze Ax = b.

- 40 -

(3.1.1)


Numerické metody

Oznaˇc´ıme–li xi prvky vektoru x, pak m˚ uˇzeme rovnici (3.1.1) zapsat jako soustavu lineárn´ıch rovnic:

⎫ ⎪ a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 , ⎬ ⎪ ⎪ .............................. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn . ⎭

Pro existenci jediného ˇreˇsen´ı rovnice ax = b mus´ı b´ yt a = 0. Analogick´ y pˇrepoklad je potˇreba i pˇri ˇreˇsen´ı rovnice (3.1.1). T´ımto pˇredpokladem je nenulovost determinantu matice A, tj. det A = 0. Matice A, která má nenulov´ y determinant se naz´ yvá regul´ arn´ı, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe se nazývá singulárn´ı. Ke kaˇzdé regulárn´ı matici A existuje jediná inverzn´ı matice A−1 , pro niˇz plat´ı AA−1 = A−1 A = I, kde I je matice jednotková. Je-li matice A regulárn´ı, pak m˚ uˇzeme obˇe strany rovnice (3.1.1) vynásobit inverzn´ı matic´ı A−1 , tj. A−1 (Ax) = A−1 b. Protoˇze A−1 (Ax) = (A−1 A)x = Ix = x, dostáváme x = A−1 b.

(3.1.2)

Tento vzorec dává návod jak vypoˇc´ıtat ˇreˇsen´ı. Pˇ r´ıklad 3.1.1.

Pomoc´ı vzorce (3.1.2) vyˇreˇste soustavu lineárn´ıch rovnic: x1 + x2 + x3 = 6, 2x1 + 4x2 + 2x3 = 16,

(3.1.3)

−x1 + 5x2 − 4x3 = −3. ˇ sen´ı: Protoˇze Reˇ ⎛ ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎝

1 1

1

⎛

⎞

⎟ ⎟ 2 4 2 ⎟ ⎟, ⎠ −1 5 −4

A

−1

- 41 -

13 3

⎜ ⎜ =⎜ ⎜ −1 ⎝ − 73

− 32 1 2

1 3

⎞

⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎠

1 − 13


Numerické metody

(staˇc´ı ovˇeˇrit A−1 A = I), dostáváme ˇreˇsen´ı ⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 13 3 1 − 6 1 2 3 ⎟⎜ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎜ 16 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ . x=⎜ −1 0 ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7 1 −3 1 −3 −3 3

Pozn´ amka U rozs´ ahlejˇs´ıch soustav line´ arn´ıch rovnic je pouˇzit´ı vzorce (3.1.2) neekonomické, protoˇze nalezen´ı inverzn´ı matice vyˇzaduje velké mnoˇzstv´ı výpoˇct˚ u.

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Kdy je matice regulárn´ı a kdy je singulárn´ı? Otázka 2. Pˇripomeˇ nte si metody v´ ypoˇctu determinatu a inverzn´ı matice. ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Uvaˇzujme soustavu lineárn´ıch rovnic −x1 − 3x2 + 2x3 = −9, −6x1 − 19x2 + 10x3 = −59, 3x1 + 9x2 − 5x3 = 28. Vypoˇctˇete inverzn´ı matici a soustavu vyˇreˇste pomoc´ı vzorce (3.1.2). V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1.

⎛

−1

−3

2

⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ −6 −19 10 ⎝ 3 9 −5

⎛

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

−1

A

5

3

8

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = ⎜ 0 −1 −2 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ 3 0 1

- 42 -

⎛

2

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ x=⎜ ⎜ 3 ⎟. ⎝ ⎠ 1


Numerické metody

3.2.

Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda (GEM)

C´ıle Pˇripomeneme GEM a posoud´ıme v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnost jejich ˇcást´ı. Pro jednoduchost budeme uvaˇzovat soustavy s regulárn´ı matic´ı. Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Provádˇen´ı eliminac´ı u soustav lineárn´ıch rovnic. V´ yklad Nejdˇr´ıve ukáˇzeme GEM na pˇr´ıkladu. Soustavu lineárn´ıch rovnic (3.1.3) m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru:

Ax = b, tj.

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 1

1

⎞⎛

x1

⎞

⎛

6

⎞

⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x ⎟ = ⎜ 16 ⎟ . 2 4 2 ⎟ 2 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎠⎝ ⎠ ⎝ −3 −1 5 −4 x3

(3.2.1)

V prvn´ı fázi eliminujeme v prvn´ım sloupci. Prvn´ı rovnici vynásob´ıme ˇc´ıslem m21 = −2 resp. m31 = 1 a pˇriˇcteme ⎛ 1 ⎜ ⎜ A1 x = b1 , tj. ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0

ke druhé resp. tˇret´ı rovnici. Dostaneme: ⎞ ⎛ ⎞ ⎞⎛ 1 1 6 x1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 0 ⎟ ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 4 ⎟ . ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝ x3 6 −3 3

Ve druhé fázi eliminujeme ve druhém sloupci. Druhou rovnici vynásob´ıme ˇc´ıslem m32 = −3 a pˇriˇcteme ke tˇret´ı rovnici. Dostaneme: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ 1 1 1 6 x1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ x ⎟ = ⎜ 4 A2 x = b2 , tj. ⎜ 0 2 0 ⎜ ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ x3 0 0 −3 −9

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Posledn´ı soustavu s horn´ı troj´ uheln´ıkovou matic´ı budeme zapisovat jako Ux = y, tj. U = A2 , y = b2 . Pro lepˇs´ı názornost pouˇzijeme zápis po rovnic´ıch:

- 43 -


Numerické metody

x1 + x2 + x3 = 6,

.

= 4,

2x2

(3.2.2)

−3x3 = −9. Odtud x3 = 3, x2 = 2 a x1 = 1. Na pˇr´ıkladu jsme vidˇeli,ˇze GEM má dvˇe ˇcásti: • dopˇredný chod je u ´ prava v´ ychoz´ı soustavy Ax = b na soustavu Ux = y s horn´ı troj´ uheln´ıkovou matic´ı U; • zpˇetný chod je v´ ypoˇcet ˇreˇsen´ı ze soustavy Ux = y. 3.2.1.

Zpˇ etn´ y chod GEM

Uvaˇzujme soustavu lineárn´ıch rovnic Ux = y s horn´ı troj´ uheln´ıkovou matic´ı U = (uij ), uij = 0, i > j, a vektorem pravé strany y = (yi). Zap´ıˇseme-li tuto soustavu po jednotliv´ ych rovnic´ıch, dostaneme u11 x1 + u12 x2 + . . . + u1n xn = y1 , u22 x2 + . . . + u2n xn = y2 , ..................... unn xn = yn . Výpoˇcet ˇreˇsen´ı x = (xi ) se provád´ı postupným dosazován´ım od konce”. ” Algoritmus (Zpˇ etn´ y chod GEM) Vstup: U = (uij ), y = (yi). xn := yn /unn . Pro i = n − 1, . . . , 1 poˇc´ıtej i-tou neznámou: xi := (yi − uin xn − . . . − uii+1 xi+1 )/uii . Výstup: x = (xi ). Vˇsimnˇeme si poˇctu operac´ı. Pˇri v´ ypoˇctu i-té neznámé potˇrebujeme provést

- 44 -


Numerické metody

jedno dˇelen´ı a n − i odˇc´ıtán´ı a násoben´ı. Celkov´ y poˇcet operac´ı je 1

[1 + 2(n − i)] = n2 = O(n2 ).

i=n

3.2.2.

Dopˇ redn´ y chod GEM

Dopˇredný chod GEM se dˇel´ı na fáze. V k-té fázi, 1 ≤ k ≤ n − 1, se provád´ı eliminace v k-tém sloupci matice. Pro jednoduchost budeme pˇredpokládat, ˇze nen´ı potˇreba mˇenit poˇrad´ı ˇra´dk˚ u tak, jak tomu bylo v naˇsem u ´ vodn´ım pˇr´ıkladu. Na tomto pˇr´ıkladu by si mˇel ˇctenáˇr také ilustrovat vˇsechny n´ıˇze uvedené pojmy. (k)

Prvky matice na zaˇcátku k–té fáze oznaˇc´ıme aij a prvky vektoru pravé strany (k)

(1)

(1)

ain+1 (na zaˇcátku 1. fáze je aij = aij a ain+1 = bi ). Eliminace provád´ıme v k-tém (k)

sloupci matice pod jej´ım diagonáln´ım prvkem akk , kterému ˇr´ıkáme hlavn´ı prvek k-té fáze. Nejdˇr´ıve poˇc´ıtáme multiplik´ atory k-té fáze (k)

mik = −

aik

(k)

,

i = k + 1, . . . , n

akk

(3.2.3)

a pak pˇriˇcteme mik -násobek k-tého ˇra´dku k ˇra´dku i-tému, tj. (k+1)

aij

(k)

(k)

:= aij + mik akj ,

j = k + 1, . . . , n + 1,

pro i = k + 1, . . . , n + 1. Algoritmus (Dopˇ redn´ y chod GEM) Vstup: A = (aij ), b = (bi ). (1)

(1)

aij := aij , ain+1 := bi , i, j = 1, . . . , n. Pro k = 1, . . . , n − 1 proved’ k-tou fázi: Pro i = k + 1, . . . , n pˇriˇcti mik -násobek k-tého ˇra´dku k i-tému ˇra´dku: (k)

(k)

mik := − aik /akk ; Pro j = k + 1, . . . , n + 1 proved’ pˇriˇc´ıtán´ı v j-tém sloupci: (k+1)

aij

(k)

(k)

:= aij + mik akj .

(n)

(n)

Poloˇz uij := aij pro i ≤ j, uij := 0 pro i > j, yi := ain+1 , i, j = 1, . . . , n. Výstup: U = (uij ), y = (yi ).

- 45 -


Numerické metody

Ze vzorce (3.2.3) je vidˇet, ˇze hlavn´ı prvek mus´ı b´ yt nenulov´ y. Pokud nen´ı, provedeme na zaˇcátku k-té fáze výbˇer hlavn´ıho prvku, viz pˇr´ıˇst´ı odstavec. Vˇsimnˇeme si jeˇstˇe poˇctu operac´ı. V k-té fázi mus´ıme provést n − k dˇelen´ı pˇri (k+1)

v´ ypoˇctu multiplikátor˚ u a kromˇe toho poˇc´ıtáme (n − k)(n − k + 1) prvk˚ u aij pomoc´ı dvou operac´ı (násoben´ı a sˇc´ıtán´ı). Celkov´ y poˇcet operac´ı je proto n−1

[(n − k) + 2(n − k)(n − k + 1)] =

k=1

2 3 1 2 1 n − n + n. 3 2 3

ˇ ıkáme, ˇze dopˇredný chod Pro velká n pˇrevaˇzuje v posledn´ım v´ yrazu ˇclen 23 n3 . R´ GEM vyˇzaduje O( 23 n3 ) operac´ı. 3.2.3.

V´ ybˇ er hlavn´ıho prvku

C´ılem je vybrat hlavn´ı prvek tak, aby byl co nejvˇetˇs´ı v absolutn´ı hodnotˇe. V prvn´ı fázi dopˇredného chodu GEM se za hlavn´ı prvek vybere v absolutn´ı hodnotˇe nejvˇetˇs´ı ˇc´ıslo z prvn´ıho sloupce matice a eliminace se provedou ve vˇsech ˇra´dc´ıch neobsahuj´ıc´ıch hlavn´ı prvek. V k-té fázi se celý v´ ypoˇcet omez´ı na ˇra´dky, v nichˇz dosud hlavn´ı prvek nebyl vybrán. Nejprve se jako hlavn´ı prvek vybere v absolutn´ı hodnotˇe nejvˇetˇs´ı z ˇc´ısel leˇz´ıc´ıch v k-tém sloupci a pˇr´ısluˇsných ˇra´dc´ıch a pak se provedou eliminace ve zb´ yvaj´ıc´ıch ˇra´dc´ıch. Tento postup lze snadno realizovat pˇrehazován´ım ˇra´dk˚ u. Do algoritmu dopˇredného chodu GEM staˇc´ı na zaˇcátek k-té fáze vsunout následuj´ıc´ı doplnˇek: ⎧ ⎨ Najdi p, p ≥ k, takové, ˇze |a(k) | = max{|a(k) |, i ≥ k}; pk ik ⎩ Prohod’ p-tý a k-tý ˇradek matice v k-té fázi. Algoritmus dopˇredného chodu GEM s v´ ybˇerem hlavn´ıho prvku je pouˇziteln´ y pro kaˇzdou regulárn´ı matici. Pˇ r´ıklad 3.2.1. Soustavu lineárn´ıch rovnic (3.2.1) ˇreˇste pomoc´ı GEM s výbˇerem hlavn´ıho prvku.

- 46 -


Numerické metody ˇ sen´ı: Reˇ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

Výbˇer hlavn´ıho prvku a eliminace v prvn´ı fázi:

2 4

2

⎞⎛

x1

⎞

⎛

16

⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ x ⎟=⎜ 6 1 1 1 ⎟ ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠⎝ x3 −1 5 −4 −3

⎞ ⎛

2

4

2

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , ⎜ 0 −1 0 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 0 7 −3

⎞⎛

x1

⎞

⎛

16

⎞

⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ = ⎜ −2 ⎟ . ⎟ ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝ x3 5

Výbˇer hlavn´ıho prvku a eliminace ve druhé fázi: ⎛

2

4

2

⎞⎛

x1

⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ 0 ⎟⎜ x 7 −3 ⎜ ⎟⎜ 2 ⎝ ⎠⎝ x3 0 −1 0

⎞

⎛

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

16

⎞ ⎛

2 4

2

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 5 ⎟ ⎟ , ⎜ 0 7 −3 ⎠ ⎝ −2 0 0 − 37

⎞⎛

x1

⎞

⎛

16

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ x ⎟ = ⎜ 5 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎠⎝ ⎠ ⎝ x3 − 97

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Zpˇetn´ ym chodem GEM vypoˇc´ıtáme x3 = 3, x2 = 2 a x1 = 1.

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Z jak´ ych ˇcást´ı se skládá algoritmus GEM a jak jsou v´ ypoˇcetnˇe nároˇcné? Otázka 2. Proˇc se provád´ı v´ ybˇer hlavn´ıho prvku? ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Soustavu lineárn´ıch rovnic −x1 − 3x2 + 2x3 = −9, −6x1 − 19x2 + 10x3 = −59, 3x1 + 9x2 − 5x3 = 28 ˇreˇste pomoc´ı GEM bez výbˇeru a s v´ ybˇerem hlavn´ıho prvku. V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı ˇ sen´ım je vektor x = (2, 3, 1). 1. Reˇ

- 47 -


3.3.

Numerické metody

LU–rozklad

C´ıle Z Gaussovy eliminaˇcn´ı metody odvod´ıme LU-rozklad matice.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Dopˇredný a zpˇetn´ y chod GEM. Výbˇer hlavn´ıho prvku. Permutaˇcn´ı matice.

V´ yklad K regulárn´ı ˇctvercové matici A budeme hledat doln´ı troj´ uheln´ıkovou matici L a horn´ı troj´ uheln´ıkovou matici U tak, aby platilo A = LU. Zaˇcneme pˇr´ıkladem s matic´ı soustavy (3.2.1). Naváˇzeme pˇritom na pˇr´ıklad ze zaˇcátku odstavce 3.2, kdy jsme pomoc´ı dopˇredného chodu GEM vytvoˇrili z A v prvn´ı fázi A1 a ve druhé fázi A2 : ⎛ ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎝

1 1

1

⎞

⎟ ⎟ 2 4 2 ⎟ ⎟, ⎠ −1 5 −4

⎛

1 1

1

⎜ ⎜ A1 = ⎜ 0 ⎜ 0 2 ⎝ 0 6 −3

⎛

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

1 1

1

⎜ ⎜ A2 = ⎜ 0 ⎜ 0 2 ⎝ 0 0 −3

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

uheln´ıková matice, poloˇz´ıme U = A2 . Zbývá ukázat, jak Protoˇze A2 je horn´ı troj´ vypadá doln´ı troj´ uheln´ıková matice L. u Prvn´ı fázi zap´ıˇseme jako násoben´ı matic´ı M1 , kterou sestav´ıme z multiplikátor˚ m21 = −2 a m31 = 1: ⎛

⎞ 1

0 0

⎜ ⎜ A1 = M1 A, kde M1 = ⎜ m21 1 0 ⎝ m31 0 1

- 48 -

⎛

⎞ 1 0 0

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ −2 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 1

⎟ ⎟ ⎟. ⎠


Numerické metody

Podobnˇe druhou fázi zap´ıˇseme jako násoben´ı matic´ı M2 , která je urˇcena multiplikátorem m32 = −3:

A2

⎞

⎛

⎞

⎛

1 0 0 1 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ = M2 A1 , kde M2 = ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟. ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 0 −3 1 0 m32 1

Dosazen´ım dostaneme U = A2 = M2 M1 A a odtud −1 A = M−1 1 M2 U. −1 ıme vˇsak jeˇstˇe provˇeˇrit, Zdá se, ˇze matice L by mohl b´ yt souˇcin M−1 1 M2 . Mus´

zda je to opravdu doln´ı troj´ uheln´ıková matice. Nejdˇr´ıve si vˇsimnˇeme, ˇze inverzn´ı −1 ı tvar matice M−1 1 a M2 maj´ ⎛

⎞ 1

0 0

⎜ ⎜ M−1 = ⎜ −m21 1 0 1 ⎝ −m31 0 1

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎠ ⎝ ⎞

⎛ 1

0

⎛

0

⎞ 1 0 0

⎟ ⎟ 2 1 0 ⎟, ⎠ −1 0 1

⎛

⎞ 1 0 0

⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ = = M−1 ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 0 0 1 0 ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 0 −m32 1 0 3 1 −1 asoben´ım dostaneme (staˇc´ı ovˇeˇrit, ˇze plat´ı M−1 1 M1 = I a M2 M2 = I ). Vyn´ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 1 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ −1 −1 M1 M2 = ⎜ −m21 1 0 ⎟ = ⎜ 2 1 0 ⎟. ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ −m31 −m32 1 −1 3 1 −1 Proto m˚ uˇzeme poloˇzit L = M−1 1 M2 ⎛ 1 0 ⎜ ⎜ A=⎜ 2 1 ⎝ −1 3

a plat´ı ⎞⎛ 0 1 1 1 ⎟⎜ ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0 2 0 ⎠⎝ 1 0 0 −3

- 49 -

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠


Numerické metody

Uvedený postup lze zobecnit pro matici libovolného ˇra´du n. Vˇ eta 3.3.1. Necht’ A je matice ˇra´du n, kterou lze dopˇredným chodem GEM bez výbˇeru hlavn´ıho prvku upravit na horn´ı troj´ uheln´ıkovou matici U. Necht’ mik , k = 1, . . . , n − 1, i = k + 1, . . . , n jsou multiplikátory k-té fáze, z nichˇz vytvoˇr´ıme doln´ı troj´ uheln´ıkovou matici L = (lik ) tak, ˇze lik = −mik , i > k, lii = 1 a lik = 0, i < k. Potom plat´ı A = LU. Z pˇredchoz´ıho odstavce v´ıme, ˇze dopˇredný chod GEM bez v´ ybˇeru hlavn´ıho prvku nelze provést pro kaˇzdou matici A. Obecn´ y tvar LU-rozkladu proto obsahuje jeˇstˇe permutaˇcn´ı matici, která popisuje pˇrehazován´ı ˇra´dk˚ u, k nimˇz docház´ı pˇri v´ ybˇeru hlavn´ıho prvku. Vˇ eta 3.3.2. Necht’ A je regulárn´ı matice ˇra´du n. Pak existuj´ı doln´ı troj´ uheln´ıková matice L, horn´ı troj´ uheln´ıková matice U a permutaˇcn´ı matice P ˇra´du n takové, ˇze PA = LU.

(3.3.1)

D˚ ukaz: Princip d˚ ukazu je následuj´ıc´ı. Pˇrehazován´ı ˇra´dk˚ u v pr˚ ubˇehu dopˇredného chodu GEM se zaznamená v permutaˇcn´ı matici P. Jestliˇze se vrát´ıme na zaˇcátek a vytvoˇr´ıme PA (tj. pˇrehod´ıme ˇra´dky matice A tak, jak to vyˇzaduje pr˚ ubˇeh v´ ypoˇctu), pak m˚ uˇzeme pro tuto matici naj´ıt jej´ı LU-rozklad podle vˇety 3.3.1. 2 Pˇri praktickém v´ ypoˇctu LU-rozkladu (3.3.1) postupujeme napˇr´ıklad takto: ˜ = A, P ˜ =IaL ˜ = I; • vytvoˇr´ıme pomocné matice U ˜ provád´ıme dopˇredný chod GEM s výbˇerem hlavn´ıho prvku; • v matici U ˜ pˇrehazujeme ˇra´dky stejnˇe jako v matici U; ˜ • v matici P ˜ zap´ıˇseme v kaˇzdé fázi multiplikátory (s opaˇcnými znaménky) • do matice L ˜ pˇrehod´ıme v L ˜ ˇra´dky i sloupce; a pˇri pˇrehozen´ı ˇra´dk˚ uvU ˜ L=L ˜ a U = U. ˜ • nakonec dostáváme P = P,

- 50 -


Numerické metody


Vypoˇctˇete LU-rozklad (3.3.1) pro matici ⎛ ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎝

1 1

1

⎞

⎟ ⎟ 2 4 2 ⎟ ⎟. ⎠ −1 5 −4

ˇ sen´ı: Reˇ ⎛

1 1 1 ⎜ ⎜ ˜ =⎜ 2 4 2 U ⎜ ⎝ −1 5 −4

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

⎞

⎛

1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ˜ P=⎜ 0 1 0 ⎟ ⎟, ⎠ ⎝ 0 0 1

⎞

⎛

1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ˜ L=⎜ 0 1 0 ⎟ ⎟. ⎠ ⎝ 0 0 1

Výbˇer hlavn´ıho prvku v prvn´ı fázi: ⎛

2

4

2

⎜ ⎜ ˜ =⎜ 1 1 1 U ⎜ ⎝ −1 5 −4

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

⎛

0 1 0

⎜ ⎜ ˜ =⎜ 1 0 0 P ⎜ ⎝ 0 0 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

⎛

1 0 0

⎜ ⎜ ˜ =⎜ 0 1 0 L ⎜ ⎝ 0 0 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

Eliminace v prvn´ı fázi s multiplikátory m21 = − 12 a m31 = 12 : ⎛

2

4

2

⎜ ⎜ ˜ = ⎜ 0 −1 0 U ⎜ ⎝ 0 7 −3

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

⎛

0 1 0

⎜ ⎜ ˜ =⎜ 1 0 0 P ⎜ ⎝ 0 0 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ˜ =⎜ L ⎜ ⎝

1 0 0 1 2

− 12

⎞

⎟ ⎟ 1 0 ⎟ ⎟. ⎠ 0 1

Výbˇer hlavn´ıho prvku ve druhé fázi: ⎛

⎞

2 4 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ˜ ⎜ U = ⎜ 0 7 −3 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ 0 −1 0

⎛

⎞

0 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ˜ ⎜ P=⎜ 0 0 1 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ 1 0 0

- 51 -

⎛

⎞

1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ˜ ⎜ L = ⎜ −2 1 0 ⎟ ⎟. ⎠ ⎝ 1 0 1 2


Numerické metody

Eliminace ve druhé fázi s multiplikátorem m32 = 17 : ⎛

2 4

2

⎜ ⎜ ˜ U=⎜ ⎜ 0 7 −3 ⎝ 0 0 − 37

⎛

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

0 1 0

⎜ ⎜ ˜ P=⎜ ⎜ 0 0 1 ⎝ 1 0 0

⎞

⎛

⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

⎜ ⎜ 1 ˜ L=⎜ ⎜ −2 ⎝

1

1 2

0 0

⎟ ⎟ 1 0 ⎟ ⎟. ⎠ 1 −7 1

˜ L=L ˜ a U = U. ˜ Výsledek je P = P,

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak souvis´ı LU-rozklad s GEM? Otázka 2. Jak se provád´ı v´ ypoˇcet LU-rozkladu? ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Pro matici

⎛

−1

−3

2

⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ −6 −19 10 ⎝ 3 9 −5

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

vypoˇctˇete LU-rozklad A = LU. 2. Pro matici z pˇredchoz´ı u ´ lohy vypoˇctˇete LU-rozklad PA = LU. 3. Jaká je v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnost LU-rozkladu? V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1.

⎛ ⎜ ⎜ L=⎜ ⎜ ⎝

1 0 0

⎞

⎟ ⎟ 6 1 0 ⎟ ⎟, ⎠ −3 0 1

⎛ ⎜ ⎜ U=⎜ ⎜ ⎝

- 52 -

−1 −3

2

⎞

⎟ ⎟ 0 −1 −2 ⎟ ⎟. ⎠ 0 0 1

⎞


Numerické metody 2. ⎛

0 1 0

⎜ ⎜ P=⎜ ⎜ 0 0 1 ⎝ 1 0 0

⎞

⎛

⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

⎜ ⎜ 1 L=⎜ ⎜ −2 ⎝

1

1 6

0 0

⎞

⎟ ⎟ 1 0 ⎟ ⎟, ⎠ 1 −3 1

⎛ ⎜ ⎜ U=⎜ ⎜ ⎝

−6 −19 10 0

− 12

0

0

⎞

⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟. ⎠ 1 3

3. Výpoˇcetn´ı nároˇcnost je zhruba stejná jako u dopˇredného chodu GEM. Objem v´ ypoˇctu se zmenˇsil o u ´ pravu vektoru pravé strany, coˇz pˇredstavuje O(n2 ) operac´ı. Plat´ı O( 23 n3 ) − O(n2 ) = O( 23 n3 ).

- 53 -


3.4.

Numerické metody

Pouˇ zit´ı LU-rozkladu

C´ıle LU-rozklad pouˇzijeme pro ˇreˇsen´ı základn´ıch u ´ loh lineárn´ı algebry.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Výpoˇcet LU-rozkladu.

V´ yklad 3.4.1.

ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic

Uvaˇzujme soustavu lineárn´ıch rovnic Ax = b s regulárn´ı ˇctvercovou matic´ı ˇra´du n a pˇredpokládejme, ˇze P, L a U jsou matice, které tvoˇr´ı LU-rozklad PA = LU. Plat´ı následuj´ıc´ı ekvivalence: Ax = b

⇔

PAx = Pb

⇔

LUx = Pb.

Posledn´ı rovnici rozloˇz´ıme s vyuˇzit´ım pomocné promˇenné y na dvˇe rovnice Ly = Pb,

Ux = y

a dostáváme následuj´ıc´ı algoritmus. Algoritmus Vstup: A, b. Krok 1: Vypoˇcti matice P, L a U, které tvoˇr´ı LU-rozklad PA = LU. Krok 2: Vyˇreˇs soustavu lineárn´ıch rovnic Ly = Pb. Krok 3: Vyˇreˇs soustavu lineárn´ıch rovnic Ux = y. Výstup: x.

- 54 -


Numerické metody

Protoˇze matice L a U jsou troj´ uheln´ıkové, staˇc´ı k proveden´ı krok˚ u 2 a 3 zhruba 2O(n2 ) operac´ı. Krok 1 je podstatnˇe pracnˇejˇs´ı, vyˇzaduje totiˇz O( 23 n3 ) operac´ı. Podrobn´ ym rozborem se dá ukázat, ˇze pracnost celého algoritmu je naprosto stejná jako pracnost Gaussovy eliminaˇcn´ı metody. Pˇ r´ıklad 3.4.1.

Pomoc´ı LU-rozkladu PA = LU ˇreˇste ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ 1 1 1 6 x1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ 2 4 ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 16 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ x3 −1 5 −4 −3

soustavu ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

ˇ sen´ı: LU-rozklad pro matici této soustavy jsme vypoˇc´ıtali v Pˇr´ıkladu 3.3.1.: Reˇ ⎛

0 1 0

⎜ ⎜ P=⎜ ⎜ 0 0 1 ⎝ 1 0 0

⎞

⎛

⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

⎜ ⎜ 1 L=⎜ ⎜ −2 ⎝

1

1 2

0 0

⎛

⎞

⎟ ⎟ 1 0 ⎟ ⎟, ⎠ 1 −7 1

2 4

2

⎜ ⎜ U=⎜ ⎜ 0 7 −3 ⎝ 0 0 − 37

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

(3.4.1)

Pro druh´ y krok algoritmu potˇrebujeme nachystat pravou stranu ⎞⎛

⎛

6 0 1 0 ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ Pb = ⎜ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 16 ⎠⎝ ⎝ −3 1 0 0

⎞

⎛

⎞

16 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ −3 ⎟ . ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ 6

Máme tedy ˇreˇsit soustavu ⎛

1

⎜ ⎜ ⎜ −1 ⎜ 2 ⎝

1 2

0 0

⎞⎛

y1

⎞

⎛

16

⎞

⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 1 0 ⎟ ⎜ y2 ⎟ = ⎜ −3 ⎟ ⎟. ⎠ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 1 6 −7 1 y3

Odtud postupnˇe vypoˇc´ıtáme y1 = 16, y2 = 5 a y3 = − 97 . Soustava ve tˇret´ım

- 55 -


Numerické metody

kroku algoritmu má tvar ⎞⎛ ⎛ 2 4 2 x1 ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎜ 0 7 −3 ⎟ ⎜ x ⎟⎜ 2 ⎜ ⎠⎝ ⎝ 3 x3 0 0 −7

⎞

⎛

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

16

⎞

⎟ ⎟ 5 ⎟ ⎟. ⎠

− 97

Z n´ı postupnˇe vypoˇc´ıtáme ˇreˇsen´ı x3 = 3, x2 = 2 a x1 = 1. 3.4.2.

V´ ypoˇ cet inverzn´ı matice

y slouPˇripomeˇ nme, ˇze pro inverzn´ı matici plat´ı AA−1 = I. Oznaˇc´ıme-li a(i) i–t´ y sloupec matice jednotkové I, pak m˚ uˇzeme pec matice inverzn´ı A−1 a e(i) i–t´ uvedenou rovnost zapsat jako A(a(1) , . . . , a(n) ) = (e(1) , . . . , e(n) ) a po roznásoben´ı jako (Aa(1) , . . . , Aa(n) ) = (e(1) , . . . , e(n) ). Odtud je zˇrejmé, ˇze mus´ı b´ yt splnˇeny soustavy lineárn´ıch rovnic Aa(i) = e(i) ,

i = 1, . . . , n.

Protoˇze matice je u vˇsech soustav stejná, staˇc´ı pˇri jejich ˇreˇsen´ı vypoˇc´ıtat LUrozklad jenom jednou. Algoritmus Vstup: A. Krok 1: Vypoˇcti matice P, L a U, které tvoˇr´ı LU-rozklad PA = LU. Pro i = 1, . . . , n vypoˇcti i–t´ y sloupec inverzn´ı matice: Krok 2: Vyˇreˇs soustavu lineárn´ıch rovnic Ly = Pb, kde b = e(i) ; Krok 3: Vyˇreˇs soustavu lineárn´ıch rovnic Ux = y a poloˇz a(i) = x. Výstup: A−1 = (a(1) , . . . , a(n) ). V´ ypoˇcetn´ı nároˇcnost je O( 23 n3 ) v kroku 1 a n-krát 2O(n2 ) v kroc´ıch 2 a 3. Celkem tedy vyˇzaduje algoritmus O( 83 n3 ) operac´ı, coˇz je zhruba ˇctyˇrikrát v´ıc neˇz pˇri ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic.

- 56 -


Numerické metody


Vypoˇctˇete inverzn´ı matici A−1 k matici ⎛ ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎝

ˇ sen´ı: Reˇ

1 1

⎞

1

⎟ ⎟ 2 4 2 ⎟ ⎟. ⎠ −1 5 −4

LU-rozklad tvoˇr´ı matice (3.4.1). Podle algoritmu dále poˇc´ıtáme po-

stupnˇe jednotlivé sloupce inverzn´ı matice.

1 0 0

Pro i = 1 v kroku druhém ˇreˇs´ıme Ly = P ⎛

1

⎜ ⎜ ⎜ −1 ⎜ 2 ⎝ 1 2

0 0

⎞⎛

y1

⎞

⎛

⎜ ⎜ ⎜ −1 ⎜ 2 ⎝

1 2

⎞

0

⎛

⎞⎛

⎞

⎛

=⇒

⎞

=⇒

0 1 0

:

⎛

⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ ⎟ ⎜ y2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝ 1 −7 1 y3 0

⎜ ⎜ y=⎜ ⎜ ⎝

y1

1

Pro i = 2 v kroku tˇret´ım ˇreˇs´ıme Ux = y: ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛ x1 1 2 4 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 7 −3 ⎟ ⎜ x ⎟ = ⎜ 1 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎜ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 3 −3 x3 0 0 −7 7

- 57 -

⎞

13 3

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = a(1) . x=⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 7 −3

⎞

0 0

⎞

0

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ y=⎜ ⎜ 0 ⎟. ⎝ ⎠ 1 ⎛

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Pro i = 2 v kroku druhém ˇreˇs´ıme Ly = P 1

:

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 0 ⎟ ⎜ y2 ⎟ ⎟=⎜ 0 ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 −7 1 y3 1

Pro i = 1 v kroku tˇret´ım ˇreˇs´ıme Ux = y: ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛ x1 0 2 4 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 7 −3 ⎟ ⎜ x ⎟ = ⎜ 0 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 3 x3 1 0 0 −7

⎛

=⇒

1 1 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

−3 7

⎞

⎛

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎜ ⎜ x=⎜ ⎜ ⎝

=⇒

− 32 1 2

1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ = a(2) . ⎟ ⎠


Numerické metody

Pro i = 3 v kroku druhém ˇreˇs´ıme Ly = P ⎛

1

⎜ ⎜ ⎜ −1 ⎜ 2 ⎝ 1 2

0 0

⎞⎛

y1

⎞

⎛

0 0 1

0

:

⎞

⎛

⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ y2 ⎟ ⎟=⎜ 1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝ 1 −7 1 y3 0

0

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ y=⎜ ⎜ 1 ⎟. ⎝ ⎠

=⇒

1 7

Pro i = 3 v kroku tˇret´ım ˇreˇs´ıme Ux = y: ⎛

2 4

2

⎜ ⎜ ⎜ 0 7 −3 ⎜ ⎝ 0 0 − 37

⎞⎛

⎞

⎛

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ x ⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 x3 7

⎜ ⎜ x=⎜ ⎜ ⎝

⎞

x1

⎛

0

=⇒

1 3

⎞

⎟ ⎟ (3) 0 ⎟ ⎟=a . ⎠ − 13

Vypoˇc´ıtali jsme inverzn´ı matici: ⎛ −1

A

3.4.3.

13 3

⎜ ⎜ = (a , a , a ) = ⎜ ⎜ −1 ⎝ − 73 (1)

(2)

(3)

− 32 1 2

1 3

⎞

⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟. ⎠

1 − 13

V´ ypoˇ cet determinantu

Pouˇzijeme jedno ze základn´ıch pravidel pro poˇc´ıtán´ı s determinanty, které ˇr´ıká, ˇze determinant ze souˇcinu (ˇctvercov´ ych) matic se rovná souˇcinu jejich determinant˚ u. Jestliˇze matice P, L a U tvoˇr´ı LU-rozklad PA = LU, pak m˚ uˇzeme psát det A = (det P)−1 · det L · det U. Determinanty troj´ uheln´ıkov´ ych matic vypoˇc´ıtáme snadno jako souˇciny jejich diagonáln´ıch prvk˚ u. Determinant permutaˇcn´ı matice je +1, resp. −1 podle toho, jestli vznikla z jednotkové matice sud´ ym, resp. lich´ ym poˇctem pˇrehozen´ı ˇra´dk˚ u.

- 58 -


Numerické metody


Vypoˇc´ıtejte determinat matice A z pˇr´ıkladu 3.3.1.

ˇ sen´ı: Pomoc´ı v´ Reˇ ysledku pˇr´ıkladu 3.3.1. dostáváme det L = 1 · 1 · 1 = 1, −3 det U = 2 · 7 · = −6. 7 Protoˇze pˇri v´ ypoˇctu LU-rozkladu doˇslo ke dvˇema zámˇenám ˇra´dk˚ u, bude det P = 1. Celkem je det A = 1 · 1 · (−6) = −6.

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak se pomoc´ı LU-rozkladu ˇreˇs´ı soustava lineárn´ıch rovnic? Otázka 2. Jak se pomoc´ı LU-rozkladu poˇc´ıtá inverzn´ı matice? Otázka 3. Jak se pomoc´ı LU-rozkladu poˇc´ıtá determinant? ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Soustavu lineárn´ıch rovnic −x1 − 3x2 + 2x3 = −9, −6x1 − 19x2 + 10x3 = −59, 3x1 + 9x2 − 5x3 = 28 ˇreˇste pomoc´ı LU-rozkladu A = LU. 2. Soustavu lineárn´ıch rovnic z prvn´ı u ´ lohy ˇreˇste pomoc´ı LU-rozkladu PA = LU. 3. Pro matici

⎛

−1

−3

2

⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ −6 −19 10 ⎝ 3 9 −5

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

vypoˇctˇete inverzn´ı matici pomoc´ı LU-rozkladu A = LU. 4. K pˇredchoz´ı matici vypoˇctˇete inverzn´ı matici pomoc´ı LU-rozkladu PA = LU.

- 59 -


Numerické metody

5. Vypoˇctˇete determinant matice z 3. u ´ lohy pomoc´ı LU-rozkladu A = LU. 6. Vypoˇctˇete determinant matice z 3. u ´ lohy pomoc´ı LU-rozkladu PA = LU. 7. Kolik operac´ı je potˇreba pˇri v´ ypoˇctu determinantu matice pomoc´ı LU-rozkladu?

V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Dostaneme y = (−9, −5, 1) a x = (2, 3, 1) . 2. Dostaneme y = (−59, − 32 , 13 ) a x = (2, 3, 1) . 3. Pro i = 1 je y = (1, 6, −3) , pro i = 2 je y = (0, 1, 0) a pro i = 3 je y = (0, 0, 1) . Inverzn´ı matice má tvar ⎛ −1

A

5

3

8

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟. =⎜ 0 −1 −2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 0 1

4. Pro i = 1 je y = (0, 0, 1) , pro i = 2 je y = (1, 12 , 0) a pro i = 3 je ´ loze. y = (0, 1, 13 ) . Inverzn´ı matice je stejná jako v pˇredchoz´ı u 5. det L = 1, det U = 1 a det A = 1. 6. det P = 1, det L = 1, det U = 1 a det A = 1. 7. Zhruba O( 23 n3 ) operac´ı.

- 60 -


Numerické metody

3.5.

Maticov´ e normy a podm´ınˇ enost matic

C´ıle V prvn´ı kapitole jsme v definici 1.2.2. zavedli ˇc´ıslo podm´ınˇenosti u ´ lohy, které vyjadˇruje citlivost na r˚ uzné typy poruch. Stejný smysl má ˇc´ıslo podm´ınˇenosti matice.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Maticové operace. Absolutn´ı hodnota.

V´ yklad Pˇri posuzován´ı poruch u maticov´ ych v´ ypoˇct˚ u je potˇreba nˇejak´ ym zp˚ usobem mˇeˇrit velikost” matic a vektor˚ u. Pro tyto u ´ˇcely se zavád´ı norma matice, která ” je zobecnˇen´ım funkce absolutn´ı hodnota pro reálná ˇc´ısla. Definice 3.5.1. Norma matice je zobrazen´ı, které kaˇzdé matici A = (aij ) typu m × n pˇriˇrad´ı ˇc´ıslo A tak, ˇze plat´ı: (i)

A ≥ 0 a pˇritom A = 0, právˇe kdyˇz A je matice nulová;

(ii)

αA = |α| · A pro kaˇzdé reálné ˇc´ıslo α;

(iii) A+B ≤ A+B pro kaˇzdou matici B stejného typu jako je matice A.

Základn´ı maticové normy jsou: n

• ˇra´dkov´ a norma: AR = max

i=1,...,m

• sloupcov´ a norma: AS = max

j=1,...,n

|aij |;

j=1 m i=1

- 61 -

|aij |;


Numerické metody

n m • Frobeniova norma: AF = a2ij . i=1 j=1

Pˇ r´ıklad 3.5.1. Vypoˇc´ıtejte ˇra´dkovou, sloupcovou a Frobeniovu normu pro matici ⎛ ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎝

1 1

1

⎞

⎟ ⎟ 2 4 2 ⎟ ⎟ ⎠ −1 5 −4

a pro matici inverzn´ı A−1 . ˇ sen´ı: Dostáváme Reˇ AR = max{1 + 1 + 1, 2 + 4 + 2, 1 + 5 + 4} = 10, AS = max{1 + 2 + 1, 1 + 4 + 5, 1 + 2 + 4} = 10, √ √ . AF = 1 + 1 + 1 + 4 + 16 + 4 + 1 + 25 + 16 = 69 = 8.3066. Matici inverzn´ı A−1 jsem vypoˇc´ıtali v pˇr´ıkladu 3.4.2. Pomoc´ı tohoto v´ ysledku dostaneme A−1 R =

37 , 6

A−1 S =

23 , 3

. A−1 F = 5.38.

Vˇ eta 3.5.1. Necht’ A je matice typu m×n a B je matice typu n×p. Pro ˇra´dkovou, sloupcovou a Frobeniovu normu plat´ı: AB ≤ AB.

(3.5.1)

D˚ ukaz: Platnost tvrzen´ı ukáˇzeme pouze pro ˇra´dkovou normu, ostatn´ı pˇr´ıpady ponecháme jako cviˇcen´ı. Prvky matice souˇcinu C = AB jsou urˇceny pˇredpisem cij = nk=1 aik bkj . Proto ABR =

max

i=1,...,m

p j=1

|cij | =

p n max | aik bkj | ≤

i=1,...,m

- 62 -

j=1

k=1


Numerické metody

≤

p n

max

i=1,...,m

≤

max

i=1,...,m

|aik ||bkj | =

j=1 k=1 n

|aik | max

l=1,...,n

k=1

p

max

i=1,...,m

n k=1

|aik |

p

|bkj |

j=1

|blj | = AR BR .

j=1

2 Definice 3.5.2. ˇ ıslo podm´ınˇenosti regulárn´ı ˇctvercové matice A je definováno pˇredpisem C´ κ(A) = AA−1 .


Vypoˇctˇete ˇc´ıslo podm´ınˇenosti matice z pˇr´ıkladu 3.5.1. pomoc´ı

ˇra´dkové, sloupcové a Frobeniovy normy. ˇ sen´ı: S vyuˇzit´ım v´ Reˇ ysledk˚ u pˇr´ıkladu 3.5.1. dostaneme: . κR (A) = 61.67,

. κS (A) = 76.67,

. κF (A) = 44.69.

Vˇ eta 3.5.2. Necht’ A je regulárn´ı ˇctvercová matice ˇra´du n a necht’ b a x jsou nenulové nsloˇzkové vektory takové, ˇze plat´ı: Ax = b. ãx ˜ jsou n-sloˇzkové vektory takové, ˇze plat´ı Dále necht’ b ˜ A˜ x = b. Potom

˜ ˜ b − b x − x ≤ κ(A) . x b

D˚ ukaz: Zˇrejmˇe plat´ı b = Ax

resp.

˜ ˜ = A−1 (b − b) x−x

- 63 -

(3.5.2)


Numerické metody

a pomoc´ı (3.5.1) odtud dostaneme x−1 ≤ Ab−1

resp.

˜ ˜ ≤ A−1 b − b. x − x

Vynásoben´ım tˇechto nerovnost´ı vznikne tvrzen´ı (3.5.2).

2

Nerovnost (3.5.2) ˇr´ıká, ˇze pˇri velké hodnotˇe κ(A) m˚ uˇze malá porucha ve vektoru b vyvolat velkou zmˇenu v ˇreˇsen´ı. V´ ypoˇcty s matic´ı, která má velké ˇc´ıslo podm´ınˇenosti, jsou zpravidla znehodnoceny kumulac´ı zaokrouhlovac´ıch chyb, jak ukazuje následuj´ıc´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 3.5.3.

Vypoˇcteme ˇc´ısla podm´ınˇenosti Hilbertovy matice ⎞ ⎛ 1 1/2 1/3 . . . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1/2 1/3 1/4 . . . ⎟ ⎟ ⎜ ⎟. A=⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1/3 1/4 1/5 . . . ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ .. . . .. .. . . . .

ˇra´d˚ u n = 5, 10, 15, 20, 25 a pokus´ıme se vypoˇc´ıtat inverzn´ı matici. ˇ ısla podm´ınˇenosti jsou zaznamenána v tabulce 3.5.1. Posledn´ı sloupec ˇ sen´ı: C´ Reˇ Tabulka 3.5.1: Podm´ınˇenost Hilbertovy matici A. n

κ(A)

AA−1 − I

5

4.8 × 105

1.4 × 10−11

10 1.6 × 1013

3.3 × 10−3

15 1.1 × 1018

2.8 × 103

20 2.5 × 1028

2.6 × 1011

25 1.0 × 1036

1.3 × 1019

tabulky ukazuje, jak se (na poˇc´ıtaˇci) podaˇrilo vypoˇc´ıtat inverzn´ı matice. Je vidˇet, ˇze pro ˇra´d n = 15 a vyˇs´ı jsou v´ ysledky naprosto nesmyslné.

- 64 -


Numerické metody

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak se definuje norma matice? Otázka 2. Co vyjadˇruje ˇc´ıslo podm´ınˇenosti matice?

´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Pro matici

⎛

−1 −3 2 ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ −6 −19 10 ⎝ 3 9 −5

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

vypoˇctˇete ˇc´ıslo podm´ınˇenosti pomoc´ı ˇra´dkové, sloupcové a Frobeniovy normy.

V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. AR = 35, A−1 R = 16, κR (A) = 560; AS = 31, A−1 S = 11, κS (A) = 341; AF = 25.02, A−1 F = 10.63, κF (A) = 265.96.

Shrnut´ı lekce V kapitole jsme se zab´ yvali Gaussovou eliminaˇcn´ı metodou vyjádˇrenou na maticové u ´ rovni jako LU-rozklad. Dále jsme ukázali, ˇze výpoˇcty mohou b´ yt podstatnˇe ovlivnˇeny nahromadˇen´ım zaokrouhlovac´ıch chyb, coˇz lze rozpoznat pomoc´ı ˇc´ısla podm´ınˇenosti.

- 65 -

ˇ Í METODY 4. SLR – ITERACN

4.

Numerické metody

SLR – iteraˇ cn´ı metody

Pr˚ uvodce studiem Iteraˇcn´ı metody umoˇzn ˇ uj´ı ˇreˇsit soustavy lineárn´ıch rovnic pomoc´ı postupného pˇribliˇzován´ı k pˇresnému ˇreˇsen´ı. Poˇc´ıtá se posloupnost vektor˚ u aproximac´ı {x(k) } taková, ˇze lim x(k) = x,

k→∞

kde x je ˇreˇsen´ım Ax = b.

Pˇresné ˇreˇsen´ı tedy dostaneme v limitˇe, tj. formálnˇe po nekoneˇcném poˇctu krok˚ u.V´ yhody iteraˇcn´ıch metod jsou tyto: • V kaˇzdé iteraci zn´ ame aproximaci ˇreˇsen´ı x(k) . Pokud je tato aproximace dostateˇcnˇe pˇresná, pak v´ ypoˇcet ukonˇc´ıme. • V kaˇzdé iteraci je nejpracnˇejˇs´ı operac´ı n´ asoben´ı matice a vektoru. Jedná se o operaci, která je algoritmicky podstatnˇe jednoduˇsˇs´ı neˇz GEM a lze ji snadno provést i pro rozsáhlé ˇr´ıdké matice, tj. pro matice s velk´ ym poˇctem (neuloˇzených) nulov´ ych prvk˚ u. • Iteraˇcn´ı metody jsou ménˇe citlivé na zaokrouhlovac´ı chyby neˇz metody pˇr´ımé. Na kaˇzdou iteraci m˚ uˇzeme nahl´ıˇzet jako na poˇcáteˇcn´ı. Zaokrouhlovac´ı chyby z pˇredchoz´ıch iterac´ı proto vymiz´ı, pokud v dalˇs´ım v´ ypoˇctu dojde ke konvergenci. Nˇekteré speciáln´ı iteraˇcn´ı metody byly navrˇzeny pro zpˇresnˇen´ı v´ ysledk˚ u vypoˇc´ıtan´ ych pomoc´ı pˇr´ım´ ych metod. Zhruba plat´ı následuj´ıc´ı dˇelen´ı: pˇr´ımé metody se pouˇz´ıvaj´ı, je-li matice soustavy malá (1 ≤ n ≤ 10000), plná a dobˇre podm´ınˇená; iteraˇcn´ı metody se pouˇz´ıvaj´ı pro velké soustavy (n > 10000) s ˇr´ıdkou matic´ı.

- 66 -


Numerické metody

4.1.

Pˇ r´ıklad iteraˇ cn´ıho v´ ypoˇ ctu

C´ıle Uvedeme pˇr´ıklady iteraˇcn´ıho ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic a ukáˇzeme na nich, ˇze výpoˇcet m˚ uˇze konvergovat, ale i divergovat.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti ˇ sen´ı soustav lineárn´ıch rovnic. Provádˇen´ı rekurentn´ıch v´ Reˇ ypoˇct˚ u.

V´ yklad Uvaˇzujme soustavu lineárn´ıch rovnic ⎛

11x1 + 2x2 + x3 = 15,

11

2

1

⎜ ⎜ resp. ⎜ 2 ⎜ 1 10 ⎝ 2 3 −8

x1 + 10x2 + 2x3 = 16, 2x1 + 3x2 − 8x3 = 1,

⎞⎛

x1

⎞

⎛

15

⎞

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ x ⎟ = ⎜ 16 ⎟ . ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x3 1 (4.1.1)

Soustavu nejdˇr´ıve pˇrevedeme na tvar vhodn´ y pro v´ ypoˇcet iterac´ı, tzv. iteraˇcn´ı tvar. Provád´ı se to tak, ˇze z kaˇzdé rovnice vyjádˇr´ıme jednu neznámou. Napˇr´ıklad:

tj.

⎛

x1

⎞

⎛

x1 =

1 (15 11

− 2x2 − x3 ),

x2 =

1 (16 10

− x1 − 2x3 ),

x3 =

1 (−1 8

+ 2x1 + 3x2 ),

2 1 − 11 0 − 11

⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x ⎟=⎜ −1 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 10 ⎝ ⎠ ⎝ 1 x3 4

0 3 8

CJ

⎞⎛

x1

⎞

(4.1.2)

⎛

15 11

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ x ⎟+ ⎜ 8 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ 5 ⎠⎝ ⎠ ⎝ 0 x3 − 18 dJ

− 15

- 67 -

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠


Numerické metody

Jiná moˇznost: x1 = 15 − 10x1 − 2x2 − x3 , x2 = 16 − x1 − 9x2 − 2x3 ,

(4.1.3)

x3 = −1 + 2x1 + 3x2 − 7x3 , tj.

⎛

x1

⎞

⎛

−10 −2 −1

⎞⎛

x1

⎞

⎛

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ x ⎟ = ⎜ −1 −9 −2 ⎟ ⎜ x ⎟ + ⎜ ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 2 3 −7 x3 x3 CB

15

⎞

⎟ ⎟ 16 ⎟ ⎟. ⎠ −1 dB

Takov´ ych pˇrevod˚ u existuje zˇrejmˇe nekoneˇcnˇe mnoho, ale jenom nˇekteré povedou ke konvergentn´ımu v´ ypoˇctu. Z rovnic (4.1.2) a (4.1.3) dostaneme rekurentn´ı vzorce pˇripsán´ım iteraˇcn´ıho indexu k + 1 k neznám´ ym na levé stranˇe a k k neznám´ ym na pravé stranˇe. Dostáváme (k+1)

x1

(k+1)

x2

(k+1)

x3

⎫ (k) (k) − 2x2 − x3 ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ (k) (k) 1 = 10 (16 − x1 − 2x3 ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (k) (k) 1 = 8 (−1 + 2x1 + 3x2 ), =

1 (15 11

tj. x(k+1) = CJ x(k) + dJ ,

(4.1.4)

a (k+1)

x1

(k+1)

x2

(k+1)

x3

⎫ (k) (k) (k) = 15 − 10x1 − 2x2 − x3 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ (k) (k) (k) = 16 − x1 − 9x2 − 2x3 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (k) (k) (k) ⎭ = −1 + 2x1 + 3x2 − 7x3 ,

tj. x(k+1) = CB x(k) +dB . (4.1.5)

(0)

(0)

(0)

Nyn´ı zvol´ıme poˇcáteˇcn´ı aproximaci x(0) = (x1 , x2 , x3 ) , napˇr. x(0) = (0, 0, 0) . Tyto hodnoty dosad´ıme do pravé strany rekurentn´ıch vzorc˚ u (4.1.4) a dostaneme x(1) = (

15 , 11

16 , 10

- 68 -

− 18 ) .


Numerické metody Jestliˇze takto pokraˇcujeme dále, dostáváme

x(2) = (1.0841, 1.4886, 0.81591), x(3) = (1.0188, 1.3284, 0.70426), ............................... Provedeme-li nˇekolik dalˇs´ıch iterac´ı, zjist´ıme, ˇze se ˇc´ıslice na prvn´ıch desetinn´ ych m´ıstech zaˇcnou po chv´ıli opakovat. Dostaneme pˇritom vektor x = (1.0564, 1.3642, 0.65069), o nˇemˇz se m˚ uˇzeme domn´ıvat, ˇze je aproximac´ı pˇresného ˇreˇsen´ı soustavy (4.1.1). Jestliˇze analogicky poˇc´ıtáme podle rekurentn´ıch vzorc˚ u (4.1.5), dostaneme x(1) = (15, 16, −1) , x(2) = (−166, −141, 84), x(3) = (1873, 1283, −1344), ............................ Zde ˇzádnou tendenci ke konvergenci nevid´ıme a je proto pravdˇepodobné, ˇze posloupnost iterac´ı diverguje.

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. V ˇcem spoˇc´ıvá základn´ı rozd´ıl mezi pˇr´ım´ ymi a iteraˇcn´ımi metodami? Otázka 2. Jaké jsou v´ yhody a nev´ yhody pˇr´ım´ ych a iteraˇcn´ıch metod? ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Pro soustavu lineárn´ıch rovnic −x1 − 3x2 + 2x3 = −9, −6x1 − 19x2 + 10x3 = −59, 3x1 + 9x2 − 5x3 = 28

- 69 -


Numerické metody

navrhnˇete dva iteraˇcn´ı tvary pomoc´ı postup˚ u z odstavce 4.1. 2. U kterého z navrˇzených iteraˇcn´ıch tvar˚ u v´ ypoˇcet konverguje? V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Rekurentn´ı vzorce pro prvn´ı iteraˇcn´ı tvar: (k+1)

x1

(k+1)

x2

(k+1)

x3

(k)

(k)

= 9 − 3x2 + 2x3 , =

1 (59 19

=

1 (−28 5

(k)

(k)

− 6x1 + 10x3 ), (k)

(k)

+ 3x1 + 9x2 );

rekurentn´ı vzorce pro druh´ y iteraˇcn´ı tvar: (k+1)

= 9 − 3x2 + 2x3 ,

(k+1)

= 59 − 6x1 − 18x2 + 10x3 ,

(k+1)

= −28 + 3x1 + 9x2 − 4x3 .

x1 x2 x3

(k)

(k)

(k)

(k)

(k)

(k)

(k)

(k)

2. Jestliˇze zkus´ıme v´ ypoˇcet provést, zjist´ıme, ˇze docház´ı k divergenci v obou pˇr´ıpadech. Rozpoznán´ım konvergentn´ıho v´ ypoˇctu z vlastnost´ı matice soustavy se budeme zabývat v dalˇs´ıch odstavc´ıch.

- 70 -


Numerické metody

4.2.

Obecn´ e iteraˇ cn´ı metody

C´ıle Ukáˇzeme obecný postup pro iteraˇcn´ı ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic a uvedeme jeho dvˇe základn´ı varianty.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Pˇr´ıklady iteraˇcn´ıho ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic.

V´ yklad Uvaˇzujme soustavu lineárn´ıch rovnic Ax = b

(4.2.1)

s regulárn´ı ˇctvercovou matic´ı A = (aij ) ˇra´du n, vektorem pravé strany b = ych x = (xi ). Soustavu (4.2.1) pˇrepiˇsme na ekvivalentn´ı (bi ) a vektorem neznám´ soustavu v iteraˇcn´ım tvaru x = Cx + d,

(4.2.2)

kde C je iteraˇcn´ı matice ˇra´du n a d je sloupcov´ y vektor. Mus´ı pˇritom platit, ˇze rovnice (4.2.1) a (4.2.2) maj´ı stejné ˇreˇsen´ı. ypoˇcet provád´ıme podle Necht’ x(0) je daná poˇcáteˇcn´ı aproximace. Iteraˇcn´ı v´ rekurentn´ıho vzorce x(k+1) = Cx(k) + d,

k = 0, 1, 2, . . . .

(4.2.3)

Jestliˇze posloupnost vektor˚ u {xk } konverguje k vektoru x, pak limitn´ım pˇrechodem v (4.2.3) dostaneme, ˇze x je ˇreˇsen´ım rovnice (4.2.2) a také (4.2.1). Jak uvid´ıme pozdˇeji, volba poˇcáteˇcn´ı aproximace neovlivn´ı konvergenci, takˇze uˇzeme zvolit libovolnˇe. Výpoˇcet ukonˇc´ıme, jestliˇze dvˇe posledn´ı vektor x(0) m˚

- 71 -


Numerické metody

aproximace se od sebe liˇs´ı ne v´ıce, neˇz kolik je poˇzadovaná pˇresnost, tj. jestliˇze je splnˇeno ukonˇcovac´ı kritérium x(k+1) − x(k) ≤ ,

(4.2.4)

kde > 0 je dané malé ˇc´ıslo a · je vhodná norma. V naˇsich pˇr´ıkladech pouˇzijeme ukonˇcovac´ı kritérium s ˇra´dkovou normou. Algoritmus (Iteraˇ cn´ı ˇ reˇ sen´ı SLR) Vstup: C, d, x(0) , . Opakuj x(k+1) := Cx(k) + d; dokud x(k+1) − x(k) > . Výstup: x(k) . 4.2.1.

Jacobiova metoda

Jacobiovu metodu jsme si jiˇz ukázali pˇri ˇreˇsen´ı soustavy (4.1.1) v odstavci 4.1. Jsou to rekurentn´ı vzorce (4.1.4). Nyn´ı si ji probereme obecnˇe. Budeme pˇredpokládat, ˇze diagonáln´ı prvky matice soustavy (4.2.1) jsou nenulové, tj. aii = 0. Z i-té rovnice ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = bi ,

i = 1, . . . , n,

vyjádˇr´ıme i-tou neznámou i−1 n 1 xi = aij xj − aij xj , bi − aii j=1 j=i+1 Jacobiova metoda je urˇcena rekurentn´ımi vzorci i−1 n 1 (k+1) (k) (k) = aij xj − aij xj bi − , xi aii j=1 j=i+1 pro k = 0, 1, 2, . . ..

- 72 -

i = 1, . . . , n.

i = 1, . . . , n,

(4.2.5)


Numerické metody

Vˇsimnˇeme si jeˇstˇe, ˇze vzorce (4.2.5) m˚ uˇzeme zapsat v obecném maticovém tvaru (4.2.3), jestliˇze poloˇz´ıme C = CJ a d = dJ , kde ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ a12 a13 a1n b1 0 − a11 − a11 . . . − a11 ⎟ ⎜ ⎜ a11 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ − a21 ⎜ b2 ⎟ a2n ⎟ 0 − aa23 . . . − ⎜ a22 ⎟ ⎜ ⎟ a22 22 ⎜ ⎟ ⎜ a22 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a31 a32 b3 ⎟ . ⎟, dJ = ⎜ CJ = ⎜ 0 . . . − aa3n ⎟ ⎜ − a33 − a33 ⎜ ⎟ 33 ⎜ ⎟ ⎜ a33 ⎟ ⎜ . ⎜ . ⎟ .. ⎟ .. .. .. ⎜ .. ⎜ .. ⎟ . . ⎟ . . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ an1 an2 an3 bn − ann − ann − ann . . . 0 ann

(4.2.6)

Pomoc´ı aditivn´ıho rozkladu matice A = (aij ), A = L + D + U,

(4.2.7)

uheln´ıková ˇcást, kde L = (lij ), lij = aij , i > j, lij = 0, i ≤ j, je doln´ı troj´ D = (dij ), dii = aii , dij = 0, i = j, je diagonáln´ı ˇcást a U = (uij ), uij = 0, i ≥ j, uheln´ıková ˇcást, m˚ uˇzeme struˇcnˇe psát uij = aij , i < j, je horn´ı troj´ CJ = −D−1 (L + U), Pˇ r´ıklad 4.2.1.

dJ = D−1 b.

Soustavu lineárn´ıch rovnic (4.1.1) ˇreˇste pomoc´ı Jacobiovy me-

tody s pˇresnost´ı = 10−4 . ˇ sen´ı: Výpoˇcet se provád´ı podle rekurentn´ıch vzorc˚ Reˇ u (4.1.4). Zaˇcátek v´ ypoˇctu jsme naznaˇcili v odstavci 4.1. Nyn´ı vˇse shrneme v tabulce 4.2.1, kde kromˇe aproximac´ı x(k) uvád´ıme ˇra´dkové normy x(k) − x(k−1) R . Naznaˇcme jeˇstˇe v´ ypoˇcet prvn´ıch dvou norem: x(1) − x(0) R = max{| 15 − 0|, | 16 − 0|, | − 18 − 0|} = 1.6, 11 10 x(2) − x(1) R = max{|1.0841 −

15 |, |1.4886 11

−

16 |, |0.8159 10

+ 18 |} = 0.9409,

atd. Výpoˇcet jsme ukonˇcili po desáté iteraci, protoˇze x(10) −x(9) R = 0.00005 ≤ 10−4 , a v´ ysledek je x1 = 1.0564 ± 10−4 , x2 = 1.3642 ± 10−4, x3 = 0.6507 ± 10−4 .

- 73 -


Numerické metody

Tabulka 4.2.1: Iterace Jacobiovy metody. (k)

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.2.2.

(k)

x1

(k)

x2

0 1.3636 1.0841 1.0188 1.0581 1.0598 1.0558 1.0562 1.0565 1.0565 1.0564

x(k) − x(k−1) R

x3

0 0 1.6000 −0.1250 1.4886 0.8159 1.3284 0.7043 1.3573 0.6279 1.3686 0.6485 1.3643 0.6532 1.3638 0.6506 1.3643 0.6505 1.3643 0.6507 1.3642 0.6507

— 1.60000 0.94091 0.16023 0.07641 0.02064 0.00468 0.00260 0.00048 0.00027 0.00005

Gauss-Seidelova metoda

Zaˇcneme pˇr´ıkladem. Pro ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic (4.1.1) jsme pouˇzili Jacobiovu metodu, která je urˇcena rekurentn´ımi vzorci (4.1.4). Podle tˇechto vzorc˚ u se poˇc´ıtaj´ı v k-té iteraci sloˇzky nové aproximace x(k+1) postupnˇe, tj. nejdˇr´ıve (k+1)

x1

(k+1)

pak x2

(k+1)

a nakonec x3 (k)

(k)

aproximace, tj. x1 , x2

. Pˇritom se stále pouˇz´ıvaj´ı sloˇzky z pˇredchoz´ı

(k)

a x3 . Tento postup m˚ uˇzeme snadno vylepˇsit. Staˇc´ı (k+1)

si uvˇedomit, ˇze pˇri v´ ypoˇctu x2

(k+1)

m˚ uˇzeme pouˇz´ıt pˇresnˇejˇs´ı aproximaci x1

(k)

(k+1)

nam´ısto ménˇe pˇresné x1 . Podobnˇe m˚ uˇzme pˇri v´ ypoˇctu x3 (k+1)

aproximace x1

(k+1)

a x2

(k)

pouˇz´ıt pˇresnˇejˇs´ı

(k)

nam´ısto ménˇe pˇresných x1 a x2 . P˚ uvodn´ı rekurentn´ı

vzorce (4.1.1) se tak zmˇen´ı na tvar (k+1)

x1

(k+1)

x2

(k+1)

x3

(k)

(k)

=

1 (15 11

− 2x2 − x3 ),

=

1 (16 10

− x1

=

1 (−1 8

+ 2x1

(k+1)

coˇz je Gauss-Seidelova metoda.

- 74 -

(k)

− 2x3 ),

(k+1)

(k+1)

+ 3x2

(4.2.8) ),


Numerické metody

Pˇ r´ıklad 4.2.2. Soustavu lineárn´ıch rovnic (4.1.1) ˇreˇste pomoc´ı Gauss-Seidelovy metody s pˇresnost´ı = 10−4 . ˇ sen´ı: Výpoˇcet podle vzorc˚ Reˇ u (4.2.8) je zaznamenán v tabulce 4.2.2. Tabulka 4.2.2: Iterace Gauss-Seidelovy metody. k 0 1 2 3 4 5 6 7

(k)

x1

0 1.3636 1.0280 1.0614 1.0558 1.0565 1.0564 1.0564

(k)

x2

0 1.4636 1.3442 1.3666 1.3639 1.3643 1.3642 1.3642

(k)

x3

0 0.7648 0.6361 0.6528 0.6504 0.6507 0.6507 0.6507

x(k) − x(k−1) R — 1.46364 0.33564 0.03341 0.00559 0.00073 0.00011 0.00001

Výpoˇcet jsme ukonˇcili uˇz po sedmé iteraci, protoˇze x(7) − x(6) R = 0.00001 ≤ ysledek je x1 = 1.0564 ± 10−4 , x2 = 1.3642 ± 10−4 , x3 = 0.6507 ± 10−4 . 10−4 , a v´

Pozn´ amka Z pˇr´ıklad˚ u 4.2.1. a 4.2.2. je vidˇet, ˇze Gauss-Seidelova metoda je rychlejˇs´ı neˇz metoda Jacobiova. Existuj´ı ale pˇr´ıklady, kdy Jacobiova metoda konverguje, zat´ımco Gauss-Seidelova metoda diverguje. Pro obecnou soustavu (4.2.1), kde aii = 0, je Gauss-Seidelova metoda urˇcena rekurentn´ımi vzorci i−1 n 1 (k+1) (k+1) (k) bi − , = aij xj − aij xj xi aii j=1 j=i+1

i = 1, . . . , n

(4.2.9)

pro k = 0, 1, 2, . . .. Nyn´ı nen´ı na prvn´ı pohled jasné, jak tyto vzorce zapsat v maticovém tvaru (4.2.3). Pod´ıvejme se proto jeˇstˇe na náˇs pˇr´ıklad. Jestliˇze v (4.2.8) pˇrevedeme na

- 75 -


Numerické metody

levou stranu vˇsechny ˇcleny obsahuj´ıc´ı sloˇzky nové aproximace, dostaneme (k+1)

(k)

(k+1)

x1

(k+1)

(k)

= 16 − 2x3 ,

+ 10x2

(k+1)

−2x1

(k)

= 15 − 2x2 − x3 ,

11x1

(k+1)

− 3x2

(k+1)

= −1.

+ 8x3

Odtud je vidˇet, ˇze výpoˇcet nové aproximace x(k+1) z aproximace pˇredchoz´ı x(k) m˚ uˇzeme interpretovat také jako ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic s doln´ı troju ´ heln´ıkovou matic´ı. Pomoc´ı aditivn´ıho rozkladu (4.2.7) matice A to zap´ıˇseme jako (L + D)x(k+1) = −Ux(k) + b a po u ´ pravˇe x(k+1) = −(L + D)−1 Ux(k) + (L + D)−1 b. Obecné rekurentn´ı vzorce (4.2.3) proto popisuj´ı Gauss-Seidelovu metodu, kdyˇz v nich poloˇz´ıme C = CGS a d = dGS , kde CGS = −(L + D)−1 U,

dGS = (L + D)−1 b.

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak vypadá obecné schéma iteraˇcn´ıho ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic? Otázka 2. Jak se provád´ı v´ ypoˇcet u Jacobiovy a Gauss-Seidelovy metody? Která z nich je rychlejˇs´ı?

´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Soustavu lineárn´ıch rovnic 4x1 − x2 + 2x3 = −12, 2x1 + 5x2 + x3 = 5, x1 + x2 − 3x3 = −4

- 76 -


Numerické metody

ˇreˇste pomoc´ı Jacobiovy metody s pˇresnost´ı = 10−2 . 2. V pˇredchoz´ı u ´ loze pouˇzijte pˇri ˇreˇsen´ı Gauss-Seidelovu metodu. 3. Upravte obecn´ y algoritmus pro iteraˇcn´ı ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic tak, aby vyjadˇroval Jacobiovu resp. Gauss-Seidelovu metodu. V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Rekurentn´ı vzorce pro Jacobiovu metodu maj´ı tvar (k+1)

x1

(k+1)

x2

(k+1)

x3

(k)

(k)

=

1 (−12 4

=

1 (5 5

− 2x1 − x3 ),

=

1 (4 3

+ x1 + x2 ).

+ x2 − 2x3 ), (k)

(k)

(k)

(k)

Pˇri nulové poˇcáteˇcn´ı aproximaci dojdeme na poˇzadovanou pˇresnost v jedenácté iteraci; x1 = −2.9955 ± 10−2 , x2 = 2.0019 ± 10−2 , x3 = 1.0011 ± 10−2 . 2. Rekurentn´ı vzorce pro Gauss-Seidelovu metodu maj´ı tvar (k+1)

x1

(k+1)

x2

(k+1)

x3

(k)

=

1 (−12 4

=

1 (5 5

− 2x1

=

1 (4 3

+ x1

(k)

+ x2 − 2x3 ), (k+1)

(k+1)

(k)

− x3 ), (k+1)

+ x2

).

Pˇri nulové poˇcáteˇcn´ı aproximaci dojdeme na poˇzadovanou pˇresnost ve ˇctvrté iteraci; x1 = −2.9991 ± 10−2 , x2 = 1.9998 ± 10−2 , x3 = 1.0002 ± 10−2 . 3. Vstupn´ı parametry C a d u p˚ uvodn´ıho algoritmu nahrad´ıme za A = (aij ) a b = (bi ). Maticov´ y v´ ypoˇcet nové iterace x(k+1) zap´ıˇseme rekurentn´ımi vzorci (4.2.5) resp. (4.2.9).

- 77 -


4.3.

Numerické metody

Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory matic

C´ıle Pˇripomeneme, jak se definuj´ı a poˇc´ıtaj´ı vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matic. Poznatky z tohoto odstavce jsou základem pˇri posuzován´ı konvergence iteraˇcn´ıch metod.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Výpoˇcty determinant˚ u, ˇreˇsen´ı algebraick´ ych rovnic, ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic se singulárn´ı matic´ı, lineárn´ı závislost a nezávislost vektor˚ u, ortogonalita vektor˚ u, báze.

V´ yklad ´ Ulohu na vlastn´ı ˇc´ısla pˇripomeneme na pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 4.3.1. Uvaˇzujme matici ⎛

2 0 0

⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ 2 2 1 ⎝ 1 1 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

(4.3.1)

Urˇcete taková ˇc´ısla λ, pro která má soustava lineárn´ıch rovnic Av = λv nenulové ˇreˇsen´ı a toto ˇreˇsen´ı vypoˇctˇete. ˇ sen´ı: Soustavu pˇrep´ıˇseme do tvaru: Reˇ ⎛ ⎜ ⎜ (A − λI)v = ⎜ ⎜ ⎝

2−λ 2 1

0

0

⎞⎛

v1

⎞

⎛

0

⎞

⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2−λ 1 ⎟ ⎜ v2 ⎟ ⎟ = ⎜ 0 ⎟. ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝ v3 0 1 2−λ

Odtud je vidˇet, ˇze jedn´ım ˇreˇsen´ım je vˇzdy nulov´ y vektor. Nás vˇsak zaj´ımaj´ı

- 78 -


Numerické metody

situace, kdy existuje jeˇstˇe dalˇs´ı ˇreˇsen´ı nenulové. V takovém pˇr´ıpadˇe ale mus´ı b´ yt nulov´ y determinant matice soustavy, takˇze pro ˇc´ıslo λ plat´ı det(A − λI) = −λ3 + 6λ2 − 11λ + 6 = 0. Dostali jsme algebraickou rovnici tˇret´ıho stupnˇe a pouze pro jej´ı tˇri koˇreny λ1 = 3, λ2 = 2 a λ3 = 1 bude m´ıt uvaˇzovaná soustava nenulová ˇreˇsen´ı. Najdeme je ze tˇr´ı soustav lineárn´ıch rovnic (A − 3I)v = 0,

(A − 2I)v = 0,

(A − 1I)v = 0,

tj. ⎛

−1

⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎜ ⎝ 1

0

0

⎞⎛

v1

⎞

⎛

0

⎞

⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 1 ⎟ ⎜ v2 ⎟ ⎟ = ⎜ 0 ⎟, ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝ 0 v3 1 −1 ⎛

1 0 0

⎜ ⎜ ⎜ 2 1 1 ⎜ ⎝ 1 1 1

⎞⎛

v1

⎛

0 0 0

⎜ ⎜ ⎜ 2 0 1 ⎜ ⎝ 1 1 0 ⎞

⎛

0

⎞⎛

v1

⎞

⎛

0

⎞

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ v ⎟ = ⎜ 0 ⎟, ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 v3

⎞

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ v ⎟ = ⎜ 0 ⎟. 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ v3 0

Vyˇreˇsen´ım tˇechto soustav dostaneme v1 = (0, r, r) ,

v2 = (s, −s, −2s) ,

v3 = (0, t, −t) ,

kde r, s a t jsou libovolná nenulová ˇc´ısla. Vid´ıme, ˇze kaˇzdá soustava má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Konkrétn´ı volbou r, s a t dostaneme napˇr´ıklad v1 = (0, 1, 1) ,

v2 = (1, −1, −2) ,

v3 = (0, 1, −1) .

Vˇsimnˇeme si jeˇstˇe, ˇze ˇc´ısla λ1 , λ2 a λ3 jsou vzájemnˇe r˚ uzná a ˇze vektory v1 , v2 a v3 jsou lineárnˇe nezávislé.

- 79 -


Numerické metody

Definice 4.3.1. ˇ ıslo λ (obecnˇe komplexn´ı), pro které má Necht’ A je ˇctvercová matice ˇra´du n. C´ soustava Av = λv,

resp. (A − λI)v = 0

nenulové ˇreˇsen´ı, se nazývá vlastn´ı ˇc´ıslo matice A a jemu odpov´ıdaj´ıc´ı nenulové ˇreˇsen´ı v = (v1 , v2 , . . . , vn ) se nazývá vlastn´ı vektor matice A. Je zˇrejmé, ˇze ˇc´ıslo λ je vlastn´ım ˇc´ıslem matice A právˇe tehdy, kdyˇz je koˇrenem charakteristického polynomu

pA (λ) = det(A − λI) = (−1)n λn + c1 λn−1 + . . . + cn−1 λ + cn .

Odtud plyne, ˇze kaˇzdá ˇctvercová matice ˇra´du n má právˇe n vlastn´ıch ˇc´ısel, pokud kaˇzdé vlastn´ı ˇc´ıslo poˇc´ıtáme tolikrát, kolik je násobnost koˇrene. Pozn´ amka Vlastn´ı ˇc´ısla m˚ uˇzeme hledat jako ˇreˇsen´ı rovnice pA (λ) = 0 metodami z kapitoly 2. Tento postup je vˇsak obt´ıˇzný pro vˇetˇs´ı hodnoty n, protoˇze je pracné vypoˇc´ıtat koeficienty charakteristického polynomu ci . Snadno lze urˇcit vlastn´ı ˇc´ısla u horn´ı troj´ uheln´ıkové matice U = (uij ), uij = 0 pro i > j. Jsou to vˇsechny diagonáln´ı prvky uii, protoˇze z definice determinantu plyne, ˇze charakteristick´ y polynom má tvar

pU (λ) = (u11 − λ)(u22 − λ) . . . (unn − λ).

Stejné tvrzen´ı plat´ı samozˇrejmˇe i pro doln´ı troj´ uheln´ıkovou matici. Pˇri vyˇsetˇrován´ı konvergence iteraˇcn´ıch metod budeme vyuˇz´ıvat následuj´ıc´ı vˇetu.

- 80 -


Numerické metody

Vˇ eta 4.3.1. Necht’ λ je vlastn´ı ˇc´ıslo matice A, které odpov´ıdá vlastn´ımu vektoru v, c je dané reálné ˇc´ıslo a k je ˇc´ıslo pˇrirozené. Potom cλk je vlastn´ı ˇc´ıslo matice cAk , které odpov´ıdá vlastn´ımu vektoru v. D˚ ukaz: Jestliˇze Av = λv, potom cAk v = cλAk−1 v = . . . = cλk v.

2

Nyn´ı si vˇsimneme vlastn´ıch vektor˚ u. V u ´ vodn´ım pˇr´ıkladu jsme vidˇeli, ˇze vlastn´ı vektory odpov´ıdaj´ıc´ı r˚ uzným vlastn´ım ˇc´ısl˚ um jsou lineárnˇe nezávislé. Toto tvrzen´ı plat´ı obecnˇe, takˇze matice ˇra´du n, m˚ uˇze m´ıt (nejvýˇse) n lineárnˇe nezávisl´ ych vektor˚ u. Tyto vektory pak tvoˇr´ı bázi v prostoru n-sloˇzkov´ ych aritmetick´ ych vektor˚ u. Následuj´ıc´ı pˇr´ıklad ukazuje, ˇze matice nemus´ı m´ıt vˇzdy pln´ y poˇcet lineárnˇe nezávisl´ ych vlastn´ıch vektor˚ u. Pˇ r´ıklad 4.3.2. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory pro matice ⎛

⎞

2 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A=⎜ 0 2 0 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ 0 0 2 ⎛

2 0 0

⎜ ⎜ C=⎜ ⎜ 0 2 1 ⎝ 0 0 2

⎛

2 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ B=⎜ 0 2 0 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ 0 0 2 ⎛

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

⎞

2 1 0

⎜ ⎜ D=⎜ ⎜ 0 2 1 ⎝ 0 0 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

ˇ sen´ı: Vˇsechny matice jsou troj´ Reˇ uheln´ıkové a maj´ı stejný charakteristick´ y polynom pA (λ) = pB (λ) = pC (λ) = pD (λ) = (2 − λ)3 . ˇ ıslo λ = 2 je tedy (trojnásobn´ C´ ym) vlastn´ım ˇc´ıslem vˇsech ˇctyˇr matic. Postupem z pˇr´ıkladu 4.3.1. zjist´ıme, ˇze matice A má tˇri lineárnˇe nezávislé vlastn´ı vektory v1 = (1, 0, 0) ,

v2 = (0, 1, 0),

- 81 -

v3 = (0, 0, 1)


Numerické metody

(kaˇzdá nenulová lineárn´ı kombinace tˇechto vektor˚ u je také vlastn´ım vektorem matice A). Pro matici B se podaˇr´ı naj´ıt pouze dva lineárnˇe nezávislé vlastn´ı vektory v1 a v3 . Matice C má opˇet dva vlastn´ı vektory, nyn´ı to jsou vektory v1 a v2 . Koneˇcnˇe matice D má jedin´ y vlastn´ı vektor v1 .

2

V aplikac´ıch se ˇcasto vyskytuj´ı symetrické matice, pro nˇeˇz plat´ı následuj´ıc´ı tvrzen´ı. Vˇ eta 4.3.2. Necht’ A je symetrická ˇctvercová matice, tj. A = A . Potom plat´ı: (i) vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla jsou reálná; (ii) vlastn´ı vektory odpov´ıdaj´ıc´ı r˚ uzným vlastn´ım ˇc´ısl˚ um jsou ortogonáln´ı; (iii) k-násobnému vlastn´ımu ˇc´ıslu odpov´ıdá k lineárnˇe nezávisl´ ych vlastn´ıch vektor˚ u, které lze zvolit tak, aby byly ortogonáln´ı.

Pozn´ amka Z vˇety plyne, ˇze pro symetrickou matici ˇra´du n m˚ uˇzeme vˇzdy naj´ıt n ortogon´ aln´ıch vlastn´ıch vektor˚ u. Protoˇze ortogon´ aln´ı vektory jsou line´ arnˇe nez´ avislé, budou tvoˇrit b´ azi v prostoru n-sloˇzkových aritmetických vektr˚ u.

4.3.1.

V´ ypoˇ cet vlastn´ıch ˇ c´ısel metodou LU-rozkladu

Ukáˇzeme iteraˇcn´ı metodu v´ ypoˇctu vlastn´ıch ˇc´ısel, která se v literatuˇre naz´ yvá LR-algoritmus. Jej´ım základem jsou vlastnosti podobn´ ych matic. Definice 4.3.2. Dvˇe ˇctvercové matice A a B ˇra´du n se nazývaj´ı podobné, jestliˇze existuje regulárn´ı ˇctvercová matice C taková, ˇze plat´ı A = C−1 BC.

Vˇ eta 4.3.3. Podobné matice maj´ı stejná vlastn´ı ˇc´ısla.

- 82 -


Numerické metody

D˚ ukaz: Necht’ λ je vlastn´ı ˇc´ıslo matice A odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu vektoru v, tj. plat´ı Av = λv. Potom −1 −1 −1 −1 C AC C v = C Av = λ C v . B

˜ v

˜ v

˜. 2 Odtud plyne, ˇze λ je vlastn´ı ˇc´ıslo matice B odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu vektoru v Metoda LU-rozkladu je zaloˇzena na následuj´ıc´ım pozorován´ı. Necht’ L a U tvoˇr´ı LU-rozklad matice A podle vˇety 3.3.1., tj. plat´ı A = LU. Definujme matici A1 = UL. Protoˇze A1 = UL = L−1 LUL = L−1 AL, vid´ıme, ˇze matice A a A1 jsou podobné a maj´ı proto stejná vlastn´ı ˇc´ısla. Analogicky m˚ uˇzeme k matici A1 vytvoˇrit podobnou matici A2 atd. Dostaneme posloupnost podobných matic a budeme se zaj´ımat o vlastn´ı ˇc´ısla limitn´ı matice. Algoritmus (Metoda LU-rozkladu) Poloˇz´ıme A0 = A a pro k = 1, 2, . . . provedeme: 1) LU-rozklad matice Ak−1, tj. urˇc´ıme Lk a Uk tak, ˇze Ak−1 = Lk Uk ; 2) vypoˇc´ıtáme souˇcin Ak := Uk Lk . Vˇsimnˇeme si posloupnost´ı {Ak } a {Uk }. Lze dokázat, ˇze za jistých pˇredpoklad˚ u konverguj´ı obˇe tyto posloupnosti ke stejné limitn´ı matici M; viz [1]. Tato matice je nutnˇe horn´ı troj´ uheln´ıková a má stejná vlastn´ı ˇc´ısla jako A. Hledaná vlastn´ı ˇc´ısla proto urˇc´ıme jako diagonáln´ı prvky matice M. Pˇ r´ıklad 4.3.3. Pomoc´ı metody LU-rozkladu vypoˇctˇetˇe vlastn´ı ˇc´ısla matice ⎛

2 −1

0

⎞

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ 0 −1 2 s pˇresnost´ı na dvˇe desetinná m´ısta.

- 83 -

(4.3.2)


Numerické metody

ˇ sen´ı: Pro A0 = A urˇc´ıme LU-rozklad Reˇ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 1 0 0 2.00 −1.00 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ L0 = ⎜ −0.50 1 0 ⎟ , U0 = ⎜ 0 1.50 −1.00 ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 0 −0.67 1 0 0 1.33 a vynásoben´ım dostaneme ⎛

2.50 −1.00

0

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A1 = U0 L0 = ⎜ −0.75 2.17 −1.00 ⎟ ⎟. ⎝ ⎠ 0 −0.89 1.33 Podobnˇe pro A1 vypoˇc´ıtáme LU-rozklad ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 2.50 −1.00 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ L1 = ⎜ −0.30 1 0 ⎟ , U1 = ⎜ 0 1.87 −1.00 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 −0.48 1 0 0 0.86 a opˇet vynásoben´ım dostaneme ⎛

2.80 −1.00

0

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A2 = U1 L1 = ⎜ −0.56 2.34 −1.00 ⎟ ⎟. ⎝ ⎠ 0 −0.41 0.86 ˇ ısla pod diagonálou u matic Ak se zaˇc´ınaj´ı pˇribliˇzovat k nule, coˇz ukazuje na tenC´ denci ke konvergenci. Jestliˇze takto pokraˇcujeme dále, dostaneme ⎛ ⎞ 3.41 −1.00 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟≈M A13 = ⎜ 0.00 2.00 −1.00 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 0.00 0.58 a v dalˇs´ıch iterac´ıch se jiˇz ˇc´ısla na diagonále (na prvn´ıch dvou desetinn´ ych . . m´ıstech) nemˇen´ı. Pˇribliˇzné hodnoty vlastn´ıch ˇc´ısel jsou λ1 = 3.41, λ2 = 2.00 . a λ1 = 0.58.

- 84 -


Numerické metody

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak se definuj´ı vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matic? Otázka 2. Kolik vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u má matice ˇra´du n? Otázka 3. Na jaké vlastnosti je zaloˇzena metoda LU-rozkladu? ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Pomoc´ı charakteristického polynomu vypoˇctˇete vlastn´ı ˇc´ısla matice (4.3.2). Vypoˇctˇete také vlastn´ı vektory. 2. Metodou LU-rozkladu vypoˇctˇetˇe vlastn´ı ˇc´ısla matice ⎛

⎞

1 −1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 0 −1 3 s pˇresnost´ı na ˇctyˇri desetinná m´ısta. V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. pA (λ) = λ3 −6λ2 + 10λ −4, λ1 = 3.414214, λ2 = 2, λ3 = 0.585786. Vlastn´ı vek√ √ √ √ tory jsou napˇr´ıklad v1 = (−1, 2, −1) , v2 = (− 2, 0, 2) , v3 = (1, 2, 1) . . 2. Vlastn´ı ˇc´ısla s poˇzadovanou pˇresnost´ı jsou na diagonále matice A20 ; λ1 = . . 3.7320, λ2 = 2.0000, λ3 = 0.2679.

- 85 -


4.4.

Numerické metody

Konvergence iteraˇ cn´ıch metod

C´ıle Odvod´ıme podm´ınky, které zaruˇcuj´ı konvergenci iteraˇcn´ıch metod.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Iteraˇcn´ı ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic. Vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory.

V´ yklad Pˇripomeˇ nme, ˇze pˇri iteraˇcn´ım ˇreˇsen´ı pˇrevád´ıme soustavu lineárn´ıch rovnic Ax = b na (ekvivalentn´ı) soustavu v iteraˇcn´ım tvaru x = Cx + d.

(4.4.1)

K ˇreˇsen´ı se potom pˇribliˇzujeme pomoc´ı posloupnosti {x(k) }, kterou poˇc´ıtáme podle rekurentn´ıho vzorce x(k+1) = Cx(k) + d.

(4.4.2)

Jestliˇze odeˇcteme (4.4.1) a (4.4.2) a oznaˇc´ıme pˇritom e(k) = x(k) − x, dostaneme e(k+1) = Ce(k) . T´ımto vzorcem se ˇr´ıd´ı iteraˇcn´ı chyba e(k) . Jeho opakovan´ ym pouˇzit´ım dostaneme e(k+1) = Ce(k) = C2 e(k−1) = . . . = Ck+1 e(0) . Proto e(k) = Ck e(0) ,

(4.4.3)

kde e(0) je poˇcáteˇcn´ı chyba, která je urˇcena volbou poˇcáteˇcn´ı aproximace x(0) . Je zˇrejmé, ˇze iteraˇcn´ı v´ ypoˇcet bude konvergovat, jestliˇze limk→∞ e(k) = 0, tj. kdyˇz se iteraˇcn´ı chyba bl´ıˇz´ı k nulovému vektoru. Tuto limitu budeme vyˇsetˇrovat pomoc´ı vzorce (4.4.3). Budeme pˇritom pˇredpokládat, ˇze iteraˇcn´ı matice C má

- 86 -


Numerické metody

vlastn´ı ˇc´ısla λ1 , . . ., λn , kter´ ym odpov´ıdaj´ı vlastn´ı vektory v1 , . . ., vn , které tvoˇr´ı bázi. Pˇripomeˇ nme, ˇze taková situace nastane podle vˇety 4.3.2. a následné poznámky napˇr´ıklad v pˇr´ıpadˇe, kdy je C symetrická matice. Vektor e(0) pak m˚ uˇzeme zapsat jako lineárn´ı kombinaci vlastn´ıch vektor˚ u, tj. existuj´ı konstanty c1 , . . ., cn , pro nˇeˇz plat´ı e(0) = c1 v1 + . . . + cn vn .

(4.4.4)

Jestliˇze dosad´ıme (4.4.4) do (4.4.3) dostaneme s pomoc´ı vˇety 4.3.1. vztah e(k) = c1 Ck v1 + . . . + cn Ck vn = c1 λk1 v1 + . . . + cn λkn vn .

(4.4.5)

Odtud je vidˇet, ˇze lim e(k) = 0 ⇐⇒ lim λki = 0 pro i = 1, . . . , n.

k→∞

k→∞

Uvedené limity budou nulové, právˇe kdyˇz |λi | < 1 pro i = 1, . . . , n. Dokázali jsme následuj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 4.4.1. Necht’ C je iteraˇcn´ı matice, která má n lineárnˇe nezávisl´ ych vlastn´ıch vektor˚ u. Iteraˇcn´ı metoda daná vzorcem (4.4.2) konverguje pro kaˇzdou poˇcáteˇcn´ı aproximaci x(0) , právˇe kdyˇz vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla matice C jsou v absolutn´ı hodnotˇe menˇs´ı neˇz jedna.

Pˇ r´ıklad 4.4.1. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla iteraˇcn´ıch matic CJ a CB z odstavce 4.1. a porovnejte pr˚ ubˇehy iteraˇcn´ıch v´ ypoˇct˚ u s tvrzen´ım posledn´ı vˇety. ˇ sen´ı: Z charakteristického polynomu pC (λ) = λ3 + 7 λ − 1 urˇc´ıme vlastn´ı Reˇ J 88 80 . . . ˇc´ısla matice CJ : λ1 = 0.1297, λ2 = −0.0649 + i0.3036, λ3 = −0.0649 − i0.3036. . ypoˇcet Z absolutn´ıch hodnot |λ1 | = λ1 , |λ2 | = |λ3 | = 0.3104 vid´ıme, ˇze iteraˇcn´ı v´ mus´ı b´ yt konvergentn´ı, coˇz je v souladu s naˇs´ım pozorován´ım z odstavce 4.1.

- 87 -


Numerické metody

Podobnˇe z charakteristického polynomu pCB (λ) = λ3 + 26λ2 + 229λ + 683 urˇc´ıme . vlastn´ı ˇc´ısla matice CB . Staˇc´ı si povˇsimnout, ˇze jedno z vlastn´ıch ˇc´ısel je λ1 = uˇze iteraˇcn´ı v´ ypoˇcet (obecnˇe) konvergovat, coˇz je −8.7373. Protoˇze |λ1 | > 1, nem˚ rovnˇeˇz v souladu s pozorován´ım z odstavce 4.1.

Vidˇeli jsme, ˇze o konvergenci iteraˇcn´ı metody lze rozhodnout na základˇe vlastn´ıch ˇc´ısel. Výpoˇcet vlastn´ıch ˇc´ısel je vˇsak zpravidla sloˇzitˇejˇs´ı neˇz ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. V dalˇs´ı vˇetˇe proto ukáˇzeme jednoduˇsˇs´ı, i kdyˇz slabˇs´ı konvergenˇcn´ı podm´ınku.

Vˇ eta 4.4.2. Necht’ C je iteraˇcn´ı matice, která má n lineárnˇe nezávisl´ ych vlastn´ıch vektor˚ u. Iteraˇcn´ı metoda daná vzorcem (4.4.2) konverguje pro kaˇzdou poˇcáteˇcn´ı aproximaci x(0) , jestliˇze pro nˇekterou normu plat´ı C < 1.

D˚ ukaz: Necht’ C < 1 a necht’ λ je libovolné vlastn´ı ˇc´ıslo matice C odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu vektrou v, tj. Cv = λv. Protoˇze |λ|v = λv = Cv ≤ Cv, plat´ı |λ| ≤ C < 1, takˇze vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla matice C jsou v absolutn´ı hodnotˇe menˇs´ı neˇz jedna. Iteraˇcn´ı metoda proto konverguje podle vˇety 4.4.1.

2

U Jacobiovy a Gauss-Seidelovy metody lze konvergenˇcn´ı podm´ınku z posledn´ı vˇety formulovat pomoc´ı matice soustavy A. Pouˇz´ıvá se pˇritom terminologie z následuj´ıc´ı definice. Definice 4.4.1. ˇ Rekneme, ˇze ˇctvercová matice A = (aij ) ˇra´du n je ostˇre diagonálnˇe dominant´ı, jestliˇze plat´ı |ai1 | + . . . + |aii−1 | + |aii+1 | + . . . + |ain | < |aii | pro i = 1, . . . , n.

- 88 -

(4.4.6)


Numerické metody

Pˇ r´ıklad 4.4.2. Rozhodnˇete, která z následuj´ıc´ıch matic je ostˇre diagonálnˇe dominantn´ı:

⎛

11

2

1

⎜ ⎜ A=⎜ 2 ⎜ 1 10 ⎝ 2 3 −8

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

⎛

−8 2

1

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟. B=⎜ −2 1 −3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 3

ˇ sen´ı: Matice A je ostˇre diagonálnˇe dominantn´ı, protoˇze plat´ı 2 + 1 < 11, Reˇ 1 + 2 < 10 a 2 + 3 < 8. Matice B nen´ı ostˇre diagonálnˇe dominantn´ı, protoˇze ve druhém ˇra´dku je 2 + 3 > 1. Vˇ eta 4.4.3. Necht’ Ax = b je daná soustava lineárn´ıch rovnic. Jacobiova iteraˇcn´ı metoda konverguje pro kaˇzdou poˇcáteˇcn´ı aproximaci x(0) , jestliˇze matice A je ostˇre diagonálnˇe dominant´ı.

D˚ ukaz: Necht’ A je ostˇre diagonálnˇe dominantn´ı. Podm´ımku (4.4.6) m˚ uˇze pˇrepsat do tvaru |ai1 | |aii−1 | |aii+1 | |ain | + ...+ + + ...+ < 1, |aii | |aii | |aii | |aii |

pro i = 1, . . . , n.

Pro iteraˇcn´ı matici Jacobiovy metody CJ (viz (4.2.6)) to znamená, ˇze souˇcet absolutn´ıch hodnot prvk˚ u v kaˇzdém ˇra´dku je menˇs´ı neˇz jedna. V ˇra´dkové normˇe proto plat´ı CJ R < 1 a konvergence Jacobiovy metody plyne z vˇety 4.4.2.

2

Pozn´ amka Také Gauss-Seidelova metoda konverguje, je-li matice soustavy ostˇre diagonálnˇe dominant´ı. D˚ ukaz je vˇsak o nˇeco sloˇzitˇejˇs´ı; viz [1].

- 89 -


Numerické metody

Pozn´ amka Konvergenci Jacobiovy i Gauss-Seidelovy metody zajist´ıme tak, ˇze ˇreˇsenou soustavu pˇredem uprav´ıme na ekvivalentn´ı soustavu s ostˇre diagonálnˇe dominantn´ı matic´ı. Pˇ r´ıklad 4.4.3. Soustavu lineárn´ıch rovnic −8x1 + 2x2 + x3 = −1, −2x1 + x2 − 3x3 = −9, x1 + x2 + 3x3 = 12 upravte na tvar s ostˇre diagonálnˇe dominantn´ı matic´ı. ´ ˇ sen´ı: Upravy, Reˇ které nemˇen´ı ˇreˇsen´ı, jsou tˇri: zámˇena poˇrad´ı rovnic, vynásoben´ı rovnice nenulov´ ym ˇc´ıslem a pˇriˇcten´ı nenulového násobku rovnice k jiné rovnici. V naˇsem pˇr´ıpadˇe staˇc´ı pˇriˇc´ıst tˇret´ı rovnici k rovnici druhé: −8x1 + 2x2 + x3 = −1, −x1 + 2x2 = −3, x1 + x2 + 3x3 = 12. Provedeme-li v´ ypoˇcet Jacobiovy nebo Gauss-Seidelovy metody pro tuto soustavu, budeme m´ıt zaruˇcenu konvergenci.

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jaké podm´ınky zaruˇcuj´ı konvergenci obecné iteraˇcn´ı metody? Otázka 2. Jak lze zajistit konvergenci u Jacobiovy a Gauss-Seidelovy metody?

- 90 -


Numerické metody

´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Soustavu lineárn´ıch rovnic 4x1 + x2 + x3 = 6, x1 + 4x2 + x3 = 6, 6x1 + 6x2 + 6x3 = 18 upravte na tvar s ostˇre diagonálnˇe dominantn´ı matic´ı. 2. Napiˇste iteraˇcn´ı matici pro Jacobiovu metodu a vypoˇctˇete jej´ı vlastn´ı ˇc´ısla. V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Od tˇret´ı rovnice odeˇcteme rovnici prvn´ı i druhou. Dostaneme: 4x1 + x2 + x3 = 6, x1 + 4x2 + x3 = 6, x1 + x2 + 4x3 = 6. 2. Iteraˇcn´ı matice má tvar: ⎛

0 −1/4 −1/4

⎞

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ CJ = ⎜ −1/4 0 −1/4 ⎟ ⎟. ⎠ ⎝ −1/4 −1/4 0 Z charakteristického polynomu pCJ (λ) = λ3 −

3 λ 16

+

1 32

urˇc´ıme koˇreny λ1 = − 12 ,

λ2 = λ3 = 14 . Shrnut´ı lekce Ukázali jsme iteraˇcn´ı zp˚ usob ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic a odvodili jsem podm´ınky, které zaruˇcuj´ı konvergenci.

- 91 -

5. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ

5.

Numerické metody

Interpolace a aproximace funkc´ı

Pr˚ uvodce studiem ˇ Casto je potˇreba sloˇzitou” funkci f nahradit funkc´ı jednoduˇsˇs´ı”. V této ” ” kapitole budeme pˇredpokládat, ˇze u funkce f známe jej´ı funkˇcn´ı hodnoty fi = ´ lohy. f (xi ) v uzlech xi pro i = 0, . . . , n. Budeme rozliˇsovat dvˇe u Interpolaˇcn´ı u ´ loha: Hledáme funkci ϕ, pro niˇz je ϕ(xi ) = fi ,

i = 0, . . . , n.

(5.0.1)

Aproximace metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u: Hledáme funkci ϕ, pro niˇz je ϕ(xi ) ≈ fi ,

i = 0, . . . , n,

(5.0.2)

kde pˇribliˇzná rovnost ≈” je urˇcena tak, aby souˇcet druchých mocnin odchylek ” mezi pˇredepsan´ ymi hodnotami fi a pˇredpokládan´ ymi hodnotami ϕ(xi ) byl minimáln´ı.

Jestliˇze tyto u ´ lohy znázorn´ıme graficky, bude ˇreˇsen´ı interpolaˇcn´ı u ´ lohy pro´ lohy bude cházet pˇres body (xi , fi ), i = 0, . . . , n, kdeˇzto ˇreˇsen´ı aproximaˇcn´ı u (obecnˇe) procházet jejich bl´ızkým okol´ım. Formulace obou u ´ loh je zat´ım pˇr´ıliˇs obecná, protoˇze jsme neˇrekli jakého typu má b´ yt funkce ϕ. Ukáˇzeme tˇri volby: polynom, splajn (spline-funkce) a lineárn´ı kombinace obecn´ ych funkc´ı. Polynom je jednoduchý z hlediska matematických operac´ı (snadno se derivuje, integruje atp.), jeho graf vˇsak ˇcasto osciluje. Lepˇs´ı tvary grafu maj´ı splajny. Kombinace obecn´ ych funkc´ı se pouˇz´ıvá zpravidla v situac´ıch, kdy je známo, jakou závislost daná data popisuj´ı (pro periodickou závislost je dobré pouˇz´ıt funkce goniometrické, pro strmˇe rostouc´ı data se hod´ı funkce exponenciáln´ı atp.).

- 92 -


Numerické metody

5.1.

Interpolaˇ cn´ı polynom

C´ıle Ukáˇzeme metody pro sestaven´ı interpolaˇcn´ıho polynomu a odvod´ıme vzorec pro interpolaˇcn´ı chybu.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti ˇ sen´ı soustav lineárn´ıch rovnic. Vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe difePolynomy. Reˇ renciáln´ıho poˇctu.

V´ yklad Funkci ϕ v u ´ loze (5.0.1) budeme hledat jako interpolaˇcn´ı polynom stupnˇe nejv´ yˇse n, tj. poloˇz´ıme ϕ = pn , kde pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn .

(5.1.1)

Zaˇcneme pˇr´ıkladem. Pˇ r´ıklad 5.1.1.

Jsou dány uzly x0 = −2, x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2 a funkˇcn´ı

hodnoty f0 = 10, f1 = 4, f2 = 6, f3 = 3. Urˇcete interpolaˇcn´ı polynom p3 . ˇ sen´ı: Reˇ

Hledan´ y polynom má obecn´ y tvar p3 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 .

Koeficienty a0 , a1 , a2 , a3 urˇc´ıme tak, aby platilo (5.0.1). Kaˇzdá interpolaˇcn´ı rovnost urˇcuje jednu rovnici: p3 (−2) = 10 ⇒ a0 − 2a1 + 4a2 − 8a3 = 10, p3 (−1) = 4

⇒ a0 −

a1

+

a2

−

a3

=

4,

p3 (1)

= 6

⇒ a0 +

a1

+

a2

+

a3

=

6,

p3 (2)

= 3

⇒ a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 =

3.

- 93 -


Numerické metody

Dostali jsme soustavu lineárn´ıch rovnic ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ a0 10 1 −2 4 −8 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1 −1 1 −1 ⎟ ⎜ a1 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎟ 1 1 1 ⎟ ⎜ a2 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 3 1 2 4 8 a3 jej´ımˇz ˇreˇsen´ım (na tˇri desetinná m´ısta) jsou koeficienty a0 = 4.500, a1 = 1.917, a2 = 0.500 a a3 = −0.917. Interpolaˇcn´ı polynom má tvar p3 (x) = 4.500 + 1.917x + 0.500x2 − 0.917x3 . Jeho graf je na obrázku 5.1.1. 12 10 8 6 4 2 −2

−1

0

1

2

Obrázek 5.1.1: Graf interpolaˇcn´ıho polynomu p3 . Rozborem postupu z pˇr´ıkaldu dokáˇzeme následuj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 5.1.1. Necht’ jsou dány vzájemnˇe r˚ uzné uzly xi a funkˇcn´ı hodnoty fi , i = 0, . . . , n. Existuje právˇe jeden interpolaˇcn´ı polynom stupnˇe nejvýˇse n.

D˚ ukaz: Dosazen´ım obecného tvaru polynomu (5.1.1) do interpolaˇcn´ıch rovnost´ı

- 94 -


Numerické metody

(5.0.1) dostaneme soustavu lineárn´ıch rovnic pn (xi ) = a0 + a1 xi + a2 x2i + . . . + an xni = fi ,

i = 0, . . . , n,

kterou lze zapsat maticovˇe jako ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 x0 x20 . . . xn0 1 x1

x21

...

xn1

1 x2 x22 . . . xn2 .. . . . .. .. . .. . . .

⎞⎛ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎠⎝

1 xn x2n . . . xnn

a0 a1 a2 .. . an

⎞

⎛

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

f0 f1 f2 .. .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

fn

Matice této soustavy má nenulov´ y determinant (Vandermod˚ uv determinant). Odtud plyne existence jediného ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic a také inter2

polaˇcn´ıho polynomu.

5.1.1.

Lagrange˚ uv tvar interpolaˇ cn´ıho polynomu

Ukáˇzeme postup, pˇri nˇemˇz se obejdeme bez ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. Interpolaˇcn´ı polynom budeme hledat ve tvaru pn (x) = f0 ϕ0 (x) + f1 ϕ1 (x) + . . . + fn ϕn (x).

(5.1.2)

Rovnosti pn (xi ) = fi , i = 0, 1, . . . , n budou splnˇeny, jestliˇze bude platit ⎧ ⎪ ⎨ 1 pro i = j, ϕi (xj ) = ⎪ ⎩ 0 pro i = j. Z vˇety 5.1.1. v´ıme, ˇze interpolaˇcn´ı polonom je stupnˇe nejvýˇse n, takˇze také yt polynomy stupnˇe nejv´ yˇse n. Uvedeným poˇzadavk˚ um vˇsechny funkce ϕi mus´ı b´ vyhovuje následuj´ıc´ı definice: ϕi (x) =

(x − x0 ) . . . (x − xi−1 )(x − xi+1 ) . . . (x − xn ) (xi − x0 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn )

- 95 -

(5.1.3)


Numerické metody

ˇ pro i = 0, 1, . . . , n. Citatel je totiˇz polynom, kter´ y nab´ yvá nulov´ ych hodnot yvá nenulové hodnoty, která je ve vˇsech uzlech kromˇe xi . V uzlu xi pak nab´ obsaˇzena ve jmenovateli zlomku, takˇze plat´ı ϕi (xi ) = 1. aze interpolaˇcn´ı u ´ lohy Polynom˚ um ϕi , i = 0, 1, . . . , n se ˇr´ıká Lagrangeova b´ a vzorec (5.1.2) se naz´ yvá Lagrange˚ uv tvar inteprolaˇcn´ıho polynomu.


Mˇejme dány uzly x0 = −2, x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2 a funkˇcn´ı

uv tvar interpolaˇcn´ıho hodnoty f0 = 10, f1 = 4, f2 = 6, f3 = 3. Napiˇste Lagrange˚ polynomu. ˇ sen´ı: Reˇ

Nejdˇr´ıve sestav´ıme Lagrangeovu bázi. Podle (5.1.3) je

ϕ0 (x) =

1 (x + 1)(x − 1)(x − 2) = − (x + 1)(x − 1)(x − 2), (−2 + 1)(−2 − 1)(−2 − 2) 12

ϕ1 (x) =

1 (x + 2)(x − 1)(x − 2) = (x + 2)(x − 1)(x − 2), (−1 + 2)(−1 − 1)(−1 − 2) 6

ϕ2 (x) =

1 (x + 2)(x + 1)(x − 2) = − (x + 2)(x + 1)(x − 2), (1 + 2)(1 + 1)(1 − 2) 6

ϕ3 (x) =

1 (x + 2)(x + 1)(x − 1) = (x + 2)(x + 1)(x − 1). (2 + 2)(2 + 1)(2 − 1) 12

Dosazen´ım do (5.1.2) dostaneme výsledek 2 5 p3 (x) = − (x + 1)(x − 1)(x − 2) + (x + 2)(x − 1)(x − 2) − 6 3 1 −(x + 2)(x + 1)(x − 2) + (x + 2)(x + 1)(x − 1). 4 Pozn´ amka ´ Interpolaˇcn´ı polynom je podle vˇety 5.1.1. urˇcen jednoznaˇcnˇe. Upravou Lagrangeova tvaru proto mus´ıme nutnˇe doj´ıt k polynomu, který jsem vypoˇc´ıtali v pˇr´ıkladu 5.1.1. (ovˇeˇrte).

- 96 -


Numerické metody 5.1.2.

Newton˚ uv tvar interpolaˇ cn´ıho polynomu

Uvaˇzujme zápis polynomu ve tvaru: pn (x) = a0 +a1 (x−x0 )+a2 (x−x0 )(x−x1 )+. . .+an (x−x0 ) . . . (x−xn−1 ). (5.1.4) Jestliˇze dosad´ıme do interpolaˇcn´ıch rovnost´ı pn (xi ) = fi , i = 0, 1, . . . , n, dostaneme soustavu lineárn´ıch rovnic s doln´ı troj´ uheln´ıkovou matic´ı: ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛ a 1 0 0 ... 0 ⎟⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1 (x1 − x0 ) 0 ... 0 ⎟ ⎟ ⎜ a1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎜ 1 (x − x ) (x − x )(x − x ) . . . 0 ⎟ ⎜ a ⎟ ⎜ ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎜ 2 0 2 0 2 1 ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎝ .. . .. .. .. .. . . . . . . .

⎞ f0

⎟ ⎟ f1 ⎟ ⎟ ⎟, f2 ⎟ ⎟ ⎠ .. .

(5.1.5)

Odud m˚ uˇzeme postupnˇe vyjádˇrit koeficienty ak : a0

a2

=

=

f0 ,

a1 =

f1 − a0 f1 − f0 = , x1 − x0 x1 − x0

f1 − f0 f2 − f1 − f2 − a1 (x2 − x0 ) − a0 x − x1 x1 − x0 = 2 , (x2 − x0 )(x2 − x1 ) x2 − x0

atd.. Výrazy na prav´ ych stranách jsou pomˇerné diference, jejichˇz oznaˇcen´ı zavád´ıme v následuj´ıc´ı definici. Definice 5.1.1. Necht’ jsou dány vzájemnˇe r˚ uzné uzly xi a funkˇcn´ı hodnoty fi , i = 0, . . . , n. Pomˇerné diference k-tého ˇra´du f [xi+k , . . . , xi ],

i = 0, 1, . . . , n − k definujeme

rekurentnˇe: • pro k = 0 : • pro k = 1 :

f [xi ] = fi ; f [xi+1 , xi ] =

• pro k ≤ n : f [xi+k , . . . , , xi ] =

fi+1 − fi ; xi+1 − xi f [xi+k , . . . , xi+1 ] − f [xi+k−1 , . . . , xi ] . xi+k − xi

- 97 -


Numerické metody

Porovnán´ım pomˇern´ ych diferenc´ı s koeficienty ak vid´ıme, ˇze ak = f [xk , . . . , x0 ],

k = 0, 1, . . . , n.

Dosazen´ım do (5.1.4) dostaneme Newton˚ uv tvar interpolaˇcn´ıho polynomu: pn (x) = f0 + f [x1 , x0 ](x − x0 ) + . . . + f [xn , . . . , x0 ](x − x0 ) . . . (x − xn−1 ). (5.1.6) Pˇri jeho sestavován´ı potˇrebujeme vypoˇc´ıtat pomˇerné diference. Vˇse ukáˇzeme v následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 5.1.3.


uv tvar interpolaˇcn´ıho hodnoty f0 = 10, f1 = 4, f2 = 6, f3 = 3. Napiˇste Newton˚ polynomu. ˇ sen´ı: Reˇ

Potˇrebujeme vypoˇc´ıtat pomˇerné diference: f [x1 , x0 ], f [x2 , x1 , x0 ], f [x3 , x2 , x1 , x0 ].

Podle definice je f [x1 , x0 ] =

4 − 10 = −6, −1 + 2

f [x2 , x1 ] − f [x1 , x0 ] f [x2 , x1 , x0 ] = = x2 − x0

6−4 1+1

+6 7 = , 1+2 3

f [x3 , x2 , x1 ] − f [x2 , x1 , x0 ] f [x3 , x2 , x1 , x0 ] = = x3 − x0

3−6 − 6−4 2−1 1+1

− 2+2

2+1

7 3

= −

11 . 12

Dosazen´ım do (5.1.6) dostaneme výsledek 11 7 p3 (x) = 10 − 6(x + 2) + (x + 2)(x + 1) − (x + 2)(x + 1)(x − 1). 3 12 Pˇrehlednˇe m˚ uˇzeme výpoˇcet pomˇern´ ych diferenc´ı provést v tabulce (tabulka 5.1.1), kde do prvn´ıch dvou sloupc˚ u zap´ıˇseme zadané uzly a funkˇcn´ı hodnoty a v kaˇzdém dalˇs´ım sloupci pak vypoˇc´ıtáme vˇsechny (!) pomˇerné diference postupnˇe se zvyˇsuj´ıc´ıch ˇra´d˚ u. Pro napsán´ı interpolaˇcn´ıho polynomu potˇrebujeme z této tabulky hodnoty diferenc´ı z prvn´ıho ˇra´dku.

- 98 -


Numerické metody

Tabulka 5.1.1: V´ ypoˇcet pomˇern´ ych diferenc´ı. i

5.1.3.

xi

fi

f [xi+1 , xi ] f [xi+2 , xi+1 , xi ] f [x3 , x2 , x1 , x0 ] −6

7 3

4

1

− 43

1

6

−3

2

3

0

−2 10

1

−1

2 3

− 11 12

Interpolaˇ cn´ı chyba

Pˇredpokládejme, ˇze hodnoty fi jsou funkˇcn´ımi hodnotami funkce f v uzlech xi , tj. fi = f (xi ). Bude nás zaj´ımat interpolaˇcn´ı chyba f (x) − pn (x). uˇze b´ yt velká. V uzlech xi je interpolaˇcn´ı chyba nulová, ale mimo uzly m˚ Vˇ eta 5.1.2. uzné a leˇz´ı na intervalu a, b. Necht’ Necht’ uzly xi , i = 0, 1, . . . , n, jsou vzájemnˇe r˚ funkce f má na tomto intervalu n + 1 spojit´ ych derivac´ı. Pak pro kaˇzdé x ∈ a, b existuje ξ = ξ(x) v (a, b) tak, ˇze plat´ı f (x) − pn (x) =

f (n+1) (ξ) πn+1 (x), (n + 1)!

(5.1.7)

kde πn+1 (x) = (x − x0 ) . . . (x − xn ). D˚ ukaz: Pro x = xi je rovnost (5.1.7) splnˇena, protoˇze obˇe jej´ı strany jsou nulové. Pro pevnˇe zvolené x = xi definujme funkci g(t) = f (t) − pn (t) −

πn+1 (t) (f (x) − pn (x)) , πn+1 (x)

(5.1.8)

kde t je promˇenná a x je parametr. Funkce g má zˇrejmˇe n+2 koˇren˚ u, kter´ ymi jsou body x0 , . . ., xn a x. Kaˇzdá derivace funkce g má o jeden koˇren ménˇe, takˇze (n+1)n´ı derivace má jedin´ y koˇren v nˇejakém bodˇe ξ ∈ (a, b). Derivujeme-li (n + 1)-krát

- 99 -

5. INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKCÍ (n+1)

v´ yraz (5.1.8) (podle t) a pouˇzijeme pˇritom pn

Numerické metody (n+1)

(t) = 0 a πn+1 (t) = (n + 1)!,

dostaneme 0 = g (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) −

(n + 1)! (f (x) − pn (x)) . πn+1 (x)

Jestliˇze odtud vyjádˇr´ıme interpolaˇcn´ı chybu, vznikne rovnost (5.1.7).

2

Na pr˚ ubˇeh interpolaˇcn´ı chyby v intervalu a, b má podstatn´ y vliv tvar polynomu πn+1 , jak ukazuje následuj´ıc´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 5.1.4. (Rungeho pˇ r´ıklad) Nakresl´ıme graf funkce f (x) =

1 1 + x2

a graf interpolaˇcn´ıho polynomu odpov´ıdaj´ıc´ıho uzl˚ um xi = −5+i, i = 0, 1, . . . , 10. Výsledek porovnáme s grafem polynomu π11 (x) = (x + 5)(x + 4) . . . (x − 5). ˇ sen´ı: Obrázek 5.1.2.a ukazuje graf polynomu π11 . Z jeho pr˚ ubˇehu lze usouReˇ dit, ˇze nejvˇetˇs´ı interpolaˇcn´ı chyby budou pobl´ıˇz krajn´ıch uzl˚ u x0 = −5 a x10 = 5. Na obrázku 5.1.2.b vid´ıme, ˇze graf interpolaˇcn´ıho polynomu osciluje kolem grafu funkce f a ˇze oscilace jsou nejvˇetˇs´ı právˇe na kraj´ıch intervalu −5, 5. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze pˇri zvˇetˇsen´ı poˇctu interpolaˇcn´ıch uzl˚ u nedojde ke zmenˇsen´ı interpolaˇcn´ı chyby, ale naopak k jej´ımu zvˇetˇsen´ı.

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jaké znáte metody pro sestaven´ı interpolaˇcn´ıho polynomu? Otázka 2. Jakého stupnˇe je interpolaˇcn´ı polynom? Otázka 3. Jak se chová interpolaˇcn´ı chyba?

´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Pro uzly x0 = −1, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 5 a funkˇcn´ı hodnoty f0 = −2,

- 100 -


Numerické metody 5

5

x 10

2 1.5 1

0 0.5 0 −5 −5

0

−0.5 −5

5

a

0

5

b

Obrázek 5.1.2: a) Graf π11 ; b) Grafy f (neosciluj´ıc´ı) a p10 (osciluj´ıc´ı). f1 = 1, f2 = 0, f3 = 2, f4 = −1 vypoˇctˇete interpolaˇcn´ı polynom ve tvaru (5.1.1). 2. Pro pˇredchoz´ı data vypoˇctˇete Lagrange˚ uv a Newton˚ uv tvar interpolaˇcn´ıho polynomu. V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 3 4 x + 1. p4 (x) = − 20

11 3 x 10

−

109 2 x 60

−

1 x 15

+ 1.

1 1 x(x − 2)(x − 3)(x − 5) − 30 (x + 1)(x − 2)(x − 3) 2. Lagrange˚ uv tvar: p4 (x) = − 36

(x − 5) −

1 (x 12

+ 1)x(x − 2)(x − 5) −

1 (x 180

+ 1)x(x − 2)(x − 3);

3 (x + 1)x + 12 (x + 1)x(x − 2) − 20 (x + 1) Newton˚ uv tvar: p4 (x) = −2 + 3(x + 1) − 35 30

x(x − 2)(x − 3).

- 101 -


5.2.

Numerické metody

Interpolaˇ cn´ı splajny

C´ıle Vidˇeli jsme, ˇze graf interpolaˇcn´ıho polynomu m˚ uˇze nepˇr´ıjemnˇe oscilovat. Tato situace nastává pˇri pˇredepsán´ı vˇetˇs´ıho poˇctu dat, protoˇze interpolaˇcn´ı polynom je pak vysokého stupnˇe. Zdá se proto rozumné pˇri ˇreˇsen´ı interpolaˇcn´ı u ´ lohy pouˇz´ıt funkci, která bude poˇcástech polynomem n´ızkého stupnˇe, jej´ıˇz jednotlivé ˇcásti budou na sebe navazovat dostateˇcnˇe hladce. Takov´ ym funkc´ım se ˇr´ıká splajn (z angl. spline”). Ukáˇzeme dva nejˇcastˇeji pouˇz´ıvané splajny: lineárn´ı a kubický. ” Pˇredpokl´ adan´ e znalosti ˇ sen´ı soustav lineárn´ıch rovnic. Interpolaˇcn´ı polynom. Spojitost derivace. Reˇ

V´ yklad Abychom se vyhnuli komplikac´ım pˇri popisu, budeme pˇredpokládat, ˇze uzly interpolace tvoˇr´ı rostouc´ı posloupnost, tzn. x0 < x1 < . . . < xn . Vzdálenost dvou sousedn´ıch uzl˚ u oznaˇc´ıme hi , tj. hi = xi − xi−1 , 5.2.1.

i = 1, . . . , n.

Line´ arn´ı splajn

Definice 5.2.1. Lineárn´ım splajnem nazýváme funkci s1 , která je spojitá na intervalu x0 , xn a na kaˇzdém podintervalu xi−1 , xi , i = 1, . . . , n, je polynomem prvn´ıho stupnˇe. Lineárn´ı interpolaˇcn´ı splajn je ˇreˇsen´ım u ´ lohy (5.0.1), tzn. ˇze pro nˇej plat´ı uˇzeme ho zapsat po ˇcástech pro i = 1, . . . , n: s1 (xi ) = fi , i = 0, . . . , n. M˚ s1 (x) = fi−1 (1 − t) + fi t,

t = (x − xi−1 )/hi ,

Grafem lineárn´ıho splajnu je lomená ˇcára.

- 102 -

x ∈ xi−1 , xi .

(5.2.1)


Numerické metody



hodnoty f0 = 10, f1 = 4, f2 = 6, f3 = 3. Napiˇste lineárn´ı interpolaˇcn´ı splajn. ˇ sen´ı: Zap´ıˇseme jej pomoc´ı pˇredpisu (5.2.1): Reˇ ⎧ ⎪ 10ϕ1 (t) + 4ϕ2 (t), t = x + 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ s1 (x) = 4ϕ1 (t) + 6ϕ2 (t), t = (x + 1)/2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 6ϕ1 (t) + 3ϕ2 (t), t = x − 1

pro x ∈ −2, −1, pro x ∈ −1, 1, pro x ∈ 1, 2,

kde ϕ1 (t) = 1 − t, ϕ2 (t) = t. Graf je znázornˇen na obrázku 5.2.1. 5.2.2.

Kubick´ y splajn

Definice 5.2.2. Kubickým splajnem naz´ yváme funkci s3 , která má na intervalu x0 , xn dvˇe spojité derivace a na kaˇzdém podintervalu xi−1 , xi , i = 1, . . . , n, je polynomem tˇret´ıho stupnˇe. Kubický interpolaˇcn´ı splajn, je ˇreˇsen´ı interpolaˇcn´ı u ´ lohy (5.0.1). Jeho konstrukce je sloˇzitˇejˇs´ı neˇz u lineárn´ıho splajnu. Vyjdeme opˇet z vyjádˇren´ı po ˇcástech pro i = 1, . . . , n: s3 (x) = fi−1 (1 − 3t2 + 2t3 ) + fi (3t2 − 2t3 ) +mi−1 hi (t − 2t2 + t3 ) + mi hi (−t2 + t3 ),

(5.2.2)

kde t = (x − xi−1 )/hi a x ∈ xi−1 , xi . Tento pˇredpis je navrˇzen tak, aby parametry fi−1 , fi a mi−1 , mi mˇely význam funkˇcn´ıch hodnot a hodnot prvn´ı derivace v krajn´ıch bodech intervalu xi−1 , xi , tj. plat´ı s3 (xi−1 ) = fi−1 , s3 (xi−1 ) = mi−1 ,

- 103 -

s3 (xi ) = fi , s3 (xi ) = mi .

(5.2.3) (5.2.4)


Numerické metody

O splnˇen´ı rovnost´ı (5.2.3) a (5.2.4) se m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit dosazen´ım xi−1 a xi do (5.2.2) a do prvn´ı derivace s3 , kterou vyjádˇr´ıme z (5.2.2) podle pravidla o derivován´ı sloˇzené funkce: s3 (x) = fi−1 (−6t + 6t2 )/hi + fi (6t − 6t2 )/hi +mi−1 (1 − 4t + 3t2 ) + mi (−2t + 3t2 ).

(5.2.5)

Pˇredpis (5.2.2) zaruˇcuje spojitost prvn´ı derivace s3 na celém intervalu x0 , xn pro libovolné hodnoty mi . Spojitost druhé derivace vynut´ıme speciáln´ı volbou mi . Budeme poˇzadovat lim s3 (x) = lim s3 (x)

x→xi −

(5.2.6)

x→xi +

ve vnitˇrn´ıch uzlech xi , i = 1, . . . , n − 1. Potˇrebný výraz pro druhou derivaci vypoˇcteme z (5.2.5) opˇet podle pravidla o derivován´ı sloˇzené funkce: s3 (x) = fi−1 (−6 + 12t)/h2i + fi (6 − 12t)/h2i +mi−1 (−4 + 6t)/hi + mi (−2 + 6t)/hi .

(5.2.7)

Levou stranu v (5.2.6) vyjádˇr´ıme z (5.2.7) pro t = 1: lim s3 (x) = 6fi−1 /h2i − 6fi /h2i + 2mi−1 /hi + 4mi /hi .

x→xi −

(5.2.8)

Pravou stranu v (5.2.6) vyjádˇr´ıme z (5.2.7) pro t = 0, kdyˇz souˇcasnˇe posuneme indexován´ı: lim s (x) = −6fi /h2i+1 + 6fi+1 /h2i+1 − 4mi /hi+1 − 2mi+1 /hi+1 .

x→xi +

(5.2.9)

Dosad´ıme-li (5.2.8) a (5.2.9) do (5.2.6), dostaneme po jednoduché u ´ pravˇe hi+1 mi−1 + 2(hi+1 + hi )mi + hi mi+1 =

! hi hi hi+1 hi+1 fi + fi−1 + − fi+1 , 3 − hi hi hi+1 hi+1

- 104 -

i = 1, . . . , n − 1. (5.2.10)


Numerické metody

Tyto rovnosti tvoˇr´ı soustavu n − 1 rovnic pro n + 1 neznám´ ych mi , i = 0, 1, . . . .n. Abychom dostali jediné ˇreˇsen´ı, urˇc´ıme m0 a mn napˇr´ıklad jako pˇribliˇzné derivace: m0 = Pˇ r´ıklad 5.2.2.

f1 − f0 , h1

mn =

fn − fn−1 . hn

(5.2.11)


hodnoty f0 = 10, f1 = 4, f2 = 6, f3 = 3. Napiˇste kubický interpolaˇcn´ı splajn. ˇ sen´ı: Reˇ

Nejdˇr´ıve vypoˇc´ıtáme parametry mi , i = 0, 1, 2, 3. Podle (5.2.11) je m0 =

4 − 10 = −6, −1 + 2

m3 =

Soustava (5.2.10) má dvˇe rovnice: 2(h2 + h1 )m1 + h1 m2 h3 m1 + 2(h3 + h2 )m2 které m˚ uˇzeme psát jako ⎛

3−6 = −3. 2−1

! h1 f1 + f2 − h2 m0 , h2

! h3 h2 h3 h2 f2 + f3 − h2 m3 , = 3 − f1 + − h2 h2 h3 h3 h2 = 3 − f0 + h1

⎞

⎞⎛

h2 h1 − h1 h2

⎛

⎞

⎜ 6 1 ⎟ ⎜ m1 ⎟ ⎜ −21 ⎟ ⎠=⎝ ⎝ ⎠. ⎠⎝ m2 −9 1 6

, m2 = − 66 . Výsledn´ y splajn zap´ıˇseme podle Vyˇreˇsen´ım dostaneme m1 = − 234 70 70 (5.2.2) po ˇcástech: ⎧ ⎪ 10ϕ1 (t) + 4ϕ2 (t) − 6ϕ3 (t) − 117 ϕ (t), ⎪ 35 4 ⎪ ⎪ ⎨ s3 (x) = ϕ (t) − 66 ϕ (t), 4ϕ1 (t) + 6ϕ2 (t) − 234 35 3 35 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ϕ (t) − 3ϕ4 (t), 6ϕ1 (t) + 3ϕ2 (t) − 33 35 3

t = x + 2 pro x ∈ −2, −1, t = (x + 1)/2 pro x ∈ −1, 1, t = x − 1 pro x ∈ 1, 2,

kde ϕ1 (t) = 1 − 3t2 + 2t3 , ϕ2 (t) = 3t2 − 2t3 , ϕ3 (t) = t − 2t2 + t3 , ϕ4 (t) = −t2 + t3 . Graf je znázornˇen na obrázku 5.2.1. Pˇ r´ıklad 5.2.3.

(Rungeho pˇ r´ıklad, pokraˇ cov´ an´ı) Nakresl´ıme graf inter-

polaˇcn´ıho kubického splajnu pro funkci f a uzly xi z pˇr´ıkladu 5.1.4. a porovnáme ho s grafem interpolaˇcn´ıho polynomu.

- 105 -


Numerické metody

10 8 6

s1 4 2

s3 −2

−1

0

1

2

Obrázek 5.2.1: Graf lineárn´ıho (s1 ) a kubického interpolaˇcn´ıho (s3 ) splajnu. ˇ sen´ı: Reˇ

Na obrázku 5.2.2 vid´ıme, ˇze splajn s3 neosciluje a je proto mno-

hem lepˇs´ı aproximac´ı interpolované funkce f neˇz interpolaˇcn´ı polynom p10 , viz obrázek 5.1.2.b. 1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

−5

0

0

5

a

−5

0

5

b

Obrázek 5.2.2: a) Funkce f ; b) Kubický interpolaˇcn´ı splajn s3 .

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Co je to splajn? Jak se definuje a poˇc´ıtá splajn lineárn´ı a kubick´ y? Otázka 2. Jak se chovaj´ı pˇri interpolaci splajny v porovnán´ı s polynomy?

- 106 -


Numerické metody

´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Pro uzly x0 = −1, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 5 a funkˇcn´ı hodnoty f0 = −2, f1 = 1, f2 = 0, f3 = 2, f4 = −1 sestavte lineárn´ı interpolaˇcn´ı splajn. 2. Pro stejná data sestavte kubick´ y interpolaˇcn´ı splajn. V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1.

s1 (x) =

⎧ ⎪ −2ϕ1 (t) + ϕ2 (t), t = x + 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ϕ1 (t), t = x/2 ⎪ ⎪ ⎪ 2ϕ2 (t), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2ϕ (t) − 1ϕ (t), 1 2

pro x ∈ −1, 0, pro x ∈ 0, 2,

t=x−2

pro x ∈ 2, 3,

t = (x − 3)/2

pro x ∈ 3, 5,

kde ϕ1 (t) = 1 − t, ϕ2 (t) = t. 2. Krajn´ı parametry jsou m0 = 3, m4 = − 32 , ostatn´ı dostaneme ze soustavy ⎛

6 1 0

⎜ ⎜ ⎜ 1 6 2 ⎜ ⎝ 0 2 6 takˇze m1 =

s3 (x) =

97 , 62

m2 =

69 , 62

m3 =

35 31

⎞⎛

m1

⎞

⎛

21 2

⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ m ⎟ = ⎜ 21 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎠⎝ ⎠ ⎝ m3 9

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

a koneˇcnˇe

⎧ ⎪ −2ϕ1 (t) + ϕ2 (t) + 3ϕ3 (t) + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ϕ1 (t) + 97 ϕ (t) + 69 ϕ (t), 31 3 31 4

97 ϕ (t), 62 4

⎪ ⎪ ⎪ ϕ (t) + 35 3ϕ4 (t), 2ϕ2 (t) + 69 ⎪ 62 3 31 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2ϕ (t) − ϕ (t) + 70 ϕ (t) − 3ϕ (t), 1 2 4 31 3

t = x + 1 pro x ∈ −1, 0, t = x/2 pro x ∈ 0, 2, t = x − 2 pro x ∈ 2, 3, t = (x − 3)/2 pro x ∈ 3, 5,

kde ϕ1 (t) = 1 − 3t2 + 2t3 , ϕ2 (t) = 3t2 − 2t3 , ϕ3 (t) = t − 2t2 + t3 , ϕ4 (t) = −t2 + t3 .

- 107 -


5.3.

Numerické metody

Aproximace metodou nejmenˇ s´ıch ˇ ctverc˚ u

C´ıle V mnoha situac´ıch, v nichˇz je potˇreba danou funkci f nahradit funkc´ı jed” noduˇsˇs´ı”, je nevhodné nebo v˚ ubec nelze pouˇz´ıt interpolaci. Jsou-li napˇr´ıklad v uzlech zadány nepˇresné hodnoty, pˇrenáˇs´ı se tato nepˇresnost i na interpolant. Interpolace je nepouˇzitelná, jestliˇze je poˇzadován jist´ y charakter aproximuj´ıc´ı funkce a pˇritom ˇzádná funkce tohoto charakteru nen´ı interpolantem. V tˇechto pˇr´ıpadech je rozumné pouˇz´ıt metodu nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti ˇ sen´ı Lineárn´ı závislost a nezávislost. Urˇcen´ı minima funkce pomoc´ı derivace. Reˇ soustav lineárn´ıch rovnic. V´ yklad Zaˇcneme pˇr´ıkladem. Pˇ r´ıklad 5.3.1. Mˇejme dány uzly x0 = −2, x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2 a funkˇcn´ı hodnoty f0 = 10, f1 = 4, f2 = 6, f3 = 3. Najdˇete pˇr´ımku ϕ(x) = c1 + c2 x,

(5.3.1)

která je bl´ızko” pˇredepsan´ ym hodnotám. ” ˇ sen´ı: Reˇ

Nejdˇr´ıve se mus´ıme rozhodnout jak chápat slovo bl´ızko”. Uˇz jsme ” to vlastnˇe ˇrekli, kdyˇz jsme popisovali smysl pˇribliˇzných rovnost´ı v aproximaˇcn´ı

u ´ loze (5.0.2). Pˇr´ımku ϕ urˇc´ıme tak, aby minimalizovala souˇcet druhých mocnin ´ lohu na miodchylek 3i=0 (ϕ(xi )−fi )2 . Jestliˇze sem dosad´ıme (5.3.1), dostaneme u 3 nimalizaci funkce dvou promˇenných Ψ(c1 , c2 ) = i=0 (c1 + c2 xi − fi )2 . Minimum

- 108 -


Numerické metody c∗1 , c∗2 vyhovuje rovnic´ım

∂Ψ ∗ ∗ (c , c ) = 0. ∂c2 1 2

∂Ψ ∗ ∗ (c , c ) = 0, ∂c1 1 2

Po vyjádˇren´ı parciáln´ıch derivac´ı dostáváme 2

3

(c∗1 + c∗2 xi − fi ) = 0,

2

i=0

3

(c∗1 + c∗2 xi − fi )xi = 0,

i=0

coˇz je soustava lineárn´ıch rovnic ⎛

3

3

i=0

i=0

1 xi ⎜ ⎜ i=0 i=0 ⎜ 3 3 ⎜ ⎝ xi x2i

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

3

fi ⎟ ⎜ ⎟ c∗1 ⎜ i=0 ⎟⎝ ⎠=⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎠ c∗2 ⎝ fi xi

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ∗ ⎟ 4 0 c 23 ⎟ , tj. ⎝ ⎠⎝ 1 ⎠ = ⎝ ⎠. ⎟ ⎠ 0 10 c∗2 −12

i=0

Tato soustava má jediné ˇreˇsen´ı c∗1 =

23 , 4

c∗2 = − 65 , takˇze hledaná pˇr´ımka ϕ∗ = ϕ

je urˇcena pˇredpisem ϕ∗ (x) =

23 6 − x. 4 5

(5.3.2) 2

Jej´ı graf je znázornˇen na obrázku 5.3.1.

10 8 6 4 2 −2

−1

0

1

2

Obrázek 5.3.1: Aproximace metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u; pˇr´ımka (5.3.2) plnˇe; funkce (5.3.8) ˇcárkovanˇe.

- 109 -


Numerické metody

Postup z pˇr´ıkladu nyn´ı zobecn´ıme. Budeme pˇredpokládat, ˇze je dán systém funkc´ı ϕj = ϕj (x), j = 1, . . . , m a budeme uvaˇzovat vˇsechny funkce ve tvaru ϕ(x) = c1 ϕ1 (x) + . . . + cm ϕm (x) =

m

cj ϕj (x),

(5.3.3)

j=1

kde koeficienty c1 , . . . , cm jsou libovolná ˇc´ısla. Funkci ϕ∗ , pro niˇz plat´ı n

(ϕ∗ (xi ) − fi )2 ≤

i=0

n

(ϕ(xi ) − fi )2

∀ϕ

(5.3.4)

i=0

naz´ yváme aproximac´ı podle metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. Jej´ı koeficienty c∗1 , . . . , c∗m urˇc´ıme jako minimum funkce n m ( cj ϕj (xi ) − fi )2 , Ψ(c1 , . . . , cm ) =

(5.3.5)

i=0 j=1

které vyhovuje rovnic´ım ∂Ψ ∗ (c , . . . , c∗m ) = 0, ∂ck 1

k = 1, . . . , m.

(5.3.6)

Vyjádˇr´ıme-li parciáln´ı derivace n m ∂Ψ =2 ( cj ϕj (xi ) − fi )ϕk (xi ) ∂ck i=0 j=1

a dosad´ıme je do (5.3.6), dostaneme po jednoduché u ´ pravˇe soustavu lineárn´ıch rovnic

n m j=1

i=0

ϕj (xi )ϕk (xi )

c∗j

=

n

fi ϕk (xi ),

k = 1, . . . , m.

(5.3.7)

i=0

Soustava (5.3.7) se naz´ yvá soustava norm´ aln´ıch rovnic. Vˇ eta 5.3.1. Necht’ jsou dány vzájemnˇe r˚ uzné uzly xi a funkˇcn´ı hodnoty fi , i = 0, . . . , n. Necht’ je dán systém funkc´ı ϕj , j = 1, . . . , m, které jsou lineárnˇe nezávislé. Potom nuje (5.3.4) a jej´ı koeficienty c∗1 , . . . , c∗m jsou existuje jediná funkce ϕ∗ , která splˇ ˇreˇsen´ım soustavy normáln´ıch rovnic (5.3.7).

- 110 -


Numerické metody

D˚ ukaz: V bodˇe c∗1 , . . . , c∗m , kter´ y vyhovuje rovnic´ım (5.3.6), nab´ yvá funkce Ψ minima, jestliˇze matice druhých derivac´ı je symmetrická a pozitivnˇe definitn´ı (kladná). Druhé derivace jsou urˇceny vzorcem ∂2Ψ =2 ϕl (xi )ϕk (xi ), ∂ck ∂cl i=0 n

odkud je symetrie zˇrejmá na prvn´ı pohled (prohozen´ım index˚ u k a l se nic nezmˇen´ı). Necht’ d1 , . . . , dm jsou ˇc´ısla ne vˇsechny souˇcasnˇe nulová. Potom n " m m n #" # ∂2Ψ dk dl =2 dl ϕl (xi ) dk ϕk (xi ) = 2 ϕ(x ˜ i )2 > 0, ∂c k ∂cl i=0 l=1 i=0 k=1 l=1 k=1 m kde ϕ(x) ˜ = k=1 dk ϕk (x), takˇze matice druhých derivac´ı je pozitivnˇe definitn´ı. m m

Odtud také plyne, ˇze matice soustavy normáln´ıch rovnic je regulárn´ı, coˇz znamená, ˇze existuje jej´ı jediné ˇreˇsen´ı c∗1 , . . . , c∗m , které urˇcuje jedinou funkci ϕ∗ . 2 Pˇri aproximaci metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u se mus´ıme nejdˇr´ıve rozhodnout pro nˇejak´ y lineárnˇe nezávislý systém funkc´ı ϕj , j = 1, . . . , m. Poté staˇc´ı sestavit a vyˇreˇsit soustavu normáln´ıch rovnic (5.3.7). Pˇ r´ıklad 5.3.2.

Napiˇste normáln´ı soustavu lineárn´ıch rovnic odpov´ıdaj´ıc´ı

systému funkc´ı ϕ1 (x) = e−x ,

ϕ2 (x) = sin x.

Aproximujte data z pˇr´ıkladu 5.3.1. ˇ sen´ı: Obecnˇe má soustava normáln´ıch rovnic tvar Reˇ ⎞ ⎛ ⎛ n n n ⎛ ⎞ −2xi −xi e e sin x fi e−xi i ⎟ ∗ ⎜ ⎜ c ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎜ i=0 ⎜ i=0 i=0 =⎜ ⎟ ⎜ n n n ⎠ c∗ ⎝ ⎝ −xi 2 2 e sin xi sin xi fi sin xi i=0

i=0

i=0

Po dosazen´ı dostaneme ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ∗ ⎜ 62.1409 −8.5736 ⎟ ⎝ c1 ⎠ ⎜ 87.3770 ⎟ =⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ∗ c −8.5736 3.0698 −4.6821 2

- 111 -

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠


Numerické metody

a odtud vypoˇc´ıtáme c∗1 = 1.9452, c∗2 = 3.9076, tj. ϕ∗ (x) = 1.9452e−x + 3.9076 sin x.

(5.3.8)

Graf je znázornˇen na obrázku 5.3.1. Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Kdy je vhodné pouˇz´ıt metodu nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u? Otázka 2. Graficky znázornˇete smysl výrazu pro souˇcet druhých mocnin odchylek? Otázka 3. Co je to normáln´ı soustava lineárn´ıch rovnic a jak vznikne? Otázka 4. Co se stane, kdyˇz v (5.3.3) a (5.3.4) bude m = n + 1? ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Napiˇste soustavu normáln´ıch lineárn´ıch rovnic pro systém funkc´ı ϕ1 (x) = 1, ϕ2 (x) = x, ϕ3 (x) = x2 . 2. Data x0 = −1, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 5 a f0 = −2, f1 = 1, f2 = 0, u pomoc´ı systému funkc´ı f3 = 2, f4 = −1 aproximujte metodou nejmenˇc´ıch ˇctverc˚ z pˇredchoz´ı u ´ lohy. V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Normáln´ı soustava má tvar: ⎛ n ⎞ ⎞ ⎛ n n n 2 1 xi xi ⎟ ⎛ fi ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ i=0 ⎟ c∗ ⎟ ⎜ i=0 i=0 i=0 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n n n ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ n 2 3 ⎟⎜ ∗ ⎟ ⎜ ⎟. ⎜ x x x f x = ⎜ ⎟ i i i c i i ⎟⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ i=0 ⎟ ⎟ ⎜ i=0 i=0 i=0 ⎜ ⎟ c∗ ⎟ ⎜ n n n n 3 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ x2i x3i x4i fi x2i i=0

i=0

i=0

i=0

2. ϕ∗ (x) = −0.2835x2 + 1.2359x − 0.0130. Shrnut´ı lekce Ukázali jsme základn´ı postupy pro aproximaci funkc´ı (dat) pomoc´ı interpolace a metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u.

- 112 -

Numerické metody

6.

´ INTEGROVAN ´ Í A DERIVOVAN ´ Í 6. NUMERICKE

Numerick´ e integrov´ an´ı a derivov´ an´ı

Pr˚ uvodce studiem Pˇri ˇreˇsen´ı r˚ uzných u ´ loh je potˇreba nalézt hodnotu urˇcitého integrálu. Nˇekteré integrály lze vypoˇc´ıtat snadno pomoc´ı tabulek a klasických integraˇcn´ıch metod jako je per partes nebo substituce. Tak napˇr´ıklad integrály π 1 x e dx a cos x dx 0

0

ˇ maj´ı hodnotu e − 1 a 0. Casto vˇsak staˇc´ı malá zmˇena v integrované funkci a klasický v´ ypoˇcet se stane sloˇzit´ ym nebo dokonce nemoˇzným. Pokuste se vypoˇc´ıtat integrály

1

x2

e dx

a

0

π

cos x2 dx

0

a uvid´ıte jak daleko se vám podaˇr´ı doj´ıt! Klasické integraˇcn´ı metody nelze pouˇz´ıt v˚ ubec, jestliˇze integrovaná funkce je dána tabulkou (napˇr. to m˚ uˇze být v´ ysledek mˇeˇren´ı nebo pˇredchoz´ıho v´ ypoˇctu). V této kapitole se budeme zabývat metodami numerick´ ymi pro obecnˇe zadanou u ´ lohu: pˇredpokládáme, ˇze je dána spojitá funkce f na intervalu a, b a máme vypoˇc´ıtat hodnotu urˇcitého integrálu b f (x) dx. I=

(6.0.1)

a

Z geometrického pohledu pˇredstavuje ˇc´ıslo I velikost plochy obrazce, kter´ y je vymezen grafem funkce f . Numerické metody jsou navrhovány tak, ˇze poˇc´ıtaj´ı velikost plochy pˇribliˇzného obrazce pomoc´ı nˇekolika funkˇcn´ıch hodnot. Lze je tedy pouˇz´ıt pro jakoukoliv funkci f , dokonce i pro funkci danou tabulkou, a jejich pracnost je relativnˇe malá. Pˇri numerickém v´ ypoˇctu derivace je situace podobná.

- 113 -


6.1.

Numerické metody

Newton-Cotesovy vzorce

C´ıle Odvod´ıme Newton-Cotesovy vzorce a ukáˇzeme jejich pouˇzit´ı.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Interpolaˇcn´ı polynom. Interpolaˇcn´ı chyba.

V´ yklad Naˇs´ım c´ılem je navrhnout vzorce pro pˇribliˇzný v´ ypoˇcet integrálu (6.0.1). Ze základn´ıho kurzu integráln´ıho poˇctu v´ıme, ˇze snadno lze integrovat polynomy. Budeme proto postupovat tak, ˇze k funkci f sestav´ıme interpolaˇcn´ı polynom pn a ten integrujeme m´ısto f , tj. b b I= f (x) dx ≈ pn (x) dx. a

(6.1.1)

a

Pro jednoduchost uvaˇzujme na intervalu a, b ekvidistantn´ı uzly xi = a + iτ,

i = 0, 1, . . . , n,

kde τ = (b−a)/n. Interpolaˇcn´ı polynom k funkci f m˚ uˇzeme zapsat v Lagrangeovˇe tvaru (viz odstavec 5.1.1), tj. pn (x) =

n

f (xi )ϕi (x),

kde ϕi (x) =

i=0

n $ x − xj . xi − xj j=0 j =i

Dosazen´ım v´ yrazu pro pn do pravé strany pˇribliˇzné rovnosti (6.1.1) dostaneme Newton-Cotesovy vzorce:

b

f (x) dx ≈ a

kde

n

wi f (xi ),

(6.1.2)

i=0

b

wi =

ϕi (x) dx,

i = 0, 1, . . . , n

a

- 114 -

(6.1.3)


Numerické metody

jsou integraˇcn´ı v´ ahy. Abychom lépe ilustrovali tento postup, odvod´ıme základn´ı integraˇcn´ı pravidla. a) Obd´ eln´ıkov´ e pravidlo. V tomto pˇr´ıpadˇe poloˇz´ıme n = 0, x0 =

a+b 2

a za

interpolaˇcn´ı polynom vezmeme konstantn´ı funkci p0 (x) = f ( a+b ). Proto 2

b a+b f (x) dx ≈ (b − a)f (6.1.4) = IObd . 2 a b) Lichobˇ eˇ zn´ıkov´ e pravidlo dostaneme pro n = 1 a x0 = a, x1 = b. Interpolaˇcn´ı polynom je pˇr´ımka p1 (x) = Po jej´ı integraci je

x−a x−b f (a) + f (b). a−b b−a

b

f (x) dx ≈ a

b−a [f (a) + f (b)] = ILich . 2

c) Simpsonovo pravidlo vznikne pro n = 2 a x0 = a, x1 =

(6.1.5) a+b , 2

x2 = b, kdy

je interpolaˇcn´ı polynom kvadratická funkce. Vypoˇctˇeme integraˇcn´ı váhy w0 , w1 a w2 . Dostáváme

b

w0 =

ϕ0 (x) dx =

a

a 1

= −1

s pouˇzit´ım substituce x = 1 (b 6

b

(x − x1 )(x − x2 ) dx (x0 − x1 )(x0 − x2 )

t(t − 1) b − a b−a dt = 2 2 6

b−a t + a+b . 2 2

Podobnˇe vypoˇc´ıtáme w1 = 46 (b − a) a w2 =

− a), takˇze

b a+b b−a [f (a) + 4f f (x) dx ≈ + f (b)] = ISimps . 6 2 a


(6.1.6)

Pomoc´ı Newton-Cotesov´ ych vzorc˚ u (6.1.4), (6.1.5) a (6.1.6)

vypoˇctˇetˇe pˇribliˇznou hodnotu integrálu 1 ex dx. I= −1

- 115 -


Numerické metody

ˇ sen´ı: Máme a = −1, b = 1 a f (x) = ex . Podle obdéln´ıkového pravidla (6.1.4) Reˇ je IObd = 2e0 = 2. Lichobˇeˇzn´ıkové pravidlo (6.1.5) dává 2 ILich = [e−1 + e1 ] = 3.086161 2 a koneˇcnˇe pomoc´ı Simpsonova pravidla (6.1.6) vypoˇcteme 2 ISimps = [e−1 + 4e0 + e1 ] = 2.362054. 6 Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze pˇresná hodnota integrálu je I = e1 − e−1 = 2.350402. Pozn´ amka Nejpˇresnˇejˇs´ı hodnoty jsme dos´ ahli pomoc´ı Simpsonova pravidla. To n´ as m˚ uˇze vést k domnˇence, ˇze jeˇstˇe pˇresnˇejˇs´ıch hodnot dos´ ahneme, pouˇzijeme-li NewtonCotesovy vzorce odvozené z interpolaˇcn´ıch polynom˚ u vyˇsˇs´ıch stupn˚ u. Obecnˇe to vˇsak nen´ı pravda. V Rungeho pˇr´ıkladu (pˇr´ıklad 5.1.4.) jsme vidˇeli,ˇze interpolaˇcn´ı polynom vysokého stupnˇe m˚ uˇze být velice ˇspatnou aproximac´ı. Newton-Cotesovy vzorce d´ avaj´ı v takovém pˇr´ıpadˇe nesmyslné výsledky. Následuj´ıc´ı vˇeta ukazuje vyjádˇren´ı integraˇcn´ı chyby. Vˇ eta 6.1.1. (i) Necht’ funkce f má na intervalu a, b spojitou druhou derivaci. Pak plat´ı: I − IObd I − ILich

f (ξ) (b − a)3 , = 24 f (ξ) (b − a)3 . = − 12

(6.1.7)

(ii) Necht’ funkce f má na intervalu a, b spojitou ˇctvrtou derivaci. Pak plat´ı: I − ISimps = −

f (4) (ξ) (b − a)3 . 90

Ve vˇsech pˇr´ıpadech je ξ bl´ıˇze neurˇcený bod z intervalu (a, b).

- 116 -

Numerické metody


D˚ ukaz: D˚ ukaz provedeme pouze pro lichobˇeˇzn´ıkové pravidlo. Vyjádˇren´ı interpolaˇcn´ı chyby z vˇety 5.1.2. má pro interpolaˇcn´ı polynom p1 s uzly x0 = a a x1 = b tvar:

˜ f (ξ) (x − a)(x − b). 2

f (x) − p1 (x) =

Integrac´ı (a uˇzit´ım vˇety o stˇredn´ı hodnotˇe integráln´ıho poˇctu) dostaneme f (ξ) b I − ILich = (x − a)(x − b) dx 2 a f (ξ) b−a f (ξ) = t(t + a − b) dx = − (b − a)3 . 2 12 0 Pouˇzili jsme substituci t = x − a.

2

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak vzniknou Newton-Cotesovy vzorce? Otázka 2. Jaké jsou základn´ı pravidla pro numerick´ y v´ ypoˇcet integrálu? Otázka 3. Znázornˇete graficky smysl obdéln´ıkového a lichobˇeˇzn´ıkového pravidla. Otázka 4. Proˇc nen´ı rozumné pouˇz´ıvat Newton-Cotesovy vzorce odvozené z interpolaˇcn´ıch polynom˚ u vysokého stupnˇe?

´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Pomoc´ı obdéln´ıkového, lichobˇeˇzn´ıkového a Simpsonova pravidla vypoˇctˇete pˇribliˇzné hodnoty integrál˚ u 1 2 a) ex dx;

π

b)

0

cos x2 dx.

0

V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. a) IObd = 1.284025, ILich = 1.859141, ISimps = 1.475731; b) IObd = 1.961189, ILich = −0.675916, ISimps = 1.082154.

- 117 -


6.2.

Numerické metody

Sloˇ zen´ e vzorce

C´ıle V pˇredchoz´ım odstavci jsme odvodili vzorce pro pˇribliˇzný v´ ypoˇcet interálu integrac´ı interpolaˇcn´ıho polynomu. Zároveˇ n jsme upozornili na to, ˇze vzorce odvozené z polynom˚ u vysokého stupnˇe mohou dávat nesmyslné v´ ysledky. Pro pˇresnˇejˇs´ı v´ ypoˇcty integrál˚ u se proto pouˇz´ıvaj´ı sloˇzené vzorce, které dostaneme slepen´ım” ” základn´ıch integraˇcn´ı pravidel.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Obdéln´ıkové, lichobˇeˇzn´ıkové a Simpsonovo pravidlo. Chyby tˇechto pravidel.

V´ yklad Interval a, b rozdˇel´ıme na m stejnˇe dlouh´ ych d´ılk˚ u s krokem h = (b − a)/m, m ≥ 2, tj. pouˇzijeme uzly xi = a + ih = a +

i (b − a), m

i = 0, 1, . . . m.

Integrál rozloˇz´ıme následovnˇe:

b

I=

f (x) dx = a

m i=1

xi

f (x) dx.

(6.2.1)

xi−1

Jestliˇze kaˇzdý d´ılˇc´ı integrál nahrad´ıme pomoc´ı obdéln´ıkového nebo lichobˇeˇzn´ıkového pravidla, dostaneme odpov´ıdaj´ıc´ı pravidlo sloˇzené. a) Sloˇ zen´ e obd´ eln´ıkov´ e pravidlo jsme jiˇz odvodili v odstavci 1.1. Má tvar

! x1 + x2 xm−1 + xm x0 + x1 +f + ...+ f = h f 2 2 2

m xi−1 + xi = h . (6.2.2) f 2 i=1

ISO

- 118 -


Numerické metody

b) Sloˇ zen´ e lichobˇ eˇ zn´ıkov´ e pravidlo. V (6.2.1) provedeme náhradu podle vzorce (6.1.5), tj.

xi

f (x) dx ≈

xi−1

h [f (xi−1 ) + f (xi )], 2

a dostaneme ISL

1 1 = h f (x0 ) + f (x1 ) + . . . + f (xm−1 ) + f (xm ) 2 2 % & m−1 1 h f (x0 ) + 2 f (xi ) + f (xm ) . = 2 i=1

!

(6.2.3)

c) Sloˇ zen´ e Simpsonovo pravidlo. V tomto pˇr´ıpadˇe rozdˇel´ıme interval a, b na 2m stejnˇe dlouh´ ych d´ılk˚ u, m ≥ 2, s krokem h = (b − a)/(2m), takˇze budeme m´ıt lich´ y poˇcet uzl˚ u xi = a + ih, i = 0, 1, . . . 2m. Simpsonovo pravidlo (6.1.6) pouˇzijeme na kaˇzdém intervalu x2i−2 , x2i , i = 1, . . . , m, coˇz dává b m x2i m 2h I= f (x) dx = f (x) dx ≈ [f (x2i−2 ) + 4f (x2i−1 ) + f (x2i )]. 6 a i=1 x2i−2 i=1 Výraz na pravé stranˇe pˇrep´ıˇseme do pˇrehlednˇejˇs´ıho tvaru: h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + 2f (x4 ) + . . . + f (x2m )] 3 % & m m−1 h = f (x0 ) + 4 f (x2i−1 ) + 2 f (x2i ) + f (x2m ) . (6.2.4) 3 i=1 i=1

ISS =

Pˇ r´ıklad 6.2.1. Pomoc´ı pravidel (6.2.2), (6.2.3) a (6.2.4) vypoˇctˇetˇe pˇribliˇznou hodnotu integrálu

1

I=

ex dx.

−1

Interval −1, 1 pˇritom rozdˇelte na ˇctyˇri ˇcásti. ˇ sen´ı: Reˇ

(a) Poloˇz´ıme m = 4, takˇze krok bude h = 0.5 a dostaneme uzly

x0 = −1, x1 = −0.5, x2 = 0, x3 = 0.5 a x4 = 1. Sloˇzené obdéln´ıkového pravidlo (6.2.2) má tvar . ISO = 0.5[e−0.75 + e−0.25 + e0.25 + e0.75 ] = 2.326096.

- 119 -


Numerické metody

(b) Sloˇzené lichobˇeˇzn´ıkového pravidlo (6.2.3) vypoˇc´ıtáme pro stejné uzly, tj. ISL =

1 . · 0.5[e−1 + 2e−0.5 + 2e0 + 2e0.5 + e1 ] = 2.399166. 2

(c) U sloˇzeného Simpsonova pravidla (6.2.4) vezmeme m = 2, coˇz znamená, ˇze pouˇzijeme stejné dˇelen´ı intevalu jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıpadech (protoˇze h = 2/(2m) = 0.5). Dostaneme ISS =

0.5 −1 . [e + 4e−0.5 + 2e0 + 4e0.5 + e1 ] = 2.351195. 3

V následuj´ıc´ı vˇetˇe popisujeme ˇra´d jednotliv´ ych integraˇcn´ıch pravidel. Vˇ eta 6.2.1. (i) Necht’ má funkce f na intervalu a, b spojitou druhou derivaci. Sloˇzené obdéln´ıkové a sloˇzené lichobˇeˇzn´ıkové pravidlo jsou druhého ˇra´du, tj. plat´ı: |I − ISO | ≤ C1 h2 , |I − ISL | ≤ C2 h2 . (ii) Necht’ funkce f má na intervalu a, b spojitou ˇctvrtou derivaci. Sloˇzené Simpsonovo pravidlo je ˇctvrtého ˇra´du, tj. plat´ı: |I − ISS | ≤ C3 h4 . Konstanty C1 , C2 a C3 jsou bl´ıˇze neurˇcená nezáporná ˇc´ısla, která nezávis´ı na kroku h. D˚ ukaz: Omez´ıme se na lichobˇeˇzn´ıkové pravidlo. Staˇc´ı si uvˇedomit,ˇze jednoduché lichobˇeˇzn´ıkové pravidlo je ve sloˇzeném lichobˇeˇzn´ıkovém pravidle obsaˇzeno mkrát. Jestliˇze tedy chceme vyjádˇrit chybu, seˇcteme m-krát v´ yraz pro chybu jednoduchého pravidla (6.1.7). Dostaneme |I − ISL | = |

m i=1

f (ξi) f (ξi) 3 M 2 M(b − a) 2 h |≤ h3 | ≤ h h, − | h= 12 12 12 i=1 12 i=1 m

m

kde jsme pouˇzili M = maxζ∈a,b |f (ζ)|. Vid´ıme, ˇze C2 = M(b − a)/12.

- 120 -

2


Numerické metody

Pˇ r´ıklad 6.2.2. Pomoc´ı sloˇzených integraˇcn´ıch pravidel (6.2.2), (6.2.3) a (6.2.4) vypoˇctˇete pˇribliˇzné hodnoty integrálu

1

I=

ex dx

−1

s krokem h = 0.5, h = 0.25, h = 0.125 a h = 0.0625 a porovnejte je s pˇresnou hodnotou. ˇ sen´ı: Reˇ

Pˇresná hodnota je I = 2.350402387. Pˇribliˇzné hodnoty a jejich po-

rovnán´ı s pˇresnou hodnotou uvád´ıme v tabulce 6.2.1. Odtud je vidˇet, ˇze sloˇzené obdéln´ıkové a sloˇzené lichobˇeˇzn´ıkové pravidlo se chovaj´ı podobnˇe, zat´ımco sloˇzené Simpsonovo pravidlo dává v´ ysledky, které jsou pˇresnˇejˇs´ı o nˇekolik ˇra´d˚ u. Tabulka 6.2.1: Sloˇzené integraˇcn´ı vzorce. h

ISO

|I − ISO |

ISL

|I − ISL |

ISS

|I − ISS |

0.5 0.25 0.125 0.0625

2.326096 2.344293 2.348873 2.350020

0.024306 0.006110 0.001530 0.000383

2.399166 2.362631 2.353462 2.351167

0.048764 0.012229 0.003060 0.000765

2.351195 2.350453 2.350406 2.350402

0.000792 0.000051 0.000003 0.000000

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak se odvozuj´ı sloˇzené integraˇcn´ı vzorce? Otázka 2. Jakého ˇra´du jsou základn´ı sloˇzená integraˇcn´ı pravidla? ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1.

Pomoc´ı sloˇzeného obdéln´ıkového, lichobˇeˇzn´ıkového a Simpsonova pravidla

vypoˇctˇete pˇribliˇzné hodnotu integrál˚ u 1 2 a) ex dx pro h = 0.1; b) 0

π

cos x2 dx pro h = π/10.

0

V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. a) ISO = 1.460393, ISL = 1.467175, ISS = 1.462681; b) ISO = 0.553752, ISL = 0.588876, ISS = 0.566030.

- 121 -


6.3.

Numerické metody

V´ ypoˇ cet integr´ alu se zadanou pˇ resnost´ı

C´ıle U integraˇcn´ıch pravidel z pˇredchoz´ıho odstavce nen´ı jasné jak dosáhnout zadané pˇresnosti. Pro tyto u ´ˇcely pouˇzijeme dvojný pˇrepoˇcet, kter´ y lze kombinovat s extrapolaˇcn´ımi vzorci.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Sloˇzená integraˇcn´ı pravidla a jejich ˇra´d. Taylor˚ uv rozvoj.

V´ yklad Ve vˇetˇe 6.2.1. jsme uvedli vzorce pro odhad chyby sloˇzených integraˇcn´ıch pravidel. Jejich pouˇzit´ım lze urˇcit krok h, kter´ y zajist´ı, aby chyba vypoˇctené hodnoty integrálu byla menˇs´ı neˇz je zadaná tolerance. Tento postup má vˇsak dva háˇcky. Pˇredevˇs´ım (jak je patrné z d˚ ukazu zm´ınˇené vˇety) v´ yraz pro odhad chyby závis´ı na derivac´ıch integrované funkce, které se odhaduj´ı pracnˇe. Druh´ y problém spoˇc´ıvá v tom, ˇze výsledné odhady jsou pesimistické, takˇze integrály jsou poˇc´ıtány mnohem pˇresnˇeji neˇz je poˇzadováno, coˇz vyˇzaduje zbyteˇcnˇe velk´ y objem v´ ypoˇct˚ u. Obvykle se proto postupuje tak, ˇze hledaný integrál vyˇcislujeme opakovanˇe, stále pˇresnˇeji a ze shody v´ ysledk˚ u se usuzuje, zda jiˇz byla dosaˇzena poˇzadovaná pˇresnost. Pro tyto u ´ˇcely se osvˇedˇcilo postupné zdvojnásobován´ı poˇctu d´ılk˚ u, na nˇeˇz rozdˇelujeme integraˇcn´ı interval a, b. Hovoˇr´ıme pak o dvojném pˇrepoˇctu. Celý postup zap´ıˇseme v podobˇe algoritmu, kde I(h) oznaˇcuje pˇribliˇznou hodnotu integrálu vypoˇctenou s krokem h pomoc´ı nˇekterého sloˇzeného integraˇcn´ıho pravidla. Na zaˇcátku pˇredpokládáme, ˇze integraˇcn´ı interval a, b se rozdˇel´ı na m u ´ sek˚ u. Symbolem oznaˇcujeme zadanou pˇresnost.

- 122 -


Numerické metody

Algoritmus (Dvojn´ y pˇ repoˇ cet) Vstup: f , a, b, m, . Vypoˇcti h := (b − a)/m a I(h). Opakuj: poloˇz h := h/2, vypoˇcti I(h), dokud |I(2h) − I(h)| > . Výstup: I(h).

Pˇ r´ıklad 6.3.1. Pomoc´ı dvojného pˇrepoˇctu vypoˇctˇete pˇribliˇznou hodnotu integrálu

1

I=

ex dx

−1

s pˇresnost´ı = 0.0001. Pouˇzijte sloˇzené lichobˇeˇzn´ıkové pravidlo a zaˇcnˇete s rozdˇelen´ım integraˇcn´ıho intervalu na m = 4 d´ılk˚ u. ˇ sen´ı: V´ Reˇ ypoˇcet je zaznamenán v tabulce 6.3.1. Jako v´ ysledek dostáváme I = 2.3504 ± 0.0001.

2 Tabulka 6.3.1: Dvojn´ y pˇrepoˇcet. m

h

I(h)

|I(2h) − I(h)|

4 8 16 32 64 128 256

0.5000000 0.2500000 0.1250000 0.0625000 0.0312500 0.0156250 0.0078125

2.3991662 2.3626313 2.3534620 2.3511674 2.3505936 2.3504502 2.3504143

— 0.0365349 0.0091693 0.0022945 0.0005737 0.0001434 0.0000358

V dalˇs´ım ukáˇzeme efektivnˇejˇs´ı variantu dvojného pˇrepoˇctu s extrapolaˇcn´ımi vzorci, které nejdˇr´ıve odvod´ıme. Na hodnotu I(h) m˚ uˇzeme pohl´ıˇzet jako na funkci promˇenné h, takˇze pro ni m˚ uˇzeme psát Taylor˚ uv rozvoj. Odhady pro chybu podle vˇety 6.2.1. ukazuj´ı, ˇze se v tomto rozvoji budou vyskytovat mocniny h

- 123 -


Numerické metody

odpov´ıdaj´ıc´ı ˇra´du pˇr´ısluˇsného integraˇcn´ıho pravidla a vyˇsˇs´ı, tj. I(h) = I + Chp + O(hr ),

(6.3.1)

kde p je ˇra´d a r > p. Jestliˇze vzorec (6.3.1) nap´ıˇseme pro 2h dostaneme I(2h) = I + 2p Chp + O(hr ),

(6.3.2)

protoˇze O((2h)r ) = O(hr ). Vylouˇc´ıme-li z rovnost´ı (6.3.1) a (6.3.2) v´ yraz Chp dostáváme I = I(h) +

I(h) − I(2h) + O(hr ). 2p − 1

(6.3.3)

Odtud vid´ıme následuj´ıc´ı: 1) Veliˇcina I1 (h) = I(h) +

I(h) − I(2h) 2p − 1

(6.3.4)

je lepˇs´ı aproximac´ı I neˇz I(h) (je vyˇsˇs´ıho ˇra´du r). 2) V´ yraz E(h) =

I(h) − I(2h) 2p − 1

(6.3.5)

je aproximace chyby pˇribliˇzné hodnoty integrálu I(h), kterou m˚ uˇzeme vzhledem k bodu 1) pouˇz´ıt také pro odhad chyby aproximace I1 (h). Postup pro zvyˇsován´ı pˇresnosti v´ ysledk˚ u z´ıskan´ ych numerickou metodou podle vzorce (6.3.3) se naz´ yvá Richardsonova extrapolace. Pomoc´ı extrapolaˇcn´ıch vzorc˚ u (6.3.3) a (6.3.4) uprav´ıme algoritmus dvojného pˇrepoˇctu. Algoritmus (Dvojn´ y pˇ repoˇ cet s extrapolac´ı) Vstup: f , a, b, m, . Vypoˇcti h := (b − a)/m a I(h). Opakuj: poloˇz h := h/2, vypoˇcti I(h), dokud |E(h)| > . Výstup: I1 (h).

- 124 -


Numerické metody

Pozn´ amka V algoritmu potˇrebujeme zn´ at ˇra´d p pouˇz´ıvaného integraˇcn´ıho vzorce. Podle vˇety 6.2.1. je p = 2 pro sloˇzené obdéln´ıkové a lichobˇeˇzn´ıkové pravidlo a p = 4 pro sloˇzené Simpsonovo pravidlo. Pˇ r´ıklad 6.3.2. Pomoc´ı dvojného pˇrepoˇctu s extrapolac´ı vypoˇctˇete pˇribliˇznou hodnotu integrálu

1

I=

ex dx

−1 −4

s pˇresnost´ı = 10 . Pouˇzijete sloˇzené lichobˇeˇzn´ıkové pravidlo a zaˇcnˇete pro m = 4. ˇ sen´ı: Protoˇze p = 2, budou m´ıt extrapolaˇcn´ı vzorce tvar Reˇ I1 (h) = I(h) +

I(h) − I(2h) 3

a E(h) =

I(h) − I(2h) . 3

Pr˚ ubˇeh v´ ypoˇctu je zaznamenán v tabulce 6.3.2. Tabulka 6.3.2: Dvojn´ y pˇrepoˇcet s extrapolac´ı, lichobˇeˇzn´ıkové pravidlo. m

h

I(h)

|E(h)|

4 8 16 32 64 128

0.5000000 0.2500000 0.1250000 0.0625000 0.0312500 0.0156250

2.3991662 2.3626313 2.3534620 2.3511674 2.3505936 2.3504502

— 0.0121783 0.0030564 0.0007649 0.0001913 0.0000478

Z posledn´ıch dvou hodnot ve sloupci I(h) vypoˇc´ıtáme zpˇresnˇenou aproximaci I1 (h) = 2.3504502 +

2.3504502 − 2.3505936 = 2.3504024. 3

Jako v´ ysledek dostáváme I = 2.3504024 ± 0.0001. Porovnán´ım s pˇresnou hodnotou integrálu I = 2.350402387... vid´ıme, ˇze dosaˇzená pˇresnost je velmi vysoká. Pˇ r´ıklad 6.3.3. V pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu pouˇzijte sloˇzené Simpsonovo pravidlo.

- 125 -


Numerické metody

ˇ sen´ı: Pouˇzijeme extrapolaˇcn´ı vzorce Reˇ I1 (h) = I(h) +

I(h) − I(2h) 15

a E(h) =

I(h) − I(2h) . 15

Pr˚ ubˇeh v´ ypoˇctu je zaznamenán v tabulce 6.3.3. Tabulka 6.3.3: Dvojn´ y pˇrepoˇcet s extrapolac´ı, Simpsonovo pravidlo. m 4 8

h

|E(h)|

I(h)

0.5000000 2.3511948 — 0.2500000 2.3504530 0.000049

Pomoc´ı extrapolace vypoˇc´ıtáme zpˇresnˇenou aproximaci I1 (h) = 2.3504530 +

2.3504530 − 2.3511948 = 2.350403. 15

Porovnán´ım s v´ ypoˇctem v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu vid´ıme, ˇze poˇzadované pˇresnosti jsme dosáhli mnohem dˇr´ıve. Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Vysvˇetlete princip dvojného pˇrepoˇctu. Otázka 2. Jak vzniknou extrapolaˇcn´ı vzorce a jakou informaci poskytuj´ı?

´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Pomoc´ı dvojného pˇrepoˇctu vypoˇctˇete hodnoty integrál˚ u 1 π 2 a) ex dx; b) cos x2 dx 0

0

s pˇresnost´ı = 0.0001. Pouˇzijte sloˇzené lichobˇeˇzn´ıkové pravidlo. 2. V pˇredchoz´ı u ´ loze pouˇzijte sloˇzené Simpsonovo pravidlo a extrapolaci. V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Poˇzadovanou pˇresnost dosáhneme: a) pro m = 128, kdy I = 1.462679 ± 10−4 ; b) pro m = 512, kdy I = 0.565702 ± 10−4. 2. Poˇzadovanou pˇresnost dosáhneme: a) pro m = 8, kdy I = 1.462658 ± 10−4 ; b) pro m = 32, kdy I = 0.565689 ± 10−4 .

- 126 -

Numerické metody

6.4.


Numerick´ e derivov´ an´ı

C´ıle ych Ukáˇzeme jak pˇribliˇznˇe vypoˇc´ıtat hodnoty derivac´ı f (x) a f (x) ze znám´ funkˇcn´ıch hodnot f (x − h), f (x) a f (x + h).

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Newton˚ uv tvar interpolaˇcn´ıho polynomu. Taylor˚ uv rozvoj.

V´ yklad Budeme postupovat podobnˇe jako pˇri odvozen´ı Newton-Cotesov´ ych vzorc˚ u v odstavci 6.1. K funkci f sestav´ıme interpolaˇcn´ı polynom pn a ten pak derivujeme m´ısto f . Pouˇzijeme pˇritom Newton˚ uv tvar interpolaˇcn´ıho polynomu (5.1.6). 1) Pro uzly x0 = x a x1 = x + h sestav´ıme lineárn´ı interpolaˇcn´ı polynom a vyjádˇr´ıme jeho prvn´ı derivaci: p1 (t) = f (x) + f [x + h, x](t − x)

⇒

p1 (t) = f [x + h, x].

Z definice pomˇern´ ych diferenc´ı dostaneme p1 (x) =

f (x + h) − f (x) ≈ f (x). h

(6.4.1)

y interpolaˇcn´ı 2) Pro uzly x0 = x−h, x1 = x a x2 = x+h sestav´ıme kvadratick´ polynom: p2 (t) = f (x − h) + f [x, x − h](t − x + h) + f [x + h, x, x − h](t − x + h)(t − x). Prvn´ı a druhá derivace maj´ı tvar p2 (t) = f [x, x − h] + f [x + h, x, x − h](2t − 2x + h), p2 (t) = 2f [x + h, x, x − h].

- 127 -


Numerické metody

Dosazen´ım t = x a u ´ pravou dostáváme p2 (x) = =

f (x) − f (x − h) f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) + h h 2h2 f (x + h) − f (x − h) ≈ f (x) 2h

(6.4.2)

a p2 (x) =

f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) ≈ f (x). 2 h

(6.4.3)

Pˇ r´ıklad 6.4.1. Vypoˇctˇete pˇribliˇzné hodnoty prvn´ı a druhé derivace pro funkci f (x) = sin x v bodˇe x = 1 s krokem h = 0.01 pomoc´ı vzorc˚ u (6.4.1), (6.4.2) a (6.4.3). Porovnejte je s pˇresnými hodnotami. ˇ sen´ı: Reˇ

Budeme potˇrebovat funkˇcn´ı hodnoty sin 1 = 0.841471, sin 1.01 =

0.846832 a sin 0.99 = 0.836026. Podle vzorec (6.4.1), resp. (6.4.2) dostaneme f (1) ≈ p1 (1) =

0.846832 − 0.841471 = 0.536100, 0.01

f (1) ≈ p2 (1) =

0.846832 − 0.836026 = 0.540300. 2 · 0.01

resp.

Pˇresná hodnota je f (1) = cos 1 = 0.540302, takˇze druhá pˇribliˇzná hodnota je podstatnˇe pˇresnˇejˇs´ı. Podle vzorce (6.4.3) vypoˇc´ıtáme druhou derivaci f (1) ≈ p2 (1) =

0.846832 − 2 · 0.841471 + 0.836026 = −0.840000. 0.012

Nyn´ı je pˇresná hodnota f (1) = − sin 1 = −0.841471. Následuj´ıc´ı vˇeta ukazuje jak´ y je ˇra´d jednotliv´ ych vzorc˚ u.

- 128 -

Numerické metody


Vˇ eta 6.4.1. Necht’ je funkce f dostateˇcnˇe hladká (má v okol´ı bodu x spojitou druhou, tˇret´ı, resp. ˇctvrtou derivaci). Pak plat´ı:

f (ξ) , 2 f (3) (ξ) , p2 (x) − f (x) = h2 3 f (4) (ξ) p2 (x) − f (x) = h2 . 12 p1 (x) − f (x) = h

(6.4.4)

Ve vˇsech pˇr´ıpadech je ξ bl´ıˇze neurˇcený bod z okol´ı x. D˚ ukaz: Nejjednoduˇsˇs´ı zp˚ usob jak z´ıskat tato tvrzen´ı je pouˇz´ıt Taylor˚ uv rozvoj. Napˇr´ıklad pro odvozen´ı (6.4.4) staˇc´ı vyjádˇrit prvn´ı derivaci z

2f

f (x + h) = f (x) + hf (x) + h

(ξ) . 2 2

Výpoˇcet pˇribliˇzných hodnot derivac´ı mohou podstatnˇe ovlivnit zaokrouhlovac´ı chyby. Jmenovatele vzorc˚ u totiˇz obsahuj´ı parametr h, kter´ y mus´ı b´ yt mal´ y, abychom dostali dostateˇcnˇe pˇresnou aproximaci derivace. Souˇcasnˇe ovˇsem malá hodnota jmenovatele zlomku zvˇetˇsuje zaokrouhlovac´ı chyby v ˇcitateli. Nejvˇetˇs´ı dosaˇzitelná pˇresnost proto mus´ı b´ yt jist´ ym kompromisem mezi chybou aproximace a chybou zaokrouhlen´ı. Na pˇr´ıkladu vzorce (6.4.1) si ukáˇzeme anal´ yzu tohoto problému. y vznikne jako souˇcet odOznaˇcme Ecelk (h) horn´ı odhad celkové chyby, kter´ hadu chyby aproximace e(h) a chyby zaokrouhlen´ı z(h), tj. Ecelk (h) = e(h) + z(h). Podle (6.4.4) je e(h) = Ch. Dále budeme pˇredpokládat, ˇze pˇri v´ ypoˇctu f (x) dostaneme vlivem zaokrouhlen´ı poruˇsenou hodnotu f ∗ (x), pˇriˇcemˇz velikost poruchy je nejvýˇse κ, tj. |f ∗ (x) − f (x)| ≤ κ. Pro vzorec (6.4.1) dostáváme následuj´ıc´ı odhad:

- 129 -


Numerické metody

f (x + h) − f (x) f ∗ (x + h) − f ∗ (x)

≤

−

h h ≤

1 2κ (|f ∗(x) − f (x)| + |f ∗ (x + h) − f (x + h)|) ≤ = z(h). h h

Odhad celkové chyby má proto tvar Ecelk (h) = Ch+ 2κ , viz obrázek 6.4.1. Funkce h Ecelk (h) má jediné minimum v bodˇe ' hopt =

2κ C

(6.4.5)

a odpov´ıdaj´ıc´ı hodnota Ecelk (hopt ) pˇredstavuje nejmenˇs´ı horn´ı odhad celkové chyby. Pˇri v´ ypoˇctu derivace podle (6.4.1) tedy dojde pro h menˇs´ı neˇz hopt paradoxnˇe ke ztrátˇe pˇresnosti.

Ecelk (h) e(h)

z(h) hopt

h

Obrázek 6.4.1: Odhad celkové chyby Ecelk (h).

Pˇ r´ıklad 6.4.2. Vypoˇctˇete pˇribliˇznou hodnotu prvn´ı derivace funkce f (x) = sin x v bodˇe x = 1 s krokem h = 0.01 a h = 0.001 pomoc´ı vzorce (6.4.1). Zaokrouhlujte pˇritom na ˇctyˇri desetinná m´ısta. V´ ysledky porovnejte s optimáln´ım krokem hopt .

- 130 -


Numerické metody ˇ sen´ı: Reˇ

V naˇsem pˇr´ıpadˇe je κ = 5 · 10−5 a

f (ξ) − sin ξ

=

2 2 ≤ 0.5 = C.

Dosazen´ım do vzorce (6.4.5) vypoˇc´ıtáme hopt = 0.014142, takˇze výsledek pro h = 0.01 by mˇel být pˇresnˇejˇs´ı. Pˇribliˇzné derivace maj´ı hodnotu: f (1) ≈

sin(1.01) − sin(1) 0.01

f (1) ≈

sin(1.001) − sin(1) . 0.8420 − 0.8415 = = 0.50. 0.001 0.001

. 0.8468 − 0.8415 = 0.53, = 0.01

Jejich porovnán´ı s hodnotou f (1) = cos 1 = 0.540302 potvrzuje pˇredchoz´ı závˇer.

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak se odvozuj´ı vzorce pro pˇribliˇzný v´ ypoˇcet derivace? Otázka 2. Znázornˇete graficky smysl vzorc˚ u pro v´ ypoˇcet prvn´ı derivace. Otázka 3. Jak ovlivˇ nuj´ı v´ ypoˇcet derivac´ı zaokrouhlovac´ı chyby? Otázka 4. Odvod’te podrobnˇe vztah (6.4.5). ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1.

Vypoˇctˇete pˇribliˇznˇe prvn´ı a druhou derivaci funkce f (x) = cos x v bodˇe

x = 1.5 s krokem h = 0.01. V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. f (1.5) ≈ −0.997832 podle vzorce (6.4.1); f (1.5) ≈ −0.997478 podle vzorce (6.4.2); f (1.5) ≈ −0.070737 podle vzorce (6.4.3). Shrnut´ı lekce Ukázali jsme pouˇzit´ı základn´ıch integraˇcn´ıch pravidel a vzorc˚ u numerického derivován´ı. Vidˇeli jsme, ˇze numerické v´ ypoˇcty integrál˚ u jsou stabiln´ı vzhledem k zaokrouhlovac´ım chybám. Zat´ımco pˇribliˇzné v´ ypoˇcty derivac´ı jsou na zaokrouhlovac´ı chyby pomˇernˇe citlivé.

- 131 -

ˇ ATE ´ CN ˇ Í ULOHY ´ 7. ODR – POC

7.

Numerické metody

ODR – poˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ lohy

Pr˚ uvodce studiem Jen velmi málo diferenciáln´ıch rovnic, které se vyskytuj´ı pˇri popisu praktick´ ych u ´ loh, se dá ˇreˇsit exaktnˇe, a i kdyˇz dokáˇzeme naj´ıt vzorce popisuj´ıc´ı analytické ˇreˇsen´ı, b´ yvaj´ı natolik sloˇzité, ˇze je obt´ıˇzné s nimi dále pracovat. Numerické metody jsou proto ˇcasto jedinou moˇznost´ı jak danou diferenciáln´ı rovnici vyˇreˇsit. V této kapitole pˇredstav´ıme základn´ı numerické metody pro ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´ loh pro obyˇcejné diferenciáln´ı rovnice (ODR). Nejdˇr´ıve si na pˇr´ıkladu pˇripomeneme nˇekteré analytické postupy a nachystáme si modelovou u ´ lohu. Pak struˇcnˇe odvod´ıme nejjednoduˇsˇs´ı Eulerovu metodu, na n´ıˇz ukáˇzeme podstatné rysy spoleˇcné vˇsem numerick´ ym metodám. U ostatn´ıch metod pak uvedeme pouze vzorce a na pˇr´ıkladech pˇredvedeme jejich pouˇzit´ı a vlastnosti.

7.1.

Formulace u ´lohy

C´ıle Zavedeme obecnou formulaci poˇcáteˇcn´ı u ´ lohy pro ODR prvn´ıho ˇra´du a zm´ın´ıme pˇredpoklady, které zajiˇst’uj´ı existenci a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı. Na pˇr´ıkladu pˇripomeneme exaktn´ı metody pro v´ ypoˇcet analytického ˇreˇsen´ı.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Exaktn´ı metody ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´ loh pro ODR.

- 132 -


Numerické metody

V´ yklad Budeme se zabývat numerick´ ym v´ ypoˇctem funkce y = y(x), která na intervalu a, b vyhovuje rovnici y (x) = f (x, y(x)),

(7.1.1)

kde f = f (x, y) je daná pravá strana. Rovnice (7.1.1) je obyˇcejn´ a diferenci´ aln´ı rovnice prvn´ıho ˇra´du a z teorie je o n´ı známo, ˇze ˇreˇsen´ı (pokud existuje) je urˇceno aˇz na jeden volitelný parametr. Aby bylo ˇreˇsen´ı urˇceno jednoznaˇcnˇe, budeme poˇzadovat splnˇen´ı poˇcáteˇcn´ı podm´ınky ve tvaru y(a) = c.

(7.1.2)

´ Uloha (7.1.1), (7.1.2) je poˇca´teˇcn´ı u ´loha pro obyˇcejnou diferenciáln´ı rovnici. Ovˇsem ani tato u ´ loha nemus´ı m´ıt jediné ˇreˇsen´ı. Vˇse závis´ı na vlastnostech pravé strany f . O této funkci budeme v celé kapitole pˇredpokládat, ˇze je spojitá v prvn´ı nuje Lipschitzovu podm´ınku ve druhé promˇenné, tj. existuje konpromˇenné a splˇ stanta L (nezávislá na x a y) taková, ˇze |f (x, y) − f (x, z)| ≤ L|y − z| ∀x ∈ a, b ∀y, z ∈ R.

(7.1.3)

Za tˇechto pˇredpoklad˚ u má poˇcáteˇcn´ı u ´ loha jediné ˇreˇsen´ı. Pˇ r´ıklad 7.1.1. Poˇcáteˇcn´ı u ´ loha y = y2,

y(0) = 1

nemá jediné ˇreˇsen´ı na ntervalu 0, 2, protoˇze pravá strana na uvedeném intervalu nesplˇ nuje Lipschitzovu podm´ınku. V následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu si pˇripomeneme klasické postupy pro ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´ loh. Bude se jednat o u ´ lohu, kterou v dalˇs´ım textu pouˇzijeme jako modelový pˇr´ıklad pˇri testován´ı numerick´ ych metod.

- 133 -



Numerické metody

Ovˇeˇrte, ˇze poˇcáteˇcn´ı u ´ loha y = x2 − 0.2y,

y(−2) = −1

(7.1.4)

má jediné ˇreˇsen´ı. Toto ˇreˇsen´ı vypoˇctˇete exaktnˇe pomoc´ı znám´ ych analytick´ ych metod. ˇ sen´ı: Reˇ

Ovˇeˇren´ı Lipschitzovy podm´ınky pro f (x, y) = x2 − 0.2y provedeme

dosazen´ım do x2 − 0.2y − x2 + 0.2z f (x, y) − f (x, z) = = −0.2, y−z y−z ˇ sen´ı odkud vid´ıme, ˇze (7.1.3) je splnˇeno napˇr´ıklad pro konstantu L = 0.2. Reˇ zadané poˇcáteˇcn´ı u ´ lohy je proto jediné. Pˇri jeho v´ ypoˇctu nejdˇr´ıve vyˇreˇs´ıme homogenn´ı diferenciáln´ı rovnici u = −0.2u pomoc´ı separace promˇenných. Postup je následuj´ıc´ı: du du = −0.2u ⇒ = −0.2 dx ⇒ dx u

du = u

−0.2 dx ⇒

ln |u| = −0.2x + c ⇒ |u| = e−0.2x+c ⇒ u(x) = Ce−0.2x ,

C > 0.

Pro v´ ypoˇcet (partikulárn´ıho) ˇreˇsen´ı yp rovnice (7.1.4) pouˇzijeme metodu variace konstant, kdy pˇredem pˇredpokládáme, ˇze ˇreˇsen´ı bude ve tvaru yp (x) = C(x)e−0.2x . Dosazen´ım do diferenciáln´ı rovnice (7.1.4) dostaneme C (x)e−0.2x + C(x)(−0.2)e−0.2x = x2 − 0.2C(x)e−0.2x ⇒ C (x) = x2 e0.2x a odtud integrac´ı per partes vypoˇcteme C(x) = x2 e0.2x dx = e0.2x (5x2 − 50x + 250), takˇze yp (x) = 5x2 −50x+ 250. Obecné ˇreˇsen´ı dané diferenciáln´ı rovnice lze zapsat ve tvaru y(x) = yp (x) + u(x), tj. y(x) = 5x2 − 50x + 250 + Ce−0.2x . Koneˇcnˇe

- 134 -


Numerické metody z poˇcáteˇcn´ı podm´ınky urˇc´ıme konstantu C

−1 = y(−2) = 20 + 100 + 250 + Ce0.4 ⇒ C = −248.688737 a t´ım i ˇreˇsen´ı naˇs´ı v´ ychoz´ı u ´ lohy: y(x) = 5x2 − 50x + 250 − 248.018417e−0.2x .

(7.1.5)

Pozn´ amka ´ Ulohu (7.1.1), (7.1.2) m˚ uˇzeme ch´ apat vektorovˇe: hled´ ame vektorovou funkci a strana je rey(x) = (y1 (x), . . . , yn (x)) vyhovuj´ıc´ı rovnici (7.1.1), kde prav´ nuj´ıc´ı prezentov´ ana vektorovu funkc´ı f (x, y) = (f1 (x, y), . . . , fn (x, y)) , a splˇ poˇca´teˇcn´ı podm´ınku (7.1.2) zadanou vektorem c = (c1 , . . . , cn ) . Vˇsechny mumerické metody, s nimiˇz se v dalˇs´ım seznám´ıme, lze proto pouˇz´ıt i pro soustavy obyˇcejných diferenci´ aln´ıch rovnic prvn´ıho ˇra´du.

Pozn´ amka Skuteˇcnost, ˇze se omezujeme pouze na rovnice prvn´ıho ˇra´du, nen´ı ˇzádné podstatné omezen´ı. Z teorie diferenci´ aln´ıch rovnic je totiˇz zn´ amo, ˇze poˇcáteˇcn´ı u ´lohu pro rovnici vyˇsˇs´ıho ˇra´du neˇz 1 lze jednoduchou substituc´ı pˇrevést na soustavu rovnic prvn´ıho ˇra´du.

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jak vypadá obecná formulace poˇcáteˇcn´ı u ´ lohy pro obyˇcejnou diferenciáln´ı rovnici prvn´ıho ˇra´du? Otázka 2. Zopakujte si exaktn´ı metody pro v´ ypoˇcet pˇresného (analytického) ˇreˇsen´ı.

- 135 -


7.2.

Numerické metody

Eulerova metoda

C´ıle Odvod´ıme rekurentn´ı vzorce pro Eulerovu metodu a ukáˇzeme jejich pouˇzit´ı.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Provádˇen´ı rekurentn´ıch v´ ypoˇct˚ u, analytické ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´ loh pro ODR.

V´ yklad Základem, z nˇehoˇz vycházej´ı numerické metody je diskretizace promˇenných. Pˇribliˇzné ˇreˇsen´ı se nekonstruuje jako spojitá funkce, ale postupnˇe se generuje posloupnost uzl˚ u x0 = a, x1 , x2 , . . . a pro nˇe se stanov´ı ˇc´ısla y0 = c, y1 , y2 , . . ., která aproximuj´ı hodnoty pˇresného ˇreˇsen´ı y(x0 ), y(x1 ), y(x2 ), . . .. Pro jednoduchost budeme pˇredpokládat, ˇze uzly jsou ekvidistantn´ı s krokem h a plat´ı xn = b, tj. h = (b − a)/n a xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , n. Pˇri odvozován´ı vzorc˚ u pro pˇribliˇzné ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´ loh m˚ uˇzeme postupovat napˇr´ıklad tak, ˇze v diferenciáln´ı rovnici (7.1.1) zapsané v uzlu xi nahrad´ıme pˇresnou hodnotu y(xi) jej´ı aproximac´ı yi a derivaci na levé stranˇe vyjádˇr´ıme numerick´ ym vzorcem (6.4.1), tj. y (xi ) = f (xi , y(xi))

≈

yi+1 − yi = f (xi , yi). h

Odtud jsme schopni pˇri znám´ ych hodnotách xi a yi vypoˇc´ıtat yi+1 . Po pˇrepisu do explicitn´ıho tvaru dostáváme rekurentn´ı vzorce Eulerovy metody: ⎫ ⎬ y0 = c, = y + hf (x , y ), i = 0, 1, . . . , n − 1. ⎭ y i+1

i

i

(7.2.1)

i

Pˇ r´ıklad 7.2.1. Poˇcáteˇcn´ı u ´ lohu (7.1.4) ˇreˇste na intervalu −2, 3 pomoc´ı Eulerovy metody s krokem h = 1 a 0.5. V´ ysledky porovnejte s pˇresným ˇreˇsen´ım.

- 136 -


Numerické metody

ˇ sen´ı: V naˇsem pˇr´ıpadˇe je x0 = −2, y(−2) = y0 = −1 a f (x, y) = x2 − 0.2y. Reˇ Pro h = 1 dostáváme: y1 = −1 + 1 · ((−2)2 − 0.2 · (−1)) = 3.2, y2 = 3.2 + 1 · ((−1)2 − 0.2 · 3.2) = 3.56, y3 = 2.848, y4 = 3.2784, y5 = 6.6227. Podobnˇe pro h = 0.5 vypoˇcteme: y1 = −1 + 0.5 · ((−2)2 − 0.2 · (−1)) = 1.1, y2 = 1.1 + 0.5 · ((−1.5)2 − 0.2 · 1.1) = 2.115, y3 = 2.4035, . . . , y10 = 7.4988. Pro lepˇs´ı názornost zapiˇsmˇe obˇe pˇribliˇzná ˇreˇsen´ı do tabulky 7.2.1, v n´ıˇz provedeme také porovnán´ı s pˇresným ˇreˇsen´ım y(x) urˇceným vzorcem (7.1.5). Z tabulky je Tabulka 7.2.1: Eulerova metoda. h = 0.5

h=1 i

xi

yi

|yi − y(xi)|

0

−2

−1

0

1

−1

3.2

1.9491

2

0

3.56

2.2487

3

1

2.848

1.4571

4

2

3.2784

0.0206

5

3

6.6227

1.8940

i

xi

yi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1 1.1 2.1150 2.4035 2.2882 2.0593 1.9784 2.2806 3.1775 4.8598 7.4988

|yi − y(xi )| 0 0.5447 0.8641 0.9971 0.9769 0.8322 0.5875 0.2637 0.1214 0.5529 1.0179

vidˇet, ˇze ˇreˇsen´ı vypoˇctené s menˇs´ım krokem h je pˇresnˇejˇs´ı. Tento závˇer potvrzuje také obrázek 7.2.1, kde jsou pˇribliˇzná ˇreˇsen´ı znázornˇena jako lomené ˇcáry.

- 137 -


Numerické metody

9 8 7 6 5 4

h=1

3

h = 0.5

2 1

y(x) 0 −1 −2

−1

0

1

2

3

Obrázek 7.2.1: Pˇribliˇzná ˇreˇsen´ı z Eulerovy metody a pˇresné ˇreˇsen´ı (teˇckovanˇe). Pozn´ amka Eulerova metoda je metodou prvn´ıho ˇra´du, pˇrestoˇze jsme ji odvodili ze vzorec (6.4.1), který je ˇra´du druhého. Pˇri výpoˇctu podle Eulerovy metody doch´ az´ı ke kumuluaci (diskretizaˇcn´ı) chyby, coˇz m´ a za d˚ usledek sn´ıˇzen´ı ˇra´du. Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Odvod’te Eulerovu metodu. Jakého je ˇra´du a proˇc? ´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Eulerovou metodou ˇreˇste diferenciáln´ı rovnici y = 1/(x2 +1)−0.1y s poˇcáteˇcn´ı podm´ınkou y(−2) = −1 na intervalu −2, 3 s krokem h = 0.5. V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. y0 = −1, y1 = −0.85, y2 = −0.6537, y3 = −0.3710, y4 = 0.0476, y5 = 0.5452, y6 = 0.9179, y7 = 1.1220, y8 = 1.2198, y9 = 1.2588, y10 = 1.2648.

- 138 -


Numerické metody

7.3.

Jednokrokov´ e metody vyˇ sˇ s´ıho ˇ r´ adu

C´ıle Ukáˇzeme pouˇzit´ı rekurentn´ıch vzorc˚ u Heunovy metody a klasické RungeovyKuttovy metody.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Eulerova metoda, analytické ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´ loh pro ODR.

V´ yklad Následuj´ıc´ı vzorce popisuj´ı metody vyˇsˇs´ıho ˇra´du. Pˇri jejich pouˇzit´ı dosáhneme srovnatelné pˇresnosti jako u Eulerovy metody pˇri podstatnˇe vˇetˇs´ım kroku h, tedy pˇri v´ yraznˇe menˇs´ım celkovém objemu v´ ypoˇct˚ u. Heunova metoda, která je druhého ˇra´du, je urˇcena rekurentn´ımi vzorci: ⎫ ⎪ ⎪ y0 = c, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ k1 = hf (xi , yi ), (7.3.1) ⎪ ⎪ k2 = hf (xi + h, yi + k1 ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 = y + (k + k ), i = 0, . . . , n − 1. ⎭ y i+1

i

2

1

2

Rungeova-Kuttova metoda ˇctvrtého ˇra´du (RK4) je urˇcena rekurentn´ımi vzorci: ⎫ ⎪ ⎪ y0 = c, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ k1 = hf (xi , yi), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 ⎬ k2 = hf (xi + 2 h, yi + 2 k1 ), (7.3.2) ⎪ ⎪ k3 = hf (xi + 12 h, yi + 12 k2 ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ k4 = hf (xi + h, yi + k3 ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 yi+1 = yi + 6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ), i = 0, . . . , n − 1. ⎭

- 139 -


Numerické metody

Pozn´ amka Obˇe uvedené metody jsou jednokrokové, ˇc´ımˇz m´ ame namysli, ˇze pro výpoˇcet yi+1 staˇc´ı hodnota z jediného pˇredchoz´ıho kroku yi . Pozn´ amka Ze vzorc˚ u (7.3.1), (7.3.2) je d´ ale vidˇet,ˇze zvýˇsen´ı ˇra´du u jednokrokové metody je spojeno s vˇetˇs´ım objemem výpoˇct˚ u, zejména je v kaˇzdém kroku potˇreba poˇc´ıtat hodnoty pravé strany f (x, y) ve v´ıce bodech.

Pˇ r´ıklad 7.3.1. Poˇcáteˇcn´ı u ´ lohu (7.1.4) ˇreˇste na intervalu −2, 3 pomoc´ı Heunovy metody a metody RK4 s krokem h = 1. V´ ysledky porovnejte s pˇresným ˇreˇsen´ım a s ˇreˇsen´ım z´ıskan´ ym Eulerovou metodou. ˇ sen´ı: Opˇet vyjdeme z x0 = −2, y(−2) = y0 = −1 a f (x, y) = x2 − 0.2y. Reˇ Naznaˇc´ıme prvn´ı dva kroky Heunovy metody: k1 = 1 · ((−2)2 − 0.2 · (−1)) = 4.2, k2 = 1 · ((−2 + 1)2 − 0.2 · (−1 + 4.2)) = 0.36, y1 = −1 + 12 (4.2 + 0.36) = 1.28, k1 = 1 · ((−1)2 − 0.2 · 1.28) = 0.744, k2 = 1 · ((−1 + 1)2 − 0.2 · (1.28 + 0.744)) = −0.4048, y2 = 1.28 + 12 (0.744 + (−0.4048)) = 1.4496, atd. Obˇe pˇribliˇzná ˇreˇsen´ı zap´ıˇseme do tabulky 7.3.1 a porovnáme je s pˇresným ˇreˇsen´ım y(x) urˇceným vzorcem (7.1.5). Porovnán´ım se sloupcem h = 1 v tabulce 7.2.1 vid´ıme, ˇze dosaˇzené v´ ysledky jsou pˇresnˇejˇs´ı neˇz u Eulerovy metody, pˇriˇcemˇz nejpˇresnˇejˇs´ı v´ ysledky dává metoda RK4, viz také obrázek 7.3.1.

- 140 -


Numerické metody

Tabulka 7.3.1: Metody vyˇsˇs´ıho ˇra´du. Metoda RK4

Heunova metoda i

xi

yi

0 −2 1 −1 2 0 3 1 4 2 5 3

−1 1.2800 1.4496 1.6887 3.7847 9.2035

|yi − y(xi )| 0 0.0291 0.1383 0.2978 0.4858 0.6867

i

xi

yi

0 −2 1 −1 2 0 3 1 4 2 5 3

−1 1.2508 1.3112 1.3910 3.2994 8.5175

|yi − y(xi )| 0 0.0001 0.0001 0.0001 0.0004 0.0008

10

8

6

4

2

y(x)

0

−2 −2

−1

0

1

2

3

Obrázek 7.3.1: Pˇribliˇzné ˇreˇsen´ı vypoˇc´ıtané metodou RK4 (plnˇe), Heunovou metodou (ˇcárkovanˇe) a pˇresné ˇreˇsen´ı (teˇckovanˇe).

- 141 -


Numerické metody

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. Jaké znáte metody vyˇsˇs´ıho ˇra´du? Co je jejich v´ yhodou oproti metodám prvn´ıho ˇra´du? Otázka 2. Jak´ y je vztah mezi ˇra´dem metody a poˇcetn´ı nároˇcnost´ı jednoho kroku?

´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Diferenciáln´ı rovnici y = y(1 + sin x) − x3 , y(1) = 0 ˇreˇste na intervalu 1, 2 Heunovou metodou a metodou RK4 s krokem h = 0.2.

V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Heunova metoda: y0 = 0, y1 = −0.3114, y2 = −0.9732, y3 = −2.2320, y4 = −4.4495, y5 = −8.1186; metoda RK4: y0 = 0, y1 = −0.3210, y2 = −1.0087, y3 = −2.3257, y4 = −4.6586, y5 = −8.5351.

- 142 -


Numerické metody

7.4.

V´ıcekrokov´ e metody

C´ıle Ukáˇzeme pouˇzit´ı v´ıcekrokov´ ych metod pro ˇreˇsn´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´ loh pro ODR. Pomoc´ı základn´ıch v´ıcekrokov´ ych vzorc˚ u odvod´ıme algoritmus prediktor-korektor.

Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Jednokrokové a analytické metody ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´ loh pro ODR.

V´ yklad Definice 7.4.1. Daná metoda se na´ yvá k-kroková, jestliˇze pˇri v´ ypoˇctu yi+1 je potˇreba dosadit do vzorce metody hodnoty ˇreˇsen´ı z k pˇredchoz´ıh krok˚ u, tj. hodnoty yi , yi−1 , . . . , yi−k+1. Vˇsechny dosud uvedené metody byly jednokrokové. Pˇr´ıkladem dvoukrokové metody je vzorec yi+1 = yi−1 + 2hf (xi , yi),

(7.4.1)

kter´ y lze odvodit podobnˇe jako Eulerovu metodu (7.2.1) pomoc´ı numerického derivován´ı. Vzorci (7.4.1) se ˇr´ıká metoda sk´ akaj´ıc´ı ˇzáby, protoˇze hodnoty pˇribliˇzného ˇreˇsen´ı vˇetˇsinou oscilij´ı kolem ˇreˇsen´ı pˇresného. Definice 7.4.2. Daná metoda se na´ yvá l-bodová, jestliˇze pˇri v´ ypoˇctu yi+1 vyˇzaduje vzorec metody vypoˇc´ıtat hodnoty pravé strany f v l bodech. Eulerova metoda (7.2.1) je jednobodová, Heunova metoda (7.3.1) je dvoubodová a Runge-Kuttova metoda (7.3.2) je ˇctyˇrbodová. Vid´ıme, ˇze u jednokro-

- 143 -


Numerické metody

kov´ ych metod je pro dosaˇzen´ı vyˇsˇs´ıho ˇra´du poˇc´ıtat hodnoty pravé strany ve v´ıce bodech, ˇc´ımˇz se ovˇsem zvˇetˇsuje pracnost výpoˇctu. Tuto nepˇr´ıjemnou vlastnost odstraˇ nuj´ı v´ıcekrokové metody. Hodnoty pˇribliˇzného ˇreˇsen´ı z pˇredchoz´ıch krok˚ u totiˇz pˇredstavuj´ı v dan´ y okamˇzik jiˇz napoˇctenou informaci, kterou lze vyuˇz´ıt pro dosaˇzen´ı vyˇsˇs´ıho ˇra´du. Vˇsimnˇeme si, ˇze metoda (7.4.1) je jednobodová, dvoukroková a druhého ˇra´du (jej´ı odvozen´ı je zaloˇzeno na pouˇzit´ı vzorce numerického derivován´ı (6.4.2) druhého ˇra´du). Jistou komplikac´ı u k-krokové metody je skuteˇcnost, ˇze pˇri zahájen´ı v´ ypoˇctu ´sek. Jeho v´ ypoˇcet se potˇrebujeme znát hodnoty y0 , y1 , . . . , yk−1 , tzv. poˇcáteˇcn´ı u zpravidla provád´ı vhodnou jednokrokovou metodou (stejného nebo vyˇsˇs´ıho ˇra´du). Vˇsechny dosud uvedené metody byly explicitn´ı, tzn. ˇze v jejich vzorci se yi+1 vyskytovalo pouze na levé stranˇe. U v´ıcekrokov´ ych metod se ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı vzorce implicitn´ı, u nichˇz se yi+1 vyskytuje i na stranˇe pravé. Pouˇzit´ı takovéhoto vzorce pˇredstavuje v kaˇzdém kroku rovnici (zpravidla nelineárn´ı), jej´ımˇz ˇreˇsen´ım u vhodné iteraˇcn´ı metody, je yi+1. Pˇri ˇreˇsen´ı této rovnice lze pouˇz´ıt nˇekolik krok˚ coˇz je podstata algoritm˚ u typu prediktor-korektor. Adamsovy-Bashforthovy vzorce Pod názvem Adamsovy-Bashforthovy vzorce rozumm´ıme explicitn´ı v´ıcekrokové metody, které lze odvodit integrac´ı interpolaˇcn´ıho polynomu sestaveného pro derivaci ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice. Ukaˇzme odvozen´ı tˇr´ıkrokového vzorce. Necht’ y(x) je ˇreˇsen´ı u ´ lohy (7.1.1) a oznaˇcme yi = y (xi ). Derivaci y (x) m˚ uˇzeme vyjádˇrit ve tvaru y (x) = p2 (x) + e(x),

(7.4.2)

kde p2 (x) je Newton˚ uv tvar interpolaˇcn´ıho polynomu v uzlech xi , xi−1 , xi−2 a e(x) je interpolaˇcn´ı chyba: p2 (x) = yi + y [xi−1 , xi ](x − xi ) + y [xi−2 , xi−1 , xi ](x − xi )(x − xi−1 ),

- 144 -


Numerické metody

e(x) =

˜ y (4) (ξ) (x − xi )(x − xi−1 )(x − xi−2 ). 3!

V (7.4.2) provedeme integraci na intervalu xi , xi+1 : xi+1 y (x) dx = y(xi+1 ) − y(xi),

xi xi+1 xi

h2 5h3 p2 (x) dx = · h + y [xi−1 , xi ] · + y [xi−2 , xi−1 , xi ] · 2 6 2 y − 2yi−1 + yi−2 5h3 y − yi−1 h · + i = yi · h + i · h 2 2h2 6 h = (23yi − 16yi−1 + 5yi−2 ), 12 yi

xi+1

e(x) dx = xi

y (4) (ξ) 9 4 3 4 (4) · · h = · h · y (ξ), 3! 4 8

takˇze dohromady dostáváme y(xi+1 ) − y(xi ) =

h 3 (23yi − 16yi−1 + 5yi−2 ) + h4 y (4) (ξ). 12 8

Vynechán´ım posledn´ıho ˇclenu vznikne rekurentn´ı vzorec, který lze pouˇz´ıt pro pˇribliˇzný v´ ypoˇcet y(xi+1 ). Staˇc´ı si uvˇedomit, ˇze (pˇribliˇzné) hodnoty derivac´ı , yi−2 lze snadno vypoˇc´ıtat dosazen´ım do pravé strany f naˇs´ı diferenciáln´ı yi , yi−1

rovnice (7.1.1). Oznaˇc´ıme-li yi ≈ y(xi) a fi = f (xi , yi) ≈ yi , obdrˇz´ıme následuj´ıc´ı tvar vzorce: yi+1 = yi +

h (23fi − 16fi−1 + 5fi−2 ). 12

Jedná se zˇrejmˇe o tˇr´ıkrokovou metodu tˇret´ıho ˇra´du (srovnej s poznámkou u Eulerovy metody). Souˇcasnˇe je to metoda jednobodová ! Staˇc´ı si totiˇz uvˇedomit, ˇze pˇri v´ ypoˇctu yi+1 nen´ı potˇreba vyˇc´ıslit hodnoty fi−1 a fi−2 , protoˇze k tomu jiˇz doˇslo v pˇredchoz´ıch kroc´ıch. Analogick´ ym postupem lze odvodit dalˇs´ı Adamsovy-Bashforthovy vzorce liˇs´ıc´ı se poˇctem krok˚ u. Obvykle pouˇz´ıvané vzorce jsou nejvýˇse ˇctyˇrkrokové. Zde je jejich pˇrehled: yi+1 = yi + hfi ,

(7.4.3)

- 145 -


Numerické metody

h yi+1 = yi + (3fi − fi−1 ), 2 h yi+1 = yi + (23fi − 16fi−1 + 5fi−2 ), 12 h yi+1 = yi + (55fi − 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3 ). 24


(7.4.4) (7.4.5) (7.4.6)

Poˇcáteˇcn´ı u ´ lohu (7.1.4) ˇreˇste na intervalu −2, 3 pomoc´ı

tˇr´ıkrokové Adamsovy-Bashforthovy metody s krokem h = 1. V´ ysledky porovnejte s pˇresným ˇreˇsen´ım. ˇ sen´ı: Poˇcáteˇcn´ı u Reˇ ´sek vypoˇc´ıtáme metodou RK4. Jsou to prvn´ı tˇri hodnoty xi a yi z druhé ˇcásti tabulky 7.3.1, tj. x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0 a y0 = −1, y1 = 1.2508, y2 = 1.3112. Protoˇze f (x, y) = x2 − 0.2y, vypoˇc´ıtáme f0 = (−2)2 − 0.2 · (−1) = 4.2000, f1 = (−1)2 − 0.2 · 1.2508 = 0.7498 a f2 = (0)2 − 0.2 · 1.3112 = −0.2622. Pomoc´ı vzorce (7.4.5) pak provedeme vˇsechny dalˇs´ı v´ ypoˇcty: y3 = −1.3112 +

h (23f2 12

− 16f1 + 5f0 ) = 1.5588,

f3 = 12 − 0.2 · 1.5588 = 0.6882, y4 = 1.5588 +

h (23f3 12

− 16f2 + 5f1 ) = 3.5400,

f4 = 22 − 0.2 · 3.5400 = 3.2920, y5 = 3.5400 +

h (23f4 12

− 16f3 + 5f2 ) = 8.8227.

Výsledky jsou shrnuty v tabulce 7.4.1. Adamsovy-Moultonovvy vzorce Adamsovy-Moultonovy vzorce jsou implicitn´ı v´ıcekrokové metody, které lze odvodit podobn´ ym postupem jako Adamsovy-Bashforthovy vzorce, tj. provede se integrace interpolaˇcn´ıho polynomu sestaveného pro derivaci ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice. Nyn´ı se integruje na intervalu xi−1 , xi a pak se posune indexován´ı. Uved’me pouze pˇrehled vzorc˚ u: yi+1 = yi + hfi+1 ,

(7.4.7)

- 146 -


Numerické metody

h yi+1 = yi + (fi+1 + fi ), 2 h yi+1 = yi + (5fi+1 + 8fi − fi−1 ), 12 h yi+1 = yi + (9fi+1 + 19fi − 5fi−1 + fi−2 ). 24

(7.4.8) (7.4.9) (7.4.10)

Napˇr´ıklad (7.4.9) pˇredsatvuje dvoukrokovou, jednobodouvou metodu tˇret´ıho ˇra´du. Pouˇzit´ı uvedených vzorc˚ u vyˇzaduje v kaˇzdém kroku ˇreˇsit rovnici pro neznámou usob ˇreˇsen´ı, kter´ y jsme zm´ınili v u ´ vodu, rozebereme aˇz v dalˇs´ım yi+1 . Iteraˇcn´ı zp˚ odstavci. Zde si ukaˇzme jednoduˇzˇs´ı postup, kdy se do zvoleného vzorce dosad´ı pravá strana diferenciáln´ı rovnice f a pak se vyjádˇren´ım yi+1 vzorec pˇrevede na explicitn´ı tvar. Takto m˚ uˇzeme ovˇsem postupovat pouze v pˇr´ıpadech, kdy pravá strana f nen´ı pˇr´ıliˇs sloˇzitá funkce”. ” Tabulka 7.4.1: Adamsova-Bashforthova a Adamsova-Moultonova metoda. Ad.-Bash. 3. ˇra´du i

xi

yi

0 −2 1 −1 2 0 3 1 4 2 5 3

−1 1.2508 1.3112 1.5588 3.5400 8.8227

Ad.-Moul. 3. ˇra´du

|yi − y(xi )| 0 0.0001 0.0001 0.1679 0.2411 0.3060

i

xi

yi

0 −2 1 −1 2 0 3 1 4 2 5 3

−1 1.2508 1.2929 1.3613 3.2628 8.4773

|yi − y(xi )| 0 0.0001 0.0183 0.0296 0.0362 0.0394

Pˇ r´ıklad 7.4.2. Poˇcáteˇcn´ı u ´ lohu (7.1.4) ˇreˇste na intervalu −2, 3 pomoc´ı dvoukrokové Adamsova-Moultonovy metody pro h = 1. V´ ysledky porovnejte s pˇresným ˇreˇsen´ım. ˇ sen´ı: Do pravé strany vzorce (7.4.9) dosad´ıme fi+1 = f (xi+1 , yi+1) = x2i+1 − Reˇ 0.2yi+1 : yi+1 = yi +

h (5(x2i+1 − 0.2yi+1) + 8fi − fi−1 ). 12

- 147 -


Numerické metody

Vyjadˇr´ıme yi+1: yi+1 = 12(yi +

h (5x2i+1 + 8fi − fi−1 ))/(12 + h). 12

Tento pˇrepis Adamsova-Moultonova vzorce pouˇzijeme ve výpoˇctech. Jako poˇcáteˇcn´ı u ´ sek vezmeme hodnotu vypoˇc´ıtanou metodou RK4, tj. pouˇzijeme xi a yi z prvn´ıch dvou ˇra´dk˚ u tabulky 7.3.1. V´ ysledky jsou shrnuty v tabulce 7.4.1. Algoritmus prediktor-korektor Princip odvozen´ı algoritmu ukáˇzeme na dvoukrokovém Adamsovˇe-Moultonovˇe vzorci: yi+1 = yi +

h (5f (xi+1 , yi+1) + 8fi − fi−1 ). 12

Pˇredpokládejme, ˇze známe hodnoty yi, yi−1 , yi−2 a chceme vypoˇc´ıtat yi+1 . Na uvedený vzorec m˚ uˇzeme pohl´ıˇzet jako na rovnici v iteraˇcn´ım tvaru (2.4.1), pro jej´ıˇz vyˇreˇsen´ı je pˇrirozené pouˇz´ıt metodu prost´ ych iterac´ı (2.4.3). Tato u ´vaha vede na následuj´ıc´ı v´ ypoˇcetn´ı postup: Pro i = 1, . . . , n − 1 vypoˇcti yi+1 takto: 0 , (a) urˇci poˇca´teˇcn´ı odhad yi+1

(b) poˇcáteˇcn´ı odhad zpˇresˇ nuj pomoc´ı iterac´ı: k+1 = yi + yi+1

h k (5f (xi+1 , yi+1 ) 12

+ 8fi − fi−1 ),

k = 0, 1, 2, . . . .

Krok (a) se naz´ yvá prediktor, krok (b) je korektor. Varianta algoritmu prediktorkorektor uvedená n´ıˇze pouˇz´ıvá explicitn´ı Adams˚ uv-Bashforth˚ uv vzorec tˇret´ıho ˇra´du (7.4.5) jako prediktor. V korektoru se pak vykonává jediné iteraˇcn´ı zpˇresnˇen´ı. S ohledem na struˇcný zápisu algoritmu pouˇzijeme symbol pˇriˇrazen´ı :=” pro ” zmˇenu hodnoty promˇenné, coˇz umoˇzn ˇ uje vynechat iteraˇcn´ı index k. Dostáváme následuj´ıc´ı algoritmus:

- 148 -


Numerické metody

y0 = c; y1 , y2 vypoˇcti pomoc´ı jednokrokové metody; Pro i = 2, . . . , n − 1 vypoˇcti yi+1 takto: (P ) yi+1 := yi +

h (23fi 12

− 16fi−1 + 5fi−2 ),

(E) fi+1 := f (xi+1 , yi+1), (C) yi+1 := yi +

h (5fi+1 12

+ 8fi − fi−1 ),

(E) fi+1 := f (xi+1 , yi+1).

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(7.4.11)

Uvedený algoritmus je metoda tˇr´ıkrokov´ a, dvoubodová a tˇret´ıho ˇra´du, pro pro niˇz se pouˇz´ıvá oznaˇcen´ı PECE. Podobnˇe se pouˇz´ıvá oznaˇcen´ı PE(CE)k , P(EC)k nebo P(EC)k E, pro varianty algoritmu prediktor-korektor s k vnitˇrn´ımi kroky a s r˚ uznou organizac´ı dalˇs´ıch v´ ypoˇct˚ u. Pˇ r´ıklad 7.4.3. Poˇcáteˇcn´ı u ´ lohu (7.1.4) ˇreˇste na intervalu −2, 3 pomoc´ı PECE metody (7.4.11) s krokem h = 1. V´ ysledky porovnejte s pˇresným ˇreˇsen´ım. ˇ sen´ı: Poˇcáteˇcn´ı u Reˇ ´sek vypoˇc´ıtáme metodou RK4. Jsou to prvn´ı tˇri hodnoty xi a yi z druhé ˇcásti tabulky 7.3.1, tj. x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0 a y0 = −1, y1 = 1.2508, y2 = 1.3112. Pomoc´ı tˇechto hodnot vypoˇc´ıtáme f0 = 4.2000, f1 = 0.7498 ypoˇct˚ u podle (7.4.11) uvád´ıme pouze poˇrad´ı v jakém a f2 = −0.2622. U dalˇs´ıch v´ vznikaj´ı jednotlivé hodnoty: y3 := 1.5588, f 3 := 0.6882, y3 := 1.3607, f 3 := 0.7279, y4 := 3.4178, f 4 := 3.3164, y4 := 3.2496, f 4 := 3.3501, y5 := 8.5908, f 5 := 7.2818, y5 := 8.4564, f 5 := 7.3087. Výsledky jsou v tabulce 7.4.2.

- 149 -


Numerické metody

Tabulka 7.4.2: Algoritmus prediktor-korektor. i

xi

yi

0 −2 1 −1 2 0 3 1 4 2 5 3

−1 1.2508 1.3112 1.3607 3.2496 8.4564

|yi − y(xi )| 0.0000 0.0001 0.0001 0.0302 0.0493 0.0603

Pozn´ amka Z porovn´ an´ım výsledk˚ u v tabulk´ ach 7.4.1 a 7.4.2 je vidˇet, ˇze implicitn´ı metoda je podstatnˇe pˇresnˇejˇs´ı neˇz explicitn´ı metoda stejného ˇra´du. Algoritmus prediktorkorektor pˇredstavuje nepˇresnou” implicitn´ı metodu, takˇze také dosaˇzen´ a pˇresnost ” je o nˇeco menˇs´ı.

Kontroln´ı ot´ azky Otázka 1. V ˇcem spoˇc´ıvá hlavn´ı pˇr´ınos v´ıcekrokov´ ych metod oproti metodám jednokrokov´ ym? Otázka 2. Jak se odvozuj´ı Adamsovy-Bashforthovy a Adamsovy-Moultonovy vzorce? Otázka 3. Na ˇcem je zaloˇzena konstrukce algoritmu prediktor-korektor?

´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Diferenciáln´ı rovnici y = y(1 + sin x) − x3 , y(1) = 0 ˇreˇste na intervalu 1, 2 s krokem h = 0.2 pomoc´ı Adamsovy-Bashforthovy metody ˇctvrtého ˇra´du. 2. Vzorec Adamsovy-Moultonovvy metody ˇctvrtého ˇra´du pˇrepiˇste na explicitn´ı tvar pro diferenciáln´ı rovnici z pˇredchoz´ı u ´ lohy a proved’te v´ ypoˇcet. 3. Sestavte algoritmy prediktor korektor PECE a PECEC zaloˇzené na Adamsov´ ych-Bashforthov´ ych a Adamsových-Moultonových vzorc´ıch ˇctvrtého ˇra´du a vyˇreˇste diferenciáln´ı rovnici z prvn´ı u ´ lohy.

- 150 -


Numerické metody

V´ ysledky u ´loh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Poˇcáteˇcn´ı u ´sek vypoˇc´ıtáme metodou RK4, pak y4 = −4.6497, y5 = −8.5164. h (−9x3i+1 + 19fi −5fi−1 + fi−2 ))/(8 −3h(1 + sin xi+1 )). 2. Odvod´ıme yi+1 = 8(yi + 24

Pomoc´ı y0 , y1, y2 z RK4 vypoˇc´ıtáme: y3 = −2.3270, y4 = −4.6615, y5 = −8.5396. 3. Algoritmus PECEC má následuj´ıc´ı podobu: y0 = c; y1 , y2 , y3 vypoˇcti pomoc´ı jednokrokové metody (RK4); Pro i = 3, . . . , n − 1 vypoˇcti yi+1 takto: (P ) yi+1 := yi +

h (55fi 24

− 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3 ),

(E) fi+1 := f (xi+1 , yi+1), (C) yi+1 := yi +

h (9fi+1 24

+ 19fi − 5fi−1 + fi−2 ),

(E) fi+1 := f (xi+1 , yi+1), (C) yi+1 := yi +

h (9fi+1 24

+ 19fi − 5fi−1 + fi−2 ).

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Algoritmus PECE dostaneme vynechán´ım posledn´ıho kroku (C). Poˇcáteˇcn´ı u ´ sek vypoˇc´ıtáme opˇet metodou RK4. V´ ysledky podle PECE: y4 = −4.6581, y5 = −8.5342; v´ ysledky podle PECEC: y4 = −4.6594, y5 = −8.5360.

Shrnut´ı lekce Ukázali jsme princip numerického ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´ loh pro obyˇcejné diferenciáln´ı rovnice (prvn´ıho ˇra´du). Metody tohoto typu lze nalézt ve standardn´ıch knihovnách poˇc´ıtaˇcov´ ych program˚ u. Popisovaná problematika je pomˇernˇe obsáhlá a zahrnuje napˇr´ıklad ˇr´ızen´ı dosaˇzené pˇresnosti nebo speciáln´ı metody pro diferenciáln´ı rovnice, jejichˇz ˇreˇsen´ı je citlivé na zaokrouhlovac´ı chyby. ´ Ulohy zapsané pomoc´ı diferenciáln´ıch rovnic (r˚ uzných typ˚ u nejen ODR) se vyskytuj´ı velice ˇcasto pˇri modelován´ı fyzikáln´ıch nebo technických u ´ loh. Jejich ˇreˇsen´ı na poˇc´ıtaˇci je atraktivn´ı oblast´ı v´ yzkumu, kter´ y v posledn´ıch desetilet´ıch procház´ı bouˇrliv´ ym v´ yvojem.

- 151 -

LITERATURA

Numerické metody

Literatura [1] Fiedler M. Speciáln´ı matice a jejich pouˇzit´ı v numerické matematice. SNTL, Praha, 1981. [2] M´ıka S.: Numerické metody algebry. SNTL, Praha, 1985. [3] Pˇrikryl P. Numerické metody matematické anal´ yzy. SNTL, Praha, 1988. [4] Ralston A. Základy numerické matematiky. Academia, Praha, 1978. [5] S¨ ulli E., Mayers D. An introduction to numerical analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 2003. (anglicky) [6] Van Loan Ch. F. Introduction to scientific computing. Prentice Hall, NJ, 1999. (anglicky) [7] Vitásek E. Numerické metody. SNTL, 1987.

- 152 -

Radek Kučera ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

Recommend Documents