E&M
Boller, Offerhaus, Dhalle
Tentamen E&M 19 April 2012 E&M 140305
Aanwijzingen
De toets bestaat uit twee delen. Het eerste deel behelst begripsvragen en moet na 60 minuten worden ingele
verd. De antwoorden 00 de begriosvragen moeten 00 een apart vel worden gemaakt. Vergeet niet uw naam,
studentennummer en opleiding duidelijk in te vullen.
Het tweede deel van de toets bestaat uit opgaven met wat meer rekenwerk.
Lees voor het beantwoorden de tekst van de opgave eerst helemaal zorgvuldig door.
Het aantal te behalen punten per opgave staat in de hokjes in de kantlijn.
Deel 1: Begripsvragen
r-.
abc )E•.•.....••..)E..••........)E...•..••.
*d
e ~
__ .
ov Figuur 1: (links) elektrisch potentiaallandschap en (rechts) stroom-voerende draden met bewegend gel aden deeltie
1. Het linker gedeelte van figuur 1 stelt het elektrisch potentiaallandschap voor in de buurt van een centra le verdeelde lading die omringd is door 3 identieke puntladingen. Equipotentiaallijnen zijn getekend in stappen van O.5V (behalve vlakbij de 3 puntladingen, waar ze te dicht op elkaar liggen en weggelaten zijn). De grijze cirkel in het midden is een equipotentiaaloppervlak, alle punten in de cirke1 bevinden zich op +4V.
a.
Zijn de 3 identieke puntIadingen positief of negatief?
b.
Beschrijfkwalitatiefhet elektrische veld in de 4 locaties aangeduid met een kruisje: schik ze in volgorde van toenemende grootte en geeftelkens hun richting aan. (bijvoorbeeld: EA(naar rechts) < EB(linksonder) < Ec(onder) < ED(rechtshoven) )
Het rechter gedee1te van figuur 1 stelt 3 stroom-voerende draden voor die loodrecht op het blad staall. Aile draden dragen dezelfde stroom, de middelste het blad uit en de 2 buitenste het blad in. Een positief geladen deeltje doorkruist de tekening over de stippellijn van links naar rechts. c. Neem het rechterplaatje over en teken de veldlijnen van de magnetische inductie B erbij (bet magneetveld t.g.v. het hewegende deeltje mag worden verwaarloosd).
d. Geef in elk van de 5 locaties aangeduid met een kruisje de richting van de kracht aan die het deeltje onder vindt t.g.v. de stroom-voerende draden. Neem hierbij aan dat de snelheid van het deeltje nauwelijks hein vloed wordt en dus hoofdzakelijk van links naar rechts blijft. (bijvoorbeeld: a) naar hoven; b) het blad in; c) naar links; d) geen e) het blad uit. )
1
19 april 2012
E&M 2.
110 pt
)
Boller, Offerhaus, Dhalle
Tentamen E&M 19 April 2012 E&M 140305
Hieronder staan 8 stelling. Zijn de stellingen waar of met waar en waarom? Geef een toelichting van minimaal I en maximaal 5 zinnen. Het elektrische veld van een enkele positieve lading is even sterk als dat van een enkele negatieve lading. Zonder gehonden oppervlakte lading is het D veld continuo Een condensator van een lagere capaciteit heeft een lagere spanning voor dezelfde lading. In een dielektrisch materiaal is het interne elektrische veld lager dan het exteme veld. Het elektrische veld binnen een perfecte geleider is altijd nul. f. De totale elektrische flux door het oppervlak van een kubus die een lading omsluit is hetzelfde als de flux door een hoI. g. De rotatie van de magnetische vector potentiaal is altijd nul. h. Magnetische veldlijnen moeten altijd sluiten en mogen elkaar snijden. i. De energie in een spoel wordt bepaald door het magnetisch veld. j. De kracht tussen twee platen van een condensator is lineair in de hoeveelheid lading op de platen.
a. b. c. d. e.
Heb je averal een (paar zinnen) uitleg bij?
3. Stel dat er en lading Q aanwezig is in het centrum van een bol met een dikke metal en wand (zonder net
EJ
to vrije lading).
a. Teken een doorsnede (xy vlak) en teken daarin de veldverdeling binnen en buiten de hoI. b. Stel dat de helft van de hoI wordt weggesneden (de onderste helft, y < 0).
c.
4.
Teken opnieuw een doorsnede en de veldverde1ing binnen en buiten de hoI.
Hoe verandert de functie IE(r)1 als de puntlading wordt uitgerekt tot een lijn (langs x) en de halve bol wordt uitgerekt tot een halve cilinder (langsx).
Gegeven een magnetische inductie B die wordt gegeven door B
A
S
= B~t/J andB~ =Bo-.Q. S
a.
Schets de veldverdeling (kies zelf een relevant aanzicht) en schets (in een grafiek) het verloop van functie van s.
IBI als
b. Bereken de magnetische vector potentiaal A.
c. Schets A en het verloop van IAI.
2
19 april 2012
Boller, Offerhaus, Dhalle
E&M
Tentamen E&M 19 April 2012 E&M 140305
Deel2: Rekenvragen • • • •
Lees de vragen goed door alvorens met het oplossen te beginnen. Maak schetsen van de situatie zoals deze in de tekst wordt voorgesteld Teken alle relevante grootheden in de schets. Begin elke vraag op een nieuwe pagina.
5. Ben ring met straal R draagt een uniforme ladingsdichtheid A. [elm]. Neem het vlak van de ring als~ vlak en neem zijn midde1punt als oorsprong vanje coordinatenste1se1 (zie figuur 3). a.
Toon aan dat de grootte van het elektrische veld E op de z-as (dus loodrecht hoven het middelpunt van de ring) kan geschreven worden als
E(z)- RA
z - 28 o (2 R +z 2)312
b. Waartoe herleidt hovenstaande uitdrukking zich wanneer z» R? Verwachtte je dit? Waarom? c. We kiezen de elektrische potentiaal V(z) op de z-as nul voor z ~ van de ring, m.a.w. bij z = O?
00.
Wat is dan de potentiaal in het centrum
x Figuur 3: Elektrisch veld en potentiaal boven het centrum van een geladen ring?
6. De ruimte tussen de platen van een vlakke condensator wordt gehee1 gevuld met twee homogene lagen isolerend materiaal. De diktes van deze lagen zijn d1 en d2 , de dielektrische constanten zijn &rl en &r2 waarbij &rl < &r2. Er staat een spanning V over de condensator. a.
Schets een doorsnede van de condensator en duidt daarin de locatie van aile lading aan (vrije en gehonden).
b. Schets ook het E- en D-veld in e1ke laag en let daarbij op de (relatieve) grootte van de vectoren in de ver schillende stukken.
c.
Bereken de E en D velden in de verschillende stukken (uitdrukken in V, d en e)
d.
Bereken de netto gebonden lading tussen de twee dielektrica.
e. Bewijs dat de capaciteit van de condensator wordt gegeven door
waarbij A het oppervlak van de platen is.
E&M 7.
Boller, Offerhaus, Dhalle
Tentamen E&M 19 April 2012
E&M 140305 ...
Een lange, dunne spoel met straal a heeft n windingen per lengte-eenheid en draagt een stroom I spoel = 10• Om de spoe1 heen zit een enkele gesloten draadlus met daarin een weerstand R (figuur 2). Op het tijdstip t = 0 begint men I spoel met een constant tempo terug naar nul te regelen. Na een tijd to is Ispoel nul :
EJ
I spoel (t) =10
(t ~ 0)
1,,.,.(/) =
(0 ~ t ~ to)
1(1- :J 0
(to ~ t)
Ispoel(t) =0 a.
4
Hoe groot is tijdens het afregelen van lspoel de geinduceerde stroom llus in de draadlus? In het aanzicht van figuur 2, loopt llus van achter naar voor ofvan voor naar achter?
b. Hoeveel warmte U [J] wordt er tijdens het afregelen van de spoel in de weerstand gedumpt?
Figuur 2: lange spoel met omsluitende draadlus.
8. We beschouwen een lange coaxiale geleiders met een magnetiseerbare tussenmante1 (figuur 4). De ge leiders worden voorgesteld als 2 oneindig lange dunwandige metalen cilinders gecentreerd omheen de z as, met als stralen R 1 resp. R 3• De binnenste cilinder draagt een uniform verdeelde netto stroom If in de z-richting en diezelfde netto stroom keert uniform verdee1d terug over de buitenste ge1eider. Strak om de binnenste heen geleider zit een dikke mantel (met binnenstraal R 1 en buitenstraal R 2 < R 3) met een homogene magnetische susceptibiliteit 'Xm > O.
a. Bepaal overal in de ruimte (dus voor 0 < s < R1; voor R] < s< R2; voor R2 < s < R3 en voor R3 < s) de magne tische veldsterkte H. Geef zowel de grootte als de richting.
b. Bepaal aIle gebonden oppervlakte- en volume-stromen K B en J B• Geef duide1ijk aan waar ze lopen en geef weer zowel grootte als richting. Hoe groot is de netto totale gebonden stroom in de z-richting?
c. Geef overal in de ruimte de magnetische inductie B (eens temeer zowe1 grootte als richting).
z Figuur 4: Coaxiale gel eiders met magnetiseerbare tussenmantel.
4
19 april 2012
~
II'
VECTOR DERIVATIVES
dI
= dx i + dy Y+ dz i; Vt
Gradient :
Divergence:
Curl:
Laplacian :
Spberlc:al.
__
at ax
A
d-r at ay
= dx dy dz at az
A
V·v
=
av>: avy aVt ++az ax ay
v xv
=
(aV t _ avy ) i ay az
V2 t
=
a2t ay2
a2t ax
Divergence:
Curl:
az
_ aVt) ax
y + (av y
at
1 at 8"
= r 2 sin (J dr d(J df/J
d-r
V·v
=
-2- ( r v,)
v xv
=
a. -1- [-(sm9 v4I) - -aVBJ r r sin (J a(J af/J
A
1 a r ar
2
1
at.J.
-r+-+---." ar r a(J r sin (J af/J 1 a _ I aV41 r sin (J afJ r sin (J af/J
+ ---(slO(J VB) + - - - A
1 av, - -(rv4l) a J"8 + -r1 [ -(rvB) a + -:-r1 [ -.--sm (J af/J ar ar
Laplacian :
CyUndrical.
dl
Gradient:
Divergence:
Curl:
Laplacian :
= ds 5 + s df/J ~ + dz i; Vt
V-v
Vxv
__
=
av>:) i ay
_
ax
a2t az
__
Vt
Gradient :
+ (av>:
- 2+ - + 2
= dr r + r d(J 8 + r sin (J df/J~;
dl
A
-x+-y+-z
at as
A
d-r = s ds df/J dz
1 at.J. s af/J
at az
A
-8+ --.,,+-z 1a 1 aV41 aVt --(svs )+--+ s as s af/J az
-av,] '" a(J A
VECTOR IDENTITIES
Triple Products (l)
A· (8 x C) ... B . (C x A)
(2)
A
x (B x C) =
~
C . (A x B)
B(A. . C) - C(A . B)
Product Rules (3)
V(fg) = flVg} +g(V f)
(4)
V(A· B) = A )( (V x B)
(5)
V . (fA) = f{V . A)
(6)
V· (A x B) ;: B . (V x A) - A . (V x B)
(7)
Vx(fA)=flVxA)-Ax(Vf)
(8)
V
+B x
(V x A)
+ (A· V)B + (8· V)A
+ A . (V f)
x (A x B) = (B· V)A - (A· V)B + A(V. B) - B(V. A)
Sei;oud Df:rivatives (9)
V . (V )( A) = 0
(10)
V)< (V j)
(11)
V x (V x A) = V(V·A) - "l2A
=0
FUNDAl\'IENTAL THEOREMS
Gndient Theorem:
.I:(V.f). dl = lib) -
Dh'trgence Theorem:
I(V. A) dr
Curl Th~rem :
I(V x A). da ;:
/(B)
=:f A· da j A· dl
FUNDAMENTAL CONSTANTS 8.85
10- 12 C2 /Nm 2
(pennittivity of free space)
EO
=
/.lo
= 4Jr
c
=
3.00 x 108 m/s
(speed of light)
e
=
1.60 x 10- 19 C
(charge of the electron)
m
=
9.11 x 10-31 kg
(mass of the electron)
X
X
1O-7 N/A2
(penneability of free space)
SPHERICAL AND CYLINDRICAL COORDINATES Spherical
{~ {:
-
= = =
= =
r sinO costP r sinO sintP rcosO ./x 2 + y2 +z2 tan-I (./x 2 + y2/Z) tan-I (y/x)
Cylindrical
=
s costP
=
ssintP
U {~
=
Z
= =
./x2 + y2 tan-I (y/x)
=
Z
-
sinO costP r + cosO costP9 - sin tP~ sinO sin tP r + cos 0 sin tP9 + costP~ cos (H - sin 0 9
U = =
= sin 0 cos tP x+ sin 0 sintPy + coso i = cos 0 cost/>:i + coso sint/>y - sin 0 i
U Ii
- sintPx + costPy
=
=
= =
If
= = =
costPs - sin tP~ sin tP s+ cos tP ~ i
costP i + sin tP y - sin tPx + costPy i
96
Opgavenbundel E & M
6.4
_Standaardintegralen.
J
2 2 m 1= x (a +x ydx m
n
-2
-1/2
-2
-1
-1
-3/2
Noem
Y =
.Ja 2 + x 2 ; y 2 = a 2 + x 2
,
I
I
m
-Y l(a 2x)
1
n -3/2
2 1 1 x -a- (-+-arctan-)
a
x a
1
-1
a -2 (~ Y
_! In Ia + Y I)
1
-1/2
Y
-(1 I a)Inl(a + Y)I xl
1
1/2
ly 3
a
-lIY
InIYI
x
-1
-1/2
-1
-1
a-2In lxlYI
1
3/2
.lyS
0
-3/2
2
xl(a Y)
2
-3/2
In!x+YI-xIY
0
-1
a-I arctan(x I a)
2
-1
0
-1/2
Inlx+YI
2
-1/2
0
1/2
2
1/2
0
3/2
txY +t a2Inlx+ YI 2 2 t X (2x +Sa )y +ta4Inlx+YI
3
-3/2
3
-1/2
txY -ta2Inlx+Yj 2 2 tx(2x +a )y -ta4Inlx+YI 2 Y +a IY ly 3 _a 2y
3
1/2
.lyS _.la 2y 3
I
m
n
I
-(1 I a) cos ax
1
1
(sin ax) I 2a of (cos ax) I 2a I . 4 ax+ x --sm 32a 8 1 cos"+ ax
J
3 5
x-a arctan(x I a)
3 5
3
m
1= sin axcos" axdx
1
n 0
0
1
(11 a) sin ax
2
2
1
-1
-(11 a) In Icos axl
1
n
-1
1
(11 a) In ISin axl
m
1
2
0
0
2
m
2
2
(n + l)a
sin m+1 ax (m + l)a
I I . 2 ax -x--sm
2
3
0
4
0
6.5
2
4a
__ 1 cosax(sin 2 ax+ 2) 3a 3x sin2ax sin4ax - + 4a 32a 8
I 1 . 2 ax -x+-sm
0
3
0
4
4a
_1 sinax(cos 2 ax+ 2) 3a 3x sin2ax sin4ax -+ + 4a 32a 8
Benaderingen voor Ixl ~ 0
(l+xY
I+ax+ ...
smx
eX
l+x+ ...
cos x
In(l+x)
x-x 3 /2+ ...
x-x3 /6+ ... 2 I-x /2+ ...
