Bab 3 MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA 3.1
Model Matematika
Pada bab ini akan dimodelkan proses ekspresi gen dengan kontrol yang dilakukan oleh protein repressor. Kemudian kita analisis model yang diperoleh yakni mencari solusi steady-state dan kestabilannya. Sementara itu, dengan analisis numerik kita akan menentukan parameter yang sangat berpengaruh pada proses ini. Kita misalkan protein yang dihasilkan oleh ekspresi gen ini adalah protein repressor. Sebagaimana ditulis pada Bab 2, ekspresi gen terdiri dari transkripsi dan translasi. Mula-mula ketika repressor tidak berikatan dengan DNA, DNA tersebut akan ditranskripsi berdasarkan suatu reaksi kimia sehingga terbentuk mRNA di nukleus. Reaksi kimia tersebut diberikan oleh [6] : k+1
DN A + ρR R ∗ DN A
(3.1.1)
k−1
DN A + N T P
k+2
k
DN A ∗ N T P →3 DN A + mRN A
k−2
(3.1.2)
dengan R menyatakan protein repressor, R ∗ DN A, DN A ∗ N T P adalah senyawa kompleks dan N T P adalah substansi kimia nukleotida trifosfat. 22
BAB 3. MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA
23
mRNA yang terbentuk dari proses transkripsi di nukleus tersebut akan menuju ribosom untuk mentranslasikan diri sehingga terbentuk protein yang dikodenya. Dalam perjalanannya menuju ribosom, mRNA harus melalui membran inti yang memiliki permeabilitas tertentu dan berdifusi di sitoplasma menuju ribosom yang diasumsikan terletak pada suatu jarak tertentu dari nukleus. Proses translasi yang terjadi dinyatakan oleh reaksi [6] : k+4
k
mRN A + AA mRN A ∗ AA →5 mRN A + R k−4
(3.1.3)
dengan AA menyatakan asam amino. Untuk memodelkan permasalahan ini, kita bagi sel menjadi dua kompartemen (ruang bagian), yaitu nukleus sebagai kompartemen pertama dan sitoplasma sebagai kompartemen kedua yang mengandung ribosom, Gambar 3.1. Kedua kompartemen tersebut dipisahkan oleh membran inti yang menyelubungi nukleus. Selain itu, sel tersebut dibatasi oleh dinding sel yang impermeabel. Pada kompartemen pertama terjadi reaksi kimia yakni reaksi pada proses trans-
u2(t) v2(t)
Dinding sel yang impermeabel
Gambar 3.1: Model dengan 2 kompartemen kripsi. DNA berkombinasi secara reversibel dengan sejumlah ρ molekul repressor (R) membentuk senyawa kompleks R ∗ DN A yang dinyatakan oleh reaksi (3.1.1) dengan konstanta laju reaksi K1 . Sehingga diperoleh : K1 =
DN A ∗ Rρ DN A.Rρ
(3.1.4)
BAB 3. MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA
24
Sementara itu, DNA yang tidak berkombinasi dengan repressor berkombinasi dengan NTP (nukleotida trifosfat) membentuk mRNA berdasarkan reaksi (3.1.2) dengan konstanta K2 . Sehingga kita peroleh : DN A ∗ N T P DN A.N T P = DN A + R ∗ DN A + DN A ∗ N T P
K2 = DN AT
(3.1.5) (3.1.6)
= DN A(1 + K1 .Rρ + K2 .N T P ) Secara biologi, jumlah atau konsentrasi DN AT (DNA total) tetap yang diberikan oleh persamaan (3.1.6) sedangkan konsentrasi mRNA dapat berubah-ubah tergantung pada kondisi sel. Jika pada sel terdapat substrat maka DNA akan memerintahkan untuk memproduksi enzim untuk mengubah substrat tersebut menjadi produk akhir yang diinginkan dengan membentuk salinan perintahnya yang terkandung dalam mRNA. Sebagai contoh, bila di sel terdapat laktosa sebagai substrat glukosa, sel akan menghidupkan lac operon-nya yang akan mencetak mRNA yang membawa perintah untuk mensintesa enzim beta-galaktosidase yang akan memecah laktosa menjadi glukosa dan galaktosa. Jika diasumsikan laju penghancuran mRNA dan repressor terjadi secara linier maka persamaan diferensial untuk konsentrasi mRNA, pembentukan dan penghancuran, dapat dirumuskan sebagai berikut [6]. Misal u1 menyatakan konsentrasi (molar) mRNA dan v1 menyatakan konsentrasi (molar) repressor pada kompartemen pertama maka diperoleh persamaan laju perubahan konsentrasi mRNA dan repressor pada kompartemen pertama sebagai berikut : ·
u1 (t) = (v1 ) − b1 u1 (t) + a1 (u2 (t) − u1 (t)) ·
v 1 (t) = a2 (v2 (t) − v1 (t)) − b2 v1 (t) (v1 ) menyatakan laju pembentukan mRNA berdasarkan reaksi (3.1.1) dan (3.1.2), b1 dan b2 masing-masing adalah konstanta laju penghancuran mRNA dan repressor serta a1 dan a2 masing-masing adalah kontanta permeabilitas yang berasosiasi dengan u1 dan v1 .
BAB 3. MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA
25
Kita tinjau (v1 ), dari reaksi (3.1.2) dan bahwa DNA pada reaksi (3.1.2) adalah DNA yang ditranskripsi sementara ada bagian lain dari DNA yang tidak dapat ditranskripsi yaitu pada reaksi (3.1.1), maka diperoleh [9] : (v1 ) = k3 DN A ∗ N T P.f (v1 )
(3.1.7)
Dengan f (v1 ) adalah fraksi dari DNA yang dapat ditranskripsi. Dari persamaan (3.1.5), (3.1.6) dan (3.1.7) diperoleh : (v1 ) = dengan τ =
k3 K2 DN AT .N T P , 1+K2 .N T P
k=
τ 1 + k[v1 (t)]ρ
k+1 , k−1 (1+K2 .N T P )
K2 =
(3.1.8) k+2 . k−2
Persamaan (3.1.8) belum
memperhitungkan waktu yang diperlukan untuk transkripsi, sebut r1 . Jika kita masukkan r1 pada persamaan (3.1.8) maka r1 akan menjadi waktu tunda sehingga unsur v1 (t) menjadi v1 (t − r1 ). Pada kompartemen kedua, mRNA ditranslasi oleh ribosom untuk memproduksi protein. Waktu yang dibutuhkan oleh mRNA untuk berdifusi dari nukleus ke ribosom relatif kecil dibandingkan dengan waktu untuk transkripsi dan translasi. Oleh karena itu, kita abaikan proses difusi tersebut. Dari reaksi (3.1.3) diperoleh : K4 =
mRN A ∗ AA mRN A.AA
(3.1.9)
Misal u2 menyatakan konsentrasi (molar) mRNA dan v2 menyatakan konsentrasi (molar) repressor pada kompartemen kedua maka diperoleh : ·
u2 (t) = a3 (u1 (t) − u2 (t)) − b1 u2 (t) ·
v 2 (t) = S(u2 ) − b2 v2 (t) + a4 (v1 (t) − v2 (t)) dengan a3 dan a4 masing-masing merupakan konstanta permeabilitas yang berasosiasi dengan u2 (t) dan v2 (t). S(u2 ) menyatakan laju pembentukan protein repressor berdasarkan reaksi (3.1.3). Dengan demikian, kita peroleh : S(u2 ) = k5 mRN A ∗ AA
(3.1.10)
BAB 3. MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA
26
Dari persamaan (3.1.9) dan (3.1.10) diperoleh : S(u2 ) = c0 u2 (t) dengan c0 = k5 K4 AA, K4 =
k+4 . k−4
(3.1.11)
Jika pada persamaan (3.1.11) kita masukkan
waktu yang diperlukan untuk translasi, sebut r2 , maka r2 akan menjadi waktu tunda sehingga unsur u2 (t) menjadi u2 (t − r2 ). Dengan melihat keseluruhan proses, kita mendapatkan model yang dicari yaitu berupa SPD dengan waktu tunda r1 dan r2 sebagai berikut : ·
u1 (t) = ·
τ − b1 u1 (t) + a1 (u2 (t) − u1 (t)) 1 + k[v1 (t − r1 )]ρ
v 1 (t) = a2 (v2 (t) − v1 (t)) − b2 v1 (t)
(3.1.12)
·
u2 (t) = a3 (u1 (t) − u2 (t)) − b1 u2 (t) ·
v 2 (t) = c0 u2 (t − r2 ) − b2 v2 (t) + a4 (v1 (t) − v2 (t))
3.2 3.2.1
Analisa Model Analisa Masalah Steady-State
Pada sub bab ini akan dibahas persamaan yang independen terhadap waktu yang diperoleh dari model (3.1.12). Artinya, untuk waktu yang sangat lama model tersebut akan memberikan solusi yang konstan atau konvergen ke suatu nilai. Oleh karena itu, bentuk diferensial pada (3.1.12) bernilai nol sehingga diperoleh persamaan steady-state sebagai berikut : u2 − u¯1 ) = 0 (¯ v1 ) − b1 u¯1 + a1 (¯ v2 − v¯1 ) − b2 v¯1 = 0 a2 (¯ u1 − u¯2 ) − b1 u¯2 = 0 a3 (¯ v1 − v¯2 ) = 0 c0 u¯2 − b2 v¯2 + a4 (¯
BAB 3. MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA
27
Dari persamaan steady-state di atas terdapat empat variabel dengan empat persamaan. Dengan demikian, dapat diperoleh solusi steady-state nya adalah : v¯1 = v¯1 b2 + a2 v¯2 = v¯1 a2 b2 + a2 u¯1 = u¯2 a2 B2 u¯2 = v¯1 c0 dengan v¯1 memenuhi (¯ v1 ) =
3.2.2
B1 B2 v¯1 c0
dengan B1 =
b21 +a1 b1 +a3 b1 , a3
b22 +a2 b2 +a4 b2 . a2
B2 =
Kestabilan Lokal
Dari model (3.1.12) dengan r2 = 0 disekitar titik kesetimbangan dapat dituliskan sebagai berikut : ⎤ ⎡ · u1 (t) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ · ⎢ v 1 (t) ⎥ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ · ⎢ u2 (t) ⎥ ⎦ ⎣ · v 2 (t)
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
−(a1 + b1 )
⎡ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 +⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0
⎤⎡ 0
a1
0
⎤ u1 (t)
⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ v1 (t) ⎥ 0 a2 0 −(a2 + b2 ) ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ u2 (t) ⎥ a3 0 −(a3 + b1 ) 0 ⎦⎣ ⎦ c −(a4 + b2 ) 0 a4 v2 (t) ⎤ 0 (v1 (t − r1 )) 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 0 ⎥ ⎦ 0 0 0
Pertama kita analisis terlebih dahulu jika = 0. Dengan asumsi tersebut, diperoleh persamaan karakteristik : (b1 + λ)(b2 + λ)(a1 + a3 + b1 + λ)(a2 + a4 + b2 + λ) = 0
BAB 3. MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA
28
Dengan demikian, diperoleh : λ1 = −b1 λ2 = −b2 λ3 = −(a1 + a3 + b1 ) λ4 = −(a2 + a4 + b2 ) Maka syarat kestabilan dari model (3.1.12) adalah : b1 > 0 b2 > 0 (a1 + a3 + b1 ) > 0 (a2 + a4 + b2 ) > 0
Selanjutnya tinjau kasus = 0. Persamaan karakteristiknya adalah : | λI − J0 − Jr1 e−λr1 |= 0 dengan J0 =
∂g , ∂x(t)
J r1 =
∂g , ∂x(t−r1 )
x˙ = g(x(t), x(t−r1 )) dan x(t) = [u1 (t), v1 (t), u2 (t), v2 (t)].
Sehingga diperoleh : (b1 +λ)(b2 +λ)(a1 +a3 +b1 +λ)(a2 +a4 +b2 +λ)−c0 a2 a3 g (x2 (t−r1 ))e−λr1 = 0 (3.2.1) Tidaklah mudah untuk menentukan nilai λ yang memenuhi persamaan 3.2.1. Oleh sebab itu, analisa pengaruh parameter pada model dengan waktu tunda akan dilakukan secara numerik dan dijelaskan pada bab selanjutnya.
