Steven Strogatz
Radost z x Průvodce matematikou od jedné do nekonečna Copyright © 2012 by Steven Strogatz All rights reserved. Translation © Jan Klíma, 2014 Všechna práva vyhrazena. Žádná část této publikace nesmí být rozmnožována a rozšiřována jakýmkoli způsobem bez předchozího písemného svolení nakladatele. Druhé vydání (první elektronické) v českém jazyce. Z anglického originálu The Joy of x. A Guided Tour of Math, from One to Infinity přeložil Jan Klíma. Odpovědný redaktor Zdeněk Kárník. Redakce Marie Černá. Obálka, sazba a konverze do elektronické verze Tomáš Schwarzbacher Zeman. Vydalo v roce 2014 nakladatelství Dokořán, s. r. o., Holečkova 9, Praha 5,
[email protected], www.dokoran.cz, jako svou 719. publikaci (162. elektronická). ISBN: 978-80-7363-658-6
edice aliter
edice aliter – svazek 57
Steven Strogatz Průvodce matematikou od jedné do nekonečna
Přeložil Jan Klíma
Nakladatelství Dokořán a Argo Praha 2014
Obsah
Předmluva _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
9
Část první: ČÍSLA _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1. Od ryb k nekonečnu _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
13 13
Úvodní pojednání o číslech, upozornění na jejich světlé stránky (jsou užitečná) i stinné stránky (jsou abstraktní)
2. Hravá aritmetika _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
16
Hmotná podoba čísel – kameny – může učinit počítání méně záhadným
3. Nepřítel mého nepřítele _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
22
Znepokojující pojem odčítání a jak se vypořádat s tím, že záporná čísla jsou tak... záporná
4. Komutování _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
28
Když si koupíte džínsy ve výprodeji, ušetříte víc, když prodavač nejdříve odečte slevu a pak zaplatíte daň z obratu, nebo naopak?
5. Dělení a jeho záhady _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
33
Pomáháme firmě Verizon pochopit rozdíl mezi 0,002 dolaru a 0,002 centu
6. Poloha, poloha, poloha _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
39
Jak poziční systém psaní čísel zpřístupnil aritmetiku masám
Část druhá: VZTAHY _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 7. Radost z x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
47 47
Z aritmetiky se stává algebra, když začínáme pracovat s neznámými a vzorci
8. Jak nalézt kořeny _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
52
Komplexní čísla, hybrid imaginárního a reálného, jsou vrcholem číselného systému
9. Přetéká mi vana _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Měníme strach ze slovních úloh v zábavu
59
10. Řešíme kvadratické rovnice _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
66
Vzorec pro kořeny kvadratické rovnice možná nikdy nevyhraje soutěž krásy, ale jeho myšlenkové bohatství je úchvatné
11. Fungování funkcí _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
73
Posláním funkcí v matematice je transformovat
Část třetí: TVARY _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 12. Tanec čtverců _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
81 81
Geometrie, intuice a dlouhá cesta od Pythagora k Einsteinovi
13. Kouzlo důkazu _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
88
Jako při každé tvůrčí práci, konstrukce důkazu začíná inspirací
14. Zázračné kuželosečky _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
95
Záhadná podobnost mezi parabolami a elipsami naznačuje, že ve hře jsou skryté síly
15. Ruské kolo _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 104 Sinusové vlny všude kolem, od ruského kola až po pruhy zebry
16. Tajemství čísla π _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 111 Archimedes si uvědomil sílu nekonečna a položil základy infinitezimálního počtu
Část čtvrtá: ZMĚNA _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 119 17. Změna je život _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 119 Diferenciální počet může zjistit, jak se nejlépe dostat z A do B, a smeče Michaela Jordana pomohou vysvětlit proč
18. Krájíme a sčítáme _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 126 Trvalým dědictvím integrálního počtu je pohled na svět prostřednictvím plátků a kostiček
19. Všechno o e _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 133 Kolik známostí by měl člověk navázat, než se usadí? Vaše babička to ví – a číslo e taky
20. Má mě ráda, nemá mě ráda _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 140 Diferenciální rovnice objasnily, jak se pohybují planety. Ale průběh lásky? No to snad ne
21. Budiž světlo _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 145 Světlo je pas de deux elektrického a magnetického pole
Část pátá: DATA _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 153 22. Kdo je normální? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 153 Zvonovité křivky jsou pasé. Frčí tlusté chvosty
23. Pravděpodobnosti _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 160 Nepravděpodobná dobrodružství teorie pravděpodobnosti
24. Jak funguje web _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 166 Jak Google vyřešil zenovou hádanku internetu pomocí lineární algebry
Část šestá: HRANICE _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 173 25. Nejosamělejší čísla _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 173 Prvočísla, osamělá a nevyzpytatelná, jsou rozložena záhadným způsobem
26. Myšlení v grupách _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 181 Teorie grup, jedna z nejuniverzálnějších částí matematiky, spojuje umění a vědu
27. Möbiova páska _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 189 Hrajeme si s Möbiovou páskou a hudebními strojky a lepší způsob, jak rozkrojit bagel
28. Myslete globálně _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 197 Diferenciální geometrie dokáže nalézt nejkratší dráhu mezi dvěma body na glóbu nebo na jiných zakřivených plochách
29. Analýza _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 204 Proč se musel nechat vyšetřit infinitezimální počet, kdysi tak domýšlivý a arogantní
30. Hilbertův hotel _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 214 Zkoumání nekonečna – mezitím tato kniha, nejsouc nekonečná, spěje ke konci
Poděkování _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 223 Autoři ilustrací _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 226 Poznámky _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 227 Rejstřík _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 263
Předmluva Mám přítele, kterého velmi baví přírodní vědy, i když je profesí výtvarník. Kdykoliv se vidíme, ze všeho nejvíc si chce popovídat o nejnovějších věcech v psychologii nebo kvantové mechanice. Ale když dojde na matematiku, připadá si ztracený a je mu to líto. Ty podivné symboly ho odrazují. Tvrdí, že ani neví, jak se čtou. Ve skutečnosti je jeho odcizení ještě hlubší. Pořádně neví, co ti matematici mohou celý den dělat nebo co myslí tím, že nějaký důkaz je elegantní. Občas se z legrace domlouváme, že se jednou posadíme a já ho budu učit a že mám začít od začátku, od 1 + 1 = 2, a pokračovat dál, kam až to půjde. Vypadá to jako šílený nápad, ale ve skutečnosti to je přesně to, o co se pokusíme v této knize. Představuje exkurzi do základů matematiky od předškolní až po matematiku vysokoškolskou. Je určena všem zájemcům, kteří chtějí dostat druhou šanci pochopit matematiku, tentokrát vykládanou z perspektivy dospělých. Nepůjde ale o doučování. Cílem knihy je, aby čtenář lépe pochopil, čím se matematika zabývá a proč tak okouzluje lidi, kteří jí rozumí. Uvidíme, jak nám smečované koše Michaela Jordana pomohou vysvětlit základy infinitezimálního počtu. Ukážu vám jednoduchý a půvabný způsob, jak chápat jeden ze základních geometrických teorémů – Pythagorovu větu. Pokusíme se dostat na kloub některým záhadám života, malým i velkým: Byl O. J. Simpson vinen? Jak převracet matraci, abyste ji opotřebovávali co nejméně? Kolik známostí by člověk měl mít, než se usadí? A taky uvidíme, že některá nekonečna jsou větší než jiná. 9
Matematika je všude, když víte, kam se dívat. Rozpoznáme sinusoidy v pruzích zebry, v Deklaraci nezávislosti uslyšíme ozvěnu Eukleidových slov a v atmosféře před první světovou válkou rozpoznáme záporná čísla. A také si ukážeme, jak jsou dneska naše životy ovlivňovány novými matematickými obory, když si vybíráme na internetu restauraci nebo když se snažíme pochopit – a samozřejmě také přežít – děsivé zvraty na burze. Zvláštní náhodou, která je obzvláště příhodná pro knihu o číslech, se Radost z x zrodila v den mých padesátin. David Shipley, který byl tou dobou redaktorem New York Times, mě ten slavný den pozval na oběd (aniž by o narozeninách věděl) a zeptal se mě, jestli bych nenapsal pro jejich čtenáře seriál článků o matematice. Představa, že bych se mohl o potěšení z matematiky podělit s větším publikem, než je můj zvídavý malířský přítel, se mi okamžitě zalíbila. „Základy matematiky“ se objevily na internetu koncem ledna 2010 a pokračovaly patnáct týdnů. Přišla záplava dopisů a připomínek od čtenářů všeho věku. Mnozí z nich byli studenti a učitelé. Jiní byli prostě zvědaví lidé, kteří z nějakého důvodu zanedbali své matematické vzdělání, a teď začali mít dojem, že jim chybí cosi cenného pro život a chtějí to dohnat. Obzvláště mi dělaly radost dopisy rodičů, kteří mi děkovali, že jsem jim pomohl, aby mohli vysvětlit matematiku svým dětem a při té příležitosti i sobě. Dokonce se zdálo, že mé stránky čtou s potěšením i moji kolegové a příznivci matematiky, a mnozí dokonce navrhovali, jak je vylepšit. Celkem vzato mě tyto zkušenosti přesvědčily, že mezi lidmi existuje značný – byť nepříliš pěstovaný – zájem o matematiku. Přes všechny ty řeči, jak mají lidé z matematiky strach, mnoho lidí chce tento obor lépe pochopit. A jakmile se jim to podaří, získá si je. 10
Radost z x je úvod do těch nejzákladnějších a nejvýznamnějších myšlenek. Kapitoly – některé převzaté ze seriálu v New York Times – jsou krátké a do značné míry nezávislé, takže je můžete číst na přeskáčku. Pokud se o probíraných věcech chcete dozvědět víc, poznámky na konci knihy obsahují další podrobnosti a literaturu k dalšímu studiu. Pro čtenáře, kteří raději postupují popořadě, jsem materiál uspořádal do šesti základních celků, které sledují tradiční uspořádání výkladu matematiky. Část 1 se nazývá „Čísla“ a začíná naši pouť počty z mateřské školy a aritmetikou školy základní. Zdůrazňuje, jak užitečná čísla jsou a jak podivuhodně dokážou popisovat svět. Část 2 jsem pojmenoval „Vztahy“; přechází od práce s čísly k výkladu vztahů mezi čísly. To jsou myšlenky, které tvoří základy algebry. Jejich důležitost spočívá v tom, že poskytují první nástroje, jak popsat, že jedna věc ovlivňuje druhou, jako kupříkladu příčina a následek, nabídka a poptávka, dávka léku a reakce těla a podobně – vztahy, které způsobují, že svět je složitý a množství jevů tak bohaté. Část 3 se jmenuje „Tvary“ a přechází od čísel a symbolů k tvarům a prostoru – království geometrie a trigonometrie. Tyto pojmy charakterizují věci kolem nás a zároveň pozdvihují matematiku na novou úroveň exaktnosti metodou logických důkazů. Část 4 nese název „Změna“. Dostáváme se v ní k infinitezimálnímu počtu (pro který budeme většinou používat již i u nás stále více užívaný název „kalkulus“), nejhlubší a nejplodnější části matematiky. Diferenciální a integrální počet umožňují předpovídat pohyb planet, rytmus přílivu a odlivu – a prakticky všechny spojitě probíhající procesy ve vesmíru i v nás. Ruku v ruce s tímto tématem 11
jde role nekonečna. Ochočení nekonečna bylo tím zlomovým okamžikem, který umožnil, aby infinitezimální počet fungoval. Jakmile kalkul zvládl děsivou moc nekonečna, dokázal konečně vyřešit mnoho do té doby neřešitelných úloh, které vzdorovaly našim předkům a jejichž vyřešení nakonec vedlo k vědecké revoluci moderní doby. Část 5, „Data“, pojednává o pravděpodobnosti, statistice, sítích a vytěžování dat, což jsou všechno poměrné nové úlohy inspirované složitými aspekty života: štěstím, nejistotou, rizikem, nestabilitou, náhodností a konektivitou. Uvidíme, jak s tím správným typem matematiky a správnými daty dokážeme nalézt smysl i v dosud nezvladatelné záplavě dat. Jak se v části 6, pojmenované „Hranice“, blížíme ke konci naší cesty, dostáváme se k nejpokročilejším partiím matematiky, na hraniční území mezi tím, co v matematice víme, a co stále ještě nedokážeme postihnout. Jednotlivé kapitoly této části sledují posloupnost, kterou jsme již jednou absolvovali – čísla, vztahy, tvary, změnu a data – ale každé z těchto témat je zde pojednáno hlouběji a v jeho moderní podobě. Doufám, že všechna tato témata vám poskytnou zábavu a mnoho příležitostí překvapeně zvolat: Aha! Tak takhle to je! Ale každá cesta musí začít na začátku, takže začněme jednoduchým a magickým aktem počítání.
12
Část I
Čísla 1. Od ryb k nekonečnu Nejlepší úvod – nejjasnější a nejžertovnější vysvětlení toho, co jsou čísla a proč je potřebujeme – lze nalézt na videu dětského televizního seriálu Sesame Street1 s názvem 123, počítejte se mnou. Humphrey, přátelská, ale natvrdlá postavička s růžovými chlupy a zeleným nosem, má službu v kuchyni v hotelu Furry Arms a obdrží objednávku z pokoje plného tučňáků. Humphrey pozorně poslouchá a pak tlumočí objednávky do kuchyně: „Ryba, ryba, ryba, ryba, ryba, ryba.“ To přiměje Ernieho, aby mu vysvětlil výhody čísla šest. Děti z toho pochopí, že čísla jsou úžasné zkratky. Místo toho, aby Humphrey křičel „ryba“ tolikrát, kolik je tučňáků, mohl použít mocnějšího pojmu čísla šest. Jako dospělí si však možná uvědomujeme i potenciální nevýhodu čísel – jsou to sice mocné zkratky, ale
13
platíme za to velkou cenu spočívající v jejich abstraktnosti. Šestka je mnohem abstraktnější pojem než „šest ryb“ právě proto, že je mnohem obecnější. Může se vztahovat k šesti kusům čehokoliv: šesti talířům, šesti tučňákům, šesti zvoláním slova „ryba“. Je to ta nepopsatelná věc, co mají všechny ty výroky společného. Podíváme-li se na čísla takto, začnou se jevit trochu záhadně. Zjevně existují v nějakém druhu Platonova světa na vyšší úrovni, než je realita. V tomto smyslu se spíše podobají dalším vznešeným pojmům (jako je třeba pravda a spravedlnost) než objektům z běžné životní praxe. Dalším zkoumáním zjistíme, že jejich filozofický význam je ještě zamlženější. Kde se vlastně čísla vzala? Vymysleli si je lidé? Nebo je objevili? Další okolností je, že čísla (a když na to přijde, tak všechny matematické pojmy) žijí vlastním životem.2 Nemůžeme jim poručit. Přestože existují jen v našich myslích, jakmile se rozhodneme, co znamenají, nemůžeme už mluvit do toho, jak se chovají. Řídí se jistými zákony a mají jisté vlastnosti, své osobnosti, své názory na to, jak se spolu kombinují, a my s tím nemůžeme nic dělat, jen je pozorovat a snažit se je pochopit. V tomto smyslu jsou překvapivě podobná atomům a hvězdám, věcem z tohoto světa, které jsou podobně podřízeny zákonům, jež nemůžeme ovládat… až na to, že tyto věci existují i mimo naše mysli. Tato duální povaha čísel – jejich pozemskost i nadpozemskost – je možná jejich nejparadoxnějším a zároveň nejužitečnějším rysem. To měl na mysli fyzik Eugene Wigner, když psal o „neuvěřitelné efektivitě matematiky v přírodních vědách“.3 Pokud vám není jasné, co mám na mysli, když říkám, že čísla žijí vlastními životy a že jejich chování nemůžeme 14
ovládat, vraťme se ještě jednou k Furry Arms. Předpokládejme, že než Humphrey vyřídí objednávku tučňáků z jednoho pokoje, náhle dostane objednávku z dalšího pokoje, v němž je stejný počet tučňáků, kteří také chtějí rybu. Když obdržel obě objednávky, co má Humphrey do kuchyně zavolat? Pokud se nic nenaučil, musí zavolat „ryba“ za každého tučňáka nahoře. Anebo, pokud se poučil o číslech, zavolá, že chce šest ryb pro první pokoj a dalších šest pro druhý. Ale to, co vlastně skutečně potřebuje, je nový pojem: sčítání. Jakmile je zvládne, zavolá hrdě šest plus šest (anebo, když se chce vytáhnout, tak dvanáct) ryb. Tvůrčí proces je tu stejný, jako když jsme předtím zavedli pojem čísel. Tak jako čísla jsou zkratky pro načítání po jedné, sčítání je zkratka pro načítání s libovolným krokem. Takhle matematika roste. Správná abstrakce vede k novému vhledu, novým schopnostem. Nebude trvat dlouho a dokonce i Humphreymu dojde, že načítat by mohl věčně. Nicméně i když se smíříme s nekonečnem, naše kreativita má vždycky své meze. Můžeme se rozhodnout, jaký význam mají pojmy jako 6 a „+“, ale jakmile to jednou uděláme, výrazům jako 6 + 6 už nemůžeme dál poroučet. Logika nám nedává žádnou volnost. V tomto smyslu v sobě matematika vždy zahrnuje jednak invenci, jednak objevování: vymyslíme pojmy, ale objevujeme jejich důsledky. Jak uvidíme v dalších kapitolách, svoboda v matematice znamená svobodu kladení otázek a volby přístupu, ale netýká se odpovědí, které na nás čekají.
15
2. Hravá aritmetika Jako všechno, i aritmetika má jak svou hravou,1 tak i svou vážnou tvář. Tou vážnou tváří je to, co jsme se všichni naučili ve škole: jak pracovat se sloupci čísel, jak je sčítat a odčítat, jak je prohnat tabulkovým procesorem, když žádáme o vrácení přeplatku daní nebo děláme roční uzávěrku. Tato stránka aritmetiky je důležitá, praktická a – pro mnohé z nás – neradostná. Hravá stránka aritmetiky je známá mnohem méně, pokud jste neabsolvovali kurzy vyšší matematiky. Přitom na ní není nic od přírody složitého. Je přirozená jako dětská zvídavost.2 Ve své knize A Mathematician’s Lament (Matematikův nářek) propaguje Paul Lockhart metodiku výuky, v níž jsou čísla zaváděna konkrétněji, než je obvyklé: navrhuje představit si je jako skupiny kamenů. Pak třeba číslo 6 odpovídá hromádce kamení, jako je tato:
Na tom nejspíš nevidíte nic pozoruhodného, a taky máte pravdu – pokud na čísla neklademe další podmínky, vypadají všechna celkem stejně. Příležitost ke kreativitě nastane, když po číslech něco chceme. Tak třeba se soustřeďme na skupiny obsahující jeden až deset kamenů a položme si otázku, které z těchto skupin mohou kameny uspořádat do tvaru čtverce. Jsou to jen dvě skupiny: jedna se 4, druhá s 9 kameny. To proto, 16
že 4 = 2 × 2 a 9 = 3 × 3. Jsou to čísla, která vzniknou jako druhá mocnina jiných čísel, a často se také – právě kvůli zmíněné vlastnosti – používá místo termínu „druhá mocnina čísla“ výraz „čtverec čísla“:
Méně svazující požadavek je nalézt skupiny kamenů, které můžeme přeskupit do tvaru obdélníka s právě dvěma řádky. To lze provést s množinami kamenů obsahujícími 2, 4, 6, 8 a 10 kamenů; počet kamenů musí být sudým číslem. Kdybychom se o totéž pokusili se zbývajícími čísly od 1 do 10 – s lichými čísly – vždycky nám jeden kámen zbude.
Nicméně všechno ztraceno není. Když takovéto dvě skupiny dáme dohromady, jejich výčnělky se spojí a součet vyjde sudý: liché + liché = sudé.
Když naše pravidla uvolníme ještě víc a připustíme čísla větší než 10 a také obdélníky s více než dvěma řádky kamenů, některá lichá čísla ukážou schopnost vytvořit takovéto větší obdélníky. Tak třeba číslo 15 tvoří obdélník tvaru 3 × 5. 17
Takže číslo 15, ačkoliv je nepochybně liché, se může aspoň utěšit zjištěním, že je číslem složeným – je složené ze tří řádek kamenů po pěti kusech. Podobně každé jiné číslo v tabulce násobků vytváří svůj vlastní kamenný obdélník. Nicméně některá čísla, jako třeba 2, 3, 5 a 7, jsou skutečně beznadějná. Žádné z nich není schopno vytvořit jakýkoliv obdélník vyjma prosté řádky. Tato zvláštně nepoddajná čísla jsou ona slavná prvočísla. Vidíme tudíž, že čísla se chovají různě, což jim dodává cosi jako charakter. Ale abychom viděli jejich chování v plné šíři, musíme opustit jednotlivá čísla a podívat se, co se děje, když spolu navzájem reagují. Tak třeba řekněme, že nebudeme sčítat dvě lichá čísla, ale že je posčítáme všechna počínaje 1:
1+3=4 1+3+5=9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Všechny výše uvedené součty tvoří kupodivu úplné čtverce. (Už jsme uvedli, že 4 a 9 tvoří čtverce, a podobně 16 = 4 × 4 a 25 = 5 × 5.) Můžeme se přesvědčit, že toto pravidlo zůstává v platnosti i pro lichá čísla větší a větší. Ale jaká může existovat spojitost mezi lichými čísly s jejich nemotornými výčnělky a klasicky symetrickými čísly tvořícími čtverce? Když správným způsobem uspořádáme příslušné kameny, tato překvapivá spojitost se rázem objeví – znak elegantního důkazu.3 18
Klíčové je uvědomit si, že liché číslo může mít podobu písmene „L“ o stejně dlouhých ramenech. Když pak všechna tato „L“ vložíme do sebe, dostaneme čtverec!
Tento typ uvažování se objevuje i v jiné nedávno vydané knize, i když literární kontext je zcela odlišný. V roztomilém románu The Housekeeper and the Professor (Hospodyně a profesor) od Yoko Ogawové pečuje bystrá, byť nevzdělaná mladá žena s desetiletým synem o postaršího matematika, který utrpěl těžké zranění mozku, po němž jeho krátkodobá paměť je schopna uchovat jen posledních osmdesát minut. Odtržený od života, v ošuntělé chalupě a osamělý se svými čísly, se profesor snaží navázat kontakt s hospodyní jediným způsobem, který mu je blízký: vyptává se na její číslo bot nebo datum narození a konverzuje o matematických vlastnostech zjištěných údajů. Profesor si rovněž oblíbí jejího syna, kterému dá přezdívku „Odmocnina“, protože znak pro odmocninu, √, mu připomíná vršek chlapcovy hlavy. Jednoho dne dá profesor chlapci následující úkol: najít součet všech čísel od 1 do 10. Chlapec pečlivě sčítá a nakonec obdrží výsledek (55). Ale profesor chce, aby nalezl chytřejší způsob, jak výsledek dostat. Zeptá se, jestli by ho dokázal najít, aniž by jakákoliv čísla sečetl. Chlapec vyskočí a křičí: „To nejde!“ Hospodyně je pozvolna vtahována do světa čísel a snaží se tajně nalézt řešení sama. „Nechápu, proč jsem začala 19
ztrácet čas řešením dětských matematických hádanek, které nemají žádný užitek,“ říká. „Nejdřív jsem chtěla udělat profesorovi radost, ale postupně se tenhle důvod začal vytrácet a uvědomovala jsem si, že už jde jenom o boj mezi mnou a tou úlohou. Když jsem se ráno probudila, hned se mi před očima vynořila rovnice
1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55
a pronásledovala mě celý den, jako kdyby byla vypálena do oční sítnice, takže jsem ji nemohla ignorovat.“ K řešení profesorovy úlohy lze dospět různými cestami (zkuste, kolik jich najdete). Profesor sám argumentoval podobně jako dosud my. Interpretuje součet od 1 do 10 jako trojúhelník z kamenů, 1 je v první řádce, 2 ve druhé, a tak dále, až v desáté řádce je kamenů 10.
Už na pohled dává obrázek pocit, že ho část chybí, vypadá, jako by ho byla jen polovička. A to umožňuje krok vpřed. Jestliže tento trojúhelník zkopírujeme, přetočíme ho kolem nejdelší hrany a přidáme k našemu obrázku jako onu chybějící polovinu, dostaneme něco mnohem 20
jednoduššího: obdélník o deseti řádcích s 11 kameny v každé řádce, celkem tedy 110 kamenů.
Jelikož původní trojúhelník tvořil polovinu tohoto obdélníka, je hledaný součet polovička ze 110 čili 55. Možná vypadá neobvykle uvažovat o číslech jako o skupinách kamenů, ale ve skutečnosti to je pohled starý jako matematika sama. Slova kalkul nebo kalkulačka odrážejí toto dědictví – pochází z latinského calculus, což byl oblázek používaný k počítání.
21
3. Nepřítel mého nepřítele Odčítání se děti tradičně učí hned po sčítání. To je rozumné – při obojím se používají o číslech tatáž fakta, jen v opačném pořadí. Jestliže dokážeme vypočítat 23 + 9, jsme zralí zvládnout co nejdříve i 23 – 9. Při hlubším pohledu však odčítání vede ke znepokojivému jevu, který při sčítání nikdy nenastane. Odčítáním můžeme dostat záporná čísla. Když si od vás zkusím vzít 6 sušenek a vy máte jen 2, nejde to – ledaže v mé mysli proběhne výpůjčka a jsou tam teď vaše čtyři záporné sušenky – bůhví, co to ale znamená. Odčítání nás nutí rozšířit význam toho, co čísla znamenají. Záporná čísla jsou mnohem abstraktnější než čísla kladná – nikde nejsou k vidění čtyři záporné sušenky (a už vůbec je nelze sníst) – ale můžeme o nich uvažovat a dokonce o nich v jiné podobě uvažovat musíme, protože život je jich plný: počínaje dluhy a přečerpanými účty přes teploty pod nulou a nedoplacené parkovací automaty. Nicméně mnozí z nás se se zápornými čísly jen těžko smiřují. Jak upozornil můj kolega Andy Ruina, lidé si vymysleli nejrůznější legrační techniky, jak se obávanému zápornému znaménku vyhnout. Na výkazech investičních fondů jsou ztráty (záporná čísla) vytištěny červeně nebo v závorkách, takže záporné znaménko k vidění není. Historické knihy nám sdělí, že Julius Caesar se narodil v roce 100 př. n. l., nikoliv v roce –100. Podzemní parkovací garáže bývají označeny jako B1 a B2. Teploty jsou jednou z mála výjimek: lidé říkají – aspoň tady v Ithace ve státě New York – že venku je minus pět stupňů, i když 22
mnozí místo toho také řeknou, že je pět pod nulou. Na záporném znaménku je prostě něco nepříjemného, něco… záporného. Možná nejvíc zneklidňující fakt je, že minus krát minus je plus. Takže dovolte, ať vysvětlím, co se za tím skrývá. Jak bychom měli definovat hodnotu výrazu jako –1 × 3, v němž násobíme záporné číslo číslem kladným? Právě tak jako 1 × 3 znamená 1 + 1 + 1, přirozená definice pro hodnotu výrazu –1 × 3 je (–1) + (–1) + (–1) čili –3. Kdyby šlo o peníze, tak je to samozřejmé: jestliže mi dlužíte 1 dolar týdně, po třech týdnech máte u mě sekeru 3 dolary. Odsud už je jen krůček k pochopení, proč minus krát minus musí být plus. Podívejme se na následující sloupeček rovnic: –1 × 3 = – 3 –1 × 2 = –2 –1 × 1 = –1 –1 × 0 = 0 –1 × –1 = ? Všimněme si čísel na pravé straně, tvoří úhlednou posloupnost: –3, –2, –1, 0, … Při každém kroku přičteme k předchozímu číslo 1. Takže není to logické, aby následující číslo bylo 1? To je jeden z důvodů, proč by mělo platit (–1) × (–1) = 1. Přitažlivost takové definice spočívá v tom, že zachovává platnost zákonů běžné aritmetiky; co platí pro kladná čísla, platí i pro záporná. Pokud je ale někdo zatvrzelý pragmatik, může mít pochybnosti, jestli tyto abstraktní úvahy mají nějakou paralelu v reálném světě. Nutno přiznat, že život se někdy řídí jinými pravidly. V běžné morálce neplatí, že dvě špatnosti dají něco dobrého. Podobně také dva zápory nedají 23
vždycky něco kladného – mohou jen zesílit negativní význam, jako ve větě: „Nemám z toho žádné potěšení.“ (Poznamenejme, že v tomto smyslu se jazyk může chovat prapodivně. Významný oxfordský lingvista J. L. Austin při přednášce uvedl, že jsou mnohé jazyky, v nichž dvojitý zápor má kladný význam, ale neexistuje žádný, v němž by dvojitý klad znamenal něco negativního – na což filozof Sidney Morgenbesser z Columbijské univerzity, sedící mezi posluchači, sarkasticky poznamenal: „Jo, jo.“)1 Nicméně existuje řada případů, v nichž se život kolem nás řídí pravidly, jež platí i pro záporná čísla. Aktivita buňky může být potlačena aktivitou sousední buňky. Když ale nějaká třetí buňka potlačí aktivitu této druhé buňky, první buňka může být opět aktivní. Nepřímé působení třetí buňky na první je ekvivalentní excitaci první buňky: dvě po sobě jdoucí záporné akce jsou ekvivalentní akci pozitivní. Podobné efekty se vyskytují při regulaci činnosti genů: protein může stimulovat gen tím, že blokuje jinou molekulu, která blokovala příslušnou část DNA. Možná tou nejznámější paralelou v sociální a politické oblasti je rčení: „Nepřítel mého nepřítele je můj přítel.“ Toto notoricky známé úsloví a podobné výroky o příteli mého nepřítele, nepříteli mého přítele a podobně lze graficky znázornit v podobě vztahových trojúhelníků.2 Vrcholy představují lidi, společnosti nebo třeba země, a strany trojúhelníka pak jejich vztahy. Ty mohou být kladné (přátelské, zobrazeny plně) nebo záporné (nepřátelské, zobrazeny čárkovaně). Sociologové popisují trojúhelníky (jako je ten na levé straně) jako vyvážené – nikdo ze zúčastněných nemá důvod měnit své city, jelikož lze očekávat, že nic nemáme proti přátelům našich přátel. Podobně i trojúhelník vpravo se dvěma zápornými a jednou kladnou vazbou je vyvážený, 24
protože nevede k žádnému napětí. I když je plný nepřátelství, nic tak neutuží přátelství jako nenávist k jedné a té samé osobě. Trojúhelníky mohou být samozřejmě také nevyvážené. Když tři vzájemní nepřátelé vyhodnotí situaci, dva z nich – často ti, kteří k sobě cítí nejmenší odpor – mohou být v pokušení se spojit proti tomu třetímu. Ještě nevyrovnanější je trojúhelník s jedním záporným vztahem. Řekněme třeba, že jak Alice, tak Bob jsou Carolini přátelé, ale Bob a Alice se spolu nesnášejí. Možná že spolu kdysi měli poměr a pak se ošklivě rozešli, každopádně teď oba pomlouvají toho druhého u vytrvale loajální Carol. To vyvolává napětí u všech. Má-li dojít k rovnováze, buď se musí Alice s Bobem usmířit, nebo se Carol musí rozhodnout pro jednoho z nich.
Ve všech těchto případech odpovídá logika vedoucí k rovnováze logice násobení. Ve vyváženém trojúhelníku je součin znamének dvou stran, kladných nebo záporných, 25
vždy roven znaménku strany třetí. U nevyvážených trojúhelníků toto pravidlo neplatí. Nechme stranou, jak moc je takovýto model reálný, a podívejme se na zajímavé vlastnosti čistě matematické povahy. Tak kupříkladu jaký je nejstabilnější stav v husté trojúhelníkové síti, v níž každý zná každého? Jednou z možností je blažený stav, v němž jsou všechny vztahy pozitivní a všechny trojúhelníky sítě jsou vyvážené. Ale překvapivě existují i jiné stavy, které jsou stejně stabilní. Jsou to stavy neřešitelného konfliktu, v němž je síť rozdělena na dvě nepřátelské (libovolně velké) frakce (libovolného složení). Všichni příslušníci jedné frakce mají navzájem přátelské vztahy a zároveň jsou nepřátelští vůči všem členům druhé frakce. (Není vám to povědomé?) A co je možná ještě překvapivější, tyto polarizované stavy jsou jediné stavy stejně stabilní jako blažený stav, v němž má každý každého rád.3 Například neexistuje rozdělení sítě na tři frakce, které by mělo vyvážené všechny trojúhelníky. Vědci zkoumali tímto způsobem dobu, v níž se schylovalo k první světové válce.4 Níže uvedené diagramy ukazují, jak se přesouvala spojenectví mezi Velkou Británií (GB), Francií (F), Ruskem (R), Itálií (I), Německem (D) a Rakousko-Uherskem (ÖU) v letech 1872 až 1907. Pět prvních uspořádání bylo vesměs nevyvážených, protože všechna obsahovala aspoň jeden nevyvážený
Spolek tří císařů, 1872–81
26
Trojspolek, 1882
Neprodloužení zajišťovací smlouvy mezi Ruskem a Německem, 1890
Srdečná dohoda, 1904
Francouzsko-ruská aliance, 1891–94
Britsko-ruská dohoda, 1907
trojúhelník. Vzniklé pnutí mělo tendenci přimět tyto státy, aby přeskupovaly svá spojenectví, čímž ale vznikala nerovnováha na jiných místech. Nakonec se Evropa rozdělila na dva nesmiřitelné tábory – technicky vyvážené, ale na pokraji války. Nechci tím říct, že tato teorie je schopna nějakých úžasných předpovědí. To není. Je příliš jednoduchá, aby mohla postihnout všechny jemnosti geopolitické dynamiky. Uvádím ji proto, abych ukázal, že některé jevy, které pozorujeme, nejsou ničím jiným než variací na primitivní logiku rčení „nepřítel mého nepřítele“, a tato část dění kopíruje přesně pravidla násobení záporných čísel. Když oddělíme smysluplné od balastu, aritmetika záporných čísel nám může pomoct zjistit, v čem jsou skutečné problémy.
27
4. Komutování Asi tak každých deset let se objeví nějaká nová metoda, jak učit matematiku, takže rodiče získají příležitost vypadat hloupě. V šedesátých letech byli moji rodiče šokovaní, že mi nedokážou pomoct s domácím úkolem ve druhé třídě. Nikdy neslyšeli o číselné soustavě se základem 3 či o Vennových diagramech. Časy se změnily. „Tati, můžeš mi ukázat, jak se dělají tahle násobení?“ Samozřejmě, řekl jsem, ale vzápětí osmiletý syn začal vrtět hlavou. „Ne, tati, takhle to dělat nemáme. Takhle se to dělalo dřív. Ty neumíš mřížkovou metodu? Ne? A co takhle částečné součiny?“ Tyto ponižující příhody mě přiměly, abych se věnoval studiu násobení od samého začátku.1 A ona to je docela záludná záležitost, jakmile o tom začnete hlouběji uvažovat. Stačí vzít slovní formulaci. Znamená „sedm krát tři“, že máme „sedm třikrát přičíst k sobě“? Nebo „tři přičíst k sobě sedmkrát“? V některých jazycích není formulace tak nejednoznačná. Jeden můj známý z Belize odříkával tabulku součinu takto: „Sedm jednotek je sedm, sedm dvojek je čtrnáct, sedm trojek je dvacet jedna,“ a tak dále. Takto formulováno je jasné, že první číslo je násobitel a druhé je násobenec. Je to stejná konvence jako v nesmrtelném textu Lionela Richieho „Jsi jednou, dvakrát, třikrát dáma“. („Jsi dáma krát tři“ by se hitem stalo těžko.) Možná se vám zdá, že je zbytečné o takovýchto lingvistických problémech mluvit, protože přece nezáleží na pořadí, v němž čísla násobíme: 7 × 3 = 3 × 7. To je pravda, ale navozuje to otázku, kterou bych se chtěl zabývat hlouběji: 28
je komutativnost násobení, tedy požadavek, aby platilo a × b = b × a, skutečně tak samozřejmý? Pamatuji se, že když jsem byl malý, překvapilo mě to; možná, že vás také. Abychom to kouzlo prozkoumali, představme si, že nevíme, čemu se rovná 7 × 3. Takže to zjišťujeme sčítáním sedmiček: 7, 14, 21. A teď pořadí změníme a sčítáme trojky: 3, 6, 9, … Cítíte to rostoucí napětí? Jsou to úplně jiná čísla než předtím. Ale pokračujme: … 12, 15, 18 a pak – no ne! Znova 21. Chci tím říct, že když považujeme násobení za synonymum pro opakované sčítání téhož čísla, komutativnost není zřejmá. Ale začne být intuitivně zřejmá, jestliže si násobení představíme vizuálně. Ztotožněme číslo 7 × 3 s počtem teček v pravoúhlém obrazci se sedmi řádky a třemi sloupci.
Když obrazec otočíme a položíme na bok, změní se v obdélník o třech řádcích a sedmi sloupcích. Tudíž musí být pravda, že 7 × 3 = 3 × 7.
=
7x3 7×3 29
=
=
33×7 x7
Je tudíž zvláštní, že v mnoha běžných situacích, zvláště když jde o peníze, lidé na komutativnost násobení zapomínají nebo si neuvědomují, že platí. Uvedu dva příklady. Řekněme, že si kupujete nové džínsy.2 Jsou ve výprodeji se slevou 20 % z původní ceny 50 dolarů, což vám připadá opravdu jako výhodná koupě. Ale nezapomínejme, že musíte také zaplatit 8% daň z obratu. Poté, co vás prodavačka ujistí, jak úžasně vám džínsy padnou, začne markovat koupi, ale pak se zarazí a spiklenecky zašeptá: „Ušetřím vám něco peněz. Vezmu daň z obratu z původní ceny a pak vám odečtu těch 20 %, takže dostanete zpátky víc peněz. Chcete?“ Něco se vám na tom nezdá. „Ne, děkuju,“ řeknete. „Buďte tak hodná, odečtěte těch 20 % hned a pak z toho vypočtěte daň z obratu. V tomhle pořadí, zaplatím menší daň.“ Který postup je pro vás výhodnější? (Za předpokladu, že oboje je legální.) V takovýchhle situacích postupuje hodně lidí tak, že vypočítají daň a slevu v obou scénářích a pak provedou příslušné sečtení nebo odečtení, aby dospěli k výsledné ceně. Takže kdybychom poslechli prodavačku, zaplatíme 4 dolary za daň (8 % z původní ceny 50 dolarů). Tím se původní cena vyšplhá na 54 dolary. Pak aplikujete 20% slevu, takže obdržíme zpět 10,80 dolaru a džínsy nás vyjdou na 43,20 dolaru. Kdežto podle našeho scénáře nejdřív uplatníme slevu, takže ušetříme 10 dolarů z původní ceny. Daň zaplatíme ze snížené ceny 40 dolarů a činí 3,20 dolaru. Výsledná cena tak bude 40 + 3,20 = 43,20 dolaru. Takové překvapení! Ale šlo jenom o komutativnost násobení v akci. Aby to bylo zřejmější, přistupujme k problému z hlediska násobení, nikoliv sčítání. Započtení 8% daně následované 20% slevou znamená, že musíme původní cenu násobit nejprve 30
faktorem 1,08 a výsledek násobit faktorem 0,80. Přehození pořadí daně a slevy znamená jen změnit pořadí obou faktorů, a jelikož 1,08 × 0,80 = 0,80 × 1,08, výsledná cena je táž. Podobné problémy se objevují i při závažnějších finančních rozhodnutích.3 Je penzijní schéma Roth 401(k) lepší nebo horší než tradiční penzijní schéma? A obecněji, když máte hromadu peněz, které chcete investovat a v nějakém okamžiku z nich musíte zaplatit daň – je lepší zaplatit daň na začátku investičního období nebo na konci? Komutativnost násobení nám opět říká, že to je jedno, pokud se ostatní poměry nezmění (což bohužel často není pravda). Pokud v obou scénářích vaše peníze rostou násobeny týmž faktorem a jsou daněné stále stejně, je lhostejné, jestli zaplatíte daň na začátku nebo na konci. Prosím nezaměňte tuto matematickou poznámku za radu, jak nakládat se svými penězi. Každý, kdo se rozhoduje v praxi, musí započítat mnoho aspektů, které situaci komplikují: předpokládáte, že až půjdete do důchodu, budete ve vyšším nebo nižším daňovém pásmu než teď? Co když mezitím změní vláda zákon, podle něhož je výběr peněz osvobozen od daně? Jestliže všechny takovéto komplikace zanedbáme (čímž vůbec nechci říct, že nejsou důležité – jenom se snažím popsat zjednodušený matematický model), bude při analýze podobných rozhodnutí hrát komutativnost významnou roli. Na internetu lze nalézt vzrušené diskuse ohledně takovýchto problémů při řešení finančních záležitostí blogerů. A dokonce i potom, co byl význam komutativnosti doložen, to někteří blogeři odmítli uznat. Tak kontraintuitivní tento zákon je. Možná pramení naše tendence zpochybňovat komutativnost z toho, že v životě většinou záleží na tom, co 31
uděláme jako první. Nemůžete mít celý koláč a zároveň ho jíst. A když si sundáváte boty a svlékáte ponožky, také to musíte dělat ve správném pořadí. Teoretický fyzik Murray Gell-Mann dospěl k podobnému závěru v době, kdy měl obavy ze své budoucnosti. Když absolvoval bakalářské studium v Yale, snažil se zoufale dostat na magisterské studium na jedné z univerzit Ivy League. (Skupina osmi špičkových amerických soukromých univerzit – kromě Yale do ní patří např. Harvard, Princeton a Cornellova univerzita, na níž působí autor této knihy. Pozn. překl.) Princeton ale jeho přihlášku zamítl. Harvard by ho přijal, ale zdráhal se mu poskytnout stipendium tak velké, jak potřeboval. Takže jako nejlepší se nakonec jevila možnost studovat na MIT. Gell-Mannovi to připadalo jako depresivní možnost, MIT považoval za technickou školu, která nevyhovuje jeho vytříbenému vkusu. Nicméně nakonec nabídku MIT akceptoval. O pár let později uvedl, že uvažoval i o sebevraždě, ale rozmyslel si to, když si uvědomil, že studium na MIT a sebevražda jsou věci, které nekomutují.4 Bylo možné chodit na MIT a pak se zabít, ale nikoliv v opačném pořadí. Gell-Mann byl na důležitost nekomutativnosti obzvláště vnímavý. Jako kvantový fyzik si byl dobře vědom, že na nejhlubší úrovni příroda nesplňuje zákon komutativnosti. A to je dobře, protože díky nekomutativnosti je svět takový, jaký je. Díky ní mohou být látky pevné a atomy se nehroutí. V raných dobách kvantové mechaniky5 Werner Heisenberg a Paul Dirac objevili, že příroda se řídí prapodivnou logikou, v níž pro souřadnici q a hybnost p kvantové částice platí p × q ≠ q × p. Bez tohoto narušení komutativnosti by neexistoval Heisenbergův princip neurčitosti, atomy by se zhroutily a svět by neexistoval. 32
5. Dělení a jeho záhady Existuje příběh, který se táhne aritmetikou jako červená nit, ale mnozí z nás si ho nevšimli, protože jsme byli zahlceni dlouhými děleními a hledáním společných jmenovatelů. Tím příběhem je hledání stále univerzálnějších čísel. S přirozenými čísly 1, 2, 3, … vystačíme, pokud se nechystáme dělat nic složitějšího než načítat, sčítat a násobit. Když se ale zeptáme, co zbude, když dáme všechno pryč, jsme nuceni zavést číslo nového typu – nulu – a jelikož existují dluhy, potřebujeme i záporná čísla. Tento rozšířený číselný vesmír zvaný celá čísla je v každém směru stejně soběstačný jako přirozená čísla, ale je mnohem univerzálnější, protože umožňuje i odčítání. Další krize nastane, když se pokusíme matematicky popsat díly celku. Rozdělení celého čísla na stejně velké části není vždy možné… pokud číselný vesmír znova nerozšíříme, tentokrát o zlomky. Zlomky jsou podíly celých čísel – a jelikož se poměr řekne latinsky ratio, říká se těmto novým číslům racionální. Bohužel, toto je bod, který matematické mysli mnoha studentů nejsou schopny překonat. S dělením souvisí mnoho matoucích věcí, ale možná to nejdivnější je, že existuje mnoho různých možností, jak část celku popsat. Když rozřízneme čokoládový dort na dvě části a řez vedeme jeho středem, můžeme s jistotou říct, že každá z částí je polovina dortu. Nebo můžeme to samé vyjádřit zlomkem 1/2, což znamená „1 ze 2 stejných dílů“. (Když to takhle zapíšeme, pak šikmé lomítko vizuálně připomíná akt krájení.) Třetí možností je říct, že každý z dílů je roven 50 % dortu, což doslova znamená „50 dílů ze sta“. 33
A jako by toho nebylo dost, můžete se uchýlit k popisu desetinným číslem a popsat díly jako 0,5 celého dortu. Tato inf lace možností je částečně zaviněna tím, že mnozí z nás jsou ze zlomků, procent a desetinných čísel upřímně zmatení. Barvitým příkladem je scéna z filmu Moje levá noha,1 pravdivého příběhu Christy Browna, irského spisovatele, malíře a básníka. Brown se narodil ve velké dělnické rodině, byl postižen mozkovou obrnou, takže téměř nemohl mluvit a prakticky jediný úd, který mohl ovládat, byla levá noha. Když byl malý, často s ním zacházeli, jako by byl duševně zaostalý, zvláště jeho otec jím opovrhoval a choval se k němu krutě. Ústřední scéna filmu se odehrává u kuchyňského stolu. Jedna z Christyho starších sester sedí vedle otce a tiše si dělá domácí úkol z počtů. Christy je jako obvykle odsunutý do rohu místnosti a celý zkroucený sedí ve svém křesle. „Kolik je dvacet pět procent z jedné čtvrtiny?“ ozve se Christyho sestra. Otec o tom uvažuje. „Pětadvacet procent je čtvrtina. Hmm… To je ale pitomá otázka, ne? Chci říct, pětadvacet procent už čtvrtina je. Nemůžeš mít čtvrtinu ze čtvrtiny.“ Dívka mu oponuje. „Můžeš. Že jo, Christy?“ Otec: „Cha. Co ten o tom asi ví?“ Christy se úporně snaží svou levou nohou uchopit kousek křídy. Nakonec ji umístí na tabulku ležící na zemi a podaří se mu napsat 1, pak lomítko, pak cosi nerozpoznatelného. Má to být číslo 16, ale 6 vyjde převrácená. Frustrovaně smaže šestku patou a snaží se znova, ale tentokrát se křída pohybuje příliš daleko, protne 6, takže číslovka je nečitelná. „ To je jenom nějaká křeč,“ řekne otec posměšně a odvrátí hlavu. Christy zavře oči a vyčerpaně se v křesle zhroutí. Kromě dramatičnosti scény člověka upoutá omezenost otcovy představivosti. Proč si myslí, že není možné 34
utvořit čtvrtinu čtvrtiny? Zřejmě je přesvědčen, že čtvrtinu lze udělat jenom z celku nebo z něčeho, co se ze čtyř dílů skládá. Ale neuvědomuje si, že všechno je složeno ze čtyř stejných částí. Pokud už objekt čtvrtinou je, jeho čtyři stejné části vypadají následovně:
Jelikož 16 úzkých výsečí se složí v původní celek, je každá z nich 1/16 celku – odpověď, kterou se Christy snažil napsat. Podobný příběh mentálního bloku přenesený do digitální doby se před pár lety objevil na internetu, když frustrovaný zákazník jménem George Vaccaro zaznamenal a zveřejnil telefonickou konverzaci se dvěma zástupci firmy Verizon Wireless2 určenými pro styk se zákazníky. Vaccaro si stěžoval, že mu firma sdělila, že bude platit 0,002 centu za kilobyte přenesených dat, ale ve skutečnosti mu účtovali 0,002 dolaru za kilobyte čili stokrát víc. Následující konverzace to dotáhla mezi padesát nejhumornějších scén na YouTube. 35
Toto je vrchol konverzace zhruba v polovině záznamu rozhovoru mezi Vaccarem a manažerkou firmy Andreou: V: Chápete, že je rozdíl mezi jedním dolarem a jedním centem? A: Samozřejmě. V: Chápete, že je rozdíl mezi polovinou dolaru a polovinou centu? A: Samozřejmě. V: Takže doufám, že taky chápete rozdíl mezi 0,002 dolaru a 0,002 centu? A: Ne. V: Ne? A: Přece… přece nic takového jako 0,002 centu není… O něco později Andrea říká: „Jistě, dolar je ‚jednička desetinná čárka nula nula‘, jasně. Ale co by mělo být ‚desetinná čárka nula nula dva dolaru? … V životě jsem neslyšela o 0,002 dolaru… To prostě není celý cent.“ Problém převodu dolaru na centy je jenom část Andreina problému. Skutečným zádrhelem je neschopnost představit si, jak se dělí na části. O záhadnosti desetinných čísel můžu vyprávět z vlastní zkušenosti. Když jsem byl v osmé třídě, paní Stantonová nám začala vykládat, jak přeměnit zlomky v desetinná čísla. Po dlouhém dělení jsme zjistili, že některé zlomky dávají desetinná čísla, která končí samými nulami. Tak třeba 1/4 = 0,2500…, což můžeme zapsat jako 0,25, protože všechny ty nuly nic dalšího nepřinášejí. Jiné zlomky dávají desetinná čísla, která se nekonečně opakují, jako 36
5/6 = 0,8333…
Můj oblíbený zlomek byl 1/7, jehož čísla za desetinnou čárkou se opakují po šesticích 1/7 = 0,142857 142857… Úžas se dostavil, když nás paní Stantonová upozornila, že když vynásobíme třemi jednoduchou rovnici 1/3 = 0,3333…, dospíváme k závěru, že 1 se rovná 0,9999…3 Protestoval jsem tenkrát, že to nemůže být pravda. Bez ohledu na to, kolik devítek napíšu, můžu napsat jedničku se stejným počtem nul, a když pak odečteme od 1,0000… číslo 0,9999…, malinký zbytek zůstane, něco jako 0,0000…01. Tak jako Christyho otec a zástupkyně Verizon Wireless jsem se nedokázal smířit s něčím, co mi bylo právě dokázáno. Viděl jsem důkaz, ale odmítl jsem mu věřit. (Což vám možná připomíná pár lidí, co znáte.) Ale pak to začíná být ještě horší – nebo lepší, pokud se vám líbí, když vaše neurony dostávají zabrat. Vrátíme-li se opět do třídy paní Stantonové, co nám mohlo zabránit, abychom se zabývali desetinnými čísly, která ani nekončí nulami, ani se neopakují? Je jednoduché takové podivné číslo napsat, třeba tohle: 0,121221222122221… Počet dvojek neustále roste, jak desetinná místa přibývají. Takové číslo nelze zapsat ve tvaru zlomku. Zlomky vždycky vedou na čísla, která buď mají konečný počet nenulových desetinných míst, anebo se periodicky opakují – to lze dokázat – a jelikož desetinná místa tohoto čísla nedělají ani jedno, ani druhé, nemůže být rovno podílu dvou celých čísel. Je to iracionální číslo. 37
Když uvážíme, jak uměle jsme tohle číslo vytvořili, možná si myslíte, že iracionální čísla jsou vzácná. Ale je tomu právě naopak, jsou běžná. V jistém smyslu, který lze vyjádřit přesněji, jsou téměř všechna desetinná čísla iracionální.4 A jejich číslice jsou statisticky náhodné. Jakmile přijmeme tenhle udivující fakt, všechno je vzhůru nohama. Celá čísla a zlomky, tak milované a důvěrně známé, teď vypadají jako vzácní exoti. A ta nenápadná číselná osa připíchnutá nahoře nad tabulí ve třídě, kde se učí matematika? Nikdo vám to ještě neřekl, ale tam nahoře vládne chaos.
38
6. Poloha, poloha, poloha Nesčíslněkrát jsem prošel kolem zelené sochy Ezry Cornella,1 aniž bych na ni vůbec pohlédl. Ale pak jsem se jednoho dne zastavil a podíval se na ni pozorněji. Ezra je oblečen na procházku a vypadá důstojně v rozevlátém plášti, vestě a vysokých botách, pravá ruka mu spočívá na vycházkové holi a přitom svírá klobouk se širokou krempou. Pomník působí skromným a prostým dojmem – přesně takovým, jaký byl i muž na něm. Proto mi přišlo tak nepatřičné, že data na podstavci jsou vytesána v pompézních římských číslicích.
EZRA CORNELL MDCCCVII – MDCCCLXXIV 39
Proč tam není prostě 1807–1874? Římské číslice mohou vypadat honosně, ale špatně se čtou a neobyčejně špatně se s nimi počítá. Ezra by na ně neměl trpělivost. Nalézt dobrou reprezentaci čísel byla úloha, jíž se lidé zabývali od nepaměti. Už od úsvitu civilizace vymýšleli různé systémy pro záznam čísel2 a počítání s nimi, ať už pro obchod, výměru pozemků nebo záznamy o počtu dobytka. Téměř všechny tyto systémy měly jedno společné – byly úzce spojeny s lidským tělem. Evoluce nám nadělila pět prstů na každé ruce a tento zvláštní anatomický fakt se odráží v primitivním systému záznamu čísel pomocí čárek. Tak třeba číslo 17 bylo napsáno jako
Každá svislá čárka ve všech skupinkách musela původně označovat prst. Možná, že diagonální čára představovala palec mířící napříč zbývajícími prsty, když ruku zatneme v pěst. Římské číslice3 jsou jen o málo dokonalejší. Původní svislé čárky dále vystupují v římských číslicích 2 a 3 zapisovaných jako II a III. Podobně diagonální čárka se objevuje v římské 5 jako V. Ale 4 je nejednoznačná. Občas ji psali jako IIII (to lze často vidět na nóbl hodinách), většinou ale jako IV. Když nižší číslovka (I) byla umístěna nalevo od větší (V), bylo třeba ji odečíst, zatímco ji bylo třeba přičíst, když byla napravo. Tak IV značí 4, kdežto VI znamená 6. Babyloňané4 tak spjati s prsty rukou nebyli. Jejich početní systém byl založen na číslu 60 – jasné znamení dobrého vkusu, protože 60 je mimořádně půvabné číslo. Krása 40
tohoto čísla je vnitřní a nemá nic společného s lidskými končetinami.5 Šedesátka je nejmenší číslo, které je dělitelné beze zbytku 1, 2, 3, 4, 5, a 6. A to není všechno – je dále dělitelná 10, 12, 15, 20 a 30. Vzhledem k takovému množství dělitelů je 60 mnohem vhodnější než 10 pro všechny výpočty, kde je třeba rozdělit celek na stejný počet dílů. Když dělíme hodinu na 60 minut a minutu na 60 vteřin nebo obvod kruhu na 360 stupňů, navazujeme na moudrost starých Babyloňanů. Ale nejdůležitějším dědictvím Babyloňanů je myšlenka, která je dnes tak běžná, že jen málokdo z nás oceňuje, jak chytrá a důvtipná je. Abychom ji ilustrovali, podívejme se blíže na náš desítkový systém, za který vděčíme Indům a Arabům a který tutéž myšlenku v moderní formě používá. Tento systém je místo na 60 založen na symbolech 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a – což je zvláště brilantní – na 0. Těmto symbolům říkáme číslice. Tím největším vynálezem je, že ačkoliv je systém založen na číslu 10, neexistuje pro ně žádná číslice. Desítka je dána svou polohou – místem rezervovaným pro desítku – nikoliv nějakým symbolem. To samé platí o 100 nebo 1000 nebo jakékoliv jiné mocnině 10. Jejich výjimečný status není dán symbolem, ale polohou, mají rezervovaný svůj pozemek. Poloha, poloha, poloha. Srovnejte eleganci tohoto systému, jenž využívá polohy číslice, s mnohem primitivnějším použitím římských číslic. Potřebujete napsat 10? Desítku Římané měli – je to X. Rovněž měli 100 (C) a 1000 (M) a také měli speciální symboly pro čísla s pětkami: V, L a D znamenaly 5, 50 a 500. Římané vyzdvihli do popředí několik privilegovaných čísel, zavedli pro ně speciální znaky a všechna ostatní, druhořadá čísla vyjádřili jako kombinace těchto privilegovaných čísel. 41
Římský číselný systém měl ale velké potíže, když měl zvládnout jakékoliv větší číslo než pár tisíc. Jako provizorní řešení, které by nás dneska svou elegancí neuspokojilo, zavedli vědci, kteří ve středověku stále ještě pracovali s římskými číslicemi, vodorovnou čárku nad používaným symbolem pro násobení tisícem. Tak například X znamenalo deset tisíc a M znamenalo tisíc tisíců čili milion. Násobení miliardou (tisícem milionů) se zřídkakdy vyskytovalo, ale kdyby ano, prostě jste nad M dali dva pruhy. Jak vidíte, bylo to zábavné. Ale v indicko-arabské číselné soustavě je hračka napsat libovolně velké číslo. Všechna čísla mohou být napsána pomocí týchž deseti číslic, stačí je dát na správné místo. Kromě toho je tato notace vnitřně konzistentní. Kupříkladu každé číslo menší než milion může být vyjádřeno pomocí šesti či méně číslic. Snažte se to dokázat slovně, pomocí čárek nebo římských číslic! Nejdůležitější je, že v pozičním systému, kde velikost čísla je dána polohou číslic, se každý může naučit aritmetiku. Stačí si osvojit pár znalostí – tabulku násobků a její analog pro sčítání. Jakmile tohle umíte, nic víc už nepotřebujete. Libovolný výpočet zahrnující libovolnou dvojici čísel, bez ohledu na to, jak jsou velká, může být proveden uplatněním stejných pravidel znovu a znovu, rekurzivně. Pokud to zní jako mechanická záležitost, tak přesně to také chci zdůraznit. V systému, kde záleží na poloze číslic, můžeme naprogramovat stroj, aby aritmetiku prováděl za nás. Od prvních dnů mechanických kalkulátorů až po dnešní superpočítače bylo možné zautomatizovat aritmetické operace díky té úžasné myšlence, že o velikosti čísla rozhoduje poloha číslic. Ale pravým hrdinou tohoto příběhu je 0. Bez nuly by se celý systém zhroutil. Je to právě nula, která nám umožňuje rozlišit mezi 1, 10 nebo 100. 42
Všechny systémy, kde rozhoduje poloha číslic, jsou založeny na jednom čísle, kterému se oprávněně říká základ číselné soustavy. Náš systém má základ 10 neboli je decimální (od latinského decem znamenající „deset“). Po poloze jednotek odpovídají další místa desítkám, stovkám, tisícům a tak dále, což jsou všechno mocniny deseti:
10 = 101 100 = 10 × 10 = 102 1000=10 × 10 × 10 = 103.
Jak jsem už řekl, při volbě číselné soustavy se základem 10 hrály roli spíše biologické než logické důvody, takže se nabízí otázka: existuje nějaký jiný základ číselné soustavy, s nímž by se počítalo rychleji nebo snadněji? V mnoha směrech to platí pro základ 2, slavný a dneska všudypřítomný binární systém používaný v počítačích a všech digitálních zařízeních od mobilních telefonů až po fotoaparáty. Ze všech možných číselných soustav si vystačí s nejmenším počtem číslic – jsou jen dvě: 0 a 1. Díky tomu vyhovuje dokonale logice elektronických prvků nebo jiných zařízení, které přepínají mezi dvěma stavy – ano nebo ne, otevřeno nebo zavřeno. Na binární soustavu si člověk musí chvíli zvykat. Místo mocnin 10 v ní vystupují mocniny 2. I teď je, stejně jako v desítkovém systému, velikost čísla dána polohou číslic, ale jednotlivá místa nyní odpovídají dvěma, čtyřem a osmi, protože
2 = 21 4 = 2 × 2 = 22 8 = 2 × 2 × 2 = 23.
Samozřejmě, číslice 2 v binárním systému neexistuje, tak jako neexistuje číslice pro 10 v desítkovém systému. 43
V binárním systému je 2 zapsána jako 10, což znamená jednou 2 a nulkrát 1. Podobně 4 má tvar 100 (jednou 4, nulkrát 2 a nulkrát 1) a 8 je 1000. Význam binární soustavy daleko překračuje rámec matematiky. Náš svět se mění binárně. Během posledních desetiletí jsme si začali uvědomovat, že všechny informace – nejen čísla, ale také verbální, obrazové a zvukové informace – mohou být zakódované jako posloupnost nul a jedniček. Čímž se dostáváme zpátky k Ezrovi Cornellovi.
Za jeho postavou stojí na podstavci dokonale skrytý telegrafní přístroj – nenápadné připomenutí Ezrovy role při vybudování společnosti Western Union a propojení severoamerického kontinentu. Když se z tesaře stal podnikatel, Cornell pracoval pro Samuela Morseho, jehož jméno nese abeceda složená 44
z teček a čárek, na něž se přeměnila angličtina vysílaná telegrafním klíčem. Tyto dva útlé symboly byly technickými předchůdci dnešních nul a jedniček. Morse pověřil Cornella, aby vybudoval první telegrafní spojení z Baltimore do amerického Capitolu ve Washingtonu, D. C. Když byla linka 24. května 1844 oficiálně otevřena, Morse poslal jako první zprávu telegram: „What hath God wrought“ – „Co učinil s ním Bůh silný“.
45
Část II
Vztahy 7. Radost z x Nastal čas, abychom se posunuli od aritmetiky pro základní školu ke středoškolské matematice. Během dalších desíti kapitol si připomeneme znalosti z algebry, geometrie a trigonometrie. Pokud jste už všechno zapomněli, nebojte se – tentokrát nebudete muset psát žádné testy. Místo abychom zacházeli do podrobností těchto oborů, soustředíme se na ty nejkrásnější a nejdůležitější myšlenky s nejdalekosáhlejšími důsledky. Tak třeba algebra vám může připadat jako změť symbolů, definic a postupů, ale nakonec se všechno redukuje na dvě základní věci – nalezení x a použití vzorců. Hledání x je detektivní práce. Snažíte se najít neznámé číslo x. K dispozici máte buď rovnici jako třeba 2x + 3 = 7, nebo, což je obtížnější, nějaký slovní popis (jako v oněch obávaných slovních úlohách). V obou případech jde o nalezení x s pomocí daných informací. Práce se vzorci je naproti tomu kombinací umění a vědy. Místo abychom se věnovali jednomu konkrétnímu x, upravujeme vztahy, které zůstávají v platnosti, i když se čísla v nich mění. Tyto měnící se veličiny se nazývají proměnné a jsou to právě ony, které odlišují algebru od aritmetiky. Zmíněné vzorce mohou vyjadřovat elegantní vztahy mezi čísly, což je oblast, kde se algebra stýká s uměním. Anebo mohou vyjadřovat vztahy mezi čísly vzatými z běžného života, jako tomu je v přírodních zákonech popisujících padající objekty nebo dráhy planet či četnost alel v populaci. To je oblast, kde se algebra stýká s vědou. 47
Toto rozdělení algebry na dvě velkolepé aktivity není zažité (přesněji řečeno, právě jsem si ho vymyslel), ale připadá mi, že je velice trefné. V příští kapitole si povíme něco více o hledání x, takže teď se soustředíme na vzorce a začneme s něčím jednoduchým, abychom si objasnili, oč jde. Před pár lety si moje dcera Jo uvědomila cosi o své starší sestře Leah. „Tati, mezi tím, kolik je mně a kolik je Leah, je vždycky jedno číslo. Teď je mi šest a Leah je osm a mezi nimi je sedm. A i když už budeme staré a mně bude třeba dvacet, jí bude dvaadvacet a zase bude jedno číslo mezi těmi dvěma.“ Joino pozorování1 lze označit za algebraický vztah (i když jenom hodně hrdý otec by to takhle nazval), protože si všimla vztahu mezi dvěma proměnnými veličinami: jejím věkem, x, a Leahiným věkem, y. Nezávisle na tom, jak staré obě budou, Leah bude vždy o dva roky starší: y = x + 2. Algebra představuje jazyk, v němž lze takovéto zákonitosti nejsnáze vyjádřit. Být zručný v algebře vyžaduje určitou praxi, protože je v ní plno, jak říkají Francouzi, faux ami, „falešných přátel“: spojení dvou slov, která každé patří do jiného jazyka (v tomto případě angličtiny a algebry) a která znějí povědomě a zdá se, že znamenají totéž, ale ve skutečnosti je jejich smysl zcela odlišný. Tak třeba řekněme, že délka chodby je y, když ji měříme v yardech, a f , když ji měříme ve stopách. Napište rovnici, která stanovuje závislost mezi y a f, když víme, že 1 yard je roven 3 stopám. Můj přítel Grant Wiggins, povoláním konzultant výuky matematiky, dává tento problém studentům už celé roky. Tvrdí, že podle jeho zkušenosti to víc než polovina studentů napíše špatně, i když už třeba absolvovali kurz algebry. 48
Pokud si myslíte, že řešením je rovnice y = 3 f, pak vítejte mezi nimi. Zdálo by se, že tato rovnice je přímočarým zápisem věty: „Jeden yard jsou tři stopy.“ Ale jakmile dosadíte pár čísel, hned vidíte, že vzoreček funguje obráceně. Řekněme, že chodba je dlouhá 10 yardů. Každý ví, že to je 30 stop. Ale když dosadíte y = 10 a f = 30, vzoreček nefunguje. Správný vzorec je f = 3y. Ta 3 vlastně znamená „3 stopy na jeden yard“. Když tohle vynásobíte velikostí y v yardech, jednotky yardů se vykrátí a dostanete vzdálenost ve stopách, jak to má být. Kontrola, že se jednotky správně vykrátí, vám pomůže vyvarovat se podobných chyb. Kupříkladu by to pomohlo zástupcům firmy Verizon (viz kapitola 5), aby si nepletli dolary a centy. Jiný typ vzorce je znám jako identita. Když dělíte nebo násobíte polynomy v hodině algebry, pracujete s identitami. Můžete je použít, abyste udělali dojem na přátele pomocí numerických salonních triků. Takhle vypadal jeden, který udělal velký dojem na fyzika Richarda Feynmana, který sám nebyl v počítání z hlavy žádné ořezávátko: Když jsem byl v Los Alamos,2 zjistil jsem, že Hans Bethe je absolutní jednička v numerických výpočtech. Tak třeba jednou jsme dosazovali nějaká čísla do vzorce a potřebovali jsme vypočítat čtverec 48. Natáhl jsem se po kalkulačce Marchant a on říká: „Je to 2 300.“ Začal jsem mačkat tlačítka a on dodal: „Když to chceš přesně, tak 2 304.“ Kalkulačka ukázala 2 304. „Páni! To bylo hodně dobrý,“ povídám. „Ty neumíš počítat čtverce čísel blízkých 50? Uděláš čtverec 50 – to je 2 500 – a odečteš 100krát rozdíl čísla od 49
50 (v tomhle případě 2), takže máš 2 300. A když chceš opravu, tak přičteš čtverec toho rozdílu. Což dává 2 304.“
Betheho trik je založen na identitě
(50 + x)2 = 2 500 + 100x + x2.
Tenhle vzoreček měl uložený v hlavě a použil ho pro x = –2, což odpovídá číslu 48 = 50 – 2. Pro intuitivní důkaz vzorce si představme čtvercový koberec o straně 50 + x. 50
x
50
2500
50x
x
50x
x2
Jeho obsah je (50 + x) krát (50 + x), což je výraz na levé straně identity. Obrázek ukazuje, že tato plocha je tvořena čtvercem 50 × 50 (což je oněch 2 500 ve zkoumaném vzorci), dvou obdélníků o velikosti 50 krát x (každý z nichž přispívá k ploše koberce hodnotou 50x, takže dohromady 100x), a konečně malým čtverečkem o velikosti x krát x o obsahu x2, což je poslední člen Betheho vzorce. Takovéhle vzorce nejsou užitečné jen pro teoretické fyziky. Identita podobná té Betheho je užitečná každému, kdo investoval na burze.3 Řekněme, že vaše akcie se během prvního roku katastrofálně propadly o 50 procent, ale příští rok zase o 50 procent vzrostly. Přestože se tak dramaticky vzpamatovaly, stejně jste prodělali 25 procent původní investice. Proč? Protože padesátiprocentní ztráta odpovídá násobení vašich peněz faktorem 0,5. Druhým rokem akcie padesát procent získaly, což odpovídá násobení 50
faktorem 1,5. Tyto dvě po sobě následující události tedy započteme násobením 0,5 krát 1,5, což dává 0,75 – jinými slovy přišli jste o 25 procent investované částky. Dokonce platí, že když akcie jeden rok klesnou a druhý rok stejně stoupnou, nikdy nedostanete zpět to, co jste ztratili. Algebra nám hned řekne proč. Je to důsledek identity
(1 – x)(1 + x) = 1 – x2.
Velikost vašeho portfolia po roce poklesu získáte násobením faktorem 1 – x (v příkladu výše bylo x = 0,5), po druhém roce vzroste násobením faktorem 1 + x. Takže celková bilance je
(1 – x) (1 + x)
a to se podle výše uvedeného vzorce rovná 1 – x2. Tento výraz je ale vždycky menší než 1 pro každé x různé od 0, takže nějaká ztráta vždycky existuje. Nemusím ani zdůrazňovat, že ne každý vztah mezi proměnnými je takhle jednoduchý. Nicméně kouzlo algebry je tak svůdné, že vzniknou i tak pošetilé vztahy, jako je vzorec pro sociálně přijatelný věkový rozdíl mezi partnery. Podle jistých míst na internetu platí, že je-li váš věk x, pak mravná společnost nebude schvalovat,4 když navážete poměr s někým, kdo je mladší než x/2 + 7. Jinými slovy, bylo by ostouzení hodné, kdyby si někdo starší než dvaaosmdesát let dělal zálusk na mou osmačtyřicetiletou ženu, i kdyby byla volná. Ale kdyby mu bylo jednaosmdesát? Žádný problém. Ale, ale… 51
8. Jak nalézt kořeny Více než 2 500 let jsou matematici posedlí řešením rovnic. Historie tohoto hledání řešení – čili kořenů1 – stále složitějších rovnic je jednou ze slavných kapitol dějin lidského myšlení. Jeden z historicky prvních takovýchto problémů trápil obyvatele ostrova Delos kolem roku 430 př. n. l. V zoufalé snaze zastavit epidemii moru se jeli poradit s věštkyní v Delfách, která jim doporučila, aby zdvojnásobili velikost oltáře zasvěceného Apollonovi. Oltář měl tvar krychle a zdvojnásobení jeho velikosti2 naneštěstí vyžaduje vypočítat třetí odmocninu ze 2. Dnes víme, že s pomocí pouhého kružítka a pravítka – jediných nástrojů geometrie starých Řeků – je to neřešitelný úkol. Další pokusy řešit podobné úlohy narazily na jiný nepříjemný a nepoddajný problém, který ne a ne zmizet: i když byla řešení možná, často se v nich vyskytovala druhá odmocnina ze záporných čísel.3 Taková řešení byla dlouho zavrhována jako nemožná či nesprávná, protože nedávala žádný smysl. Až do začátku 18. století byli matematici přesvědčení, že odmocnina ze záporných čísel nemůže existovat. Nemohla jimi být kladná čísla, protože přece kladné číslo krát kladné číslo je vždycky zase kladné a my hledáme číslo, jehož čtverec by byl záporný. Nemohla to být ale ani záporná čísla, protože záporné číslo krát záporné číslo je také kladné. Vypadalo to, že je beznadějné hledat čísla, která násobena sama sebou by dala něco záporného. Takové krize už jsme zaznamenali. Vyskytují se vždycky, když se existující operace snažíme používat i tam, kde už 52
nedávají smysl. Tak jako snaha odečíst větší čísla od menších vedla k zavedení záporných čísel (kapitola 3) a dělení vedlo k zavedení zlomků a desetinných čísel (kapitola 5), snaha o širší použití druhých odmocnin si vynutila rozšířit číselný vesmír… už zase. Historicky vzato bolel tento krok ze všech nejvíc. Odmocnina z –1 se pořád ještě značí i od slova imaginární. Toto nové číslo (anebo, pokud bychom se chtěli chovat jako agnostici, tak symbol, nikoliv číslo) je definováno tím, že platí
i2 = –1.
Pravda je, že i nikde na číselné ose nenalezneme. V tomto smyslu je mnohem podivnější než nula, záporná čísla, zlomky nebo dokonce i iracionální čísla, která všechna – ať už nám připadají sebedivnější – na číselné ose leží. Ale s trochou fantazie místo pro i nalezneme. Přebývá mimo číselnou osu, kolmo na ni, na vlastní imaginární ose. A když uvažujeme obě osy současně, obyčejnou „reálnou“ osu i osu imaginární, vznikne dvojrozměrný prostor – rovina – kde nové typy čísel přebývají. Jsou to komplexní čísla. Výraz „komplexní“ neznamená v tomto kontextu „složitý“; znamená, že oba typy imaginary
numbers imaginární čísla 2 + 3i
3i 2i i -3 -2 -1 -i -2i -3i 53
1
2
3
real reálná čísla numbers
Toto je pouze náhled elektronické knihy. Zakoupení její plné verze je možné v elektronickém obchodě společnosti eReading.
