PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ

ING. JOSEF PANÁČEK

PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ MODUL CM2 DIMENZOVÁNÍ BETONOVÝCH PRVKŮ – ČÁST 1

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Prvky betonových konstrukcí · Modul CM2

© Josef Panáček, Brno 2005

- 2 (70) -

Obsah

OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti..............................................................................5 1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klíčová slova.........................................................................................5 2 Ohýbané železobetonové prvky...................................................................7 2.1 Charakteristika ohýbaných prvků .........................................................7 2.2 Chování a modelování ohýbaných prvků..............................................8 2.3 Autotest ...............................................................................................10 3 Prvky namáhané ohybovým momentem ..................................................11 3.1 Napjatostní stádia ohýbaného prvku ...................................................11 3.2 Předpoklady a principy výpočtu mezní únosnosti ..............................13 3.2.1 Základní předpoklady výpočtu mezní únosnosti ..................13 3.2.2 Obecný postup při stanovování mezní únosnosti..................14 3.2.3 Hraniční případy porušení a jejich využití............................17 3.2.4 Možnosti zjednodušení výpočtu mezní únosnosti ................18 3.3 Stanovení mezní únosnosti pro vybrané typy průřezů ........................21 3.3.1 Obdélníkový průřez ..............................................................21 3.3.1.1 Jednostranně vyztužený obdélníkový průřez ........................21 3.3.1.2 Oboustranně vyztužený obdélníkový průřez ........................24 3.3.2 Průřezy se spolupůsobící deskou ..........................................26 3.3.3 Obecnější souměrné a nesouměrné průřezy..........................29 3.3.3.1 Souměrné průřezy .................................................................30 3.3.3.2 Nesouměrné průřezy .............................................................30 3.3.4 Průřezy namáhané šikmým ohybem .....................................32 3.4 Autotest ...............................................................................................33 4 Prvky namáhané posouvající silou............................................................35 4.1 Chování prvků namáhaných posouvající silou ...................................35 4.1.1 Základní principy působení...................................................35 4.1.2 Rozbor rozhodujících stádií ..................................................36 4.2 Výpočet mezní smykové únosnosti.....................................................41 4.2.1 Základní principy a předpoklady výpočtu ............................41 4.2.2 Prvky bez smykové výztuže..................................................42 4.2.2.1 Způsob porušení prvků bez smykové výztuže ......................42 4.2.2.2 Smyková únosnost prvků bez smykové výztuže ..................43 4.2.3 Prvky se smykovou výztuží ..................................................44 4.2.3.1 Způsob porušení prvků se smykovou výztuží.......................44 4.2.3.2 Smyková únosnost prvků se smykovou výztuží ...................46 4.3 Návrh a posouzení prvků namáhaných na smyk.................................49 4.3.1 Zásady návrhu a posouzení...................................................49 4.3.2 Rozhodující a další průřezy pro návrh a posouzení ..............51

- 3 (70) -


4.3.3 Podrobnosti výpočtu únosnosti v některých oblastech. ....... 55 4.4 Podélný smyk ..................................................................................... 57 4.5 Autotest............................................................................................... 60 5 Prvky namáhané kroucením..................................................................... 61 5.1 Chování a porušení kroucených prvků ............................................... 61 5.2 Stanovení únosnosti kroucených prvků.............................................. 63 5.2.1 Únosnost kroucených prvků bez trhlin................................. 63 5.2.2 Únosnost kroucených prvků s trhlinami............................... 65 5.3 Autotest............................................................................................... 67 6 Závěr ........................................................................................................... 69 6.1 Shrnutí ................................................................................................ 69 6.2 Studijní prameny ................................................................................ 69 6.2.1 Seznam použité literatury..................................................... 69 6.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury................................... 70 6.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny .......................... 70 6.3 Klíč ..................................................................................................... 70

- 4 (70) -

Úvod

1

Úvod

1.1

Cíle

V modulu CM 2 se seznámíme se základními principy dimenzování prvků betonových konstrukcí podle mezních stavů únosnosti. Bude se jednat o první část, která zahrnuje ohýbané železobetonové prvky a zabývá se dimenzováním železobetonových prvků namáhaných ohybovým momentem, posouvající silou a kroutícím momentem. Naučíme se jednak obecné principy pro jednotlivé případy namáhání a jednak aplikace pro běžné i speciální typy průřezů a pro jednoduché typy prvků. Naznačíme si také možná řešení pro vzájemnou interakci výše uvedených statických veličin. Součástí budou i konstrukční zásady pro vyztužování těchto prvků. Pro naplnění cílů tohoto modulu bylo potřeba jej nejen napsat, ale také jej vybavit obrázky. Proto na tomto místě je potřeba poděkovat za jejich pečlivé nakreslení Ing. Patriku Panáčkovi, Ing. Karlu Tesařovi, Ing. Jiřímu Strnadovi a především Ing. Radimu Nečasovi, který se na nich podílel nejvíce včetně jejich celkové koordinace a vložení do textu.

1.2

Požadované znalosti

Látka probíraná v tomto modulu předpokládá znalosti z oblasti zatížení stavebních konstrukcí, mechanicko-fyzikálních vlastností materiálů, vytváření statických modelů jednoduchých prvků a konstrukcí a základních principů navrhování podle mezních stavů získaných studiem předcházejícího modulu CM 1. Dále je potřeba znát základní způsoby výpočtu statických veličin ze stavební mechaniky pro různé typy zatížení a stanovení napjatosti prvků při různých způsobech namáhání z pružnosti a plasticity. Z technické matematiky a fyziky (zde především z mechaniky) jsou zapotřebí běžné znalosti získané již na střední škole nebo v předcházejícím studiu na fakultě stavební.

1.3

Doba potřebná ke studiu

Modul zahrnuje z celé problematiky navrhování betonových prvků přibližně 30 procent, což odpovídá čtyřem týdnům z celého semestru. Doba potřebná k nastudování jednotlivých kapitol a celého textu je především závislá na obtížnosti tématu, předchozích znalostech a schopnostech studenta. Z těchto důvodů se dá pouze odhadnout a může činit 15 až 20 hodin.

1.4

Klíčová slova

Prvek, deska, nosník, trám, příruba, stojina, uložení, zatížení, břemeno, účinek zatížení, řez, průřez, síla, ohybový moment, posouvající síla, kroutící moment, ohyb, smyk, kroucení, beton, výztuž, železobeton, podélná výztuž, prut s ohybem, třmínek, spona, stupeň vyztužení, podmínka rovnováhy, napětí, poměrné přetvoření, únosnost, odolnost, neutrální osa, pevnost, porušení, trhlina, - 5 (70) -


ohyb, smyk, kroucení, tah, tlak, příhradovina, segment, diagonála, pás, pole, posun.

- 6 (70) -

Ohýbané železobetonové prvky

2


Z mezních stavů únosnosti se budeme postupně zabývat analýzou jednotlivých způsobů porušení železobetonových prvků při různých druzích namáhání. V tomto modulu to budou prvky namáhané ohybem, tzn. prvky namáhané ohybovým momentem a posouvající silou a prvky namáhané kroutícím momentem.

2.1

Charakteristika ohýbaných prvků

Mezi ohýbané prvky můžeme zařadit především vodorovné nebo šikmé nosné prvky jako jsou např. desky, trámy, překlady, průvlaky a příčle. Jedná se většinou o samostatné prvky nebo části stropních nebo vyložených konstrukcí, schodišť nebo podpěrných konstrukcí apod. Ohýbané prvky jsou od zatížení většinou namáhány kombinací ohybového momentu M a posouvající síly V.

F1

F2

A

F3

f

A a) zatížení nosníku, vyšetřovaný řez

F1

A

F2

F3

f

M V

V A

b) působící síly - moment M a posouvající síla V

F1

A

F2

F3

z

C V

T

V A

c) vzdorující síly Obr. 2.1 Působící a vzdorující síly u ohýbaného prvku

- 7 (70) -

f


Na obr. 2.1a je vykreslen příklad prostého nosníku zatíženého soustavou břemen o velikosti Fi a rovnoměrným zatížením o intenzitě f. Od tohoto zatížení vznikají v řezu A-A vnitřní síly - ohybový moment M a posouvající síla V (viz obr. 2.1b). Stejnými hodnotami ve sledovaném řezu vzdoruje nosník s tím, že vzdorující ohybový moment můžeme nahradit dvojicí sil, v tlačené oblasti C a v tažené oblasti T, působících od sebe ve vzdálenosti z (rameno vnitřních sil) – viz obr. 2.1c. Pak platí M = C.z = T.z. Pokud v daném místě bude současně působit ohybový moment M a posouvající síla V, bude se jednat o tzv. prostý ohyb. Čistý ohyb může nastat pouze tehdy, pokud prvek bude celý nebo v jeho některé části namáhán pouze ohybovým momentem (V = 0). Obecně v závislosti na zatížení a na statickém schématu mohou z hlediska velikosti M a V nastat různé případy jejich kombinací. Běžně ale při navrhování ohýbaných prvků postupujeme tak, že je dimenzujeme zvlášť pro jednotlivé možné způsoby porušení a rozhodující statické veličiny. V dalším textu budeme označovat účinky vnějšího zatížení ME a VE a odolnost prvku v daném průřezu MR a VR. Kontrolní otázky Vyjmenujte jednotlivé typy ohýbaných prvků. Působící a vzdorující statické veličiny u ohýbaných prvků. Charakterizujte rozdíl mezi prostým a čistým ohybem.

2.2

Chování a modelování ohýbaných prvků

Při rozboru chování železobetonového prvku se většinou vychází jednak z rozboru chování běžného prutového prvku v jednotlivých průřezech a jednak z náhrady prvku pomocí tzv. náhradní příhradové soustavy. Železobetonový prvek se přitom srovnává s homogenním prvkem, tj. prvkem, u něhož lze uplatnit základní principy pružného chování. U homogenního prvku v důsledku působení ohybového momentu a posouvající síly vznikají normálová a smyková napětí (σx a τ) a v kombinaci hlavní napětí v tahu σ1 a v tlaku σ2. Možný průběh trajektorií těchto napětí na prostém nosníku je zřejmý z obr. 2.2a v levé části. U železobetonového prvku v důsledku významně menší pevnosti betonu v tahu dochází v tažené oblasti nejdříve ke vzniku ohybových a později i smykových (šikmých) trhlin – obecně přibližně kolmo na směr trajektorií hlavního napětí v tahu (viz obr. 2.2a pravá část). V tlačené oblasti mohou v důsledku namáhání hlavním napětím v tlaku vzniknout mikrotrhliny. Oba případy mohou rozhodnout o únosnosti. Vzhledem k tomu, že beton má výrazně menší schopnost přenášet tahová namáhání, je nutno vkládat ohybovou a smykovou výztuž do těch míst, kde by došlo k porušení betonu z hlediska jeho nedostatečné únosnosti v tahu. Používání výztuže v tlačené oblasti u ohýbaných prvků je méně časté. Dimenzováním u železobetonových prvků tedy rozumíme takový návrh výztuže, která spolu s tlačeným betonem zajistí jeho dostatečnou únosnost – v obr. 2.2b je staticky nutná výztuž vykreslena plně a konstruktivní čárkovaně.

- 8 (70) -


a) trajektorie hlavních napetí

σ2

σ2

σ1

σ1 železobetonový prvek

homogenní prvek

b) vyztužení, místa porušení 1b

3

2

1a

1

Obr. 2.2 Napjatost, vyztužení a místa porušení ohýbaného prvku

V obr. 2.2b jsou také zobrazeny možné způsoby porušení: 1 – porušení ohybem (1a – porušení podélné výztuže v tažené oblasti, 1b – porušení betonu v tlačené oblasti – drcení betonu), 2 – porušení smykem za ohybu, 3 – porušení v oblasti kotvení výztuže. Na základě těchto způsobů porušení lze pak prokazovat únosnost v jednotlivých rozhodujících řezech.

fd Rc1

Fc

Rc2 Vc

α

θ Ft

Obr. 2.3 Působení železobetonového prvku jako příhradová soustava

S ohledem na charakter porušení obýbaného železobetonového prvku (tvar a směr trhlin, síly v tlačené oblasti a ve výztuži) lze jej modelovat jako násobnou staticky neurčitou příhradovou soustavu se zakřiveným tlačeným betonovým horním pásem, šikmými tlačenými betonovými diagonálami mezi jednotlivými trhlinami a soustavou tažených prutů vytvářejících tažený pás příhradové

- 9 (70) -


soustavy (podélná výztuž) a jednotlivými taženými svislicemi nebo šikmými diagonálami (svislé či šikmé třmínky, šikmé ohyby) – viz obr. 2.3. Z tohoto obrázku je také zřejmé, že oba pásy se budou převážně podílet na přenosu ohybového momentu (vzniknou v nich síly Ft a Fc) a tlačené či tažené diagonály a tažené svislice budou přenášek účinky od posouvající síly (v kapitole 4 bude odvozeno, že i posouvající síly ovlivňují síly v obou pásech). Kontrolní otázky Trajektorie hlavních napětí u prvku z homogenního materiálu a ze železobetonu. Zdůvodněte umístění výztuže do betonu. Možné způsoby porušení ohýbaného prvku. Modelování železobetonového prvku jako násobné příhradové soustavy.

2.3

Autotest

viz kontrolní otázky

- 10 (70) -

Prvky namáhané ohybovým momentem

3


Namáhání ohýbaných prvků ohybovým momentem patří mezi nejčastější způsoby namáhání. V této kapitole se postupně seznámíme s jejich napjatostí, s obecnými principy stanovování jejich únosnosti a s konkrétními postupy pro různé typy průřezů.

3.1

Napjatostní stádia ohýbaného prvku

V místech, kde převládá namáhání ohybovým momentem, vznikají většinou normálová napětí. Jejich rozdělení po průřezu odpovídá velikosti namáhání a stupni porušení. Zkoušky železobetonových prvků prokázaly, že původně svislé průřezy zůstávají téměř rovinné (kolmé ke zdeformované střednici) až do okamžiku porušení a že se jen pootočí. Normálová napětí však nerostou úměrně, ale podle příslušných pracovních diagramů betonu a výztuže (viz modul CM1). Změny napjatosti v průřezu při postupném nárůstu intenzity zatížení lze v podstatě charakterizovat třemi stádii. Stádium I – působí celý betonový průřez V tomto stádiu působí celý betonový průřez jak v tlačené tak i v tažené oblasti. Výztuž plně spolupůsobí s betonem, její poměrné přetvoření εs je rovno poměrnému přetvoření betonu ve stejné úrovni εcs. Mohou v podstatě nastat dvě situace. Při menších intenzitách zatížení je napětí jak v betonu tak i ve výztuži přímo úměrné poměrnému přetvoření (viz obr. 3.1a) a lze jej stanovit podle teorie pružnosti – σ = E.ε. Výpočet napětí v tomto stádiu (i ve stádiu II) lze provádět na tzv. ideálním průřezu (parametry průřezu – plocha, moment setrvačnosti atd. se pro výztuž uvažují αe násobně). Napětí ve výztuži je tedy αe násobně větší než napětí v přilehlém vlákně betonu, kde αe = Es/Ec (poměr modulu pružnosti výztuže a betonu), nebo se dá určit z pracovního diagramu pro příslušné poměrné přetvoření εs. Při větších intenzitách zatížení však dochází k nelineárnímu rozdělení napětí v betonu v tažené zóně a k posunu nulové osy poměrných přetvoření k tlačenému okraji. Při mezním poměrném přetvoření v krajních tažených vláknech betonu εctu a při napětí σct = fct, kde fct je pevnost betonu v tahu, se prvek dostane do stavu, který je označován jako mez vzniku trhlin (viz obr. 3.1b). I tento případ, v němž by se mělo přihlížet k pružně-plastickému chování taženého betonu, lze v praktických řešeních vystihnout za předpokladu pružného chování při uvážení fiktivní pevnosti betonu v tahu za ohybu γ.fct, kde γ = 1,6h[mm]/1000 ≥ 1,0. Napětí ve výztuži se nadále určí podle zásad pružného chování. Tento stav se používá nejen u mezních stavů použitelnosti, ale i ke stanovení minimálního vyztužení průřezu, které by mělo zabezpečit, že nedojde k náhlému (křehkému) porušení po překročení této meze. Stádium II – vyloučený beton v tažené oblasti bez využití plasticity betonu v tlačené oblasti

- 11 (70) -


Při dalším navýšení intenzity zatížení se beton v tažené oblasti postupně začíná porušovat trhlinami. V místě každé trhliny je beton téměř vyloučen ze spolupůsobení, rozhodující část tahové síly přenáší výztuž a nulová osa poměrných přetvoření se opět mírně posouvá k tlačenému okraji (viz obr. 3.1c). Spolupůsobení betonu a tažené výztuže je zajištěno neporušeným betonem mezi trhlinami (odpovídá stádiu I). Napětí betonu v tlačené oblasti lze přibližně považovat za lineární (platí přibližně do σc = 0,4.fc, kde fc je pevnost betonu v tlaku). Výpočet napětí lze provádět podobně jako ve stádiu I, jen průřezové charakteristiky je nutno uvažovat bez tažené oblasti betonu a napětí v taženém betonu lze považovat za fiktivní. Napětí ve výztuži lze i v tomto stavu stanovit podle zásad pružnosti. Tento stav se využívá u tzv. klasické teorie železobetonu a v teorii mezních stavů u mezního stavu použitelnosti a při výpočtech na únavu.

ΙΙ

Ι

εc < εcu σc < −fc tlak a

εc

σc

b

εc

εctu

A s1

ε cu εc

εs > − εy

c

εc

σc

γ.f ct

tah

d

σc

f ct

ε s< εy σs= αe. σcs< f y

ΙΙΙ εc <εcu σc< − fc

fc

εc

σc

e

σs = f y

εs =εu

σc

f

εcu εc

fc

σc

σs =f y εs< εy σs < f y

Obr. 3.1 Napjatostní stádia železobetonového prvku

Stádium III - vyloučený beton v tažené oblasti s využitím plasticity betonu v tlačené oblasti Při dalším navýšení intenzity zatížení napětí v tlačeném betonu již nebude lineární. Výztuž podle míry vyztužení může být v pružném nebo v plastickém stavu. K porušení průřezu dojde buď z důvodů nedostatečné únosnosti tažené výztuže nebo tlačeného betonu. U běžně vyztuženého prvku bude dosaženo poměrného přetvoření ve výztuži odpovídající mezi kluzu (εs ≥ εy) dříve než v krajních tlačených vláknech betonu mezní hodnoty εcu. Nulová osa poměrných přetvoření se opět posune směrem k tlačenému okraji. K porušení v průřezu dojde v důsledku postupného

- 12 (70) -


plastického protahování výztuže dosažením mezního poměrného přetvoření εcu v tlačeném betonu a jeho porušením (viz obr. 3.1d). Vzhledem k tomu, že prvotní příčinou porušení je plastické protažení výztuže, mluvíme o tzv. tahovém porušení. Tento způsob porušení zaručuje svými příznaky (růst šířky trhlin a zřejmá deformace prvku) varování, že prvek se dostává do mezního stavu únosnosti. V některých případech (např. při slabším vyztužení) může dojít k situaci, kdy poměrné přetvoření ve výztuži dosáhne mezní hodnoty εu dříve než v tlačeném betonu bude dosaženo εcu (viz obr. 3.1e). Příčinou porušení v tomto případě nebude beton, ale tažená výztuž. Zohlednění tohoto případu při praktickém dimenzování nemá téměř žádný význam, proto lze využívat pracovního digramu výztuže bez omezení velikosti poměrného přetvoření. U silně vyztuženého prvku je dosaženo mezního stlačení v krajních vláknech betonu εcu dříve než v tažené výztuži je napětí odpovídající mezi kluzu (platí εs<εy) – viz obr. 3.1f. V tomto případě mluvíme o tzv. tlakovém porušení, protože prvotní příčinou mezního stavu je drcení tlačeného betonu. Vzhledem k tomu, že zde nedochází k určitému varování výraznějšími trhlinami či průhybem, je tento způsob porušení prvku z hlediska možných opatření nevýhodný. Jeho menší výhodnost je dána i nevyužitím tažené výztuže. Kontrolní otázky Charakterizujte předpoklady pro pružné chování železobetonových prvků. Charakterizujte situaci na mezi vzniku trhlin. Popište situaci při vyloučeném betonu v tažené oblasti bez využití jeho plastického chování v tlaku. Definujte a zhodnoťte mezní stav únosnosti prvku při tzv. tahovém porušení. Jaký je vliv a význam uvažování existence mezního poměrného protažení u výztuže. Definujte a zhodnoťte mezní stav únosnosti prvku při tzv. tlakovém porušení.

3.2

Předpoklady a principy výpočtu mezní únosnosti

Při výpočtu mezního stavu únosnosti se obvykle vychází z napjatostního stádia III, kde místo skutečných hodnot sil, pevností a poměrných přetvoření se pracuje s hodnotami návrhovými. Jejich označení je v indexu doplněno písmenem d, např. MEd, MRd, fcd, εyd atd. V dalším textu pro zjednodušení není toto označení, pokud to není nezbytně nutné, používáno.

3.2.1

Základní předpoklady výpočtu mezní únosnosti

Při stanovení mezní únosnosti železobetonového průřezu při namáhání ohybovým momentem (platí i pro kombinaci s normálovou silou) se podle [3] vychází z těchto předpokladů: • zachovává se rovinnost průřezu před a po přetvoření (velikost poměrného přetvoření ε je přímo úměrná vzdálenosti od nulové nebo-li neutrální osy),

- 13 (70) -


• spolupůsobení výztuže a betonu je zajištěno dokonalou soudržností (poměrná přetvoření výztuže εs v tahu i tlaku a poměrná přetvoření v přilehlých vláknech betonu εcs jsou stejná => εs = εcs), • beton v tažené oblasti průřezu v důsledku trhlin nepůsobí (veškerá tahová napětí přenáší výztuž), • tlaková napětí betonu v tlačené oblasti průřezu se určují podle pracovních digramů pro stanovení meze únosnosti (parabolicko-rektangulárního, bilineárního) nebo lze uvažovat rovnoměrné rozdělením tohoto napětí – viz dále, • napětí ve výztuži se stanovují podle pracovních diagramů pro stanovení meze únosnosti (s vodorovnou nebo se stoupající plastickou větví), • poměrná přetvoření jsou omezena pro tlačený beton hodnotou εcu a pokud je to vhodné i pro výztuž hodnotou εu => za mezní stav je považována situace, když alespoň v jednom z materiálů je dosaženo mezního poměrného přetvoření (pokud εu není omezeno, rozhoduje vždy tlačený beton). V praktických řešeních se většinou uplatňuje pro tlačený beton rovnoměrné rozdělení napětí o hodnotě η.fc v oblasti o výšce xc = λ.x, kde η je součinitel účinné pevnosti betonu a λ součinitel účinné výšky tlačené oblasti. Podle [3] η=1,0 a λ=0,8 pro betony s charakteristickou pevností maximálně 50 MPa a η=1,0-(fck-50)/200 a λ=0,8-(fck-50)/400 pro betony s vyšší charakteristickou pevností; pokud se šířka tlačené oblasti zmenšuje směrem k nejvíce tlačeným vláknům, má se hodnota pevnosti η.fc snížit o 10 %. U výztuže se většinou uvažuje pracovní diagram s vodorovnou plastickou větví bez omezení poměrného přetvoření. Kontrolní otázky Vyjmenujte základní předpoklady pro stanovení mezní únosnosti. Jaké průběhy napětí se uvažují v praktických řešeních?

3.2.2

Obecný postup při stanovování mezní únosnosti

Obecný postup při určování mezní únosnosti prvku namáhaného ohybem si ukážeme pro jednoose symetrický průřez různého tvaru s rovinou ohybového momentu totožnou s rovinou procházející osou symetrie – viz obr. 3.2. Nechť je tento průřez vyztužen po své celé výšce n-vrstvami výztuže o ploše jednotlivých vrstev As(i), vzdálenosti h(i) od tlačeného okraje resp. zs(i) od těžiště celého betonového průřezu Cg, kde i = 1, 2, 3,….i,…..n. Dále předpokládejme, že v každé i-té vrstvě výztuže bude pro každé poměrné přetvoření εs(i) známo napětí σs(i). Nechť je známo pro tlačenou oblast funkční vyjádření jejího tvaru v závislosti na vzdálenosti neutrální osy x od tlačeného okraje a je definován průběh napětí σc(z) po výšce této oblasti v závislosti na εc(z). Potom můžeme pro prvek určit dva základní vztahy pro stanovení meze porušení

NR =

∫ b ( z ).σ ( z ). dz + ∑ A (i ).σ (i ) , c

s

MR =

∫ b ( z ).σ x

s

(3.1)

i

x c

( z ). z .dz +

∑

A s ( i ).σ s ( i ). z s ( i )

i

a tím i podmínky rovnováhy (silovou a momentovou)

- 14 (70) -

(3.2)


NR = NE = 0,

(3.3)

MR ≥ ME.

(3.4)

Ze silové podmínky vyplývá, že u prvku namáhaného pouze ohybem je normálová síla od zatížení nutně nulová, a že vlastní rovnováha musí být zajištěna podmínkou rovnosti všech vnitřních sil, tj. sil v tlačeném betonu a ve výztuži. Momentová podmínka rovnováhy v návaznosti na splnění silové podmínky v napsaném spolehlivostním tvaru zaručuje, že prvek má dostatečnou únosnost. Po zavedení výsledné síly v tlačeném betonu Fcc, vzdálenosti zcc jejího působiště Ccc od těžiště průřezu Cg a sil v jednotlivých vrstvách výztuže Fs(i), platí Fcc = ∑ Fs (i ) ,

(3.5)

i

MR = Fcc.zcc + ∑ Fs (i ).zs (i ) ≥ ME .

(3.6)

i

b (z)

y

Cg

ε c(z) Ccc

x

x(c)

A cc

h

h(i)

2

σc(z)

ε cu

εs(i)

A s(i)

Cg

Fs(1)

ε c1

1 z

Fs(n) Fcc z cc z s(i) Fs(i)

+ σs fy

+ εs

εu

ε y εs(i) − fy

σs(i) − εy

− εu

− εs

−σ

Obr. 3.2 Předpoklady výpočtu mezní únosnosti

Z průběhu poměrných přetvoření vyplývá, že při stanovování mezní únosnosti bude nutné uplatnit i jejich vazbu na geometrii průřezu. Proto zavádíme do řešení další tzv. geometricko-přetvárnou podmínku (všechny veličiny jsou v prosté hodnotě) ve tvaru

εs (i ) h(i ) − x

=

εc x

.

(3.7)

V této podmínce jsou obecně všechny veličiny mimo h(i) neznámé, proto pro stanovení meze únosnosti bude nutno některé z nich zvolit.

- 15 (70) -


Ve vlastním výpočtu meze porušení je dobré postupovat tak, že postupně budeme volit polohu neutrální osy hodnotou x tak dlouho až bude splněna silová podmínka rovnováhy a následně prokážeme dostatečnou míru spolehlivosti z momentové podmínky rovnováhy. Současně s volbou x musíme zvolit i předpoklad o způsobu porušení. Většinou se u běžného vyztužení bude jednat o dosažení mezního stlačení v krajních tlačených vláknech betonu εcu. Na základě zvoleného průběhu přetvoření můžeme v úrovni jednotlivých vrstev výztuže stanovit jejich poměrné přetvoření úpravou rovnice (3.7) na

εs (i ) = εcu.

h(i ) − x x

(3.8)

a následně pomocí pracovního digramu výztuže stanovit napětí σs(i) – viz obr. 3.2 a např. vztah (3.10) a síly Fs(i) = As(i).σs(i).

(3.9)

Pro výpočet napětí ve výztuži je nutno vědět, v které jeho větvi se nacházíme – hraničním případem je hodnota εy. Pokud bude používán pracovní diagram výztuže s vodorovnou plastickou větví stačí použít vztah

σs(i) = εs(i).Es,

(3.10)

s omezením |σs(i)| ≤ fy. Na základě funkčního vyjádření tvaru tlačené oblasti betonu a použitého pracovního diagramu je možné stanovit výslednou sílu v tlačeném betonu Fcc. Je zřejmé, že v praktických řešeních bude možné tuto sílu určit jednoduše nebo využít rozdělení tlačené oblasti na vhodné díly se stanovením dílčích sil Fci =>Fcc=∑Fci. Po stanovení všech sil v betonu a výztuži můžeme provést ověření, zda je splněna silová podmínka (3.5). Pokud není, volí se nová poloha neutrální osy pomocí hodnoty x tak dlouho, až je silová podmínka rovnováhy splněna s vyhovující přesností. Následně je nutno stanovit polohu působiště Ccc síly v tlačeném betonu, její vzdálenost (rameno) např. k těžišti celého průřezu zcc a s použitím ramen jednotlivých sil ve výztuži zs(i) určit výsledný moment na mezi únosnosti a ověřit spolehlivost podle vztahu (3.6). Opět je možné využít rozdělení tlačené oblasti a s pomocí dílčích sil Fci, jejich působišť Cci a ramen zci získat i jejich příspěvek k velikosti MR nahrazením Fcc.zcc v (3.6) ∑(Fci.zci).

Poznámka Součástí výpočtu by měla být i kontrola předpokládaného způsobu porušení. To bude aktuální pouze v případech, kdy omezení poměrného přetvoření ve výztuži je žádoucí a při slabším vyztužení – viz kap. 3.1, stádium III. Při zjištění, že εs(1)>εu je nutno změnit předpoklad rozhodujícího porušení na porušení v důsledku dosažení mezního poměrného protažení v krajní vrstvě tažené výztuže => εs(1)=εu. S pomocí této hodnoty lze opět stanovit ostatní poměrná přetvoření (při εc≤εcu) a výše uvedeným postupem prokázat spolehlivostní podmínku (3.6).

Kontrolní otázky Charakterizujte základní podmínky rovnováhy. Charakterizujte geometricko-přetvárnou podmínku.

- 16 (70) -


Popište obecný postup při stanovování mezní únosnosti.

3.2.3

Hraniční případy porušení a jejich využití

tahové porušení

εy

porušení výztuže 2 1

x bal,1

h h(1) h(u)

4 3

εcu B x bal,2

x lim

h(d)

Z předcházejících kapitol je zřejmé, že při namáhaní ohýbaného železobetonového prvku mohou teoreticky vzniknout hraniční situace vyplývající především z hraničních přetvoření pro výztuž danými jejími pracovními diagramy. Bude se jednat o dosažení hodnot εy a pokud to bude vhodné i εu. Tyto hranice budou rozhodovat o způsobu porušení – tlakové nebo tahové, který materiál o něm rozhodne a o velikosti napětí ve výztuži a tím i o možnostech zjednodušení výpočtu meze únosnosti. Je možné je vyjadřovat nejen pomocí hodnot poměrných přetvoření, ale i pomocí polohy neutrální osy od tlačeného okraje popř. i jinak. Pro vyjádření těchto hranic použijeme průřez obdélníkového tvaru vyztužený dvěma vrstvami výztuže v jeho tažené a dvěma vrstvami výztuže v jeho tlačené oblasti – viz obr. 3.3.

tlakové porušení

A porušení εy betonu

b

εu

Obr. 3.3 Hraniční případy průběhu poměrných přetvoření

Pokud bude současně dosaženo v krajních tlačených vláknech betonu mezního stlačení εcu a v libovolné vrstvě tažené výztuže ve vzdálenosti h(i) od tlačeného okraje (platí h(i)>x) protažení εy, lze z geometricko-přetvárné podmínky (3.7) po zavedení εcu a εy vyjádřit hraniční vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje betonu ve tvaru

xbal ,1 = ξbal ,1.h(i ) =

εcu εcu + εy

.h(i ) .

(3.11)

Pokud bude platit, že x≤xbal,1, bude napětí v dané vrstvě a všech bližších k taženému okraji mít velikost odpovídající plastické větvi pracovního diagramu (při vodorovné větvi dosáhne vždy meze kluzu fy). Pro ostatní taženou výztuž bude pro stanovení napětí určující pružná větev – viz vztah (3.10). Hodnota xbal,1 stanovená pro nejbližší výztuž k neutrální ose (h(i)=h(u)) tedy zaručí, že ve veškeré tažené výztuži bude při vodorovné plastické větvi napětí σs=fy. Při soustředěné výztuži u taženého okraje je možno již předem u běžného vyztužení předpokládat tuto podmínku za splněnou, což značně zjednoduší výpočet, protože ze silové podmínky rovnováhy (3.5) lze přímo určit sílu v tlačeném betonu. V tomto případě lze také jednoznačně rozhodnout o způsobu porušení: tahové (x≤xbal,1) nebo tlakové (x>xbal,1). Z obr. 3.3 je zřejmé, že konkrétní prů-

- 17 (70) -


běh poměrných přetvoření odpovídající po výšce průřezu se dá získat otáčením přímky (roviny) přetvoření kolen bodu (osy) B. Podobným způsobem můžeme postupovat i pro tlačenou výztuž. Opět, ale pro h(i)<x, lze z geometricko-přetvárné podmínky (3.7) po zavedení εcu a εy vyjádřit hraniční polohu neutrální osy vztahem xbal , 2 = ξbal , 2.h(i ) =

εcu εcu − εy

.h(i ) .

(3.12)

Pokud bude platit, že x≥xbal,2, bude napětí v dané vrstvě a všech bližších k tlačenému okraji mít velikost odpovídající plastické větvi pracovního diagramu (při vodorovné větvi dosáhne vždy meze kluzu fy). Pro ostatní tlačenou výztuž bude pro stanovení napětí určující pružná větev – viz vztah (3.10). Hodnota xbal,2 stanovená pro nejbližší výztuž k neutrální ose (h(i)=h(d)) tedy zaručí, že ve veškeré tlačené výztuži bude při vodorovné plastické větvi napětí σs=fy. U tlačené výztuže může dojít i k nevyužití výztuže nejbližší k tlačenému okraji. V tomto případě je nutno stanovit napětí pomocí vztahů (3.10) a (3.8) pro i=n:

σs (n) = εcu .Es.

h ( n) − x . x

(3.13)

Méně typickým případem bude situace, kdy přetvoření tažené výztuže bude omezeno hodnotou εu. Vzhledem k tomu, že prakticky bude rozhodovat vrstva výztuže nejbližší k taženému okraji, lze po dosazení do rovnice (3.7) získat další vymezující polohu neutrální osy ve tvaru x lim = ξ lim .h(1) =

εcu εcu + εu

.h(1) .

(3.14)

Pokud bude platit, že x≥xlim, bude se jednat o případ tahového porušení při běžném vyztužení. V opačném případě, tj. když x<xlim, bude o porušení rozhodovat tažená výztuž (v krajních tlačených vláknech nebude dosaženo mezního stlačení εcu). Z obr. 3.3 je zřejmé, že tento případ získáme otáčením průběhu poměrných přetvoření kolem bodu A od výchozího stavu daného spojnicí bodů A a B.

Kontrolní otázky Vyjmenujte hraniční polohy neutrální osy a charakterizujte jejich význam. Která hraniční poloha rozhoduje o tahovém či tlakovém porušení? Která hraniční poloha rozhoduje o velikosti napětí v tlačené výztuži? Která hraniční poloha může rozhodnout zda o porušení průřezu rozhodne tlačený beton nebo tažená výztuž?

3.2.4

Možnosti zjednodušení výpočtu mezní únosnosti

U většiny praktických řešeních můžeme vystačit s různými předpoklady, které vyplývají z umístění výztuže. Jedná se o (viz obr. 3.4): • výztuž je soustředěna v blízkosti taženého a tlačeného okraje průřezu,

- 18 (70) -


• případné zanedbání méně využité výztuže v blízkosti neutrální osy příliš neovlivní výsledek (je na straně bezpečné), • u vícevrstvé výztuže lze případně uvažovat její soustředění do jejího těžiště, • návrh výztuže většinou odpovídá tzv. běžnému vyztužení, • u výztuže se uvažuje pracovní diagram s vodorovnou plastickou větví bez omezení poměrného přetvoření => σs ≤ fy, • v tažené výztuži je téměř vždy napětí rovnající se mezi kluzu => Fs1=As1.σs1 = As1.fy, • v tlačené výztuži (pokud je navržena) může být napětí menší než mez kluzu – jeho hodnotu lze stanovit např. pomocí vztahů (3.7) a (3.10) => Fs2 = As2.σs2, kde σs2 ≤ fy,

Fs2

C cc

Fcc

z cc z s2

xc

C s2 η.f c

C s1

Fs1

d1

A s1

z s1

Cg

Cg

zc

d

h

A s2

x

d2

A cc

zs

• v tlačené oblasti betonu se uvažuje rovnoměrné rozdělení napětí o velikosti η.fc s výškou tlačeného betonu xc=λ.x – viz kap. 3.2.1 => Fcc = Acc.η.fc.

Obr. 3.4 K předpokladům zjednodušené metody

Obě základní podmínky rovnováhy lze z rovnic (3.5) a (3.6) upravit na Fcc + Fs2 = Fs1

(3.15)

MR = Fcc.zcc + Fs1.zs1+ Fs2.zs2 = Fcc.zc + Fs2.zs ≥ ME.

(3.16)

S ohledem na skutečnost, že h(i)=d pro taženou výztuž a h(i)=d2 pro tlačenou výztuž, je možné z geometricko-přetvárné podmínky po dosazení do vztahu (3.8) určit odpovídající poměrná přetvoření ve výztuži

εs1 = εcu .

d−x d2 − x , εs 2 = εcu . x x

(3.17)

a pomocí vztahu (3.10) určit napětí ve výztuži σs1 nebo σs2 omezené hodnotou fy. Vztahy (3.17) lze také použít při porovnání s poměrným přetvořením εy pro rozhodnutí o započitatelnosti příslušné výztuže a o rozhodnutí o jaké porušení se jedná. Toto lze provést i pomocí hodnoty vzdálenosti neutrální osy x od tlačeného okraje porovnáním s xbal,1 a xbal,2. Pro tyto hraniční hodnoty lze úpravou z (3.11) a (3.12) získat tyto vztahy xbal ,1 = ξbal ,1.d =

εcu εcu + εy

.d , xbal , 2 = ξbal , 2.d 2 =

εcu εcu − εy

.d 2 ;

pro hodnoty εcu = - 0,0035 a Es = 200000 MPa (pro běžné betony) je - 19 (70) -

(3.18)


xbal ,1 = ξbal ,1.d =

700 700 .d , xbal , 2 = ξbal , 2.d 2 = .d 2 . 700 + fy 700 − fy

(3.19)

Opět, pokud platí x≤xbal,1, je možné uvažovat napětí v tažené výztuži hodnotou fy - jedná se o tahové porušení. V opačném případě výztuž není využita - jedná se o tlakové porušení. U tlačené výztuže nemusí být relativně často podmínka x≥xbal,2 splněna. Proto je nutno stanovit napětí podle vztahu (3.13), z něhož po dosazení za h(n)=d2 dostaneme

σs 2 = εcu .Es.

d2− x . x

(3.20)

Neznámou polohu neutrální osy můžeme získat iteračním postupem a nebo přímo, pokud vztah (3.20) dosadíme přímo do silové podmínky rovnováhy (3.15), v němž vyjádříme plochu tlačeného betonu Acc pomocí x. Také v případě slabého vyztužení a při omezení poměrného přetvoření v tažené výztuži hodnotou εu, lze vyjádřit hraniční případ, který rozhodne mezi porušením tažené výztuže a tlačeného betonu, ze vztahu (3.14) dosazením za h(1)=d takto x lim = ξ lim .d =

εcu εcu + εu

.d .

(3.21)

Opět bude platit, že při x≥xlim bude rozhodovat o porušení beton a naopak.

Poznámka Hraničním případem může být také omezení výšky tlačené oblasti betonu v průřezech v místech plastických kloubů z důvodů provedení redistribuce vnějších sil v důsledku využívání plastického chování výztuže po dosažení meze kluzu. V ověření je však nutno uvažovat výšku tlačené oblasti při působení redistribuovaného momentu (označí se xu). Podmínkou využití alespoň omezené redistribuce ohybových momentů při lineárně pružné analýze prvku je, že xu≤xmax, kde xmax je 0,45.d pro betony s pevností fck≤50 MPa, resp. 0,35.d pro fck>50 MPa (při plastické analýze 0,25.d, resp. 0,15.d pro stejná vymezení pevností betonu). Podrobnosti a další podmínky pro použití redistribuce jsou uvedeny v modulu CM5.

Kontrolní otázky Charakterizujte možná zjednodušení pro stanovení mezní únosnosti. Jak se projeví zjednodušující předpoklady v podmínkách rovnováhy a v geometricko-přetvárné podmínce? Jak se projeví zjednodušující předpoklady v hraničních podmínkách polohy neutrální osy? Jak lze stanovit napětí ve výztuži v tlačené oblasti? Jak se může projevit vliv redistribuce ohybových momentů na poloze neutrální osy?

- 20 (70) -


3.3

Stanovení mezní únosnosti pro vybrané typy průřezů

Předpoklady a vztahy uvedené v předcházejících kapitolách lze aplikovat jednak na nejčastěji používané tvary průřezů a vyztužení a jednak i na průřezy obecné, které se v praxi tolik nevyskytují.

3.3.1

Obdélníkový průřez

Obdélníkové průřezy patří mezi běžně a často se vyskytující případy. Jejich vyztužení může být obecně různé. Nejvíce jsou to průřezy s výztuží v tažené oblasti většinou soustředěné u taženého okraje v jedné, ve dvou nebo nejvíce ve třech vrstvách – jednostranně vyztužený průřez. Někdy se však musí použít i výztuž v tlačené oblasti opět soustředěná u tlačeného okraje - oboustranně vyztužený průřez. V dalším textu budeme uvažovat výztuž vždy v jedné vrstvě u taženého a popř. u tlačeného okraje. V jiných případech lze výztuž soustředit u příslušného okraje do těžiště a nebo lépe postupovat obecně. 3.3.1.1 Jednostranně vyztužený obdélníkový průřez Při prokazování dostatečné únosnosti (posouzení prvku) nebo při návrhu množství výztuže popř. rozměrů průřezu budeme vycházet ze základních podmínek rovnováhy. Tyto lze z rovnic (3.15) a (3.16) po vyjmutí síly v tlačené výztuži a při zc= z upravit na Fcc = Fs1

(3.22)

MR = Fcc.zcc + Fs1.zs1 = Fcc.z = Fs1.z ≥ ME.

(3.23)

Tlakovou sílu v betonu s ohledem na možný různý průběh napětí lze vyjádřit vztahem Fcc = β.b.x.fc,

(3.24)

d

x

Ccc

fc

η.f c

fc

d1

zc

h

Cg Cs1

Fcc

xc

εcu

A cc

ac

kde β je součinitel plnosti obrazce napětí závislý na uvažovaném průběhu napětí v tlačené oblasti - viz obr. 3.5. U rovnoměrného rozdělení napětí platí β=λ.

εs1

Fs1

A s1 b Obr. 3.5 Jednostranně vyztužený obdélníkový průřez

Sílu v tažené výztuži můžeme vyjádřit vztahem Fs1=As1.σs1,

(3.25)

- 21 (70) -


kde velikost σs1 závisí na způsobu porušení při dosažení meze únosnosti. Silovou podmínku (3.22) můžeme potom pomocí (3.24) a (3.25) vyjádřit

β.b.x.fc = As1.σs1

(3.26)

a po stanovení vzdálenosti neutrální osy x od tlačeného okraje průřezu, působišť síly v tažené výztuži a v tlačeném betonu a ramene vnitřních sil z i momentovou podmínku (3.23) MR = As1.σs1.z = β.b.x.fc.z ≥ ME.

(3.27)

Při tahovém porušení (x ≤ xbal,1) dle předpokladů zjednodušené metody se uvažuje σs1 = fy. Potom z (3.26) lze vyjádřit výšku tlačené oblasti (vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje) x=

As1. fy β .b. fc

(3.28)

a následně rameno vnitřních sil z = d – ac = d – γ.x = ζ.d,

(3.29)

kde je d = h –d1 staticky účinná výška, ac vzdálenost působiště síly v tlačeném betonu od tlačeného okraje a kde γ=ac/x a ζ=z/d, a nakonec po dosazení do (3.23) návrhovou hodnotu momentu na mezi únosnosti včetně průkazu jeho dostatečné velikosti MR = As1. fy.z ≥ ME nebo MR = β.b.x.fc.z ≥ ME.

(3.30)

Při často používaném rovnoměrném rozdělení napětí v tlačeném betonu se vztahy (3.26) se zavedením σs1= fy, (3.28), (3.29) a druhý vztah pro MR v (3.30) upraví na

λ.b.x.η.fc=As1.fy ; x =

As1. fy ; z=d–0,5.λ.x ; MR=λ .b.x.η.fc.z ≥ ME λ .b.η . fc

(3.31)

a pro betony běžných pevností (pro fck ≤ 50 MPa) pro λ = 0,8 a η = 1 na 0,8.b.x.fc =As1.fy ; x =

As1. fy ; z=d–0,4.x ; MR=0,8.b.x.fc.z ≥ ME. 0,8.b. fc

(3.32)

Součástí výpočtu musí být i průkaz předpokladu napětí v tažené výztuži buď pomocí průkazu dostatečné velikosti poměrného přetvoření εs1 ≥ εy, kde εs1 se určí podle vztahu (3.17) a nebo pomocí vzdálenosti neutrální osy od tlačeného okraje x ≤ xbal,1, kde xbal,1 se stanoví podle vztahu (3.18) nebo (3.19). Průkaz lze provést i pomocí poměrné hodnoty vzdálenosti neutrální osy ξ = x/d ≤ ξbal,1= xbal,1/d apod. Polohu neutrální osy je nutno zprostředkovaně kontrolovat i s ohledem na dostatečnou přetvářnost (duktilitu) výztuže v místech plastických kloubů – viz poznámka v kap. 3.2.4. Samozřejmostí je i ověření zda množství výztuže odpovídá požadavkům na železobeton.

Poznámka Při omezení velikosti poměrného přetvoření ve výztuži hodnotou εu by se výpočet při jejím dosažení stal složitějším nejen při použití pracovního diagramu se stoupající, ale i s vodorovnou plastickou větví. Problém by byl s průběhem napětí v tlačeném betonu, kde by se zřejmě muselo uvažovat parabolickorektangulární nebo bilineární rozdělení napětí, a tím i s určením výsledné síly

- 22 (70) -


Fcc a její polohy. S ohledem na malé rozdíly v hodnotách výsledného momentu na mezi únosnosti MR oproti případu neomezené hodnoty poměrného přetvoření ve výztuži není tento postup v praxi nutný. U tlakového porušení (x ≥ xbal,1) není v tažené výztuži dosaženo meze kluzu => σs1=εs1.Es < fy. V tomto případě je možné určit polohu neutrální osy x např. iterací až do splnění silové podmínky rovnováhy (3.26) s přijatelnou přesností. Lze ji také určit s využitím geometricko-přetvárné podmínky při vyjádření εs1 podle (3.17) a po jeho dosazení za σs1=εs1.Es do silové podmínky rovnováhy (3.26). Řešením získáme pro neznámou polohu neutrální osy x kvadratickou rovnici. Její hodnota se pak dá vyjádřit

(

)

x = p. − 1 + (1 + 2.d / p) ,

(3.33)

kde p = As1.Es.|εcu| / (2.β.b.fc) resp. p = As1.Es.|εcu| / (2.λ.b.η.fc). Při dosazení za |εcu|= 0,0035, Es = 200000 MPa, λ = 0,8 a η = 1 je pak p = 350.As1 / (0,8.b.fc). Potom lze z (3.29) nebo (3.31) nebo (3.32) určit rameno vnitřních sil z a z (3.30) nebo (3.31) nebo (3.32) prokázat i momentovou podmínku pro MR.

Poznámka Ohýbané průřezy s tlakovým porušením se nedoporučuje navrhovat, protože se mohou porušit bez předchozího varování (např. vznikem širších trhlin popř. většími průhyby). Při návrhu výztuže do obdélníkového průřezu se známými rozměry můžeme, po určení staticky účinné výšky průřezu a za předpokladu rovnoměrného napětí v tlačeném betonu a napětí v tažené výztuži rovnajícímu se mezi kluzu, určit její plochu z momentové podmínky rovnováhy. Při využití vztahů pro x, z a MR=ME z (3.32), lze určit potřebnou plochu výztuže z kvadratické rovnice ze vztahu

As1, req =

b.d . fc  2 ME   . .1 − 1 − fy  b.d 2 . fc 

(3.34)

Při odhadu ramene vnitřních sil z=(0,85 až 0,95).d lze potřebnou plochu výztuže určit přímo z momentové podmínky (3.30) ze vztahu As1, req =

ME . z. f y

(3.35)

Pro návrh výztuže je možno využít i zpracované tabulky pro různé průběhy napětí v tlačeném betonu a v tažené výztuži (viz pracovní diagramy v modulu CM1). V nich se využívají nejen výše definované pomocné hodnoty ξ, ζ, β popř. γ, ale i geometrický stupeň vyztužení ρ, mechanický stupeň vyztužení ω a poměrný ohybový moment µ. Tyto lze vyjádřit z následujících vztahů

ρ = As1 b.d ; ω = ρ .σs1 fc ; µ = ME (b.d 2 . fc) .

(3.36)

V návrhu se nejdříve určí µ, následně pak např. pomocí ζ rameno vnitřních sil a podle (3.35) velikost potřebné plochy výztuže. V tabulkách můžeme odečíst i velikost ξ, a tím předběžně zkontrolovat výšku tlačené oblasti betonu. Podobně lze využít i hodnot εs1 a εcu k určení napjatosti ve výztuži a v betonu. Příklad tabulek je uveden např. v [1] nebo [2]. Tyto tabulky lze využít i při posouzení průřezu. - 23 (70) -


Poznámka Pokud nejsou známy rozměry obdélníkového průřezu, lze je určit např. pro vhodnou volbu stupně vyztužení ρ nebo poměrné hodnoty výšky tlačené oblasti betonu ξ buď z podmínek rovnováhy nebo pomocí tabulek.

Kontrolní otázky Pro jednostranně vyztužený obdélníkový průřez definujte základní podmínky rovnováhy a jejich možnou úpravu. Jak se postupuje při stanovování únosnosti při tahovém porušení? V čem se liší postup při stanovování únosnosti při tlakovém porušení? Charakterizujte možné postupy při návrhu tažené výztuže. 3.3.1.2 Oboustranně vyztužený obdélníkový průřez U obdélníkových a jiných průřezů se běžně vyskytuje výztuž v tlačené oblasti. Většinou se však jedná o výztuž montážní, pomocnou či konstrukční. V některých případech je však nutné tuto výztuž navrhnout a uvážit při vlastním stanovení mezní únosnosti. Podmínkou je však její zabezpečení proti možnému vybočení dostatečným množstvím příčné výztuže (třmínků s předepsanou maximální vzdáleností mezi sebou jako u tlačených prvků).

Užití tlačené výztuže (podrobněji viz [5] a [1]) • zvětšuje při stejných rozměrech průřezu a při stejné velikosti plochy tažené výztuže As1 hodnotu momentu únosnosti průřezu MR v důsledku zvětšených hodnot ramen vnitřních sil, • může změnit způsob porušení z tlakového na tahové, což může vést nejen ke zvětšení únosnosti, ale i ke zvětšení přetvárnosti (duktility) před porušením, • zvětšuje tuhost prvku a tím zmenšuje průhyby nosníku především v důsledku omezení vlivu dotvarování a smršťování betonu, • nahrazuje konstrukční výztuž a pomáhá tím k vytvoření výztužné kostry nosníku (zvětšuje však pracnost s ohledem na větší množství výztuže a zhoršuje podmínky betonáže). Z předcházejících možností je zřejmé, že prvky s tlačenou výztuží se použijí v těch případech, pokud bude omezena výška průřezu a pokud při jednostranně vyztuženém průřezu bude vycházet, že poloha neutrální osy x ≥ xbal,1 (tlakové porušení). Při stanovování únosnosti lze podle obr. 3.6 vycházet z podmínek rovnováhy (3.15) a (3.16). Za předpokladu plného využití tažené i tlačené výztuže, tj. σs1= σs2= fy a při uvažování rovnoměrného rozdělení napětí v tlačeném betonu (Fcc= λ.b.x.η.fc = 0,8.b.x.fc pro běžné betony), lze ze silové podmínky rovnováhy vyjádřit vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje ze vztahu x=

( As1 − As 2). fy ( As1 − As 2). fy = . λ .b.η . fc 0,8.b. fc

(3.37)

Po stanovení ramene vnitřních sil pro tlačený beton zc = d–0,5.λ.x = d–0,4.x a

- 24 (70) -

η.f c xc

x

εs2

εcu

Fcc

Cg A s1

d1

Fs2

zc zs

h d

d2

A cc A s2

ac


εs1

Cg ME MR Fs1

b Obr. 3.6 Oboustranně vyztužený obdélníkový průřez

pro tlačenou výztuž zs= d-d2 i momentovou podmínku ve tvaru MR = Acc.fc.zc + As2.fy.zs ≥ ME .

(3.38)

Někdy nemusí být tlačená výztuž plně využita (εs2<εy; σs2=εs2.Es < fy ). Není tedy splněna podmínka plné započitatelnosti výztuže, což se dá vyjádřit i pomocí vzdálenosti neutrální osy => neplatí x≥xbal,2, kde xbal,2 se určí podle (3.18) resp. (3.19) nebo i pomocí porovnání vzdálenosti d2 ≤ d2,bal, kde d2,bal se určí s geometricko-přetvárné podmínky: d 2, bal =

εcu − εy 700 − fy .x = .x = (1 / ξbal , 2 ).x . εcu 700

(3.39)

Napětí ve výztuži σs2 lze potom vyjádřit např. pomocí vztahu (3.20). Neznámou polohu neutrální osy x pak získáme dosazením za σs2 do silové podmínky rovnováhy při σs1=fy a při uvažování rovnoměrného rozdělení napětí v tlačeném betonu (Fcc= λ.b.x.η.fc = 0,8.b.x.fc pro běžné betony). Řešením získáme z kvadratické rovnice neznámou polohu neutrální osy x ve tvaru

(

)

x = p. − 1 + (1 + q / p 2 ) ,

(3.40)

kde p = (As2.Es.|εcu|-As1.fy) / (2.λ.b.η.fc) a q = As2.Es.|εcu|.d2 / (λ.b.η.fc). Následně po stanovení velikosti σs2 a ramen vnitřních sil zc a zs lze opět prokázat momentovou podmínku – viz (3.38), jen místo fy se zavede σs2 < fy. Za předpokladu, že tlačenou výztuž budeme chápat jako přídavnou výztuž, tj. zavedením ∆Fs = Fs2, lze podmínky rovnováhy (3.15) a (3.16) upravit na Fcc + ∆Fs = Fs1 => Fs0 + ∆Fs = Fs1 ,

(3.41)

MR = MR0 +∆ MR = Fcc . zc + ∆Fs . zs = Fs0 . zc + ∆Fs . zs ≥ ME,

(3.42)

kde Fs0 je síla ve výztuži při jednostranném vyztužení v tažené oblasti – viz obr. 3.7. Tento způsob vyjádření podmínek rovnováhy lze uplatnit např. při návrhu tlačené výztuže. Můžeme totiž vycházet z jednostranně vyztuženého průřezu, který nemá dostatečnou únosnost i při výšce tlačené oblasti blížící se limitní hodnotě xbal,1, popř. limitní hodnotě s ohledem na provedenou redistribuci ohybových momentů xmax. Pro tuto výšku můžeme ze silové podmínky (3.31) resp. (3.32) navrhnout potřebnou plochu tažené výztuže As0 = λ.b.x.η.fc / fy = 0,8.b.x.fc / fy

(3.43) - 25 (70) -


a po dosazení za Fs0 = As0 . fy do (3.30), popř. (3.31) nebo (3.32) při zc = d0,5.λ.x = d–0,4.x i moment na mezi únosnosti MR0 = As0. fy.zc = λ.b.x.η.fc.zc = 0,8.b.x.fc.zc .

A cc

(3.44)

∆ Fs

Fcc

A cc

Fcc

=

∆As

A s0

A s1 ∆ Fs

Fs0

Fs2

zc zs

+

zs

zc

∆As

A s2

Fs1

Obr. 3.7 K návrhu tlačené výztuže

Tuto únosnost MR0 můžeme zvětšit na MR podle vztahu (3.42). Potřebnou plochu přídavné tažené a tlačené výztuže získáme z tohoto vztahu při MR = ME :

∆As =(ME – MR0) / (zs.fy) .

(3.45)

Celkovou plochu tažené výztuže potom můžeme navrhnout ve výši As1 ≥ As0 + ∆As a tlačené výztuže ve výši As2 ≥ ∆As.

Kontrolní otázky Definujte podmínky a význam užití tlačené výztuže u obdélníkového průřezu. Jak se projeví použití tlačené výztuže při stanovování mezní únosnosti obdélníkového průřezu? Vysvětlete možnou úpravu základních podmínek rovnováhy včetně jejího využití při návrhu tlačené výztuže.

3.3.2

Průřezy se spolupůsobící deskou

V praxi se vyskytují stropní konstrukce, které jsou vytvořeny z trámů a obdobných prvků monoliticky spojených s deskou; jedná se o tzv. deskové trámy. Podle konstrukčního provedení a statického působení může tato deska být v tlačené nebo tažené oblasti prvku (u spojitého nosníku bude deska v horní poloze v poli tlačená a v blízkosti a nad podporami tažená, což odpovídá průběhu ohybových momentů). Pokud deska bude v tlačené oblasti, lze ji zahrnout v určité šířce do průřezu (bude spolupůsobit s trámem) – mluvíme o tzv. Tprůřezu – viz obr. 3.8, třetí průřez. V opačném případě ji nelze zahrnout do průřezu – řešíme jako obdélníkový průřez s tím, že do této desky je vhodné umístit část tažené výztuže. Jako nosníky se spolupůsobící deskou můžeme řešit i prvky jiných průřezů (otevřené, komůrkové nebo vylehčené), pokud jejich tlačená oblast může být ve tvaru obdélníka nebo v podstatě ve tvaru písmene „T“ – viz obr. 3.8. V těchto případech mluvíme o průřezech zobecněného tvaru T. S ohledem na to, že při stanovení únosnosti se s betonem namáhaným tahem nepočítá, může mít průřez v tažené oblasti téměř libovolný tvar.

- 26 (70) -


U klasických stropních trámových stropů vyvstává otázka do jaké míry lze uvažovat spolupůsobení desky. Obecně platí, že velikost tlakového normálového napětí se s rostoucí vzdáleností od trámu zmenšuje – viz obr. 3.8 a také obr. 4.20, kde jsou znázorněny i trajektorie napětí a smykové síly vznikající mezi deskou a trámem. Je také zřejmé, že rozdělení tlakového napětí je různé po délce nosníku a že závisí na rozpětí, rozměrech a vzdálenosti trámů, výšce desky a výšce tlačené oblasti.

b eff

A s1

A s1

A s1

A s1

Obr. 3.8 Typy průřezů zobecněného tvaru T

Při stanovování mezní únosnosti se běžně uvažuje rovnoměrné rozdělení tlakového normálového napětí v rozsahu tzv. náhradní nebo-li spolupůsobící šířky beff. Její velikost podle [3] je uvedena v modulu CM5. Podmínkou pro využití spolupůsobení desky je také přítomnost výztuže v desce kolmo na trám pro zachycení smykového toku ve styku mezi deskou a trámem. Z hlediska velikosti mezní únosnosti jsou deskové trámy výhodnější než průřezy obdélníkové, protože tato je cca o 5 až 10 % větší v důsledku zvětšení ramene vnitřních sil (při stejné síle v tažené výztuži se sníží výška tlačeného betonu a tím se posune i působiště odpovídající síly směrem k tlačenému okraji). Při stanovování únosnosti mohou nastat dva základní případy – buď je tlačená pouze deska, tj. výška tlačeného betonu xc ≤ hf, nebo tlačený beton zasahuje i do stojiny trámu, tj. platí xc > hf. O tvaru tlačené oblasti můžeme rozhodnout i pomocí ohybového momentu na mezi únosnosti MRf, který odpovídá hraniční situaci, kdy xc = hf, tedy MRf = beff . hf . (d - 0,5. hf ) . η . fc .

(3.46)

Pokud bude platit, že ME ≤ MRf bude tlačená oblast pouze v desce. V opačném případě, tj. když ME > MRf , bude zasahovat i do stojiny trámu. První případ (xc ≤ hf) se řeší stejným způsobem jako jednostranně vyztužený obdélníkový průřez (viz kap. 3.3.1.1), ale pro šířku b = beff – viz obr. 3.9. Druhý případ (xc > hf ; tlačená oblast má tvar písmene T), který může nastat při silnějším vyztužení taženou výztuží, můžeme řešit podle obecných zásad uvedených v kap. 3.2. Výhodné je rozdělení tlačeného betonu na dvě části – první část zahrnuje desku mimo trám o šířce beff - bw, tj. šířku obou přírub, druhá pak vlastní trám – viz obr. 3.10.

- 27 (70) -


xc

Fcc

z

h d

hf

ac

η⋅ f c

b eff

d1

A s1

b eff,1

bw

Fs1

b eff,2

Obr. 3.9 Deskový trám s tlačeným betonem v desce

Podmínky rovnováhy můžeme napsat ve tvaru Fcc = Fc1 + Fc2 = Fs1 ,

(3.47)

MR = Fcc.zc = Fc1.zc1 + Fc2.zc2 = MR1+ MR2 ≥ ME ,

(3.48)

kde Fc1 = (beff -bw).hf.η.fc , Fc2 = λ.x.bw.η.fc , Fs1 = As1. fy.

εcu

Fcc zc

h

x

Ccc

η.f c xc

hf

A cc

ac

b eff

ε s1

A s1

Fs1 A c2

Fc1 z c1

= A 1s

η.f c

Fc2

+

F1s

a c2

η.f c

z c2

Ac1

ac1

bw

A 2s

F2s

Obr. 3.10 Deskový trám s tlačeným betonem ve stojině prvku

Hodnotu neznámé polohy neutrální osy x můžeme potom určit ze silové podmínky, tedy x=

Fs1 − Fc1 As1. fy − (beff − bw).hf .η . fc = > hf / λ . λ .bw.η . fc λ.bw.η . fc

- 28 (70) -

(3.49)


Po ověření plného využití tažené výztuže a po stanovení ramen vnitřních sil zc1 = d - ac1 = d – 0,5.hf , zc2 = d – ac2 = d – 0,5.λ.x lze z momentové podmínky (3.48) prokázat dostatečnou únosnost. V případě existence tlačené výztuže, je možné její vliv připočítat k první části, tj. k tlačeným přírubám, a dále postupovat obdobně jako v předcházejícím případě.

Poznámka Z předcházejícího textu je zřejmé, že pro stanovení únosnosti lze využít i moment MRf. Výsledný ohybový moment na mezi únosnosti MR se pak získá přičtením únosnosti MRb obdélníkového průřezu o rozměrech bw a (h–hf). V případech, kdy tlačená oblast zasahuje do stojiny velice málo, lze dostatečnou únosnost prokázat pouze pomocí ohybového momentu MRf. Platí-li MRf ≥ME, musí platit i MR ≥ME, protože MR ≥MRf. Při návrhu výztuže nejdříve rozhodneme pomocí ohybového momentu MRf zda se jedná o případ s tlačeným betonem pouze v desce a nebo i ve stojině. V prvním případě budeme při návrhu výztuže postupovat podle zásad pro jednostranně vyztužený obdélníkový průřez o rozměrech b=beff a h s tím, že kritéria pro omezení plochy tažené výztuže budou uvažována pro šířku stojiny bw. V druhém případě (viz obr. 3.10) stejně jako při posouzení nejdříve navrhneme první část plochy tažené výztuže A1s z rovnosti sil v této výztuži F1s a v tlačeném betonu přírub desky Fc1. Po stanovení ohybového momentu MR1 můžeme následně pro zbývající moment ME - MR1 určit zbývající plochu výztuže A2s z momentové podmínky pro obdélníkový průřez o rozměrech bw a h jednostranně vyztužený. Výsledná návrhová plocha tažené výztuže pak bude As1 ≥ A1s + A2s. Obdobně lze postupovat dle předchozí poznámky při využití ohybového momentu MRf. Zjednodušeně lze hledanou plochu výztuže určit bezpečně pro obdélníkový průřez o šířce bw.

Kontrolní otázky Charakterizujte prvky tvaru deskového trámu. Definujte co je to tzv. spolupůsobící šířka desky. Která podmínka rozhoduje o velikosti tlačeného betonu? Jak se řeší T průřez s tlačeným betonem pouze v desce? Jak se řeší T průřez s tlačeným betonem zasahujícím i do stojiny? Jak lze zahrnout vliv tlačené výztuže do stanovení mezního ohybového momentu? Popište postup při návrhu tažené výztuže.

3.3.3

Obecnější souměrné a nesouměrné průřezy

Z hlediska uvažování namáhání betonu v mezním stavu únosnosti v tlačené a tažené oblasti lze za obecnější průřezy považovat ty, u nichž je složitější tvar především v tlačené oblasti. Z tohoto hlediska rozeznáváme průřezy symetrické ke svislé rovině souměrnosti a průřezy s nesymetrickou tlačenou oblastí. Nesouměrnost průřezu může být způsobena i nesymetrickým uspořádáním výztu-

- 29 (70) -


že. Nesymetrie vzniká i polohou vlastní roviny ohybového momentu, která může nebo nemusí být totožná s rovinou souměrnosti průřezu. 3.3.3.1 Souměrné průřezy U souměrných průřezů platí, že rovina ohybového momentu prochází osou (rovinou) souměrnosti průřezu. Pokud jsou splněny tyto podmínky bude neutrální osa kolmá k ose souměrnosti. Vybrané typy průřezů jsou vykresleny na obr. 3.11a. U těchto průřezů většinou postupujeme podle zásad pro obecný průřez uvedených v kap. 3.2. S ohledem na tvary průřezů v tlačené oblasti využíváme známých funkčních vztahů pro plochu a polohu těžiště pro běžné geometrické tvary jako je obdélník, trojúhelník, lichoběžník, část kruhu apod., na které lze tlačenou oblast rozdělit. Ze silové podmínky za předpokladu plného využití tažené výztuže lze stanovit potřebnou celkovou plochu tlačeného betonu a následně s ohledem na velikosti dílčích ploch jeho jednotlivých částí určit tvar a výšku této plochy. Např. pro třetí průřez na obr. 3.11a za předpokladu, že Acc > Ac1 = b1 . h1 platí, že xc = (Acc-Ac1)/b + h1. Následně se určí působiště výsledné síly Fcc (na obrázku vyznačeno křížkem) - např. z podmínky statického momentu k tlačenému okraji získáme hodnotu ac. Po stanovení ramene vnitřních sil zc=d–ac lze prokázat momentovou podmínku. V případě výskytu tlačené výztuže se tato zahrne do řešení podle zásad uvedených v předcházejících kapitolách. Součástí řešení musí být i průkaz vyztužení, polohy neutrální osy popř. napjatosti ve výztuži. 3.3.3.2 Nesouměrné průřezy Možné důvody pro nesouměrnost průřezu jsou uvedeny v úvodu této kapitoly. Vybrané typy průřezů jsou zřejmé z obr. 3.11b. V těchto případech bude neutrální osa skloněná k rovině ohybu. Pro určení tohoto sklonu potřebujeme mít k podmínkách rovnováhy další doplňující podmínku. Budeme předpokládat, že svislá rovina vnitřního a vnějšího ohybového momentu bude totožná nebo alespoň rovnoběžná (ρR≡ρE nebo ρR||ρE). Přitom je zřejmé, že v rovině vnitřního ohybového momentu musí ležet jak působiště výsledné síly pro tlačený beton a tlačenou výztuž tak i působiště síly v tažené výztuži (na obrázku opět vyznačeno křížkem). Sklon neutrální osy v tlačené oblasti lze za předpokladu rovnoměrného rozdělení napětí v tlačeném betonu určit z podmínek pro těžiště předpokládaného tvaru oblasti – konkrétně pro známou polohu roviny ohybového momentu ve směru vodorovném danou hodnotou yc. Následně lze určit vzdálenost těžiště k hornímu okraji ac, rameno vnitřních sil a moment na mezi únosnosti. Typickým případem těchto průřezů může být krajní trám stropní konstrukce podle obr. 3.12. Z obrázku je zřejmé, že v tomto případě bude tlačená část betonu mít tvar trojúhelníka o šířce 1,5.bw ≤ beff a výšce λ.xv, kterou lze stanovit ze silové podmínky a ze vztahu pro plochu trojúhelníka, tedy 4 As1. fy ≤ 3.hf . 3 bw.η . fc

λ.xv = .

(3.50)

- 30 (70) -


b1

A cc

A c1 A c2

h

h1

A cc

b a) tvary souměrných průřezů

A cc

A cc ac

A cc

z

h

yc

ρR

ρE

b) průřezy s nesymetrickou tlačenou oblastí Obr. 3.11 Tvary obecnějších průřezů

Po stanovení ramene vnitřních sil zv = dv – λ.xv/3 lze prokázat momentovou podmínku rovnováhy MR=Fs1.zv ≥ ME. Zjednodušeně lze stanovit moment na mezi únosnosti i pro průřez s vodorovnou neutrální osou pro průřez se šířkou tlačené oblasti b=beff.

Ccc

λ⋅x v

εc u

xc

1 3b

F Ccc Fcc

b eff,1

zv

Cs1

h (u )

εs(u) bw

εs(1)

Fs1

h (1)

A s1

>ε

y

a (u )

d1v

h dv

hf

b eff

1 3b

x

2 3b

Obr. 3.12 Krajní trám stropní konstrukce

- 31 (70) -

Cs1


Z obr. 3.12 je také zřejmé, že na rozdíl od stanovování únosnosti se musí provádět kontrola využití tažené výztuže v rovině kolmé k neutrální ose. To znamená, že se bude kontrolovat pro prut s nejmenším poměrným přetvořením. Totéž platí pro průkaz pomocí vymezení polohy neutrální osy. Kontrola množství výztuže se provádí pro obdélníkový průřez trámu.

Kontrolní otázky Vysvětlete možnosti pro vznik nesouměrnosti průřezu. Jak postupujeme při stanovování únosnosti obecných souměrných průřezů? Jak postupujeme při stanovování únosnosti obecných nesouměrných průřez ů? Aplikujte obecný postup pro stanovení únosnosti pro krajní trám stropní konstrukce.

3.3.4

Průřezy namáhané šikmým ohybem

Obdélníkové, souměrné i nesouměrné průřezy mohou být namáhány mimo hlavní osy souměrnosti - rovina ohybového momentu bude tedy obecně šikmá vůči rovinám souměrnosti průřezu – viz např. obr. 3.13. V těchto případech mluvíme o tzv. šikmém ohybu. Pokud se sklon roviny bude měnit průřez od průřezu, bude se jednat o prostorový ohyb. I v tomto případě postupujeme iteračním způsobem podle zásad uvedených v kap. 3.2 s využíváním doplňující podmínky pro totožnost nebo rovnoběžnost rovin vnitřního a vnějšího momentu. Komplikace tohoto postupu je v tom, že polohu a sklon neutrální osy musíme volit v několika krocích tak dlouho až splníme nejen silovou podmínku, ale i podmínku pro roviny momentů. Teprve potom můžeme zjistit a prokázat dostatečnou únosnost.

A sc

ρE

F

ρR A cc

x

xc

Cg y

Cc

z

εs(

>ε

y

1)

Cg Cs1

Obr. 3.13 Průřez namáhaný v šikmé rovině

- 32 (70) -

z

u)

Fc

)

εs(

)

Cs1 h (u

A s1

εcu

h(1

h

Cc

Fs1


Můžeme také použít zjednodušené řešení, které u souměrného průřezu se souměrnou výztuží stanoví únosnost ve směru obou os souměrnosti MRz a MRy. Průkaz dostatečné spolehlivosti průřezu lze pak vyjádřit vztahem a

a

 MEz   MEy   ≤1 ,   +  MRz   MRy 

(3.51)

kde exponent a závisí na tvaru průřezu (a=1 pro obdélník, a=2 pro kruhové nebo eliptické průřezy).

Kontrolní otázky Charakterizujte šikmý a prostorový ohyb. Popište možné postupy pro stanovení ohybové únosnosti pro šikmý ohyb.

3.4

Autotest


- 33 (70) -


- 34 (70) -

Prvky namáhané posouvající silou

4


Ohýbané prvky jsou téměř vždy současně namáhány nejen ohybovým momentem, ale i posouvající silou. V této kapitole se postupně seznámíme s chováním a s obecnými principy stanovování únosnosti při působení posouvající síly.

4.1

Chování prvků namáhaných posouvající silou

Při rozboru chování prvků namáhaných posouvající silou si předem musíme uvědomit, že toto chování bude závislé na míře vlivu ohybových momentů.

4.1.1

Základní principy působení

U ohýbaných prvků s ohledem na účinek posouvajících sil můžeme v závislosti na velikosti zatížení opět rozlišovat situaci před a po vzniku trhlin. Do vzniku trhlin se prvek chová dle teorie pružnosti jako prvek homogenní. Jeho napjatost je dána hlavním napětím s trajektoriemi např. pro prostý nosník dle obr. 2.2 v kap. 2.2. Velikost tohoto napětí pro rovinnou napjatost určíme ze vzorce

σ 1, 2 =

σx + σz 2

 σx − σz  2 ±   +τ ,  2  2

(4.1)

kde σx je normálové napětí ve směru osy prvku, σz je normálové napětí ve svislém směru a τ je smykové napětí od posouvající síly. Z hlediska velikosti hlavního napětí betonu v tahu σ1 můžeme rozhodnout zda je nebo není překročena mez vzniku trhlin (porovnáním s pevností betonu v tahu fct). Hlavní napětí betonu v tlaku σ2 může rozhodnout o rozvoji mikrotrhlin v tlačené oblasti (napětí by mělo být menší než cca 60 % pevnosti betonu v tlaku). Příznivý vliv tlakových normálových napětí ve svislém směru σz se projeví především v oblasti podpor, kde při σx blížícímu se nule a při zatížení působícímu na horním povrchu nosníku dochází k významné redukci napětí v hlavním tahu a tím i k omezení možnosti vzniku trhlin až do vzdálenosti 2,5 násobku účinné výšky průřezu od podpory (je také kratší kotevní délka pro podélnou výztuž vedoucí do podpory – viz modul CM1). Tato napětí se však běžně neuvažují. U železobetonových prvků většinou vznikají v tažené oblasti nejdříve ohybové trhliny, ze kterých se následně vyvíjejí šikmé trhliny smykové. Zde rozhoduje velikost tzv. smykové a ohybové štíhlosti. Ohybová štíhlost je dána poměrem rozpětí a účinné výšky průřezu (λM=l/d) a smyková štíhlost poměrem smykového rozpětí a účinné výšky průřezu (λV=a/d), kde a = Mmax / Vmax. Např. pro prostý nosník zatížený dvěma silami podle obr. 4.7a se smykové rozpětí rovná vzdálenosti síly od podpory a pro zatížení rovnoměrné podle obr. 4.7b je rovno 1/4 rozpětí. Tyto hodnoty potvrzují závěr uvedený v první větě tohoto odstavce. Uvažujme, tak jako při působení ohybového momentu, postupné navyšování vnějšího zatížení a tím i navyšování posouvající síly – viz obr. 4.1. Také zde

- 35 (70) -


bude při menším zatížení stádium I, ve kterém nebude prvek porušen žádnými trhlinami (působí celý průřez) a jeho napjatost do meze vzniku trhlin včetně smykového napětí se bude určovat jako na homogenním prvku. smyková trhlina

τ

σx

τ

h

-

+

σx

τ

σx

-

-

Ft

FRt

ohybová trhlina stádium

Obr. 4.1 Napjatost prvku při postupném zatěžování

Teprve po vzniku trhlin se prvek dostane do stádia II, tzn. do situace, kdy v místě trhliny nevzniká mimo malé oblasti pod neutrální osou normálové tahové napětí. Normálové tlakové napětí má lineární průběh a smykové napětí lze uvažovat pouze v tlačené oblasti průřezu. S ohledem na předcházející odstavec nejdříve vzniknou trhliny ohybové a teprve později trhliny smykové. Při dalším zvětšování zatížení se ohybové i šikmé trhliny budou postupně prodlužovat a bude se zvětšovat jejich šířka, prvek se dostane do stádia III. V tlačené oblasti průřezu se změní velikost napětí, průběh normálového tlakového napětí bude nelineární. K porušení v šikmé trhlině může dojít dosažením meze kluzu ve smykové výztuži s následným drcením betonu v tlačené oblasti nebo dosažením mezní únosnosti tlačeného betonového segmentu mezi trhlinami (viz např. obr. 2.3).

Kontrolní otázky Vysvětlete chování homogenního prvku z pohledu hlavního napětí. V čem je význam tzv. ohybové a smykové štíhlosti? Charakterizujte jednotlivá stádia, do nichž se může prvek dostat při postupném navyšování zatížení (posouvající síly).

4.1.2

Rozbor rozhodujících stádií

Nejdříve se budeme zabývat situací těsně před vznikem smykové trhliny. V tomto okamžiku již vznikla ohybová trhlina a průřez je z hlediska ohybového momentu ve stádiu II. V místě této trhliny je tažená část betonového průřezu vyloučena ze spolupůsobení (podélné tahové namáhání přenáší výztuž), což se projeví i na rozdělení normálového a smykového napětí – viz obr. 4.2. Únosnost průřezu z hlediska posouvající síly závisí na velikosti a průběhu smykového napětí a výšce neporušené oblasti betonu xr. Pro obdélníkový průřez za předpokladu parabolického rozdělení smykového napětí s maximální hodnotou τmax = 1,5.Vc / (b.xr) a pro xr ≈ 0,4.d, což odpovídá podle provede-

- 36 (70) -


ných zkoušek situaci těsně před vznikem šikmé smykové trhliny, lze stanovit únosnost ve smyku na mezi vzniku smykových trhlin ve tvaru Vr ≈ 0,25.b.d.fct .

(4.2)

Po překročení této hodnoty se prvek dostane do stádia II i z hlediska vlivu posouvajících sil.

VC

FC

xr

FC

τ

σx

RC

VC

τ

max

h

σxr Ft

Ft

σxs stádium

Obr. 4.2 Situace s ohybovou a smykovou trhlinou na mezi vzniku trhlin

Mez vzniku trhlin určená podle vztahu (4.2) však závisí na dalších faktorech – míra vyztužení podélnou výztuží, tvar průřezu, druh zatížení, množství a uspořádání smykové výztuže apod. To platí i pro další rozvoj již vzniklých smykových trhlin.

f

a)

bw

F

b)

bw c)

F bw

Obr. 4.3 Možné tvary smykových trhlin

Závislost tvaru a rozmístění ohybových a smykových trhlin na zatížení a tvaru průřezu je uvedena na obr. 4.3. Z tohoto obrázku je zřejmé, že u zatížení ve - 37 (70) -


formě břemen jsou smykové trhliny šikmější a delší a že směřují k působišti tohoto břemene. Dále, pokud má průřez tvar I, může dříve než vzniknou běžné smykové trhliny dojít k porušení pouze v místě stojiny. Vlastní mechanizmus chování prvku v místě ohybové a šikmé smykové trhliny ve stádiu II i III je rozdílný – viz obr. 4.4a a 4.4b. Je to dáno nejen směrem otevírání, ale i zapojením podélné tahové výztuže a vzniklých sil v kontaktu obou povrchů betonu v místě trhliny. V obou případech musí být v průřezu splněna rovnováha těchto sil, tzn. ve svislé trhlině pro ohyb a v šikmé trhlině pro smyk za ohybu. Významným faktorem v šikmé trhlině bude smyková výztuž, která jednak zajistí omezení rozvoje trhlin a jednak po jejich vzniku i přenos hlavních napětí v tahu za porušený beton. Je také zřejmé, že její použití významně zvýší únosnost ve smyku. Smyková výztuž může být navržena jako šikmá nebo svislá – viz obr. 4.4c a 4.4d. V praxi bývá provedena buď jako svislé nebo šikmé třmínky (dnes se více používá) a nebo jako šikmé ohyby v kombinaci se svislými třmínky. Z hlediska přenosu hlavního napětí jsou výhodnější výztuže šikmé, protože jsou uloženy ve směru výslednice hlavního napětí v tahu. Z praktických důvodů se však více uplatní výztuž svislá.

V M

M

směr otevírání

M V

M

odtržení betonu

a) ohybová trhlina

b) šikmá smyková trhlina

c) šikmá smyková výztuž

d) svislá smyková výztuž

Obr. 4.4 Druhy trhlin a smykové výztuže

V každé smykové trhlině se svislou smykovou výztuží obecně vznikají tyto síly (viz obr. 4.5): • Rc1 – síla v tlačeném betonu na konci trhliny, • Rd1 – síla od hmoždinkového účinku zrn kameniva, která tím částečně brání posunu v trhlině, • Vt1 – svislá síla od hmoždinkového účinku podélné tažené výztuže v trhlině (tento efekt však může vést až k odtržení části krycí vrstvy betonu),

- 38 (70) -


• Vs – svislá síla ve smykové výztuži, pokud je navržena. a) síly v trhlině

b) síly na betonový segment 1

d

Vd1

Fd1

Rd1 Vs

1

Vc1

Fc1

Vs

xv

R c1

1

2

R d1

2

1

2

Ft1

Vc2 Fc2

Rc2

2

Rd2

Vt1 Vt1

2

Ft1

1

2

c

Vt2

Ft2

Obr. 4.5 Působící síly ve smykové trhlině a mezi nimi

V šikmé trhlině, přesněji v zalomeném šikmém řezu 1-1, musí být zachována rovnováha vnějších a vnitřních sil – viz obr. 4.5a. Bude se jednat o podmínky rovnováhy pro ohybový moment, svislou (posouvající) a vodorovnou sílu. Momentovou podmínku lze sestavit např. k působišti síly Rc1 – tato podmínka se běžně nepoužívá. Výslednou vnitřní posouvající sílu v šikmém řezu můžeme stanovit podle vztahu Vcs = Vc + Vs ,

(4.3)

kde Vc = Vc1 + Vd1 + Vt1 je výsledná vnitřní svislá síla v případě nepřítomnosti smykové výztuže (Vc1 a Vd1 jsou svislé složky sil Rc1 a Rd1) a Vs svislá složka síly, která vzniká ve smykové výztuži. Pro vodorovný směr lze napsat podmínku rovnováhy (bez vlivu normálové síly od vnějšího zatížení) ve tvaru Fc1 + Fd1 = Ft1 ,

(4.4)

kde Fc1 a Fd1 jsou vodorovné složky sil Rc1 a Rd1 a Ft1 je síla v podélné tažené výztuži v místě trhliny. Betonový segment, který vzniká mezi dvěma rozvíjejícími se smykovými trhlinami, je mimostředně namáhán tlakovou silou Rc2 a dalšími silami podle obr. 4.5b. I pro něj lze napsat podmínku pro síly ve svislém směru Vc2 + Vd2 - Vd1 + Vt2 – Vt1 = Vs

(4.5)

a pro síly ve vodorovném směru Fc2 + Fd2 – Fd1 = Ft2 – Ft1 ,

(4.6)

kde Vd2 resp. Fd2 je svislá resp. vodorovná složka síly Rd2, Vc2 resp. Fc2 svislá resp. vodorovná složka síly Rc2 a Vt2 je svislá síla od hmoždinkového účinku podélné tažené výztuže v trhlině 2-2. Při narůstajícím zatížení FE a tomu odpovídající posouvající síle VE se na celkovém odporu VR = VE v šikmé trhlině mění podíl jednotlivých výše uvedených sil. Postupně klesá vliv hmoždinkového účinku zrn kameniva a podélné výztuže a narůstá vliv smykové výztuže – viz obr. 4.6. Při tom na obrázku zatížení

- 39 (70) -


na úrovni bodu a odpovídá mezi vzniku ohybových trhlin, bodu b mezi vzniku smykových trhlin, bodu c mezi kluzu smykové výztuže a bodu d okamžiku porušení.

VRc

VR

Vc1 VRs

Vt1 Vd1 Vc Vs a

b

c

d

FE (VE)

Obr. 4.6 Rozdělení sil ve smykové trhlině při narůstajícím zatížení

Z obr. 4.6 je zřejmé, že po dosažení meze kluzu ve smykové výztuži, když v krátké době dojde k výraznému otevření trhliny a k praktickému vymizení vlivu obou hmoždinkových účinků, se na přenosu vnější posouvající síly podílí pouze výztuž a tlačený beton. V tomto stádiu pak ze vztahů (4.3) až (4.6) vymizí příslušné svislé a vodorovné síly odpovídající hmoždinkovému účinku => bude platit: Vcs = Vc + Vs , Fc1 = Ft1 , Vc2 = Vs , Fc2 = Ft2 – Ft1 .

(4.7)

Z těchto vztahů vyplývá, že únosnost ve smyku je dána únosností tlačené části betonu na konci smykové trhliny (nad smykovou trhlinou) a smykové výztuže, že příspěvek smykové výztuže odpovídá únosnosti betonového segmentu (tlačeného betonu pod smykovou trhlinou) a že u šikmé trhliny dochází oproti vlivu ohybového momentu ve svislé ohybové trhlině k posunu působiště (k nárůstu) odpovídající tahové síly v podélné výztuži. Při použití šikmé smykové výztuže se navíc ve vztazích (4.4), (4.6) a (4.7) projeví její vodorovná složka, která především bude redukovat posun (nárůst) tahové síly v podélné výztuži. Na základě provedených zkoušek lze také přibližně uvažovat, že na mezi porušení je smyková únosnost tlačeného betonu řádově přibližně stejná se smykovou únosností na mezi vzniku smykových trhlin Vr stanovenou podle vztahu (4.2).

Kontrolní otázky Vysvětlete jak se stanoví únosnost ve smyku na mezi vzniku smykových trhlin. Vykreslete a zdůvodněte tvary smykových trhlin.

- 40 (70) -


Jaké jsou typy smykové výztuže a jaký je její význam? Popište základní síly působící v šikmé trhlině a na betonový segment mezi trhlinami včetně základních podmínek rovnováhy. Jak se změní rozdělení sil a podmínky rovnováhy po dosažení meze kluzu smykové výztuže?

4.2

Výpočet mezní smykové únosnosti

Při výpočtu mezní smykové únosnosti se obvykle vychází z napjatostního stádia III. Je však nutno rozlišovat zda prvek nebo jeho část je nebo není vyztužena smykovou výztuží. Obdobně jako u ohybu budeme většinou pracovat s návrhovými hodnotami veličin. Opět pro zjednodušení zápisu budou v dalším textu, pokud to nebude na závadu, vynechávány dolní indexy d.

4.2.1

Základní principy a předpoklady výpočtu

Při dimenzování železobetonových prvků namáhaných posouvající silou je nutno prokázat spolehlivostní podmínku ve tvaru VR ≥ VE ,

(4.8)

kde VR je posouvající síla na mezi únosnosti a VE prostá hodnota posouvající síly od vnějšího zatížení. Z hlediska meze únosnosti rozeznáváme: • smykovou únosnost VRc = VRd,c, tj. únosnost prvku nebo části prvku bez smykové výztuže, • smykovou únosnost VRs = VRd,s, tj. únosnost smykové výztuže, • smykovou únosnost VRmax = VRd,max, tj. únosnost tlačeného segmentu mezi trhlinami. Za smykovou únosnost VR se tedy bude uvažovat hodnota VRc, pokud nebude třeba navrhovat smykovou výztuž, resp. VRs, pokud bude smyková výztuž navržena. O smykové únosnosti může však rozhodnout i únosnost tlačeného segmentu VRmax. Smykovou výztuž bude nutno navrhnout, pokud VE > VRc. V opačném případě, i když smyková výztuž nebude potřeba, se má provést alespoň minimální smykové vyztužení odpovídající konstrukčním zásadám mimo desky a prvky malého významu. U prvků s náběhy (se skloněným dolním nebo horním povrchem) vznikají v důsledku šikmých sil v podélné výztuži a v tlačené části betonu nad šikmou trhlinou jejich posouvající složky Vt a Vcc, o které je nutné upravit velikost posouvající síly od zatížení nebo odolnost prvku v šikmé trhlině, tj. např. podle [3] na VR = VRs + Vcc + Vt (přitom VRs ≤ VRmax ) nebo VRmax ≥ VE - Vcc - Vt . Kladné znaménko u těchto sil je v případě pokud působí ve směru zatížení. Posouvající síla svým účinkem ovlivňuje velikost sil v tažené podélné výztuži a v tlačeném betonu. Návrhem podélné tažené výztuže musíme prokázat, že je schopna přenést sílu nejen od ohybového momentu, ale i přídavnou sílu ∆Ft od smyku a že je schopna ji přenést do podpory.

- 41 (70) -


Kontrolní otázky Jaké rozeznáváme smykové únosnosti s ohledem na návrh smykové výztuže? Jak ovlivňují smykovou únosnost prvků náběhy?

4.2.2

Prvky bez smykové výztuže

Prvek bez smykové výztuže je vyztužen pouze podélnou taženou výztuží. Tento případ se může vyskytnout jen u prvků malého významu, např. běžné desky popř. překlady do rozpětí 2 m. Únosnost stanovenou pro tento případ lze využít i u prvků se smykovou výztuží pro vymezení částí, kde není třeba tuto výztuž počítat. 4.2.2.1 Způsob porušení prvků bez smykové výztuže Prvek bez smykové výztuže po vzniku ohybových a smykových trhlin přenáší zatížení ve formě uvnitř vytvořeného nosníku se zakřiveným nebo lomeným tlačeným pásem s táhlem. Tvar tlačeného pásu závisí na způsobu zatížení – viz např. vzpěradlo nebo oblouk s táhlem v obr. 4.7. a)

F

c

a

F

smyková trhlina

b)

f

c

smyková trhlina

Obr. 4.7 Chování prvku bez smykové výztuže

Pro smykové porušení bývá rozhodující únosnost v šikmé trhlině v blízkosti podpory. Její určení je složité – viz výše popisovaná situace ohledně sil v trhlině dle vztahů (4.3) až (4.7) bez smykové výztuže a uváděná vazba mezi únosností na mezi vzniku smykových trhlin dle vztahu (4.2) a únosností VRc tlačené oblasti betonu nad smykovou trhlinou, která je její rozhodující částí. Na porušení prvku má také vliv smyková štíhlost, která závisí na účincích zatížení a účinné výšce průřezu – viz kap. 4.1.1. Závislost si můžeme objasnit pro nosník zatížení dvěma břemeny podle obr. 4.7a - pro tento případ smyková štíhlost λV=a/d. Význam vlivu posouvající síly na porušení ve srovnání s porušením v ohybu MR (odpovídá průřezu s maximálním momentem ME=F.a=VE.a pod břemenem ve vzdálenosti a od podpory a má konstantní velikost) v závislosti na velikosti smykové štíhlosti je zřejmý z obr. 4.8. Z obr. 4.8 vyplývá, že o porušení rozhoduje při velké smykové štíhlosti (λV >6,5) ohyb a při štíhlosti 2,5< λV ≤6,5 smyk za ohybu na konci smykové trhliny. Při malé štíhlosti λV ≤2,5 se již projevuje příznivý vliv svislého tlakového napětí při přímém zatížení v blízkosti podpory - viz vztah (4.1) a při velmi malé štíhlosti může dokonce dojít k porušení tlačené vzpěry přenášející břemeno přímo do podpory. Nejnižší únosnost je pro smykovou štíhlost λV ≈2,5 – tomu také odpovídá šikmá trhlina, která zasahuje do vzdálenosti cca 2,5.d od podpory nosníku. - 42 (70) -


neštíhlý

málo štíhlý

štíhlý

velmi štíhlý

MR únosnost v ohybu

únosnost tlačených vzpěr únosnost ve smyku za ohybu

únosnost v oblasti diskontinuity

0

1,0

2,5

6,5

λ

V

Obr. 4.8 Únosnost prvku v závislosti na smykové štíhlosti

V důsledku vytvoření vnitřní statické soustavy (nosník s tlačeným pásem a s táhlem) dochází i k nárůstu tahové síly Ft v podélné výztuži v líci uložení, kterou je nutno náležitě zakotvit, jinak by mohlo dojít k porušení v soudržnosti s betonem s následným porušením celého nosníku. 4.2.2.2 Smyková únosnost prvků bez smykové výztuže Z předcházející kapitoly vyplynulo, že o únosnosti železobetonových prvků bez smykové výztuže většinou rozhoduje únosnost tlačené oblasti průřezu na konci šikmé smykové trhliny (tlačeného pásu vnitřního nosníku tvaru oblouku či vzpěradla s táhlem). V evropském standardu [3] je pro smykovou únosnost prvku bez smykové výztuže zaveden vztah, který vychází z provedených experimentů, ve tvaru VRc = VRcm + VRcn = [CRd,c.k.(100.ρl.fck)1/3 + 0,15.σcp].bw.d ,

(4.9)

kde je VRcm (VRcn) smyková únosnost při působení ohybu (normálové síly), CRd,c = 0,18/γc součinitel smykové únosnosti, γc dílčí součinitel spolehlivosti materiálu pro beton, k = 1+(200/d)1/2 ≤ 2,0 součinitel výšky d (v mm), (100.ρl.)1/3 součinitel vlivu podélného vyztužení, ρl = Asl/(bw.d) ≤ 0,02 stupeň vyztužení, Asl plocha tažené výztuže v mm2, která zasahuje za posuzovaný průřez minimálně na vzdálenost lbd+d – viz obr. 4.9, fck charakteristická pevnost betonu v MPa, bw (d) nejmenší šířka průřezu v tažené oblasti (účinná výška) – v mm, σcp = NE / Ac ≤ 0,2.fcd (v MPa) napětí od normálové síly NE (v N; pro tlak je NE > 0) na celé ploše betonu Ac (v mm2). Vzhledem k tomu, že by takto stanovená únosnost nerespektovala minimální únosnost pro prvek i bez podélné výztuže (ρl = 0), byla opět na základě zkoušek stanovena minimální smyková únosnost pro tento prvek min VRc = (vmin + 0,15.σcp).bw.d , 3/2

(4.10)

1/2

kde vmin = 0,035.k .fck .

- 43 (70) -


l bd

d

VEd

VEd

45°

di

l bd

45°

A

A sl

A sl

l s.min

A

l s.min

A sl

d

A

45°

l bd

VEd l s.min

Obr. 4.9 Podmínky započitatelnosti tažené výztuže

O řešení únosnosti pro zatížení v blízkosti podpor je pojednáno v kapitole 4.3.3.

Kontrolní otázky Vysvětlete způsob smykového porušení prvků bez smykové výztuže. Jak ovlivňuje smyková štíhlost poručení prvku? Na čem závisí a jak se stanoví smyková únosnost u prvků bez smykové výztuže?

4.2.3

Prvky se smykovou výztuží

Smyková výztuž přispívá ke zvýšení smykové únosnosti prvku; mimo jiné zabraňuje zmenšení smykové únosnosti v kritické oblasti – viz vyšrafovaná část na obr. 4.8, tzv. „údolí smyku“. 4.2.3.1 Způsob porušení prvků se smykovou výztuží Způsob porušení prvku se smykovou výztuží vychází z charakteristiky stádia III uvedeného v kap. 4.1.1. Ke smykovému porušení může dojít dosažením • meze kluzu ve smykové výztuži s následným drcením tlačeného betonu na konci smykové trhliny (tahové porušení při smyku za ohybu), • mezní únosnosti tlačeného betonového segmentu mezi trhlinami (tlakové porušení), • únosnosti v soudržnosti mezi podélnou výztuží a betonem v důsledku nárůstu její tahové síly vlivem smyku. Který případ bude rozhodující závisí na mnoha činitelích – charakter zatížení, tvar průřezu, charakter vyztužení apod. Tyto činitele rozhodnou o tvaru a sklo-

- 44 (70) -


nu šikmé trhliny a tím i o způsobu porušení v této trhlině – viz kap. 4.1.2 a obr. 4.3. Z hlediska smykové výztuže může její větší množství vést ke vzniku strmějšího sklonu šikmé smykové trhliny a naopak menší množství k plošší trhlině, čímž se v podstatě nemění její smyková únosnost. U plošších trhlin se však zvětšuje namáhání tlačeného segmentu a zvětšuje se přídavná síla v podélné tahové výztuži, což může ovlivnit způsob smykového porušení prvku. Také nepřiměřeně velké množství smykové výztuže v důsledku jejího nevyužití může vést k výrazněji strmým trhlinám a k porušení v důsledku nedostatečné únosnosti betonového segmentu. Podobně jako u ohybu s ohledem na přijatelnou přetvárnost (duktilitu) je z hlediska způsobu porušení smykem nejpřijatelnější tahové porušení. Při tomto porušení lze předpokládat na konci smykové trhliny současně trhlinu ohybovou a napjatost v tlačené oblasti podle obr. 4.10.

ψ⋅ f c

R Rc xm

VRc

FRc z

V Rs

τ

γ⋅ f ct

DETAIL 1

τ

max

xm xv

σx

VRc

xv

DETAIL 1

VRc1

R Rc1 R Rc2

s s s s

FRt

FRt

VRc2

c stádium

Obr. 4.10 Situace při porušení smykem za ohybu

Výslednice vnitřních sil v tlačené oblasti na mezi únosnosti RRc se vzhledem k tomu, že smyková trhlina dělí tlačenou oblast na dvě části, rozdělí na dvě síly - na RRc1 působící nad smykovou trhlinou a RRc2 pod smykovou trhlinou (viz detail 1 na obr. 4.10). Potom lze podobně jako ve vztazích (4.7) najít mezní únosnost ve smyku v šikmé trhlině, jen s tím rozdílem, že do vztahů (4.7) po odeznění vlivu hmoždinkového efektu se dosadí posouvající síly na mezi porušení (pro bod d na obr. 4.6). Vztahy (4.7) se pro posouvající síly upraví na VRcs = VRc1 + VRs , VRs = VRc2 .

(4.11)

Tyto vztahy opět prokazují, že i těsně před porušením šikmý řez smykovou trhlinou přebírá působící posouvající sílu tlačenou částí nad trhlinou (VRc1) a smykovou výztuží v trhlině (VRs) s tím, že po odeznění hmoždinkového efektu tato výztuž přebírá pouze posouvající sílu od tlačené části pod trhlinou (VRc2). Z předcházejícího textu této kapitoly je zřejmé, že při tahovém porušení ve smyku za ohybu by nemělo dojít k porušení tlačeného segmentu mezi trhlinami (VRcs ≤ VRmax) a k porušení v důsledku posunu tahové síly Ft v podélné výztuži k místu jejímu zakotvení. U tlačených oblastí při kombinaci normálových a smykových napětí je přitom nutno uvažovat snížení pevnosti betonu v tlaku na

- 45 (70) -


ψ.fc, kde ψ je redukční součinitel, který závisí nejen na kombinaci obou napětí, ale i na smykové štíhlosti a vlivu smykové výztuže. Železobetonový prvek lze s ohledem na jeho statické chování a porušování také modelovat jako násobnou staticky neurčitou příhradovou soustavu, tzn. jako soustavu prutů, které nahrazují tlačené betonové části (nad a pod šikmou trhlinou) a taženou podélnou výztuž (tažený pás) nebo smykovou výztuž (tažená diagonála nebo svislice) – viz obr. 2.3. I zde lze rozdělit výslednici vnitřních sil v tlačené oblasti na sílu RRc1 působící nad smykovou trhlinou (v tlačeném pásu) a RRc2 působící pod smykovou trhlinou (v tlačené diagonále nahrazující betonový segment). Vytvoření konkrétní příhradové soustavy je obecně složité.

Kontrolní otázky Charakterizujte možné způsoby smykového porušení prvků se smykovou výztuží včetně vlivu množství této výztuže. Vysvětlete jaké síly vznikají při tzv. tahovém porušení při smyku za ohybu? 4.2.3.2 Smyková únosnost prvků se smykovou výztuží Stanovení smykové únosnosti s ohledem na chování prvku namáhaného posouvající silou současně s ohybovým momentem je složité a pracné. Proto se ve všech standardech používají určitá zjednodušení, která vedou k využití těchto výpočtových modelů: • model šikmého řezu nahrazující smykovou trhlinu, který zohledňuje rovnováhu sil v tomto řezu a na tlačeném segmentu pod touto trhlinou, • model zjednodušené příhradové soustavy s proměnným sklonem tlačených diagonál. Součástí těchto modelů bývá i určení příspěvku tlačeného pásu nad smykovou trhlinou VRc1 včetně jeho možného zanedbání. V evropském standardu [3] vychází výpočet smykové únosnosti železobetonového prvku z modelu přímopásové násobné příhradové soustavy s proměnným úhlem tlačených diagonál v rozmezí 1,0 ≤ cot θ ≤ 2,5, tj. 45° ≥ θ ≥ 21,8° - viz obr. 4.11. Úhel tažené diagonály α (smykové výztuže) se doporučuje volit od 45° do 90° (z praktických důvodů se u třmínků volí nejčastěji 90°). tlačený pás

vzpěra

HE Fc 1 2z

ME

1 2z

θ

VE Ft

s

NE z

α

smyková výztuž

tažený pás

Obr. 4.11 Model násobné příhradové soustavy

- 46 (70) -

VE


Vzhledem k tomu, že tlačený pás u prvků s konstantní výškou není skloněný, neuvažuje se příspěvek vnitřní posouvající síly VRc1 nad smykovou trhlinou k únosnosti. Únosnost ve smyku je tedy dána únosností tažené diagonály či svislice (smykové výztuže v šikmé trhlině) VRs nebo únosností tlačené diagonály VRmax (diagonála má stejný sklon jako šikmá smyková trhlina). V řešení je nutno přihlédnout k omezení napětí v tlačeném betonu a popř. i k omezení napětí ve smykové výztuži a k přiměřené přetvárnosti. Pro stanovení jednotlivých únosností a přídavných sil v pásech lze použít jednoduchou staticky určitou příhradovou soustavu použitelnou pro oblasti běžného chování – viz obr. 4.12, kde je zobrazena pro případ prostého nosníku zatíženého břemenem o velikosti F v polovině rozpětí. a d = a⋅ sin θ a a/2

I. Fc1

Fc

w

σ c

Fsw

2´

=ψ

⋅f

VE

1 I. a/2 al

Ft2

s

s

s

s

F

A sw⋅fyw

α

Ft1

Fc3

3´

s

c

θ A

Fc2

z

1´

2

a/2 c b a = z (cot θ + cot α)

Ft3

Ft4 3 c = z ⋅ cot θ a

a/2

Obr. 4.12 Model jednoduché příhradové soustavy

Tlačené a tažené diagonály (vzpěry a táhla) zde reprezentují určitý úsek – idealizované pole příhradoviny o délce a, která se skládá z průmětu šikmé tlačené diagonály (tj. i idealizované šikmé trhliny) c a případného průmětu šikmé tažené diagonály b do podélné osy prvku a pro níž tedy platí a = c + b = z. (cot θ + cot α),

(4.12)

kde z je rameno vnitřních sil v pásech odpovídajících ohybovému momentu (pro výpočet smykové únosnosti lze přibližně brát z = 0,9.d, pokud v prvku nepůsobí normálová síla). Pro svislou smykovou výztuž a = c = z.cot θ. Pro vlastní stanovení únosnosti šikmé vzpěry nebo šikmého či svislého táhla můžeme předpokládat, že rozdělení tlakového napětí nebo smykové výztuže je v daném poli příhradoviny rovnoměrné (mluvíme o tlakovém nebo taženém poli) s tím, že výsledné síly v diagonálách působí v osách příslušného pole. Mezní sílu v tlačené diagonále lze pro její nejmenší šířku bw mezi tlačeným a taženým pásem a druhý rozměr ad = a.sin θ = z.(cot θ+cot α).sin θ při konstantním zmenšeném tlakovém napětí σcd=ψ.fcd =αcw.ν1. fcd stanovit ze vztahu Fcw,max = αcw . bw . z.(cot θ + cot α) . sin θ . ν1 . fcd ,

(4.13)

kde αcw vyjadřuje stav napětí v tlačeném pásu; pro nepředpjaté prvky je 1,0,

- 47 (70) -


ν1 je redukční součinitel pevnosti betonu v tlaku při porušení smykem; jeho hodnota je ν1 = ν = 0,6.[1 - fck[MPa]/250], ale pokud je návrhové smykové napětí ve výztuži σswd < 0,8.fyk lze uvažovat ν1 takto: 0,6 pro fck ≤ 60 MPa resp. 0,9 – fck [MPa]/200 > 0,5 pro fck > 60 MPa. Její svislá složka pak vyjadřuje únosnost ve smyku; pro šikmou smykovou výztuž při sin2 θ = 1/(1+cot2 θ) je VRmax = Fcw,max . sin θ = αcw . bw . z. ν1 . fcd .(cot θ + cot α)/(1+cot2 θ); (4.14) pro svislou smykovou výztuž výztuž (α = 90° => cot α = 0) je VRmax = αcw . bw . z. ν1 . fcd .cot θ / (1+cot2 θ) = = αcw . bw . z. ν1 . fcd / (cot θ+tan θ) .

(4.15)

Mezní síla v tažené diagonále (smykové výztuži v šikmé trhlině) pro jedno pole příhradoviny je dána únosností veškeré smykové výztuže v tomto poli. Tato únosnost se dá vyjádřit např. únosností jedné výztuže (např. jednoho třmínku, tj. všech jeho větví) vynásobené idealizovaným počtem této výztuže v jednom poli a/s, kde s je vzdálenost smykové výztuže mezi sebou. Lze ji však také vyjádřit pomocí měrné plochy smykové výztuže Asw/s na jednotku délky pole, kde Asw je plocha všech větví výztuže v jednom místě (např. plocha všech větví jednoho třmínku), vynásobené touto délkou a. Hodnotu této síly lze tedy pro napětí ve smykové výztuži σswd=fywd vyjádřit např. vztahem Fsw,max = (Asw/s) . fywd . z . (cot θ + cot α)

(4.16)

Její svislá složka opět vyjadřuje únosnost ve smyku. Pro šikmou smykovou výztuž je VRs = Fsw,max . sin α = (Asw/s) . fywd . z . (cot θ + cot α) . sin α

(4.17)

Pro svislou smykovou výztuž při sin α =1 a cot α = 0 je VRs = (Asw/s) . fywd . z . cot θ .

(4.18)

Při stanovování hodnoty VRs se má zredukovat návrhové napětí ve smykové výztuži fywd na σswd=0,8.fywk, pokud se použijí větší hodnoty ν1 pro tlačenou diagonálu (viz výše). Jako výslednou smykovou únosnost VRd je nutno brát menší z hodnot VRs a VRmax . Obdobně jako u ohybu je i u smyku požadováno omezení množství smykové výztuže. Pro omezení zdola lze využít stupeň smykového vyztužení, pro nějž musí platit

ρw = Asw / (bw. s. sin α) ≥ ρw,min = 0,08.fck1/2 / fyk .

(4.19)

Omezení shora vyplývá z únosnosti tažené diagonály VRs , kdy pro maximálně přípustný sklon tlačené diagonály cot θ=1,0 vychází největší množství smykové výztuže pro zajištění stejné únosnosti a z podmínky zachování přiměřené přetvárnosti VRs ≤ VRmax. Po dosazení do této podmínky z (4.14) a (4.17) pak platí: Asw . fywd / (bw.s) ≤ 0,5.αcw . ν1 . fcd / sin α s tím, že při rovnosti obou stran můžeme určit Asw,max resp. ρw,max .

- 48 (70) -

(4.20)


Síly v obou diagonálách mají i své vodorovné složky (vodorovný smyk). Za předpokladu, že VR = VE má celková vodorovná síla velikost HE = VE .(cot θ cot α) – viz obr. 4.11. Tato síla se může rozdělit jako přídavná síla na oba pásy ve stejném poměru. Je tedy

∆Ft = ∆Fc = 0,5 . VE . (cot θ - cot α) ,

(4.21)

s tím, že v uvažovaném svislém řezu v tlačeném pásu výslednou sílu zmenšuje, ale v taženém pásu (v podélné výztuži) zvětšuje oproti silám od ohybového momentu. Z hlediska únosnosti je rozhodující přírůstek síly v podélné tažené výztuži. Nárůst síly je možné odvodit i geometricky, kdy síla od ohybového momentu se posune ve vodorovném směru o hodnotu al směrem k podpoře nosníku – mluvíme o pravidlu o posunu (u příhradoviny na obr. 4.12 jakoby od středu modifikovaného idealizovaného pole). Pro tento posun platí al = c – a/2 = 0,5.(c – b) = 0,5 . z.(cot θ - cot α) .

(4.22)

Potom lze přídavnou sílu v podélné tažené výztuži vyjádřit jako

∆Ft = VE . al / z

(4.23)

a výslednou sílu s omezením vyplývajícího z maximálního momentu jako Ft = ME / z + ∆Ft ≤ ME,max / z .

(4.24)

Při působení normálové síly NE se navíc ve vztahu (4.23) a (4.24) objeví i její hodnota. Nárůst síly v podélné výztuži vlivem posouvajících sil má především význam pro prodloužení délky této výztuže směrem k podporám a na zvýšené požadavky na její zakotvení v podporách. Vodorovnou sílu HE lze uvažovat i rovnoměrně rozdělenou u obou svislých povrchů stojiny.

Kontrolní otázky Charakterizujte model přímopásové násobné a zjednodušené příhradové soustavy. Vysvětlete co je to tzv. příhradové pole a v čem je jeho význam. Odvoďte únosnost ve smyku pro tlačenou diagonálu. Odvoďte únosnost ve smyku pro taženou diagonálu. Odvoďte velikost přídavné síly v podélné tažené výztuži včetně vysvětlení tzv. pravidla o posunu.

4.3

Návrh a posouzení prvků namáhaných na smyk

U návrhu a posouzení konkrétního prvku je nutno rozlišovat řešení v běžných oblastech chování nebo v oblastech diskontinuity. Jejich součástí musí být i řešení nejen v rozhodujících průřezech, ale i v celé délce prvku.

4.3.1

Zásady návrhu a posouzení

Konkrétní návrh a posouzení prvků bez smykové výztuže může plně vycházet z kap. 4.2.2.2 a to z hodnoty únosnosti VRc. Tato únosnost bude zároveň hranicí, která u prvků se smykovou výztuží oddělí od sebe části prvků, kde je nutný početní návrh smykové výztuže a kde jen stačí minimální smyková výztuž.

- 49 (70) -


Konkrétní návrh a posouzení prvku nebo jeho části se smykovou výztuží musí vycházel z rovnováhy mezi vnější posouvající silou a únosností prvku ve smyku za ohybu, která je vyjádřena v předcházející kapitole ve vztazích (4.14), (4.15), (4.17) a (4.18). Ve výpočtu je nutno dále respektovat vymezené hranice pro sklon šikmé smykové trhliny θ a vymezení množství smykové výztuže ve vztazích (4.19) a (4.20). Přídavná tahová síla v podélné výztuži určená podle vztahu (4.21) nebude mít pro návrh a posouzení většinou zásadní význam (mimo jejího zakotvení). Z uvedených vztahů je zřejmé, že únosnost tlačené diagonály VRmax, plocha smykové výztuže Asw a přídavná tahová síla v podélné výztuži závisí na sklonu šikmé smykové trhliny θ, pro který teoreticky existuje nekonečně mnoho voleb ve vymezeném rozsahu 1,0 ≤ cot θ ≤ 2,5, tj. 45° ≥ θ ≥ 21,8°. Také je zřejmé, že použití šikmé smykové výztuže vede k její úspoře včetně snížení velikosti přídavné tahové síly v podélné výztuži. Se zmenšováním sklonu šikmé trhliny v daném rozsahu klesá potřeba smykové výztuže a únosnost tlačené diagonály a stoupá přídavná tahová síla v podélné výztuži. Z hlediska množství smykové výztuže je nejbezpečnější případ pro cot θ=1,0 a nejhospodárnější případ pro cot θ=2,5. Hospodárnost návrhu je důležitá, ale v konkrétních případech se má zohlednit i jeho bezpečnost. U trámových prvků proto lze doporučit volbu úhlu θ od 35 do 45°, u desek i menší (od 25 do 35°). Při určování sklonu šikmých smykových trhlin, při návrhu výztuže a při určování únosnosti v posouzení na smyk se vychází z těchto podmínek: VE ≤ VRs , VE ≤ VRmax a popř. i VRs ≤ VRmax

(4.25)

s tím, že poslední podmínku VRs≤VRmax lze brát jako doplňující z pohledu počtu neznámých a pro zachování přijatelné přetvárnosti. Která podmínka rozhodne, vyplyne z postupu u konkrétního prvku včetně toho zda bude nutné nebo výhodné kontrolovat či využívat stupeň vyztužení smykovou výztuží ρw nebo doporučené hodnoty či hraniční případy pro cot θ. V řešení se mohou uplatnit měrná smyková napětí, jednak od vnější posouvající síly - vEw a jednak na straně odporu šikmého řezu v prvku - vRw, ve tvaru vEw = VEd/(bw.z) ,

vRw = Asw . fywd / (bw.s) = ρw . fywd . sin α ,

(4.26)

s tím, že pro vRw musí být po úpravě vztahu (4.20) splněna podmínka vRw ≤ 0,5.αcw . ν1 . fcd / sin α .

(4.27)

Tento vztah lze upravit i pro stupeň vyztužení smykovou výztuží ρw na

ρw ≤ 0,5.αcw . ν1 . fcd / (fywd . sin2 α) .

(4.28)

Z výchozích podmínek pro návrh a posouzení (4.25) pro případ rovnosti levé a pravé strany můžeme s pomocí měrných smykových napětí a po úpravě získat vztahy pro cot θ postupně v pořadí podmínek takto cot θ = (vEw - vRw . cos α ) / (vRw . sin α) ,

(4.29a)

cot θ = p ±

(4.29b)

p2 + q ,

cot θ = [αcw . ν1 . fcd /(vRw . sin α) – 1] 1/2 , kde p = αcw . ν1 . fcd / 2.vEw a q = αcw . ν1 . fcd . cot α / vEw – 1.

- 50 (70) -

(4.29c)


I z těchto vztahů je zřejmé, že jejich použití nemusí vést k jednoznačnému řešení (hlavně pokud se jedná o návrh). Můžeme však z nich vyjádřit měrné smykové napětí vRw, např. z (4.29a) nebo z (4.29c) vRw = vEw /(sin α .cot θ+cos α ), vRw = αcw .ν1.fcd /[(sin α .(cot2 θ+1)] (4.30) nebo z rovnosti z (4.29a) a (4.29c) vRw = p – (p2 - v2Ew)1/2 ,

(4.31)

kde p = αcw . ν1 . fcd . sin α + vEw . cos α , a následně i stupeň vyztužení smykovou výztuží ρw. Pokud bude smyková výztuž tvořena z kombinace svislých třmínků a šikmých ohybů (svislé třmínky musí zajišťovat minimálně 50 % celkové únosnosti výztuže na smyk) lze za předpokladu rovnoměrného rozmístění této výztuže uvažovat v daném úseku buď její průměrné parametry nebo provést superpozici účinků podle vztahu VRs = VRl + VRb ,

(4.32)

kde je VRl únosnost většinou svislých třmínků (s ostatními parametry Alw, sl, αl, ρwl, vRl) a VRb únosnost ohybů (s ostatními parametry Abw, sb, αb, ρwb, vRb). Při výpočtu VRmax lze zjednodušeně na straně bezpečné uvažovat sklon veškeré smykové výztuže α = 90°. Konkrétní a podrobnější postupy pro návrh a posouzení s využitím předchozích hodnot lze nalézt např. v [1]. Vlastní návrh nebo posouzení se u vhodně navržených a vyztužených prvků (VRs ≤ VRmax) významně zjednoduší, pokud použijeme volbu úhlu tlačené diagonály θ v doporučených mezích.

Kontrolní otázky Charakterizujte možnosti postupu při návrhu a posouzení konkrétního prvku namáhaného posouvající silou. Charakterizujte postup jak získat měrná smyková napětí a sklon tlačené diagonály.

4.3.2

Rozhodující a další průřezy pro návrh a posouzení

Obecně tak jak může být proměnná velikost posouvající síly po délce nosníku, může být i proměnný návrh množství smykové výztuže. O rozdělení této výztuže se rozhodne výpočtem v jednom nebo několika průřezech, v nichž se uvažuje posouvající síla VE stanovená pro konec šikmé smykové trhliny, pokud zatížení působí v horní oblasti prvku směrem k jeho střednici (přímé zatížení). Pokud však zatížení působí v dolní oblasti prvku směrem od jeho střednice (nepřímé zatížení), je třeba navíc k takto navržené výztuži přidat další výztuž, která zajistí přenesení účinku zatížení na délce průmětu šikmé trhliny do horní oblasti – jinak řečeno, je třeba navrhnout výztuž na posouvající sílu VE na začátku trhliny v dolní oblasti prvku. O umístění průřezů rozhoduje typ zatížení (rovnoměrné, břemena, přímé, nepřímé), tvar prvku (s konstantní výškou, s náběhy, změna rozměrů apod.), jeho uložení (přímé, nepřímé) a také vlastní způsob vyztužení. Rozhodujícími prů-

- 51 (70) -


řezy bývají většinou průřezy v blízkosti podpor, kde jsou největší posouvající síly. Tyto oblasti však zároveň bývají oblastmi diskontinuity, kde je potřeba upravit návrh vyztužení – viz další kapitola. U prvků nebo jejich částí, u nichž se nevyskytuje nespojitost v průběhu posouvající síly VE (např. při rovnoměrném zatížení) lze upravovat smykovou výztuž v kterémkoliv úseku prvku postupně od líce podpory v délkách odpovídajících délce pole jednoduché analogické příhradové soustavy dle vztahu (4.12): l = a = z. (cot θ + cot α) – viz obr. 4.13.

l/2 f

s1

0

t/2 t/2

1

2

místo s3 lze i s2

d a2

a3 ?

VRc

a1

VE,max

s3 ≤ smax

s2

VE0 VE1

min VRs VE2 ≤ VR2

VE< VR1

Obr. 4.13 Rozhodující průřezy nosníku při rovnoměrném zatížení

Na tomto obrázku je zobrazen možný návrh smykové výztuže (svislých třmínků) pro dva úseky prostého nosníku v části, kde VE ≥ VRc – v úseku o délce a1 na posouvající sílu VE (s ohledem na blízkost podpory se uvažuje místo VE1) a v úseku a2 na posouvající sílu VE2. Ve zbylé střední části nosníku bude stačit minimální výztuž (zde lze použít i návrh výztuže z druhého úseku). U prvků, kde se vyskytuje nespojitost průběhu posouvající síly (např. při působení osamělých břemen; nejbližší k podpoře je ve vzdálenosti větší než 2.d od líce uložení – jinak je nutno postupovat jako pro oblast diskontinuity – viz další kapitola), je nutno k němu přihlédnout – viz obr. 4.14. Vlastní výpočet se děje po úsecích mezi jednotlivými břemeny na příslušnou posouvající sílu (pro a1 je to VE, pro a2 pak VE2). Pokud vzdálenost břemen bude menší než a, provede se návrh pro úsek daný touto vzdáleností pro upravený sklon trhliny cot θ. Opět

- 52 (70) -


ve zbylé střední části nosníku bude stačit minimální výztuž (zde lze použít i návrh výztuže z druhého úseku). V obou případech je potřeba dodržet nejen minimální vyztužení, ale prokázat i dostatečnou únosnost krajní diagonály na posouvající sílu VE,max (resp. VE0).

v > t/2 + 2d F1

s1

F2

s3 ≤ smax

1

2

místo s3 lze i s2

d a2

VRc

a1

VE,max

f

s2

0

t/2 t/2

v/2

v

VE0 VE1

min VRs VE < VR1

VE2 ≤ VR2

Obr. 4.14 Rozhodující průřezy nosníku při zatížení s břemeny

Jak již bylo konstatováno na začátku této kapitoly, rozhodující oblastí pro návrh výztuže bude oblast v blízkosti podpor prvku. Zde pro stanovení posouvající síly pro návrh smykové výztuže bude určován kritický svislý průřez C, jehož poloha bude záležet na typu zatížení a na způsobu uložení – viz obr. 4.15. U prvků zobrazených na obr. 4.15a, tj. prvků s přímým uložením (nacházejícím se přímo na podporujícím prvku) a s přímým rovnoměrným zatížením je tento průřez ve vzdálenosti d od uložení. Pokud rovnoměrné zatížení bude působit dole (nepřímé zatížení), bude tento průřez přímo v líci přímého uložení – viz obr. 4.15c. V případě nepřímého uložení (uložení podporovaného prvku je pod střednicí podporujícího prvku) závisí na tom, jak je zajištěno vynesení akce od podporovaného prvku do tlačené oblasti podporujícího prvku. Pro první případ na obr. 4.15b, kdy je tato akce vlastně skokem v posouvající síle podporujícího prvku, lze uvažovat posouvající sílu v kritickém řezu ve vzdálenosti d od líce uložení. Pro druhý případ v témže obrázku, kdy je akce vynášena tahovou silou v pod-

- 53 (70) -


porujícím prvku, je nutno posouvající sílu uvažovat v kritickém řezu přímo v líci uložení. a) přímé uložení, zatížení nahoře

C

d

C

C

C

d

krajní podpora nosníku

d

d

trhlina sloup

C

příčel

rámový styčník

vnitřní podpora nosníku

b) nepřímé uložení

C

d

d

C

F trhlina

C

průvlak závěsná výztuž

trám

vynášení posouvající silou

c) přímé uložení, zatížení dole

vynášení tahovou silou

d) přenos břemene do podpory

F1

C

F2

2,5d

Obr. 4.15 Kritické průřezy pro různé druhy uložení a zatížení

Na obr. 4.15d je zjednodušeně zobrazena situace, kdy v blízkosti podpory působí břemeno – při jeho vzdálenosti cca do 2,5.d od líce uložení je nutno při návrhu smykové výztuže uvažovat velikost posouvající síly podle následující kapitoly.

Kontrolní otázky Charakterizujte možnosti umístění průřezů a příslušné posouvající síly. Charakterizujte možný návrh smykové výztuže u spojitého průběhu posouvající síly. Charakterizujte možný návrh smykové výztuže u nespojitého průběhu posouvající síly.

- 54 (70) -


Určete kritické průřezy pro různé druhy uložení a zatížení.

4.3.3

Podrobnosti výpočtu únosnosti v některých oblastech.

Při stanovování únosnosti musíme někdy přihlížet k různým zvláštnostem. Může se jednat o oblasti, kde se nedá předpokládat běžné chování jako je např. v blízkosti podpor, v místech změn rozměrů průřezu, v místech působení břemen apod. Může se také jednak o některé detaily např. ve vyztužení. V této kapitole se zaměříme na tři případy: oblast u podpor, nepřímé uložení a zakotvení třmínků. V oblasti u podpory obecně o délce do 2,5.d (je dáno průmětem šikmé trhliny) se u přímého uložení a přímého zatížení za krajní tlačenou diagonálou vytváří vějíř dílčích diagonál, který způsobuje částečný přenos zde vyskytujícího se zatížení jednak přímo do podpory tlačenou diagonálou a jednak nepřímo smykovou výztuží – viz obr. 4.17a, kde je osamělé břemeno o velikosti F částečně přeneseno tlačenou diagonálou (viz dílčí síla F2) a částečně smykovou výztuží (viz dílčí síla F1=β.F) nahrazenou taženou svislicí s pomocí dvou dílčích diagonál. Podobně lze postupovat i pro rovnoměrné zatížení.

a

a d f

F

β .F

F

β .F

Evropský standart [3] z této situace vychází a provádí pro návrh smykové výztuže úpravu velikosti posouvající od zatížení, které se nachází v úseku do 2.d od podpory (od líce uložení nebo od středu při poddajném uložení). Na obr. 4.16 je tato úprava zobrazena pro zatížení rovnoměrné, pro osamělé břemeno a pro jejich kombinaci.

d

F

F

f

Obr. 4.16 Průběhy a úpravy posouvajících sil u podpory

Pro rovnoměrné zatížení se má uvažovat posouvající síla ve vzdálenosti d od podpory, což odpovídá snížení o polovinu jejího přírůstku na délce 2.d. U osamělého břemene působícího ve vzdálenosti 0,5.d≤av≤2,0.d (pro av<0,5.d se použije 0,5.d) lze její podíl na celkové posouvající síle redukovat součinitelem β=av/(2.d). Při působení obou zatížení je potřeba uplatnit obě úpravy. Podmínkou použití těchto úprav je náležité zakotvení podélné tažené výztuže v podpoře. Pro takto upravenou posouvající sílu musíme prokázat podmínku pro prvky bez smykové resp. se smykovou výztuží VEred ≤ VRc ,

VEred ≤ Asw . fywd . sin α ,

- 55 (70) -

(4.33)


kde Asw je plocha smykové výztuže protínající šikmou smykovou trhlinu (tlačenou diagonálu), vytvořenou mezi podporou a působištěm břemene, v její střední části o délce 0,75. av - viz obr. 4.17b.

F F2

x F2

F1

F1 = β F

Fc

s

Ft

d1

F1

F2

F

0,75av

F1

α

av

VE= F

VE= F

Obr. 4.17 Přenos břemene do podpory a umístění výztuže

Posouvající síla bez redukce má však splnit podmínku VE ≤ 0,5 . bw . d . ν . fcd .

(4.34)

h1

h2

podporovaný nosník

< h 2 /3 < h 2 /2

Pokud by zatížení působilo při dolním povrchu (nepřímé zatížení) je třeba navrhnout dodatečnou výztuž pro jeho vynesení do horní oblasti prvku. Nosníky s břemeny v blízkosti uložení a na krátkých konzolách mohou být alternativně navrženy pomocí modelu náhradní příhradové soustavy.

nosník podporující nosník podporující

závěsná výztuž

< h 1 /3 < h 1 /2

Obr. 4.18 Chování a úprava výztuže v místě styku dvou nosníků

Při nepřímém uložení se zatížení přenáší z podporovaného nosníku do nosníku podporujícího přímo tak, že je nutné navrhnout přídavnou tzv. závěsnou výztuž, která tento účinek vynáší z jeho dolní do horní oblasti – viz obr. 4.18. Závěsná výztuž se navrhuje na sílu odpovídající posouvající síle podporovaného nosníku v místě jeho podpory nejlépe ve formě třmínků, které obepínají

- 56 (70) -


nosnou výztuž podporujícího prvku a umisťuje se do prostoru vymezeného v tomto obrázku. Na šířku tlačené diagonály může mít vliv počet a vzdálenost větví jednoho z třmínků, který vynáší sílu z této diagonály do horní oblasti prvku. Při větší vzdálenosti s ohledem na způsob přenosu této síly může dojít ke zmenšení této šířky oproti šířce celého průřezu prvku – viz případ třmínku se dvěma větvemi oproti třmínku se čtyřmi větvemi na obr. 4.19a. Z tohoto důvodu je limitována vzdálenost těchto větví mezi sebou.

a) vynesení tlakové síly z diagonály pomocí třmínků

b) kotvení třmínků A

F

řez A - A

A 4.19 Přenos sil a kotvení třmínků

Pro zajištění přenosu odpovídající posouvající síly je zapotřebí třmínky nad šikmou smykovou trhlinou náležitě zakotvit – viz obr. 4.19b. Na koncích delších šikmých trhlin je možné, že toto kotvení bude nedostatečné, což omezí únosnost smykové výztuže.

Kontrolní otázky Charakterizujte oblast diskontinuity v blízkosti podpor při přímém uložení z hlediska ověření smykové únosnosti. Popište vliv tzv. nepřímého uložení na návrh výztuže.

4.4

Podélný smyk

U prvků se spolupůsobící deskou vzniká mezi deskou (přírubou) a přilehlou stojinou (trámem) podélný smykový tok – viz obr. 4.20. Na tomto obrázku jsou vykresleny i trajektorie napětí v desce a vznikající příčné tlakové a tahové síly ve spojení mezi deskou a stojinou.

- 57 (70) -


zatížení smykový tok příčný tah

tlakové napětí

l/2 Fs

Obr. 4.20 Působení nosníku s deskou

Pro vlastní výpočet smykové únosnosti lze opět použít násobnou příhradovou soustavu vloženou do této desky. Na obr. 4.21 je zobrazeno využití jednoduché analogické příhradové soustavy pro průřez tvaru I, tzn. pro tlačenou a taženou desku.

a) deska tlačená

b) nosník

c) deska tažená Obr. 4.21 Model příhradové soustavy pro I průřez

- 58 (70) -


Z obrázku je zřejmé, že tyto příhradové soustavy navazují na příhradovou soustavu ve vlastní stojině a že jsou tvořeny tlačenými diagonálami, tlačeným nebo taženým pásem (v tlačené resp. tažené desce) a příčnými táhly. Zatímco síly v podélných prutech byly již zohledněny při návrhu na ohyb, je třeba síly v příčných táhlech zachytit smykovou betonářskou výztuží a prokázat dostatečnou únosnost tlačených diagonál. Pro stanovení smykové únosnosti příruby se nejdříve určí podélné smykové napětí ve styku se stojinou vE (správněji τE) podle vztahu vE = ∆F / (hf . ∆x), (4.35) kde je ∆F změna ve velikosti podélné síly v jedné přírubě na délce ∆x,

∆x uvažovaná délka pro stanovení změny podélné síly ∆F, hf tloušťka příruby v místě napojení na stojinu (viz obr. 4.22).

∆x

A sf

A

sf

F θf

hf

F

bw

F + ∆F b eff,i

A b

nutný přesah podélné výztuže

f,i ef

b ef

f,i

tlačená diagonála F + ∆F

Obr. 4.22 K návrhu smykové výztuže na podélný smyk

Změnu ve velikosti podélné síly ∆F můžeme vyjádřit pomocí změny ve velikosti ohybového momentu ∆ME nebo pomocí integrace průběhu posouvající síly na úseku ∆x přepočtené na jednu přírubu. Pomocí vztahu z pružnosti pro velikost smykového napětí τE=VE.S/(b.I)=VE/(b.z) lze za předpokladu plného využití desky uvažovat

∆F = ∆Ftot.A1/Atot = ∆ME/z. A1/Atot = ( 1 / z ).∫ VE(x).dx , ∆x

(4.36)

kde je A1 plocha tlačené příruby o šířce beff,i (u tlačené desky) nebo plocha podélné tažené výztuže umístěné v této přírubě (u tažené desky), Atot celková plocha tlačené desky o šířce beff nebo celková plocha podélné tažené výztuže umístěné v tažené desce o šířce beff,

∆Ftot změna celkové podélné síly na délce ∆x odpovídající ploše Atot. Délka ∆x se obecně volí podle průběhu posouvajících sil. Její maximální velikost může být uvažována podle [3] jako polovina vzdálenosti mezi průřezy s nulovým a maximálním momentem nebo jako vzdálenost mezi působícími osamělými břemeny, což odpovídá oblasti s největšími posouvajícími silami.

- 59 (70) -


Pokud pro podélné smykové napětí ve styku se stojinou bude platit, že vE>0,4.fctd, je potřeba v případě kombinace smyku mezi přírubou a stojinou a příčného ohybu navýšit množství příčné výztuže v desce navržené na ohyb (v opačném případě je toto množství dostatečné). Plochu příčné betonářské výztuže na jednotku délky, tj. Asf /sf (veličiny viz obr. 4.22), lze určit z podmínky vE=vR,s, kde vR,s = (Asf /sf ). fyd . cot θf / hf

(4.37)

je únosnost příčné výztuže (veličiny viz obr. 4.22). Výsledná plocha výztuže Asf má být podle [3] větší než vyjde ze vztahu (4.37) nebo polovina této plochy v součtu s nutnou plochou na příčný ohyb. Při posuzování dostatečné únosnosti smykové únosnosti příruby musíme prokázat nejen dostatečnou únosnost příčné výztuže, ale i únosnost tlačené diagonály pomocí vztahu vE ≤ vR,max = ν . fcd . sin θf . cos θf .

(4.38)

Přípustný rozsah hodnot pro cot θf je dán vymezením 1,0≤ cot θf ≤ 2,0 pro tlačenou spolupůsobící desku (45°≥ θf ≥26,5°) resp. 1,0≤ cot θf ≤1,25 pro taženou spolupůsobící desku (45°≥ θf ≥38,6°). Podélná tažená výztuž v přírubě musí být zakotvena za tlačenou diagonálu nutnou k přenesení síly zpět do stojiny v průřezu, kde je výztuž požadována (viz obr. 4.22, řez A-A). Množství této výztuže musí splňovat podmínky pro minimální míru vyztužení při dodržení konstrukčních zásad.

Kontrolní otázky Určete velikost podélného smykového napětí a podélné síly ve styku mezi přírubou a stojinou deskového trámu. Jak se stanoví množství příčné výztuže a zajistí se dostatečné únosnost pro podélný smyk?

4.5

Autotest


- 60 (70) -

Prvky namáhané kroucením

5


Vliv kroucení se při navrhování prvků uvažuje pokud statická rovnováha konstrukce závisí na jejich únosnosti v kroucení. Mezi ně patří např. prvky zobrazené na obr. 5.1a – obvodový průvlak s jednostranným uložením a 5.1b – trám s jednostrannou konzolovou deskou, tj. prvky, u nichž působí významnější zatížení na větší exentricitě vůči jejich ose (kroutící moment TE je roven násobku síly a její vzdálenosti od této osy) a jejich deformace není výrazněji omezena konstrukčním uspořádáním navazujících prvků.

a

a

F R

a)

b)

c)

Obr. 5.1 Typy kroucených prvků

Toto neplatí u prvku podle obr. 5.1c – obvodový průvlak s jednostranně připojenou trámovou stropní konstrukcí, která svojí tuhostí brání většímu zkroucení průvlaku (trám lze v podstatě řešit s volnou krajní podporou).

5.1

Chování a porušení kroucených prvků

U kroucených prvků musíme rozeznávat dvě základní situace – jednak stádium do vzniku trhlin a jednak stádium po vzniku trhlin.

a)

b) Obr. 5.2 Trajektorie napětí a trhliny při kroucení

Kroucené železobetonové prvky do vzniku trhlin se chovají téměř jako prvky homogenní podle zásad teorie pružnosti. Průběh trajektorií napjatosti u prvku - 61 (70) -


obdélníkového průřezu je zřejmý z obr. 5.2a (plná čára znázorňuje tahovou a čárkovaná tlakovou trajektorii hlavního napětí; obě přibližně pod úhlem 45o se střednicí prvku). Výpočet smykového napětí je rozdílný podle typu průřezu (plný, tenkostěnný uzavřený, tenkostěnný otevřený) – pro obdélníkový průřez např. pro střed jeho strany je τt = TE / Wt, kde Wt je modul průřezu v kroucení. Při dalším zvýšení kroutícího namáhání začnou postupně vznikat trhliny, nejdříve v místech největšího napětí τt,max a později i v dalších částech přibližně ve sklonu 45o vůči střednici prvku a přibližně kolmo k tahovým trajektoriím – viz obr. 5.2b. U prvků nevyztužených na kroucení je tato situace v podstatě mezí jeho porušení. U prvků vyztužených na kroucení (příčnou a podélnou výztuží) však tyto tahy zachytí výztuž. Prvek se v tomto případě poruší podobně jako u jiných namáhání – dosažením meze kluzu ve výztuži na kroucení s následným nadměrným zkroucením prvku nebo rozdrcením tlačeného betonu v segmentech vznikajících mezi trhlinami.

a) převládá ohybový moment

b) převládá posouvající síla

Obr. 5.3 Možné způsoby porušení

Účinky kroucení většinou nejsou osamocené, kombinují se s působením posouvajících sil a popř. i ohybových momentů. Tomu také odpovídá porušení železobetonového prvku – např. u obdélníkového průřezu je v nerovinné ploše s jednou tlačenou stranou šikmou ke střednici prvku. Pokud v kombinaci převládá vliv ohybového momentu nad posouvající silou, je tlačená oblast betonu u horního okraje – viz obr. 5.3a a pokud je tomu naopak (častější případ) je tlačená oblast betonu u bočního okraje průřezu – viz obr. 5.3b. S ohledem na průběh trajektorií a způsob namáhání můžeme i po vzniku trhlin uvažovat soustavu prutů, které reprezentují příčnou a podélnou výztuž na kroucení a tlačené segmenty (diagonály) mezi trhlinami – zde se bude jednat o násobnou prostorovou příhradovou soustavu.

Kontrolní otázky Charakterizujte typy prvků z hlediska možného vlivu kroucení. Vysvětlete jak se chovají kroucené prvky do meze vzniku trhlin od kroucení. Vysvětlete jak se chovají kroucené prvky po překročení meze vzniku trhlin od kroucení. Charakterizujte možné způsoby porušení pro interakci kroutících a ohybových momentů a posouvající síly.

- 62 (70) -


5.2

Stanovení únosnosti kroucených prvků

Při stanovování únosnosti v kroucení se budeme zabývat jednak prvky bez trhlin a jednak prvky po vzniku trhlin. Obdobně jako u ohybu a smyku od posouvající síly budeme většinou pracovat s návrhovými hodnotami veličin. Opět pro zjednodušení zápisu budou v dalším textu, pokud to nebude na závadu, vynechávány dolní indexy d. Významné z hlediska únosnosti budou i kombinace především s účinky posouvající síly. Pro vlastní stanovování únosnosti v kroucení se používají dva základní výpočetní modely: • nosník s analogickým tenkostěnným uzavřeným průřezem – viz obr. 5.4a, kde je znázorněn i odpovídající smykový tok od kroutícího momentu, • násobná prostorová příhradová soustava – viz obr. 5.4b, kde jsou znázorněny i příslušné síly v jednotlivých částech příčné výztuže, v podélné výztuži na kroucení a v tlačených diagonálách.

třmínek podélná výztuž

trhlina

Θ

TE

Θ smykový tok

a) tenkostěnný prvek

tlačená diagonála b) násobná příhradovina

Obr. 5.4 Používané modely a vnitřní síly

Model tenkostěnného uzavřeného průřezu se používá nejen pro duté průřezy, ale i pro plné průřezy. Složené průřezy, např. tvaru T, lze rozdělit na řadu dílčích uzavřených tenkostěnných průřezů (pokud to má význam) s tím, že celková únosnost v kroucení se uvažuje jako součet únosností jednotlivých částí průřezu. Každý dílčí průřez lze navrhnout samostatně na dílčí kroutící moment, jehož velikost je úměrná tuhosti v kroucení dílčího průřezu vůči celkové tuhosti v kroucení celého průřezu bez trhlin.

5.2.1

Únosnost kroucených prvků bez trhlin

Při stanovování únosnosti prvků bez trhlin se vychází z modelu prvku tenkostěnného uzavřeného průřezu. Obecně lze podle teorie pružnosti pro tento průřez o konstantní tloušťce stěny t (viz obr. 5.5a) při smykovém napětí τt, vzdálenosti r od středu kroucení, kdy plošný element t.du přičiňuje ke kroutí-

- 63 (70) -


címu momentu částí dT=τt.t.r.du, stanovit integrací po obvodě střednice uk výsledný kroutící moment (Bredtův vzorec):

TE = τt.t.∫ r.du = τt.t.2. Ak ,

(5.1)

u

kde Ak je plocha průřezu omezená jeho střednicí.

zi

uk

VEi

t

u

TE

r

du

τt.t.du

t efi

di t efi/2

střednice

b) označení a definice

a) k výpočtu TE

Obr. 5.5 Model tenkostěnného průřezu

Pro analogický tenkostěnný uzavřený průřez je nejdříve nutno stanovit účinnou tloušťku jeho stěny, kterou lze uvažovat ve velikosti tef=A/u, kde A je celková plocha neoslabeného průřezu a u jeho vnější obvod s tím, že tato tloušťka je omezena podmínkou 2d≤tef≤tw , kde d je vzdálenost mezi osou podélné výztuže a okrajem průřezu a tw skutečná tloušťka stěny u případného dutého průřezu. Na obr. 5.5b je tento průřez zobrazen jako obecný n-úhelník s označením pro itou stěnu o odpovídající délce střednice zi. Pro běžně používaný obdélníkový průřez je příklad analogického tenkostěnného uzavřeného průřezu uveden včetně výztuže na kroucení, o jejímž návrhu bude pojednáno v následující kapitole, na obr. 5.6.

sw sw t efi

b

sli

TE

Osw

di

Asli

i

d h

Osl

Obr. 5.6 Příklad použití tenkostěnného průřezu pro obdélníkový průřez

Po stanovení parametrů analogického tenkostěnného uzavřeného průřezu můžeme ze vztahu (5.1) určit únosnost prvku v kroucení na mezi vzniku trhlin pokud za τt dosadíme fctd. Potom platí - 64 (70) -


TRc = 2 . Ak . tef . fctd .

(5.2)

Většinou nebudeme prokazovat, že TE≤TRc, protože kroutící moment bude většinou současně působit s posouvající silou VE. Pro tyto případy, pokud nebudeme chtít dimenzovat smykovou výztuž, musí být splněna interakční podmínka TE / TRc + VE / VRc ≤ 1,0 ,

(5.3)

kde VRc je mezní posouvající síla pro prvek bez smykové výztuže určená podle vztahu (4.9) s omezením podle podmínky (4.10). I v těchto případech je však nutná alespoň minimální výztuž.

Kontrolní otázky Charakterizujte dva základní typy modelů pro výpočet únosnosti v kroucení. Vysvětlete jak se vytváří model tenkostěnného průřezu a jak se odvodí tzv. Bredtův vzorec. Stanovte únosnost v kroucení na mezi vzniku trhlin včetně interakční podmínky při působení kroutícího momentu s posouvající silou.

5.2.2

Únosnost kroucených prvků s trhlinami

Po překročení meze vzniku smykových trhlin od kroucení je potřeba s ohledem na způsob porušení navrhnout výztuž i na účinky kroucení. Většinou se bude jednat o přídavnou příčnou výztuž ve formě uzavřených třmínků a přídavnou podélnou výztuž – viz např. obr.5.6. Při významnějších velikostech namáhání kroutícím momentem, podobně jako u smyku od posouvající síly, můžeme na straně bezpečné ve vzniklé trhlině zanedbat přínos tlačeného betonu a přisoudit veškeré účinky od kroutícího momentu a posouvající síly výztuži. Smykem bude nejvíc namáhána ta stěna analogického tenkostěnného uzavřeného průřezu, kde se sčítají účinky kroutícího momentu a posouvající síly. Při odvozování vztahů pro výpočet únosnosti v čistém kroucení či návrhu přídavné výztuže na kroucení lze vycházel z analogie již odvozených vztahů pro únosnost při působení posouvající síly se svislou výztuží (4.18), (4.21) a (4.15). Za posouvající sílu VE přitom dosadíme při uvažování zi≈z její velikost v i-té stěně určenou z Bredtova vzorce (5.1) z měrného smykového toku vEi=τt.tefi = TE/(2.Ak) na délce stěny zi ve tvaru VEi = TE. zi / (2.Ak) .

(5.4)

Plochu přídavných svislých třmínků na kroucení dle obr. 5.6 lze také určit z rovnosti této svislé posouvajících síly přepočtené na průmět šikmé trhliny v této svislé stěně do směru podélné osy prvku (na délku pole náhradní prostorové příhradové soustavy) z.cot θ opět při zi≈z ve tvaru vEi = VEi / (z. cot θ) = TE / (2.Ak . cot θ.) s jejich měrnou únosností vRwi = Aswi . fywd /sw na jednotku délky tohoto průmětu. Lze tedy napsat Aswi. fywd TE = . sw 2. Ak . cot θ

(5.5)

Obdobně lze postupovat při návrhu přídavné podélné výztuže na kroucení (její parametry viz obr. 5.6). Zde se však vychází z podmínky rovnosti její měrné únosnosti vRl na jednotku délky střednice uk ve tvaru vRl = Σ(Asl.fyd) / uk

- 65 (70) -


s odpovídající vnější měrnou vodorovnou posouvající silou TE.cot θ/(2.Ak). Potřebná přídavná podélná výztuž se pak dá určit ze vztahu

∑(A . f sl

yd

)

uk

=

TE. cot θ . 2 . Ak

(5.6)

Při konkrétním výpočtu podélné výztuže se však musí přihlédnout k interakci kroutícího momentu TE s ohybovým momentem ME a posouvající silou VE. Proto lze plochu podélné výztuže redukovat v tlačené oblasti betonu (v tlačených pásech příhradoviny), viz obr. 5.3, úměrně tlakové síle. V tažených pásech příhradoviny se má přidat k ostatní výztuži. V plné hodnotě se přídavná podélná výztuž navrhne u těch stěn, kde převažuje interakce kroutícího momentu a posouvající síly. Potom lze vztah (5.6) upravit např. pro svislou stěnu obdélníkového průřezu podle obr. 5.6 na

∑(A

. fyd )

sli

zi

=

TE. cot θ . 2 . Ak

(5.7)

Obdobně by se tento vztah mohl napsat pro jednotlivou výztuž o známé vzdálenosti sli. Podélná výztuž se má obecně rozdělit po celé délce příslušné stěny, ale u malých průřezů může být soustředěna do konců této délky, tj. do rohů průřezu. Je zřejmé, že tato přídavná výztuž musí být v podpoře náležitě zakotvena. Účinky smyku od kroucení a posouvajících sil lze sčítat za předpokladu stejného sklonu θ tlačených diagonál příhradoviny, tj. sklonu trhliny (se stejným omezením velikosti θ jako u posouvajících sil). Pro čisté kroucení by se jeho velikost mohla vyjádřit ze vztahů (5.5), (5.6) popř. (5.7) pomocí měrných únosností takto cot θ = (vRl / vRw)1/2 resp. cot θ = (vRli / vRwi)1/2 .

(5.8)

Pro tento známý sklon by se ze stejných vztahů mohla určit potřebná plocha výztuže na kroucení nebo výsledná únosnost v kroucení TR resp. TRi (bude rozhodovat minimální hodnota ze všech stěn): TR = 2 . Ak . (vRw . vRl)1/2 resp. TRi = 2 . Ak . (vRwi . vRli)1/2 .

(5.9)

O únosnosti v kroucení při kombinaci s posouvající silou může rozhodnout i únosnost tlačené diagonály. Při působení návrhových hodnot kroutícího momentu TE a posouvající síly VE musí být splněna tato podmínka: TE / TRmax + VE / VRmax ≤ 1,0 ,

(5.10)

kde je VRmax maximální návrhová posouvající síla na mezi únosnosti stanovená podle vztahu (4.15) popř. (4.14), TRmax maximální návrhový kroutící moment na mezi únosnosti pro analogický uzavřený tenkostěnný průřez. Velikost návrhového kroutícího momentu na mezi únosnosti získáme pro i-tou stěnu ze vztahu (5.4) při dosazení za VEi=VRmaxi ze vztahu (4.15) pro svislé třmínky při zi≈z, bw=tefi, ν1= ν, cot θ = cos θ /sin θ, sin2 θ=1/(1+cot2 θ): TRmax = TRmaxi = 2. Ak . αcw . ν . fcd . tefi . sin θ . cos θ .

- 66 (70) -

(5.11)


Evropský standard [3] neřeší otázku rozhodujících veličin a řezů v blízkosti podpor. Při analogii s posouvajícími silami se dá očekávat, že se bude postupovat podobně jako u nich.

Poznámka Při působení tlakových sil v diagonálách může dojít k postupnému odlupování silnější krycí vrstvy betonu směrem od rohů do stěn – viz obr. 5.7.

a)

b)

Obr.5.7 Odlupování krycí vrstvy betonu

Tento jev je způsoben výslednicí částí tlakových sil dvou navazujících soustav diagonál v rohu průřezu, která směřuje ven z průřezu (viz obr. 5.7a) a nemůže být zachycena výslednicí sil v rohu příčné výztuže (viz obr. 5.7b). Pokud chceme zabránit, aby účinkům kroucení vzdorovalo jen jádro průřezu, musíme navrhnout další povrchovou výztuž.

Kontrolní otázky Vysvětlete princip návrhu příčné výztuže na zachycení účinků od kroucení. Vysvětlete princip návrhu podélné výztuže na zachycení účinků od kroucení. Odvoďte velikost sklonu tlačené diagonály a únosnost v čistém kroucení pro výztuž. Odvoďte únosnost s posouvající silou.

5.3

tlačené

diagonály

v kroucení

Autotest


- 67 (70) -

včetně

interakce


- 68 (70) -

Závěr

6

Závěr

6.1

Shrnutí

V modulu CM 2 jsme se seznámily se základními principy dimenzování prvků betonových konstrukcí podle mezních stavů únosnosti. Jednalo se o první část, která zahrnovala ohýbané železobetonové prvky a zabývala se dimenzováním železobetonových prvků namáhaných ohybovým momentem, posouvající silou a kroutícím momentem. Naučili jsme se jednak obecné principy pro jednotlivé případy namáhání a jednak aplikace pro běžné i speciální typy průřezů a pro jednoduché typy prvků. Byly naznačeny i možná řešení pro vzájemnou interakci výše uvedených statických veličin.

6.2

Studijní prameny

6.2.1

Seznam použité literatury

[1]

Procházka, J., Štěpánek, P., Krátký, J., Kohoutková, A., Vašková, J.: Navrhování betonových konstrukcí 1. Prvky z prostého a železového betonu. Dimenzování prvků s přihlédnutím k EN 1992-1-1. ČBS Servis Praha, 2005.

[2]

Procházka, J. a kol: Navrhování betonových konstrukcí podle EN 19921-1 (Eurokódu 2). Část 1 – Navrhování prvků železobetonových konstrukcí. Sbírka příkladů ke školení. ČBS Servis Praha, 2006.

[3]

ČSN EN 1992-1-1: Eurocode 2. Design of Concrete Structures. Part 1.1 General Rules and Rules for Buildings. ČNI Praha, 2005 (v současné době se překládá).

[4]

Bilčík, J., Fillo, Ľ., Halvoník, J.: Betónové konštrukcie. Navrhovanie podľa EN 1992-1-1. BETONING Bratislava, 2005.

[5]

MacGregor, J. G., Wight, J. G. : Reinforced Concrete: Mechanics and Design. Prentice Hall, New Jersey 2005.

[6]

Nilson, A. H., Darwin, D., Dolan, Ch. W. : Design of Concrete Structures. McGraf-Hill, 2004.

[7]

Kohoutková, A., Trtík, K., Vašková, J., Vodička, J.: Betonové konstrukce 1. ČVUT Praha, 2005.

[8]

Mehlhorn, G., Fehling, E., Jahn, T., Kleinhenz, A. : Bemessung von Betonbauten im Hoch- und Industriebau. Ernst & Sohn, Berlin 2002.

[9]

Beeby, A. W., Narayanan, R.S. : Designers´ Guide to EN 1992-1-1 and EN 1992-1-2. Eurocode 2: Design of Concrete Structures. General Rules and Rules for Buildings and Structural Fire Design. Thomas Telford, London 2005.

[10]

McCormac, J. C., Nelson, J. K.: Design of Reinforced Concrete. John Wiley and Sohn, 2004.

- 69 (70) -


[11]

Štěpánek, P. a kolektiv : Betonové konstrukce. Prvky betonových konstrukcí, navrhování podle mezních stavů. VUT Brno, 1998.

[12]

Structural Concrete. Texbook on Behavior, Design and Performance. Updated knowledge of the CEB/FIP Model Code 1990. Volume 2: Basis of design. FIB, Lausanne 1999.

6.2.2

Seznam doplňkové studijní literatury

[13]

Procházka, J., Štěpánek, P., Krátký, J., Kohoutková, A., Vašková, J.: Navrhování betonových konstrukcí 1. Prvky z prostého a železového betonu. Dimenzování prvků s přihlédnutím k EN 1992-1-1. ČBS Servis Praha, 2005, str.101 až 160.

[14]

Procházka, J. a kol: Navrhování betonových konstrukcí podle EN 19921-1 (Eurokódu 2). Část 1 – Navrhování prvků železobetonových konstrukcí. Sbírka příkladů ke školení. ČBS Servis Praha, 2006, str. 17 až 40.

[15]

Bilčík, J., Fillo, Ľ., Halvoník, J.: Betónové konštrukcie. Navrhovanie podľa EN 1992-1-1. BETONING Bratislava, 2005, str. 129 až 143 a 150 až 169.

6.2.3

Odkazy na další studijní zdroje a prameny

Odkazy na další studijní zdroje jsou uvedeny ve výše uvedené literatuře, ne však v elektronické podobě.

6.3

Klíč

Klíč k autotestu není potřeba, protože na v textu uváděné kontrolní otázky si student odpoví sám na základě přečtené části tohoto modulu.

- 70 (70) -

PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ

Recommend Documents