.324
STROJNiCKY CASOPIS XIV,
Pružná soustava s odporem
úměrným
Č.
4
výchylce
DOC. INŽ. RUDOLF BREPTA Ústav pro výzkum strojů ČSAV, Praha
V některých případech se vyskytnou soustavy, u kterých je silová charakteristika pružiny přetržitá a je ovlivněna smyslem rychlosti. Typickým příkladem je soustava s pružinou a odporem vyvolaným Coulombovým třením; výsledná silová charakteristika pružiny a "tlumiče" je na obr. 1. Smysl "oběhu" po charakteristice je naznačen šipkami. Plocha kosodélníku vyjadřuje práci zmařenou při stálé amplitudě za jeden cykl. Řešení pohybu soustavy s jedním stupněm volnosti a s uvedenou silovou charakteristikou je známé jak pro volné, tak i pro vynucené kmity. Viz např. [1], str. 73-;.-78 a [2], [3], str. 801. Kromě soustav ovládaných Coulombovým třením se vyskytují zvláštní případy charakteristik podle obr. 2, kde se podle smyslu rychlosti uplatní horní nebo dolní její větev. Tato charakteristika je složitější než charakteristika předchozí, protože se zde vyskytuje vlastně dvojí tuhost. Jinak lze tvrdit, že se jedná o soustavu s odporem úměrným výchylce. Soustavy s uvedenou silovou charakteristikou byly zjištěny např. u ventilových rozvodů spalovacích motorů (viz [4]) a li vypružení železničních vozidel (viz [5]). Pokud je mi známo, řeší se vynucené kmity takové soustavy jen přibližně, zaváděním energeticky ekvivalentního viskózního tlumení, ovšem bez ověření přesnosti tohoto řešení a bez znalosti mezí jeho platnosti. Z porovnání s přes ným řešením uvedeným v této práci poznáme nejen meze použitelnosti přibližného řešení, ale uvidíme také, jak takové řešení zastírá, pro některé frekvence budících kmitů, poměrně komplikované stavy, které se u této soustavy vyskytují. Formulace problému tedy je: Máme vyšetřit volné a hlavně vynucené kmity soustavy s jedním stupněm volnosti, jejíž charakteristika je dána obr. 2 buzené periodickou silou. Než začneme s vlastním řešením, zavedeme některé základní údaje charakteristiky. Obě její větve vztáhneme na střední "ideální" charakteristiku s rovnicí S =
a "větve" skutečného bude platit
průběhu
CoX,
rozlišíme zavedením "odporové" tuhosti cJ' takže
úsek O-;.- I a 3 -;.- 4
S = (co -
úsek 1-;.-2 a 4-;.-5
S = (co
* Jednotlivé
symboly
značí:
S-
CJ)
x,
+ CJ)X.*
síla pružiny, Co - tuhost, x - výchylka, m ... hmota,
325
STROJNICKY CASOPIS XIV, Č. 4
Podle toho zavedeme střední
frekvenci
tři
"vlastní" frekvence;
(00
-m; J Co ,
(00=
frekvenci
(01
pro
méně
strmou
část
(1)
charakteristiky (2)
frekvenci
(02
pro
strmější část
charakteristiky (3)
Obr. 2.
Obr. 1.
Obr. 3.
VOLNÉ KMITY (OBR. 3)
Musíme
odpovědět
na
dvě
otázky:
1. Jaký je pokles amplitud vyvolaný dissipací energie,
2. jaká je doba kmitu
tělesa,
Předpokládejme, že počáteční podmínky jsou t = O, x = xo, X = O. Tento stav je charakterizován bodem O. Pohybová rovnice při pohybu k rovnovážné poloze je
mx =
-(co - cf) x,
x = -(O~x.
Řešení rovnice pro dané podmínky je x =
Xo
cos (Olt.
326
STROJNICKY CASOPlS XIV, č. 4
Rychlost
při průchodu
polohou I je
= -
(X)l
XOW I•
V úseku I -;- 2 je pohyb hmoty popsán rovnicí
mx = x Řešeni
-(co =
+ c,) x,
-w~x.
se zřetelem k počátečním podmínkám v bodě I je
Největší
výchylka je
Podobně
musí platit mezi amplitudami
Xl
a
XOI
vztah
čili Xl
wi --+ Xl = Xo (CO - CI) • = Xo -z Wz Co + CI
Rozvedenim výsledku dostaneme pro amplitudu x; po n kmitech vztah (4)
který vyjadřuje, že amplituda klesá s geometrickou řadou. Rovnici 4 lze také v exponenciálním tvaru
vyjádřit
(5)
Proti tlumení Coulombovým třením, kde je pokles amplitud dán přímkou, je vidět, že se tyto kmity tlumí pomaleji, obdobně jako při viskózním tlumení. ** Závislost (5) má ovšem smysl jen pro celistvé hodnoty n! Průběh kmitu je zde složen ze čtvrtvln o dvou různých frekvencích. Na obr. 4 je nakreslen volný kmit pro cI/cO = 0,5. * Čas t je počítán od průchodu tělesa polohou 1. **) Nesmíme ovšem zapomínat na okolnost, že stejný pokles amplitud ještě neznamená, že charakteristiky soustav jsou stejné, což je v našem případě zřejmé. Záleží ještě na časovém průběhu kmitu,
STROJNiCKY CASOPIS XIV,
č,
4
327
Doba kmitu se rovná
kmity jsou tedy izochro nní.
,
Obr. 4. VYNU CENÉ KMITY VZBUZ ENÉ PERIO DICKY PROM ĚNLI VOU SILOU
Budící síla má jednod uchý harmon ický P 15 je zatím
neurče né
je
= 'R sin (Ot + 15),
fázové pošinut í. P
Přitom
průběh
Výhodnější
bude rozepsa t budicí sílu takto
= Pl sin Ot + P 2 cos Ot.
(6) Naším úkolem je najít periodi cké řešení (stacio nární stav), které bude charakt erizováno jistou amplitu dou X o a fázovým pošinu tím 15. Místo amplitu dy X o zavádíme součinitele naladění X O /ť5 sl, kde statický průhyb ť5s1 pod silou R se vztahuje na střední tuhost co!
328
STROJNICKY CASOPIS XIV,
e. ;1
Pro periodické řešení můžeme rozumně předpokládat, že průběh kmitu je soutotiž že časový průběh kmitu mezi body. 0+2 charakteristiky (obr. 2) je .shodny s průběhem mezi body 3 + 5 (až na znaménko). Postačí tedy vyšetřit pohyb v intervalu 0+ I +2. Vzhledem k tomu, že charakteristika je v bodech (5-0), resp. (2-3) přetržitá, uplatní se jak vynucené, tak i "vlastní" kmity, které proto v tomto případě nelze od sebe oddělovat. Protože úseky 0+ 1 a 1+ 2 mají rozdílné tuhosti, musíme řešit postupně pro jednotlivé úseky. měrný,
Pohyb v úseku 0+ 1 charakteristiky
Pohybová rovnice je mx
=
+ Pl sin Qt + P z cos Ot,
-(co .. cf) x
z = -Pl' x.. + (OlX SIn
m
+ -Pmz
rl
~~t
Řešení této rovnice má pro počáteční podmínlšy
r,
x = Xo cos (Olt + - . m
Pl. +-
m
z
1
a
(01 -
z 1
az
(01 -
(. SIn
rl cos ~d.
x =
X
o , X = O,
t
= O tvar
z (cos Ot - cos (Olt) +
rl
~d -
-
O. ) SIn (01 t .
(7)
(01
Platnost vztahu (7) končí v okamžiku, kdy x = O, tj. v tl musí splňovat rovnici
bodě
I charakteristiky.
Příslušný čas
Xo cos
+ ~. m
v
P + -z.
(Olt l
m
z 1 (01 -
témže okamžiku se rychlost Vl
=
-XO(Ol
sin (Olt l
Vt
a
1 (Oi _
OZ
(cos Otl - cos
z (sin Ott -
(Olt l)
~ sin (Olt l ) = (01
+ (8)
O.
rovná
+!2. m
1
(Oi _
OZ
(-a sin Otl
+ (01 sin (Olt l) +
Pl +-. m
(9)
Pohyb V úseku 1 + 2 charakteristiky
Pro tento úsek pohybu zavedeme nový polohou.
čas
t,
počítaný
od
průchodu
rovnovážnou
329'
STROJNICKY CASOPIS XIV, Č. 4
Pohybová rovnice je
mx = -(co + Cf) X + Pl sinQ(t + tl) + P 2 cosQ(t + tl), X+
co~x = !.!. sin Q(t + tl) + !..3- cos Q(t + tl)' m m
Řešení pohybové rovnice pro počáteční podmínky (x úseku je
= O, X =
Vl'
t
= O) v tomto-
(10) Integrační konstanty
C
CaD jsou Pll.
P
m
m
= - - . -2--2
CO2 - Q
1 ( Pl D=-vl - CO2
Po dosazení za
Vl
m
sin Qt l - -2.
1 2
CO 2 _ Q
2
cos Qt l,
(11)
Q P2 Q . ) 2 2coSQtl+-' 2 2smQtl' m CO 2 - Q CO2 _ Q
z rovnice (9) dostáváme
(12)
x
Pohyb v tomto intervalu končí za čas t 2 výchylkou x = -Xo a rychlostí = O. Čas t 2 dosadíme do rovnice (10) a do její první derivace; dostaneme tak dvě rovnice.
(13)
(14)
330
STROJNICKY CASOPIS XIV, č. 4
S ohledem na periodicitu
kmitů
musí být Q(t z
V
důsledku
toho
-
přejdou rovnice
+ tl)
(15)
= n.
(13) a (14) v jednoduchý tvar
· OJzt + D OJz cos OJzt - -Pl . COJz sm z z m
Z
Q
OJz - Q
Z
= O,
do něhož dosadíme z rovnice (ll) a \12) za konstanty CaD a dostaneme 1 z z - Xo OJ z - Q
=
(16)
(17) Máme tedy k dispozici rovnice (8), (15), (16) a (17). Poslední dvě rovnice před dalším použitím upravíme: Nejprve vynásobíme rovnici (16) faktorem sin OJzt z a rovnici (17) faktorem cos OJztz, načež je sečteme; potom násobíme rovnici (16) faktorem -cos OJztz a rovnici (17) faktorem sin OJztz a takto upravené rovnice opět sečteme. Tak dostaneme nové dvě rovnice, k nimž připojíme rovnici (8). Po úpravě dostaneme soustavu rovnic:
331
STROJNICKY ČASOPIS XIV. Č. 4
--------------------------
-Pl
m
P2
+-
1 W~ _
1
m w~ _ '1 2
K
těmto
rovnicím
patří ještě
'1 2
(. sm
(cos '1t l
ra
~dl
- - '1. sm W2t2 ) W2
+ cos W 2 t 2)
-
Xo
+
cos W2t2
= O.
(l8)
vztah (15).
Z těchto rovnic máme pro danou kruhovou frekvenci '1 a danou amplitudu budící síly R najít amplitudu X o , fázový posuv fJ a čas t l ' Soustavu rovnic (18) můžeme považovat za homogenní systém pro veličiny Pdm, P2/m a x o . Protože se současně všechny tyto veličiny nemohou rovnat nule, musí mít příslušný determinant nulovou hodnotu. Po provedení a úpravě dostaneme
332
e, 4
STROJNICKY CASOPIS XIV,
Rovnici (19) ještě upravíme dm, že z ni použitím vztahu (15) odstraníme do ní zavedeme bezrozměrné činitele
o
O
čas t 2
a že
1
. q=-=íW2 wo'Rf'
(20)
1+Co
Dostaneme nakonec
-l) cos
-2q(1 - q2)(p2 _ q2) cos '7+ 2q(1 - q2)(1
1t -
q
'7 +
+ 2q(p2_ q2)(1 _ p2) cos 1:. '7 q
_ p(l - q2)(1_ p2)(1 +
-q2)sin~.sin...f'7'cos p2
q
_ (1 - p2) (p2 _ q2) (1 + q2) sin '1 cos
1:. '7 sin q
1t -
q
1t -
q
'7 _
'1 +
+ (1 - q2)(p2 _ q2) q(~ + p) cos '7. sin 1:. '7. sin n - '7 _ P q q
_ q[(1 - p2)2 + (1 _ q2)2 + (p2 _ q2)2J cos '7 . cos
.L rl. cos q
n - 11 = O. (21)
q
Rovnice (2l) je ústřední rovnicí celého řešení. Pro dané hodnoty p (čili cf/cO) a q (vlastně O/wo) musíme jejím řešením najít příslušnou hodnotu pro '1, O tomto řešení uvedeme v dalším více. Nalezením '7. je vlastně celá úloha rozřešena. Pro každou zvolenou frekvenci O budící síly má '7 určitou "charakteristickou" hodnotu. Když známe '7 = Otl' vypočítáme z první a poslední rovnice (18) veličiny P2/Pl
a xOm/Pl:
(~l sin wlt l P2
- sin Otl) cos +
1'; =
(*
(l2)
+
sin W2 t2 - sin (lll) cos Wltl(W; - (l2)
(cos Otl - cos Wlt l) cos w2tiw~ _ 0 2) + + (cos Dt l + cos W2t2) cos
(cos Dt l - cos
Wl t l)!!W2
Wltl(wi _
0 2)
+
sin W2t2 - (cos Otl + cos W2t2)!!- sin wlt l Wl
+ sin Otl (cos wlt l + cos W2(2)
xom
-p;- =
W2t2(W~ -
- (cos Dt l - cos Wlt l) cos
W2t2(W~ _ 0 2)_
- (cos Dt l + cos W2t2) cos Wltl(wi _ D2) (22)
333
STROJNICKY ČASOPIS XIV, Č. 4
Rovnice (22) upravíme tím, že do nich zavedeme bezrozměrné veličiny p, q, 11 podle (20), a kromě toho do druhé rovnice (22) zavedeme tuhost Co vztahem (viz rov. (3»
vzorců
W2=2
Co (
m
takže tuto rovnici
V
důsledku
toho
převedeme do
vytvoříme z
Cf)
1+- , Co
tvaru
rovnic (22)
dvě
. -11 p (1 - q 2) ( -q SIn -
p
q
nové rovnice .) n- ,., 11 cos -
SIn
q
+ (p2 _ q2)( q sin
~-
(1 - q2)(cos 11 - cos : 11) cos
n;
+ (p2 _ q2) (cos 11 + cos
1
- ( cos 11 - cos
flp 11)
. n-11 q SIn --q-
+ (cos 11 + cos
n - 11
q
P
1+~ (1 - q2)(cos 11 - cos : 11)cos Co
sin 11)cos
f
11
, (23)
+
n ; 11 ) cos : 11
+
!L sin .L 11 -
q
T=---
11
+
n;
sin 11 cos.L 11
q
11
+ cos
n - 11
q
+
+ (p2 _ q2) (cos 11 + cos
n;
11 ) cos : 11
(24) Rovnice (23) již takto:
určuje
fázové pošinutí tJ stacionárních
určíme
Podle rovnice (6) platí
R čili
=
Pl
'J + (P2)2 1'; , 1
kmitů; součinitele naladění
334
STROJNICKY CASOPlS XIV, Č. 4
a odtud
R
Xo = - -
Co
Je zřejmé, že Rjc., pak výraz
značí
statický
--;======
průhyb <5 s l ,
vztažený na
střední
tuhost Co, a proto
(25)
je
součinitelem naladění.
Stručný postup výpočtu tedy je: Z rovnice (21) najdeme '7, s jeho pomocí určíme z rovnic (23) a (24) hodnoty <5 (resp. P2/P l ) a T a nakonec z rovnic (25) součinitele naladění. Uvedené řešení má omezenou platnost; při pohybu z polohy do polohy 2 na charakteristice musí totiž být vždy x < 0 (viz obr. 2). Naopak, zase při pohybu mezi polohami 3 až 5 musí být > 0. Jakmile tedy klesne rychlost někde mezi těmito krajními polohami na nulu, přestává řešení platit. Tyto komplikace nastávají, jak dále poznáme, při nízkých frekvencích. Proto se musí při výpočtu postupovat od vyšších frekvenci a k frekvencím nižším.
°
x
Řešení komplikované rovnice (21) se poněkud usnadní, když určíme meze, ve kterých musí hodnota TJ ležet. Podle rovnice (15) je zřejmé, že bude platit
n
2" < '7 < n, protože mezi polohami 0-;-.1 na charakteristice má pružina menší tuhost, čili tl > ' zDále můžeme najít hodnotu TJ, když ll, resp. q ->- 00. Z rovnice (2l) limitním přechodem zjistíme, že pak je TJ ->- n/2, bez ohledu na poměr cr/co'
Numerické řešení jsme provedli pro tyto hodnoty poměru Cr/Co: 0,3; 0,5; 0,7 a 0,9. Výsledky jsou znázorněny na obr. 5,6 a 7. Na prvním obrázku je uveden průběh pomocné veličiny '7 (řešení rov. (21» v závislosti na poměrné frekvenci a/wo pro jednotlivé hodnoty cr/co' Čárkovaně je při kreslena mezná křivka, která omezuje platnost řešení. Z křivek je zřetelně vidět nesouměrnost kmitu, způsobená dvojí tuhostí pružiny, a to hlavně při nižší hodnotě budící frekvence. Na obr. 6 jsou křivky pro fázové pošinutí <5, včetně mezné čárkované křivky. Kromě toho je ještě přikreslena stupnice pro fázové po šinutí ex, vztažené k amplitudě kmitů, jak je to obvyklé u případu s viskózním tlumením. Na obr. 7 je konečně znázorněn průběh součinitele naladění. Zřetelně je zde
335
STROJNICKY ČASOPIS XIV, Č. 4
patrna oblast, kde přestává naše řešení platit. V obrázku jsou přikreslenypříslušné charakteristiky.• Dále jsou na tabulkách I až 4 uvedeny číselné výsledky řešení pro jednotlivé hodnoty CJI Co. Mezihodnoty pro jiné hodnoty CJI Co lze z těchto tabulek najít snadno interpolací. Na poslední tab. 5 jsou udány číselné hodnoty mezných křivek pro diagramy na obr. 5, 6 a 7. Způsob výpočtu bodů těchto mezných křivek viz dále. Nyní můžeme provést srovnání přibližného a přesného řešení problému. Snažíme se nahradit komplikovanou charakteristiku podle
21()O, 1800
60 «"
Cf/co-u,3 /
Cilce =0,5
CI/c. =0.7 CI/c. =0.9 120 0
Obr. 5.
ClleD = 0,5 CQc =0,1
Cllc =0,3 D
D
lcD=0,9
Cl
_ _~
_
900~0::..O
Obr. 6.
obr. 2 jednodušším případem pružiny se střední tuhostí Co a viskózním tlumením o jednotkové tlumící mohutnosti 2u, vztažené na jednotku hmoty. * Z rovnosti ener-
* Viz
[1], str. 64--65.
336
STROJNICKY CASOPIS XIV.
------------------------gie, ztracené zajeden cykl, pro
obě
č.
4
charakteristiky (rovnost ploch, obr. 8) vyplývá, že
2n = 2el'. mnO Ze vztahů pro energii ztracenou za jeden cykl (na obr. 8) je vidět zásadní rozdíl obou druhů tlumení, které srovnáváme: Pro soustavu s viskáznim tlumenim je ztracená energie závislá na frekvencE kmitáni, u druhého způsobu tlumeni je ztracená energie neproměnná a neni funkci frekvence.
o'------;;';:------;:'=_---~-=_-___;;:'=_--_;;';-
Obr. 7.
Když tuto hodnotu dosadíme do vztahu pro tlumení, dostaneme
1
Tento výraz je
přibližným
přesného řešení
a
součinitele naladění při
1
viskózním
(26)
vztahem pro výpočet součinitele naladění. Porovnání podle vztahu (26) je provedeno na obr. 9+ 12. Křivky zjištěné přibližným řešením jsou nakresleny čárkovaně. Ze srovnání vyplývá, že přibližné řešení vyhovuje jen. pro malé hodnoty CI/co < 0,3, jinak je lze přibližného řešení
:STROJNICKY CASOPIS XIV,
e. 4
337 Tabulka 1 cf/cO =
Q/w o
0,30 15°
(x0
1]0
l.jl + ;P2/P I l )2
0,440 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,80 0,90 0,95 0,975 1,00 1,10 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,50
-24°25' -22°28' -14° ľ -7°12' -1°27' 3°47' 8°58' 20°27' 45° 7' 66°52' 80°41' 95° 6' 135°27' 152°48' 165°42' 170°35' 173°11' 174°47' 176°55'
130°26' 129° 4' 122°48' 117°33' 113°14' 109°44' 106°53' 103° 99°51' 98°48' 98°24' 97°54' 96°18' 95°18' 93°55' 92°58' 92°20' 91°53' 91°12'
65°35' 67°32' 75°59' 82°48' 88°33' 93°47' 98°58' 110°27' 135° 7' 156°52' 170°41' 185° 6' 225°27' 242°48' 255°42' 260°35' 263°11' 264°47' 266°55'
1,406 1,425 1,516 1,617 1,740 1,901 2,114 2,860 4,205 5,044 5,308 5,132 3,190 1,972 1,001 0,630 0,442 0,332 0,190
Tabulka 2 Cf/CO =
!J/wo 0,584 0,60 0,65 0,75 0,80 0,85 0,897 0,95 1,00 1,10 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,50
(x0
1]0
I
0,50
I
15°
I
124°18' 122°58' 119° ľ 112°37' 110° 107°46' 106° 104°15' 103° 100°45' 99° 96°29' 94°49' 93°53' 93° 8' 91°59'
I
4° 9' 6°35' 14° 9' 30°10' 40° 2' 51°50' 64°56' 81°45' 98°34' 125°17' 141°20' 157°13' 164°18' 168°47' 171°22' 174°50'
94° 9' 96°35' 104° 9' 120°10' 130° 2' 141°50' 154°56' 171°45' 188°34' 215°17' 231°20' 247°13' 254°18' 258°47' 261°22' 264°50'
I l.jl + (:2/Pl)2j 1,995 2,027 2,147 2,501 2,722 2,951 3,129 3,178 3,048 2,318 1,666 0,939 0,611 0,435 0,328 0,189
338
STROJNICKY CASOPIS XIV,
e, "
použít nejvýš pro oblast frekvencí Q > 0)0' Přibližné řešení neříká pochopitelně nic o komplikovaném pohybu při nízkých frekvencích. Na dalších obr. 13 + 15 jsou nakresleny časové průběhy kmitů pro hodnoty cf/cO = 0,3, 0,5 a 0,7. Zřetelně je vidět nesouměrný průběh kmitů, který je tím více Tabulka 3 cf/cO = 0,70
Q/WO
I
(x0
1)0
I
I 120°23' 118°55' 116° 2' 113°28' 111°12' 109°12' 107°26' 104°31' 102°14' 98°58' 96°52' 95°25' 94°22' 92°47'
0,727 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,50
0° 1";1
+ <:z/P1)zl -
46° 9' 50°14' 59°23' 69°14' 79°40' 90°15' 100°37' 118°53' 132°46' 149°50' 159° 5' 164°31' 168° I' 172°49'
136° 9' 140°14' 149°23' 159°14' 169°40' 180°15' 190°37' 208°53' 222°46' 239°50' 249° 5' 254°31' 258° I' 262°49'
2,310 2,320 2,338 2,336 2,295 2,205 2,067 1,709 1,357 0,862 0,587 0,425 0,324 0,189
I
-
..
Tabulka 4 cf/cO = 0,90
Q/W O
1)0
(x0
0°
I I
0,837 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,50
118°56' 118°16' 115°48' 113°34' II °33' 108° 9' 105°26' 101°42' 98°46' 96°56' 95°36' 93°35'
I
I
79°40' 81°24' 88°24' 95°32' 102°36' 115°54' 127°21' 144°39' 154° 2' 160°29' 164°46' 170°49'
169°40' 171°24' 178°24' 185°32' 192°36' 205°54' 217°21' 234°39' 244° 2' 250°29' 254°46' 260°49'
.
I-JI + ;PzIP1)zj
I ;
1,795 1,780 1,712 1,632 1,542 1,337 1,129 0,788 0,557 0,413 0,318 0,187
r !
i I I
I I II I
I
I
STROJNÍCKY CASOPlS XIV,
e. 4
339'
Obr. 8.
I' I I
5,0
I
,
I
,
,,, ,,,
I
,
I I
, I
, , I I
I
I
I
,
I ,
I I I
I
, I
I I
I I
I I
I
I
I I I
I
I
3,0
,
I
I
:
I
I
I
,
\
I I \ I
I
I
2,
I I I
I
\
I
\
I ,,/
\
\
,'"'"
0.5
Obr. 9..
\
\
1,0
\
1.5
2,0
340
STROJNICKY CASOPIS XIV, Č. 4
Tabulka 5 Souřadnice bodů
I
ll/wa
1)0
(x0
na mezných
I <50
1./1 +
I 0,381 0,440 0,498 0,584 0,660 0,727 0,784 0,837
129°50' 130°26' 128°27' 124°18' 122° ľ 120°23' 119°32' II 8°56'
křivkách
-31°39' -24°25' -13°46' 4° 9' 24° 7' 46° 9' 65°10' 79°40'
I
58°21' 65°35' 76°14' 94° 9' 114° 7' 136° 9' 155°10' 169°40'
;P2/Pl)21 I
1,117 1,406 1,655 1,995 2,281 2,310 2,100 1,795
cf/cO
0,15 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
3,0
2,0
1,0
o
0,5
1,5
1,0
2,0
Obr. 10.
čím více klesá frekvence budící síly. Obzvláště obr. 14 názorně předvádí odchylky kmitů od sinusového průběhu. Tím je vysvětleno, proč lze použít přibližného řešení jen při vyšších "budících" frekvencích.
patrný,
značné
STROJNÍCKY ŮASOPIS XIV, č. 4
341
2
o
1,5
0,5
2
Obr. ll. 2
o
0.5
2
1,5
Obr. 12.
II
......
II
~.a~ z;).
\
I
<,
/
/
\ /
/
I\.
l/
L>
%-aJ I
....1--1-
/1-
r-,
~2a.5:
1/
+~
~
/
/ \
,....
L
»
/
......'--10-'
Obr.B.
V
-
342
STROJNICKY CASOPIS XIV,
~a'"'
r\
I
7 /
1\ \
V
V
I\.
-r I
J
1/
-f-f--
/
4
-----T-'V I __ 1"-
-,
1/
e,
I
I
~
I
<,
,
<,
-~ -Q75
/
/
\
~-a5
1/
/ \
J ./
~-
-- --
17
I
---1
I 1/
1/
1"1 -Q95 [1:
1\
J
II I
1\
II
1\
II
\
1/
1/
\
-,
~
I I
~
I
I
Obr. 14. I
Ll
I
-
"\=ai!
1/ I
\
\
I I
I
I
\ I
I
J
\
\
/
/
\ fo-
-
Obr. 15. MEZE PLATNOSTI ŘEŠENí
Celé naše řešení platí, pokud je splněn předpoklad, že při pohybu v intervalech 0-7 1 a 1..;- 2 nezmění rychlost smysl, čili jestliže je < O. Při každém výpočtu součinitelů naladění a fázového pošinutí musíme kontrolovat, je-li uvedený před-
x
343
STROJNICKY ČASOPIS XIV. Č. 4
poklad splněn. K tomu potřebujeme výrazy pro rychlost v jednotlivých intervalech. Derivováním vztahů pro výchylku (rov. (7) a (10)) a zavedením bezrozměrnýchveličin XWI
R/m dostaneme: interval 0+ I
- = cos D{[ - ( 1 - -Cf) • + -P 2 XWI R/m
Co
Pl
1
q2 1-p2
] sm . -p ( Dt) q
[( ~:) sin O, - cos OIJ} < O pro
°<
(27)
Dt < 11,
interval I + 2
;~~
~~o:~ [sin 11 + (;:)cos 11Jsin ~ (Dt) +
=
{[(!2) l-
+ cos D
+
q2
- (1
+ ~).J p2 sin E. 11
-
q
Co
q/ p cos l!.-11 1_ q p2
L
+
(1 ~q' 1~/~:_ )[(~:)sinq - cos qJ} cos ~ (O,) + +
pro 11 < Dt
1
Pl
q: ~O;2D
+ 11 <
[cos (Dt
+ 11) -
+ 11)J <
(;:) sin (Dt
°
n.
průběh veličiny
XW
Rlm
I
m
pro
J
= cos D -P [-( 1 - - Cf) • + -P 2
d - ( --XW I ) --
d(Dt)
R/
~=
0,7 a D/wo = 0,75; Co z grafu je zřetelný nesouměrný průběh kmitu. Názorný je obr. 17, kde je nakreslena celá série křivek pro Cf/CO = 0,5 a různé frekvence budící síly. Z průběhů je vidět, jak klesá směrnice tečny ke křivce v počátečním bodě, a lze proto předpokládat, že meze platnosti řešení se dosáhne, když tato směrnice klesne na nulu. Tato směrnice se vyjádří vztahem Na obr. 16 je nakreslen
(.Qr=O)
•
q
Co
Pl'
(28)
344
STROJNICKY CASOPIS XIV, Č. 4
"
I I
.{
I~J
Obr. 16.
Obr. 17.
a3
-a3
Obr. 18.
STROJNICKY
ŮASOPIS
XIV,
č,
345
4
Zdá se proto, žl! nejnižší frekvence, pro kterou bude naše řešení platit, musí splnit podmínku:
-(1 - -SL)-r +!2 = O. Pl
(29)
Co
Při
numerickém řešení však zjistíme, že tato podmínka má jen omezenou platnost, platí totiž jen pro vyšší hodnoty poměru Cf/CO' Na obr. 18 jsou nakresleny průběhy derivace podle vzorce (28) pro různé hodnoty cf/cO' a to vždy kolem nulových hodnot. Vidíme, že pro hodnoty cf/cO' ležící asi pod 0,45, nemůžeme podmínku (29) vůbec uplatnit a že musíme sledovat průběh veličiny ("bezrozměrné" rychlosti)
-I
(~%;;J -0,5
o
150' Obr. 19.
(~~
90' Obr. 20.
nt
180'
346
STROJNICKY CASOPlS XIV,
(~7~ )
podle rovnice (27). Jakmile tedy neklesne hodnota
Č.
4
d(~t) ( ~7~ }Qt=O)
na nulu, musíme sledovat celý průběh rychlosti v intervalu 0+ 1. To je provedeno na obr. 19 a 20 pro Cf/CO = 0,3, resp. 0,15. Na obr. 19 jsou zakresleny průběhy rychlosti také pro hodnoty Q/wo, ležící pod kritickou mezí (Q/w o = 0,30; 0,35 a 0,40); je vidět poněkud oscilativní průběh rychlosti pro hodnoty Q/w o blízké mezné hodnotě (viz Q/w o = 0,45). Ještě více vyniká tato skutečnost na obr. 20, kde hodnota Q/w o = = 0,38 leží těsně pod hledanou mezí. Pomocí rov. (27) + (29) se vypočtou hodnoty pro mezné křivky uvedené na tab. 5. CHOVÁNí SOUSTAVY PRO FREKVENCE BUDíCÍ SÍLY, KTERÉ LEŽÍ POD KRITICKOU MEZÍ
Z předchozího je patrné, že pro frekvence nižší, než je hodnota kritická, která závisí jedině na poměru Cf/CO' dojde během poloviny kmitu ke změně smyslu rychlosti. Podle průběhů rychlosti na obr. 19, resp. 20, je nejvýš pravděpodobné, že rychlost klesne na nulu blízko za bodem O na charakteristice (obr. 21) a v dalším intervalu má kladné znaménko. To se projeví na charakteristice skokem z bodu Ol do bodu 02. Po určitém čase se pohyb opět zastaví (bod 03) a nastane pohyb v počátečním smyslu (přeskok do bodu 04). Další pohyb je zřejmý. Na charakteristice je dobře patrna "smyčka", která se vytvoří změnou smyslu rychlosti. Tímto zjevem se ovšem analytické S řešení nesmírně zkomplikuje. Při předchozím řešení se určovala jen jedna charakteristická hodnota tl (resp. 1]) z rovnice (21). V tomto případě by bylo zapotřebí tří těchto hodnot, které odpovídají časům tOl' t 2 3 a (41' Do-L... stali bychom tedy při analytickém řešení tři .~ simultánní transcendentní rovnice podobné ~ rovnici (21). Řešení takovéto soustavy rovnic vyžaduje pro svoji složitost výkonný počítací '2 stroj. Z tohoto důvodu jsme řešení v této (b:2f. oblasti nemohli provést. Obr. 21. Je ovšem pravděpodobné, že situací podle obr. 21 nevystihneme chování v celé oblasti pod kritickou mezí "budící" frekvence. Došli bychom asi k další kritické frekvenci, kde končí kmity s jedinou "smyčkou" podle obr. 21 a pak vznikne periodický pohyb s dvěma, resp. více "smyčkami". Je tedy vidět, že pohyb se komplikuje stále více s klesající frekvencí budící síly. Je to patrně způsobeno tím, že "vlastní kmity", které tvoří část "periodického řešení", způsobí několikerou změnu smyslu rychlosti během poloviny kmitu budící síly, která má v této oblasti nízkou frekvenci.
t
./
STROJNÍCKY
ŮASOPIS
XIV,
č.
347
4
LITERATURA [1] Timošenko, Kmitání ve strojnictví. SNTL, 1960. - [2] Trans. ASME, sv. 53, AMP-107, 1931. - [3] Phi\. Mag., sv. 9, 1930. - [4] Barkan Ph., Calculation ol High-Speed Valve Motion with a Flexible Overhead Linkage. Transact. SAE, sv. 61, 687, 1953. - [5] Kmity kolejových vozidel. Výzkumná zpráva M-028/59, Výzkumný ústav kolejových vozidel, 1959.
Rukopis dodaný 26.2. 1963
Lektor: inž, Igor Bal/o, C. Se.
YIlPyrAR CMCTEMA C IlPOIlOPQMOHAJIbHblM OTKJIOHEHMEM COIlPOTMBJIEHMEM
CTaTMI CO,l:\eplKHT aHaJIHTH'leCKOepeureaae CTaQHOHapHblX KOJIe6aHHil. yrrpyrož CHCTeMbI.n;eMIl
LJ:JIJI
B036Y'K,lJ;aI<>J.IJ;elí. CRllbI
CHHYCOH,l:\aJIbHOrO xona nposeneao Bbl'lHCJIeHHe K03
peaynsrarsr npaseneasr TOlKe B Ta6JIHQax TaK, '1TO npoxae saaseaaa 1l0JIY'laeMbI aarepnonannea. B paěore eJ.IJ;e rrposeneao cpaaneaae TO'lHOrO peureaaa H rrpH6JIHlKeHHOro Bbf'IHCJIeHWI npa rrOMOJ.IJ;ll 3KBHBaJIeHTHOro B1l3Koro ,l:\eMIl
ELASTlC PROPORTlONAL-TO-DEFLECTWN RESISTANCE SYSTEM Doc. Ing. Rudolf Brepta The article deals with the analytical solution of stationary vibrations of an elastic system damped up by resistance proportional to the deflection. For the exciting force of the sinusoidal course the calculation of tuning factors and those of the phase shifting has been performed. The results are given in tables, too, so that it is possible to get further values by interpolation. In the work some comparison of the exact solution with that of approximate calculation by means of'equivalent viscous damping is also presented and the limits for approximate solution are determined.
