PROYEKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE MUNICH CHAIN-LADDER IKHWAN ABIYYU

PROYEKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE MUNICH CHAIN-LADDER

IKHWAN ABIYYU

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Proyeksi Cadangan Klaim dengan Metode Munich Chain-Ladder adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2015 Ikhwan Abiyyu NIM G54110015

ABSTRAK IKHWAN ABIYYU. Proyeksi Cadangan Klaim dengan Metode Munich ChainLadder. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RUHIYAT. Perusahaan asuransi wajib mempersiapkan cadangan klaim secara tepat untuk menutupi pengeluaran dari klaim yang akan terjadi di masa yang akan datang. Salah satu metode estimasi cadangan klaim yang sering digunakan adalah metode chain-ladder. Karena kesederhanaan dari metode tersebut, banyak perusahaan asuransi menggunakannya dalam estimasi cadangan klaim di masa yang akan datang. Namun, metode chain-ladder tidak bisa mengurangi gap antara proyeksi IBNR (Incurred but Not Reported) dari kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang sebenarnya terjadi. Metode Munich chain-ladder adalah pengembangan metode dari metode chain-ladder yang dikembangkan oleh Gerhard Quarg dan Thomas Mack. Metode Munich chain-ladder dalam aplikasinya dapat mengurangi gap yang terjadi. Karya ilmiah ini menjelaskan cara estimasi cadangan klaim menggunakan metode Munich chain-ladder dan membandingkan hasilnya dengan menggunakan metode chain-ladder, serta memberikan contoh data di mana metode Munich chain-ladder tidak menghasilkan proyeksi yang baik. Kata kunci: cadangan klaim, chain-ladder, IBNR, outstanding claim.

ABSTRACT IKHWAN ABIYYU. Projection of Claim Reserves Using the Munich ChainLadder Method. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RUHIYAT. Insurance companies are required to manage the appropriate claim reserves to cover the expenses of the claims that will occur in the future. One of the claim reserves estimation method that frequently used is the chain-ladder method. Because of the simplicity of this method, many insurance companies use the method to estimate the claim reserves in the future. However, the chain-ladder method is not able to reduce the gap between the projection of IBNR (Incurred but Not Reported) paid losses and incurred losses. The Munich chain-ladder is the development of the chain-ladder method introduced by Gerhard Quarg and Thomas Mack. The Munich chain-ladder method can be applied to reduce the gap between the projection of IBNR paid losses and incurred losses. This paper describes how to estimate the claim reserves using the Munich chain-ladder method and to compare the results with using the chain-ladder method. In addition, we provide examples of data, where the Munich chain-ladder method does not produce a good projection. Keywords: claim reserve, chain-ladder, IBNR, outstanding claim.

PROYEKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE MUNICH CHAIN-LADDER

IKHWAN ABIYYU

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Ibundaku tersayang Ibu Mardiana. Terima kasih atas doa, cinta, semangat, pengorbanan, dan segalanya kepada penulis. Terima kasih telah menjadi mama terhebat untuk anak-anaknya. 2. Adik-adikku Sayyid Abyan dan Siti Najwa Assyyfa atas semangatnya kepada penulis. 3. Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA sebagai dosen pembimbing I dan Bapak Ruhiyat, MSi sebagai dosen pembimbing II. Terima kasih atas segala waktu, ilmu, nasihat, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. 4. Bapak Dr Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath sebagai dosen penguji atas kritik dan saran untuk perbaikan skripsi ini. 5. Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua ilmu, nasihat, dan bantuannya. 6. Teman-teman satu bimbingan yaitu Lilyani dan Sinta atas semua saran, semangat, dan bantuannya. 7. Sahabat satu kontrakan yaitu Median, Firi, dan Fakhri serta sahabat dekat selama perkuliahan yaitu Adam, Irma, Henny, Restu, Hendar, Hasan, dan Resty. Terima kasih atas kebersamaannya, perhatian, semangat, dan bantuannya kepada penulis selama 4 tahun perkuliahan. 8. Teman-teman Matematika 48, kakak-kakak Matematika 47, dan adikadik Matematika 49 atas kebersamaan dan suka-duka selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika. 9. Sahabat dari SMA hingga saat ini Fadhlulrahman Azis, serta Sahabat dari TPB yaitu Diko, Adoy, Feber, dan Dody. Terima kasih atas kebersamaannya dan semangatnya kepada penulis. 10. Kak Julianto, SSi yang telah membagi ilmu dan wawasannya tentang teknik cadangan klaim dalam asuransi, khususnya asuransi kerugian. 11. Pihak-pihak lain yang telah membantu penulisan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Mei 2015 Ikhwan Abiyyu

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL

viii

DAFTAR GAMBAR

viii

DAFTAR LAMPIRAN

viii

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

2

TINJAUAN PUSTAKA

2

Teori Peluang

2

Total Klaim

3

Outstanding Claims Liability

3

Teknik Chain-Ladder

5

HASIL DAN PEMBAHASAN

6

Metode Chain-Ladder

6

Metode Munich Chain-Ladder

7

Implementasi Praktis

11

Contoh Penerapan Metode Cadangan Klaim Munich Chain-Ladder

14

SIMPULAN DAN SARAN

26

Simpulan

26

Saran

27

DAFTAR PUSTAKA

27

LAMPIRAN

28

RIWAYAT HIDUP

36

DAFTAR TABEL 1 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk inkremental 2 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk kumulatif 3 Run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack 4 Run-off triangle untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack 5 Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter 𝜎 dari data Quarg dan Mack 6 Rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter 𝜌 dari data Quarg dan Mack ̂ (𝑃𝑖,𝑡 ) dari data Quarg dan Mack 7 Hasil perhitunan Res ̂ (𝐼𝑖,𝑡 ) dari data Quarg dan Mack 8 Hasil perhitunan Res −1 ̂ (𝑄𝑖,𝑠 9 Hasil perhitunan Res ) dari data Quarg dan Mack ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) dari data Quarg dan Mack 10 Hasil perhitunan Res 11 Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder 12 Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder 13 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chainladder 14 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder 15 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dari data Lloyd's dengan metode Munich chain-ladder

4 4 15 15 17 19 20 20 21 21 23 23

24 25 26

DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4

Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Lloyd’s Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Lloyd’s

22 22 25 26

DAFTAR LAMPIRAN 1 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder 2 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder 3 Pengolahan data Lloyd's dengan metode Munich chain-ladder

28 30 32

PENDAHULUAN Latar Belakang Setiap orang tidak mengetahui bagaimana kehidupan ke depannya akan berjalan seperti apa. Ketidakpastian bisa saja terjadi seperti bahaya, kerusakan, dan kerugian yang pasti akan dialami kapanpun dan oleh siapapun. Risiko ketidakpastian tersebut dapat merusak kestabilan ekonomi yang sangat besar. Salah satu solusi untuk mengantisipasi risiko tersebut adalah melalui asuransi. Asuransi adalah sebuah janji dari pihak penanggung dalam hal ini perusahaan asuransi kepada pihak tertanggung yakni nasabah, bahwa bila terjadi risiko maka perusahaan asuransi tersebut akan memberikan santunan (benefit) dengan jumlah tertentu kepada nasabahnya. Industri asuransi dewasa ini semakin berkembang dari tahun ke tahun. Ini bisa digambarkan dengan semakin banyaknya orang yang tertarik untuk membeli produk berupa jasa yang ditawarkan oleh suatu perusahaan asuransi. Dengan membayarkan sejumlah uang yang disebut premi, risiko kerugian yang mungkin dapat timbul dari nasabah pada waktu mendatang telah ditanggung oleh perusahaan asuransi tersebut sesuai dengan polis yang berlaku. Perusahaan asuransi wajib mempersiapkan dana siap pakai secara tepat untuk menutupi pengeluaran oleh klaim yang terjadi pada periode ke depan. Dana inilah yang disebut sebagai cadangan klaim. Pembayaran klaim mungkin dilakukan tidak lama setelah klaim dilaporkan, namun pada beberapa jenis asuransi, terkadang pembayaran klaimnya membutuhkan waktu yang cukup lama diukur dari saat terjadinya klaim. Hubungan antara waktu kejadian dan penundaan terkait klaim ini dikenal dengan istilah outstanding claims. Ada dua jenis outstanding claims, yaitu Incurred but Not Reported (IBNR) yaitu peristiwa yang telah terjadi tetapi belum dilaporkan ke perusahaan asuransi dan Reported but Not Settled (RBNS) yaitu peristiwa yang telah dilaporkan namun pembayarannya belum terselesaikan (Hossack 1999). Taksiran outstanding claims memegang peranan yang penting, mengingat perusahaan asuransi dituntut untuk selalu dapat menyediakan cadangan yang cukup, guna menutup pembayaran klaim di masa yang akan datang. Jika perkiraan outstanding claims buruk, maka bisa saja perusahaan dapat mengalami kebangkrutan. Ada beberapa metode statistik untuk menaksir outstanding claims baik secara deterministik maupun stokastik. Metode chain-ladder merupakan metode deterministik yang paling populer untuk menaksir outstanding claims, karena kesederhanaannya dan bersifat bebas distribusi (Mack 1993). Sebuah masalah besar dalam cadangan klaim adalah perbedaan perkiraan IBNR yang dibayarkan dan yang terjadi, yaitu total akhir dari kerugian yang dibayarkan menyimpang lebih atau kurang dari perkiraan yang sesuai dengan kerugian yang terjadi. Metode chain-ladder tidak cukup membantu dalam menyelesaikan masalah ini. Metode Munich chain-ladder, pengembangan dari metode chain-ladder yang akan mempersempit gap antara proyeksi IBNR dari kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi.

2 Tujuan Penelitian

1.

2. 3.

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: Menjelaskan cara proyeksi cadangan klaim dengan metode Munich chainladder. Memberikan contoh penerapan proyeksi cadangan klaim dengan metode Munich chain-ladder. Membandingkan hasil proyeksi cadangan klaim dengan metode chainladder dan metode Munich chain-ladder.

TINJAUAN PUSTAKA Teori Peluang Nilai Harapan 1. Jika 𝑋 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋 (𝑥) maka nilai harapan dari 𝑋, dinotasikan dengan 𝐸(𝑋), adalah: 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑝𝑋 (𝑥), ∀𝑥

asalkan jumlah tersebut kovergen mutlak. 2. Jika 𝑋 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓𝑋 (𝑥) maka nilai harapan dari 𝑋 adalah: ∞

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥, −∞

asalkan integral tersebut konvergen mutlak (Hogg et al. 2014). Nilai Harapan Bersyarat Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak kontinu dan 𝑓𝑋|𝑌 (𝑥|𝑦) adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari 𝑋 dengan syarat 𝑌 = 𝑦. Nilai harapan dari 𝑋 dengan syarat 𝑌 = 𝑦 adalah: ∞

𝐸(𝑋|𝑌 = 𝑦) = ∫ 𝑥𝑓𝑋|𝑌 (𝑥|𝑦) 𝑑𝑥 −∞

(Hogg et al. 2014). Ragam Ragam dari peubah acak 𝑋 dapat ditunjukkan oleh: var(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2 ] = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝜇 2 ; 𝜇 = 𝐸(𝑋) Notasi lain untuk ragam adalah 𝜎 2 , sehingga didapat

3 𝜎 2 = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝜇 2 (Hogg et al. 2014). Martingale Kejadian 𝑋 disebut martingale (relatif terhadap ({ℱ𝑛 }, Ρ)) jika: 1. 𝑋 bersesuaian, 2. 𝛦(|𝑋𝑛 |) < ∞, ∀𝑛, 3. 𝛦[𝑋𝑛 |ℱ𝑛−1 ] = 𝑋𝑛−1, ketika 𝑛 ≥ 1 (Williams 1991). Total Klaim Total klaim (claim amounts) atau bisa juga disebut sekumpulan kerugian (aggregate loss) adalah jumlahan dari total semua klaim yang terjadi dalam periode tertentu dari kontrak asuransi yang telah ditetapkan. Ini merupakan suatu metode yang digunakan untuk merekam pembayaran yang dibuat dan kemudian menambahkannya dengan pembayaran berikutnya. Dalam kasus ini, total klaim direpresentasikan sebagai jumlahan, banyaknya klaim (number of claims) 𝑁, dari total pembayaran individu (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑁 ), sehingga 𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑁 , untuk 𝑁 = 0,1,2, … dengan 𝑌 = 0 jika 𝑁 = 0 (Yunawan 2013). Outstanding Claims Liability Umumnya penaksiran klaim-klaim yang belum terselesaikan (outstanding claims liability) untuk asuransi kelas bisnis jangka panjang (long-tail) didasarkan pada run-off triangle data. Run-off triangle data memuat gambaran klaim keseluruhan (aggregate), dan merupakan ringkasan dari suatu data set klaimklaim individu (Antonio et al. 2006). Data yang ada dalam run-off triangle data biasanya merupakan besarnya klaim (claims amount) dan juga banyaknya klaim (number of claims), di mana keduanya tersaji dalam bentuk inkremental atau kumulatif. Misalkan 𝐷𝑖,𝑗 menyatakan peubah acak besarnya klaim (dalam bentuk inkremental) untuk klaim-klaim yang terjadi pada periode kejadian (accident period) 𝑖 dan dibayarkan pada periode penundaan (development period) 𝑗, dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 (Olofsson 2006). Tabel 1 mengilustrasikan run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk inkremental, di mana baris menunjukkan tahun kejadian (accident year), kolom menunjukkan tahun penundaan (development year), sedangkan diagonal (kiri bawah sampai kanan atas) merepresentasikan pembayaran klaim dalam setiap periode pembayaram (payment period). Run-off triangle data adalah sel-sel 𝐷𝑖,𝑗 (untuk 𝑖 + 𝑗 ≤ 𝑛 + 1) yang berwarna putih dan berada dalam segitiga atas, sedangkan future triangle data adalah sel-sel 𝐷𝑖,𝑗 (untuk 𝑖 + 𝑗 > 𝑛 + 1) yang berwarna abu-abu dan berada dalam segitiga bawah.

4 Tabel 1 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk inkremental Tahun Tahun penundaan … … 1 2 𝑗 𝑛−1 𝑛 kejadian 1 2

𝐷1,1 𝐷2,1

𝐷1,2 𝐷2,2

… …

𝐷1,𝑗 𝐷2,𝑗

… …

𝐷1,𝑛−1 𝐷2,𝑛−1

𝐷1,𝑛 𝐷2,𝑛

𝑖

𝐷𝑖,1

𝐷𝑖,2

…

𝐷𝑖,𝑗

…

𝐷𝑖,𝑛−1

𝐷𝑖,𝑛

𝑛−1 𝑛

𝐷𝑛−1,1 𝐷𝑛,1

𝐷𝑛−1,2 𝐷𝑛,2

… …

𝐷𝑛−1,𝑗 𝐷𝑛,𝑗

… …

𝐷𝑛−1,𝑛−1 𝐷𝑛,𝑛−1

𝐷𝑛−1,𝑛 𝐷𝑛,𝑛

Run-off triangle data dalam bentuk kumulatif, 𝐶𝑖,𝑗 dapat dibentuk berdasarkan inkremental, 𝐷𝑖,𝑗 , melalui hubungan berikut: 𝑗

𝐶𝑖,𝑗 = ∑ 𝐷𝑖,𝑘 𝑘=1

untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, dan 𝑖 + 𝑗 ≤ 𝑛 + 1. 𝐶𝑖,𝑗 dapat dinyatakan sebagai besarnya klaim kumulatif untuk klaim-klaim yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-𝑖 dan dibayarkan sampai dengan tahun penundaan ke-𝑗. Run-off triangle data dalam bentuk kumulatif disajikan dalam Tabel 2. Besarnya klaim kumulatif sampai dengan tahun penundaan ke-𝑛, yaitu 𝑛

𝐶𝑖,𝑛 = ∑ 𝐷𝑖,𝑘 𝑘=1

untuk 𝑖 = 2,3, … , 𝑛, disebut ultimate claims (Mack 1993). Tabel 2 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk kumulatif Tahun Tahun penundaan … … 1 2 𝑗 𝑛−1 𝑛 kejadian 1 2

𝐶1,1 𝐶2,1

𝐶1,2 𝐶2,2

… …

𝐶1,𝑗 𝐶2,𝑗

… …

𝐶1,𝑛−1 𝐶2,𝑛−1

𝐶1,𝑛 𝐶2,𝑛

𝑖

𝐶𝑖,1

𝐶𝑖,2

…

𝐶𝑖,𝑗

…

𝐶𝑖,𝑛−1

𝐶𝑖,𝑛

𝑛−1 𝑛

𝐶𝑛−1,1 𝐶𝑛,1

𝐶𝑛−1,2 𝐶𝑛,2

… …

𝐶𝑛−1,𝑗 𝐶𝑛,𝑗

… …

𝐶𝑛−1,𝑛−1 𝐶𝑛,𝑛−1

𝐶𝑛−1,𝑛 𝐶𝑛,𝑛

5 Outstanding claims liability untuk tahun kecelakaan ke-𝑖 (𝑅𝑖 ) didefinisikan sebagai 𝑛

𝑅𝑖 =

∑

𝐷𝑖,𝑘

𝑘=𝑛+2−𝑖

atau 𝑅𝑖 = 𝐶𝑖,𝑛 − 𝐶𝑖,𝑛+1−𝑖 , untuk 𝑖 = 2,3, … , 𝑛. Outstanding claims liability untuk tahun kecelakaan ke- 𝑖 merupakan penjumlahan sel-sel 𝐷𝑖,𝑗 di baris 𝑖 yang ada pada future triangle, sedangkan total outstanding claims liability (𝑅) didefinisikan sebagai penjumlahan outstanding claims liability untuk semua tahun kecelakaan 𝑖 (𝑖 = 2,3, … , 𝑛), yaitu 𝑛

𝑛

𝑅=∑

∑

𝐷𝑖,𝑘

𝑖=2 𝑘=𝑛+2−𝑖

dengan kata lain, total outstanding claims liability (𝑅), merupakaan jumlah semua 𝐷𝑖,𝑗 dalam future triangle (Mack 1993). Teknik Chain-Ladder Misalkan 𝐶𝑖,𝑗 menunjukkan total klaim yang diakumulasikan dari waktu kejadian 𝑖, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, yang dilaporkan sampai dengan waktu penundaan j, untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Jika 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 − 𝑖 + 1 maka besarnya 𝐶𝑖,𝑗 diketahui. Tujuan yang ingin dicapai adalah untuk memberikan estimasi total klaim 𝐶𝑖,𝑛 untuk waktu kejadian 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan total besarnya klaim 𝐶𝑖,𝑗 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑗 = 𝑛 − 𝑖 + 2, … , 𝑛. Asumsi dasar untuk teknik chain-ladder adalah terdapat nilai faktor penundaan (development factor) 𝜆2 , 𝜆3 , … , 𝜆𝑛 dengan 𝐸(𝐶𝑖,𝑗+1|𝐶𝑖,1 , 𝐶𝑖,2 , … , 𝐶𝑖,𝑗 ) = 𝐶𝑖,𝑗 𝜆𝑗 , untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 − 𝑖 + 1 . Teknik chain-ladder terdiri atas estimasi 𝜆𝑗 dengan 𝜆̂𝑗 =

∑𝑛−𝑗+1 𝐶𝑖,𝑗 𝑖=1

∑𝑛−𝑗+1 𝐶𝑖,𝑗−1 𝑖=1 dan estimasi total besarnya klaim oleh 𝐶𝑛−𝑗+1,𝑛 = 𝐶𝑛−𝑗+1,𝑗 𝜆𝑗+1 𝜆𝑗+2 … 𝜆𝑛 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 atau dengan bentuk lain untuk 𝑖 = 2,3, … , 𝑛 berikut: 𝐶̂𝑖,𝑛 = 𝐶𝑖,𝑛−𝑖+1 𝜆𝑛−𝑖+2 … 𝜆𝑛 (Mack 1993).

6

HASIL DAN PEMBAHASAN Metode Chain-Ladder Pertama-tama akan diperkenalkan beberapa merumuskan asumsi dari metode chain-ladder (CL).

notasi

dan

kemudian

Notasi Misalkan 𝑛 ∈ ℕ adalah tahun terjadinya kecelakaan dan 𝑚 ∈ ℕ adalah tahun penundaan (biasanya 𝑚 = 𝑛 ). Untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 , misalkan 𝑃𝑖 adalah kerugian yang dibayarkan (paid) oleh perusahaan asuransi pada tahun kecelakaan ke- 𝑖 dan 𝐼𝑖 adalah kerugian yang terjadi (incurred) pada waktu ke- 𝑖 . Dengan demikian, 𝑃𝑖,𝑡 menyatakan kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke-𝑖 yang mengalami penundaan selama 𝑡 tahun, dan 𝐼𝑖,𝑡 mengartikan kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-𝑖 yang mengalami penundaan selama 𝑡 tahun. Selain itu, 𝒫𝑖 (𝑠) ≔ {𝑃𝑖,1 , … , 𝑃𝑖,𝑠 } menjelaskan kondisi bahwa waktu tunda dari kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke-𝑖 diberikan sampai akhir tahun penundaan ke-𝑠 dan ℐ𝑖 (𝑠) ≔ {𝐼𝑖,1 , … , 𝐼𝑖,𝑠 } menjelaskan kondisi bahwa waktu tunda dari kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-𝑖 diberikan sampai akhir tahun penundaan ke-𝑠. Asumsi Model Beberapa asumsi dalam proses metode CL untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi. 1.

Asumsi model untuk kerugian yang dibayarkan (P) PE (Asumsi Nilai Harapan) 𝑃 Untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑡 = 𝑠 + 1, terdapat faktor penundaan 𝑓𝑠→𝑡 >0 sehingga untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, 𝐸(

𝑃𝑖,𝑡 𝑃 |𝒫 (𝑠)) = 𝑓𝑠→𝑡 . 𝑃𝑖,𝑠 𝑖

PV (Asumsi Ragam) 𝑃 Untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑡 = 𝑠 + 1, terdapat proporsi konstan 𝜎𝑠→𝑡 ≥0 sehingga untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, var (

𝑃 )2 (𝜎𝑠→𝑡 𝑃𝑖,𝑡 |𝒫𝑖 (𝑠)) = . 𝑃𝑖,𝑠 𝑃𝑖,𝑠

PU (Asumsi Kebebasan) Berbagai tahun kerugian yang independen, {𝑃1,𝑡 |𝑡 ∈ 𝑇}, {𝑃2,𝑡 |𝑡 ∈ 𝑇}, … , {𝑃𝑛,𝑡 |𝑡 ∈ 𝑇} bebas stokastik.

yaitu

7 2.

Asumsi model untuk kerugian yang terjadi (I) IE (Asumsi Nilai Harapan) 𝐼 Untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑡 = 𝑠 + 1, terdapat faktor penundaan 𝑓𝑠→𝑡 >0 sehingga untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, 𝐸(

𝐼𝑖,𝑡 𝐼 |ℐ (𝑠)) = 𝑓𝑠→𝑡 . 𝐼𝑖,𝑠 𝑖

IV (Asumsi Ragam) 𝐼 Untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑡 = 𝑠 + 1, terdapat proporsi konstan 𝜎𝑠→𝑡 ≥0 sehingga untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, var (

𝐼 )2 (𝜎𝑠→𝑡 𝐼𝑖,𝑡 |ℐ𝑖 (𝑠)) = . 𝐼𝑖,𝑠 𝐼𝑖,𝑠

IU (Asumsi Kebebasan) Berbagai tahun kerugian yang independen, {𝐼1,𝑡 |𝑡 ∈ 𝑇}, {𝐼2,𝑡 |𝑡 ∈ 𝑇}, … , {𝐼𝑛,𝑡 |𝑡 ∈ 𝑇} bebas stokastik.

yaitu

Dengan demikian, asumsi metode CL menjelaskan bahwa tahun kecelakaan yang stokastik independen, tetapi memiliki faktor penundaan yang sama dan parameter σ setiap tahun penundaan. Asumsi di atas dirancang untuk proyeksi segitiga bawah dan untuk menjelaskan tentang hubungan antara proses kerugian yang dibayarkan dan terjadi. Ekspektasi bersyarat menggambarkan kemungkinan terbaik peramalan 𝑃𝑖,𝑡 jika hanya diketahui proses kerugian yang dibayar dari tahun kecelakaan, sampai dengan saat ini. Hal ini berlaku analog dengan proses kerugian yang terjadi 𝑃

𝐼

𝐸 (𝑃𝑖,𝑡 |ℬ𝑖 (𝑠)) dan 𝐸 (𝐼𝑖,𝑡 |ℬ𝑖 (𝑠)) 𝑖,𝑠

𝑖,𝑠

dengan ℬ𝑖 (𝑠) = {𝑃𝑖,1 , 𝑃𝑖,2 , … , 𝑃𝑖,𝑠 , 𝐼𝑖,1 , 𝐼𝑖,2 , … , 𝐼𝑖,𝑠 } adalah himpunan waktu penundaan yang diketahui hingga akhir tahun penundaan 𝑠 dari proses kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi. Metode Munich Chain-Ladder Untuk metode Munich chain-ladder (MCL), asumsi independensi PU dan IU dari metode chain-ladder diperluas, yaitu dengan menambahkan asumsi PIU (kebebasan dari tahun kerugian yang dibayarkan dan dari tahun kerugian yang terjadi). Set kebebasan stokastik untuk asumsi kebebasan PIU adalah {𝑃1,𝑡 , 𝐼1,𝑡 |𝑡 ∈ 𝑇}, {𝑃2𝑡 , 𝐼2,𝑡 |𝑡 ∈ 𝑇}, … , {𝑃𝑛,𝑡 , 𝐼𝑛,𝑡 |𝑡 ∈ 𝑇}. Didefinisikan 𝑄𝑖 =

𝑃𝑖 𝐼𝑖

𝑃

= ( 𝐼 𝑖,𝑡 ) 𝑖,𝑡

𝑡∈𝑇

𝐼

𝐼

dan 𝑄𝑖 −1 = 𝑃𝑖 = (𝑃𝑖,𝑡 ) 𝑖

𝑖,𝑡

𝑡∈𝑇

8 untuk menjelaskan rasio (P/I) dan rasio (I/P). Selanjutnya, dengan menambahkan konsep residual bersyarat: jika 𝑋 adalah peubah acak, dengan syarat 𝐶, maka 𝜎(𝑋|𝐶) = √var(𝑋|𝐶) menjelaskan standar deviasi bersyarat dari 𝑋 oleh 𝐶, dan res(𝑋|𝐶) =

𝑋 − 𝐸(𝑋|𝐶) 𝜎(𝑋|𝐶)

menjelaskan residual bersyarat 𝑋 oleh 𝐶. Residual bersyarat adalah standardisasi yang berkaitan dengan nilai harapan bersyarat dan ragam bersyarat, dengan 𝐸(res(𝑋|𝐶)|𝐶) = 0 dan var(res(𝑋|𝐶)|𝐶) = 1. Asumsi Model Mengacu pada asumsi model oleh Mack, dilakukan analisis lebih lanjut untuk menghitung faktor nilai harapan bersyarat dari penundaan proses kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi guna mendapatkan residual masingmasingnya, dengan 𝑃𝑖,𝑡 𝐼𝑖,𝑡 res ( |𝒫𝑖 (𝑠)) dan res ( |ℐ𝑖 (𝑠)). 𝑃𝑖,𝑠 𝐼𝑖,𝑠 Dibandingkan dengan model CL, kelebihan dari model Munich chainladder (MCL) yang menentukan adalah merumuskan asumsi untuk istilah-istilah berikut, yaitu 𝑃

𝐼

𝐸 (res (𝑃𝑖,𝑡 |𝒫𝑖 (𝑠)) |ℬ𝑖 (𝑠)) dan 𝐸 (res (𝐼𝑖,𝑡 |ℐ𝑖 (𝑠)) |ℬ𝑖 (𝑠)). 𝑖,𝑠

𝑖,𝑠

dan residual dari rasio (I/P) dan rasio (P/I), didefinisikan −1 res(𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠)) atau res(𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)).

Asumsi tambahan untuk rasio (P/I) dan rasio (I/P) PQ Terdapat konstanta 𝜆𝑃 untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑡 = 𝑠 + 1 sehingga untuk setiap 𝑖 = 1,2 … , 𝑛, 𝐸 (res ( yang ekuivalen dengan

𝑃𝑖,𝑡 −1 |𝒫 (𝑠)) |ℬ𝑖 (𝑠)) = 𝜆𝑃 res(𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠)) 𝑃𝑖,𝑠 𝑖

9 𝑃

𝜎 (𝑃𝑖,𝑡 |𝒫𝑖 (𝑠)) 𝑃𝑖,𝑡 𝑖,𝑠 −1 −1 𝑃 𝑃 𝐸 ( |ℬ𝑖 (𝑠)) = 𝑓𝑠→𝑡 + 𝜆 (𝑄𝑖,𝑠 − 𝐸(𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠))). −1 𝑃𝑖,𝑠 𝜎(𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠))

(1)

IQ Terdapat konstanta 𝜆𝑃 untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 dengan 𝑡 = 𝑠 + 1 sehingga untuk setiap 𝑖 = 1,2 … , 𝑛, 𝐸 (res (

𝐼𝑖,𝑡 |ℐ (𝑠)) |ℬ𝑖 (𝑠)) = 𝜆𝑃 res(𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)) 𝐼𝑖,𝑠 𝑖

yang ekuivalan dengan 𝐼

𝜎 (𝐼𝑖,𝑡 |ℐ𝑖 (𝑠)) 𝐼𝑖,𝑡 𝑖,𝑠 𝐼 𝐸 ( |ℬ𝑖 (𝑠)) = 𝑓𝑠→𝑡 + 𝜆𝐼 (𝑄𝑖,𝑠 − 𝐸(𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠))). 𝐼𝑖,𝑠 𝜎(𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠))

(2)

Parameter 𝜆𝑃 dan 𝜆𝐼 yang merupakan kemiringan garis regresi dari plot residual masing-masing proses, tidak tergantung pada penundaan tahun ke- 𝑠 . Persamaan (1) dan (2) mewakili harapan bersyarat untuk faktor penundaan sebagai jumlah faktor dari chain-ladder dan koreksi dari kedua jenis data. Akan dianalisis lebih rinci istilah tersebut pada bagian berikutnya. Analisis Asumsi Model Akan diperiksa lebih dekat model MCL dan khususnya persamaan bentuk PQ dan IQ, dimisalkan 𝜆𝑃 , 𝜆𝐼 > 0. Kondisi nilai harapan yaitu faktor penundaan dari proses kerugian yang terjadi akan digunakaan untuk proyeksi tahun kecelakaan ke-𝑖 dari 𝑠 ke 𝑡, adalah monoton naik, fungsi linear dari rasio (P/I) atau 𝑄𝑖,𝑠 . Hal ini menunjukkan bahwa pengamatan dari praktik dinyatakan sebagai asumsi teoritis. Persamaan IQ merupakan ekspektasi bersyarat dari jumlah chain𝐼 ladder faktor penundaan 𝑓𝑠→𝑡 dan istilah linear dalam 𝑄𝑖,𝑠 . Terdapat tiga faktor terkoreksi yang dijelaskan sebagai berikut:  Faktor 𝜆𝐼 adalah koefisien korelasi dari residual faktor penundaan dan residual rasio (P/I), yang akan dibuktikan pada bagian selanjutnya. Oleh karena itu 𝜆𝐼 sebagai fakor korelasi atau parameter korelasi. Nilai dari 𝜆𝐼 haruslah di antara 0 dan 1, dan mengukur keterkaitan faktor penundaan sebelumnya dari rasio (P/I). Jika hampir tidak ada ketergantungan atau hubungan pada data, maka 𝜆𝐼 ≈ 0 dan faktor penundaan rata-rata diproyeksikan seperti pada metode CL.  Faktor standar deviasi adalah hasil bagi dari standar deviasi bersyarat faktor penundaan yang terjadi dan rasio (P/I). Hal ini menyebabkan penyimpangan rasio (P/I) dari rata-rata yang diukur sebagai deviasi dari faktor penundaan. Semakin besar standar deviasi dari faktor penundaan, semakin besar kemungkinan akan menjadi deviasi yang signifikan dari rata-rata, dan semakin besar terkoreksi. Semakin kecil standar deviasi dari rasio (P/I), akan semakin untypical dan menyimpang signifikan dari rata-rata.

10  Linear 𝑄𝑖,𝑠 − 𝐸(𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)) meliputi proyeksi rasio (P/I). Jika rasio (P/I) di atas rata-rata memiliki efek memperbaiki faktor penundaan ke atas, dan sebaliknya. Semakin jauh rasio (P/I) dari rata-rata akan semakin besar koreksinya. Jika rasio (P/I) berada pada rata-rata, faktor penundan yang digunakan akan menjadi rata-rata dari data, seperti dalam metode CL. Berlaku untuk faktor penundaan untuk rasio (I/P). Parameter korelasi 𝜆𝑃 dan 𝜆𝐼 memperlihatkan hubungan antara segitiga dari kerugian yang dibayarkan dan segitiga dari kerugian yang terjadi. Besarnya parameter ini menunjukkan sejauh mana waktu penundaan dari kecelakaan yang dibayarkan dan kecelakaan yang terjadi, dipengaruhi oleh jenis data masingmasingnya, karenanya parameter ini sangat penting untuk ukuran proyeksi utama. Karena pendekatan residual memungkinkan untuk mempertimbangkan semua tahun penundaan, yaitu menyediakan jumlah yang cukup di titik data, estimasi ini relatif stabil. Selanjutnya akan dibuktikan formula 𝜆𝑃 dan 𝜆𝐼 sebagai parameter korelasi. Menggunakan informasi cov 𝐶 (𝑋, 𝑌) ≔ cov(𝑋, 𝑌|𝐶) untuk koragam bersyarat dari dua variabel acak 𝑋 dan 𝑌 dengan diberikan kondisi 𝐶 𝐸(

𝑃𝑖,𝑡 𝑃𝑖,𝑡 |ℬ𝑖 (𝑠)) = . 𝑃𝑖,𝑠 𝑃𝑖,𝑠

Diketahui kondisi martingale jika

𝑃𝑖,𝑡 𝑃𝑖,𝑠

adalah ℬ𝑖 (𝑠) yang terukur, maka

𝑃

−1 𝑖,𝑡 cov 𝒫𝑖 (𝑠) (𝑄𝑖,𝑠 ,𝑃 ) 𝑖,𝑠

𝑃

−1 = cov 𝒫𝑖 (𝑠) (𝑄𝑖,𝑠 , 𝐸 (𝑃𝑖,𝑡 |ℬ𝑖 (𝑠))) 𝑖,𝑠

= cov

𝒫𝑖 (𝑠)

−1 𝑃 (𝑄𝑖,𝑠 , 𝑓𝑠→𝑡

𝑃

+𝜆

𝑃𝑖,𝑡 |𝒫 (𝑠)) 𝑃𝑖,𝑠 𝑖 −1 𝜎(𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠))

𝜎(

−1 −1 (𝑄𝑖,𝑠 − 𝐸(𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠))))

𝑃𝑖,𝑡

𝑃

= 𝜆

𝜎(

|𝒫 (𝑠)) 𝑃𝑖,𝑠 𝑖 −1 𝜎(𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠))

−1 var(𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠))

𝑃

−1 = 𝜆𝑃 𝜎 (𝑃𝑖,𝑡 |𝒫𝑖 (𝑠)) 𝜎(𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠)). 𝑖,𝑠

Mengacu ke pada bentuk berikut: −1 corr (𝑄𝑖,𝑠 ,(

𝑃𝑖,𝑡 𝑃𝑖,𝑠

𝐼

|𝒫𝑖 (𝑠))) = 𝜆𝑃 dan corr (𝑄𝑖,𝑠 , ( 𝑖,𝑡 |ℐ𝑖 (𝑠))) = 𝜆𝐼 𝐼𝑖,𝑠

untuk koefisien korelasi bersyarat, maka 𝑃𝑖,𝑡 −1 corr (res(𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠)), res ( |𝒫𝑖 (𝑠))) = 𝜆𝑃 𝑃𝑖,𝑠

11 dan corr (res(𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)), res (

𝐼𝑖,𝑡 |ℐ (𝑠))) = 𝜆𝐼 . 𝐼𝑖,𝑠 𝑖

Dengan demikian, parameter λ model MCL sebagai korelasi antara run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi. Pada pembahasannya selanjutnya akan dijelaskan perkiraan nilai parameter yang digunakan untuk memperoleh residual masing-masing data serta cara memperoleh nilai λ. Implementasi Praktis Pada bagian ini, akan dijelaskan lebih rinci tentang semua perkiraan parameter yang diperlukan untuk Metode MCL, sebelum melakukan perhitungan MCL lengkap untuk contoh konkret. Mengestimasi Parameter Untuk menghitung residual dan nilai harapan faktor penundaan, harus diperkirakan setiap parameter dari Model MCL. Parameter Metode Chain-Ladder 𝑃 𝐼 Untuk setiap 𝑡 = 𝑠 + 1 , faktor penundaan 𝑓𝑠→𝑡 dan 𝑓𝑠→𝑡 untuk 𝑠 = 1,2, … , 𝑛 − 1 digunakan estimasi Metode chain-ladder 𝑃 ̂ 𝑓𝑠→𝑡 =

1 ∑𝑛−𝑠 𝑖=1 𝑃𝑖,𝑠

dan 𝐼 ̂ 𝑓𝑠→𝑡 =

1 ∑𝑛−𝑠 𝑖=1 𝐼𝑖,𝑠

𝑛−𝑠

∑ 𝑃𝑖,𝑠 𝑖=1

𝑛−𝑠

∑ 𝐼𝑖,𝑠 𝑖=1

𝑃𝑖,𝑡 ∑𝑛−𝑠 𝑖=1 𝑃𝑖,𝑡 = 𝑛−𝑠 𝑃𝑖,𝑠 ∑𝑖=1 𝑃𝑖,𝑠

(3)

𝐼𝑖,𝑡 ∑𝑛−𝑠 𝑖=1 𝐼𝑖,𝑡 = 𝑛−𝑠 𝐼𝑖,𝑠 ∑𝑖=1 𝐼𝑖,𝑠

(4)

untuk = 1,2, … , 𝑛 − 2. Paramter 𝜎 juga diestimasi sebagai berikut: 2 𝑃 ̂ (𝜎 𝑠→𝑡 ) =

𝑛−𝑠

2

1 𝑃𝑖,𝑡 𝑃 ̂ ∑ 𝑃𝑖,𝑠 ( − 𝑓𝑠→𝑡 ) 𝑛−𝑠−1 𝑃𝑖,𝑠

(5)

𝑖=1

dan

𝑛−𝑠

2

1 𝐼𝑖,𝑡 𝐼 𝐼 ̂ ̂ (𝜎 ∑ 𝐼𝑖,𝑠 ( − 𝑓𝑠→𝑡 ) 𝑠→𝑡 ) = 𝑛−𝑠−1 𝐼𝑖,𝑠 2

𝑖=1

2 2 𝑃 𝑃 𝐼 𝐼 ̂ ̂ √ ̂ √ ̂ dengan standar deviasinya 𝜎 𝑠→𝑡 = (𝜎𝑠→𝑡 ) dan 𝜎𝑠→𝑡 = (𝜎𝑠→𝑡 ) .

(6)

12 Parameter Metode Munich Chain-Ladder Untuk menghitung residual bersyarat dari rasio (P/I) dan (I/P), perlu −1 pendugaan untuk nilai harapan bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)) dan 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠)) dan −1 standar deviasi bersyarat 𝜎 (𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)) dan 𝜎 (𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠)). Asumsi pertama

bahwa 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)) adalah konstan, analog dengan model IE chain-ladder untuk kerugian yang terjadi. Selanjutnya, diasumsikan keterkaitan ragam bersyarat dari rasio (P/I) pada kerugian yang terjadi, analog dengan kondisi IV. Untuk 𝑠 = 1,2, … , 𝑛, asumsi berikut untuk nilai harapan bersyarat dan ragam bersyarat dari rasio (P/I). Estimasi nilai harapan bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)) adalah sebagai berikut:

𝑞̂𝑠 =

𝑛−𝑠+1

1 ∑𝑛−𝑠+1 𝐼𝑖,𝑠 𝑖=1

∑ 𝐼𝑖,𝑠 𝑄𝑖,𝑠 = 𝑖=1

∑𝑛−𝑠+1 𝑃𝑖,𝑠 𝑖=1 𝑛−𝑠+1 ∑𝑖=1 𝐼𝑖,𝑠

(7)

berlaku sama untuk semua tahun terjadinya kecelakaan. Estimasi untuk 𝜎 (𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)) yaitu 𝜌̂𝑠𝐼 √𝐼𝑖,𝑠 dengan 𝜌̂𝑠𝐼 didefinisikan 𝑛−𝑠+1

1 2 𝜌̂𝑠𝐼 = ∑ 𝐼𝑗,𝑠 (𝑄𝑗,𝑠 − 𝑞̂𝑠 ) 𝑛−𝑠 2

(8)

𝑖=1

untuk setiap 𝑠 = 1,2, … , 𝑛, dengan 𝜌̂𝑠𝐼 bersifat bebas dari tahun kecelakaan ke-𝑖. Kemudian diasumsikan bahwa estimasi untuk rasio (P/I) berlaku analog dengan nilai harapan bersyarat dan ragam dari rasio (I/P) dengan mengestimasi −1 nilai harapan bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠)) sebagai berikut:

𝑞̂𝑠

−1

=

𝑛−𝑠+1

1 ∑𝑛−𝑠+1 𝑃𝑖,𝑠 𝑖=1

∑

−1 𝑃𝑖,𝑠 𝑄𝑖,𝑠

𝑖=1

∑𝑛−𝑠+1 𝐼𝑖,𝑠 𝑖=1 = 𝑛−𝑠+1 ∑𝑖=1 𝑃𝑖,𝑠

(9)

−1 serta mengestimasi 𝜎 (𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠)) yaitu 𝑃 𝜌̂ 𝑠

√𝑃𝑖,𝑠 dengan

𝑃 𝜌̂ 𝑠

didefinisikan 𝑛−𝑠+1

1 2 −1 𝑃 𝜌̂ ∑ 𝑃𝑖,𝑠 (𝑄𝑖,𝑠 − 𝑞̂𝑠 −1 ) . 𝑠 = 𝑛−𝑠 2

𝑖=1

(10)

13 Masalah akan timbul karena mengikuti kondisi bahwa kedua nilai harapan −1 bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)) dan 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠)) menjadi konstan dengan 𝑄𝑖,𝑠 yang sudah konstan, ini bertentangan dengan kenyataan di lapangan. Oleh karena itu, hal ini tidak dapat diasumsikan, harus ada struktur ketergantungan yang lebih rumit dari nilai harapan yang keduanya tergantung pada ℐ𝑖 (𝑠) dan 𝒫𝑖 (𝑠). Akan diperkirakan 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)) dengan rata-rata di atas rasio (P/I) dari 𝑄𝑗,𝑠 dari kerugian yang terjadi pada tahun ke-𝑗 untuk ℐ𝑗 (𝑠) serupa dengan ℐ𝑖 (𝑠). Pada aturan chain-ladder, serupa berarti tingkat 𝐼𝑗,𝑠 dekat dengan 𝐼𝑖,𝑠 , atau faktor penundaan 𝐼𝑗,𝑠 /𝐼𝑗,𝑠−1 dekat dengan 𝐼𝑖,𝑠 /𝐼𝑖,𝑠−1 . Setidaknya, akan terjadi kecelakaan tahun ke-𝑗 dimana ℐ𝑗 (𝑠) jelas berbeda dengan ℐ𝑖 (𝑠). Tentu saja, konsep ini berlaku −1 analog dengan 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠)). Pendekatan ini akan menghasilkan perkiraan untuk nilai harapan bersyarat yang tidak timbal balik dengan definisi dan dengan kecelakaan setiap tahun. Begitupun untuk ragam bersyarat dengan situasi serupa. Data yang cukup diberikan dari struktur ketergantungan lebih rumit untuk ragam bersyarat dari 𝑄𝑖,𝑠 −1 dan 𝑄𝑖,𝑠 pada ℐ𝑖 (𝑠) dan 𝒫𝑖 (𝑠), sehingga masing-masing dapat diperhitungkan. −1 Kesederhanaan uraian benar jika 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)) dan 𝐸 (𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠)) adalah fungsi tidak konstan terhadap ℐ𝑖 (𝑠) dan 𝒫𝑖 (𝑠). Akan diperkirakan residual bersyarat dari

res (

𝑃𝑖,𝑡 𝐼𝑖,𝑡 −1 |𝒫𝑖 (𝑠)) , res ( |ℐ𝑖 (𝑠)) , res (𝑄𝑖,𝑠 |𝒫𝑖 (𝑠)) , res (𝑄𝑖,𝑠 |ℐ𝑖 (𝑠)) 𝑃𝑖,𝑠 𝐼𝑖,𝑠

−1 dengan penyederhanaan notasi res ̂ (𝑃𝑖,𝑡 ), res ̂ (𝐼𝑖,𝑡 ), res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ), dan res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ), sehingga 𝑃𝑖,𝑡

res ̂ (𝑃𝑖,𝑡 ) =

𝑃𝑖,𝑠

𝑃 ̂ 𝜎 𝑠→𝑡 𝐼𝑖,𝑡

res ̂ (𝐼𝑖,𝑡 ) =

𝑃 ̂ − 𝑓𝑠→𝑡

𝐼𝑖,𝑠

√𝑃𝑖,𝑠

(11)

√𝐼𝑖,𝑠

(12)

𝐼 ̂ − 𝑓𝑠→𝑡 𝐼 ̂ 𝜎 𝑠→𝑡

dan −1 res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 )

−1 𝑄𝑖,𝑠 − 𝑞̂𝑠 −1 = √𝑃𝑖,𝑠 𝑃 𝜌̂ 𝑠

res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) =

𝑄𝑖,𝑠 − 𝑞̂𝑠 √𝐼𝑖,𝑠 . 𝜌̂𝑠𝐼

(13)

(14)

14 Diestimasikan nilai dugaan 𝜆𝑃 dan 𝜆𝐼 sebagai berikut: 𝜆̂𝑃 =

1 −1 ∑𝑖,𝑠 res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 )

2

−1 ∑ res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 )

2

res ̂ (𝑃𝑖,𝑡 ) −1 res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 )

𝑖,𝑠

=

−1 ∑𝑖,𝑠 res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) res ̂ (𝑃𝑖,𝑡 ) −1 ∑𝑖,𝑠 res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 )

2

dan 𝜆̂𝐼 =

1 ∑𝑖,𝑠 res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 )

2

∑ res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) 𝑖,𝑠

2

res ̂ (𝐼𝑖,𝑡 ) res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 )

=

∑𝑖,𝑠 res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) res ̂ (𝐼𝑖,𝑡 ) ∑𝑖,𝑠 res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 )

2

Dalam semua penjumlahan ini, indeks 𝑠 bergerak dari 1 sampai 𝑛 − 2 dan indeks 𝑖 bergerak dari 1 sampai 𝑛 − 𝑠. Jika limpasan segitiga ini berakhir dalam waktu kurang dari waktu penundaan 𝑛 tahun, akan lebih tepat untuk memilih indeks 𝑠 yang diperpanjang hanya sampai akhir periode run-off. Perubahan tahun penundaan dalam formula estimasi 𝜆𝑃 dan 𝜆𝐼 menyimpulkan hanya sejumlah 𝑖 menghasilkan perkiraan tahun penundaan untuk parameter λ. Parameter λ untuk setiap tahun penundaan harus berfluktuasi secara acak dan tidak menunjukkan trend yang akan melanggar asumsi model MCL, ini biasanya terjadi dalam praktek. Menurut asumsi PQ dan IQ, diperoleh formula rekursif untuk menduga 𝑃𝑖,𝑡 dan 𝐼𝑖,𝑡 , yaitu 𝑃 ̂ 𝜎 𝐼̂ 𝑃 ̂ 𝑃 𝑠→𝑡 ( 𝑖,𝑠 − 𝑞 ̂ ̂ 𝑃̂ = 𝑃 (𝑓 + 𝜆 ̂𝑠 −1 )) 𝑖,𝑡 𝑖,𝑠 𝑠→𝑡 𝑃 𝑃̂ 𝜌̂ 𝑖,𝑠 𝑠

(15)

dan 𝐼 ̂ 𝜎 𝑃̂ 𝐼 ̂ 𝐼 𝑠→𝑡 ( 𝑖,𝑠 − 𝑞 ̂ ̂ 𝐼̂ = 𝐼 (𝑓 + 𝜆 ̂𝑠 )) 𝑖,𝑡 𝑖,𝑠 𝑠→𝑡 𝐼̂ 𝜌̂𝑠𝐼 𝑖,𝑠

(16)

̂ untuk 𝑠 ≥ 𝑛 − 𝑖 + 1 dengan nilai 𝑃̂ 𝑖,𝑠 = 𝑃𝑖,𝑠 dan 𝐼𝑖,𝑠 = 𝐼𝑖,𝑠 . Contoh Penerapan Metode Cadangan Klaim Munich Chain-Ladder Metode Munich chain-ladder hanya diaplikasikan untuk asuransi kerugian, contohnya asuransi kebakaran dan asuransi kendaraan. Pada bagian ini, akan dilakukan perhitungan MCL lengkap untuk contoh konkret dari data oleh Quarg dan Mack (2006), serta data dari perusahaan insurance market Llyod’s dengan perhitungan lengkap pada Lampiran 3. Pada data oleh Quarg dan Mack, diberikan data awal dari segitiga atas kerugian yang dibayarkan (Tabel 3) dan kerugian yang terjadi (Tabel 4), yang melibatkan 7 tahun waktu kejadian dan 7 tahun waktu penundaan.

15 Tabel 3

Run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack Tahun Tahun penundaan kejadian 1 2 3 4 5 6 7 1

576

1804

1970

2024

2074

2102

2

866

1948

2162

2232

2284

2348

3

1412

3758

4252

4416

4494

4 5 6

2286 1868 1442

5292 3778 4010

5724 4648

5850

7

2044

2131

Data run-off triangle pada Tabel 3 adalah klaim dalam bentuk besarnya klaim. Sebagai contoh, ambil baris kedua dan kolom ketiga, besaran klaim sejumlah 2162 merupakan total klaim yang dibayarkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan kedua yang dilaporkan sampai dengan tahun ketiga. Data pada Tabel 3, terdapat bagian yang masih kosong berbentuk segitiga di sebelah kanan bawah yang disebut future triangle, ini merupakan pembayaran klaim di masa yang akan datang dan belum diketahui besarnya. Tabel 4 Run-off triangle untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack Tahun Tahun penundaan kejadian 1 2 3 4 5 6 7 1 978 2104 2134 2144 2174 2182 2174 2 1844 2552 2466 2480 2508 2454 3 2904 4354 4698 4600 4644 4 3502 5958 6070 6142 5 2812 4882 4852 6 2642 4406 7 5022 Ambil contoh baris kedua dan kolom ketiga, besaran klaim sejumlah 2466 merupakan total klaim yang dilaporkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan kedua yang dilaporkan sampai dengan tahun ketiga. Jika dibandingkan nilai-nilai total klaim pada run-off triangle kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi, total klaim pada run-off kerugian yang terjadi lebih besar dari pada besaran klaim pada run-off kerugian yang dibayarkan. Hal ini terjadi karena total klaim pada run-off kerugian yang terjadi adalah penjumlahan dari klaim yang sudah dibayarkan dan klaim yang belum diselesaikan. Klaim yang belum diselesaikan tersebut bisa jadi tidak dibayarkan oleh perusahaan karena beberapa sebab, misalnya besaran klaim tersebut di bawah nilai minimal klaim (deductible). Lain halnya dengan run-off triangle kerugian yang dibayarkan, data klaim yang terdapat di dalamnya adalah penjumlahan dari besaran klaim yang dilaporkan dan sudah dibayarkan oleh perusahaan. Kelebihan dari metode Munich

16 chain-ladder ini adalah mengurangi gap seminimal mungkin antara proyeksi IBNR kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi. Menghitung faktor penundaan rata-rata dan parameter σ Langkah pertama adalah mengestimasi parameter dengan metode Chain𝑃 𝐼 ̂ ̂ ladder, yakni menghitung faktor penundaan 𝑓𝑠→𝑡 dan 𝑓𝑠→𝑡 serta menghitung 𝑃 𝑃 ̂ ̂ parameter 𝜎𝑠→𝑡 dan 𝜎𝑠→𝑡 . 𝑃 𝐼 Sebagai contoh, perhitungan ̂ 𝑓2→3 dan ̂ 𝑓2→3 dengan menggunakan 𝑃 ̂ persamaan (3) dan (4). 𝑓2→3 adalah estimasi faktor penundaan untuk kerugian yang dibayarkan dari tahun penundaan ke-2 hingga tahun penundaan ke-3, dengan diketahui infomasi 𝑃𝑖,2 adalah proses kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke-2 dan 𝑃𝑖,3 proses kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke-3, maka 𝑃 ̂ 𝑓 2→3 = (

1 ∑7−2 𝑖=1 𝑃𝑖,2

7−2

) (∑ 𝑃𝑖,2 𝑖=1 5

∑7−2 𝑃𝑖,3 𝑖=1 𝑃𝑖,3 ) = 7−2 ∑𝑖=1 𝑃𝑖,2 𝑃𝑖,2

∑5𝑖=1 𝑃𝑖,3 1 𝑃𝑖,3 =( 5 ) (∑ 𝑃𝑖,2 )= 5 𝑃𝑖,2 ∑𝑖=1 𝑃𝑖,2 ∑𝑖=1 𝑃𝑖,2 𝑖=1 1970 + 2162 + 4252 + 5724 + 4648 18756 = = = 1.131. 1804 + 1948 + 3758 + 5292 + 3778 16580 𝐼 adalah estimasi faktor penundaan untuk kerugian yang terjadi Faktor ̂ 𝑓2→3 dari tahun penundaan ke- 2 hingga tahun penundaan ke- 3 , dengan diketahui infomasi 𝐼𝑖,2 adalah proses kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-2 dan 𝐼𝑖,3 proses kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-3, maka

𝐼 ̂ 𝑓2→3

7−2

∑7−2 𝐼𝑖,3 𝑖=1 𝐼𝑖,3 = ( 7−2 ) (∑ 𝐼𝑖,2 ) = 7−2 ∑𝑖=1 𝐼𝑖,2 ∑𝑖=1 𝐼𝑖,2 𝐼𝑖,2 1

𝑖=1 5

∑5𝑖=1 𝐼𝑖,3 𝐼𝑖,3 =( 5 ) (∑ 𝐼𝑖,2 ) = 5 𝐼𝑖,2 ∑𝑖=1 𝐼𝑖,2 ∑𝑖=1 𝐼𝑖,2 𝑖=1 2134 + 2466 + 4698 + 6070 + 4852 20220 = = = 1.019. 2104 + 2552 + 4354 + 5958 + 4882 19850 1

Jadi, besarnya faktor penudaan dari tahun kejadian ke- 2 yang ditunda hingga tahun ke- 3 adalah sebesar 1.131 untuk kerugian yang dibayarkan dan 1.019 untuk kerugian yang terjadi. 𝑃 𝐼 ̂ Sebagai contoh, perhitungan σ̂ 2→3 dan σ2→3 dengan menggunakan 𝑃 persamaan (5) dan (6). σ̂ 2→3 adalah estimasi parameter 𝜎 untuk kerugian yang dibayarkan dari tahun penundaan ke-2 hingga tahun penundaan ke-3, dengan 𝑃 ̂ diketahui informasi 𝑓 2→3 yang telah diperoleh pada perhitungan sebelumnya, serta 𝑃𝑖,2 dan 𝑃𝑖,3 , maka

17 2 𝑃 ̂ (𝜎 2→3 ) = (

7−2

2

1 𝑃𝑖,3 ̂ 𝑃 ) ∑ 𝑃𝑖,2 ( − 𝑓2→3 ) 7−2−1 𝑃𝑖,2 𝑖=1

5

1 𝑃𝑖,3 = ( ) ∑ 𝑃𝑖,2 ( − 1.131) 4 𝑃𝑖,2

2

𝑖=1

2 2 1970 4648 1 − 1.131) ) + ⋯ + ((3778) ( − 1.131) )] = ( ) [((1804) ( 1804 3778 4

2.776 + 0.891 + 0.0001 + 13.024 + 37.057 53.748 = = = 13.437. 4 4 𝑃 ̂ Jadi, 𝜎 2→3 = √13.437 = 3.666. 𝐼 Faktor σ̂ 2→3 adalah estimasi parameter 𝜎 untuk kerugian yang terjadi dari tahun penundaan ke-2 hingga tahun penundaan ke-3, dengan diketahui informasi 𝐼 ̂ 𝑓 2→3 yang telah diperoleh pada perhitungan sebelumnya, serta 𝐼𝑖,2 dan 𝐼𝑖,3 , maka

2 𝐼 ̂ (𝜎 2→3 ) = (

7−2

𝐼𝑖,3 1 𝐼 ) ∑ 𝐼𝑖,2 ( − ̂ 𝑓2→3 ) 𝐼𝑖,2 7−2−1

2

𝑖=1

5

1 𝐼𝑖,3 = ( ) ∑ 𝐼𝑖,2 ( − 1.019) 𝐼𝑖,2 4

2

𝑖=1

2 2 1 2134 4852 = ( ) [((2104) ( − 1.019) ) + ⋯ + ((4882) ( − 1.019) )] 4 2104 4882

0.04 + 6.991 + 15.867 + 0.00015 + 2.999 24.898 = = = 6.474. 4 4 𝐼 ̂ Jadi, 𝜎 2→3 = √6.474 = 2.544. Estimasi parameter 𝜎 untuk tahun kejadian ke-2 yang ditunda hingga tahun ke- 3 adalah sebesar 3.666 untuk kerugian yang dibayarkan dan 2.544 untuk kerugian yang terjadi. Secara keseluruhan faktor penundaan rata-rata dan parameter σ akan disajikan pada Tabel 5. Tabel 5

Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter σ dari data Quarg dan Mack 1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7 ̂ 𝑃 𝑓𝑠→𝑡 2.437 1.131 1.029 1.021 1.021 1.014

𝐼 𝑓̂ 𝑠→𝑡 ̂ 𝑃 𝜎

𝑠→𝑡 ̂ 𝐼 𝜎𝑠→𝑡

1.652

1.019

1.000

1.011

0.990

13.456

3.666

0.482

0.210

0.479

9.727

2.544

1.004

0.120

0.860

0.996

18 Menghitung rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter ρ Setelah diperoleh estimasi untuk faktor penudaan dan parameter 𝜎 untuk masing-masing kecelakaan yang dibayarkan dan terjadi, selanjutnya akan dicari parameter Metode MCL, dengan menghitung nilai harapan bersyarat dan standar deviasi bersyarat. Menghitung (P/I) atau 𝑞̂𝑠 serta (I/P) atau 𝑞̂𝑠 −1 dengan formula yang telah diperoleh dari pembahsan parameter Metode MCL. Sebagai contoh perhitungan 𝑃

𝐼

( 𝐼 ) atau 𝑞 ̂2 dan (𝑃) = 𝑞 ̂2 2

−1

2

dengan menggunakan persamaan (7) dan (9). 𝑞 ̂2

adalah nilai harapan bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,2 |ℐ𝑖 (2)) diperoleh dengan diketahui informasi 𝑃𝑖,2 dan 𝐼𝑖,2 , maka ∑7−2+1 𝑃𝑖,2 ∑6𝑖=1 𝑃𝑖,2 𝑖=1 = 7−2+1 = 6 ∑𝑖=1 𝐼𝑖,2 ∑𝑖=1 𝐼𝑖,2 1804 + 1948 + 3758 + 5292 + 3778 + 4010 20590 = = = 0.849. 2104 + 2552 + 4354 + 5958 + 4882 + 4406 24256

𝑞 ̂2

−1 Nilai 𝑞 ̂2 −1 adalah nilai harapan bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,2 |𝒫𝑖 (2)) diperoleh dengan diketahui informasi 𝑃𝑖,2 dan 𝐼𝑖,2 , maka

𝑞 ̂2

−1

∑6𝑖=1 𝐼𝑖,2 ∑7−2+1 𝐼𝑖,2 𝑖=1 = 7−2+1 = ∑𝑖=1 𝑃𝑖,2 ∑6𝑖=1 𝑃𝑖,2 2104 + 2552 + 4354 + 5958 + 4882 + 4406 24256 = = = 1.178. 1804 + 1948 + 3758 + 5292 + 3778 + 4010 20590 Diperoleh nilai harapan bersyarat 𝐸 (𝑄𝑖,2 |ℐ𝑖 (2)) sebesar 0.849 dan

−1 𝐸 (𝑄𝑖,2 |𝒫𝑖 (2)) sebesar 1.178. Setelah itu, akan dihitung parameter standar deviasi bersyarat ρ. Sebagai ̂𝐼 2 dan 𝜌̂𝑃 2 dengan menggunakan persamaan (8) dan (10). contoh perhitungan 𝜌 2

2

7−2+1

2 ̂𝐼 2 = ( 1 ) ∑ 𝐼 (𝑄 − 𝑞 𝜌 ̂) 𝑗,2 𝑗,2 2 2 7−2 𝑗=1

6

1 2 = ( ) ∑ 𝐼𝑗,2 (𝑄𝑗,2 − 0.849) 5 𝑗=1

2 2 1 1804 4010 = ( ) [((2104) ( − 0.849) ) +. . . + ((4406) ( − 0.849) )] 5 2104 4406

0.154 + 18.673 + 0.884 + 9.228 + 27.461 + 16.535 72.935 = 5 5 = 14.587. ̂𝐼 = √14.587 = 3.819. Jadi, 𝜌 2 =

19 7−2+1

2 1 2 −1 𝜌̂2𝑃 = ( ) ∑ 𝑃𝑗,2 (𝑄𝑖,2 −𝑞 ̂2 −1 ) 7−2 𝑗=1

6

1 2 −1 = ( ) ∑ 𝐼𝑗,2 ∗ (𝑄𝑗,2 − 1.178) 5 𝑗=1

2 2 1 2104 4406 = ( ) [((1804) ( − 1,178) ) + ⋯ + ((4010) ( − 1,178) )] 5 1804 4010

0.249 + 33.949 + 1.422 + 14.418 + 49.256 + 25.213 124.498 = 5 5 = 24.899. Jadi, 𝜌̂2𝑃 = √24.899 = 4.990. =

Diperoleh nilai harapan bersyarat 𝜎 (𝑄𝑖,2 |ℐ𝑖 (2)) sebesar 3.819 dan −1 |𝒫𝑖 (2)) sebesar 4.990. Secara keseluruhan, hasil perhitungan untuk nilai 𝜎 (𝑄𝑖,2 harapan bersyarat dan standar deviasi bersyarat untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi disajikan pada Tabel 6.

Tabel 6 Rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter ρ dari data Quarg dan Mack s 1 2 3 4 5 6 7 𝑞̂𝑠 53.3% 84.9% 92.8% 94.5% 94.9% 96.0% 98.0% −1 𝑞̂ 𝑠 ̂𝑃 𝜌

187.8% 117.8% 107.8% 105.8% 105.4%

104.2% 102.0%

𝑠

14.943

4.990

2.167

1.619

1.791

0.236

𝜌̂𝑠𝐼

5.711

3.819

1.918

1.461

1.637

0.222

Menghitung residual masing-masing parameter Langkah berikutnya adalah menghitung nilai residual masing-masing dari −1 res ̂ (𝑃𝑖,𝑡 ), res ̂ (𝐼𝑖,𝑡 ), res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ), dan res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ). Contoh untuk perhitungan res ̂ (𝑃𝑖,𝑡 ) dengan menggunakan persamaan (11), 𝑃 𝑃 ̂ ̂ akan dihitung res ̂ (𝑃2,3 ) dengan mengetahui informasi 𝑃2,3 ,𝑃2,2 ,𝑓 2→3 dan 𝜎2→3 . Hasil perhitungan yang lengkap untuk res ̂ (𝑃𝑖,𝑡 ) tersaji pada Tabel 7. 𝑃2,3

res ̂ (𝑃2,3 ) =

𝑃2,2

𝑃 ̂ −𝑓 2→3

𝑃 ̂ 𝜎 2→3

2162

− 1.131 (√𝑃2,3 ) = 1948 (√1948) = −0.258. 3.666

20 Tabel 7 P 1 2 3 4 5 6 7

Hasil perhitungan res ̂ (𝑃𝑖,𝑡 ) dari data Quarg dan Mack 1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7 1.240 -0.454 -0.178 0.846 -0.724 -0.410 -0.258 0.293 0.572 0.690 0.628 0.004 1.248 -0.979 -0.433 -0.985 -1.151 -1.330 1.661 0.971

Contoh untuk perhitungan res ̂ (𝐼𝑖,𝑡 ) dengan menggunakan persamaan (12), 𝐼 𝐼 ̂ akan dihitung res ̂ (𝐼2,3 ) dengan mengetahui informasi 𝐼2,3 , 𝐼2,2 , ̂ 𝑓2→3 dan 𝜎 2→3 . Hasil perhitungan yang lengkap untuk res ̂ (𝐼𝑖,𝑡 ) tersaji pada Tabel 8. 𝐼2,3

res ̂ (𝐼2,3 ) =

𝐼2,2

𝐼 ̂ −𝑓 2→3

𝐼 𝜎̂ 2→3

2466

− 1.019 (√𝐼2,2 ) = 2552 (√2552) = −1.039. 2.544

̂ (𝐼𝑖,𝑡 ) dari data Quarg dan Mack Tabel 8 Hasil perhitungan res I 1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7 1 1.605 -0.079 0.222 1.131 0.732 2 -1.184 -1.039 0.287 0.096 -0.681 3 -0.846 1.565 -1.415 -0.843 4 0.299 0.005 0.931 5 0.458 -0.681 6 0.082 7 −1 Contoh untuk perhitungan res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) dengan menggunakan persamaan (13), −1 −1 akan dihitung res ̂ (𝑄2,2 ) dengan mengetahui informasi 𝑄2,2 ,𝑞 ̂2 −1 , 𝑃2,2 dan 𝜌̂2𝑃 . −1 Hasil perhitungan yang lengkap untuk res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) tersaji pada Tabel 9.

−1 ̂ (𝑄2,2 Res )

−1 𝑄2,2 −𝑞 ̂2 −1 1,310 − 1.178 = (√𝑃2,2 ) = (√1948) = 1.168. 4.990 𝜌̂𝑃 2

21

I/P 1 2 3 4 5 6 7

−1 Tabel 9 Hasil perhitungan res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) dari data Quarg dan Mack 1 2 3 4 5 6 7 -0.289 -0.100 0.106 0.033 -0.136 -0.726 0.496 1.168 1.343 1.547 1.188 0.687 0.450 -0.239 0.808 -0.675 -0.755 -1.106 -0.761 -0.615 -0.388 -1.077 1.406 -1.075 -0.116 -1.006 1.753

Contoh untuk perhitungan res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) dengan menggunakan persamaan (14), ̂𝐼 ̂,𝐼 akan dihitung res ̂ (𝑄2,2 ) dengan mengetahui informasi 𝑄2,2 ,𝑞 2 2,2 dan 𝜌2 . Hasil perhitungan yang lengkap untuk res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) tersaji pada Tabel 10. res ̂ (𝑄2,2 ) =

𝑄2,2 − 𝑞 ̂2 0.763 − 0.849 (√𝐼2,2 ) = (√2552) = −1.131. ̂𝐼 3.819 𝜌 2

P/I 1 2 3 4 5 6 7

Tabel 10 Hasil perhitungan res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) dari data Quarg dan Mack 1 2 3 4 5 6 7 0.309 0.103 -0.107 -0.033 0.137 0.728 -0.473 -1.131 -1.317 -1.537 -1.177 -0.686 -0.437 0.246 -0.805 0.693 0.771 1.245 0.795 0.626 0.396 1.223 -1.372 1.102 0.119 1.065 -1.558

Menggunakan hasil perhitungan residual dari kerugian yang dibayarkan dan residual (I/P) dapat ditarik plot residual kerugian yang dibayarkan (Gambar 3). Sisaan dari kerugian yang dibayarkan menunjukkkan korelasi sebesar 64%. Estimasi slop dari garis regresi melalui titik asal 𝜆̂𝑃 = 0.64, yang menjelaskan 𝜆𝑃 sebagai parameter korelasi yang dijelaskan pada pembahasan sebelumnya. Plot residual dari kerugian yang terjadi (Gambar 4), menunjukkan korelasi 45%. Namun nilai estimasi 𝜆̂𝐼 yang dipilih adalah sebesar 0.44 . 𝜆̂𝑃 dan 𝜆̂𝐼 memenuhi syarat dimana parameter 𝜆 bernilai antara 0 sampai 1.

22 Residual kerugian yang dibayarkan 2

1

y = 0.6479x - 0.0486

0 -2

-1

0

1

2

-1

-2

Gambar 1 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack Residual kerugian yang terjadi 2

1

y = 0.4558x + 0.0982

0 -2

-1

0

1

2

-1

-2

Gambar 2 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack Pada akhirnya digunakan metode Munich chain-ladder untuk proyeksi kerugian yang akan dibayarkan dan kerugian yang akan terjadi. Dengan menggunakan persamaan (15) dan (16) dilakukan perhitungan guna mencari faktor pengali 𝑄 −1 dan 𝑄 untuk menduga 𝑃𝑖,𝑡 dan 𝐼𝑖,𝑡 . Sebagai faktor penundaan dari kerugian yang dibayar terlebih dahulu, akan digunakan nilai rata-rata −1 𝑃 ̂ 𝑓1→2 = 2.473 untuk menghitung 𝑄7,2 𝑃 ̂ 𝜎 𝑃 ̂ 𝑃 1→2 (𝑄 −1 − 𝑞 𝑓1→2 + 𝜆̂ ̂1 −1 ) 7,1 𝑃 𝜌1 13.456 = 2.473 + (0.64) ( ) (2.457 − 1.878) = 2.771. 14.943

23 𝐼 ̂ sedangkan untuk kerugian yang terjadi dengan informasi 𝑓1→2 = 1.652 untuk menghitung 𝑄7,2 𝐼 ̂ 𝜎 1→2 𝐼 ̂ 𝑓1→2 + 𝜆̂𝐼 (𝑄7,1 − ̂) 𝑞1 𝜌1𝐼 9.727 ) (40.7% − 53.3%) = 1.558. = 1.652 + (0.44) ( 5.711 Hasil perhitungan lengkap, terdapat di Lampiran 1. Hasil di atas sebagai estimasi untuk nilai 𝑃7,2 sebesar (2044)(2.771) = 5663 dan untuk nilai 𝐼7,2 sebesar (5022)(1.558) = 7824 . Untuk proyeksi di tahun lainnya, tersaji di Tabel 11 untuk kerugian yang dibayarkan dan Tabel 12 untuk kerugian yang terjadi.

Tabel 11

Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder Tahun penundaan Tahun kejadian 1 2 3 4 5 6 7 1

576

1804

1970

2024

2074

2102

2131

2

866

1948

2162

2232

2284

2348

2383

3

1412

3758

4252

4416

4494

4573

4597

4 5 6

2286 1868 1442

5292 3778 4010

5724 4648 4387

5850 4762 4492

5967 4848 4573

6081 4922 4642

6119 4937 4655

7

2044

5663

6948

7180

7332

7487

7549

Tabel 11 merupakan hasil akhir dari proyeksi IBNR untuk kerugian yang dibayarkan, dengan melengkapi segitiga bawah dari run-off sebelumnya. Sebagai contoh, perhatikan baris ke-6 kolom ke-4, besarnya cadangan klaim yang harus disediakan adalah sejumlah 4492, merupakan proyeksi total klaim yang dibayarkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan keenam yang dilaporkan sampai dengan tahun keempat. Tabel 12 Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder Tahun penundaan Tahun kejadian 1 2 3 4 5 6 7 1 978 2104 2134 2144 2174 2182 2174 2 1844 2552 2466 2480 2508 2454 2444 3 2904 4354 4698 4600 4644 4618 4629 4 3502 5958 6070 6142 6212 6167 6176 5 2812 4882 4852 4885 4945 4932 4951 6 2642 4406 4567 4601 4657 4647 4666 7 5022 7824 7683 7641 7724 7648 7649

24 Tabel 12 merupakan hasil akhir dari proyeksi IBNR untuk kerugian yang terjadi, dengan melengkapi segitiga bawah dari run-off sebelumnya. Sebagai contoh, perhatikan baris ke-6 kolom ke-4, besarnya cadangan klaim yang harus disediakan adalah sejumlah 4601, merupakan proyeksi total klaim yang dilaporkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan keenam yang dilporkan sampai dengan tahun keempat. Langkah selanjutnya yaitu, melihat bagaiamana metode MCL dapat mengurangi gap antara proyeksi IBNR kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi, sebagai kelebihan dari metode ini. Tabel 13, menjelaskan gap antara proyeksi IBNR dari kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi, kolom berwarna putih menunjukkan data klaim sebelum dilakukan proyeksi, dan kolom berwarna biru menunjukkan proyeksi klaim dengan metode MCL. Tabel 13

Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chainladder Tahun penundaan Tahun kejadian 1 2 3 4 5 6 7 1 402 300 164 120 100 80 43 2 978 604 304 248 224 106 61 3 1492 596 446 184 150 45 32 4 1216 666 346 292 244 87 57 5 944 1104 204 124 97 9 14 6 1200 396 180 109 84 5 11 7 2978 2161 735 461 392 161 100

Dibandingkan dengan hasil perhitungan menggunakan metode chain-ladder, hasil proyeksi dari metode MCL jauh lebih baik dalam mengurangi gap antara proyeksi IBNR kerugian yang terjadi dengan kerugian yang dibayarkan. Perhitungan CL jauh lebih sederhana dibandingkan MCL, langkah perhitungan lengkapnya tersaji pada Lampiran 2. Dilihat dari Tabel 14, dengan metode CL gap antara proyeksi kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi terdapat nilai negatif. Artinya, ada proyeksi dari kerugian yang dibayarkan lebih besar dibandingkan dengan proyeksi dari kerugian yang terjadi. Hasil proyeksi ini tentu saja tidak sesuai dengan prediksi yang diharapkan, karena hasil perhitungan dari metode CL menghasilkan prediksi yang kurang baik.

25 Tabel 14

Gap antara proyeksi kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder Tahun penundaan Tahun kejadian 1 2 3 4 5 6 7 1 402 300 164 120 100 80 43 2 978 604 304 248 224 106 111 3 1492 596 446 184 150 75 78 4 1216 666 346 292 12 -104 -110 5 944 1104 204 -72 -331 -450 -472 6 1200 396 36 -244 -507 -631 -663 7 2978 2706 2589 2530 2456 2503 2628

Pada contoh kasus yang kedua, digunakan data dari perusahaan Lloyd’s. Diberikan data awal dari run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi yang melibatkan 10 tahun waktu kejadian dan 10 tahun waktu penundaan. Dengan menggunakan metode MCL dilakukan perhitungan mencari parameter yang diperlukan (perhitungan lengkapnya pada Lampiran 3). Pada akhirnya, diperoleh estimasi untuk 𝜆𝑃 dari Gambar 5 sebesar 1.329 dan 𝜆𝐼 dari Gambar 6 sebesar −0.081. Estimasi ini tidak memenuhi syarat bahwa nilai 𝜆 harus berada antara 0 dan 1 , akibatnya metode MCL tidak dapat melakukan proyeksi dengan baik karena tidak memenuhi syarat yang ditetapkan.

Residual kerugian yang dibayarkan 25 20 15 10

y = 1.3296x + 0.7009 5 0 -2

-1

0

1

2

-5

Gambar 3 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Lloyd’s

3

26 Residual kerugian yang terjadi 12 10 8 6 4 2

y = -0.081x + 0.374 0 -2

-1

0

1

2

-2 -4

Gambar 4 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Lloyd’s Dilihat dari Tabel 17, gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dengan metode MCL terdapat nilai negatif, artinya metode MCL tidak cukup baik untuk memproyeksi cadangan klaim untuk data tersebut. Oleh karena itu, diperlukan metode lain saat metode MCL tidak menghasilkan proyeksi yang baik. Tabel 17 Tahun Kejadian 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dari data Lloyd’s dengan metode Munich chain-ladder 1 1346 1350 1829 137 1363 247 1195 274 1984 1473

2 6393 4664 3863 2381 2668 5061 2222 1751 4670 5023

3 6816 4960 7302 7910 2819 3790 4207 2542 6214 7198

4 6932 2601 6041 10288 4193 6773 5942 2708 7015 8088

Tahun Penundaan 5 6 5942 1570 6383 2925 7334 4511 10194 3441 5661 6984 5768 3093 6340 3062 3682 2542 7725 3963 9072 4808

7 931 1485 2334 2758 5922 2211 2168 1853 2821 3433

8 308 934 800 1943 5398 1571 1513 1361 1990 2435

9 290 342 437 -205 -1371 -175 -151 -181 -212 -268

10 212 193 173 -369 -1523 -304 -282 -281 -379 -469

SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Metode cadangan klaim Munich chain-ladder (MCL) dalam aplikasinya dapat mengurangi gap antara proyeksi IBNR berdasarkan kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dengan memprediksi pembayaran klaim dimasa yang akan datang. Metode MCL menunjukkan bahwa antara kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi hampir selalu ada korelasi. Dalam

27 penerapannya, metode MCL menghasilkan proyeksi yang baik saat memenuhi kriteria 𝜆 bernilai antara 0 sampai 1. Perhitungan dengan metode chain-ladder (CL) lebih praktis dan sederhana jika dibandingkan dengan perhitungan dengan metode MCL. Namun, proyeksi yang dihasilkan oleh metode MCL lebih baik dan lebih dapat diandalkan dibandingkan proyeksi yang dihasilkan oleh metode CL. Oleh karena itu, metode MCL dapat diaplikasikan pada portofolio asuransi di Indonesia, khususnya portofolio asuransi kerugian. Saran Langkah selanjutnya adalah menduga kesalahan prediksi klaim dari perhitungan metode Munich chain-ladder dengan teknik bootstrap. Langkah ini perlu untuk melihat ketepatan metode MCL dalam memproyeksikan pembayaran klaim di masa yang akan datang, serta mengkaji metode lainnya yang dapat digunakan saat metode MCL tidak menghasilkan poyeksi yang baik.

DAFTAR PUSTAKA Antonio K, Beirlant J, Hoedemakers T, dan Verlaak R. 2006. Lognormal mixed models for reported claims reserves. North American Actuarial Journal. 10(1):30−48.doi:10.1080/10920277.2006.10596238. Hogg RV, McKean J, Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-7. New Jersey (US): Prentice Hall Inc. Hossack IB, Pollard JH, Zenwirth B. 1999. Introductory Statistics with Applications in General Insurance. Ed ke-2. Cambridge (UK): University of Cambride Press. Mack T. 1993. Distribution-free calculation of the standard error of chain-ladder reserve estimates. Astin Bulletin. 23(2):213-225. Olofsson M. 2006. Stochastic loss reserving testing the new guidelines from the Australian prudential regulation authority (APRA) on Swedish portfolio data using a bootstrap simulation and distribution-free method by Thomas Mack [tesis]. Stockholm (SE): Stockholm University. Quarg G, Mack T. 2008. Munich chain-ladder:a reserving method that reduces the gap between IBNR projections based on paid losses and IBNR projections based on incurred losses. Variance. 2(2):266–299.doi: 10.1007/bf02808969. Williams D. 1991. Probability with Martingales. Cambridge (UK): University of Cambride Press. Yunawan G. 2013. Model Stokastik Berdasarkan Teknik Chain-Ladder [skripsi]. Yogyakarta (ID): Universitas Gajah Mada.

28 Lampiran 1 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode Munich chainladder −1 2 Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠 ) dari data Quarg dan Mack 1 2 3 4 5 6 7 1 0.083 0.010 0.011 0.001 0.018 0.528 2 0.246 1.363 1.802 2.392 1.412 0.472 3 0.203 0.057 0.652 0.456 0.570 4 1.224 0.579 0.378 0.150 5 1.159 1.978 1.156 6 0.013 1.013 7 3.072 −1 res(𝑄𝑖,𝑠 )res(𝑃𝑖,𝑡 ) dari data Quarg dan Mack (𝑄 Hasil )* perhitungan ( )

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 -0.358 -0.203 0.283 0.478 1.433 -0.112

2 0.045 -0.301 -0.001 0.749 2.335

4 0.027 0.884 0.661

5 0.098 0.820

6 0.000

Hasil perhitungan 𝑄 −1 dari data Quarg dan Mack 1 2 3 4 5 6 1.698 1.166 1.083 1.059 1.048 1.038 2.129 1.310 1.141 1.111 1.098 1.045 2.057 1.159 1.105 1.042 1.033 1.018 1.532 1.126 1.060 1.050 1.020 1.019 1.505 1.292 1.044 1.024 1.018 1.015 1.832 1.099 1.094 1.024 1.018 1.015 2.457 2.771 1.226 1.034 1.021 1.021

𝑃 ̂ Hasil perhitungan 𝑓𝑠→𝑡 + 𝜆̂𝑃

1 1 2 3 4 5 6 7

3 -0.019 0.393 1.008 0.708

2

2.771

𝑃 𝜎̂ 𝑠→𝑡

𝜌𝑠𝑃

7

7 1.020 1.015 1.005 1.006 1.003 1.003 1.009

−1 (𝑄𝑖,𝑠 − 𝑞̂𝑠 −1 ) dari data Quarg dan Mack

3

1.094 1.227

4

1.024 1.024 1.033

5

1.020 1.018 1.018 1.021

6

7

1.018 1.019 1.015 1.015 1.021

1.015 1.005 1.006 1.003 1.003 1.009

29 (

)

1 2 3 4 5 6 7

Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠 ) 1 2 3 0.095 0.011 0.011 0.224 1.280 1.734 0.191 0.061 0.648 1.551 0.633 0.391 1.496 1.883 1.215 0.014 1.134 2.428

2

dari data Quarg dan Mack 4 5 6 0.001 0.019 0.529 2.362 1.386 0.471 0.480 0.595 0.157

1 2 3 4 5 6 7

* perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠 ) res(𝐼𝑖,𝑡 ) dari data Quarg dan Mack Hasil 1 2 3 4 5 6 0.495 -0.008 -0.024 -0.037 0.101 0.000 0.560 1.176 -0.378 -0.148 0.802 0.000 0.370 0.385 1.139 -0.584 0.000 0.373 0.004 0.582 0.000 0.560 0.934 0.000 0.010 0.000 0.000

1 2 3 4 5 6 7

Hasil perhitungan Q dari data Quarg dan Mack 1 2 3 4 5 6 0.589 0.857 0.923 0.944 0.954 0.963 0.470 0.763 0.877 0.900 0.911 0.957 0.486 0.863 0.905 0.960 0.968 0.994 0.653 0.888 0.943 0.952 1.011 0.993 0.664 0.774 0.958 1.007 1.012 0.997 0.546 0.910 1.037 1.007 1.012 0.998 0.407 1.558 0.982 0.995 1.011 0.990

𝐼 ̂ Hasil perhitungan 𝑓𝑠→𝑡 + 𝜆̂𝐼

1 1 2 3 4 5 6 7

2

1.558

𝐼 𝜎̂ 𝑠→𝑡

𝜌𝑠𝐼

7

7

7 0.980 0.996 1.002 1.002 1.004 1.004 1.000

(𝑄𝑖,𝑠 − 𝑞̂𝑠 ) dari data Quarg dan Mack

3

1.037 0.982

4

1.007 1.007 0.995

5

1.011 1.012 1.012 1.011

6

7

0.994 0.993 0.997 0.998 0.990

0.996 1.002 1.002 1.004 1.004 1.000

30 Lampiran 2 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder Hasil pembagi rasio run-off kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack 1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7 1 3.132 1.092 1.027 1.025 1.014 1.014 2 2.249 1.110 1.032 1.023 1.028 3 2.661 1.131 1.039 1.018 4 2.315 1.082 1.022 5 2.022 1.230 6 2.781 7 Hasil perhitungan simple average, weighted average dan faktor pengali untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack P Simple Average Weighted Average Selected % Paid

1→2 2,527 2,437 1,291 77%

2→3 1,129 1,131 1,144 87%

3→4 1,030 1,029 1,110 90%

4→5 1,022 1,021 1,087 92%

5→6 1,021 1,021 1,064 94%

6→7 1,014 1,014 1,050 95%

Tail 1,050 1,050 1,000 100%

Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder Tahun penundaan Tahun kejadian 1 2 3 4 5 6 7 1 576 1804 1970 2024 2074 2102 2131 2 866 1948 2162 2232 2284 2348 2465 3 1412 3758 4252 4416 4494 4784 5023 4 2286 5292 5724 5850 6357 6766 7105 5 1868 3778 4648 5161 5608 5969 6268 6 1442 4010 4587 5093 5534 5891 6185 7 2044 2640 3019 3352 3643 3878 4071 Hasil pembagi rasio dari run-off kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack 1→2 2→3 3→4 4→5 5→6 6→7 1 2.151 1.014 1.005 1.014 1.004 0.996 2 1.384 0.966 1.006 1.011 0.978 3 1.499 1.079 0.979 1.010 4 1.701 1.019 1.012 5 1.736 0.994 6 1.668 7

31 Hasil perhitungan simple average, weighted average dan faktor pengali untuk kerugian yang diterjadi dari data Quarg dan Mack I Simple Average Weighted Average Selected % Inc

1→2 1,690 1,652 1,064 94%

2→3 1,014 1,019 1,049 95%

3→4 1,000 1,000 1,049 95%

4→5 1,012 1,011 1,037 96%

5→6 0,991 0,990 1,046 96%

6→7 0,996 0,996 1,050 95%

Tail 1,050 1,050 1,000 100%

Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder Tahun Tahun penundaan kejadian 1 2 3 4 5 6 7 1 978 2104 2134 2144 2174 2182 2174 2 1844 2552 2466 2480 2508 2454 2577 3 2904 4354 4698 4600 4644 4858 5101 4 3502 5958 6070 6142 6368 6662 6995 5 2812 4882 4852 5089 5276 5520 5796 6 2642 4406 4623 4849 5027 5259 5522 7 5022 5345 5608 5882 6099 6380 6699

32 Lampiran 3 Pengolahan data Lloyd’s dengan metode Munich chain-ladder Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter σ dari data Lloyd’s 𝑃 𝑓̂ 𝑠→𝑡 ̂ 𝐼 𝑓 𝑠→𝑡

̂ 𝑃 𝜎 𝑠→𝑡 ̂ 𝐼 𝜎 𝑠→𝑡

1→2 5.185 3.776 136.558

2→3 3.149 1.858 56.419

3→4 1.636 1.351 23.229

4→5 1.359 1.248 23.295

5→6 1.486 1.096 35.175

6→7 1.077 1.002 5.962

7→8 1.031 0.983 0.401

8→9 1.134 1.105 16.739

131.142

56.711

22.110

19.288

15.944

6.239

1.791

13.455

9→10 1.003 0.996

Hasil perhitungan (P/I) dan (I/P) serta parameter ρ dari data Lloyd’s 𝑞̂𝑠 −1 𝑞̂ 𝑠

𝜌̂𝑠𝐼 ̂ 𝜌𝑃 𝑠

1 18.1% 553.2% 5.049

2 25.0% 400.0% 9.221

3 45.0% 222.3% 14.118

4 52.7% 189.8% 21.925

5 58.4% 171.4% 17.846

6 79.3% 126.1% 17.167

7 90.4% 110.6% 4.684

8 9 10 96.5% 97.9% 97.9% 103.6% 102.2% 102.1% 2.264 0.881

110.962

101.386

134.467

755.971

465.824

678.318

246.217

119.428

26.556

Hasil perhitungan res ̂ (𝑃𝑖,𝑡 ) dari data Lloyd’s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1→2 1.523 1.465 -0.631 0.041 -1.009 2.750 0.082 21.350 2.782

2→3 -1.212 -0.836 2.745 1.924 -1.123 4.012 1.107 -1.072

3→4 -0.617 1.762 -0.666 -0.516 -0.934 0.045 2.820

4→5 -0.694 -0.959 0.119 2.868 0.093 0.093

5→6 -0.108 0.240 -0.897 2.672 -0.496

6→7 -0.005 0.753 -1.229 1.078

7→8 0.148 1.121 -0.887

8→9 -0.784 0.686

9→10

−1 Hasil perhitungan res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) dari data Lloyd’s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0.340 0.469 -0.428 -0.183 -0.836 0.283 0.879 0.304 2.608 0.044

2 0.197 -0.021 -0.618 0.659 -0.578 1.606 0.434 -0.840 0.880

3 0.271 0.043 -0.411 0.893 -0.187 -0.050 0.298 -0.263

4 0.375 -0.669 -0.877 1.899 0.005 0.299 0.260

5 0.406 0.014 -1.225 1.532 0.287 0.047

6 -0.122 -0.086 -0.263 -0.039 0.777

7 -0.039 -0.045 -0.192 0.334

8 -0.044 0.239 -0.147

9 0.278 -0.201

10

33 2

−1 Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠 ) dari data Lloyd’s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0.116 0.220 0.183 0.034 0.698 0.080 0.773 0.092 6.802 0.002

2 0.039 0.000 0.382 0.434 0.334 2.579 0.188 0.705 0.774

3 0.074 0.002 0.169 0.797 0.035 0.003 0.089 0.069

4 0.141 0.447 0.770 3.606 0.000 0.090 0.067

5 0.165 0.000 1.499 2.346 0.082 0.002

6 0.015 0.007 0.069 0.002 0.603

7 0.001 0.002 0.037 0.112

8 0.002 0.057 0.022

9 0.077 0.040

10

9 0.000 0.000

10

−1 Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠 ) res(𝑃𝑖,𝑡 ) dari data Lloyd’s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0.518 0.687 0.270 -0.008 0.843 0.778 0.072 6.490 7.255 0.000

2 -0.239 0.018 -1.697 1.268 0.649 6.443 0.480 0.900 0.000

3 -0.167 0.075 0.274 -0.460 0.174 -0.002 0.842 0.000

4 -0.260 0.641 -0.104 5.445 0.000 0.028 0.000

5 -0.044 0.003 1.098 4.094 -0.142 0.000

6 0.001 -0.064 0.323 -0.042 0.000

7 -0.006 -0.050 0.170 0.000

8 0.035 0.164 0.000

Hasil perhitungan 𝑄 −1 dari data Lloyd’s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 8.315 9.710 3.706 3.045 2.478 12.227 16.724 12.417 51.872 5.814

2 4.465 3.946 2.689 7.488 2.576 11.371 6.108 1.983 7.268 5.646

3 2.819 2.316 1.687 4.881 1.800 2.107 3.125 1.655 5.568 3.080

4 2.284 1.329 1.375 4.573 1.903 2.199 2.174 1.506 1.699 1.666

𝑃 ̂ Hasil perhitungan 𝑓𝑠→𝑡 + 𝜆̂𝑃

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

5.646

3

5.568 3.080

4

1.506 1.699 1.666

5 1.954 1.721 1.331 2.611 1.880 1.738 1.472 1.181 1.399 1.365 𝑃 𝜎̂ 𝑠→𝑡

𝜌𝑠𝑃

6 1.174 1.212 1.156 1.240 1.839 1.510 1.623 1.305 1.556 1.522

7 1.096 1.097 1.078 1.170 1.145 1.077 1.076 1.080 1.077 1.077

8 1.031 1.059 1.026 1.033 1.042 1.033 1.033 1.033 1.033 1.033

9 1.029 1.018 1.115 1.283 2.079 1.290 1.276 1.319 1.284 1.288

10 1.021 1.003 1.003 1.003 1.003 1.003 1.003 1.003 1.003 1.003

−1 (𝑄𝑖,𝑠 − 𝑞̂𝑠 −1 ) dari data Lloyd’s

5

1.472 1.181 1.399 1.365

6

1.510 1.623 1.305 1.556 1.522

7

1.145 1.077 1.076 1.080 1.077 1.077

8

9

10

1.033 1.042 1.033 1.033 1.033 1.033 1.033

1.115 1.283 2.079 1.290 1.276 1.319 1.284 1.288

1.003 1.003 1.003 1.003 1.003 1.003 1.003 1.003 1.003

34 Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Lloyd’s dengan metode Munich chain-ladder Tahun kejadian 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 184 155 676 67 922 22 76 24 39 306

2 1845 1583 2287 367 1693 488 435 1782 745 1728

1→2 1.113 0.226 -0.790 3.875 -0.940 9.572 -0.663 3.662 -0.617

2→3 -1.043 -0.759 2.501 3.100 -0.566 -0.835 0.653 -0.056

3 3748 3768 10635 2038 3523 3424 1980 3881 4148 5321

Tahun penundaan 5 6 6231 9006 8858 13795 22177 28825 6329 14366 6431 8325 7813 11799 7450 12094 6898 9001 9858 15336 12096 18410

4 5400 7899 16102 2879 4641 5649 5062 5843 7048 8864

7 9699 15360 29828 16201 9530 12711 13017 9718 16515 19831

8 10008 15895 30700 16730 9934 13127 13441 10039 17055 20480

9 10035 19333 34233 21465 20658 16929 17156 13245 21899 26381

10 10068 19397 34346 21535 20726 16985 17212 13289 21971 26468

Hasil perhitungan res ̂ (𝐼𝑖,𝑡 ) dari data Lloyd’s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3→4 -0.922 -0.685 -0.783 -0.142 0.179 1.870 2.029

4→5 -1.495 1.300 0.751 0.043 0.686 -0.937

5→6 -1.465 0.009 0.385 -0.153 1.320

6→7 0.051 0.114 -1.070 1.384

7→8 -0.732 1.136 -0.391

8→9 -0.788 0.667

9→10

Hasil perhitungan res ̂ (𝑄𝑖,𝑠 ) dari data Lloyd’s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 -0.469 -0.598 0.883 0.418 2.108 -0.321 -0.854 -0.343 -1.438 -0.073

2 -0.256 0.029 1.036 -0.662 0.990 -1.309 -0.482 1.640 -0.897

3 -0.692 -0.120 1.357 -1.731 0.596 0.149 -0.724 0.876

4 -0.451 1.053 1.359 -1.613 -0.007 -0.367 -0.320

5 -0.443 -0.016 1.617 -1.444 -0.318 -0.054

6 0.352 0.244 0.765 0.109 -1.794

7 0.175 0.204 0.879 -1.468

8 0.223 -1.185 0.739

9 -0.810 0.587

10

9 0.656 0.344

10

2

Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠 ) dari data Lloyd’s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0.220 0.357 0.780 0.174 4.445 0.103 0.729 0.117 2.069 0.005

2 0.066 0.001 1.074 0.438 0.980 1.714 0.233 2.689 0.805

3 0.479 0.014 1.841 2.997 0.355 0.022 0.524 0.768

4 0.203 1.110 1.848 2.602 0.000 0.134 0.102

5 0.196 0.000 2.614 2.085 0.101 0.003

6 0.124 0.059 0.586 0.012 3.219

7 0.031 0.042 0.772 2.155

8 0.050 1.405 0.546

35 Hasil perhitungan res(𝑄𝑖,𝑠 ) res(𝐼𝑖,𝑡 ) dari data Lloyd’s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 -0.522 -0.135 -0.697 1.618 -1.983 -3.077 0.566 -1.255 0.887 0.000

2 0.267 -0.022 2.592 -2.052 -0.561 1.093 -0.315 -0.092 0.000

3 0.638 0.082 -1.063 0.245 0.106 0.278 -1.468 0.000

4 0.674 1.369 1.021 -0.070 -0.005 0.344 0.000

5 0.649 0.000 0.623 0.221 -0.420 0.000

6 0.018 0.028 -0.819 0.151 0.000

7 -0.128 0.232 -0.344 0.000

8 -0.175 -0.790 0.000

9 0.000 0.000

10

8 0.970 0.945 0.975 0.985 0.992 0.985 0.985 0.985 0.985 0.985

9 0.972 0.983 1.101 1.139 1.258 1.140 1.137 1.146 1.139 1.140

10 0.979 0.996 0.996 0.996 0.996 0.996 0.996 0.996 0.996 0.996

Hasil perhitungan Q dari data Lloyd’s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0.120 0.103 0.270 0.328 0.404 0.082 0.060 0.081 0.019 0.172

2 0.224 0.253 0.372 0.134 0.388 0.088 0.164 0.504 0.138 3.795

3 0.355 0.432 0.593 0.205 0.556 0.475 0.320 0.604 1.914 1.855

4 0.438 0.752 0.727 0.219 0.525 0.455 0.460 0.996 0.996 0.996

𝐼 ̂ Hasil perhitungan 𝑓𝑠→𝑡 + 𝜆̂𝐼

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3.795

3

1.914 1.855

4

1.331 1.357 1.354

5 0.512 0.581 0.751 0.383 0.532 0.575 1.253 1.237 1.250 1.249 𝐼 𝜎̂ 𝑠→𝑡

𝜌𝑠𝐼

5

1.253 1.237 1.250 1.249

6 0.852 0.825 0.865 0.807 0.544 1.097 1.099 1.091 1.098 1.097

7 0.912 0.912 0.927 0.855 1.009 1.002 1.002 1.002 1.002 1.002

(𝑄𝑖,𝑠 − 𝑞̂𝑠 ) dari data Lloyd’s 6

1.097 1.099 1.091 1.098 1.097

7

1.009 1.002 1.002 1.002 1.002 1.002

8

9

10

0.985 0.992 0.985 0.985 0.985 0.985 0.985

1.101 1.139 1.258 1.140 1.137 1.146 1.139 1.140

0.996 0.996 0.996 0.996 0.996 0.996 0.996 0.996 0.996

Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Lloyd’s dengan metode Munich chain-ladder Tahun kejadian 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1530 1505 2505 204 2285 269 1271 298 2023 1779

2 8238 6247 6150 2748 4361 5549 2657 3533 5415 6751

3 10564 8728 17937 9948 6342 7214 6187 6423 10362 12520

4 12332 10500 22143 13167 8834 12422 11004 8551 14063 16952

Tahun penundaan 5 6 12173 10576 15241 16720 29511 33336 16523 17807 12092 15309 13581 14892 13790 15156 10580 11543 17583 19299 21168 23218

7 10630 16845 32162 18959 15452 14922 15184 11570 19336 23264

8 10316 16829 31500 18673 15332 14698 14954 11401 19045 22915

9 10325 19675 34670 21259 19287 16754 17005 13064 21687 26113

10 10280 19589 34519 21167 19203 16681 16930 13007 21592 25999

36

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan pada hari Rabu, 26 Januari 1994 di Padang. Penulis merupakan putra pertama dari Bapak Agus Darusman dan Ibu Mardiana. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Negeri 10 Kota Padang dan lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalu Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) jalur undangan. Penulis diterima di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selain mengikuti perkuliahan pada mayor Matematika, penulis juga mengikuti perkuliahan minor Statistika Terapan. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan berorganisasi. Di tahun pertama penulis aktif menjadi anggota Koperasi Mahasiswa (Kopma) IPB, aktif di Organisasi Mahasiswa Daerah (OMDA) yakni Ikatan Pelajar Mahasiswa Minang (IPMM) dan Himpunan Mahasiswa Padang (HIMAPD). Penulis pernah menjabat sebagai Vice President External Relation (VP-ER) di Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) AIESEC IPB, dan menjadi Ketua Departemen Public Relation di Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) IPB. Penulis juga pernah menjadi panitia di beberapa kegiatan, di antaranya menjadi ketua pelaksana The 3𝑟𝑑 IPB Mathematics Challenges 2014, ketua Divisi Sponsorship Matematika Ria 2014, dan anggota divisi di beberapa kegiatan Gumatika IPB. Penulis juga pernah tampil bersama grup akustik Elipsoid dan grup nasyid Gumavoice di beberapa seminar nasional dan acara fakultas. Penulis pernah menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II selama dua periode yaitu periode Semester Ganjil Tahun Ajaran 2013/2014 dan 2014/2015 serta mata kuliah Pemrograman Linear pada periode Semester Genap Tahun Ajaran 2013/2014. Penulis pernah mengikuti program magang profesi di bagian Departemen Aktuaria PT. Asuransi Jiwa Manulife Indonesia selama tiga bulan (Juni-Agustus 2014). Selama perkuliahan, penulis pernah mendapatkan beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) dari DIKTI. Penulis juga memperoleh beasiswa AIA Future Actuaries Program yang diberikan oleh PT. AIA Financial.