PROMOTE MSc POPIS TÉMATU – FYZKA 1 Název
Proudění viskózní tekutiny
Tematický celek
Mechanika kapalin
Jméno a e-mailová adresa autora
Renata Holubova
[email protected]
Cíle
Popis základních zákonitostí v mechanice kapalin. Ukázka mezioborových vztahů – např. krevní oběh. Předložení laboratorních experimentů.
Obsah
Viskózní tok, turbulentní proudění, Poiseuillův zákon, Reynoldsovo číslo.
Pomůcky
Přístup na web.
Poznámky
Obsah laboratorních experimentů v tématu. Praktické činnosti vedoucí k pochopení zákonitostí a jejich použití v technice a lékařství. Zdůraznění mezipředmětových vztahů. Možná ukázka dalších aplikací – např. transport škodlivin.
PH1 – 1
Proudění tekutin Úroveň: střední škola (16–17 let) 4 vyučovací hodiny (2 klasické vyučovací hodiny, 2 hodiny laboratorní cvičení) Obsah: 1. Laminární proudění 2. Poiseuilleův zákon 3. Vznik turbulentního proudění 4. Reynoldsovo číslo Motivace: Tornádo v láhvi: Jak lze přemístit vodu z horní láhve do spodní? Větrné víry: Zhasněte svíčku.
Laminární proudění Představa ideálního proudění – každá vrstva kapaliny se pohybuje se stejnou rychlostí, není viskozita. Rychlost proudu uprostřed trubice je stejná jako v blízkosti stěn. Reálná tekutina – existence viskozity – rychlosti nejsou stejné – uprostřed trubice je rychlost proudu největší, vrstvy v blízkosti stěn mají rychlost blízkou nule. Jak lze vysvětlit, co to je viskozita? Mějme dvě rovnoběžné desky. Horní deska se může volně pohybovat, spodní je stacionární. Má-li se horní deska pohybovat rychlostí v (vzhledem ke spodní desce), je třeba působit na ni silou F. Velikost této síly závisí na prostředí – bude jiná v případě vody anebo medu či glycerínu. Kapalinu lze modelovat jako velké množství desek s různými rychlostmi. Rychlost jednotlivých vrstev je různá. Nejvyšší rychlost je nahoře, na spodní vrstvě je nulová. Tento druh proudění je laminární.
PH1 – 2
Tangenciální sílu, která je potřebná pro uvedení vrstvy do pohybu konstantní rychlostí v, lze vyjádřit pomocí vztahu F=
ηSv y
,
kde S je plocha vrstvy, y je velikost posunutí, η je koeficient dynamické viskozity. Jednotka viskozity v soustavě SI: Pa · s Používaná jednotka: poise (P) 1 poise (P) = 0,1 Pa · s Jean Poiseuille (1797 – 1869) – francouzský fyzik, studoval pohyb kapalin v trubicích a popsal zákony toku krve v našem těle. Hodnoty viskozity Za normálních podmínek je viskozita plynů menší než viskozita kapalin. Viskozita závisí na teplotě – u kapalin s rostoucí teplotou klesá, u plynů viskozita s rostoucí teplotou roste. Viskozita: Voda (20 oC) Benzen C6H6 Ethanol C2H6O Glycerol C3H8O3 Krev (37 oC) Vzduch (18 oC)
1,00 · 10–3 Pa ⋅ s 0,65 · 10–3 Pa ⋅ s 1,20 · 10–3 Pa ⋅ s 1480,00 · 10–3 Pa ⋅ s 5,00 · 10–3 Pa ⋅ s 0,019 · 10–3 Pa ⋅ s
Laminární proudění je charakteristické např. pro pohyb ropy v ropovodech. Máme určit podmínky, které určují množství kapaliny, která projde příčným průřezem trubice za určitý časový interval. Tato veličina se nazývá objemový průtok Q (v m3/s). Q je úměrné rozdílu tlaků P2 – P1 dvou různých míst trubice (větší tlak vede k silnějšímu proudu), delší trubice vyvolává větší odpor vůči proudu než trubice kratší. Kapaliny o velké viskozitě tečou pomaleji než tekutiny, které mají malou viskozitu. Největší význam má závislost na poloměru r trubice – Q je úměrné čtvrté mocnině poloměru (r4). Matematické vyjádření této závislosti je známo pod názvem Poiseuilleův zákon: Q=
πr 4 (P2 − P1 ) , 8ηL
kde η je viskozita, r je poloměr trubice, jejíž délka je L, P2 a P1 jsou tlaky na koncích trubice. Základním vztahem pro model laminárního proudění je Poiseuillova rovnice:
R=
8ηL πr 4
Idealizovaný model proudění je uváděn pro jeho jednoduchý matematický aparát. Nauka o proudění tekutin našla své uplatnění v mnoha oblastech, např. v lékařství. Přesné modelování proudění tekutin ve fyziologii za reálných podmínek vyžaduje matematický PH1 – 3
aparát, který je příliš složitý pro praktické použití v klinické praxi. Model vychází ze základních principů inženýrské fyziky, ve většině případů používáme jeho první aproximaci . Další aplikace – analogie s Ohmovým zákonem Pro klinické aplikace jsou vlastnosti toku považovány za konstantní. Poiselleiův zákon je analogický Ohmovu zákonu (nauka o elektřině). Zákon popisuje změnu napětí ∆V v závislosti na elektrickém odporu (R) a proudu (I) ∆V = IR Čím větší je proud (elektrický tok) nebo odpor, tím vyšší napětí je potřeba. Někdy se pro jednoduchost zapisuje V místo ∆V, i když se jedná o rozdíl napětí a nikoli o jeho absolutní hodnotu. Výpočty toku tekutiny můžeme modelovat pomocí jednoduchého elektrického 8ηL obvodu. V tomto modelu je ∆V analogické ∆P, pro proudový odpor definovaný jako R = 4 πr dostaneme ∆P = QR. Pokles tlaku (analogicky jako pokles odporu v Ohmově zákonu) je lineární funkcí proudového odporu. Proudový odpor je lineární funkcí délky, ale je nepřímo úměrný čtvrté mocnině poloměru vodiče. Např. trubice o průměru 1 cm má 16krát větší proudový odpor než 2centimetrová trubice stejné délky, kterou protéká tentýž proud. Předpokládáme původní průtok 100 cm3/s. Projevy změn v parametrech vedou k následujícím změnám: Dvojnásobná délka ……… průtok 50 cm3/s Dvojnásobná viskozita …… průtok 50 cm3/s Dvojnásobný tlak …… průtok 200 cm3/s Dvojnásobný poloměr …… průtok 1 600 cm3/s Jen malá okluze artérie může mít velký efekt! Okluze
při tlaku 120 mmHg
potřebný tlak pro obnovení průtoku
120 mmHg 0% 100 cm3/s 293 mmHg 20 % 41 cm3/s 3 1 920 mmHg 50 % 6,3 cm /s 75 000 mmHg 80 % 0,16 cm3/s 19 % zmenšení poloměru zmenší na ½ průtok trubicí. Turbulentní proudění Turbulentní proudění – částice v tekutině se pohybují v mnoha různých směrech a mnoha různými rychlostmi. Turbulentní proudění je protikladem laminárního proudění. Otázka – kdy dojde k přechodu laminárního proudění v proudění turbulentní? Přechod od laminárního k turbulentnímu prodění charakterizuje ρrv , kde v je rychlost (kritická Reynoldsovo číslo – rozměrová konstanta R =
η
rychlost). Pro cylindrické trubice je R asi 2 000. Voda proudící trubicí o poloměru 2 cm (např.
PH1 – 4
1 ⋅10 −3 N ⋅ s/m 2 = 0,1 m/s = 10 cm/s (malá 10 3 kg/m 3 0,02m rychlost, obvykle je rychlost vody v trubici 1 m/s a proudění je turbulentní). zahradní hadice) má kritickou rychlost vc = 2 000
Cvičení: 1. Pro pohyb vody potrubím o poloměru 6,8 · 10–3 m je potřeba rozdílu tlaků 1,5 · 103 Pa. Objemový průtok vody je 3,2 · 10–4 m3/s. Jak dlouhé je potrubí? Viskozita vody je η = 1 · 10–3 Pa · s. 2. Tepna má délku 0,1 m a její poloměr je 1,5 · 10–3 m. Průtok krve je 1 · 10–7 m3/s. Stanovte rozdíl tlaků na obou koncích této tepny. Viskozita krve η = 4 · 10–3 Pa · s. 3. Vypočtěte maximální rychlost, kterou může proudit krev v aortě, aby proudění bylo laminární. (R = 8 · 10–3 m, ρ = 1 060 kg · m–3) Laboratorní práce
Úkolem práce je studium laminárního proudění. Je měřen proudový odpor jednotlivých kapilár, dvou kapilár spojených paralelně a do série. Výsledky měření jsou porovnány s teoretickými předpoklady. Pomůcky: 2 kádinky, trojice kapilár o různém průměru, 2 stejné kapiláry, spojovací hadice, pravítko, stopky, zásobník vody Postup práce: Studujeme tok viskózní kapaliny skleněnou kapilárou. Objemový průtok kapilárou je úměrný rozdílu tlaků na obou koncích kapiláry ∆P = RQ, kde R je odpor kapiláry vůči toku R=
8ηL . πr 4
Zásobník umístíme do výše h nad kádinku, kapiláru umístíme do vodorovné polohy a jeden konec spojíme s výtokovým otvorem zásobníku. Potom rozdíl tlaků je roven tlaku hydrostatickému hρg, kde ρ je hustota vody. Voda teče do kalibrované kádinky nebo je možné její hmotnost určit na laboratorních vahách. Změříme-li dobu výtoku a rozměry kapiláry, lze vypočítat objemový průtok.Hladinu vody v zásobníku je třeba udržovat na konstantní výšce. Provádíme různá měření: měříme tok kapilárami stejné délky ale různého průměru, stejného průměru ale různé délky, jednu kapiláru umisťujeme v různých výškách h, ostatní podmínky zůstávají konstantní (teplota, hustota vody, vlhkost atd.). V druhé části laboratorní práce měříme tok paralelně a sériově spojenými kapilárami analogicky jako při studiu Ohmova zákona. Animace: http://www.physik.uni-wuerzburg.de/physikonline.htmlhttp://pen.physik.unikl.de/medien/MM_Videos/index.html
PH1 – 5
