ISBN : 978 – 979 – 99314 – 2 – 9
PROSIDING SEMINAR NASIONAL Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MI PA
“Peningkatan Keprofesionalan Peneliti, Pendidik & Praktisi MIPA” Yogyakarta, 25 Agustus 2007
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2007
Sambutan Ketua Panitia Assalamuallaikum wr. wb , 1. Yth. Bapak Rektor UNY Prof. Sugeng Mardiyono, Ph.D 2. Yth. Bapak Dekan dan Para Pembantu Dekan FMIPA UNY 3. Yth. Bapak Sumarna Surapranata, Ph.D Direktur Pembinaan Diklat Dirjen PMPTK 4. Yth Bapak Prof. Dr. Sukardjo, Bapak Prof. Suryanto, Ed.D, Bapak A. Sardjana, M.Pd, Ibu Yoni Suryani, S.U. dan 5. Yth. Para peserta seminar sekalian, Kami atas nama panitia mengucapkan selamat datang di gedung baru FMIPA UNY dan marilah kita panjatkan puji syukur kehadirat Allah s.w.t atas limpahan nikmatNYA yakni berupa kesehatan kepada kita semua sehinga kita bisa menghadiri Seminar Nasional Penelitian Pendidikan dan Penerapan MIPA yang diselenggarakan oleh FMIPA UNY pada pagi ini. Seminar ini diselenggarakan rutin tiap tahun dan sudah merupakan salah satu agenda kegiatan FMIPA UNY. Untuk tahun ini seminar diselenggarakan sekaligus untuk menghormati para senior yang purna tugas yakni Bapak Prof. Dr. Sukardjo(Jurdik Kimia), Bapak Prof. Suryanto, Ed.D(Jurdik Matematika), Bapak A. Sardjana, M.Pd (Jurdik Matematika) dan Ibu Yoni Suryani, S.U(Jurdik Biologi). Sudah menjadi tradisi di FMIPA UNY untuk menghormati para senior yang purna tugas selalu diadakan seminar, hal ini menunjukkan bahwa karyakarya beliau tidak berhenti walaupun sudah purna tugas. Pada seminar tahun ini panitia mengundang Bapak Sumarna Surapranata, Ph.D Direktur Pembinaan Diklat Dirjen PMPTK untuk berdiskusi dan bertukar pikiran mengenai hal-hal yang terkait dengan Peningkatan Keprofesionalan Pendidik melalui Lesson Study menyongsong Sertifikasi Profesi. Seminar ini diikuti oleh 132 peserta pemakalah yang berasal dari berbagai perguruan tinggi baik negeri maupun swasta dan terdiri dari makalah pendidikan MIPA ataupun makalah tentang MIPA serta penerepannya. Lebih lanjut, rincian abstrak dan acara seminar ini ada di booklet. Ucapan terimakasih kepada seluruh anggota panitia yang telah berusaha keras demi lancarnya seminar ini. Namun kiranya apabila ada hal-hal yang kurang pada pelaksanaan seminar ini kami atas nama panitia mohon maaf yang sebesar-besarnya. Tidak lupa ucapan terimakasih kepada seluruh peserta atas partisipasi dan kontribusi makalahnya dan juga kepada semua pihak yang membantu kelancaran seminar ini. Akhir kata kami ucapkan selamat berseminar dan mudah-mudahan seminar ini memberi manfaat bagi kita semua. Demikian sambutan kami kurang lebihnya kami mohon maaf. Wassalamuallaikum wr. wb.
Yogyakarta, 25 Agustus 2007 Ketua Panitia
DAFTAR ISI . Sambutan Ketua Panitia
Makalah Utama Kode U–1
Judul Menuju Pendidikan Kimia Yang Efektif dan Efisien di Sekolah Menengah Atas (Sukardjo :Jurusan Pendidikan Kimia FMIPA UNY)
U–2
Dobel Steld Mempermudah Operasi Penjumlahan dan Pengurangan (A Sardjana Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY)
U–3
Peran Biokimia Sebagai Alat Pengungkap Nilai Tradisi Belut Sawah (Monopterus Albus) (Yoni Suryani : Jurdik Biologi FMIPA UNY)
Makalah Bidang Pendidikan Matematika Kode PM – 1
Judul Outdoor Activities dalam Pembelajaran Matematika di SMA Negeri Bantul Kota Kabupaten Bantul Yogyakarta (Edi Prajitno)
Hal 1
PM – 2
Usaha Meningkatkan Kualitas Pembelajaran Mata Kuliah Matematika Sekolah Melalui Umpan Balik (Kusrini)
19
PM – 3
Pengembangan Peta Konsep Matematika dan Implementasinya dalam Pembelajaran Matematika (R.Rosnawati)
31
Makalah Bidang Matematika M–1
Integral Mcshane Fungsi Bernilai Banach (Herry Pribawanto Suryawan)
41
M–2
Karakteristik Modul Torsi Dan Bebas TorsiMenggunakan Preradikal (Indah Emilia Wijayanti, Primastuti Indah Suryani, Dwi Ertiningsih)
51
M–3
Kredibilitas Dengan Pendekatan Bühlmann (Isnandar Slamet, Kristina Natalia)
63
M–4
Pendekatan Bayes Empirik Pada Pendugaan Statistik Area Kecil Berbasis Model Poisson-Gamma Dengan Peubah Penyerta (Kismiantini)
75
M–5
Partial Least Squares (PLS) Generalized Linear dalam Regresi Logistik (Retno Subekti)
93
M–6
Aplikasi Permainan Dinamis Linear Kuadratis Sistem Deskriptor Pada Interaksi Fiskal Moneter N Negara (Salmah, Ari Suparwanto, Ch. Rini Indrati, Indah Emilia Wijayanti, Bagus Santoso)
101
M–7
Kestabilan Model Cournot Nonlinear Dengan Ketaktentuan Dan Tundaan (Solikhatun)
109
M–8
Model Persediaan Dengan Batasan Kapasitas Gudang Dan Modal Pada Kasus Backorder Dan Lost Sales (Valeriana Lukitosari) Aplikasi Program Office Versi Web (Kuswari)
117
M – 10
Aplikasi Program Nonlinear Multi Tujuan Interaktif dengan Fungsi Tujuan Fuzzy Pada Optimalisasi Dosis Pemberian Pupuk Npk Tanaman Padi (Widodo, Hertomo Heroe)
143
M – 11
Model Ammi Pada Data Cacahan: Model Log-Bilinear (Alfian Futuhul Hadi, Budi Lestari, Halimatus Sa’diyah)
155
M – 12
Karakteristik Invarian Translasional Subhimpunan Fuzzy Relatif terhadap Homomorfisma Ring (K a r y a t i)
171
M – 13
Relasi Kongruensi Fuzzy pada Grup dan Grup Hasil Bagi (Karyati)
179
M – 14
Pengumpulan Data Dengan Quick Count (Kismiantini)
Dan Exit Poll
191
M – 15
Beberapa Sifat Operator Hilbert-Schmidt Pada Ruang
L (M )
205
M–9
131
2
(Muslim Ansori) M – 16
On The Henstock- Kurzweil Integral For Riesz-Spaces-Valued n Functions Defined On Euclidean Space ℜ (Muslim Ansori)
213
M – 17
Penggalian Informasi Potensial dari Basis Data di Perguruan Tinggi (Sri Andayani)
221
M – 18
Pemodelan Perilaku Pembelian Konsumen Untuk Suatu Produk (Studi Kasus: Pemodelan Perilaku Pembelian Konsumen Sabun Cuci Piring Sunlight) (Herni Utami, Primastuti Indah Suryani)
229
M – 19
Bias Maximum Likelihood Estimator (MLE) dalam Model Multinomial Logit pada Respons Saling Berkorelasi (Jaka Nugraha, Suryo Guritno, Sri Haryatmi)
241
Aplikasi Perainan Dinamis Linear Kuadratis Sistem Deskriptor Pada Interaksi Fiskal Moneter N Negara Salmah, Ari Suparwanto, Ch. Rini Indrati, Indah Emilia Wijayanti Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Bagus Santoso Fakultas Ekonomi Universitas Gadjah Mada e-mail:
[email protected] Abstrak Model interaksi fiskal moneter antar negara secara natural merupakan model permainan dinamis linear kuadratis. Pada makalah ini model tersebut yang terdiri dari N negara akan ditinjau sebagai permainan dinamis linear kuadratis sistem deskriptor. Dengan mengambil state deskriptor diperoleh fungsi objektif berbentuk blok diagonal. Rumus non-rekursif penyelesaian permainan dinamis linear kuadratis N pemain akan diturunkan. Kata kunci : interaksi fiskal moneter, permainan dinamis linear kuadratis, sistem deskriptor
1. PENDAHULUAN Dalam dekade terakhir terjadi peningkatan minat dalam mempelajari masalah kebijakan makroekonomi dalam kerangka permainan dinamis. Interaksi fiskal moneter pada negara-negara yang saling berkaitan secara ekonomi dapat dimodelkan sebagai sistem berskala besar yang saling berkaitan. Pendekatan permainan dinamis memberikan model yang realistis untuk interaksi fiskal moneter pada negara-negara yang saling berkaitan secara ekonomi. Dengan penambahan sistem deskriptor memungkinkan untuk memodelkan masalah secara lebih langsung dan natural tanpa reduksi sistem. Dimungkinkan juga untuk memasukkan relasi linear antar variabel. Tujuan penelitian dalam paper ini adalah untuk mempelajari aplikasi permainan dinamis linear kuadratik N-pemain lingkar terbuka tak berjumlah nol dengan sistem deskriptor pada interaksi saling kebergantungan moneter antar negara dengan memandangnya sebagai permainan dinamis linear kuadratik N-pemain sistem deskriptor. Hasil penelitian ini akan menjadi alat alternatif untuk menganalisa interaksi fiskal moneter antar negara dengan asumsi tidak ada kerjasama kebijakan fiskal.
2. MODEL INTERAKSI FISKAL MONETER ANTAR NEGARA Model interaksi antar negara dalam hal ini dipelejari studi kasus di EMU (European Minetary Union). Struktur model desain kebijakan fiskal moneter di EMU dipelajari pada [1] dan [2], dan [5]. Diasumsikan di EMU terdiri dari N blok negara
Dipresentasikan dalam Seminar Nasional MIPA 2007 dengan tema “Peningkatan Keprofesionalan Peneliti, Pendidik & Praktisi MIPA” yang diselenggarakan oleh Fakultas MIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 25 Agustus 2007
Salmah, Ari S, Ch. Rini I, Indah EW, Bagus S
dengan sebuah bank bersama, yaitu European Central Bank (ECB). Model mengabaikan interaksi eksternal dengan negara-negara non EMU, untuk penyederhanaan. Model memenuhi persamaan-persamaan y (t ) = δs (t ) − γr (t ) + ρy (t ) + ηf (t ) , p& (t ) = ξy (t ) ,
mi (t ) − pi (t ) = K i y i (t ) − λi i E (t ) , ⎛ − ∑ δ 1i ⎜ i∈n / 1 ⎜ δ 21 ⎜ δ = ⎜⎜ δ 31 ⎜ M ⎜ ⎜⎜ δ n1 ⎝
⎛ 0 ⎜ ⎜ s 21 s (t ) = ⎜ s31 ⎜ ⎜ M ⎜s ⎝ n1 ⎛ 0 ⎜ ⎜ ρ 21 ρ = ⎜ ρ 31 ⎜ ⎜ M ⎜ρ ⎝ n1 dengan
δ 12 −
∑δ
i∈n / 2
2i
δ 32
−
0 s 32
s 23
M sn2
ρ12 0
ρ 32 M
ρ n2
0 M sn3
δ 23
L
∑δ
3i
M
δ n2 s13
L
i∈n / 3
M
s12
δ 13
δ n3 L s1n ⎞ ⎟ L s2n ⎟ L s3n ⎟ , ⎟ O M ⎟ L 0 ⎟⎠
ρ13 L ρ1n ⎞ ⎟ ρ 23 L ρ 2 n ⎟ 0 L ρ 3n ⎟ , M
ρ n3
s ij (t ) = p j (t ) − p i (t ) ,
O L
⎟ M ⎟ 0 ⎟⎠
sij = − s ji ,
δ 1n
⎞ ⎟ δ 2n ⎟ ⎟ δ 3n ⎟⎟ , ⎟ M ⎟ − ∑ δ ni ⎟⎟ i∈n / n ⎠
L O L
⎛γ 1 0 ⎜ ⎜ 0 γ2 γ =⎜0 0 ⎜ M ⎜M ⎜0 0 ⎝
0 0
γ3 M 0
⎛η1 0 0 ⎜ ⎜ 0 η2 0 η = ⎜ 0 0 η3 ⎜ M M ⎜M ⎜0 0 0 ⎝ yj
L L L O L L L L O L
⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ γ n ⎟⎠ 0 0 0 M
0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ M ⎟ η n ⎟⎠
adalah keluaran real negara j,
sij menunjukkan tingkat persaingan negara j terhadap negara i, r j = i E (t ) − p& j (t ) ,
merupakan rata-rata penanaman modal, p j tingkat harga dan f j merupakan defisit fiskal di negara j ∈ {1,2}, dan i E nilai nominal modal bersama. Diasumsikan badan fiskal masing-masing negara meminimalkan fungsi objektif berbentuk kuadrat dengan tujuan akan meregulasikan inflasi, keluaran real, dan defisit fiskal yang berbentuk
102
Seminar Nasional MIPA 2007
M – 6 : Aplikasi Perainan Dinamis Linear Kuadratis Sistem Deskriptor ......
T
{
}
J i = ∫ α i p& i2 (t ) + β i y i2 (t ) + χ i f i 2 (t ) e −θt dt , i = 1,2 , 0
(1) dengan α i , β i , dan χ i konstanta. Fungsi objektif diambil berbentuk kuadratis, sebagai bentuk pendekatan yang cukup baik untuk sembarang fungsi non linear. Sedangkan variabel inflasi, keluaran real dan defisit fiskal adalah faktor-faktor standard yang paling berpengaruh pada masalah stabilisasi ekonomi makro ([1], [2], dan [5]). Sedang bank pusat bersama bertujuan meminimalkan T
{
}
J E = ∫ (α 1E p& 1 (t ) + α 2 E p& 2 (t ) ) + ( β1E y1 (t ) + β 2 E y 2 (t )) 2 + χ E i E2 (t ) e −θt dt , 2
0
i = 1,2 ,
(2) dengan α iE , β iE , dan χ iE konstanta. Untuk penyederhanaan diambil θ = 0 . Rata-rata inflasi dan keluaran dari kedua negara menggunakan ukuran relatif
{ω,1 − ω} , yaitu p& A (t ) = ωp& 1 + (1 − ω ) p& 2 dan y A (t ) = ωy1 + (1 − ω ) y 2 . Jika diambil vektor keadaan x = s maka dengan menyusun dan mereduksi persamaan-persamaan
di
atas
diperoleh
persamaan
s& = φ1 s(t ) + φ 2 f1 (t ) + φ3 f 2 (t ) + φ 4 i E (t ) , yang merupakan sistem biasa (lihat [1], [2], dan [5]).
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Model dinamis masalah ekonomi di EMU tersebut merupakan sistem berskala besar yang subsistemnya saling berkaitan. Untuk penyederhanaan penulisan akan dibahas
model
3
negara.
Jika
diambil
x = ( p1
p2
p3
s12
u = (i E
f1
f2
f 3 ) dan keluaran y = ( y1
s13 T
s 23
y1
y2
y3
m1 y2
vektor
m2
keadaan
m3 ) , T
vektor
deskriptor kontrol
y3 ) , maka persamaan dinamik T
model ekonomi di EMU dibawa menjadi sistem deskriptor secara natural yang berbentuk
Ex& = Ax + Bu ,
Matematika
103
Salmah, Ari S, Ch. Rini I, Indah EW, Bagus S
y = Cx ,
(3) Dengan mengambil state x pada sistem deskriptor diperoleh fungsi cost untuk blok negara ke i berbertuk blok diagonal sebagai berikut:
∫ (x
T
T
)
Qi x + Rii f i 2 (t ) dt ,
i=1,2,3
0
Sedang fungsi cost untuk bank pusat menjadi berbentuk
∫ (x
T
T
)
QE x + REE iE2 (t ) dt .
0
Terlihat bahwa model dinamis interaksi fiskal moneter N negara, dapat dibawa menjadi suatu permainan dinamis sistem deskriptor N pemain.
3.1 Penyelesaian optimal Nash
Untuk mencari penyelesaian optimal Nash [8] N pemain dibentuk masalah nilai eigen diperumum (dalam aplikasi tiga negara di EMU pada makalah ini berarti terdapat 4 pemain) ~ ~ A z = λE z . Misalkan U adalah vektor eigen diperumum.yang berhubungan dengan nilai eigen stabil. Untuk masalah nilai eigen diperumum akan diperoleh persamaan ~ ~ AU = EUW , Partisikan U sebagai [U 1 U 2 L U N +1 U N + 2 L U 2 N +1 ] . Jika rankE = r ≤ n maka E akan mempunyai (n-r) nilai eigen nol. Misalkan V1 adalah vektor eigen yang berhubungan dengan nilai-nilai eigen nol. Maka
EV1 = 0 . (5)
Misalkan V2 adalah matriks yang berhubungan dengan vektor-vektor eigen yang berhubungan dengan (n-r) nilai eigen nol dari E T . Maka diperoleh E T V2 = 0 . (6)
Diasumsikan matriks (U 1 V1 ) non singular. Dan diasumsikan matriks
104
Seminar Nasional MIPA 2007
M – 6 : Aplikasi Perainan Dinamis Linear Kuadratis Sistem Deskriptor ......
⎛ A − λE ⎜ ⎜ Q1 ⎜ M ⎜ ⎜ QN ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0
B1 0 0 0 R11 0 0
BN ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 ⎟. 0 0 ⎟⎟ O 0 ⎟ ⎟ 0 R NN ⎠ L 0
Mempunyai rank penuh. Maka kendali optimal Nash untuk N pemain memenuhi ⎛ H1 ⎞ ⎞ ⎛ K1 ⎞ ⎛ ⎛ U 2 ⎞ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜ h2 H 1 ⎟ ⎟ ⎜ K2 ⎟ ⎜⎜ U3 ⎟ −1 ⎜ M ⎟ = ⎜ ⎜ M ⎟ V2 ⎜ M ⎟ ⎟(U 1 V1 ) , ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜ h H ⎟⎟ ⎜ K ⎟ ⎜ ⎜U ⎟ ⎝ N +1 1 ⎠ ⎠ ⎝ N ⎠ ⎝ ⎝ N +1 ⎠
dengan H 1 , h2 ,L hN +1 bernilai sembarang.
Kesimpulan
Model persamaan dinamis masalah interaksi fiskal moneter N negara dapat dibawa secara natural menjadi sistem deskriptor. Fungsi objektif dapat dibawa menjadi bentuk kuadratis blok diagonal.
Ucapan Terimakasih
Tim penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya pada Program Insentif Riset Dasar Joint Research Internasional Kemmenristek tahun 2007 yang telah membiayai penelitian ini.
Daftar Pustaka [1] Aarle, B.Van, Engwerda, J.C., and Plasmans, J.E.J., Monetary and Fiscal Policy Interaction in EMU: A Dynamic Game Approach, Annals of Operations Research, 109, 229-264, 2002. [2] Engwerda, J.C., Aarle, B.Van and Plasmans, J.E.J., The infinite horizon open-loop Nash LQ game: An application to the EMU, Annals of Operations Research, 88, 251-273, 1999. [3] Engwerda, J.C., On the open-loop Nash Equilibrium in the LQ-games, Journal of Economic Dynamics and Control, 22, 729-762, 1998.
Matematika
105
Salmah, Ari S, Ch. Rini I, Indah EW, Bagus S
[4] Katayama, T., dan Minamino, K., 1992, Linear Quadratic Regular and Spectral Factorization for Continous Time Descriptor Systems, Proceedings of the 31st Conference on decision and Control, Tucson, Arizona, 967-972. [5] Plasmans, J.E.J., Engwerda, J.C., Aarle, B. van, Bartolomeo, G. di, & Michalak, T. ,Dynamic Modelling of Monetary and Fiscal Cooperation among Nations. New York: Springer-Verlag, 2006.
[6] Salmah, Bambang, S., Nababan, S.M., and Wahyuni, S., Non-Zero-Sum Linear Quadratic Dynamic Game with Descryptor Systems, Proceeding Asian Control Conference, Singapura, 1602-1607, 2002. [7] Salmah, Bambang, S., Nababan, S.M., and Wahyuni, S., Generalized Differential Riccati Equation For Two-Player Linear Quadratic Dynamic Game Descriptor System, Prosiding ICAM05 (International Conference on Applied Mathematics 2005), ITB, Bandung, 245253, 2005.
[8] Salmah, N-Player Linear Quadratic Dynamic Game for Descriptor System, SEAMS-GMU Conference, UGM, Yogyakarta, 2007 (dipresentasikan).
106
Seminar Nasional MIPA 2007
M – 6 : Aplikasi Perainan Dinamis Linear Kuadratis Sistem Deskriptor ......
Appendix
Persamaan deskriptor untuk interaksi fiskal moneter 3 negara berbentuk seperti persamaan (3) dengan ⎛ 1 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 E =⎜ ⎜− γ1 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝
0 1 0 0 0 0 0
−γ3 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
ξ1
0
0
ξ2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
ξ3
1 0 1 0 0 a12 0 b12 0 c12 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
a13
a 23
0 0 −1
b13 c13 0
b23 c 23 0
0 0
0 0
−γ2 0 0 0 0
⎛0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜0 0 ⎜ ⎜−1 1 ⎜−1 0 ⎜ ⎜ 0 −1 A=⎜ ⎜0 0 ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜1 0 ⎜ ⎜0 1 ⎜0 0 ⎝
0 1
a12 = −2δ 12 − δ 13 ,
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ρ 21 ρ 31 K1 0 0
a13 = −2δ 13 − δ 12 ,
b12 = δ 21 + δ 23 + δ 21 , b13 = −δ 23 + δ 21 , c12 = −δ 32 − δ 31 ,
Matematika
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ρ12
ρ13 − 1 ρ 23 ρ 32 − 1 0
0
K2 0
0 K3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎟ 0⎟ ⎟, 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎠ 0⎞ ⎟ 0⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 0 ⎟⎟ 0 0 0⎟ ⎟, 0 0 0⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ −1 0 0 ⎟ ⎟ 0 −1 0 ⎟ 0 0 − 1⎟⎠ 0 0
0 0
a 23 = −δ 13 + δ 12 , b23 = −δ 23 − δ 21 − δ 23 ,
c13 = δ 31 + δ 32 + δ 31 , c 23 = δ 31 + 2δ 32 ,
107
Salmah, Ari S, Ch. Rini I, Indah EW, Bagus S
⎛0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 B=⎜ ⎜η1 0 0 ⎜ 0 η2 0 ⎜ ⎜ 0 0 η3 ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 ⎝
108
T
0 ⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ 0 ⎟ ⎟ , dan C = ⎜ ⎟ . − γ1 ⎟ 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0⎟ −γ2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ −γ3 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜ 0 0 0⎟ − λ1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ − λ2 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ − λ3 ⎟⎠ ⎝ ⎠
Seminar Nasional MIPA 2007
