Prosiding
ISBN : 978-602-17339-0-5 Penggunaan Metode Bayesian Subyektif dalam Pengkonstruksian Grafik Pengendali-c
Sekar Sukma Asmaraa, Adi Setiawanb, Tundjung Mahatmac a Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga,
[email protected] b Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga,
[email protected] c Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga,
[email protected]
ABSTRAK Metode Bayesian Subyektif dapat digunakan untuk melakukan estimasi titik berdasarkan pada sampel dan informasi priornya. Grafik pengendali memberikan gambaran mengenai perilaku sebuah proses. Grafik pengendali digunakan untuk mengidentifikasi apakah sebuah proses yang berjalan dalam kondisi terkendali atau tidak. Pada makalah ini dijelaskan penggunaan metode Bayesian subyektif dalam pengkonstruksian grafik pengendali-c. Kata Kunci :
bayesian subyektif, prior, grafik pengendali
ABSTRACT Subjective Bayesian Method can be used for the point estimation based on the sample and its prior information. Control chart gives description about the performance of a process. It is also used to indicate whether a process is in controlled condition or not. The paper explains the usage of Subjective Bayesian Method in the construction of c-chart. Key Words :
subjective bayesian, prior, control chart
Pendahuluan Konsumen mempunyai ekspektasi yang besar terhadap produk yang dibelinya. Menurut Montgomery (1990), kualitas merupakan
jaminan
utama
konsumen
dalam memilih produk, oleh karena itu dalam
setiap
pembelian
konsumen
mengharapkan produk-produk yang bebas
dari cacat. Menurut Prawirosentono (2007), konsumen
yang
membeli
produk
berorientasi pada kualitas, pada umumnya mempunyai loyalitas produk yang besar dibandingkan membeli
dengan
produk
konsumen
berdasarkan
yang harga,
sehingga mereka akan selalu membeli produk tersebut
(repurchase). Dengan
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012
107
Prosiding
ISBN : 978-602-17339-0-5
demikian kualitas menjadi kunci sebuah
menaksir parameter suatu proses produksi,
bisnis dalam menentukan keberhasilannya,
menentukan
karena
berkualitas
memberikan informasi yang berguna dalam
mempunyai daya saing tinggi dengan
meningkatkan proses itu (Montgomery,
produk lain yang sejenis. Selain itu,
1990 : 120).
produk
yang
peningkatan kualitas sering kali disertai
kemampuan
proses,
dan
Grafik pengendali terdiri dari nilai
dengan penurunan biaya produksi, karena
karakteristik
dapat meminimalisasi produk-produk yang
(centerline) yang merupakan nilai rata-rata
rusak.
proses
karakteristik kualitas, batas pengendali atas
variabilitas
(upper control limit), dan batas pengendali
sehingga diperlukan pengendalian proses
bawah (lower control limit). Dengan
statistik
menyingkirkan
demikian dapat diketahui apakah nilai
variabilitas dalam proses. Salah satu alat
karakteristik kualitas termasuk daerah yang
yang efektif untuk mengurangi variabilitas
diterima (accepted area) atau daerah
adalah grafik pengendali. Dalam penelitian
ditolak
ini,
Gambar
Namun
produksi,
dalam
terdapat
yaitu
akan
banyak
banyak
untuk
kualitas,
(rejected
area)
statistik,
pada
grafik
( -chart)
dengan
memperoleh tingkat kepercayaan sebesar
menggunakan metode Bayesian subyektif,
, digunakan batas toleransi sebesar
sehingga dapat diidentifikasi apakah proses
Dalam
seperti
tengah
dikonstruksikan
pengendali-c
1.
garis
untuk
3 kali deviasi standar.
terkendali atau tidak. Hasil identifikasi tersebut digunakan sebagai acuan sebuah perusahaan perbaikan
mengambil dalam
tindakan
pengendalian
Grafik Pengendali-c Klasik
dan
Grafik pengendali-c mengganggap
proses
bahwa terjadinya ketidaksesuaian dalam
produksi.
sampel-sampel
berukuran
tetap
dapat
dimodelkan dengan distribusi Poisson, dengan fungsi probabilitas
Dasar Teori Grafik pengendali adalah teknik pengendali
proses
pada
jalur
yang
digunakan secara luas untuk pengendalian kualitas, yang dapat digunakan untuk Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012
108
Prosiding
ISBN : 978-602-17339-0-5
Gambar 1. Diagram Shewhart
mengikuti distribusi Poisson dengan fungsi probabilitas = banyaknya ketidaksesuaian, = parameter distribusi Poisson, dengan
mean
parameter
dan
variansi
dan fungsi likelihood adalah
. Jika nilai standar tidak
diberikan maka
dapat ditaksir dengan
banyak ketidaksesuaian diamati
adalah
rata-rata
yang
, sehingga diperoleh batas-batas
pengendali (1)
(Montgomery 1990 : 169). Grafik Pengendali-c dengan Metode Bayesian Subyektif Banyaknya cacat atau tak sesuai
dengan
.
Distribusi keluarga
konjugat
Gamma distribusi
merupakan Poisson,
sehingga fungsi kepadatan probabilitas
yang terjadi dalam unit pemeriksaan Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012
109
Prosiding priornya
ISBN : 978-602-17339-0-5
berdistribusi
Gamma
dengan fungsi densitas . Parameter prior
yang
dan
dipilih,
pada distribusi merepresentasikan
penilaian subyektif peneliti. Salah satu metodenya
adalah
berdistribusi paramater
memilih
Gamma Gamma
.
prior Dipilih
yang
cocok
Gamma Estimator Bayes dapat digunakan sebagai sehingga
dengan keyakinan prior berdasarkan mean dan deviasi standarnya adalah Batas
dan
dihitung sehingga
dan dan dipilih jarak minimum anatara
dan
dengan tingkat signifikansi .
dengan
Metode Penelitian dan
Untuk
melukiskan
grafik
pengendali-c, data yang digunakan adalah data contoh banyaknya ketidaksesuaian (Darmanto). Oleh karena itu estimator
dalam sampel
Bayes
yang diambil dari studi literatur.
sama
dengan
rata-rata
ketidaksesuaian pada grafik pengendali-c klasik.
papan untaian tercetak
Hal pertama yang dilakukan dalam penelitian ini adalah melukiskan grafik
Distribusi posterior dihitung dengan
pengendali-c
klasik.
Metode
bayesian
mengalikan distribusi prior dengan fungsi
subyektif
likelihood distribusi sampelnya yaitu
mengestimasi titik dalam hal ini batas-
dapat
digunakan
untuk
batas pengendali yang kemudian digunakan Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012
110
Prosiding untuk
ISBN : 978-602-17339-0-5
melukiskan
grafik
pengendali-c
dengan prior Gamma Gamma yang
Untuk
dan prior
dengan parameter
cocok
Grafik Pengendali-c Klasik
dengan
keyakinan
dan prior
menentukan
pengendali digunakan persamaan
batas , oleh
karena itu diperoleh
berdasarkan mean dan deviasi standarnya.
Hasil dan Pembahasan
pengendali-c, seperti pada Tabel 1. Tabel 1. Data Banyak Ketidaksesuaian dalam Sampel dengan 100 papan untaian tercetak. No. Sampel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Banyaknya Ketidaksesuaian 21 24 16 12 15 5 28 20 31 25 20 24 16 19 10 19 13 22 18 39 30 24 16 19 17 15
demikian
pengendali-c
klasik
diperoleh pada
grafik
Gambar
2.
Berdasarkan Gambar 2 diperoleh batas pengendali yang simetri dan terdapat 2 titik yang out of control.
c-chart klasik
40
untaian tercetak digunakan pada grafik
dengan
30
papan
20
ketidaksesuaian dalam sampel
Banyak Ketidaksesuaian
banyaknya
10
contoh
0
Data
0
5
10
15
20
25
Nomor Sampel
Gambar 2. Grafik Pengendali-c Klasik
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012
111
Prosiding
ISBN : 978-602-17339-0-5
Grafik Pengendali-c dengan Metode
Gambar 3 terdapat 18 sampel yang out of
Bayesian Subyektif
control.
Berdasarkan data diperoleh bahwa
c-chart Bayesian subyektif
30 20
diperoleh 0
, dari persamaan
dan
10
Secara subyektif dipilih
Banyak Ketidaksesuaian
40
dan
distribusi posterior
0
5
10
15
20
25
Nomor Sampel
Gambar 3. Grafik Pengendali-c dengan Prior Gamma . Untuk
menentukan
persamaan
digunakan
sehingga
Salah satu metode untuk memilih parameter dan dan
dan ditentukan persamaan
dan
dan
, digunakan persamaan
untuk membantu menentukan yaitu
dengan
dengan
. Hasil
perhitungan dengan menggunakan program
dan
R diperoleh
, yang digunakan untuk melukiskan batas pengendali
pada
grafik
seperti pada Gambar 3.
pengendali-c,
Dengan menggunakan persamaan
dan
diperoleh
Berdasarkan
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012
112
Prosiding
ISBN : 978-602-17339-0-5
20 10
Banyak Ketidaksesuaian
dan
30
40
c-chart Bayesian subyektif
menggunakan persamaan
, sehingga
0
Distribusi posterior ditentukan dengan 0
diperoleh
5
10
15
20
25
Nomor Sampel
Gambar 4. Grafik Pengendali-c dengan Prior Gamma . Untuk
menentukan
persamaan
digunakan
Studi simulasi dilakukan dengan cara membangkitkan sampel dengan ukuran
sehingga
besar
(misalkan diambil
dari distribusi Poisson dengan parameter . dan ditentukan persamaan
dan dengan
Sampel
tersebut
dengan
digunakan dalam pengkonstruksian grafik
. Hasil
pengendali-c klasik (Metode 1), grafik
perhitungan dengan menggunakan program
pengendali-c dengan prior Gamma
R diperoleh
(Metode
2),
dengan
prior
(Metode
3).
,
dan
grafik
pengendali-c
Gamma Oleh
karena
itu
dapat
yang digunakan untuk melukiskan batas
ditentukan proporsi titik-titik sampel yang
pengendali
pengendali-c,
out of control. Hasil tersebut dinyatakan
Berdasarkan
pada Tabel 2, Tabel 3, dan Tabel 4.
pada
grafik
seperti pada Gambar 4.
gambar di atas terdapat 18 sampel yang out of control.
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012
113
Prosiding
ISBN : 978-602-17339-0-5
Tabel 2. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yang out of control untuk metode 1. No.
Metode 1
Tabel 3. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yang out of control untuk metode 2 No.
Tabel 4. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yang out of control untuk metode 3.
Metode 2
No.
Metode 3
Hasil proporsi titik yang out of control dari grafik pengendali-c klasik jauh berbeda dengan hasil proporsi titik yang out of control dari grafik pengendali-c dengan menggunakan metode Bayesian subyektif untuk Untuk
dan
dan
yang dipilih.
yang lain akan diperoleh
hasil proporsi titik-titik sampel yang out of control hampir sama.
Kesimpulan Dalam
bab
sebelumnya
telah
dijelaskan penggunaan metode Bayesian subyektif dalam pengkonstruksian grafik pengendali-c, dengan prior berdistribusi Gamma. Dalam makalah ini dipilih secara subyektif distribusi prior Gamma prior
Gamma
dan yang
cocok dengan keyakinan prior berdasarkan Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012
114
Prosiding
ISBN : 978-602-17339-0-5
mean dan deviasi standarnya. Distribusi posterior diperoleh dari distribusi sampel dan distribusi prior. Hasil proporsi titik yang out of control dari grafik pengendali-c klasik mendekati nilai yang diharapkan yaitu
.
Sedangkan
hasil
proporsi titik yang out of control dari grafik
pengendali-c
dengan
metode
Bayesian subyektif jauh dari nilai yang diharapkan.
Pustaka Montgomery, D.C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Alih bahasa: Zanzawi Soejoeti. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada. Prawirosentono, S. 2007. Filosofi Baru Tentang Manajemen Mutu Terpadu Abad 21, Edisi Kedua. Jakarta : Bumi Aksara. Setiawan, A. 2012. Penggunaan Metode Bayesian Obyektif dalam Pembuatan Grafik Pengendali p-chart. Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA, UNY Yogyakarta Web 1 : Darmanto, Estimasi Parameter, Blog Statistika, http://statistikanyadarmanto.lecture.u b.ac.id/materi-kuliah/
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012
115
