Propeller és axiális keverő működési elve

BME Hidrodinamikai Rendszerek tanszék www.hds.bme.hu Áramlástechnikai tervezés

Propeller és axiális keverő működési elve A propeller egy axiális átömlésű járókerék, amit tolóerő létesítésére használnak repülőgépek, hajók hajtására. A propeller nyugvó folyadékban halad előre, a propellerhez kötött koordinátarendszerben tehát a propeller áll és a folyadék mozog a propeller felé, illetve azon áthaladva távolodik tőle. A propellert egy ún. hatótárcsával (actuator disc) helyettesíthetjük. Axiális átömlésű keverő, vagy asztali ventilátor esetén a keverő-, ill. járókerék áll és a folyadék áramlik az abszolút rendszerben ugyanúgy, mint a propeller esetén a relatív rendszerben. p0

ható-tárcsa

v1 v2 P0

p1

v3

p2

p0 csúszó áramvonal

P2

p0

p0

P1

Az ábra felső részén a propellert helyettesítő tárcsa és a rajta átáramló közeget határoló forgásszimmetrikus áramfelület metszetgörbéje látható. Ez a határ-áramvonal ún. csúszó áramvonal, tehát rajta tangenciális sebességugrás lehetséges. A folyadék baloldalt lép be v1 relatív sebességgel (valójában a propeller halad balra –v1 sebességgel a nyugvó közegben). Ebben a keresztmetszetben a relatív sebesség az áramcső belsejében és azon kívül megegyezik, mint a sebességeloszlás ábrája mutatja. Az áramcsőben a közeg a propellerhez képest felgyorsul és a jobb oldalon v3 > v1 sebességgel távozik, míg az áramcsövön kívül a relatív sebesség végig v1. Ennek megfelelően kívül a nyomás végig állandó, p0, míg belül változik, a propellert helyettesítő tárcsán p1-ről p2-re nő, de az áramcsőből való folyadékkilépés keresztmetszetében már ismét p0. Feltesszük, hogy a sebesség változása az áramcsőben folytonos a tárcsán keresztül is, míg a nyomás ott ugrásszerűen nő. Az áramló folyadékra felírható egyenletek a következő feltevéseken alapulnak. • az áramlás stacionárius a propellerhez kötött rendszerben • a közeg összenyomhatatlan, sűrűsége ρ = áll. • a közeg súrlódás mentes • a nehézségi erőtér elhanyagolható • az axiális sebesség bármely szelvényben állandó • a radiális sebesség zérus

2015. 09. 24.

1


A kontinuitási egyenlet: (1) m! = ρAv = áll. Ez a képlet az áramcső bármely szelvényében a megfelelő indexekkel felírható. A keresztmetszetek indexe egyezzék meg az ábrán látható sebességek indexével. A tolóerő ellentett ereje, azaz a tárcsára ható erő a nyomáskülönbségből számítható, az ábra jelöléseivel és a keresztmetszetet a fenti módon indexelve: (2) F = ( p2 − p1 )A2 . Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet az áramcső eleje és a tárcsa előtti pont között:

p0 +

ρ 2

2

v1 = p1 +

ρ 2

2

v2 .

(3)

Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet a tárcsa utáni pont és az áramcső vége között:

p2 +

ρ 2 ρ 2 v 2 = p0 + v 3 . 2 2

(4)

Fejezzük ki a (4) egyenletből p2-t, a (3) egyenletből a p1-et és írjuk be értéküket a tolóerő (2) egyenletébe, ekkor azt kapjuk, hogy: v + v1 ρ 2 2 (5) (v 3 − v1 )A2 . F = v 3 − v1 A2 = ρ 3 2 2

(

)

Ezek után keressünk egy másik egyenletet a tárcsára ható erőre, ez az egyenlet az ábrán látható forgásfelülettel határolt folyadékra felírt impulzus-tétel. Az áramcsövön kívül feltevésünk szerint a nyomás mindenütt azonos a p0 külső nyomással, a térerőt elhanyagoltuk, továbbá a folyadék súrlódásmentes. Ezek miatt az áramfelületbe, mint ellenőrző felületbe zárt folyadékra a tárcsán kívül más külső erő nem hat. Az áramlás stacionárius voltát is figyelembe véve a belépő, illetve kilépő folyadék impulzusának különbségét tehát csak a tárcsa által a folyadékra kifejtett erő okozhatja. (6) m! v1 + F − m! v 3 = 0 . Innen az F erőt kifejezve és az (5) egyenlet bal oldalával egyenlővé téve kapjuk, hogy v + v1 (7) (v 3 − v1 ), m! (v 3 − v1 ) = ρA2 v 2 (v 3 − v1 ) = F = ρA2 3 2 ahol a bármely szelvényben azonos tömegáramot a tárcsa szelvényében számítható m! = ρA2 v 2 értékkel helyettesítettük be a képletbe. A (7) egyenletből egyszerűsítés után azt kapjuk, hogy a v2 sebesség a v1 és v3 sebesség számtani átlagával azonos. v + v3 . (8) v2 = 1 2 Az 1, 2, 3 szelvényre felírt kontinuitási egyenletből pedig ezek után az adódik, hogy

1 1 ⎛ 1 1 ⎞ . = ⎜ + ⎟ A2 2 ⎝ A1 A3 ⎠

(9)

Jelöljük ezek után a további írásmód megkönnyítésére az áramcsőbeli sebességnövekedést Δv-vel, Δv = (v 3 − v1 ) , ahonnan a (8) képletet is felhasználva Δv . (10) v 2 = v1 + 2

2015. 09. 24.

2


Írjuk fel az áramcsövön átáramló folyadékba minimálisan bevezetendő hidraulikai teljesítményt, ami a tömegáram és a tömegegységre vonatkozó mozgási energia-változás szorzatával egyenlő: ⎛ v 2 v 2 ⎞ ⎛ Δv ⎞ ! Δv ⎞ Pbe = m! ⎜ 3 − 1 ⎟ = m! (v 3 − v1 )v 2 = m! Δv ⎛⎜ v1 + (11) ⎟ . ⎟ = mΔv v1 ⎜1 + ⎜ 2 ⎟ 2 2 ⎠ 2v1 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ Az ebből a hidraulikai teljesítményből a propeller által hasznosított teljesítmény a v1 haladási sebesség és az F nagyságú tolóerő szorzataként számítható ki:

Ph = v1 F = v1m! (v 3 − v1 ) = v1m! Δv .

(12)

Végül a hatásfok a hasznosított (12) és a bevezetendő (11) teljesítmény hányadosa:

η=

Ph = Pbe

1 1+

Δv

.

(13)

2 v1 A (13) képletből látható, hogy a hatásfok csak akkor lehetne 100%, ha • a Δv sebesség-növekedés zérus lenne – ehhez előírt tolóerő esetén végtelen nagy propellerre lenne szükség, vagy ha • a haladási sebesség lenne végtelen nagy – ennek pedig a járművet körülvevő közeg szab határt. Cseppfolyós folyadék esetén kavitációs problémák jelentkeznek. Levegő esetén pedig gázdinamikai problémákat kell megoldani. Levegő esetén ma már azonban a Maszám többszörösének megfelelő sebességgel haladhatnak légi járművek. Propellerek tényleges hatásfokát mérésekkel lehet meghatározni és a mért hatásfokot a J fajlagos propulziós (toló) sebesség függvényében szokás ábrázolni. A fajlagos sebesség definíciója – n a propeller másodpercenkénti fordulatszáma, D a propeller átmérője – v (14) J= 1 nD Jó propellerek esetén a hatásfok maximuma a J = 0,85 érték körül van, ekkor a hatásfok repülőgép légcsavarok esetén eléri a 80 %-ot, míg hajócsavarok esetén megközelíti a 70 %-ot. Számpélda Határozzuk meg egy 180 km/h (= 50 m/s) sebességű mezőgazdasági repülőgép propellerátmérőjét. A repülőgép törzsének a repülés irányára merőleges keresztmetszete a kerekekkel együtt 9 m2, átlagos ellenállás-tényezője 0,35. (A szárnyak ellenállása az egy nagyságrenddel kisebb ellenállás-tényező miatt elhanyagolható.) A szükséges tolóerő ρ 2 1,2 2 F = c e l v1 Ar = 0,35 50 9 = 4725 N . 2 2 Mivel Jopt = 0,85, így

2015. 09. 24.

n D = v1 / Jopt = 50 / 0,85 = 58,8 m/s.

3


Az η = 0,8 értékű hatásfokhoz a (13) képlet szerint ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ Δv = 2v1 ⎜ − 1⎟ = 2 ⋅ 50⎛⎜ − 1⎟ = 25 m/s η 0 , 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ sebességnövekedés szükséges. Így v2 = 50 + 12,5 = 62,5 m/s, v3 = 50 + 25 = 75 m/s. Az F tólóerőhöz a (7) egyenlőség szerint F 4725 m! = = = 189kg / s Δv 25 tömegáram szükséges. Ez a tömegáram halad át a propelleren, aminek keresztmetszete az (1) kontinuitásból 2 m! A2 = = 2,52 m , ρv 2 így a propeller átmérője D = képletből n =

4 A2

π

= 1,79 m . A szükséges motor-fordulatszám a (14)

v1 = 32,84 /s = 1970 /min . JD

A propeller mögötti repülőgép rész ellenállása a megnövekedett v3>v1 sebesség miatt nagyobb, mint amivel számoltunk. Az (1) kontinuitásból A3 = 2,1 m2, tehát a megnövekedett sebességű sugárban haladó törzsrész a teljes felület mintegy 20 %-a. A hasznos propeller teljesítményt a (12) képletből számíthatjuk ki: Ph = v1 F = 50 ⋅ 4725 = 236 kW . A bevezetendő teljesítmény pedig a megvalósítandó propeller-hatásfokkal Pbe = Ph / η = 236 / 0,8 = 295 kW . Nyilván ugyanennyit kapunk a (11) egyenletsor első egyenletéből is. Valóban 2

Pbe = m!

2

2 2 v 3 − v1 75 − 50 = 189 = 295 kW . 2 2

Az axiális lapátos ún. propellerkeverők működésű elve valójában azonos az asztali szellőző ventilátorokéval. Mivel a lapátokat nem veszi körül egy gyűrű alakú ház, így nem tekinthetők igazi ventilátornak, illetve axiálszivattyúknak. A lapátok hossza mentén nem biztosítható végig előírt perdület-növekedés eloszlás. A lapátok végén a véges szárnyakra jellemző szekunder örvények miatt nyomáskülönbség nem jön létre. A különbség a propellerekhez képest abban áll, hogy messze a keverő előtt a közeg áll, így a v1 sebesség zérus, ami azt is jelenti, hogy az A1 keresztmetszetnek végtelen nagynak kell lennie. A kontinuitási egyenlet ismét: (21) m! = ρA2 v 2 = ρA3 v 3 = áll. A tolóerő ellentett ereje, azaz a tárcsára ható erő a nyomáskülönbségből számítható, az első ábra jelöléseivel és a keresztmetszetet a korábbi módon indexelve: (22) F = ( p2 − p1 )A2 . A Bernoulli-egyenlet a nyugvó közeg és a tárcsa előtti pont között:

2015. 09. 24.

4


p 0 = p1 +

ρ 2

2

v2 .

(23)

A Bernoulli-egyenlet a tárcsa utáni pont és az onnan leúszó áramcső vége között:

p2 +

ρ 2 ρ 2 v 2 = p0 + v 3 . 2 2

(24)

Fejezzük ki a (24) egyenletből p2-t, a (23) egyenletből a p1-et és írjuk be értéküket a tolóerő (22) egyenletébe, ekkor azt kapjuk, hogy:

F= Az impulzus-tétel alakja most:

ρ

2

v 3 A2 .

(25)

F − m! v 3 = 0 .

(26)

2

Innen az F erőt kifejezve és a (25) egyenlet bal oldalával egyenlővé téve kapjuk, hogy

ρ 2 m! v 3 = ρA2 v 2 v 3 = F = A2 v 3 , 2

(27)

ahol a bármely szelvényben azonos tömegáramot a tárcsa szelvényében számítható m! = ρA2 v 2 értékkel helyettesítettük be a képletbe. A (27) egyenletből egyszerűsítés után azt kapjuk, hogy a v2 sebesség a v3 sebesség fele. v (28) v2 = 3 . 2 Írjuk fel a keverőn átáramló folyadékba minimálisan bevezetendő hidraulikai teljesítményt, ami a tömegáram és a tömegegységre vonatkozó mozgási energia-változás szorzatával egyenlő: 2

v Pbe = m! 3 . 2

(29)

A keverő, mint ventilátor hasznos teljesítménye a térfogatáram és a keverőtárcsa által létesített nyomáskülönbség szorzata, utóbbi az F erő és az A2 felület hányadosa: 2

Ph = QΔp =

v m! F = m! 3 . ρ A2 2

(30)

Végül a hidraulikai hatásfok a hasznosított (30) és a bevezetendő (29) hidraulikai teljesítmény hányadosa: P (31) η = h = 1. Pbe Ez azt jelenti, hogy az elérhető ideális hidraulikai hatásfok 100% lenne. Ez azonban csak súrlódásmentes folyadékáramlás esetén lenne így. A valóságban az sem igaz, hogy a nyomáskülönbség a keverő kerületén is akkora, mint amit a fenti gondolatmenetben figyelembe vettünk. Propeller keverők becsült hidraulikai hatásfoka 60 %. A keverő összhatásfokát a mechanikai veszteségek tovább csökkentik.

2015. 09. 24.

5


A keverő lapátok kerületi iránnyal bezárt szögének ismeretében felrajzolható a sebességi háromszög ha feltételezzük, hogy a keverő a tervezett üzemállapotban dolgozik. A kerületi sebesség és az axiális, v2-vel jelölt sebesség hányadosa közel azonos kell legyen a lapátszög tangensével.

v2 β uker ∼ D n

Ekkor tehát írható, hogy

v 2 = konst Dn .

(32)

A tömegáramot a (21) képletben ugyancsak a kerületi sebességgel kifejezve írhatjuk, hogy 2 m! = ρA2 v 2 = konst ρD Dn , ezt és a (32) összefüggést beírva a (29) képletbe, kapjuk, hogy 5 3

(33) Pbe = KρD n a keverő hidraulikai teljesítményigénye. A K szám függ a keverő kialakításától, a reaktor edény alakjától és méreteitől, továbbá a Reynolds számtól, amit keverők esetén ugyancsak az n fordulatszám és a keverő D átmérője segítségével írunk fel, µ a dinamikai viszkozitás. ⎛ ρnD 2 ⎞ K = K (Re, geometria ) = K ⎜ , geometria ⎟ . ⎜ µ ⎟ ⎝ ⎠ A kis Reynolds számú tartományban K arányos a Re-szám reciprokával, nagy Re-számok esetén egy a típustól és geometriától függő állandó értékhez tart. A keverőpropellerből kilépő folyadéksugár turbulens disszipációja a szabad sugarakra megismert módszerrel írható le. Ezzel a két módszer összekapcsolása becslést adhat olyan keverő, keverő-reaktor (edény) párok előzetes áramlástani elemzésére, amelyekre nem állnak rendelkezésre kísérleti tapasztalatok.

2015. 09. 24.

6

Propeller és axiális keverő működési elve

Recommend Documents