Prológus Mi a matematika?

© Typotex Kiadó

Prolo ´ gus – Mi a matematika?

Nem csak a sza ´ mok Mi a matematika? Ha e ke´rde´st nekiszegezzu ¨ k valakinek, feltehet˝ oen a ko ¨vetkez˝ o va´laszt kapjuk: „A matematika a sza´mokat vizsga´lja.” Ha nem hagyjuk ennyiben, s arra is kı´vańcsiak vagyunk, mife´le vizsga´lat ez, az illet˝ o talań pontosı´tja va´lasza´t: „A matematika a sza´mok tudomańya.” De enne´l to ¨bbre nemigen juthatunk – holott „definıćio ńk” ma´r legala´bb ke´tezer-o ¨tsza´z e´ve ideje´t mu ´ lta! Nehezen va´rhato ´ el teha´t, hogy a nem bennfentes átlagember felismerje: valo ´ja´ban vila´gme´ret˝ u, folytonos, aktı´v kutato ´munka´ro ´l van szo ´, mikeńt az sem, hogy elismerje, e kutato ´munka eredmeńyei e´letu ¨ nk legku ¨ lo ¨nfe´le´bb teru ¨ letein hagytak e´s hagynak maradando ´ nyomot. A to ¨rteńelem folyamań a matematika mibenle´te´t firtato ´ ke´rde´sre a legku ¨ lo ¨nfe´le´bb va´laszok szu ¨ lettek. Hozza´vet˝ olegesen Kr. e. 500-ig a – babiloni e´s egyiptomi – matematika teńylegesen a sza´mok tudomańya volt, „szakaćsko ¨nyv-szer˝ u”, sza´mola´si receptekre szakosodott tudomańy. („Vedd ezt e´s ezt a sza´mot, tegye´l vele ezt, azt, amazt – s megkapod a helyes va´laszt.”) A Kr. e. 500 ko ¨ru ¨ l kezd˝ od˝ o mintegy nyolc e´vsza´zad a go ¨ro ¨g matematika vira´gkora, az e´rdekl˝ ode´s ko ¨ze´ppontja´ba ekkor a geometria keru ¨ lt, s a sza´mokat is geometriai mo ´don, bizonyos szakaszok hosszakeńt e´rtelmezte´k; mikor pedig felfedezte´k, hogy sza´mfogalmuk ele´gtelen ahhoz, hogy segı´tse´ge´vel minden lehetse´ges – irraciona´lis – hosszu ´ sa´got kifejezzenek, el is fordultak az aritmetika´to ´l. A go ¨ro ¨go ¨k szeme´ben a matematika ma´r a sza´mok és a geometriai alakzatok tudomańya volt. A go ¨ro ¨g korszak legjelent˝ osebb u ´ jdonsa´ga azonban az, hogy a mindaddig a me´re´s, a sza´mola´s e´s elsza´mola´s ku ¨ lo ¨nfe´le technikaínak gy˝ ujtemeńyekeńt sza´mon tartott matematika valo ´di tudomańnya´, me´ghozza´ vonzo ´ e´s izgalmas tudomańnya´ va´lt. A go ¨ro ¨go ¨k ma´r nem csupań a hasznossa´got tisztelte´k: felismerte´k mate-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

10

Prolo ´gus – Mi a matematika?

matikai eredmeńyeik eszte´tikai e´rte´ke´t, mi to ¨bb, a legszebb te´teleknek misztikusvalla´si jelent˝ ose´get tulajdonı´tottak. Thale´szt˝ ol ered a meggy˝ oz˝ ode´s, mely szerint a pontosan kimondott állı´ta´sokat forma´lis-logikai bizonyı´ta´snak kell ala´ta´masztani, a megtisztel˝ o te´tel cı´met csak ´gy ı e´rdemelhetik ki. E felfoga´s azo ´ta – mondanunk sem kell – a matematika soha ke´tse´gbe nem vont sarokko ¨ve´ve´ va´lt. A go ¨ro ¨g matematika csu ´ cspontja az Euklide´sz által o ¨sszea´llı´tott Elemek, minden id˝ ok ma´sodik legsikeresebb ko ¨nyveńek megjelene´se. (Az els˝ o terme´szetesen a Biblia.) A matematika mozga ´ sba lendu ¨l Ta´rgyunkban ege´szen a tizenhetedik sza´zad ko ¨zepeíg nem to ¨rteńt jelent˝ osebb el˝ orele´pe´s, amikor is Newton e´s Leibniz – egyma´sto ´l fu ¨ ggetlenu ¨ l – kidolgozta´k az analı´zis, a mozga´s e´s a va´ltoza´s matematikai tudomańyańak alapjait. A matematika, amely addig szinte kiza´ro ´lag statikusnak tekinthet˝ o ke´rde´sekkel – sza´mola´s, me´re´s, alakzatok leı´ra´sa – foglalkozott, ezt ko ¨vet˝ oen ma´r olyan jelense´gek leı´ra´sa´ra is alkalmassa´ va´lt, mint a bolygo ´mozga´s, a szabadese´s, a folyade´ka´ramla´s, a ga´zok kita´gula´sa, az elektromossa´g e´s a ma´gnesse´g hata´sai, a repu ¨ le´s, az állatok e´s a no ¨veńyek szaporoda´sa, a ja´rvańyok kito ¨re´se vagy a nyerese´g id˝ obeli ingadoza´sa. Newton e´s Leibniz utań a matematika meghata´roza´sa ma´r ´gy ı szo ´lt: a sza´mok, a geometriai alakzatok, valamint a mozga´s, a va´ltoza´s és a te´r tudomańya. Az analı´zis elme´leteńek kidolgoza´sa sorań a f˝ o inspiraćio ´ a fizika teru ¨ lete´r˝ ol e´rkezett, a korszak nagy matematikusai egyszersmind a korszak nagy fizikusai is voltak. A tizennyolcadik sza´zad ko ¨zepe´t˝ ol azonban, mid˝ on a legnagyobb elme´k pro ´ba´lta´k felderı´teni, mi állhat a differencia´l- e´s integra´lsza´mı´ta´s sze´du ¨ letes sikerei mo ¨go ¨tt, a matematika „alanyi jogon” is az e´rdekl˝ ode´s ko ¨ze´ppontja´ba keru ¨ lt. ´ jjaé´ledt a go U ¨ro ¨g felfoga´s, mely mindennek ele´be a forma´lis bizonyı´ta´st helyezte. A tizenkilencedik sza´zad ve´ge´re a matematika meghata´roza´sa ennek megfelel˝ oen u ´ jra mo ´dosult: a sza´mok, a geometriai alakzatok, a mozga´s, a va´ltoza´s e´s a te´r, valamint az ezek vizsga´lata´ban alkalmazott matematikai arzena´l tudomańya. A huszadik sza´zadban a matematika robbana´sszer˝ u fejl˝ ode´sen ment keresztu ¨ l. 1900 ko ¨ru ¨ l a matematikai ismereteket mintegy nyolcvan ko ¨nyvben o ¨ssze lehetett volna foglalni – napjaink matematika´ja legala´bb sza´zezer ko ¨tetet megto ¨ltene. Az eredmeńyek nem csupań a re´giek u ´ j sarjai: a szıńen sza´mos, teljesen u ´ j tudomańya´g is megjelent. 1900-ban a matematikańak hozza´vet˝ olegesen tucatnyi ága´t ismerte´k, to ¨bbek ko ¨zo ¨tt az aritmetika´t, az analı´zist vagy a geometria´t – manapsa´g a tudomańy teljes katalogiza´la´sa´hoz legala´bb hatvan cı´mke´re lenne szu ¨ kse´gu ¨ nk. Re´gebbi, egykor egyse´ges tudomańya´gak, mint az algebra vagy a topolo ´gia, re´szteru ¨ letekre szakadtak, s olyan vadonatu ´ j teru ¨ letek jelentek meg a szıńen, mint pe´ldaúl a bonyolultsa´gelme´let vagy a dinamikus rendszerek elme´lete.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A minta´zatok tudomańya

11

A minta ´ zatok tudoma ´ nya Ha figyelembe vesszu ¨ k a tudomańy fejl˝ ode´seńek le´legzetela´llı´to ú ¨ teme´t, a mi a matematika? ke´rde´sre csupań egy butaćska va´lasz kıńa´lkozik: mindaz, aminek m˝ uvele´se´b˝ ol a matematikusok mege´lnek. Vannak olyanok is, akik szerint a matematika´t nem a ta´rgya, hanem a mo ´dszerei teszik egyedu ¨ la´llo ´va´. Az uto ´bbi harminc e´v sorań azonban tanu ´ i lehettu ¨ nk azon ne´zet te´rnyere´seńek, amelyhez manapsa´g a matematikusok to ¨bbse´ge boldogan adja a neve´t: eszerint a matematika a minta´zatok tudomańya. A matematikusok az absztrakt – numerikus, geometriai, a mozga´sban, a viselkede´sben, a va´laszta´sok eredmeńye´ben vagy ve´letlenszer˝ u jelense´gek isme´tl˝ ode´se´ben megnyilvańulo ´ – minta´zatokat tanulmańyozza´k. A valo ´s vagy ke´pzelt, statikus vagy dinamikus, mennyise´gi vagy min˝ ose´gi jelleg˝ u minta´zatok ne´melyikeńek komoly gyakorlati jelent˝ ose´ge is van, de olyan is akad, melynek vizsga´lata nem to ¨bb kellemes e´s szo ´rakoztato ´ id˝ oto ¨lte´sne´l. Sza´rmazhatnak e minta´zatok a bennu ¨ nket ko ¨ru ¨ lvev˝ o vila´gbo ´l, a te´r vagy az id˝ o, de aka´r elmeńk me´lyse´geib˝ ol is. A ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o minta´zatok vizsga´lata´ra a matematika ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o ágai szakosodtak, pe´ldańak okaé´rt: – – – – – –

az aritmetika e´s a sza´melme´let a sza´mok e´s a sza´mla´la´s, a geometria a legku ¨ lo ¨nfe´le´bb alakzatok, az analı´zis a mozga´s e´s a va´ltoza´s, a logika a vila´gos gondolkoda´s, a valo ´szıń˝ use´gsza´mı´ta´s a ve´letlen jelense´gek, a topolo ´gia a ko ¨zelse´g e´s a folytonossa´g minta´zatait vizsga´lja.

A ko ¨nyv nyolc fejezete a modern matematika nyolc ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o teru ¨ lete´t o ¨leli fel: a sza´mla´la´s, az e´rvele´s e´s a kommunikaćio ´, a mozga´s e´s a va´ltoza´s, a ku ¨ lo ¨nfe´le alakzatok, a szimmetria´k, a pozıćio ´k, a ve´letlen e´s az univerzum alapvet˝ o minta´zatait. A va´logata´snak e´rtelemszer˝ uen a matematika jelent˝ os teru ¨ letei estek áldozataúl – me´gis u ´ gy ve´lem, a ta´rgyalt te´ma´k hozza´ja´rulnak ahhoz, hogy az olvaso ´ helyes ke´pet alkothasson e gyo ¨nyo ¨r˝ u tudomańyro ´l. Igyekeztem, hogy a kifejte´s – ba´r e´rtelemszer˝ uen nem te´rhet ki a legapro ´bb re´szletekre – sehol ne legyen felszıńes. A modern matematika egy jellegzetes vona´sa´val ma´r a legels˝ o, aka´rcsak futo ´ ismerkede´s alkalma´val is azonnal szembesu ¨ lu ¨ nk: ez pedig az absztrakt jelo ¨le´s, a bonyolultnak t˝ un˝ o ke´pletek e´s geometriai ábra´k haszna´lata. Ez azonban teljesen e´rthet˝ o, ha meggondoljuk, hogy a matematika ta´rgyai maguk is absztrakt objektumok. A valo ´sa´g ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o aspektusainak leı´ra´sa´hoz mindig megfelel˝ o szimbolikus jelo ¨le´st kell va´lasztanunk. Ha a terep domborulatait akarjuk bemutatni, vagy a ta´je´kozo ´da´st akarjuk megko ¨nnyı´teni egy idegen va´rosban, akkor a legmegfelel˝ obb eszko ¨z: a te´rke´p. A szo ¨veges leı´ra´s ez esetben sokkal nehe´zkesebb lenne. Hasonlo án, egy e´pu ¨ let szerkezete a tervrajz alapjań ismerhet˝ o meg legko ¨nnyeb-

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

12


ben. Zenedarabok megismertete´se´re pedig – eltekintve az e´l˝ o el˝ oada´sto ´l – a kotta a legalkalmasabb eszko ¨z. A matematika ta´rgya´t ke´pez˝ o absztrakt, „forma´lis” minta´zatok e´s struktu ´ ra´k tanulmańyoza´sa sorań e´rtelemszer˝ uen a matematika fogalmi e´s jelo ¨le´srendszere´t kell alkalmaznunk. Az o ¨sszeada´s e´s a szorza´s m˝ uveleteńek leı´ra´sa sorań pe´ldaúl az algebra jelo ¨le´sei a legmegfelel˝ obbek. A kommutativita´s to ¨rveńye´t pe´ldaúl szavakkal ekke´ppen fejezhetju ¨ k ki: Ha ke´t sza´mot o ¨sszeadunk, sorrendju ¨knek nincs jelent˝ ose´ge. ´ ltala´ban azonban az ala´bbi szimbolikus kifejeze´smo A ´dot haszna´ljuk:

m + n = n + m. A matematikai minta´zatok to ¨bbse´ge az absztrakcio ´ oly magas foka´t ke´pviseli, hogy a szimbolikus jelo ¨le´sek alkalmaza´sa ne´lku ¨ l a mege´rte´s egyszer˝ uen lehetetlen lenne. A matematika to ¨rteńete egyu ´ ttal a megfelel˝ o szimbolizmus kerese´seńek to ¨rteńete is. A halada ´ s jelei Az algebrai jelo ¨le´smo ´d els˝ o szisztematikus alkalmazo ´ja a Kr. e. 250 ko ¨ru ¨ l Alexandria´ban e´lt Diophantosz, akinek Aritmetika cı´m˝ u e´rtekeze´se (0.1. ábra), melynek tizenha´rom ko ¨tete´b˝ ol csupań hat maradt fenn, az els˝ o algebrai ke´ziko ¨nyv. Diophantosz vezetett be specia´lis jelo ¨le´st az ismeretlenre, a hatvańyoza´sra, a kivona´sra e´s az egyenl˝ ose´gre. Ba´r napjaink matematikako ¨nyveiben szinte hemzsegnek az absztrakt szimbo ´lumok, ez azonban e´ppu ´ gy nem jelenti a matematika leńyege´t, mint ahogy a zene valo ´di mibenle´te sem a hangjegyek jelo ¨le´srendszere´ben keresend˝ o (0.2. ábra). A kotta a zenedarabot csupań reprezenta´lja, maga´val a zene´vel akkor tala´lkozunk, amikor valaki a kotta alapjań eleńekli, vagy valamely hangszeren elja´tssza. Csak az el˝ oada´s alkalma´val va´lik a zene tapasztalatunk re´sze´ve´, de ekkor is kiza´ro ´lag elmeńkben le´tezik, nem a nyomtatott kottaoldalakon. Ugyanez áll a matematika´ra: a szimbo ´lumok a matematika´t csupań reprezenta´lja´k. A kompetens – ami annyit tesz: matematikailag ke´pzett – olvaso ´ elme´je´ben a matematika e´ppu ´ gy e´letre kel, mint a legszebb szimfo ńia. A zene e´s a matematika ko ¨zo ¨tti szembeszo ¨k˝ o hasonlo ´sa´g feńye´ben a legkeve´sbe´ sem meglep˝ o, hogy sza´mos matematikus figyelemre me´lto ´ zenei veńa´ro ´l is tanu ´bizonysa´got tesz. A nyugati civilizaćio ´ to ¨rteńeteńek mintegy ke´t e´s fe´l e´vezrede alatt a matematika´t e´s a zene´t ugyanazon e´rem ke´t oldalańak tekintette´k, az általańos felfoga´s u ´ gy tartotta, hogy az ember mindkett˝ o re´veń a mindense´g titkaiba nyer bepillanta´st. A ke´t „m˝ uve´szet” ege´szen a tizenhetedik sza´zadig ke´z a ke´zben ja´rt, mı´gnem a tudomańyos mo ´dszer el˝ oreto ¨re´se´vel u ´ tjaik sze´tva´ltak.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A halada´s jelei

13

0.1. a ´ bra. A diophantoszi Aritmetika tizenhetedik sza´zadi latin nyelv˝ u kiada´sańak cı´mlapja.

Van azonban egy nagy ku ¨ lo ¨nbse´g. Mid˝ on egy virtuo ´z muzsikus el˝ oadja a megtanult darabot, akkor azt mindenki, aki nem teljesen botfu ¨ l˝ u, ke´pes e´lvezni. A muzsika e´lvezete´hez nem szu ¨ kse´gesek el˝ otanulmańyok. A matematika azonban kiza´ro ´lag u ´ gy „e´lvezhet˝ o”, ha megtanuljuk, hogy lehet e´letet lehelni a szimbo ´lumokba. A matematikai minta´zatok e´s struktu ´ ra´k e´ppu ´ gy az elme´ben tala´lnak visszhangra, mint a zenei forma´k – az emberekben me´gsem fejl˝ odo ¨tt ki semmife´le „matematikai halla´s”. A matematika csupań az „e´rtelem szeme´vel” la´thato ´. Fordı´tott esetben nem le´tezne zenei halla´s, s a zene csupań azok sza´ma´ra lenne e´lvezhet˝ o, akik megtanulta´k, mikeńt kell kotta´t olvasni. Az uto ´bbi e´vekben a sza´mı´to ´ge´p-animaćio ´ e´s a videotechnika fejl˝ ode´seńek eredmeńyekeńt a matematika a keve´sse´ ke´pzett ko ¨zo ¨nse´g sza´ma´ra is hozza´fe´rhet˝ ove´ va´lt. A hozzaé´rt˝ o szakember a matematika´t ke´pes „megjelenı´teni” azok sza´ma´ra is, akik ma´sku ¨ lo ¨nben semmit sem e´rteneńek. S ba´r ez a matematikańak

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

14


0.2. a ´ bra. A zene, mikeńt a matematika is, az absztrakt struktu ´ ra´k reprezenta´la´sa´ra ku ¨ lo ¨nleges szimbolizmust haszna´l. csak bizonyos re´szteru ¨ letein valo ´sı´thato ´ meg, az átlagembert me´giscsak ezen a mo ´don lehet legko ¨nnyebben meggy˝ ozni arro ´l, milyen gyo ¨nyo ¨r˝ use´gben van re´sze a matematikusnak, aki e ne´lku ¨ l is „la´tja” a minta´zatokat. Amikor la ´ tni annyi, mint felfedezni A sza´mı´to ´ge´pes grafika, amellett, hogy segı´t az átlagembernek a matematika leńyegeńek megragada´sa´ban, ne´hanapjań valo ´di szolga´latokat is tesz a matematikusnak. A komplex dinamikai rendszerek vizsga´lata, amely tudomańya´g u ´ tto ¨r˝ oi a francia Pierre Fatou e´s Gaston Julia voltak, a hetvenes e´vek ve´geń e´s a nyolcvanas e´vek elejeń robbana´sszer˝ u fejl˝ ode´sen ment keresztu ¨ l: Benoit Mandelbrot e´s ma´sok ekkor dolgozta´k ki azokat a sza´mı´to ´ge´pes grafikai mo ´dszereket, amelyek segı´tse´ge´vel megjelenı´thette´k azokat a struktu ´ ra´kat, amelyeket francia kolle´gaík egykor tanulmańyoztak. A gyo ¨nyo ¨r˝ u ke´pek o ¨na´llo ´ m˝ uve´szeti ág alapjait teremtette´k meg. Ne´mely effe´le struktu ´ ra´t – az alapı´to ´k emle´ke´re – Julia-halmaznak neveznek (0.3. ábra). A sza´mı´to ´ge´pes grafika egy ma´sik nevezetes alkalmaza´sa 1983-bo ´l valo ´, amikor David Hoffman e´s William Meeks III amerikai matematikusok vadonatu ´j minima´lfelu ¨ letet fedeztek fel (1. szıńes ta´bla). A minima´lfelu ¨ letekre u ´ gy gondolhatunk, mint ve´gtelenı´tett, „idea´lis” szappanha´rtya´kra, amelyek a lehet˝ o legkisebb felu ¨ letet foglalja´k el. A valo ´di – ve´ges – szappanha´rtya egy dro ´tkereten mindig minima´lfelu ¨ letet alakı´t ki. A matematikusok az effe´le struktu ´ ra´k ve´gtelen, absztrakt analogonjait ma´r ke´tsza´z e´ve vizsga´lta´k, de – Hoffman e´s Meeks

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A szimbo ´lumokban rejt˝ oz˝ o sze´pse´g

15

felfedeze´seíg – csupań ha´rom ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o minima´lfelu ¨ letet ismertek. Ma´ra, ha´la a vizua´lis megjelenı´te´snek, sok-sok u ´ jat fedeztek fel. Az elme´let alapja´t tradiciona´lis, az algebra´bo ´l e´s az analı´zisb˝ ol ko ¨lcso ¨nzo ¨tt technika´k ke´pezik, a sza´mı´to ´ge´pes grafika a matematikusokat e´ppen abban segı´tette, hogy „ke´pet” kapjanak, melyek lehetnek a helyes mo ´dszerek. Az algebrai jelo ¨le´s ne´lku ¨ l matematika nem le´tezhetne. Az ember kognitı´v ke´pesse´gei ilyenek: valamely absztrakt struktu ´ ra azonosı´ta´sa e´s a leı´ra´sa´ra alkalmas szimbolizmus kidolgoza´sa nem va´laszthato ´ el egyma´sto ´l, ugyanazon e´rem ke´t oldala´t ke´pezik. Mid˝ on egy absztrakt objektumot bet˝ uvel, szo ´val vagy ke´ppel jelo ¨lu ¨ nk, azzal arra utalunk, hogy o ¨na´llo ´ entita´sro ´l van szo ´. Ha a „7” sza´mjelet haszna´ljuk a hetes sza´m jelo ¨le´se´re, csak u ´ gy lehetse´ges, hogy ke´pesek vagyunk a hetes sza´mra, mint o ¨na´llo ´ entita´sra gondolni; ha azt mondjuk, jelo ¨ljo ¨n m tetsz˝ oleges ege´sz sza´mot, akkor nyilvańvalo ´, hogy rendelkezu ¨ nk az ege´sz sza´m fogalma´val. Ha a megfelel˝ o jelo ¨le´st megtala´ljuk, maguk az absztrakt fogalmak is ko ¨nnyebben kezelhet˝ ok. A matematikai szimbolizmus nyelvi-fogalmi aspektusa manapsa´g to ¨bbnyire ha´tte´rbe szorul. Gyakran halljuk, hogy a matematika sokkal e´rthet˝ obb lenne az absztrakt jelo ¨le´srendszer ne´lku ¨ l – ez viszont e´ppen akkora csacsisa´g, mintha u ´ gy ve´lneńk, Shakespeare m˝ uvei sokkal ko ¨nnyebben e´rthet˝ oek lenneńek, ha a mindennapok nyelveń szo ´lnańak hozzańk. Az absztrakcio ´ magas foka, s a vizsga´lo ´da´sokban alkalmazott absztrakt jelo ¨le´srendszer sajnos a matematika legto ¨bb – ha nem valamennyi – teru ¨ lete´t o ¨ro ¨kre ele´rhetetlenne´ teszi a nemszakmabeliek el˝ ott. De me´g a legko ¨nnyebben megko ¨zelı´thet˝ o teru ¨ letekr˝ ol is, olyanokro ´l, amilyeneket e ko ¨nyv e´s az ehhez hasonlo ´k ta´rgyalnak, csupań hozza´vet˝ oleges ke´pet ta´rhatunk az avatatlanok ele´, a valo ´di sze´pse´get csak re´szlegesen tudjuk visszaadni. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a matematikusok, akik ke´pesek megla´tni a matematikai szimbo ´lumok mo ¨go ¨tt rejl˝ o sze´pse´get, meg sem kı´se´relhetik megosztani emberta´rsaikkal az egyszer˝ use´g, a pontossa´g, a tisztasa´g e´s az elegancia e´rze´se´t, a matematikai minta´zatokban rejl˝ o eszte´tikumot. A szimbo ´ lumokban rejt˝ oz˝ o sze ´pse ´g 1940-ben megjelent, Egy matematikus apolo ´gia´ja cı´m˝ u ko ¨nyve´ben a jeles angol matematikus, G. H. Hardy ko ¨vetkez˝ oket ´rja: ı A matematika minta´zatai, mikeńt a fest˝ ok vagy a ko ¨lt˝ ok minta´zatai, sze´pek, a fogalmaknak e´ppu ´ gy, mint a szıńeknek vagy a szavaknak, harmonikusan kell egyma´shoz kapcsolo ´dniuk. A sze´pse´g az els˝ o krite´rium, a ru ´ t matematikańak nincs le´tjogosultsa´ga. (. . . ) A matematikai sze´pse´g nem egyko ¨nnyen definia´lhato ´ – de a sze´pse´g ma´s va´lfajai sem. Lehet, hogy nem tudjuk megragadni, miben is rejlik egy vers sze´pse´ge – de a verset olvasva, ke´pesek vagyunk felismerni azt.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

16


0.3. a ´ bra. Julia-halmaz. A sze´pse´g, amelyr˝ ol Hardy besze´l, az esetek tu ´ lnyomo ´ re´sze´ben elvont, bels˝ o sze´pse´g, az absztrakt logikai struktu ´ ra sze´pse´ge, mely csupań az avatatott szem el˝ ott ta´rul fel. Bertrand Russell, a hı´res angol filozo ´fus e´s matematikus szerint e sze´pse´g „hideg e´s szigoru ´ ”; 1918-as Miszticizmus és logika1 cı´m˝ u ko ¨nyve´ben ezt olvashatjuk: A matematika´t, ha helyesen fogjuk fel, nemcsak igazsa´g, hanem egyszersmind magasrend˝ u sze´pse´g is jellemzi: hideg e´s szigoru ´ , a szobra´szate´hoz hasonlo ´ sze´pse´g, mely nem fordul gyo ¨nge´bb terme´szetu ¨ nk egyetlen re´sze´hez sem, s amely ne´lku ¨ lo ¨zi a feste´szet e´s a zene elka´pra´ztato ´ kelle´keit, viszont fense´gesen tiszta, e´s oly szigoru ´ to ¨ke´lyre ke´pes, amilyent csak a legnagyobb m˝ uve´szet tud felmutatni. A matematika, a minta´zatok tudomańya egyfajta „vila´g-ne´zet”, s e „vila´g” a fizikai-biolo ´giai-ta´rsadalmi ku ¨ lvila´got e´ppu ´ gy maga´ba foglalja, mint elmeńk e´s gondolataink bels˝ o vila´ga´t. Legfeńyesebb sikereit a matematika a fizika teru ¨ leteń ko ¨nyvelhette el, gyakran emlegette´k a (terme´szet)tudomańyok kira´lyn˝ ojekeńt – vagy azok szolga´lo ´leańyakeńt. Mid˝ on azonban a matematika´t tanulmańyozzuk, egyszersmind o ¨nmagunkat is go ´rcs˝ o ala´ vesszu ¨ k, elve´gre a matematika ´zig-ve ı ´rig emberi alkota´s. A sza´mok, a pontok, az egyenesek e´s a sı´kok, a felu ¨ letek, a geometriai alakzatok e´s a fu ¨ ggveńyek egyarańt tiszta absztrakcio ´k, amelyek csupań az emberise´g kollektı´v tudata´ban le´teznek, a valo ´ vila´gban elve´tve sem tala´lkozhatunk velu ¨ k. A matematika te´teleinek abszolu ´ t bizonyossa´ga e´s a matematikai 1 Magyar

kiada´sa: Budapest, Helikon, 1976. Ford. Ma´rkus Gyo ¨rgy. Az ide´zet ‘A matematika tanulmańyoza´sa’ cı´m˝ u ´ra ı ´sbo ´l valo ´, 96–97. o.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A la´thatatlan megjelenı´te´se

17

igazsa´g o ¨ro ¨ke´rveńy˝ use´ge azt ta´masztja ala´, hogy a matematikai minta´zatok az emberi elme´ben e´ppoly kiemelt fontossa´ggal bı´rnak, mint a fizikai vila´gban. Abban a korszakban, amikor a tudomańyos vizsga´lo ´da´s mindenekel˝ ott az e´gbolt tanulmańyoza´sa´t jelentette, Galilei a ko ¨vetkez˝ oket ´rta: ı A Terme´szet nagy ko ¨nyve csak azok el˝ ott áll nyitva, akik ismerik a nyelvet, amelyen ´rva ı van: a matematika nyelve´t. A modern korban az e´rdekl˝ ode´s ko ¨ze´ppontja´ba az atomi jelense´gek keru ¨ ltek, s e pozıćio ´jukat nemzede´keken keresztu ¨ l meg is tartotta´k. Galilei hitvalla´sa azonban e´rveńyben maradt: John Polkinhorne, cambridge-i fizikus szerint: A matematika az absztrakt kulcs, amely az univerzum kapuja´t nyitja. Az informaćio ´, a kommunikaćio ´ e´s a sza´mı´to ´ge´pek kora´ban a matematikańak u ´ jabb e´s u ´ jabb za´rak nyitja´t kell megtala´lnia. Nincs e´letu ¨ nknek olyan teru ¨ lete, amelyre a matematika – kisebb vagy nagyobb me´rte´kben – ne lenne hata´ssal. Az általa tanulmańyozott absztrakt minta´zatok a gondolkoda´snak, a kommunikaćio ńak, a sza´mı´ta´studomańynak, a ta´rsadalomnak, de magańak az e´letnek is a leńyegi vona´sait ragadja´k meg. A la ´ thatatlan megjelenı´te ´se A „mi a matematika?” ke´rde´sre teha´t „a matematika a minta´zatok tudomańya” szlogennel va´laszoltunk. Hasonlo ´ frappańs va´lasz adhato ´ a matematika leńyege´t e´rint˝ o ma´sik alapvet˝ o ke´rde´sre is, amely ´gy ı szo ´l: mivel foglalkozik a matematika?, mit is nyeru ¨ nk akkor, ha valamely absztrakt struktu ´ ra´t a matematika eszko ¨zeivel tanulmańyozunk? A va´lasz: a matematika a la´thatatlant jelenı´ti meg. Hadd illusztra´ljam ezt ne´hańy pe´lda´val. Matematika ne´lku ¨ l soha nem e´rteneńk meg, mi tartja a jumbo jetet a magasban. Mindannyian tudjuk, hogy nagyme´ret˝ u, fe´mb˝ ol ke´szu ¨ lt ta´rgyak nem marad˝ket. Amikor azonban a ge´p nak fenn a leveg˝ oben ane´lku ¨ l, hogy valami tartana´ o felsza´ll, alatta semmi nem la´thato ´, ami felemelhetne´. E „la´thatatlant” a tizennyol˝ neve´t visel˝ cadik sza´zadban Daniel Bernoulli által felfedezett – s az o o – egyenlet jelenı´ti meg. S amikor a repu ¨ l˝ oge´pen utazunk, mi az oka, hogy minden elejtett ta´rgy, amelyet semmi nem tart a leveg˝ oben – az egy repu ¨ l˝ oge´pet lesza´mı´tva – azonnal leesik? Ke´szek vagyunk a va´lasszal: a gravitaćio ´. Ezzel azonban csak nevet adtunk a jelense´gnek, amivel a mege´rte´shez nem keru ¨ ltu ¨ nk ko ¨zelebb. Azt is mondhattuk volna: „vara´zslat”. A gravitaćio ´ mege´rte´se´hez „la´tnunk” kell – s Newton to ¨rveńyei pontosan ebben vannak segı´tse´gu ¨ nkre. A tizenhetedik sza´zadbo ´l valo ´ newtoni matematika „megmutatja”, milyen er˝ o hata´sa´ra kering a Fo ¨ld a Nap ko ¨ru ¨ l, s mie´rt esik le az érett alma a fa´ro ´l.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

18


Bernoulli e´s Newton egyenletei egyarańt a matematikai analı´zis eszko ¨zta´ra´t haszna´lja´k. Az analı´zis pedig a ve´gtelen kicsiny mennyise´gek, teha´t megint valami la´thatatlan megjelenı´te´se. Egy ma´sik pe´lda. Ke´t e´vezreddel az u ˝rkorszak beko ¨szo ¨nte el˝ ott Eratoszthene´sz, a hı´res go ¨ro ¨g matematikus-csillaga´sz a matematika eszko ¨zeivel bizonyı´totta be, hogy a Fo ¨ld go ¨mbo ¨ly˝ u. Mi to ¨bb, bolygo ńk átme´r˝ oje´t is meghata´rozta, legala´bb 90% pontossa´ggal. Napjainkban ehhez foghato ´ tudomańyos eredmeńyt ko ¨nyvelhetneńk el, ha ke´pesek lenneńk mega´llapı´tani, vajon go ¨rbu ¨ lt-e az univerzum. A matematika e´s a hatalmas ta´vcso ¨vek segı´tse´ge´vel az univerzum ta´voli szegleteit is „la´tjuk”, s sza´mos csillaga´sz van azon a ve´lemeńyen, hogy hamarosan eljo ¨n a nap, amikor ba´rmely te´rid˝ obeli go ¨rbu ¨ letet pontosan meg tudunk majd hata´rozni. Ennek jelent˝ ose´ge´t pedig nemigen lehetne eltu ´ lozni. Ha ismerneńk a szo ´ban forgo ´ go ¨rbu ¨ let pontos e´rte´ke´t, egyu ´ ttal bepillanta´st nyerneńk az univerzum to ¨rteńeteńek kezdeti szakasza´ba, „megjelenı´tve” ezzel a Nagy Bumm o ¨ro ¨kre a mu ´ lt titokzatos homa´lya´ba t˝ unt pillanatait. Te´rju ¨ nk vissza azonban a jelenbe. Hogyan „tehetneńk la´thato ´va´”, mi is az, aminek ko ¨zvetı´te´se´vel a va´ros ma´sik re´szeń ja´tszott focimeccs egyszerre csak megjelenik televı´zio ńk ke´perny˝ ojeń? A va´lasz megint ke´szen áll: specia´lis elektroma´gneses ra´dio ´hulla´mok ja´tssza´k a hı´rviv˝ o szerepe´t. Ezzel azonban, pontosan u ´ gy, ahogy a gravitaćio ´ esete´ben, nem mondunk to ¨bbet egy puszta ne´vne´l, s atto ´l, hogy valamely jelense´gcsoportnak hangzatos nevet adunk, az me´g nem va´lik automatikusan „la´thato ´va´”. A la´thatatlan ra´dio ´hulla´mokat Maxwell tizenkilencedik sza´zadban felfedezett egyenletei „mutatja´k meg” valo ´di mivoltukban. Tova´bbi minta´zatok, melyeket a matematika jelenı´t meg: – A go ¨ro ¨go ¨k matematikai eszko ¨zo ¨kkel ragadta´k meg a ku ¨ lo ¨nfe´le zenei minta´zatokat. – A dra´mai el˝ oada´s bizonyos absztrakt vona´sait Arisztotele´sz matematikai pe´lda´kkal illusztra´lta. – Az 1950-es e´vekben Noam Chomsky matematikai eszko ¨zo ¨kkel vizsga´lta a szavak azon absztrakt minta´zatait, amelyek alapjań az e´rtelmes mondatokat mindannyian felismerju ¨ k. Az antropolo ´gia hata´rteru ¨ letekeńt sza´mon tartott nyelve´szet ezzel egy csapa´sra igazi, egzakt tudomańnya´ va´lt. Ve´gu ¨ l, de nem utolso ´sorban a matematika arra is ke´pesse´ tesz minket, hogy la´ssuk, mit hoz a jo ¨v˝ o: – A valo ´szıń˝ use´gsza´mı´ta´s e´s a statisztika segı´tse´ge´vel a va´laszta´sok eredmeńyei megdo ¨bbent˝ o pontossa´ggal megjo ´solhato ´k. – A matematikai analı´zis a holnapi id˝ oja´ra´s kisza´mı´ta´sa´ban is segı´tse´gu ¨ nkre van. – A piacelemz˝ ok ku ¨ lo ¨nfe´le matematikai eszko ¨zo ¨ket felhaszna´lva pro ´ba´lja´k kisza´mı´tani az árfolyammozga´sokat.

© Keith Devlin

© Typotex Kiadó

A la´thatatlan univerzum

19

– A biztosı´to ´ta´rsasa´gok u ´ jfent a valo ´szıń˝ use´gsza´mı´ta´s e´s a statisztika mo ´dszereivel becslik meg az eljo ¨vend˝ o e´vekben beko ¨vetkez˝ o balesetek sza´ma´t, s dı´jaikat ezekhez a becsu ¨ lt adatokhoz igazı´tja´k. A jo ¨v˝ o is egyfajta „la´thatatlan”, amelynek megjelenı´te´se a matematika ne´lku ¨ l lehetetlen lenne. Jo ´slataink persze nem mindig va´lnak be, el˝ orejelze´seink nem mentesek a te´vede´sekt˝ ol. A matematika ne´lku ¨ l azonban me´g ennyire sem lenneńk ke´pesek. A la ´ thatatlan univerzum Vila´gunk a modern technika vila´ga. A fo ¨ldkerekse´g minden pontjań hidak, felh˝ okarcolo ´k e´s ta´vvezete´kek e´pu ¨ lnek, az utakon auto ´k sza´guldanak, az e´gen repu ¨ l˝ oge´pek sza´llnak. A kommunikaćio ´ egykor a felek fizikai ko ¨zelse´ge ne´lku ¨l lehetetlen volt – manapsa´g matematikailag ko ´dolt, digita´lis jelekke´ alakı´tott u ¨ zeneteink a feńy sebesse´ge´vel sza´guldanak az optikai ka´belekben e´s az e´terben. A matematikai alapokon m˝ uko ¨d˝ o sza´mı´to ´ge´pek e´letu ¨ nk minden teru ¨ leteń jelen vannak: nem csupań az ´ro ı ásztalunkon, de mikrohulla´mu ´ su ¨ t˝ onkben, auto ńkban, a gyerekja´te´kokban e´s a szı´vritmus-szaba´lyozo ´ berendeze´sekben. A statisztika mo ´dszerei befolya´solja´k, mit fogunk enni, melyik m˝ usort ne´zhetju ¨ k meg a televı´zio ´ban, s mely politikusokra nyı´lik majd lehet˝ ose´gu ¨ nk szavazni a legko ¨zelebbi va´laszta´son. Az ipari korszak f˝ o energiaforra´sait a ge´pekben ele´getett fosszilis tu ¨ zel˝ ok nyu ´ jtotta´k – az informaćio ´s ta´rsadalom kora´ban a rendszert mozga´sban tarto ´ legfontosabb „u ¨ zemanyag”: a matematika. S miko ¨zben a matematika egyre inka´bb áthatja e´letu ¨ nket, lassan teljesen elt˝ unik szem el˝ ol, egyfajta la´thatatlan univerzumkeńt ta´mogatva u ¨ gyes-bajos dolgainkat. Mikeńt minden terme´szeti jelense´g la´thatatlan er˝ ok hata´sańak van ala´vetve, a modern kor embere is egy la´thatatlan univerzum polga´ra: ezt a mindense´get a matematika teremtette, to ¨rveńyei a matematika mu ´ lhatatlan szaba´lyai. E ko ¨nyv utaza´sra hı´vja az Olvaso ´t: ne´zzen ko ¨ru ¨ l e la´thatatlan univerzumban. Megla´tja, mikeńt ta´rhatja´k fel o ¨nno ¨n eszko ¨zei e la´thatatlan vila´g titkait, u ´ gy e´rzi majd maga´t, mint egy ta´voli, ismeretlen fo ¨ldre´szre te´vedt utazo ´. De legyen e vide´k me´goly ku ¨ lo ¨no ¨s, me´gsem messzi-messzi ta´j: mindannyian itt e´lu ¨ nk.

© Keith Devlin

Prológus Mi a matematika?

Recommend Documents