PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA ● 2016. január 16.
STUDIUM GENERALE – MATEMATIKA SZEKCIÓ
Matematika
MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. Az írásbeli próbavizsga időtartama: 240 perc Név E-mail cím SG-s csoport Pontszám
STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ
emelt szint – írásbeli próbavizsga
Matematika – emelt szint
írásbeli próbavizsga
Név:
2 / 20
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
Név:
Fontos tudnivalók 1.
A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie.
2.
A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges.
3.
A II. részben kitűzött öt feladat közül csak négyet kell megoldania. A nem választott feladat sorszámát írja be a dolgozat befejezésekor az alábbi négyzetbe! Ha a javító tanár számára nem derül ki egyértelműen, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a 9. feladatra nem kap pontot.
4.
A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármilyen négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos!
5.
A feladatok megoldásához alkalmazott gondolatmenetét minden esetben írja le, mert a feladatra adható pontszám jelentős része erre jár!
6.
Ügyeljen arra, hogy a lényegesebb részszámítások is nyomon követhetők legyenek!
7.
A feladatok megoldásánál használt tételek közül az iskolában tanult, névvel ellátott tételeket (pl. Pitagorasz-tétel, magasság-tétel) nem kell pontosan megfogalmazva kimondania, elég csak a tétel megnevezését említenie, de az alkalmazhatóságát röviden indokolnia kell. Egyéb tétel(ek)re való hivatkozás csak akkor fogadható el teljes értékűnek, ha az állítást minden feltételével együtt pontosan mondja ki (bizonyítás nélkül), és az adott problémában az alkalmazhatóságát indokolja.
8.
A feladatok végeredményét megfogalmazásban is közölje!
9.
A dolgozatot tollal írja, de az ábrákat ceruzával is rajzolhatja. Az ábrákon kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető.
(a
feltett
kérdésre
adandó
választ)
szöveges
10. Minden feladatnál csak egyféle megoldás értékelhető. Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 11. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon!
írásbeli próbavizsga
3 / 20
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
Név:
I. 1.
Elvira a könyveit három polcon tárolja, az első polcon szépirodalmi könyveket, másodikon albumokat, harmadikon pedig műszaki jellegű könyveket tárol. A szépirodalmi könyvek és az albumok száma úgy aránylik egymáshoz, mint 7 : 5 , továbbá tudjuk, hogy műszaki témát feldolgozó könyvből 1,8-szor annyi van, mint albumból. Elvira egy antikváriumi akció során 15 új könyvet tervez vásárolni, amelyekből ha minden polcra ugyanannyit helyezne el, akkor az egyes polcokon lévő könyvek számának aránya 4 : 3: 5 lenne. a)
Hány szépirodalmi mű található Elvira első polcán?
b) Hányféleképpen tud Elvira 3 albumot kölcsönadni Nikinek? c)
Összesen hány könyvet tárolna Elvira a három polcon, ha mind a 15 tervezett könyvet megvenné?
írásbeli próbavizsga
4 / 20
a)
8 pont
b)
2 pont
c)
2 pont
Ö.:
12 pont
2016. január 16.
Matematika – emelt szint 2.
Név:
Legyen A halmaz a sin x cos x 1 sin x egyenlet 0; 2 intervallumba eső valós 2
gyökeinek halmaza, a B halmaz pedig a log 1 x 2 8 x 12 5 egyenlőtlenség valós 2
megoldásainak halmaza. Határozza meg az A B és az A B halmazokat!
Ö.:
írásbeli próbavizsga
5 / 20
14 pont
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
írásbeli próbavizsga
Név:
6 / 20
2016. január 16.
Matematika – emelt szint 3.
Név:
Egy 2 3 egység sugarú gömbbe olyan kúpot írunk, amely palástjának területe kétszer akkora a kúp alapköre területének. Határozza meg a kúp térfogatának pontos értékét!
Ö.:
írásbeli próbavizsga
7 / 20
12 pont
2016. január 16.
Matematika – emelt szint 4.
Név:
Adott az A 2; 2 és a B 6; 4 pont, továbbá az e : x 2 y 9 egyenes. Határozza meg az e egyenesnek azokat a pontjait, amelyekből az AB szakasz derékszög alatt látszódik! Megoldását ábrázolja! Ö.:
írásbeli próbavizsga
8 / 20
13 pont
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
írásbeli próbavizsga
Név:
9 / 20
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
Név:
II. Az 5-9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania. A kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon található üres négyzetbe! 5.
Az ABC derékszögű háromszögben a két befogó hossza AC 3 m , AB 4 m . Az A csúcsból húzzunk merőlegest a BC-re, így kapjuk az M pontot. Az M pontból húzzunk merőlegest az AB oldalra, így kapjuk az N pontot. Az N pontból húzzunk merőlegest a BC-re, így kapjuk a P pontot. Számolja ki a)
az AM szakasz
b) az MN szakasz c)
az NP szakasz
pontos hosszát, szögfüggvények használata nélkül! d) Ha ezt az eljárást végtelenségig folytatnánk, milyen hosszú lenne az így keletkezett törött vonal hossza? AM MN NP ...
írásbeli próbavizsga
10 / 20
a)
3 pont
b)
4 pont
c)
4 pont
d)
5 pont
Ö.:
16 pont
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
írásbeli próbavizsga
Név:
11 / 20
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
Név:
Az 5-9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania. A kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon található üres négyzetbe! 6. a)
Határozza meg azokat az a és b egész számokat, amelyekre teljesül, hogy a b 20 ab , és az a; b; 21 egység hosszúságú szakaszokból háromszög szerkeszthető!
b) Egy dobókockával addig dobunk, míg hatos nem lesz. Minek nagyobb a valószínűsége: négy dobásnál többször nem kell, vagy legalább ötször kell dobnunk a kockával?
írásbeli próbavizsga
12 / 20
a)
8 pont
b)
8 pont
Ö.:
16 pont
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
írásbeli próbavizsga
Név:
13 / 20
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
Név:
Az 5-9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania. A kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon található üres négyzetbe! 7.
Az állam a fiatalok lakáshoz jutását a következő konstrukciójú bankszámlával támogatja. A spórolást vállaló személy minden hónap első napján köteles 10000 Ft-ot betenni a számlájára. A számlavezető bank minden hónap utolsó napján 0,3% kamatot fizet a számlán szereplő összeg után. A kamaton felül az állam minden év utolsó napján az adott évben a számlatulajdonos által elhelyezett összeg 30%-át utalja a számlára. Balázs január 1-jén nyit számlát a fenti feltételekkel, egy 4 éves konstrukcióban. a)
Összesen mennyi pénzt fizet be Balázs a 4 éves spórolási időszak alatt?
b) Számítsa ki, hogy mennyi pénz lesz Balázs számláján a számlanyitás évének december 31. napján, miután a bank a decemberi kamatot már jóváírta! A végeredményt százasokra kerekítve adja meg! c)
3n 2 Igazolja, hogy n 4n 1
írásbeli próbavizsga
sorozat szigorúan monoton csökkenő és korlátos!
14 / 20
a)
2 pont
b)
8 pont
c)
6 pont
Ö.:
16 pont
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
írásbeli próbavizsga
Név:
15 / 20
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
Név:
Az 5-9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania. A kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon található üres négyzetbe! 8.
Egy végzős középiskolai osztály egy limuzint szeretne bérelni, hogy a szalagavatójuk után körbeutazzák közösen a megyében található városokat. Egy limuzin fogyasztását láthatjuk az alábbi táblázatban, különböző sebességek esetén. Sebesség (km/h) 50 100 150 a)
Fogyasztás (liter / 100 km) 15,5 23,0 28,5
km km sebesség mellett, ha a 30-200 h h 2 sebességtartományban a fogyasztás felírható az f v av bv c függvénnyel, ahol a v a limuzin sebessége? Mekkora a fogyasztás 100 kilométeren 90
b) A cég 3 fajta limuzinnal rendelkezik. 60 fős, 35 fős és 20 fős. A különböző fajta limuzinok különböző árakon bérelhetők. Tudjuk, hogy ha a 60 fős limuzin árát p%-kal csökkentenénk, akkor a 35 fős limuzin árát kellene fizetni a 60 fős limuzinért. Ha a 35 fős limuzin ára csökkenne 2p%-kal, akkor a 20 fős limuzin árába kerülne a 35 fős limuzin. Ha a 60 fős limuzin ára 40,5%-kal csökkenne, akkor a 60 és a 20 fős limuzin bérlése ugyanannyiba kerülne. Hány százaléka a 35 fős limuzin bérlésének ára, a 60 fős limuzin bérlése árának?
írásbeli próbavizsga
16 / 20
a)
9 pont
b)
7 pont
Ö.:
16 pont
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
írásbeli próbavizsga
Név:
17 / 20
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
Név:
Az 5-9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania. A kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon található üres négyzetbe! 9.
Egy Hallgatói Önkormányzati közgyűlésen a jelen lévő 32 képviselő három kérdésben dönthetett igennel vagy nemmel. Tartózkodás nem volt, minden képviselő mindhárom kérdésben szavazott. Az első kérdésre 15-en, a második kérdésre 16-an, a harmadik kérdésre 11-en szavaztak igennel. A pontosan két igennel szavazó képviselők száma 6. a)
Hányan szavaztak mindhárom kérdésre igennel?
b) Hányan vannak, akik pontosan egy kérdésre szavaztak igennel? A közgyűlés előtt megkérdeztük a képviselőket, hány éve tagjai a választmánynak. Az adatokat feljegyeztük és elemzést készítünk belőle. A feljegyzett éveket minden esetben lefele kerekítettük egész számra. Tudjuk még, hogy a legtapasztaltabb képviselő 31 hónapja tagja a választmánynak. c)
Lehet-e a feljegyzett adatok mediánja 0, ha az átlaguk 1,125?
írásbeli próbavizsga
18 / 20
a)
6 pont
b)
3 pont
c)
7 pont
Ö.:
16 pont
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
írásbeli próbavizsga
Név:
19 / 20
2016. január 16.
Matematika – emelt szint
I. rész
II. rész
Név:
maximális elért pontszám pontszám 12 14 12 13 16 16 16 16 nem választott feladat Az írásbeli vizsga pontszáma
feladat sorszáma 1. 2. 3. 4.
maximális pontszám
elért pontszám
51
64
115
_____________________________________ javító tanár
írásbeli próbavizsga
20 / 20
2016. január 16.
