E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
P R Ó B A É R E T T S É G I
F E L A D A T S O R : M A T E M A T I K A ,
K Ö Z É P
S Z I N T
FELADATSOR I. rész Felhasználható idő: 45 perc 1.1.) Jelölje a négyzetekbe írt i vagy h betűvel, hogy az állítás igaz vagy hamis k > 0, ≠ 1 a) b)
4
k 16 = k 4 5
k 10 = k 5
4 pont
1.2.) Az alábbi állítások közül melyik igaz (R a szabályos háromszög köré írható, r pedig a b) R = 2r , c) R = 2r 3 beírható kör sugara)? a) R = r 3 , 2 pont
1.3.) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 3 2 x = 27 2 pont
1.4.) Az alábbi grafikon az A és B üzemek termelését mutatja egy adott évben. Mikor volt a két üzem termelése között a legnagyobb különbség?
2 pont 1.5.) Határozza meg az alábbi f(x) függvény értékkészletét!
D F T - B U D A P E S T ,
w w w . d f t . h u ,
i n f o @ d f t . h u ;
( 0 6 - 1 )
4 7 3 - 0 7 6 9
f ( x) = sin x − 2 13
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
P R Ó B A É R E T T S É G I
F E L A D A T S O R : M A T E M A T I K A ,
K Ö Z É P
S Z I N T
2 pont
1.6.) Írja fel a P(4; 3) ponton átmenő, a 4 x + 3 y = 11 egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét
2 pont
1.7.) Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 9, a befogók különbsége 3. Mekkora az átfogó?
4 pont
1.8.) Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és leírjuk egymás után a dobott számokat. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az így kapott kétjegyű szám négyzetszám?
3 pont
1.9.) Egy férfi 120 ezer Ft-os nettó jövedelmét 15%-kal, felesége 95 ezer Ft-os nettó jövedelmét 10%-kal emelték. Mekkora ezek után a család nettó jövedelme?
4 pont
1.10.) Ábrázolja a [-6; 1[ intervallumon az f ( x) = x + 2 − 1 függvényt!
4 pont
14
E G É S Z
É V E S
É S
I N T E Z Í V
É R E T T S É G I
E L Õ K É S Z Í T Õ
T A N F O L Y A M O K
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
P R Ó B A É R E T T S É G I
F E L A D A T S O R : M A T E M A T I K A ,
K Ö Z É P
S Z I N T
1.11.) Az ábrán egy ABCD paralelogrammát láthatunk. Adja meg az ábrán azt a P pontot, melyre teljesül, hogy
4 pont
II/A rész Felhasználható idő: 135 perc 1.12.) Ciang-ciang ókori kínai várost négyzet alakú kőfallal vették körül, melynek oldalai az egyes égtájak felé néztek és oldalaik felénél egy-egy kaput építettek. Az északi kaputól északra 4 km-re volt egy világítótorony. Ha a déli kaputól délre haladunk 4 km-t, majd nyugatra fordulunk és haladunk 10,5 km-t, egy őrtoronyba jutunk, ahonnan éppen megláthatjuk e világítótornyot. a) Hány lakosa volt a városnak, amikor népsűrűsége 860 fő/km2 ?
10 pont b) Milyen messze van légvonalban az őrtorony az északi kaputól?
2 pont
1.13.) a) Ábrázolja a valós számok halmazán az x a log 2 ( x − 1) függvényt!
3 pont
D F T - B U D A P E S T ,
w w w . d f t . h u ,
i n f o @ d f t . h u ;
( 0 6 - 1 )
4 7 3 - 0 7 6 9
15
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
P R Ó B A É R E T T S É G I
F E L A D A T S O R : M A T E M A T I K A ,
K Ö Z É P
S Z I N T
b) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! log 2 ( x 2 − 1) − log 2 ( x + 1) = log 2 ( x 2 − 7)
9 pont
14.) Az ABC háromszög két oldala: AB = 24 cm, AC = 15 cm. A háromszög területe 90 cm2. a) Mekkora a háromszög harmadik oldal?
6 pont
b) Az A-ból induló magasság a háromszöget két háromszögre bontja. Ezek közül a kisebbik területe hány százaléka a nagyobbik területének ?
6 pont
II/B rész
Az alábbi három feladat közül tetszés szerint választott kettőt kell csak megoldani 1.15.) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a)
x 2 − 10 x + 25 = 12
7 pont
b) 16 x + 4 x + 3 ⋅ 4 x −1 = 23
10 pont
16
E G É S Z
É V E S
É S
I N T E Z Í V
É R E T T S É G I
E L Õ K É S Z Í T Õ
T A N F O L Y A M O K
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
P R Ó B A É R E T T S É G I
F E L A D A T S O R : M A T E M A T I K A ,
K Ö Z É P
S Z I N T
1.16.) Egy zeneiskola egyik évfolyamán háromféle hangszeren tanulnak a diákok (mindenki tanul legalább egy hangszeren). Hegedülni 32-en, zongorázni 36-an, fuvolázni 28-an tanulnak. Három hangszeren senki sem tanul. Azok száma, akik pontosan két hangszeren játszanak 25, közülük hegedülni és zongorázni is tanulnak 8-an. a) Hányan tanulnak csak fuvolán?
6 pont
b) Hányan járnak erre az évfolyamra?
5 pont
c) Igaz-e, hogy van az évfolyamon legalább 11 olyan diák, akiknek a születési dátuma a hétnek ugyanolyan napjára esik?
6 pont
1.17.) Egy felül nyitott egyenes körhenger alakú tartály alapkörének sugara 8 cm, magassága 20 cm. a) A hengerben 14 cm magasan áll a víz. A hengerbe ejtünk egy fémből készült, szabályos tetraéder alakú testet, melynek minden éle 5 cm. Milyen magasan áll a víz ezután a hengerben?
9 pont
b) Legfeljebb milyen magasan áll eredetileg a víz a hengerben, ha három db ilyen tetraédert beleejtve még nem csordul ki a víz ? 8 pont
D F T - B U D A P E S T ,
w w w . d f t . h u ,
i n f o @ d f t . h u ;
( 0 6 - 1 )
4 7 3 - 0 7 6 9
17
