PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY
Vlasta Chmelíková, Luboš Moravec MFF UK 2007 1
Úvod Tento text byl vytvořen s cílem inspirovat učitele středních škol k začlenění tématu „pravidelné mnohostěny“ do hodin matematiky, neboť při výuce stereometrie bývají často tato tělesa neprávem opomíjena. A proč by vlastně toto téma mělo být do výuky podrobněji zařazeno? Jistě je vhodné studenty s existencí pravidelných mnohostěnů seznámit a navíc není účelné vyučovat stereometrii pouze na krychli a pravidelném čtyřbokém jehlanu, protože studenti pak snadno přechází k bezduché aplikaci naučených postupů namísto řešení úloh pomocí prostorové představivosti. Pravidelné mnohostěny jsou na první pohled zajímavá tělesa. Lze najít (například na internetu) mnoho informací o historii těchto těles, čímž je možné výuku zpestřit a vzbudit zájem studentů. Při odvozování a úpravách dále uvedených vzorců si studenti mohou procvičit práci se zlomky a s odmocninami. Pokud by výpočty byly pro studenty příliš složité, lze je částečně zjednodušit předpokladem, že délka hrany uvažovaného tělesa je rovna jedné. V tabulce na následující straně je uveden výčet vztahů pro výpočet poloměrů vepsaných a opsaných kulových ploch, objemů a povrchů všech pěti pravidelných mnohostěnů. V dalším textu najdete postupy, pomocí kterých je možné tyto vztahy odvodit. Dále jsou zde vypočteny odchylky tělesových úhlopříček a odchylky sousedních stěn mnohostěnů, nakonec je zmíněna dualita těchto těles a vztahy s ní související. Použité značení a literatura jsou uvedeny na závěr textu. Všechny výpočty byly provedeny na základě znalostí několika matematických pojmů a vztahů, které by (až na dvě výjimky) měly být studentům střední školy známy. Jejich výčet je uveden níže. Součástí této práce jsou i přílohy, ve kterých naleznete prezentaci pro interaktivní tabuli, kterou lze použít při výuce jako vodítko (v prezentaci naleznete odkazy na „pohyblivé obrázky“ nakreslené v programech Cabri3D a Cabri2+), dále sítě pravidelných mnohostěnů (včetně návodů, jak s nimi pracovat) a stručné informace o dalších zajímavých mnohostěnech (Archimedovy a Keplerovy mnohostěny). Autoři Přehled použitých vztahů, které nejsou v textu podrobně odvozovány: z⋅v z
•
obsah obecného trojúhelníku: S=
•
výška a obsah rovnostranného trojúhelníku (se stranou a): v=
• • • • •
2
, přičemž vz značí výšku na stranu z
2 a 3 , S= a 3 2 4 Pythagorova věta a její zobecnění na obecný trojúhelník (kosinová věta) definice goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku sin x vztahy mezi goniometrickými funkcemi: sin 2 xcos 2 x=1 , tg x = cos x
podíl úhlopříčky us a strany a pravidelného pětiúhelníku je roven zlatému číslu: cos 72 °=
1 1 5
u s 1 5 = a 2
Poslední dva vztahy nepovažujeme za všeobecně známé, ale jejich odvození je mimo rozsah této práce. Dále předpokládáme určitou zdatnost při usměrňování a dalších úpravách lomených výrazů.
2
Pravidelné mnohostěny (Platónova tělesa, platónská tělesa) • • • •
Platónské těleso je pravidelný konvexní mnohostěn (tj. z každého vrcholu vychází stejný počet hran a všechny stěny tvoří stejný pravidelný mnohoúhelník). Těmto tělesům lze vepsat i opsat kulovou plochu, přičemž obě kulové plochy mají společný střed. V historii se těmto tělesům věnovalo mnoho významných osobností. Například Eukleides, Platón, Archimedes, Luca Pacioli, Kepler aj. Ve středoškolské učebnici pro gymnázia (Pomykalová, E. „Stereometrie“) je k tomuto tématu uvedeno: • definice, výčet těles • důkaz, proč je pravidelných mnohostěnů právě pět • dualita krychle a osmistěnu • dualita čtyřstěnu • zmínka o dualitě dvanáctistěnu a dvacetistěnu • povrch pravidelného n-stěnu • objem pravidelného n-stěnu (krychle, čtyřstěn)
název
s
h
v
n hv P
pravidelný čtyřstěn (tetraedr)
4
6
4
3 3
pravidelný šestistěn, krychle (hexaedr)
6
15 8
4 3
6a
2
pravidelný osmistěn (oktaedr)
8
12 6
3 4
2a
2
a
V 2
3
3
r
a
3
a
3
a
3
2 12
2 3
pravidelný 12 30 20 5 3 dvanáctistěn (dodekaedr)
3 a 2 2510 5 a 3 157 5 4
pravidelný dvacetistěn (ikosaedr)
5a
20 30 12 3 5
2
3
5 a3 3 5 12
Značení použité v tabulce: s...počet stěn tělesa h...počet hran tělesa v...počet vrcholů tělesa n...počet stran jedné stěny hv...počet hran vycházejících z jednoho vrcholu
a ⋅ 6 4
a 6 12
a ⋅ 3 2
a 2
a ⋅ 2 2
a 6 6
a 31 5 4
a 10 2511 5 20
a 2 5 5 a 33 5 4 12
P...povrch V...objem r...poloměr koule opsané ρ...poloměr koule vepsané a...délka hrany
3
ρ
Pravidelný čtyřstěn •
Pravidelný čtyřstěn (též pravidelný trojboký jehlan) má čtyři vrcholy a čtyři stěny tvořené shodnými rovnostrannými trojúhelníky. Podle Platóna byl čtyřstěn symbolem ohně.
•
Odchylka sousedních stěn • Zvolíme řez čtyřstěnu rovinou kolmou na jednu hranu. Řezem je rovnoramenný a trojúhelník se základnou a a s rameny vs v s= 3 . Odchylka ramen je současně 2 odchylkou sousedních stěn. D Rovnoramenný trojúhelník rozdělíme výškou na dva pravoúhlé. Nyní platí: a 2 1 3 sin = = = , v vs s 2 2 a 3 ⋅ 3 3 C 2 B =˙ 35 ° 16 ' , =˙ 70 ° 32' . 2 A A a B
•
Poloměr koule opsané • Poloměr koule opsané pravidelnému čtyřstěnu je vzdálenost středu tělesa od libovolného vrcholu. Za střed konvexního tělesa můžeme považovat jeho těžiště. Těžiště pravidelného kolmého jehlanu rozděluje výšku jehlanu v poměru 3:1. Tělesovou výšku musíme vypočítat: D a • Stěnová výška v s je dlouhá ⋅3 . Odtud 2 2 a a v = ⋅ 3 . Podle Pythagorovy věty platí v 3 s 3 C
A
S
B
2
D
a 3 a2 a2 2 a v = a − ⋅ 3 = − =a⋅ = ⋅ 6 . 3 3 3 3 3 2
Nyní již můžeme spočítat poloměr koule opsané: 3 3 a 6 a 6 r = ⋅v= ⋅ = . 4 4 3 4
a
A
2 v 3 s
v
S D
•
Poloměr koule vepsané • Poloměr koule vepsané je vzdálenost středu (těžiště) tělesa od jeho libovolné s stěny. Navíc dotykové body vepsané koule jsou středy stěn. Vezmeme-li v úvahu pravoúhlý trojúhelník TDS (T je střed čtyřstěnu, D je vrchol čtyřstěnu a S je střed jedné stěny), můžeme použít D d T a 6 , Pythagorovu větu: s 2=d 2t 2 , přičemž s=r = 4 2 2 a 3 a 3 t= ⋅v s= ⋅ = a odvěsna d je hledaný 3 3 2 3 poloměr ρ. Odtud:
4
T
S
t
S
ϱ=d =
•
2
2
2
2
2
a 6 a 3 3a a a a 6 − = − = = . 4 3 8 3 24 12
Povrch • Povrch vypočítáme jako součet obsahů jednotlivých stěn. Každou stěnu tvoří rovnostranný trojúhelník, jehož obsah S je
a
2
3 . Protože čtyřstěn
4 má stěny čtyři, bude jeho povrch P roven čtyřnásobku obsahu jedné stěny S, tedy 4⋅a 2 3 P=4⋅S = =a 2 3 . 4 •
Objem • Objem V určíme jako objem pravidelného trojbokého jehlanu. Vzorec pro objem jehlanu 1 je V = S p⋅v , kde Sp značí obsah podstavy a v tělesovou výšku. V našem případě je 3 a2 3 podstavou rovnostranný trojúhelník, tedy S p=S= . Z předchozího víme, že 4 a tělesová výška v je dlouhá ⋅6 . Můžeme tedy dosadit do vzorce pro objem a upravit: 3 2
3
1 a 3 a a V= ⋅ ⋅ 6= ⋅ 2 . 3 4 3 12
Pravidelný šestistěn •
Pravidelný šestistěn (též krychle) má osm vrcholů a šest stěn tvořených shodnými pravidelnými čtyřúhelníky (tj. čtverci). Podle Platóna byl šestistěn symbolem země.
•
Tělesová úhlopříčka 2 • Podle Pythagorovy věty platí: u 2=a 2u s2 =a 2a 2 , po úpravách: u= a 2 2 a 2= 3 a 2 =a 3 .
a
u
us •
Odchylka tělesových úhlopříček • Průsečík tělesových úhlopříček spolu s krajními body jedné hrany tvoří rovnoramenný trojúhelník ABT. Tento trojúhelník rozdělíme výškou k základně na dva pravoúhlé. Potom platí: a a T 2 2 1 3 sin = = = = , 2 u a 3 3 3 T 2 2 2 =˙ 35° 16 ' , =˙ 70 ° 32 ' . B A B 2 a
A
•
Odchylka sousedních stěn • Snad je všem na první pohled zřejmé, že =90 ° .
5
•
Poloměr koule opsané • Poloměr koule opsané je roven polovině délky tělesové úhlopříčky u a 3 procházející středem, tedy r = = . 2 2
•
Poloměr koule vepsané • Poloměr koule vepsané krychli je vzdálenost středu krychle od libovolné stěny, tedy a = . 2
•
Povrch • Povrch vypočítáme jako součet obsahů jednotlivých stěn. Každou stěnu tvoří čtverec o obsahu S=a 2 . Krychle má šest stěn, tedy P=6⋅S =6 a 2 .
•
Objem • Vzorec pro výpočet objemu krychle by měl být studentům znám už na základní škole. Díky kolmosti stěn se objem vypočítá následovně: 3 V =a .
Pravidelný osmistěn •
Pravidelný osmistěn má šest vrcholů a osm stěn tvořených shodnými rovnostrannými trojúhelníky. Podle Platóna byl osmistěn symbolem vzduchu. a
•
Tělesová úhlopříčka • Tělesová úhlopříčka osmistěnu je totéž jako úhlopříčka čtverce se stranou a délky a. Tedy u=a 2 .
u
•
Odchylka tělesových úhlopříček • Odchylkou tělesových úhlopříček osmistěnu je odchylka úhlopříček čtverce, tedy =90 ° .
•
Odchylka sousedních stěn • Vezmeme-li řez tělesa kolmý například k hraně BC a procházející vrcholem E, získáme kosočtverec EGFH. V trojúhelníku EGF potom platí: E E u a 2 E 2 2 2 6 =˙ 54 ° 44 ' sin = = = = , 2 vs a 3 , 2 H D 3 2 3 G 2 C A G B C =˙ 109° 28' . G
F
6
F
•
Poloměr koule opsané • Poloměr koule opsané je roven polovině délky tělesové u a 2 úhlopříčky procházející středem osmistěnu, tedy r = = . 2 2
•
Poloměr koule vepsané • Poloměr koule vepsané je roven vzdálenosti středu (těžiště) osmistěnu od libovolné stěny. Vezmeme si na pomoc pravoúhlý trojúhelník s přeponou délky r a s odvěsnami 2 dlouhými ρ a v s . Potom podle Pythagorovy věty platí: 3 2
2 v s =r 2 , tedy = 3 2
2
2
2
2
2
a 2 a 3 a a a a 6 . − = − = = 2 3 2 3 6 6
E E D
S
2 v 3 s
r
C
T B
F
T
s
S
•
Objem • Objem můžeme určit jako součet objemů dvou shodných jehlanů se společnou 2 čtvercovou podstavou S p=a a výškou r. 3 1 2 a a V =2⋅ ⋅S p⋅r = ⋅a 2⋅ 2= 2 3 3 2 3
•
Povrch • Povrh pravidelného osmistěnu vypočítáme jako součet obsahů všech stěn. Každá stěna je a2 tvořena rovnostranným trojúhelníkem se stranou délky a, tedy S= 3 . 4 2 a P=8⋅S =8⋅ 3=2 a 2 3 4
7
Pravidelný dvanáctistěn •
Pravidelný dvanástistěn má dvacet vrcholů a dvanáct stěn tvořených shodnými pravidelnými pětiúhelníky. Podle Platóna představoval jsoucno nebo vesmír.
•
Pravidelný pětiúhelník • Výpočty s pravidelným dvanáctistěnem jsou už trochu komplikovanější. Pro jejich usnadnění je vhodné nejprve vyřešit některé rozměry v pravidelném pětiúhelníku, abychom je v dalších úvahách mohli využít. • Délka úhlopříčky • Pro poměr délek úhlopříčky a strany pravidelného pětiúhelníku platí: D u s 1 5 a . Odtud u s= 1 5 . = 2 a 2 E C us
•
a
A B Poloměr kružnice opsané 2 2 2 • Pro trojúhelník ABS platí kosinová věta: a =r s r s −2 r s r s cos 72 ° , přičemž 1 cos 72 °= . Z této rovnice vyjádříme poloměr rs: 1 5 2 a a 1 5 S r s2 = , po úpravách r s= 10 5 5 . 10 2 5 r r s
•
B Poloměr kružnice vepsané A a • Poloměr kružnice vepsané můžeme vypočítat pomocí Pythagorovy věty aplikované na pravoúhlý trojúhelník s přeponou rs, jednou odvěsnou ρs a druhou a odvěsnou . 2 2 a 2 2 r s =s 2 S 2 s rs a a 2 1 5 a 2 a 2 55 2 s= r s − = − = 2 4 2 5 2 5 B A a
•
Obsah pravidelného pětiúhelníku s • Obsah můžeme spočítat jako součet obsahů pěti shodných a rovnoramenných trojúhelníků se základnou a a s výškou ρs. a 2 2 55 a 2 252 55 a 2 a2 S=5⋅ = = 52 55= 2510 5 4 5 4 5 4 4
•
s
Vzdálenost y (vzdálenost bodů OD, kde O je střed úhlopříčky CE) • Tuto vzdálenost vypočítáme pomocí Pythagorovy věty aplikované na pravoúhlý trojúhelník CDO: E
2
2
y= a −
us 2 a2 a 2 = a − 1 5 = ⋅10−2 5 . 2 4 4 8
D y
a C
Odchylka sousedních stěn • Budeme uvažovat pomocný pravidelný trojboký jehlan odříznutý z pravidelného dvanáctistěnu tak, že hrany podstavy mají délku úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku a boční hrany jsou hrany dvanáctistěnu. Představíme si řez tohoto jehlanu rovinou kolmou k boční hraně a procházející hranou podstavy. Řezem je rovnoramenný trojúhelník se základnou us a rameny délky x, přičemž platí (užití vzorce pro obsah trojúhelníku): u s⋅y a⋅x a , odtud x= ⋅1 5⋅ 10−2 5 . = 8 2 2 Nyní pomocí goniometrických funkcí určíme odchylku ramen, která je současně odchylkou sousedních stěn: us =˙ 58˚ 17' , =˙ 116˚ 34 ' . 2 2 , sin = = 2 2 x 10−2 5
us
x
x
a a
a us
us
x
x 2
x
•
a us
us
Poloměr koule vepsané • Poloměr koule vepsané vypočteme s užitím pravoúhlého trojúhelníku TSM (s pravým úhlem u vrcholu S), kde T je střed dvanáctistěnu, S je střed stěny a M je střed hrany (ležící v téže stěně). Odvěsna ρs svírá s přeponou úhel , druhou odvěsnu ρ 2 chceme vypočítat. V tomto trojúhelníku platí: M tg = , =s⋅tg . s s 2 2 2
a
y us
M S T
T
S
2 Z předchozího výpočtu víme, že sin 2 = . 10−2 5 Použijeme-li vztahy mezi goniometrickými funkcemi, sin x konkrétně: sin 2 xcos 2 x=1 , tg x = , dostáváme: cos x cos
6−2 5 , 2 = 10−2 5
2 a 2 55 10−2 5 a 5⋅2 55 2 a = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ 102511 5 . 2 5 2 5 20 6−2 5 6−2 5
•
10−2 5
Poloměr koule opsané • Poloměr koule opsané můžeme vypočítat užitím pravoúhlého trojúhelníku s přeponou r a odvěsnami ρ a rs.
9
Platí: r 2=r s 22 = r=
a 2 1 5 a 2 a2 2⋅[102511 5]= 3 59 8 2 5 20
2 a2 a a 3 a 3 a 3 3 59 ⋅ 3 59= ⋅ 2 56= ⋅ 1 5 = ⋅1 5 . 8 4 4 4 2 2
•
Tělesová úhlopříčka • Délka tělesové úhlopříčky procházející středem je dvojnásobkem a 3 ⋅1 5 . poloměru koule opsané, tedy u=2 r= 2
•
Odchylka tělesových úhlopříček • Odchylku dvou úhlopříček protínajících se ve středu dvanáctistěnu určíme pomocí obdélníku, který získáme jako řez dvanáctistěnu rovinou určenou těmito úhlopříčkami. Úhlopříčky obdélníku jsou tělesové úhlopříčky, kratší strana obdélníku je hranou dvanáctistěnu. Platí: L K a K L a a 2 2 2 sin = = = , 2 r a 3 3⋅1 5 r ⋅1 5 4 T T =˙ 20 ˚ 54,5 ' , =˙ 41˚ 49 ' . 2
A
•
B
B
A Objem • Známe-li poloměr koule vepsané, můžeme objem dvanáctistěnu vypočítat jako objem dvanácti shodných pravidelných pětibokých jehlanů, jejichž podstavy jsou tvořeny stěnami dvanáctistěnu a výška těchto jehlanů je rovna poloměru koule vepsané. • Objem jednoho takového jehlanu bude:
1 1 a 2 10 525 a 10 2511 5 a3 V J = ⋅S p⋅= ⋅ ⋅ = ⋅10 525⋅10⋅2511 5 = 3 3 4 20 12⋅20 3
3
3
•
3
2 5a a a a ⋅ 470210 5= ⋅ 225210 5245= ⋅ 157 5 = ⋅157 5 . 12⋅20 48 48 48 A objem celého dvanáctistěnu:
=
a3 a3 V =12V J =12⋅ ⋅157 5= ⋅157 5 . 48 4
•
Povrch • Povrch pravidelného dvanáctistěnu vypočítáme jako součet obsahů jednotlivých stěn. Každá stěna je tvořena pravidelným pětiúhelníkem se stranou a a obsahem S. Tedy: 2 a P=12⋅S =12⋅ 2510 5=3 a 2 2510 5 . 4
10
Pravidelný dvacetistěn •
Pravidelný dvacetistěn má dvanáct vrcholů a dvacet stěn tvořených shodnými rovnostrannými trojúhelníky. Podle Platóna byl dvacetistěn symbolem vody.
•
Odchylka sousedních stěn • Z dvacetistěnu oddělíme pravidelný pětiboký jehlan a uvažujeme řez tohoto jehlanu rovinou kolmou k boční hraně jehlanu a protínající podstavu ve stěnové úhlopříčce. Řezem je rovnoramenný trojúhelník s rameny vs a základnou us, přičemž ramena svírají úhel . V tomto trojúhelníku platí: us a 1 5 2 4 1 5 = 69 ˚ 05 ' ˙ , =˙ 138˚ 11' . sin = = = , 2 2 vs a 2 3 3 2
E
V E
A B
C
V A
X B
•
vs A
X 2
vs C
us
C
Poloměr koule vepsané • Poloměr koule vepsané pravidelnému dvacetistěnu je vzdálenost středu tělesa od středu libovolné stěny. Využijeme (obdobně jako u pravidelného dvanáctistěnu) pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami ρ, ρs ( ρs je třetina vs) a s přeponou rovnou vzdálenosti středu dvacetistěnu od středu některé hrany. V tomto trojúhelníku platí: M tg = S 2 1 . M ⋅v s 3 T 2 s T S
sin
Z předchozího výpočtu víme, že
2 = 12 35 .
Použijeme-li vztahy mezi
sin x goniometrickými funkcemi, konkrétně: sin 2 xcos 2 x=1 , tg x = , dostáváme: cos x 1 5 2 1 5⋅ 6 3− 5 2 3 3− 5 tg = = = , cos = 2 6 2 cos 2 3−6 5 2 3⋅3− 5⋅ 3− 5 = sin
2⋅1 5⋅ 3− 5⋅3 5 = 2⋅ 2 5⋅ 3− 5 = 2⋅2 5 ⋅3− 5 = 2 2 2⋅3− 5 3 5 2
=
11
146 5 96 55 3 5 = = =
2
2
2
2
=
3 5 , 2
a 3 vs 2 a 3 3 5 a 33 5 . = ⋅tg = ⋅tg = ⋅ = 3 2 3 2 6 2 12
•
Poloměr koule opsané • Poloměr koule opsané je vzdálenost od středu tělesa k libovolnému vrcholu. Tato 2 vzdálenost je současně přeponou pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami a stěnové 3 výšky vs. Podle Pythagorovy věty dostáváme:
r=
2
2
2 2 a 2 a 3 5 a 2 146 5 a2 153 5 , v s 2= = ⋅ 1 = ⋅ 3 3 4⋅12 3 16 3 8
r 2=
a a 2 a ⋅ 153 5= ⋅ 5 5= ⋅ 2⋅5 5 . 4 4 3⋅2 2 2 v 3 s
r
•
Tělesová úhlopříčka • Délka tělesové úhlopříčky procházející středem je dvojnásobkem poloměru koule L a K a u=2 r= ⋅ 2⋅5 5 opsané, tedy . 2 T
A
•
a B Odchylka tělesových úhlopříček • Odchylku dvou úhlopříček protínajících se ve středu dvacetistěnu určíme pomocí obdélníku, který získáme jako řez dvacetistěnu rovinou určenou těmito úhlopříčkami. Úhlopříčky obdélníku jsou tělesové úhlopříčky, kratší strana obdélníku je hranou a dvacetistěnu. Platí: L K a a 2 2 2 2 r sin = = = , =˙ 63 ˚ 26' . 2 r a T ⋅ 102 5 102 5 4
•
B A Objem • Známe-li poloměr koule vepsané, můžeme objem dvacetistěnu vypočítat jako objem dvaceti shodných pravidelných trojbokých jehlanů, jejichž podstavy jsou tvořeny stěnami dvacetistěnu a výška těchto jehlanů je rovna poloměru koule vepsané. Objem jednoho takového jehlanu je:
1 1 a 2 3 a 3 3 5 a 3 3 5 V J = ⋅S p⋅= ⋅ ⋅ = . 3 3 4 12 48
12
Objem celého dvacetistěnu: a 3 3 5 5 a 3 3 5 V =20 V J =20⋅ = . 48 12
•
Povrch • Povrch pravidelného dvacetistěnu tvoří dvacet shodných rovnostranných trojúhelníků se stranou délky a. Obsah jedné stěny je tedy: S=
a2 3 . 4 2
a A konečně povrch celého dvacetistěnu: P=20⋅S=20⋅ 3=5 a 2 3 . 4
13
Dualita pravidelných mnohostěnů •
Jedno těleso je duální k druhému, lze-li je navzájem (při vhodném poměru velikostí) do sebe vepsat tak, že vrcholy jednoho tělesa leží ve středech stěn druhého. Je tedy nutné, aby počet vrcholů jednoho tělesa byl stejný jako počet stěn tělesa druhého (a naopak).
Čtyřstěn – čtyřstěn • Pravidelný čtyřstěn je duální sám se sebou. Nechť větší čtyřstěn ABCD má hranu délky a, menší čtyřstěn KLMN (vepsaný do prvního) hranu délky b. Uvažujeme řez čtyřstěnu ABCD rovinou SABSBCD. V této rovině leží i hrana KL, která je současně střední příčkou v trojúhelníku SABSBCD. Platí: D
K
L SBC
A
SAB
B D
a ∣S AB S BC∣= 2 (délka střední příčky trojúhelníku ABC),
2 v 3 s
a 2 2 a a ∣S AB D∣=v s= 2 3 , ∣KD∣= 3 v s= 3⋅ 2 3= 3 3 . a a 3 2 4 a = , po úpravě =3 . Dále díky podobnosti platí: a b b 3 2 3
K
vs 3 SAB
L
b 2 a 2
SBC
Označíme-li V1 objem čtyřstěnu ABCD a V2 objem čtyřstěnu KLMN, potom označíme-li P1 povrch čtyřstěnu ABCD a P2 povrch čtyřstěnu KLMN, potom poměry lze získat dosazením do vzorců pro objem/povrch čtyřstěnu b= uvědomit, že
3 2 V1 P a a = =33=27 a obdobně 1 = =32=9 . V2 b P2 b
Krychle – osmistěn • Krychle je duální s pravidelným osmistěnem (a naopak). Nechť krychle má hranu délky a, osmistěn hranu délky b. Objem krychle dále značíme VK, objem osmistěnu VO, povrch krychle PK, povrch osmistěnu PO.
14
V1 =27 , V2
P1 =9 . Tyto P2
a nebo si stačí 3
•
Vepíšeme-li krychli do osmistěnu, platí: b 2 vs 4 a 2 = (analogicky jako u čtyřstěnu – viz obrázek), po úpravách: = . 2 a b 3 v 3 s 2 E E O
2 v 3 s
P C
A
SAB
B
SBC
O
SAB
F
VK 2 = , VO 9
vs 3
P
a 2 b 2 2
SBC
P K 2 3 = (tyto poměry získáme dosazením do vzorců pro objem PO 9
a povrch příslušných těles). •
Vepíšeme-li osmistěn do krychle, platí: a = 2 (b je polovinou úhlopříčky čtverce) b VK PK =6 , =2 3 (tyto poměry získáme opět dosazením do vzorců pro objem VO PO a povrch příslušných těles).
•
Dále si můžeme všimnout, že odchylka tělesových úhlopříček krychle je rovna odchylce rovin, ve kterých leží stěny osmistěnu (přibližně 70°32'), a odchylka tělesových úhlopříček osmistěnu je rovna odchylce rovin, ve kterých leží stěny krychle (90°).
Dvanáctistěn – dvacetistěn • Pravidelný dvanáctistěn je duální s pravidelným dvacetistěnem (a naopak). • Obdobným postupem jako u předchozích těles lze odvodit poměry délek hran. Vepíšeme-li dvanáctistěn do dvacetistěnu, bude mít poměr délky hrany dvacetistěnu ku délce hrany 3⋅ 5−1 dvanáctistěnu hodnotu a vepíšeme-li dvacetistěn do dvanáctistěnu, bude 2 poměr délky hrany dvanáctistěnu ku délce hrany dvacetistěnu roven poměrů objemů a povrchů už nevede k pěkným číselným vyjádřením.
15
3 5−5 . Výpočet 2
•
Dále si můžeme všimnout, že odchylka tělesových úhlopříček dvanáctistěnu je rovna odchylce rovin, ve kterých leží stěny dvacetistěnu (přibližně 41°49'), a odchylka tělesových úhlopříček dvacetistěnu je rovna odchylce rovin, ve kterých leží stěny dvanáctistěnu (přibližně 63°26').
16
Příloha A: Polopravidelné mnohostěny Polopravidelnými mnohostěny nazýváme takové mnohostěny, jejichž stěny jsou tvořeny pravidelnými mnohoúhelníky dvou nebo tří typů a jejichž vrcholy jsou stejného typu (tj. v každém vrcholu se setkává ve stejném pořadí stejný počet stěn téhož typu). Těchto těles známe patnáct, z toho třináct jich odvodil Archimédes z platónských těles odřezáváním vrcholů nebo hran (tato tělesa se nazývají Archimédova). V následující tabulce je přehled všech Archimédových těles. Názvy těles uvádíme v angličtině (do češtiny se většinou nepřekládají). V třetím sloupci je uveden počet vrcholů, ve čtvrtém počet hran těchto těles. U počtu stěn navíc uvádíme, o jaké stěny jde (např. zápis „8 = 43 + 46“ znamená, že těleso má osm stěn, z toho čtyři jsou rovnostranné trojúhelníky a čtyři pravidelné šestiúhelníky). V posledním sloupci uvádíme, z jakého platónského tělesa daný polopravidelný mnohostěn vznikl. Obrázky Archimédových mnohostěnů naleznete na následující straně. Obrázek
Název
v
h
Počet stěn
Platónské těleso
1
truncated tetrahedron
12
18
8 = 4 3 + 46
čtyřstěn
2
cuboctahedron
12
24
14 = 83 + 64
krychle, osmistěn
3
truncated octahedron
24
36
14 = 64 + 86
osmistěn
4
truncated cube
24
36
14 = 83 + 68
krychle
5
rhombicuboctahedron
24
48
26 = 83 + 184
krychle, osmistěn
6
truncated cuboctahedron
48
72
26 = 124 + 86 + 68
krychle, osmistěn
7
icosidodecahedron
30
60
32 = 203 + 125
dvanáctistěn, dvacetistěn
8
truncated icosahedron
60
90
32 = 125 + 206
dvacetistěn
9
truncated dodecahedron
60
90
32 = 203 + 1210
dvanáctistěn
10
snub cube
24
60
38 = 323 + 64
krychle
11
rhombicosidodecahedron
12
60 120 62 = 203 + 304 + 125 dvanáctistěn, dvacetistěn
triuncated icosidodecahedron 120 180 62 = 304 + 206 + 1210 dvanáctistěn, dvacetistěn
13
snub dodecahedron
60 150
92 = 803 + 125
dvanáctistěn
Další dva typy polopravidelných mnohostěnů jsou hranoly a antihranoly. Podstavami hranolů jsou shodné pravidelné n-úhelníky a bočními stěnami jsou čtverce. Podstavami antihranolů jsou také shodné pravidelné n-úhelníky, které jsou vůči sobě pootočeny o úhel π/n, bočními stěnami jsou rovnostranné trojúhelníky.
Antihranol
Hranol
17
Obrázek 1
Obrázek 2
Obrázek 3
Obrázek 4
Obrázek 5
Obrázek 6
Obrázek 7
Obrázek 8
Obrázek 9
Obrázek 10
Obrázek 11
Obrázek 12
Obrázek 13
Na obrázku je naznačeno, jak ořezáním vrcholů pravidelného dvacetistěnu získáme jeden z polopravidelných mnohostěnů (truncated icosahedron). Stabilní molekula uhlíku, tzv. fulleren C60, má 60 atomů umístěných právě ve vrcholech tohoto tělesa.
18
Příloha B: Keplerova – Poinsotova tělesa (hvězdicovité mnohostěny) Johannes Kepler (1571 – 1630) objevil dva hvězdicové mnohostěny – hvězdicovitý dvanáctistěn a hvězdicovitý dvacetistěn. Jedná se o nekonvexní mnohostěny vytvořené „protažením stěn“ pravidelného dvanáctistěnu a dvacetistěnu. Francouzský matematik Louis Poinsot (1777 – 1859) popsal popsal mnohostěny k nim duální.
Hvězdicovitý dvanáctistěn
Mnohostěn duální k hvězdicovitému dvanáctistěnu
Hvězdicovitý dvacetistěn
Mnohostěn duální k hvězdicovitému dvacetistěnu
Na následujících internetových stránkách najdete (mimo jiné) sítě mnohostěnů z příloh A, B: • http://www.korthalsaltes.com • http://www.computing.dcu.ie/~cschellewald/PlatonicSolids/PlatonicSolids.html • http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanSolid.html
19
Příloha C: Sítě pravidelných mnohostěnů Studenti většinou intuitivně tuší, jak vypadá síť mnohostěnu. Jde-li o čtyřstěn, tvoří síť čtyři shodné rovnostranné trojúhelníky, síť krychle je složena z šesti shodných čtverců atd. Sítě platónských těles nakreslené pomocí příkazu „síť tělesa“ v programu Cabri3D vypadají vždy stejně. Je však vhodné studenty upozornit na možnost přesunout některou ze stěn na jiné místo. Můžete pak nechat studenty zkoumat, který obrázek je ještě sítí tělesa a který již není (viz ukázka se sítí krychle). Sítě platónských těles nakreslené v programu Cabri3D:
Čtyřstěn
Osmistěn
Krychle
Dvanáctistěn
Dvacetistěn
20
Další možné sítě krychle:
Z těchto obrázků už krychli složit nelze:
21
Příloha D: Konstrukce ve volném rovnoběžném promítání Volné rovnoběžné promítání je jedním ze způsobů, jak zobrazit prostorové útvary do roviny. Body prostoru promítáme daným směrem do dané roviny. Tato rovina (bývá většinou svislá), se nazývá nákresna. Úsečky rovnoběžné s nákresnou se nezkreslí, úsečky kolmé k nákresně se zobrazí na úsečky svírající s vodorovným směrem daný úhel α, které jsou k krát kratší (k je koeficient zkrácení). Zpravidla se používá promítání s koeficientem zkrácení 0,5 a úhlem α = 45°. Ne vždy je však tato volba vhodná, neboť může zhoršit názornost obrázku (může dojít ke splynutí různých přímek). Studenti by měli znát konstrukci krychle, osmistěnu a čtyřstěnu ve volném rovnoběžném promítání. Nejsnadnější je konstrukce krychle. Úsečka AB délky a (hrana krychle) se nezkreslí, úsečky BC, AD svírají s úsečkou AB úhel α a jejich délka je k⋅a . Tak získáme dolní podstavu ABCD. Horní podstavu EFGH dostaneme posunutím dolní podstavy nahoru o vektor délky a kolmý k úsečce AB. Pravidelný osmistěn můžeme narýsovat také snadno, představíme-li si, že se skládá ze dvou shodných čtyřbokých jehlanů se společnou podstavou. Touto podstavou je čtverec ABCD (konstrukce – viz dolní podstava krychle). Sestrojíme střed S čtverce ABCD (například jako průsečík úhlopříček AC, BD) a posuneme ho nahoru i dolů o vektor délky
a 2 (a je délka hrany 2
a 2 je polovina délky úhlopříčky čtverce) kolmý k úsečce AB. Získáme tak vrcholy E, 2 F. Skutečnou délku úhlopříčky čtverce ABCD a její polovinu si musíme zkonstruovat zvlášť pomocnou konstrukcí.
osmistěnu,
Pravidelný čtyřstěn lze narýsovat jako trojboký jehlan. Nejprve opět zkonstruujeme podstavu. Podstavou je rovnostranný trojúhelník ABC. Hranu AB sestrojíme nezkreslenou a její střed označíme O. Bod O je patou stěnové výšky OC na stranu AB. Tato výška je oproti skutečné velikosti k krát zkreslená (skutečnou délku výšky OC musíme předem zjistit pomocnou konstrukcí) a s úsečkou AB svírá úhel α (ve skutečnosti je úsečka OC kolmá k nákresně). Určíme střed S podstavy ABC (S je průsečík stěnových výšek) a posuneme ho nahoru o vektor délky tělesové výšky (skutečnou délku tělesové výšky určíme opět pomocnou konstrukcí – narýsujeme si například pravoúhlý trojúhelník ASD) kolmý k úsečce AB. Získáme tak vrchol D. Výše popsaným postupům odpovídají přiložené konstrukce v programech CabriII+ a GeoGebra 3.0. Vstupními údaji jsou vždy délka hrany tělesa, koeficient zkrácení a úhel, který svírají průmět vodorovné přímky (rovnoběžné s nákresnou) a průmět přímky kolmé k nákresně. Tyto parametry lze měnit. Na obrázcích sestrojených v programu CabriII+ je vyznačena viditelnost jednotlivých hran těles odpovídající pravému nadhledu ( ∈0 ° , 90 ° ). Na obrázcích sestrojených v programu GeoGebra 3.0 viditelnost vyznačena není, aby nemátla při změně velikosti úhlu α.
22
Literatura •
Bartsch, H. J.: Matematické vzorce. Mladá fronta, 2002.
•
Bečvář, J., Štoll, I.: Archimedes. Prometheus, 2005.
•
Chmelíková, V.: Zlatý řez. Bakalářská práce, KDM, MFF UK, 2006.
•
Pomykalová, E.: Stereometrie. Řada učebnic Matematika pro gymnázia, Prometheus, 1995.
•
Robová, J.: Cabri II+. Studijní text k předmětu Aplikace počítačů ve výuce geometrie I na MFF UK, 2006/2007.
•
Robová, J.: Cabri 3D. Studijní text k předmětu Aplikace počítačů ve výuce geometrie II na MFF UK, 2006/2007.
•
Svobodová, V.: Historie pravidelných mnohostěnů. In: Sborník Matematika v proměnách věků IV. Akademické nakladatelství Cerm, 2007.
•
Šolcová, A.: Johannes Kepler. Prometheus, 2004.
Internetové zdroje •
http://www.korthalsaltes.com
•
http://www.computing.dcu.ie/~cschellewald/PlatonicSolids/PlatonicSolids.html
•
http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanSolid.html
•
http://www.theweebsite.com/polyhedra/pmftc/pmftc4.html
•
http://mathworld.wolfram.com/Kepler-PoinsotSolid.html
•
http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_Solid
•
http://cs.wikipedia.org/wiki/Platónské_těleso
•
http://cs.wikipedia.org/wiki/Mnohostěn
23
