Práce, výkon Práce je konána, působí-li na těleso síla a těleso je přemisťováno. Závisí na:síle - přímoúměrně (čím větší síla, tím větší práce) dráze - přímoúměrně (čím větší dráha, tím větší práce) značka W jednotka J (Joule) výpočet W = F.s F ...síla (N)
s ... dráha (m)
1J - práce, kterou vykoná síla 1N působením na dráze 1m. Příklad konání práce:
Příklad, kdy není konána práce:
Jeřáb zvedá náklad, přenášíme knihy, vzpěrač zdvihá činku, malíř táhne štětcem, zedník veze cihly, apod. stojíme a držíme nákup v ruce - není dráha kulička se kutálí po stole - pohyb bez působící síly - setrvačnost
Práce a kladky Kladka pevná
Stejná síla, stejná dráha W = F.s Počet stránek: 34
Kladka volná
Kladkostroj
Poloviční síla, dvojnásobná dráha W = F/2 . 2s = F.s
n-krát menší síla, n-krát větší dráha W = F/n . ns = F.s Stránka 1
Při použití kladek se práce neušetří (je stejná), můžeme si ji však ulehčit - menší síla, vlastní "váha". Výkon je veličina charakterizující, jak rychle byla práce vykonána Závisí na:
práci - přímoúměrně (čím větší práce, tím větší výkon) čase- nepřímoúměrně (čím větší doba, tím menší výkon)
jednotka
P W (Watt), (dříve kůň = 3/4kW)
výpočet
P = W/t
značka
W ...práce (J) t ... čas (s) 1W- výkon, kdy dojde k práci 1J za 1s.. Výpočet práce z výkonu: W = P.t
Příklad: Jaký výkon měl zedník, přenesl-li cihly o hmotnosti 25kg do vzdálenosti 10m za 5s? m = 25 kg
F = m . g = 250 N
P = 2500 : 5 W
t=5s s = 10 m
W=F.s
P=?W
W = 250 . 10 J W = 2500 J
g = 10 N/kg
P=W:t P = 500 W
Výkon zedníka byl 500 W.
Počet stránek: 34
Stránka 2
Účinnost - fyzikální veličina značka µ jednotka výpočet
0<µ>1 0% < µ > 100%
%, bez jednotky µ = P : P0 P ..... výkon
P0...... příkon Příklad: 1. Vypočítejte jaký výkon podal žák v TEV, když vyšplhal do výšky 10m za 6s. Hmotnost žáka před hodinou tělocviku byla 60kg s = 10m t =6s W =?J F =?N P =?N F = m.g = 60kg . 10N/kg = 600N ......tíha tělesa W = F.s = 600N . 10m = 6000J = 6kJ P = W/t = 6000J : 6s = 1000W = 1kW Žák při šplhu podal výkon 1kW.
Síla a její měření
Tady je možné shlédnout prezentaci k tématu skládání sil: resp. stručné vysvětlení problematiky. 1) Připomenutí:
Síla
značka jednotka další jednotky měřidlo
F N (Newton) kN, MN siloměr
1N je přibližně velikost síly, kterou působí Země na těleso o hmotnosti 100g Posuvný účinek síly na těleso se nezmění, po2) Skládání sil suneme-li působiště ve směru působící síly. Síla, která má na těleso stejný účinek jako několik současně působících sil se nazývá výslednice sil. Výslednice sil složená ze sil stejného směru má s danými silaI. Stejného směru mi stejný směr a velikost dánu součtem dílčích sil. Př. na závěsu jsou zavěšena dvě závaží, sáňky táhne psí spřežení, na lavici leží štos knih, na most vjíždí pět nákladních automobilů.
Počet stránek: 34
Stránka 3
II. Opačného směru
Výslednice sil složená ze sil opačného směru má velikost dánu rozdílem velikostí dílčích sil a směr podle větší z nich. Př. Přetahovaná lana, přetahování o dveře, člověk v kabině výtahu
III. Různého směru
3) Rovnováha sil
4) Těžiště
Výslednice sil složená ze sil různého směru je dána úhlopříčkou rovnoběžníku sil vytvořeného z daných sil. Působí-li na těleso současně v jedné přímce dvě síly stejné velikosti a opačného směru. Výslednice sil je nulová. Každé těleso má jedno těžiště, poloha závisí na rozložení látky v tělese. Do těžiště zakreslujeme působiště gravitační síly, kterou Země působí na těleso. Těleso podepřené pod těžištěm, resp. v těžišti zůstává v klidu.
Síla - vlastnosti •
• •
• • •
Tělesa na sebe mohou působit při dotyku nebo na dálku. Působení těles na dálku je zprostředkováno silovým polem. Při statickém působení těles jsou tělesa vzhledem k sobě v klidu. Při dynamickém působení se tělesa vůči sobě pohybují. V obou případech dochází k deformacím (mění se tvar a rozměry těles). Při dynamickém působení se navíc mění i pohyb těles. Síla je veličina, kterou užíváme k popisu vzájemného působení těles. Jednotkou síly je newton (označení N). Sílu si můžeme znázornit orientovanou úsečkou (úsečka s šipkou). Bod, ve kterém síla působí, se nazývá působiště síly. Přímka, v níž síla působí, se nazývá nositelka síly. Sílu můžeme posunovat podél její nositelky bez změny účinku. Výslednice sil je síla, která má stejné účinky jako skládané síly. Výslednice rovnoběžných sil stejného směru je síla ve velikosti rovnou součtu sil. Má stejný směr jako skládané síly. Výslednicí rovnoběžných sil opačného směru je síla s velikostí rovnou rozdílu sil. Má směr větší síly.
Počet stránek: 34
Stránka 4
•
•
• • • • •
•
•
• • •
•
•
Postup při grafickém skládání dvou různoběžných sil se stejným působištěm je následující: - úsečky znázorňující síly doplníme na rovnoběžník - výslednice je síla, která je úhlopříčkou rovnoběžníku a vychází z působiště obou sil - každou sílu můžeme rozložit na dvě složky Na všechna tělesa na zemském povrchu působí tíhová síla. Značíme ji FG. Tíhovou sílu můžeme počítat podle vzorce FG = m.g. Tíhová síla určuje svislý směr. Působištěm tíhové síly je těžiště. Každé těleso má jen jedno těžiště. Zákon setrvačnosti: Těleso setrvává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, pokud není nuceno tento stav změnit působením jiných těles. Síla, která působí ve směru rychlosti, těleso urychluje. Síla, která působí proti směru rychlosti, těleso zpomaluje. Síla, která je kolmá ke směru rychlosti, zakřivuje trajektorii tělesa. Sílu, která působí jiným směrem, můžeme rozložit na dvě složky. Kolmá složka zakřivuje trajektorii a druhá složka mění velikost rychlosti. Čím větší je působící síla, tím větší je změna pohybu. Zákon akce a reakce: Dvě tělesa na sebe navzájem působí stejně velkými silami opačného směru. Tyto síly označujeme akce a reakce. Obě síly mají společnou nositelku, působí současně. Vždy působí na různá tělesa, proto se neruší. Otáčivé účinky síly popisuje moment síly. Moment síly je roven součinu ramene síly a síly (M = a . F). Rameno síly je vzdálenost nositelky síly a osy otáčení. Jednotkou momentu síly je newtonmetr, který má značku Nm. K otáčení se výhodně používá dvojice sil. Jsou to dvě rovnoběžné, stejně veliké síly opačného směru, s různými nositelkami. Rovnováha je stav, při kterém je těleso v klidu. Podmínkami rovnováhy jsou nulová výslednice sil a nulový moment sil. Působí-li síla kolmo na plochu, označujeme ji pojmem tlaková síla. Účinky tlakové síly vyjadřuje tlak. Tlak vypočítáme podle vzorce p = F/S, ve kterém je F tlaková síla a S plocha, na kterou tlaková síla působí. Jednotkou tlaku je pascal (Pa). Deformační účinky tlakové síly se snižují zvětšením plochy (lyže, sněžnice, pásy tanku, .) Tlak se zvýší zmenšením plochy (jehla, nůž, hřebík, sekera, ...). Smykové tření vzniká, když se dvě tělesa z pevných látek po sobě smýkají. Třecí síla závisí na tlakové síle a na kvalitě povrchů. Působí proti pohybu či zamýšlenému pohybu tělesa. Klidová třecí síla je větší než třecí síla při pohybu. Valivé tření vzniká při valení válce, koule nebo kužele. Za stejných okolností je tření valivé menší než tření smykové. Tření je v některých případech užitečné, v technice je obvykle škodlivé. Když se nějaké těleso pohybuje v kapalině nebo v plynu, vzniká odpor prostředí. Síla odporu prostředí je vždy namířena proti pohybu.
Počet stránek: 34
Stránka 5
Počet stránek: 34
Stránka 6
Příklad:
Počet stránek: 34
Stránka 7
Páka
Počet stránek: 34
Stránka 8
Páka - těleso otáčivé kolem osy, též jednoduchý stroj. Možné otáčení: v kladném nebo záporném směru Účinek síly působící na páku závisí na velikosti síly F, rameni a (vzdálenost působiště síly a osy otáčení) Páka je v rovnovážné poloze, jestliže je součin ramene a síly na jedné straně páky roven součinu ramene a síly na straně druhé.
Příklad: Houpačku tvoří třímetrové prkno podepření uprostřed. Na jednom konci sedí chlapec o hmotnosti 30kg. Kam se posadí jeho kamarád vážící 45kg?
Kamarád se musí posadit do vzdálenosti 1m od podepření.
aplety - http://www.walter-fendt.de/ph14cz/lever_cz.htm - páka http://www.walter-fendt.de/ph14cz/equilibrium_cz.htm - síla a kladky http://www.walter-fendt.de/ph14cz/pulleysystem_cz.htm - kladkostroj Další aplety přeložené do češtiny najdete na http://www.walter-fendt.de/ph14cz/ páka
Užití páky
jednozvratná x dvojzvratná rovnoramenná x nerovnoramenná
nůžky, kleště, kolečko, rumpál, přezmen, otvírák,
rovnoramenné váhy
kladka
pevná - stejná síla volná - poloviční síla kladkostroj - síla n krát menší, podle počtu lan
Počet stránek: 34
Stránka 9
Převod 10 nejčastěji používaných fyzikálních jednotek - teploty, délky, objemu, síly, hmotnosti, obsahu, rychlosti, tlaku, energie, výkonu. Výhodou tohoto webu je úplná funkčnost i v ofline režimu prohlížení. http://www.kalirna.cz/jednotky.htm Příklad: Máme určit rozměr práce. Práce je mimo jiné určená vzorcem W = F ⋅ s , kde F je síla, s je délka dráhy. Síla je určena vzorcem F = m ⋅ a , kde m je hmotnost a a je zrychlení, zrychlení je dáno rovnicí a =
v s , rychlost je určena v = . Pokud známe více rovnic pro určení některé z veličin, vyberet t
me tu nejjednodušší, stačí sledovat její rozměr, ne velikost.
s v s2 W = F ⋅ s = m⋅a⋅ s = m⋅ ⋅ s = m⋅ t ⋅ s = m⋅ 2 t t t 2 −2 [W ] = kg ⋅ m ⋅ s = J ( joul )
MEZINÁRODNÍ SOUSTAVA JEDNOTEK SI Tato soustava byla přijata na 11. generální konferenci pro váhy a míry r. 1960 a doplněna r. 1967 a 1971. Od 1. ledna 1980 je soustava SI jedinou zákonnou soustavou na území ČR. Soustava SI obsahuje čtyři druhy jednotek: jednotky základní, jednotky doplňkové, jednotky odvozené a jednotky násobné a dílčí.
Základní a doplňkové jednotky SI Základních jednotek má soustava SI sedm: metr (m) – základní jednotka délky - je délka rovnající se 1 650 763,73násobku vlnové délky záření šířícího se ve vakuu, které přísluší přechodu mezi energetickými hladinami 2p10 a 5d5 atomu kryptonu 86. kilogram (kg) - základní jednotka hmotnosti - je hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu, který je uložen u Mezinárodního úřadu pro váhy a míry v Sevres ve Francii. sekunda (s) - základní jednotka času - je doba trvání 9 192 631 770 period záření, které přísluší přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 133. ampér (A) - základní jednotka elektrického proudu - je proud, který při stálém průtoku dvěma rovnoběžnými přímými velmi dlouhými vodiči o zanedbatelném kruhovém průřezu umístěnými ve vakuu ve vzdálenosti jeden metr od sebe vyvolá mezi vodiči sílu rovnou 2.10-7 newtonů na jeden metr délky. Počet stránek: 34
Stránka 10
kelvin (K) - základní jednotka teplotního rozdílu – je 1/273, 16-tá část termodynamické teploty trojného bodu vody. mol (mol) - základní jednotka látkového množství - je látkové množství soustavy, jejíž počet elementárních jedinců se rovná počtu atomů v 0,012 kg uhlíku 12. kandela (cd) - základní jednotka svítivosti - je svítivost v daném směru zdroje, který vysílá monochromatické záření frekvence 540.1012 Hz, a jehož zářivost v tomto směru činí 1/683 wattů na steradián. K těmto sedmi základním jednotkám jsou přiřazeny dvě jednotky doplňkové: radián (rad) – doplňková jednotka rovinného úhlu - je rovinný úhel sevřený dvěma poloměry, který vytínají na obvodu kruhu oblouk stejné délky, jako má poloměr. steradián (sr) – doplňková jednotka prostorového úhlu – je prostorový úhel, který s vrcholem ve středu koule vytíná na jejím povrchu plochu velikosti čtverce o hraně rovné poloměru koule.
Odvozené jednotky SI Odvozují se pomocí definičních vztahů (fyzikálních zákonů) ze základních, popř. doplňkových jednotek SI. Při odvozování jednotek elektrických a magnetických veličin se v soustavě SI důsledně užívá racionalizace. Veličina plošný obsah objem kmitočet, frekvence rychlost úhlová rychlost zrychlení úhlové zrychlení molární hmotnost hustota moment setrvačnosti hybnost moment hybnosti síla moment síly impuls síly impuls momentu tlak dynam. viskozita práce, energie výkon intenzita zvuku teplotní roztažnost tepelná kapacita měrná tepelná kapacita Počet stránek: 34
Jednotka název*)
značka 2
hertz
newton
pascal joule watt
m m3 Hz m . s –1 rad . s -1 m . s –2 rad . s -2 kg . mol –1 kg . m –3 kg . m 2 kg . m . s -1 kg . m2 . s -1 N N.m N.s N.m.s Pa Pa . s J W W . m –2 K –1 J . K –1 J . kg –1 . K –1
rozměr 2
m m3 s -1 m . s –1 rad . s –1 m . s –2 rad . s –2 kg . mol –1 kg . m –3 kg . m 2 kg . m . s –1 kg . m2 . s –1 kg . m . s –2 kg . m2 . s –2 kg . m . s -1 kg . m2 . s –1 N . m-2 = kg . m-1 . s -2 kg . m-1 . s -1 N . m = kg . m2 . s –2 J . s –1 = kg . m2 . s -3 kg . s –3 K –1 kg . m2 . s –2 . K –1 m2 . s –2 . K –1 Stránka 11
J . mol –1 . K –1 W . m –1 . K –1 C C.m
kg . m2 . s-2. mol-1 . K –1 kg . m . s –3 . K –1 A.s A.m.s
volt
C . m –2 V
farad
V . m –1 F
permitivita hustota el. proudu el. odpor
ohm
F . m –1 A . m –2 Ω
měrný el. odpor el. vodivost
siemens
Ω.m S
A . s . m–2 W . A –1 = = kg . m2 . s –3 . A –1 kg . m . s –3 . A –1 C . V-1 = = kg-1 . m-2 . s 4 . A 2 kg-1 . m-3 . s 4 . A 2 A . m –2 V . A –1 = = kg . m2 . s -3 . A –2 kg . m3 . s -3 . A –2 Ω-1 = = kg-1 . m-2 . s 3 . A 2
molární tepelná kapacita tepelná vodivost el. náboj el. dipólový moment el. polarizace el. indukce el. potenciál, napětí intenzita el. pole kapacita
magn. indukce magn. polarizace magn. indukční tok intenzita mag. pole magnetizace magn. moment (Amp.) magn. moment (Coul.) indukčnost permeabilita zářivý tok hustota zářivého toku zářivost světelný tok osvětlení osvit aktivita
coulomb
tesla weber
T Wb A . m -1 A . m -1 A . m2 Wb . m
henry
H
watt
lumen lux becquerel
H . m -1 W W . m -2 W . sr -1 lm lx lx . s Bq
V . s . m –2 = kg . s –2 . A –1 V . s = kg . m2 . s -2 . A -1 A . m –1 A . m –1 J . T –1 = A . m 2 V.s.m= = kg . m3 . s -2 . A -1 Wb . A –1 = = kg . m2 . s -2 . A –2 kg . m . s -2 . A -2 kg . m2 . s -3 kg . s -3 kg . m2 . s -3 . sr -1 cd . sr cd . m-2 cd . s . m-2 s -1
*) uvedeny jen zvláštní názvy jednotek; názvy ostatní (neuvedené) se tvoří podle značky jednotky (např. kg . m-3 kilogram na krychlový metr, Pa . s pascal sekunda atp.).
Počet stránek: 34
Stránka 12
Těžiště složené rovinné čáry Příklad: Zjistěte polohu těžiště rovinné čáry, složené ze tří přímkových úseků dle obr. (l1 = 1 m; l2 = 2m; l3 = 3 m) Řešení: 1. Určíme souřadnice těžišť všech tří úseků x1 =
x2 = l1
x3 = l1 +
y1 = l2
y2 =
y3 = 0
2) Výpočet celkové délky čáry: l = l1 + l2 + l3 3) Výpočet celkového momentu vzhledem k bodu O: a) pro výpočet xT: (síla – délka čáry) l . xT – ∑ . = 0 l . xT = ∑ . ∑ . = l1 . x1 + l2 . x2 + l3 . x3
b) pro výpočet yT: l . yT – ∑ . = 0 l . yT = ∑ . ∑ . = l1 . y1 + l2 . y2 + l3 . y3
∑ .
= l1 . + l2 . l1 + l3 .( l1 + )
∑ .
= l1 . l2 + l2 . + l3 .0
∑ .
=
∑ .
=
+ l1 .( l2 + l3) +
( l1+ l2 + l3) . xT = + l1 .( l2 + l3) +
+ l1 . l2
(l1+ l2 + l3) . yT =
+ l1 . l2
4) Výpočet souřadnic těžiště T složených čar: xT =
∑ . ∑
xT = 1,67 m
yT =
∑ . ∑
yT = 0,667 m
Grafické řešení: 1) Složenou čáru rozdělíme na tři přímkové úseky l1; l2; l3. 2) V těžištích jednotlivých úseků T1; T2; T3 zavedeme ve dvou na sebe kolmých směrech síly reprezentující velikosti těchto úseků (F1 = l1, F2 = l2, F3 = l3). 3) Určíme polohu výslednice těchto sil v obou směrech. 4) Odměřením určíme souřadnice xT ; yT těžiště složené čáry.
Počet stránek: 34
Stránka 13
Příklad: Zjistěte polohu těžiště složené čáry na obr. (l = 300 mm) Řešení: 1. Určíme souřadnice těžišť u daných úseků x1 =
x2 = l
y1 = l
y2 =
2) Výpočet celkové délky čáry: lc = l + l = 2l 3) Výpočet celkového momentu vzhledem k bodu O: a) pro výpočet xT: (síla – délka čáry) lc . xT – ∑ . = 0 lc . xT = ∑ . ∑ . = l1 . x1 + l2 . x2
b) pro výpočet yT: lc . yT – ∑ . = 0 lc . yT = ∑ . ∑ . = l1 . y1 + l2 . y2
∑ .
= l . + l . l
∑ .
= l . l + l .
∑ .
=
∑ .
=
2l . xT =
2l . yT =
4) Výpočet souřadnic těžiště T složených čar: xT =
∑ . ∑
yT =
∑ . ∑
xT =
yT =
xT = 225 mm
yT = 225 mm
Příklad: Zjistěte polohu složené rovinné čáry na obr. (l1 = 100 mm; l2 = 200m) Řešení: 1. Určíme souřadnice těžišť všech tří úseků x1 =
x2 = 0
x3 =
y1 = 0
y2 =
y3 = l2
2) Výpočet celkové délky čáry: l = l1 + l2 + l1 = 2l1 + l2 3) Výpočet celkového momentu vzhledem k bodu O: a) pro výpočet xT: (síla – délka čáry) l . xT – ∑ . = 0 l . xT = ∑ . ∑ . = l1 . x1 + l2 . x2 + l1 . x3 ∑ .
= l1 . + l2 . 0 + l1 .
Počet stránek: 34
b) pro výpočet yT: l . yT – ∑ . = 0 l . yT = ∑ . ∑ . = l1 . y1 + l2 . y2 + l3 . y3 ∑ .
= l1 . 0 + l2 . + l1 .l2 Stránka 14
∑ .
=
( 2l1+ l2) . xT =
∑ .
=
+ l1 . l2
(2l1+ l2) . yT =
+ l1 . l2
4) Výpočet souřadnic těžiště T složených čar: xT =
∑ . ∑
yT =
xT = 25 mm
∑ . ∑
yT = 100 mm
Příklad: Zjistěte polohu složené rovinné čáry na obr. (l1 = 19 mm; l2 = 21 mm; l3 = 20 mm; = 45° ) Řešení: 1. Určíme souřadnice těžišť všech tří úseků x1 =
x2 =
x3 = l2 . cos α
y1 = 0
y2 = .
y3 = l2. sin α -
2) Výpočet celkové délky čáry: l = l1 + l2 + l3 3) Výpočet celkového momentu vzhledem k bodu O: a) pro výpočet xT: (síla – délka čáry) l . xT – ∑ . = 0 l . xT = ∑ . ∑ . = l1 . x1 + l2 . x2 + l3 . x3 + l3 . l2 . cos α
∑ .
= l1 . + l2 .
∑ .
= + l2. cos α ( + l3)
(l1+ l2 + l3) . xT = + l2. cos α ( + l3)
b) pro výpočet yT: l . yT – ∑ . = 0 l . yT = ∑ . ∑ . = l1 . y1 + l2 . y2 + l3 . y3 ∑ .
= l1 . 0 + l2 . .
∑ .
=
+ l3 .(l2 . sin α - )
sin α+ l3 . (l2 . sin α - )
(l1+ l2 + l3) . yT =
sin α+ l3 . (l2 . sin α - )
4) Výpočet souřadnic těžiště T složených čar: xT =
∑ . ∑
yT =
xT = 10,6 mm
∑ . ∑
yT = 4,2 mm
Příklad: Zjistěte polohu těžiště rovinné čáry podle obr. (a = 100 mm; b = 50 mm; h = 200 mm) Řešení: Souměrnost podle osy y: xT = 0 1. Určíme souřadnice těžišť u jednotlivých čar: yT y1 = h
y2 = 0
y3 =
2) Výpočet celkové délky čáry: l=a+b+h
Počet stránek: 34
Stránka 15
3) Výpočet celkového momentu vzhledem k bodu O: pro výpočet yT: l . yT – ∑ . = 0 l . yT = ∑ . ∑ . = a. y1 + b. y2 + h . y3 a . h + b . 0 + h. ∑ .
= (2a + h)
(a + b + h) . yT = (2a + h) 4) Výpočet souřadnic těžiště T složených čar: yT = xT = 0
∑ . ∑
yT = 114,2mm
Příklad: Početní metodou určete polohu těžiště složené rovinné čáry podle obr. ( l1 = 1 000 mm; l2 = 2 000 mm ) Řešení: 1. Určíme souřadnice těžišť dvou úseků x1 =
x2 = 0
y1 = 0
y2 =
2) Výpočet celkové délky čáry: l = l1 + l2 3) Výpočet celkového momentu vzhledem k bodu O: a) pro výpočet xT: (síla – délka čáry) l . xT – ∑ . = 0 l . xT = ∑ . ∑ . = l1 . x1 + l2 . x2
b) pro výpočet yT: l . yT – ∑ . = 0 l . yT = ∑ . ∑ . = l1 . y1 + l2 . y2
∑ .
= l1 .
∑ .
= l1 . 0 + l2 .
∑ .
=
∑ .
=
(l1+ l2) . xT =
(l1+ l2) . yT =
4) Výpočet souřadnic těžiště T složených čar: xT =
∑ . ∑
xT = 1666,7 mm
Počet stránek: 34
yT =
∑ . ∑
yT = 666,7 mm
Stránka 16
Příklad: Grafickou a početní metodou určete polohu těžiště složené rovinné čáry podle obr. (l1 = 200 mm; l2 = 300 mm) Početní metoda řešení: 1. Určíme souřadnice těžišť dvou úseků x1 =
x2 = 0
y1 = l2
y2 =
2) Výpočet celkové délky čáry: l = l1 + l2 3) Výpočet celkového momentu vzhledem k bodu O: a) pro výpočet xT: (síla – délka čáry) l . xT – ∑ . = 0 l . xT = ∑ . ∑ . = l1 . x1 + l2 . x2
b) pro výpočet yT: l . yT – ∑ . = 0 l . yT = ∑ . ∑ . = l1 . y1 + l2 . y2
∑ .
= l1 .
∑ .
= l1 . l2 + l2 .
∑ .
=
∑ .
= l2(l1 + )
(l1+ l2) . xT =
(l1+ l2) . yT = l2(l1 + )
4) Výpočet souřadnic těžiště T složených čar: xT =
∑ . ∑
yT =
xT = 40 mm
∑ . ∑
yT = 210 mm
Příklad: Grafickou a početní metodou určete polohu těžiště složené rovinné čáry podle obr.
( l1 = 500 mm; l2 = 600 mm; l3 = 700 mm; l4 = 300 mm) Řešení: 1. Určíme souřadnice těžišť všech čtyř úseků x1 =
x2 = l1
x3 = l1 +
x4 = l1 + l3
y1 = l2
y2 = !!
y3 = 0
y4 =
"
2) Výpočet celkové délky čáry: l = l1 + l2 + l3 + l4
Počet stránek: 34
Stránka 17
3) Výpočet celkového momentu vzhledem k bodu O: a) pro výpočet xT: (síla – délka čáry) l . xT – ∑ . = 0 l . xT = ∑ . ∑ . = l1 . x1 + l2 . x2 + l3 . x3 + l4 . x4 ∑ .
= l1 . + l2 . l1 + l3 .( l1 + ) + l4 .( l1 + l3)
∑ .
= + l2. l1 + l3 .( l1 + ) + l4 .( l1 + l3)
(l1+ l2 + l3 + l4) . xT = + l2. l1 + l3 .( l1 + ) + l4 .( l1 + l3)
b) pro výpočet yT: l . yT – ∑ . = 0 l . yT = ∑ . ∑ . = l1 . y1 + l2 . y2 + l3 . y3 + l4 . y4 ∑ . ∑ .
= l1 . l2 + l2 . + l3 .0 + l4 . = l1 . l2 + l2 . + l4 .
(l1+ l2 + l3 + l4) . yT =
"
"
+ l1 . l2 + "
4) Výpočet souřadnic těžiště T složených čar: xT =
∑ . ∑
yT =
xT = 658 mm
∑ . ∑
yT = 250 mm
Příklad: Určete polohu těžiště složené rovinné čáry podle obr. (h = 100mm; r = 60 mm) Řešení: Symetrické – xT = r 1. Určíme souřadnice těžišť u jednotlivých čar: yT y1 =
# $
y2 = h +
y3 =
y4 = 0
2) Výpočet celkové délky čáry: l = 2h + π.r + 2r 3) Výpočet celkového momentu vzhledem k bodu O: pro výpočet yT: l . yT – ∑ . = 0 l . yT = ∑ . ∑ . = h. y1 +π.r. y2 + h . y3 ∑ .
= h . + π. r. (h +
# ) $
+ h .
∑ . = h + π. r. h + 2r (2h + π.r + 2r) . yT = h2 + π. r. h + 2r2 4) Výpočet souřadnic těžiště T složených čar: 2
2
yT = xT = r = 60 mm
∑ . ∑
yT = 70,9mm
Těžiště složené rovinné plochy Příklad: Zjistěte polohu těžiště složené rovinné plochy podle obr. (a = b = 200 mm; c = 100 m; d = 20 mm) Řešení: Složenou plochu vhodně umístíme do I. kvadrantu souřadnicového systému. Z obr. ze zadání Počet stránek: 34
Stránka 18
je patrné, že složená plocha nemá žádnou osu souměrnosti. 1) Složenou plochu rozdělíme na tři dílčí obdélníky a vypočteme jejich plošné obsahy: S1 = b .d S2 = a . d S3 = c . d 2) Celkový plošný obsah celé složené plochy je dán algebraickým součtem plošných obsahů jednotlivých dílčích ploch. S = ∑ % = S1 + S2 + S3 S = b .d + a . d + c . d 3) zjistíme souřadnice těžišť jednotlivých dílčích ploch x1 =
&
x2 = d +
y1 =
(
y2 =
'
&
x3 = d + a + = a +
&
y3 =
)
4) Výpočet momentů S . xT = ∑ % . ∑ % . xT = S1 . x1 + S2 . x2 + S3 . x3 &
'
∑% .
= b .d . + a .d . (d +
∑% .
= d2(* + 2a + 3 ) + ad(, +2c)
&
S . yT = ∑ % . ∑ % . yT = S1 . y1 + S2 . y2 + S3 . y3
) + c . d . (a +
&
)
(
∑% .
= b .d . + a .d .
∑% .
= d (* + ad +
&
+c.d
)
)
(S1 + S2 + S3) xT = d2(* + 2a + 3 ) + ad(, +2c)
(S1 + S2 + S3) yT = d (* + ad +
(b .d + a . d + c . d) .xT = d2(* + 2a + 3 ) + ad(, +2c)
(b .d + a . d + c . d) .yT == d (* + ad +
(b + a + c). xT = d (* + 2a + 3 ) + a (, +2c)
(b + a + c). xT = (* + ad +
) )
)
Výpočet souřadnic těžiště T: xT =
∑. . ∑.
xT = 98 mm
yT =
∑. . ∑.
yT = 54 mm
Příklad: Zjistěte polohu těžiště složené plochy dle obr.
(a = 2 m; b = 3 m; c = 4 m; d = 1 m) Řešení: Složenou plochu vhodně umístíme do I. kvadrantu souřadnicového systému. Z obr. a ze zadání je patrné, že složená plocha nemá žádnou osu souměrnosti.
1) Složenou plochu rozdělíme na dva dílčí obdélníky a vypočteme jejich plošné obsahy: Počet stránek: 34
Stránka 19
S1 = b .c S2 = (c – a) . (b – d) 2) Celkový plošný obsah celé složené plochy je dán algebraickým součtem plošných obsahů jednotlivých dílčích ploch. S = ∑ % = S1 – S2 S = b .c – (c – a ).(b – d) 3) zjistíme souřadnice těžišť jednotlivých dílčích ploch x1 =
)
x2 =
)/ '
y1 =
(
y2 = d +
+a= (/&
=
)0 '
(0&
4) Výpočet momentů S . xT = ∑ % . ∑ % . xT = S1 . x1 + S2 . x2 + S3 . x3 ∑% .
= b .c .
)
S . yT = ∑ % . ∑ % . yT = S1 . y1 + S2 . y2 + S3 . y3
- (c – a) . (b – d).
)
(S1 – S2) xT = b.
- (b – d).
)0 '
∑ % .
) / ' )
(b .c – (c – a ).(b – d)) .xT = b.
= b .c .
(S1 - S2) yT =
- (b – d).
) / '
(
(
- (c – a) . (b – d).
(0&
( /&
c - (c – a) .
(b .c – (c – a ).(b – d)) .yT =
(
c - (c – a) .
( /&
Výpočet souřadnic těžiště T: xT =
∑. . ∑.
yT =
xT =1,5 m
∑. . ∑.
yT = 1,25 m
Příklad: Zjistěte souřadnice těžiště složené plochy na obr. (a = 60 mm; b = 40 mm; c = 30 mm; d = 16 mm; e = 6mm) Řešení: Složenou plochu vhodně umístíme do I. kvadrantu souřadnicového systému. Z obr. I ze zadání je patrné, že složená plocha nemá žádnou osu souměrnosti. 1) Složenou plochu rozdělíme na tři dílčí obdélníky a vypočteme jejich plošné obsahy: S1 = b .e S2 = (a – e) . e S3 = e . d 2) Celkový plošný obsah celé složené plochy je dán algebraickým součtem plošných obsahů jednotlivých dílčích ploch. S = ∑ % = S1 + S2 - S3 S = b .e + (a – e) . e - e . d = e (b + a – e - d) 78 . 6 = 660 3) zjistíme souřadnice těžišť jednotlivých dílčích ploch x1 =
1
x2 = 2 +
y1 =
(
y2 =
'/1
=
1
'01
y3 =
x3 = a – c 1
4) Výpočet momentů S . xT = ∑ % . ∑ % . xT = S1 . x1 + S2 . x2 - S3 . x3 ∑% .
1
'01
= b .e. + (a – e) .e .
Počet stránek: 34
S . yT = ∑ % . ∑ % . yT = S1 . y1 + S2 . y2 - S3 . y3 - e . d . (a – c)
∑% .
(
= b .e . + (a – e) .e .
1
-e.d
1
Stránka 20
∑% .
1
'01
= e [b. + (a – e). 1
(S1 + S2 - S3) xT = e [b.
- d(a – c)]
+ (a – e).
'01
1
1
1
= (* + ae – e2 – 24) 1
(S1 + S2 - S3) yT = (* + ae – e2 – 24)
- d(a – c)]
e (b + a – e - d).xT = e [b. + (a2 – e2). (b + a - d - e). xT =[b. + (a2 – e2).
∑% .
1
e (b + a – e -d).yT = (* + ae – e2 – 24)
- d(a – c)]
- d(a – c)]
(b + a – e - d). xT = (* + ae – e – 24)
Výpočet souřadnic těžiště T: xT =
∑. . ∑.
yT =
xT = 18,2 mm
∑. . ∑.
yT = 11,7 mm
Příklad: Zjistěte souřadnice těžiště složené plochy podle obr. (a = 500 mm; b = 600 mm; c = 150 mm; d = 200 mm; e = 300 mm; g = 180 mm) Řešení: Složenou plochu vhodně umístíme do I. kvadrantu souřadnicového systému. Z obr. i ze zadání je patrné, že složená plocha nemá žádnou osu souměrnosti. 1) Složenou plochu rozdělíme na čtyři dílčí obdélníky a vypočteme jejich plošné obsahy: S1 = a . b
S2 = c . e
&
S3 = π
S4 =
)
2) Celkový plošný obsah celé složené plochy je dán algebraickým součtem plošných obsahů jednotlivých dílčích ploch. &
S=a.b– c.e–π
S = ∑ % = S1 – S2 – S3 – S4
-
)
3) zjistíme souřadnice těžišť jednotlivých dílčích ploch x1 =
'
x2 =
)
y1 =
(
y2 = b –
1
x3 = a – g
x4 = a -
)
y3 = g
y4 = b -
)
4) Výpočet momentů S . xT = ∑ % . ∑ % . xT = S1 . x1 – S2 . x2 – S3 . x3 – S4 . x4 &
'
∑% .
= b .d . + a .d . (d +
) + c . d . (a +
∑% .
= d2(* + 2a + 3 ) + ad(, +2c)
S . yT = ∑ % . ∑ % . yT = S1 . y1 – S2 . y2 – S3 . y3 – S4.y4 &
)
(
∑% .
= b .d . + a .d .
∑% .
= d (* + ad +
&
+c.d
)
)
(S1 + S2 + S3) xT = d2(* + 2a + 3 ) + ad(, +2c)
(S1 + S2 + S3) yT = d (* + ad +
(b .d + a . d + c . d) .xT = d2(* + 2a + 3 ) + ad(, +2c)
(b .d + a . d + c . d) .yT == d (* + ad +
(b + a + c). xT = d (* + 2a + 3 ) + a (, +2c)
(b + a + c). xT = (* + ad +
) )
)
Výpočet souřadnic těžiště T: xT =
∑. . ∑.
xT = 98 mm
Počet stránek: 34
yT =
∑. . ∑.
yT = 54 mm
Stránka 21
Spojování pasívních součástek Aktivní prvky mají oblast záporného odporu, kdežto pasívní mají pouze kladný odpor. Terminologie vychází ze zpracování signálu, kde existují pasivní součástky a aktivní součástky, přičemž pasivními prochází pouze signál, zatímco aktivní dostávají signál a napájení; z fyzikálního hlediska není mezi signálem a napájením rozdíl. Pasivní součástky jsou například: • Rezistor - je součástka, která klade průchodu elektrického proudu odpor. • Kondenzátor - je součástka, která může akumulovat elektrický náboj. Stejnosměrný proud jím neprochází. • Cívka - vytváří magnetické pole a naopak indukuje proud. • Memristor - zapamatovává si informace i bez přístupu el.proudu. Memristor je zkratka pro anglická slova „memory resistor“.
Jak závisí velikost elektrického proudu, který prochází vodičem, na elektrickém napětí mezi jeho konci? To prozkoumáme experimenty, ve kterých budeme měnit napětí na svorkách spotřebiče a měřit, jak se při tom mění proud procházející spotřebičem.
Napětí mezi svorkami rezistoru zvyšujeme tak, že nejprve použijeme jeden elektrický článek a poté dva, tři a čtyři elektrické články. Naměřené hodnoty napětí a proudu zapisujeme do tabulky: U [V] I [A] U/I
Z tabulky vytvoříme graf závislosti proudu I na napětí U:
[V/A]
1,5 0,015
100
3,0
0,030
100
4,5
0,045
100
6,0
0,060
100
Z tabulky i z grafu lze vyslovit závěr: Elektrický proud I v kovovém vodiči je přímo úměrný elektrickému napětí U mezi jeho konci.
Počet stránek: 34
Stránka 22
I=
U R
Fyzikální veličina R se nazývá elektrický odpor.
R=
U I
Jednotkou elektrického odporu je ohm (Ω). V praxi se užívají i větší jednotky: 1 kΩ = 1 000 Ω = 103Ω; 1 MΩ = 1 000 000 Ω = 106 Ω Pozn.: předpokládáme, že teplota vodiče se během měření nezměnila
Pasivní filtr je filtr složený pouze z pasivních součástek. Jakýkoliv elektronický systém (např. mobilní telefon, televizní přijímač nebo kamera aj.) obsahuje několik integrovaných obvodů a množství pasivních součástek. Samotné integrované obvody mají pasivní části. Někdy potřebujeme součástku s hodnotou, která není v řadě. Můžeme si pomoct spojením více součástek.
Rezistory sériově Při sériovém spojení rezistorů (za sebou) se jejich odpor sčítá. Používáme ho zejména tam, kde potřebujeme dosáhnout velmi velkého odporu.
R = R1 + R2 + ... Rn Příklad: R1 = 2k2, R2 = 1k, R3 = 4k7. Výsledný odpor sériového spojení je 7,9 kiloohmu
Rezistory paralelně Při paralelním spojení rezistorů (vedle sebe) se sčítají jejich vodivosti. Výhodné pro dosažení velmi malých hodnot odporu.
Příklad: R1 = 2k2, R2 = 1k, R3 = 4k7. Výsledný odpor paralelního spojení je 600 ohmů. Může nastat několik situací, kdy můžeme výpočet zjednodušit. Spojujeme-li dva rezistory:
Spojujeme-li více rezistorů se stejným odporem, je výsledný odpor je tolikrát menší, kolik rezistorů spojíme: R R= 1 n V každém případě je při paralelním spojení rezistorů výsledný odpor vždy menší než hodnota odporu nejmenšího z nich. Počet stránek: 34
Stránka 23
Kondenzátory Spojením kondenzátorů vytvoříme soustavu se dvěma svorkami, která se chová jako jediný kondenzátor. Paralelní zapojení kondenzátorů je charakterizováno tím, že se oba kondenzátory nabijí na napětí zdroje U, k němuž jsou připojeny. Na vodivé desky musíme přivést celkový náboj . Do vztahu lze dosadit a dále upravit: . Soustava se tedy chová jako kondenzátor s kapacitou . Sériové zapojení dvou kondenzátorů se vyznačuje vznikem nábojů a na deskách spojených se svorkami zdroje. Na zbývajících, vzájemně spojených deskách se elektrostatickou indukcí vytvoří náboje stejně velké, ale opačného znaménka. Napětí se rozdělí na oba kondenzátory tak, aby platilo . Po dosazení a úpravě dostaneme: tí:
. Soustava se chová jako jediný kondenzátor, pro nějž pla, čili
.
Paralelní i sériové zapojení kondenzátorů je zobrazeno na obrázku
Cívky Protože se cívky vzájemně ovlivňují svým magnetickým polem, jejich spojování je dosti problematické a používá se jen velmi zřídka.
Dělič napětí Pro odvození nižšího napětí v přesně definovaném poměru slouží dělič napětí.
Uvýst = Uvst · Au Používá se například pro předpětí báze tranzistoru nebo ve zpětné vazbě zesilovače. Pro střídavé napětí je možné zapojit dělič z kondenzátorů.
Útlumový článek Tam, kde záleží na impedanci obvodů nemůžeme pro snížení úrovně signálu použít dělič, protože jeho vstupní a výstupní impedance je rozdílná.
Počet stránek: 34
Stránka 24
Doplněním dalšího rezistoru, který vyrovná impedance vstupu a výstupu vznikne útlumový článek. Podle zapojení může být typu T nebo (pí).
Integrační článek Integrační článek je frekvenčně závislý obvod. Lépe propouští nižší kmitočty, proto se mu říká dolní propust.
Po zahrnutí vlivu fázového posuvu je přenos integračního článku:
Při mezním kmitočtu je výstupní napětí nižší o 3 dB a fázový posuv je 45°.
S rostoucím kmitočtem přenos integračního článku klesá o 20 dB/dekádu, jinak taky o 6 dB/oktávu.
Derivační článek Derivační článek je frekvenčně závislý obvod. Lépe propouští vyšší kmitočty, proto se mu říká horní propust.
Přenos derivačního článku:
Pro mezní kmitočet platí stejné podmínky jako pro integrační článek. S klesajícím kmitočtem přenos derivačního článku klesá o 20 dB/dekádu, jinak taky o 6 dB/oktávu
Rezonanční obvod Při rovnosti kapacitní a indukční reaktance nastává v obvodu rezonance.
Úpravou výrazu o rovnosti reaktancí dostaneme Thomsonův vzorec pro výpočet rezonančního kmitočtu. Paralelní rezonanční obvod má na rezonančním kmitočtu největší impedanci, směrem k nižším kmitočtům se projevuje indukční charakter, k vyšším kmitočtům převažuje kapacitní. Sériový rezonanční obvod má na rezonančním kmitočtu nejmenší danci, směrem k nižším kmitočtům se projevuje kapacitní charakter, k vyšším kmitočtům převažuje indukční.
Počet stránek: 34
impe-
Stránka 25
Kondenzátor kapacita kondenzátoru To co nás nejvíce zajímá na kondenzátoru, je jeho kapacita, která se značí písmenem C. Její velikost vyjadřujeme jednotkami podobně jako u odporu, jenže taky jsou to Farady. Protože 1 F (Farad) je velká jednotka, se nepoužívá. Odvozené jednotky jsou mnohem menší a podobně jako u odporu se tvoří příponami. U kapacity slouží ke zmenšování hodnot, takže poslouží jiné jednotky než u odporu. mili mikro nano piko
m
µ
n
p
1mF = 10− 3 F = 1 000 µF = 1 000 000 nF = 1 000 000 000 pF 1 µF = 10− 6 F = 1 000 nF = 1 000 000 pF 0,1 µF = 100 nF = 100 000 pF 0,01 µF = 10 nF = 10 000 pF 1 nF = 10− 9 F = 1 000 pF 1 pF = 10− 12 F Za předponu se připojí znak základní jednotky. Tedy pF (pikofarad), nF (nanofarad), µF (mikrofarad), mF (milifarad). Druhé písmeno v tabulce, podobající se našemu malému u, je řecké písmeno µ [mí]. Často jej uvidíme na kondenzátorech s velkou kapacitou.
Ukázkový příklad č. 1: Na obrázku je schéma zapojení tří kondenzátorů C1, C2 a C3. Na baterce je napětí U.
a) Určete celkovou kapacitu zapojení a celkový náboj Q na kondenzátorech. b) Určete náboj a napětí na každém z kondenzátorů. Při sériovém zapojení kondenzátorů je na všech kondenzátorech stejný náboj. Napětí se v tomto případě sčítají. Q = Q1 = Q2 = Q3 U = U1 + U2 + U3 Při paralelním zapojení se náboje na jednotlivých kondenzátorech sčítají. Napětí je na všech kondenzátorech stejné. Q = Q1 + Q2 + Q3 U = U1 = U2 = U3 Paralelně zapojené kondenzátory můžeme nahradit jedním kondenzátorem s kapacitou, která je rovna součtu kapacit na obou kondenzátorech. Tím získáme obvod jen se dvěma sériově zapojenými kondenzátory. Při sériovém zapojení je převrácená hodnota celkové kapacity rovna součtu převrácených hodnot kapacit jednotlivých kondenzátorů. Tak určíme celkovou kapacitu. Počet stránek: 34
Stránka 26
Celkový náboj je přímo úměrný celkové kapacitě a celkovému napětí (tj. napětí na baterii). Náboje na sériově zapojených kondenzátorech jsou stejné a v našem případě jsou rovny celkovému náboji. Náboj na třetím kondenzátoru je proto roven celkovému náboji. Pomocí známé kapacity dopočítáme napětí na třetím kondenzátoru. Napětí na obou paralelně zapojených kondenzátorech je stejné. Můžeme ho určit jako rozdíl celkového napětí a napětí na třetím kondenzátoru. Pomocí kapacity dopočítáme náboj na těchto kondenzátorech. Paralelně zapojené kondenzátory C1 a C2 můžeme nahradit jedním kondenzátoremC12 s kapacitou rovnou součtu jednotlivých kapacit: C12 = C1+C2.
V obvodu máme nyní dva kondenzátory C12 a C3 zapojeny sériově. Pro ně platí: C ⋅C 1 1 1 = + ⇒ C = 12 3 C C12 C 3 C12 + C 3
Do vzorce dosadíme za kapacitu C12 = C1+C2 a máme vyjádřenou neznámou celkovou kapacitu C.
C=
( C1 + C 2 ) ⋅ C 3
C1 + C 2 + C 3 Celkový náboj vypočítáme ze vztahu Q = UC. Dosadíme za celkovou kapacitu C a dostaneme celkový náboj Q U ⋅ ( C1 + C 2 ) ⋅ C 3 Q= C1 + C 2 + C 3
Počet stránek: 34
Stránka 27
Počet stránek: 34
Stránka 28
Výsledné vzorce:
Ukázkový příklad č. 2: U všech rezistorů v obvodu na obrázku určete úbytek napětí a proud, který jimi protéká. Odpor každého rezistoru je 3 Ω a elektromotorické napětí zdroje je 7 V. Vnitřní odpor zdroje neuvažujte.
Počet stránek: 34
Stránka 29
Počet stránek: 34
Stránka 30
Počet stránek: 34
Stránka 31
Počet stránek: 34
Stránka 32
Počet stránek: 34
Stránka 33
Počet stránek: 34
Stránka 34
Domácí úkol – 01 – FYZ – 1CD Příklad 1: Určete výslednici zadané soustavy rovnoběžných sil.
F1 40 N , F2 60 N , F3 10 N , a 1 m, b 2 m
Příklad 2: Vypočtěte souřadnice těžiště zadané složené plochy, kde
a 20 cm, b 10 cm, a1 7 cm, b1 5 cm, D 1,5 cm, e 2cm
Příklad 3: Jak velká bude výsledná kapacita v zapojení podle obrázku?
Počet stránek: 5
Stránka 1
Příklad 4: Jaký je výsledný odpor naznačeného obvodu, jestliže
Příklad 5: Jak velký odpor je třeba předřadit k obloukové lampě, jež při proudu 5 A potřebuje napětí 45 V, aby ji bylo možno připojit k napětí 220 V? Příklad 6: - pevná kladka Mějme soustavu dvou těles s kladkou, která je na počátku v klidu. Hmotnost prvního tělesa je m1 2, 8 kg , hmotnost druhého je m2 1, 3 kg . Vypočítejte zrychlení těles a sílu, kterou je napínáno vlákno.
Příklad 7: - moment setrvačnosti Určete moment setrvačnosti soustavy podle obrázku. První má hmotnost 40 kg ve vzdálenosti 3 m od osy, druhé 50 kg ve vzdálenosti 2,5 m a třetí 310 kg ve vzdálenosti 1,5 m
Počet stránek: 5
Stránka 2
Příklad 8: Jak velkou práci vykonáme, zvedneme-li těleso o hmotnosti 5 kg do výšky 2m? Příklad 9: Jakou silou působíme, vykonáme-li zvedáním tělesa do výšky 0,5m práci 200J? Jakou hmotnost má těleso? Příklad 10: Jakou silou musí působit člověk vezoucí ve dvoukoláku dva pytle cementu, každý po 50 kg, po dráze 100 m za 2 minuty, jakou při tom vykoná práci a jaký bude jeho výkon? Tření zanedbejte. Příklad 11: Motor výtahu zvedne náklad o hmotnosti 240 kg do výšky 36 m za dobu 90 s. Jaký je jeho výkon? **************************************************************************** Nejdříve trochu teorie: Guldinovy věty Guldinovy věty se používají pro výpočet: a) povrchu rotačních těles b) objemu rotačních těles Výpočet povrchu rotačního tělesa Povrch rotačního tělesa S je roven: Výpočet objemu rotačního tělesa Objem rotačního tělesa V je roven:
První Guldinova věta (o povrchu rotačního tělesa): Povrch rotačního tělesa je dán součinem délky tvořící čáry a délky kružnice opsané při rotaci jejím těžištěm:
S … povrch tělesa [mm2] l … délka tvořící čáry [mm] rT … poloměr kružnice opsané při rotaci [mm] Druhá Guldinova věta (o objemu rotačního tělesa): Objem rotačního tělesa je dán součinem obsahu tvořící plochy a délky kružnice opsané při rotaci jejím těžištěm:
V S rT
… objem tělesa [mm3] … obsah tvořící plochy [mm] … poloměr kružnice opsané při rotaci [mm]
Počet stránek: 5
Stránka 3
Příklad 12: Pomocí první Guldinovy věty odvoďte vztah pro povrch koule. Pomocí druhé Guldinovy věty odvoďte vztah pro objem kužele Těžiště plochy čtverce, kosočtverce, obdélníka, kosodélníka, kruhu, elipsy. Je v průsečíku jejich os souměrnosti (úhlopříček). Těžiště plochy trojúhelníka Je v průsečíku spojnic bodů, půlících strany trojúhelníka a protilehlých vrcholů.
Těžiště plochy lichoběžníka
Těžiště plochy půlkruhu
Těžiště plochy výseče kruhu
Počet stránek: 5
Stránka 4
Povrch rotačního tělesa vypočítáme, vynásobíme-li délku tvořící čáry l drahou těžiště čáry T při otáčení kolem osy.
Objem rotačního tělesa vypočítáme, vynásobíme-li obsah tvořící plochy S drahou těžiště plochy T při otáčení kolem osy.
Počet stránek: 5
Stránka 5
