Pr´ace, v´ykon, energie (test version, not revised) Petr Poˇsta
[email protected]
23. ˇr´ıjna 2009
Obsah
Mechanick´a pr´ace V´ykon, pˇr´ıkon, u´ˇcinnost Mechanick´a energie Kinetick´a energie Potenci´aln´ı energie Potenci´aln´ı energie Z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie
Pr´ ace, v´ ykon, energie
Mechanick´a pr´ace Mechanick´a pr´ace znaˇcka: W jednotka: J (joule) I I
Mechanick´a pr´ace je skal´arn´ı fyzik´aln´ı veliˇcina. Jestliˇze na tˇeleso p˚ usob´ı st´al´a s´ıla F po dr´aze s a tato s´ıla sv´ır´a se smˇerem pohybu u´hel α, je mechanick´a pr´ace W definovan´a vztahem W = Fs cos α,
[J] = Nm = kg · m2 · s −2
~ F α
s
Mechanick´a pr´ace W = Fs cos α
Pozn´amky I
I
I
Jestliˇze p˚ usob´ıc´ı s´ıla m´a smˇer a orientaci shodnou s pohybem tˇelesa (α = 0◦ ), pak W = Fs. Jestliˇze p˚ usob´ıc´ı s´ıla m´a smˇer kolm´y na pohyb tˇelesa ◦ (α = 90 ), pak ˇz´adnou pr´aci nekon´ a, W = 0 J. Jestliˇze p˚ usob´ıc´ı s´ıla m´a smˇer a orientaci proti pohybu tˇelesa (180◦ ≥ α > 90◦ ), pak pr´ace vyjde z´aporn´a W < 0. V takov´em pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ame, ˇze se pr´ace spotˇrebov´ av´ a. Pr´ace se ”spotˇrebov´av´a” napˇr. pˇri brˇzdˇen´ı. Jin´ym pˇr´ıkladem jsou urˇcit´e f´aze cyklick´ych dˇej˚ u v plynech u tepeln´ych motor˚ u.
Mechanick´a pr´ace Grafick´e urˇcen´ı pr´ace Jestliˇze p˚ usob´ıc´ı s´ıla m´a smˇer a orientaci shodnou s pohybem tˇelesa, potom vykonan´a pr´ace je rovna ploˇse pod grafem z´ avislosti s´ıly na dr´ aze. Plat´ı to i tehdy, kdyˇz je s´ıla promˇenn´a. F W s F W s
V´ykon a pˇr´ıkon
Pr˚ umˇern´y v´ykon znaˇcka: P jednotka: W (watt) Pr˚ umˇern´y v´ykon je skal´arn´ı fyzik´aln´ı veliˇcina, kter´a urˇcuje, jak rychle se konala pr´ace bˇehem cel´eho dˇeje. Je definov´an jako pod´ıl celkov´e pr´ace W a ˇcasu t, za kter´y se vykonala. Pp =
celkov´a pr´ace W = celkov´y ˇcas t
V´ykon a pˇr´ıkon (Okamˇzit´y) v´ykon znaˇcka: P jednotka: W (watt) (Okamˇzit´y) v´ykon je skal´arn´ı fyzik´aln´ı veliˇcina, kter´a urˇcuje, jak rychle se kon´a pr´ace v dan´em okamˇziku. Je definov´an jako pod´ıl pr´ace ∆W a ˇcasu ∆t, za kter´y se vykonala, pˇriˇcemˇz tento ˇcas bereme velmi mal´y. P=
[watt] = W =
∆W , ∆t → 0 ∆t J Nm = = kg · m2 · s−3 s s
V´ykon a pˇr´ıkon
1. vˇeta termodynamiky Prvn´ı vˇeta (prvn´ı z´akon) termodynamiky zhruba ˇr´ık´a, ˇze nelze vyr´ abˇ et pr´ aci z niˇ ceho. Hypotetick´y stroj, kter´y by takto pracoval, naz´yv´ame perpetuum mobile prvn´ıho druhu a podle prvn´ı vˇety termodynamiky nem˚ uˇze existovat.
V´ykon a pˇr´ıkon
Pˇr´ıkon znaˇcka: P jednotka: W (watt) Pˇr´ıkon je skal´arn´ı fyzik´aln´ı veliˇcina definovan´a jako pod´ıl energie E dodan´e stroji a ˇcasu t, za kter´y byla energie dod´ana. (Energie ve fyzice vyjadˇruje schopnost konat pr´aci, viz d´ale.) P0 =
dodan´a energie E = ˇcas t
Pˇr´ıkon m˚ uˇzeme, podobnˇe jako u v´ykonu, uvaˇzovat pr˚ umˇern´y nebo okamˇzit´y.
V´ykon a pˇr´ıkon
2. vˇeta termodynamiky Druh´a vˇeta (druh´y z´akon) termodynamiky zhruba ˇr´ık´a, ˇze nelze sestrojit periodicky pracuj´ıc´ı stroj, kter´ y pˇrij´ımanou energii pˇremˇ en´ı na stejnˇ e velkou pr´ aci. Hypotetick´y stroj, kter´y by takto pracoval, naz´yv´ame perpetuum mobile druh´ eho druhu a podle druh´e vˇety termodynamiky nem˚ uˇze existovat.
V´ykon a pˇr´ıkon
´ cinnost znaˇcka: η jednotka: 1 (bezr.) Uˇ ´ cinnost stroje je skal´arn´ı fyzik´aln´ı veliˇcina, kterou definujeme Uˇ vztahy P W η= = , P0 W0 kde P je v´ykon a P0 pˇr´ıkon stroje, respektive W je pr´ace strojem vykonan´a a W0 energie stroji na tuto pr´aci dodan´a.
V´ykon a pˇr´ıkon ´ cinnost Uˇ Plat´ı 0 ≤ η < 1. Obˇcas se u´ˇcinnost vyjadˇruje v procentech, potom η=
P · 100% P0
(0% ≤ η < 100%)
Podle prvn´ıho termodynamick´eho z´akona nem˚ uˇze m´ıt pracuj´ıc´ı stroj vˇetˇs´ı neˇz stoproocentn´ı u´ˇcinnost. Podle druh´eho termodynamick´eho z´akona nem˚ uˇze m´ıt periodicky pracuj´ıc´ı stroj ani stoprocentn´ı u´ˇcinnost (a ve skuteˇcnosti je to ”jeˇstˇe horˇs´ı”).
V´ykon a pˇr´ıkon Pohyb s konstantn´ım v´ykonem v pˇr´ıtomnosti odporov´ych sil Odporov´e s´ıly rostou s rychlost´ı auta. V mezn´ım pˇr´ıpadˇe se velikost hnac´ı s´ıly motoru F a velikost odporov´ych sil vyrovn´a. Jestliˇze auto m´a v takov´e chv´ıli rychlost v , potom pro v´ykon motoru plat´ı F = Pv Odvozen´ı: P=
W Fs s = = F = Fv t t t
V´ykon a pˇr´ıkon
Pohyb s konstantn´ım v´ykonem bez odporov´ych sil Pˇredpokl´adejme, ˇze auto je na poˇc´atku mˇeˇren´ı ˇcasu v klidu, kdyˇz sepneme motor, kter´y auto zaˇcne poh´anˇet s konstantn´ım v´ykonem P. Jak se bude vyv´ıjet rychlost vozidla (pokud zanedb´av´ame odporov´e s´ıly) ?
V´ykon a pˇr´ıkon ˇ sen´ı: Reˇ
1 2 mv = Ek = Pt = Fv , 2
a tedy r
2Pt m Pozn´amka: pro dr´ahu lze integrac´ı odvodit r 2 2Pt 3 s= 3 m v=
V´ykon a pˇr´ıkon Pohyb s konstantn´ım v´ykonem bez odporov´ych sil II Automobil o celkov´e hmotnosti 1000 kg se rozj´ıˇzd´ı po vodorovn´e silnici a za 10 s dos´ahne rychlosti 20 m/s. Jeho v´ykon, neuvaˇzujeme-li ztr´aty, musel b´yt alespoˇn: a) 1000 W b) 2 kW c) 20 kW d) 200 000 J 1 1 mv 2 . Pt = mv 2 =⇒ P = = 20 000 W 2 2 t
V´ykon a pˇr´ıkon Pohyb s konstantn´ım v´ykonem bez odporov´ych sil II Co se stane s velikost´ı taˇzn´e s´ıly vozidla v okamˇziku, kdy automobil pˇrech´az´ı z j´ızdy po vodorovn´e silnici na j´ızdu do kopce, jestliˇze v´ykon motoru z˚ ustane stejn´y a z˚ ustane zaˇrazen´y stejn´y rychlostn´ı stupeˇn? a) taˇzn´a s´ıla motoru se nezmˇen´ı b) taˇzn´a s´ıla motoru se zmenˇs´ı c) taˇzn´a s´ıla motoru se zvˇetˇs´ı pˇri poklesu rychlosti a bude rychlosti nepˇr´ımo u´mˇern´a d) taˇzn´a s´ıla motoru se nejprve zvˇetˇs´ı, pak m´ırnˇe poklesne a d´ale se jiˇz nemˇen´ı P = Fv =⇒ F =
P =⇒ c) je spr´avnˇe v
Mechanick´a energie Mechanick´a energie Jestliˇze vnˇejˇs´ı s´ıly vykonaly na tˇelese nˇejakou pr´aci, projev´ı se to zmˇenou veliˇciny, kter´e se ˇr´ık´a energie. Jej´ı druh, mechanick´ a energie, se dˇel´ı na dva druhy, podle u´ˇcinku vykonan´e pr´ace. I kinetick´ a energie – energie spjat´a s pohybem tˇelesa I potenci´ aln´ı energie – energie spjat´a s prac´ı s´ıly potˇrebn´e na pˇrekon´an´ı u´ˇcink˚ u sil jin´ych I I I
potenci´aln´ı energie t´ıhov´a/gravitaˇcn´ı potenci´aln´ı energie pruˇznosti ...
Mechanick´a energie
Jin´e jednotky pr´ace a energie I I I I I
1 1 1 1 1
Ws (wattsekunda) = 1 J (joule) kWh (kilowatthodina) = 3,6 . 106 J VA (voltamp´er) = 1 J . eV (elektronvolt) = 1,602 . 10−19 J . cal (kalorie) = 4,185 J
Mechanick´a energie Kinetick´a energie znaˇcka: Ek jednotka: J (joule) Jestliˇze je tˇeleso voln´e (nep˚ usob´ı na nˇej ˇz´adn´e s´ıly), pak se vykonan´a pr´ace projev´ı zmˇenou jeho rychlosti. Pokud bylo tˇeleso v klidu, pak plat´ı, ˇze 1 1F 2 2 1 2 W = Fs = Fat 2 = a t = mv . 2 2a 2 Kinetickou energii tˇelesa tak definujeme vztahem 1 Ek = mv 2 , 2 kde m je hmotnost a v rychlost tˇelesa.
Mechanick´a energie Potenci´aln´ı energie znaˇcka: Ep jednotka: J (joule) Jestliˇze se tˇeleso nach´az´ı v silov´ em poli, pak se pr´ace m˚ uˇze spotˇrebovat na pˇrekon´an´ı tˇechto sil. Energii odpov´ıdaj´ıc´ı takov´e pr´aci naz´yv´ame potenci´aln´ı. Definujeme ji takto: I zvol´ ım si libovolnˇ e m´ısto O, kde bude potenci´aln´ı energie nulov´a I potenci´ aln´ı energii v libovoln´em m´ıstˇe prostoru A definuji jako pr´aci, kterou vykon´a vnˇejˇs´ı s´ıla pˇri pˇrem´ıstˇen´ı z m´ısta A do m´ısta s nulovou potenci´aln´ı energi´ı O. (Pˇritom mus´ı pˇrekon´avat s´ılu pˇr´ıtomn´eho pole.)
Mechanick´a energie
Potenci´aln´ı energie – kdy m´a smysl o n´ı mluvit Definice m´a smysl pouze tehdy, pokud pr´ace nez´avis´ı na cestˇe (tvaru trajektorie) tˇelesa mezi m´ısty A a O. Takov´a silov´a pole naz´yv´ame konzervativn´ı. Konzervativn´ı pole jsou napˇr. gravitaˇcn´ı a elektrick´a pole, naopak napˇr. magnetick´a pole konzervativn´ı nejsou.
Probl´em ? Nevad´ı, ˇze si bod s nulovou potenci´aln´ı energi´ı vol´ım libovolnˇe?
Mechanick´a energie
Potenci´aln´ı energie – v´yznam At’ si bod s nulovou potenci´aln´ı energi´ı zvol´ım jakkoli, plat´ı: zmˇ ena potenci´ aln´ı energie tˇ elesa odpov´ıd´ a pr´ aci, kterou vykonala nebo spotˇrebovala s´ıla pole. Potenci´aln´ı energie n´as pˇr´ımo nezaj´ım´a. Co n´ as zaj´ım´ a, je jak se zmˇ enila.
Mechanick´a energie Potenci´aln´ı energie podle typu s´ıly Podle typu s´ıly rozezn´av´ame n´asleduj´ıc´ı druhy potenci´aln´ı energie I t´ ıhovou I gravitaˇ cn´ı I pruˇ znosti I tlakovou I elektrickou I ...
Mechanick´a energie Potenci´aln´ı energie t´ıhov´a V homogenn´ım t´ıhov´em poli Zemˇe hovoˇr´ıme o t´ıhov´e potenci´aln´ı energii m´a tˇeleso o hmotnosti m ve v´yˇsce h nad povrchem t´ıhovou potenci´aln´ı energii Ep = mgh (M´ısto s nulovou potenci´aln´ı energi´ı standardnˇe vol´ıme na povrchu Zemˇe.)
Odvozen´ı ?
Mechanick´a energie Potenci´aln´ı energie gravitaˇcn´ı V radi´aln´ım gravitaˇcn´ım poli hmotn´eho bodu (nebo homogenn´ı koule) o hmotnosti M m´a hmotn´y bod o hmotnosti m, ve vzd´alenosti r , gravitaˇcn´ı potenci´aln´ı energii Ep = −κ
mM r
Zde κ je gravitaˇcn´ı konstanta, pˇribliˇznˇe κ = 6,67 . 10−11 N . m2 . kg−2 . (M´ısto s nulovou potenci´aln´ı energi´ı v tomto pˇr´ıpadˇe obvykle vol´ıme ”velmi daleko v nekoneˇcnu”.)
Odvozen´ı ?
Mechanick´a energie Potenci´aln´ı energie pruˇznosti Na pruˇzinˇe o tuhosti k pˇri v´ychylce x z rovnov´aˇzn´e polohy m´a tˇeleso potenci´aln´ı energii pruˇznosti 1 Ep = kx 2 2 (Nulovou potenci´aln´ı energi´ı v tomto pˇr´ıpadˇe klademe, pokud je pruˇzina voln´a, bez napˇet´ı.)
Odvozen´ı ?
Mechanick´a energie
Potenci´aln´ı energie tlakov´a Pˇri proudˇen´ı kapaliny v potrub´ı m´a mnoˇzstv´ı kapaliny o objemu V pod tlakem p potenci´aln´ı energii tlakovou Ep = pV (Nulov´a potenci´aln´ı energie je v m´ıstech s nulov´ym tlakem.)
Odvozen´ı ?
Mechanick´a energie
Potenci´aln´ı energie v elektrick´em poli N´aboj q v elektrick´em poli jin´eho n´aboje Q m´a potenci´aln´ı energii elektrickou 1 Qq Ep = 4πε0 r (Nulov´a potenci´aln´ı energie je, podobnˇe jako u gravitace, volena v nekoneˇcn´e vzd´alenosti.)
Odvozen´ı ?
Mechanick´a energie Mechanick´a energie Mechanick´ a energie tˇelesa E je pak urˇcena jako souˇcet jeho kinetick´e energie a potenci´aln´ı energie E = Ek + Ep V t´ıhov´em poli m˚ uˇzeme ps´at 1 E = mv 2 + mgh 2
Mechanick´a energie
Z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie Celkov´ a mechanick´ a energie izolovan´ e soustavy tˇ eles se pˇri mechanick´ ych dˇ ej´ıch nemˇ en´ı. Izolovanou soustavou tˇeles zde rozum´ıme takovou soustavu tˇeles, na kter´e p˚ usob´ı jenom s´ıly pole (t´ıhov´a, gravitaˇcn´ı, elektrick´a,...) a vz´ajemn´e s´ıly akce a reakce.
Mechanick´a energie Z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie – pozn´amky 1. Z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie je zvl´aˇstn´ım pˇr´ıpadem obecn´eho principu zachov´ an´ı energie nebo tak´e z´ akona zachov´ an´ı energie.
Princip zachov´an´ı energie Obecnˇe plat´ı, ˇze v izolovan´e soustavˇe se celkov´a energie zachov´av´a. M˚ uˇze se vˇsak mˇenit jedna forma energie v jinou a energie m˚ uˇze pˇrech´azet z jednoho tˇelesa na jin´e. Do celkov´e energie vˇsak mus´ıme zahrnout i jin´e typy energie neˇz energii mechanickou (napˇr. vnitˇrn´ı energii, teplo, ...)
Mechanick´a energie ´ Uloha Tˇeleso o hmotnosti 2 kg bylo zdviˇzeno do v´yˇsky 2 m a odtud padalo voln´ym p´adem. Z uveden´ych hodnot vyberte maxim´aln´ı hodnotu energie, kter´a se m˚ uˇze uvolnit (napˇr. v podobˇe tepla, naruˇsen´e struktury materi´alu, zvukov´ych vln) pˇri dopadu tˇelesa do p˚ uvodn´ı polohy: a) 19,43 J b) 4 J c) 39,24 J d) 55,24 J . E = Ep = mgh = 39, 24 J.
Mechanick´a energie
Z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie – pozn´amky 2. Celkov´a (mechanick´a) energie se zachov´av´a, m˚ uˇze se ale mˇenit jedna forma ve druhou
Pˇr´ıklad M´ıˇc pad´a v t´ıhov´em poli z v´yˇsky h (bez odporu vzduchu). Jakou rychlost´ı dopadne?
Mechanick´a energie Z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie – pozn´amky 3. Celkov´a (mechanick´a) energie se zachov´av´a, m˚ uˇze ale pˇrech´azet z jednoho tˇelesa na druh´e
Pˇr´ıklad Hmotn´e body o hmotnostech m1 a m2 se pohybuj´ı rychlostmi v1 a v2 a sraz´ı se. Pˇredpokl´adejte, ˇze 1. Sr´aˇzka je dokonale nepruˇzn´a a hmotn´e body se spoj´ı a d´ale pokraˇcuj´ı spoleˇcnˇe. K jak´e ztr´atˇe energie doˇslo? 2. Sr´aˇzka je dokonale pruˇzn´a a mechanick´a energie se zachov´av´a. Jak se pohybuj´ı hmotn´e body po sr´aˇzce?
