ˇ Fyzik´ aln´ı praktikum FJFI CVUT v Praze ´ Uloha ˇ c. 12 : Pr´ ace tepeln´ eho stroje Jm´eno: Ondˇrej Tich´ aˇcek
Datum mˇeˇren´ı: 23.11.2012 Klasifikace:
Pracovn´ı skupina: 6 Kruh: ZS 6
ˇ ast I C´
Pr´ ace tepeln´ eho stroje 1
Zad´ an´ı 1. Zkalibrujte tlakomˇer, zkontrolujte ˇcidlo pro odeˇc´ıt´an´ı polohy p´ıstu (viz n´avod v sekci 3.2 v [1]). 2. V dom´ ac´ı pˇr´ıpravˇe rozeberte nast´ınˇen´ y pracovn´ı cyklus, popiˇste jeho jednotliv´e f´aze a naznaˇcte je do p-V diagramu. 3. Proved’te opakovanˇe popsan´ y cykl s r˚ uzn´ ymi z´avaˇz´ımi 50 – 200 g. Z´ıskejte pro kaˇzd´e mˇeˇren´ı plochu uzavˇrenou kˇrivkami v p-V diagramu a spoˇc´ıtejte rozd´ıl potenci´aln´ıch energi´ı pro dan´e z´avaˇz´ı. Vyn´ aˇsejte obˇe hodnoty do grafu, v´ ysledn´e hodnoty proloˇzte pˇr´ımkou. W = a · ∆E + b
(1)
Diskutujte jak´e maj´ı b´ yt hodnoty parametr˚ u a a b teoreticky a jak se liˇs´ı od v´ami zjiˇstˇen´ ych.
2
Vypracov´ an´ı
2.1
Pouˇ zit´ e pˇ r´ıstroje
Tepeln´ y stroj PASCO TD-8572, sada plastov´ ych trubiˇcek a ventil˚ u, elektrick´ y vaˇriˇc, kovov´ y hrnec, plastov´ a odmˇerka, sada z´ avaˇz´ı, prov´ azek, plastov´ a baˇ nka na plyn s otvorem ve v´ıˇcku, tlakov´ y senzor PASCO CI-6534A, rotaˇcn´ı senzor PASCO CI-6538, SCSI rozhran´ı PASCO SW 750, PC, program DataStudio.
2.2
Teoretick´ yu ´ vod
Tepeln´ y stroj pracuje (vykon´ av´ a uˇziteˇcnou pr´aci) na principu teplotn´ıho rozd´ılu dvou prostˇred´ı. Pro jednoduchost pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze jsou tato prostˇred´ı (l´ aznˇe) dostateˇcnˇe velk´e a jejich tepeln´a kapacita se bl´ıˇz´ı nekoneˇcnu. Pˇri zmˇenˇe energie se tedy jejich teplota nebude mˇenit. Z´akladn´ı sch´ema tepeln´eho stroje je na obr´azku 1. Z prvn´ı vˇety termodynamick´e plyne, ˇze Qh = W + Qc , (2) kde W je vykonan´ a pr´ ace, Qh je teplo odebran´e ohˇr´ıvaˇci a Qc teplo pˇredan´e chladiˇci. Definujeme u ´ˇcinnost tepeln´eho stroje η W . η= Qh
(3)
Pro potˇreby u ´lohy povaˇzujeme vzduch za ide´aln´ı plyn. Pro nˇej plat´ı rovnice pV = nRT,
(4)
kde p je tlak, V je objem, T termodynamick´ a teplota, n mol´arn´ı mnoˇzstv´ı a R univerz´aln´ı plynov´a konstanta. Aby n´ am tepeln´ y stroj k nˇeˇcemu byl, mus´ı pracovat v cyklu. Pˇr´ıkladem cyklu je napˇr´ıklad Carnot˚ uv cyklus, kter´ y je sloˇzen ze dvou adiabatick´ ych a dvou izotermick´ ych dˇej˚ u. Je moˇzn´e dok´azat, ˇze Carnot˚ uv cyklus je nej´ uˇcinnˇejˇs´ı ze vˇsech cykl˚ u a ˇze jeho u ´ˇcinnost z´avis´ı pouze na teplot´ach chladiˇce a ohˇr´ıvaˇce. ηcarnot =
Qh − Qc Tc =1− . Qh Th 1
(5)
Obr´ azek 1: Sch´ema tepeln´eho stroje [1]
Z anal´ yzy Carnotova cyklu je moˇzn´e urˇcit vztah pro v´ ypoˇcet vykonan´e pr´ace W libovoln´eho cyklu, zn´ ame-li jeho pr˚ ubˇeh v p-V diagramu. Napˇr´ıklad pro cyklus na obr´azku 2 plat´ı Z A Z D Z C Z B pdV. (6) pdV + pdV + pdV + W = A
C
B
D
Tohoto vztahu budeme vyuˇz´ıvat pˇri naˇsem mˇeˇren´ı. Protoˇze ale nebudeme zn´at pr˚ ubˇeh cel´eho cyklu spojitˇe, ale jen v diskr´etn´ıch hodnot´ ach, nebudeme hledat analytick´e vyj´adˇren´ı t´eto funkce (a poˇc´ıtat z n´ı integr´al), ale hodnotu integr´ alu urˇc´ıme numericky (pˇr´ımo v programu DataStudio)
Obr´ azek 2: Pr˚ ubˇeh Carnotova cyklu v p-V diagramu [1]
2.3
Postup mˇ eˇ ren´ı
Aparaturu sestav´ıme podle obr´ azku 4 a 6 v [1]. Nastaven´ı programu DataStudio udˇel´ame podle n´avodu v [1]. Teplou l´ azeˇ n realizujeme hrncem s vrouc´ı vodou postaven´ ym na elektrick´em vaˇriˇci. Studenou l´azeˇ n pˇredstavuje platov´ a odmˇerka (cca 1 l) s vodou a ledem (ledu je v n´ı v´ıce neˇz vody). Ve chv´ıli, kdy je aparatura pˇripraven´ a, (tj. vˇse je na sv´em m´ıstˇe, voda vˇre a studen´ a l´azeˇ n je rovnˇeˇz nachyst´ana) zkalibrujeme senzor tlaku. Tepeln´ y stroj je v naˇsem pˇr´ıpadˇe soustava uzavˇren´e plastov´e n´adoby, ze kter´e vede hadiˇcka do v´alce s p´ıstem, na kter´ y se d´ a postavit z´ avaˇz´ı. Tento v´ alec je ve skuteˇcnosti pˇr´ımo ˇc´ast´ı tlakov´eho senzoru, coˇz ovˇsem na principu nic nemˇen´ı. Mˇeˇren´ı pak prov´ ad´ıme podle n´ asleduj´ıc´ıho postupu. Plastovou n´ adobu um´ıst´ıme do studen´e l´aznˇe, poˇck´ame, neˇz se objem v´alce pˇrestane mˇenit. (Toto trv´ a nejv´ yˇse 1 minutu.)
2
V programu DataStudio zapneme sbˇer dat, zaznamen´ ame polohu p´ıstu ve v´alci. Plastovou n´ adobu pˇrem´ıst´ıme do tepl´e l´aznˇe, na p´ıst um´ıst´ıme z´avaˇz´ı. Pˇrendav´an´ı n´adoby mezi l´aznˇemi dˇel´ ame opravdu co nejrychleji (pˇribliˇznˇe 1 s), z´avaˇz´ı na podstavec pokl´ad´ame cca v polovinˇe tohoto u ´konu. Ve chv´ıli, kdy p´ıst dos´ ahne poˇzadovan´e v´ yˇsky (zved´an´ı st´ale jeˇstˇe prob´ıh´a dostateˇcnˇe rychle – tak, aby se neprojevovaly fluktuace tlaku), pˇrem´ıst´ıme plastovou n´adobu zpˇet do studen´e l´aznˇe a z´aroveˇ n odebereme z´ avaˇz´ı. Pˇrenos dˇel´ ame co nejrychleji a z´ avaˇz´ı odeb´ır´ame pˇribliˇznˇe v polovinˇe u ´konu. poˇck´ ame, neˇz se bˇeh cyklu vr´ at´ı na zaˇca´tek a mˇeˇren´ı zastav´ıme.
Tento postup opakujeme pro r˚ uzn´ a z´ avaˇz´ı mezi 50 a 200 g. Protoˇze z´avaˇz´ı mus´ıme um´ıstit na p´ıst v jeden pˇresn´ y okamˇzik a nˇedy mus´ıme pouˇz´ıt z´ avaˇz´ı v´ıc, spoj´ıme je prov´azkem. Tento cyklus m˚ uˇzeme pˇribl´ıˇzit cyklem sestaven´ ym ze dvou izobar a dvou adiab´at. Je zˇrejm´e, ˇze namˇeˇren´ y cyklus bude od teoretick´eho (obr. 3) m´ırnˇe odliˇsn´ y z d˚ usledku neide´alnosti experimentu – napˇr. pˇri adiabatick´e ˇc´ asti dˇeje se bude entropie (d´ıky ztr´ at´ am tepla do okol´ı) jistˇe mˇenit. Pop´ıˇseme n´aˇs dˇej zobrazen´ y na obr´azku 3.
p 2
3
1
4 V
Obr´ azek 3: Pr˚ ubˇeh experiment´aln´ıho cyklu v p-V diagramu (teoreticky)
(1) Z´ akladn´ı stav (baˇ nka s plynem je ve studen´e l´azni, p´ıst nezat´ıˇzen´ y) (1-2) Adiabatick´ a komprese (na p´ıst je poloˇzeno z´avaˇz´ı, baˇ nka je vynd´ana z l´aznˇe) (2) Baˇ nka je vloˇzena do tepl´e l´ aznˇe (2-3) Izorermick´ a expanze (na p´ıstu je st´ale z´avaˇz´ı, baˇ nka je v tepl´e l´azni) (3) Vynd´ an´ı baˇ nky z tepl´e l´ aznˇe (3-4) Adiabatick´ a expanze (z´ avaˇz´ı je z p´ıstu sund´ano, baˇ nka je mimo l´azeˇ n) (4) Baˇ nka je vloˇzena do studen´e l´ aznˇe (4-1) Izotermick´ a komprese (n´ avrat do p˚ uvodn´ıho stavu)
2.4
Namˇ eˇ ren´ e hodnoty
Namˇeˇren´e hodnoty jsou v tabulce 1 a v grafu na obr´azku 4. Pˇr´ıklad jednoho z namˇeˇren´ ych cykl˚ u – pˇri zat´ıˇzen´ı p´ıstu z´ avaˇz´ım 90 g je na obr´ azku 5.
3
0.160
naměřená data 0.140 lineární regrese
W = 1.4628 ∙ΔE + 0.009
W [J]
0.120
0.100
0.080
0.060
0.040 0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0.070
0.080
0.090
Δ E [J]
Obr´ azek 4: Graf z´ avislosti pr´ ace plynu W na zmˇenˇe potenci´aln´ı energie z´avaˇz´ı ∆E; line´arn´ı proloˇzen´ı 3
2.5
2
Δ p [kPa]
1.5
průběh cyklu 1
0.5
0 -5
-0.5
0
5
10
15
20
25
30
35
Δ V [ml]
Obr´ azek 5: p-V diagram experiment´aln´ıho cyklu se z´avaˇz´ım o hmotnosti m = 90g
4
40
m [g]
h1 [mm]
h2 [mm]
W [J]
∆E [J]
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
34.5 36.0 35.0 35.0 35.0 33.5 36.0 36.0 35.0 36.0 36.5 36.5 35.0 35.0 37.0 34.0
80.0 75.0 90.0 79.0 75.0 80.0 70.0 70.0 70.0 76.5 76.0 80.0 80.0 70.0 75.0 80.0
0.043 0.044 0.063 0.060 0.058 0.080 0.063 0.070 0.076 0.089 0.096 0.107 0.110 0.093 0.109 0.153
0.022 0.023 0.038 0.035 0.035 0.046 0.037 0.040 0.045 0.056 0.058 0.068 0.075 0.062 0.071 0.090
Tabulka 1: Tabulka namˇeˇren´ ych hodnot zmˇeny energie v cyklu tepeln´eho stroje; m je hmotnost z´avaˇz´ı na p´ıstu, h1 a h2 jsou polohy p´ıstu na zaˇc´ atku a na konci expanze, W je spotˇreba energie vypoˇc´ıtan´a podle (6) (numericky), ∆E je pr´ ace, kterou stroj vykonal na z´ avaˇz´ı vypoˇcten´a podle vztahu ∆E = m∆hg (zmˇena potenci´aln´ı energie)
2.5
Diskuze a Z´ avˇ er
Promˇeˇrili jsme cyklus tepeln´eho stroje, z´ avislost W = a · ∆E + b jsme urˇcili jako W = 1.4628∆E + 0.009. Teoreticky by hodnoty parametr˚ u mˇely b´ yt a = 1 a b = 0. Co se parametru b t´ yˇce, jeho hodnota odpov´ıd´ a ≈ 10% hodnoty ∆E, jedn´ a se tedy o posunut´ı ˇr´adovˇe mal´e. Naopak u parametru a je pomˇernˇe v´ yznamn´ y rozd´ıl oproti teoretick´e hodnotˇe. Pˇrep´ıˇseme-li rovnici do tvaru W = (c + 1)∆E + b = (1 + 0.4628)W + 0.009,
(7)
kde tedy plat´ı c = a − 1, m˚ uˇzeme ji ch´ apat n´asledovnˇe. Parametr b pˇredstavuje pr´aci syst´emu na okol´ı, kter´ a je nez´ avisl´ a na tom, jak´e z´ avaˇz´ı zvol´ıme, tj. nez´avisl´a na zmˇenˇe potenci´aln´ı energie ∆E. Jedn´a se tedy o pr´ aci, ˇ kter´ a nezv´ yˇs´ı potenci´ aln´ı energii z´ avaˇz´ı. b jsou tedy konstantn´ı ztr´aty (napˇr. v d˚ usledku tˇren´ı p´ıstu).Clen c∆E je pr´ ace kterou syst´em vykon´ a na okol´ı v z´ avislosti na ∆E, ale tato pr´ace nezv´ yˇs´ı potenci´aln´ı energii z´ avaˇz´ı. Jsou to tedy ztr´ aty z´ avisl´e na vykonan´e pr´ aci (volbˇe z´avaˇz´ı). Protoˇze ˇc´ım tˇeˇzˇs´ı z´avaˇz´ı zvol´ıme, t´ım pomaleji bude dˇej prob´ıhat, m˚ uˇze c∆E pˇredstavovat ztr´aty zp˚ usoben´e napˇr´ıklad netˇesnostmi p´ıstu. Rozd´ıl hmotnosti p´ıstu a protiz´ avaˇz´ı nen´ı nulov´ y. M˚ uˇzeme jej ale zanedbat. Vzhledem k tomu, ˇze dˇej je kruhov´ y a rozd´ıl hmotnosti se nemˇen´ı, jeho p˚ usoben´ı se ve v´ ysledku odeˇcte. Nav´ıc Celkov´ a chyba mˇeˇren´ı mohla b´ yt zp˚ usobena mnoha faktory. Pˇredpokl´adali jsme, ˇze vzduch je ide´aln´ı plyn. Pˇri norm´ aln´ıch tlac´ıch a teplot´ ach je to pomˇernˇe dobr´a aproximace, nicm´enˇe jistou chybu mˇeˇren´ı to zp˚ usobit mohl. Pouˇz´ıvan´e vztahy jsou platn´e pro kvazistatick´e dˇeje, n´aˇs cyklus rozhodnˇe kvazistaticky neprob´ıhal. Pˇri kalibraci senzoru hodnota pomˇernˇe fluktuovala, je tedy moˇzn´e, ˇze jsme se zrovna trefili mimo spr´avnou hodnotu.
ˇ ast II C´
Zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u Pro statistick´e zpracov´ an´ı budeme potˇrebovat n´asleduj´ıc´ı vztahy [2]: Aritmetick´ y pr˚ umˇer
n
x= Smˇerodatn´ a odchylka
v u u σx = t
1X xi n i=1
(8)
n
1 X 2 (xi − x) , n − 1 i=1 5
(9)
kde xi jsou jednotliv´e namˇeˇren´e hodnoty, n je poˇcet mˇeˇren´ı, x aritmetick´ y pr˚ umˇer a σx smˇerodatn´ a odchylka. Jedn´ a-li se o nepˇr´ım´e mˇeˇren´ı, spoˇc´ıt´ ame v´ yslednou hodnotu a chybu dle n´asleduj´ıc´ıch vztah˚ u: Necht’ u = f (x, y, z, . . .) x = (x ± σx ),
y = (y ± σy ),
z = (z ± σz ),
...,
kde u je veliˇcina nepˇr´ımo urˇcovan´ a pomoc´ı pˇr´ımo mˇeˇren´ ych veliˇcin x, y, z, . . . Pak u = f (x, y, z, . . .) s 2 2 2 ∂f ∂f ∂f σx2 + σy2 + σz2 + . . . σu = ∂x ∂y ∂z u = (u ± σu ),
3
Pouˇ zit´ a literatura
Reference [1] Kolektiv KF, N´ avod k u ´loze: Pr´ ace tepeln´eho stroje [Online], [cit. 29. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/136/mod resource/content/2/12 TepelnyStroj.pdf [2] Kolektiv KF, Chyby mˇeˇren´ı [Online], [cit. 29. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf
6
(10)
(11)
