´ Uloha 1J. Mal´ y P´et’a je velk´ y drsˇ na´k a nos´ı vˇzdy jen ponoˇzky r˚ uzn´ ych barev. Ve skˇr´ıni m´a 30 ˇcerven´ ych, 40 zelen´ ych a 40 modr´ ych ponoˇzek. Tato skˇr´ıˇ n se vˇsak nach´ az´ı ve sklepˇe v m´ıstech, kde se nesv´ıt´ı, takˇze kdyˇz P´et’a vyt´ahne nˇejakou ponoˇzku, nedovede rozeznat jej´ı barvu. Kolik nejm´enˇe ponoˇzek mus´ı vyt´ ahnout, aby mezi nimi bylo urˇcitˇe aspoˇ n osm r˚ uznobarevn´ ych p´ ar˚ u? Jedna ponoˇzka m˚ uˇze b´ yt zapoˇc´ıt´ana nejv´ yˇse v jednom p´aru. V´ysledek. 48 ˇ sen´ı. Jestliˇze P´et’a vyt´ahne napˇr´ıklad vˇsechny zelen´e a sedm ˇcerven´ Reˇ ych ponoˇzek, zˇrejmˇe z nich osm r˚ uznobarevn´ ych p´ar˚ u neposkl´ ad´a. Tedy 47 nestaˇc´ı. Pokud vˇsak vyt´ahne 48 ponoˇzek, pak je mezi nimi urˇcitˇe aspoˇ n 48 = 16 ponoˇ zek 3 jedn´e barvy a aspoˇ n 48 − 40 = 8 ponoˇzek, kter´e maj´ı nˇejakou jinou barvu. To n´am zaruˇcuje osm p´ar˚ u, a tedy 48 uˇz staˇc´ı. ´ Uloha 2J. Necht’ x a y jsou kladn´ a cel´a ˇc´ısla vyhovuj´ıc´ı rovnici x2 + 2y 2 = 2468. Urˇcete x, jestliˇze v´ıte, ˇze ˇreˇsen´ım rovnice je pouze jedna dvojice (x, y) a ˇze 1234 = 282 + 2 · 152 . V´ysledek. 30 ˇ sen´ı. Vyn´ Reˇ asob´ıme-li rovnost 1234 = 282 + 2 · 152 dvˇema, dostaneme 2468 = 2(282 + 2 · 152 ) = (2 · 15)2 + 2 · 282 . Jelikoˇz v´ıme, ˇze rovnice v zad´ an´ı m´ a pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı, je nutnˇe x = 30. ´ Uloha 3J. Digit´aln´ı hodinky ukazuj´ı ˇcas v hodin´ach a minut´ach ve dvacetiˇctyˇrhodinov´em form´ atu. Kolik minut dennˇe se na jejich displeji vyskytuje aspoˇ n jedna pˇetka? V´ysledek. 450 ˇ sen´ı. Bˇehem 120 minut, kdy na pozici hodin sv´ıt´ı 5 nebo 15, je pˇetka vidˇet celou dobu. Po zbytek dne je pˇetka Reˇ vidˇet vˇzdy posledn´ıch deset minut kaˇzd´e hodiny (22 · 10 = 220 minut) a d´ ale pˇetkr´at bˇehem zb´ yvaj´ıc´ıch pades´ ati minut (22 · 5 = 110 minut). Celkem je tedy pˇetka na displeji 450 minut. ´ Uloha 4J.
Obd´eln´ık o obvodu 136 cm je rozdˇelen na sedm shodn´ ych obd´eln´ıˇck˚ u jako na obr´azku.
Jak´ y je obsah tohoto obd´eln´ıka v cm2 ? V´ysledek. 1120 ˇ sen´ı. D´elky stran obd´eln´ıˇck˚ Reˇ u jsou v pomˇeru 2 : 5 – oznaˇcme je 2x a 5x. D´elky stran p˚ uvodn´ıho obd´eln´ıka jsou pak 10x a 7x, tedy jeho obvod je 2·(10x+7x) = 34x. To znamen´a, ˇze x = 4 cm a obsah obd´eln´ıka je 10·7·42 cm2 = 1120 cm2 . ´ Uloha 5J. Bonboni´era m´ a tvar rovnostrann´eho troj´ uheln´ıka o stranˇe d´elky s cm a obsahuje 2n bonb´on˚ u ve tvaru rovnostrann´eho troj´ uheln´ıka – n o stranˇe 1 cm a n o stranˇe 2 cm. Bonb´ ony jsou naskl´adan´e tˇesnˇe vedle sebe tak, aby zaplnily celou bonboni´eru. Jak´ a je nejmenˇs´ı moˇzn´a hodnota s? V´ysledek. 10 ˇ sen´ı. Necht’ a je obsah mal´eho bonb´ Reˇ onu (toho o stranˇe 1 cm). Pak obsah velk´eho bonb´onu je 4a a souˇcet obsah˚ u vˇsech bonb´on˚ u je na + 4na = 5na. Obsah bonboni´ery je s2 a, protoˇze jej´ı tvar je stejn´ y jako tvar mal´eho bonb´onu, ale jej´ı strana je s-kr´ at delˇs´ı. To znamen´ a, ˇze 5n = s2 , tedy s je n´asobkem pˇeti. Snadno se uk´ aˇze, ˇze nen´ı moˇzn´e vmˇestnat pˇet velk´ ych bonb´on˚ u do bonboni´ery o stranˇe d´elky 5 cm, takˇze s 6= 5. Nicm´enˇe pro s = 10 uˇz vhodn´e uspoˇr´ ad´ an´ı 20 mal´ ych a 20 velk´ ych bonb´on˚ u existuje.
1
´ Uloha 6J. Mal´ y P´et’a vyrostl, i nos´ı uˇz jen ponoˇzky stejn´ ych barev. Nav´ıc dostal mnoho nov´ ych ponoˇzek, takˇze nyn´ı m´a ve skˇr´ıni 20 hnˇed´ ych, 30 ˇcerven´ ych, 40 zelen´ ych, 40 modr´ ych, 30 ˇcern´ ych a 20 b´ıl´ ych ponoˇzek. Skˇr´ıˇ n je vˇsak st´ale ve sklepˇe, kde nen´ı ˇza´dn´e svˇetlo, a P´et’a tak nen´ı schopen rozeznat barvy ponoˇzek. Kolik nejm´enˇe ponoˇzek mus´ı ze skˇr´ınˇe vz´ıt, aby mˇel jistotu, ˇze mezi nimi bude osm p´ar˚ u? Jednu ponoˇzku lze samozˇrejmˇe zapoˇc´ıtat nejv´ yˇse do jednoho p´aru. V´ysledek. 21 ˇ sen´ı. Vytvoˇr´ıme-li z vybran´ Reˇ ych ponoˇzek co nejvˇetˇs´ı poˇcet p´ar˚ u, zbyde vzhledem k poˇctu barev nejv´ yˇse ˇsest nesp´ arovan´ ych. Jestliˇze vezme P´et’a ze skˇr´ınˇe 21 ponoˇzek, bude mezi nimi dokonce nejv´ yˇse pˇet nesp´arovan´ ych, nebot’ = 8 p´ar˚ u. z 21 − 6 = 15 ponoˇzek nelze beze zbytku vytvoˇrit p´ary. Pak ovˇsem zbyl´e ponoˇzky tvoˇr´ı alespoˇ n 21−5 2 Naopak 20 ponoˇzek jeˇstˇe nestaˇc´ı, nebot’ se m˚ uˇze st´ at, ˇze mezi nimi bude sedm p´ ar˚ u a ˇsest jednotliv´ ych ponoˇzek, kaˇzd´ a jin´e barvy. Z toho vypl´ yv´ a, ˇze P´et’a potˇrebuje k zajiˇstˇen´ı osmi p´ar˚ u nejm´enˇe 21 ponoˇzek. ˇ ´ Uloha 7J. Ctverec a pravideln´ y pˇeti´ uheln´ık maj´ı spoleˇcnou kruˇznici opsanou a sd´ılej´ı vrchol. Jak velk´ y je nejvˇetˇs´ı vnitˇrn´ı u ´hel mnoho´ uheln´ıka, kter´ y je jejich pr˚ unikem? V´ysledek. 153◦ ˇ sen´ı. Oznaˇc´ıme-li vrcholy jako na obr´ Reˇ azku, je pr˚ unikem ˇctverce a pˇeti´ uheln´ıka sedmi´ uheln´ık AB1 B2 C1 C2 D1 D2 . A
W B
Z B1
D2
B2
D
D1
C2
C1 X
Y C
Vzhledem k symetrii obr´azku podle osy AC se staˇc´ı zab´ yvat vnitˇrn´ımi u ´ hly u vrchol˚ u A, B1 , B2 a C1 . Prvn´ı a posledn´ı z nich maj´ı zˇrejmˇe velikost 90◦ a 135◦ . Jelikoˇz u ´ seˇcka B2 D1 je rovnobˇeˇzn´a s u ´ seˇckou XY , dost´av´ ame |^D1 B2 B1 | = |^Y XW | = 108◦ , a jelikoˇz je z´aroveˇ n rovnobˇeˇzn´a s u ´ seˇckou BD, je |^C1 B2 D1 | = |^CBD| = 45◦ . Vnitˇrn´ı u ´hel u B2 je pak 153◦ . Protoˇze troj´ uheln´ık B1 BB2 je pravo´ uhl´ y, snadno dopoˇcteme, ˇze vnitˇrn´ı u ´hel u B1 m´a velikost 117◦ . Nejvˇetˇs´ı vnitˇrn´ı u ´hel m´ a tedy velikost 153◦ . ´ Uloha 8J. Kolem koleˇcek 1 a 2 je nataˇzen ˇremen. Koleˇcko 1 m´ a pr˚ umˇer 48 mm. Jak´ y pr˚ umˇer mus´ı m´ıt koleˇcko 2, pokud m´ a cel´ y mechanismus fungovat?
1
2
V´ysledek. 20 mm 4 ˇ sen´ı. Spoˇcteme-li poˇcty zub˚ Reˇ u vˇsech kol, zjist´ıme, ˇze jedna ot´aˇcka koleˇcka 1 vynut´ı 20 aˇcky dvojit´eho kola a 15 = 3 ot´ 18 9 jedna ot´aˇcka dvojit´eho kola vynut´ı 10 = 5 ot´aˇcky koleˇcka 2. Tedy jedna ot´aˇcka koleˇcka 1 zp˚ usob´ı 43 · 95 = 12 aˇcky 5 ot´ 5 koleˇcka 2. Obvod koleˇcka 2 se proto mus´ı rovnat 12 obvodu koleˇcka 1. Protoˇze pomˇer pr˚ umˇer˚ u je roven pomˇeru obvod˚ u, 5 spoˇcteme pr˚ umˇer koleˇcka 2 jako 12 · 48 mm = 20 mm.
2
´ Uloha 9J. Honza si na sv´e dvaaˇsedes´ atidenn´ı pr´azdniny v ˇcervenci a srpnu pˇripravil pˇresn´ y pl´an, kter´e dny bude lh´at a kter´e dny bude mluvit pravdu. V k-t´em dni (pro kaˇzd´e k od 1 do 62) pak prohl´asil, ˇze mˇel v pl´ anu lh´at aspoˇ nk dn´ı. Kolik z tˇechto v´ ypovˇed´ı bylo lˇziv´ ych? V´ysledek. 31 ˇ sen´ı. Vˇsimneme si, ˇze pokud mluv´ı Honza nˇejak´ Reˇ y den pravdu, pak mus´ı mluvit pravdu i vˇsechny pˇredchoz´ı dny. Kdyby mluvil pravdu m´enˇe neˇz 31 dn´ı, pak by musel lh´at v´ıce neˇz 31 dn´ı, coˇz by bylo v rozporu s t´ım, ˇze 31. den lhal. Pokud by naopak mluvil pravdu v´ıce neˇz 31 dn´ı, pak by musel lh´ at m´enˇe neˇz 31 dn´ı, coˇz by bylo v rozporu s pravdivou v´ ypovˇed´ı z 31. dne. Honza tedy musel lh´ at pr´ avˇe 31 dn´ı. ˇ ık nˇekam um´ıstil letadlovou lod’ o rozmˇerech 5 × 1, resp. ˇ ık s Filipem hr´ ´ ali lodˇe ve ˇctverci 9 × 9. Savl´ Uloha 10J. Savl´ 1 × 5. Jak´ y je nejmenˇs´ı poˇcet pol´ı, do nichˇz mus´ı Filip vystˇrelit, aby lod’ s jistotou zas´ahl? V´ysledek. 16 ˇ sen´ı. Z n´asleduj´ıc´ıho obr´azku je patrn´e, ˇze 16 stˇrel je nutn´ Reˇ ych, nebot’ do kaˇzd´eho obd´eln´ıka 5 × 1 mus´ı Filip vystˇrelit nejm´enˇe jednou.
Onˇech 16 stˇrel staˇc´ı, jak je vidˇet z obr´ azku n´ıˇze.
´ Uloha 11J / 1S. Jak´a je nejvˇetˇs´ı moˇzn´a hodnota spoleˇcn´eho dˇelitele po dvou r˚ uzn´ ych kladn´ ych cel´ ych ˇc´ısel a, b, c splˇ nuj´ıc´ıch vztah a + b + c = 2015? V´ysledek. 155 ˇ sen´ı. M´ame 5 · 13 · 31 = 2015 = a + b + c = NSD(a, b, c) · (a0 + b0 + c0 ) pro nˇejak´ Reˇ a navz´ajem r˚ uzn´a kladn´a ˇc´ısla a0 , b0 , c0 (tedy a0 + b0 + c0 ≥ 6). Z toho vypl´ yv´ a, ˇze NSD(a, b, c) m˚ uˇze b´ yt nanejv´ yˇs 5 · 31 = 155. Pro dosaˇzen´ı tohoto maxima staˇc´ı zvolit a0 , b0 , c0 tak, aby a0 + b0 + c0 = 13. Napˇr´ıklad a0 = 1, b0 = 5, c0 = 7 d´avaj´ı a = 1 · 155, b = 5 · 155, c = 7 · 155 s poˇzadovan´ ymi vlastnostmi. ´ u, z nichˇz Uloha 12J / 2S. Vlak z´asobuj´ıc´ı tov´arnu sest´av´a z lokomotivy (kter´a je vˇzdy na zaˇc´atku) a ˇsesti vag´on˚ kaˇzd´ y veze bud’ ˇzeleznou rudu, nebo uhl´ı. David chtˇel takov´ y vlak vyfotografovat, ale podaˇrilo se mu zachytit jen tˇri sousedn´ı vag´ony. Prvn´ı – ten z nich, kter´ y byl nejbl´ıˇze lokomotivˇe – vezl ˇzeleznou rudu a n´ asleduj´ıc´ı dva vezly uhl´ı. Kolik r˚ uzn´ ych vlak˚ u mohl David takto vyfotografovat? V´ysledek. 31 ˇ sen´ı. M´ame ˇctyˇri moˇznosti um´ıstˇen´ı vyfotografovan´eho u Reˇ ´ seku R-U-U v r´ amci cel´eho vlaku. Pro kaˇzdou z tˇechto moˇznost´ı lze 23 zp˚ usoby doplnit zbytek vlaku. Takto vˇsak zapoˇc´ıt´ ame vlak R-U-U-R-U-U dvakr´at, takˇze poˇcet r˚ uzn´ ych vlak˚ u je 4 · 8 − 1 = 31.
3
´ ´ Uloha 13J / 3S. Utvar slepen´ y z nˇekolika stejnˇe velk´ ych krychliˇcek vypad´ a zezadu jako jedniˇcka a shora jako trojka, viz obr´ azek. Nav´ıc v´ıme, ˇze obsahuje maxim´ aln´ı moˇzn´ y poˇcet krychliˇcek. Kolik z nich je vidˇet pˇri pohledu zprava?
Pozn´ amka: N´ asleduj´ıc´ı obr´ azek ilustruje pohled zezadu a pohled shora na pr˚ uhledn´e krychli.
V´ysledek. 17 ˇ sen´ı. Utvar ´ Reˇ se zˇrejmˇe vejde do kv´adru o rozmˇerech 2 × 5 × 5. Rozdˇelme jej nap˚ ul a rozeberme kaˇzdou z ˇc´ ast´ı 1 × 5 × 5 zvl´aˇst’. Pod´ıv´ame-li se na u ´ tvar zepˇredu, uvid´ıme zrcadlovˇe pˇrevr´acenou jedniˇcku. V prav´e ˇc´asti je tedy zepˇredu vidˇet jedna krychliˇcka a shora pˇet, coˇz n´ am d´av´ a jedinou moˇznost, a to pˇet krychliˇcek v jedn´e ˇradˇe. Podobnˇe v lev´e ˇc´ asti vid´ıme zepˇredu pˇet krychliˇcek a shora tˇri, coˇz m˚ uˇze b´ yt nejv´ yˇse pˇet krychliˇcek v kaˇzd´em ze tˇr´ı sloupc˚ u. V´ ysledn´ yu ´tvar je zn´ azornˇen na obr´ azku n´ıˇze. Pod´ıv´ame-li se na nˇej zprava, uvid´ıme 17 krychliˇcek.
ˇ ´ Uloha 14J / 4S. Rekneme, ˇze pˇrirozen´e ˇc´ıslo n je lahodn´e, jestliˇze cifern´ y souˇcet n i n + 10 je dˇeliteln´ y sedmn´acti. Jak´e je nejmenˇs´ı lahodn´e ˇc´ıslo? V´ysledek. 7999 ˇ sen´ı. Oznaˇcme Q(r) cifern´ Reˇ y souˇcet ˇc´ısla r. Jestliˇze je cifra na pozici des´ıtek r˚ uzn´ a od 9, pak Q(n + 10) = Q(n) + 1. Proto mus´ı b´ yt na m´ıstˇe des´ıtek dev´ıtka. Jestliˇze je nyn´ı cifra na pozici stovek r˚ uzn´ a od 9, m´ame Q(n + 10) = Q(n) − 8, ale pokud je na m´ıstˇe stovek dev´ıtka, zat´ımco na m´ıstˇe tis´ıc˚ u nikoliv, dostaneme Q(n + 10) = Q(n) − 17. V tomto pˇr´ıpadˇe mohou b´ yt oba cifern´e souˇcty dˇeliteln´e sedmn´acti. Protoˇze hled´ ame co nejmenˇs´ı n, pˇredpokl´ adejme, ˇze tento pˇr´ıpad nastane a ˇze Q(n) = 2 · 17 = 34. Souˇcet vˇsech cifer kromˇe tˇech na pozici des´ıtek a stovek pak mus´ı b´ yt 34 − 2 · 9 = 16 < 2 · 9, tedy staˇc´ı dvˇe dalˇs´ı cifry. S tˇemito informacemi jiˇz snadno dojdeme k v´ ysledku n = 7999. ´ Uloha 15J / 5S. Autobusov´ a doprava provozuje linku mezi mˇesty A a D s mezizast´avkami v mˇestech B a C (v tomto poˇrad´ı). Cena j´ızdenky je pˇr´ımo u ´ mˇern´a vzd´alenosti, kterou autobus uraz´ı, tedy napˇr´ıklad j´ızdenka z A do C stoj´ı stejnˇe jako j´ızdenky z A do B a z B do C dohromady. Prod´avaj´ı se pˇritom pouze jednosmˇern´e j´ızdenky. Tonda je v´ aˇsniv´ y sbˇeratel a rozhodl se do sv´e sb´ırky z´ıskat j´ızdenky vˇsech moˇzn´ ych cen (staˇc´ı mu od kaˇzd´e ceny jedna). Zat´ım m´ a j´ızdenky o cen´ ach 10, 40, 50, 60 a 70. Jak´e jsou moˇzn´e ceny posledn´ı j´ızdenky? V´ysledek. 20, 110 ˇ sen´ı. Pˇredpokl´adejme nejprve, ˇze Tonda jiˇz vlastn´ı j´ızdenku mezi A a D. Jej´ı cena pak mus´ı b´ Reˇ yt 70. Jelikoˇz je tato ˇc´astka souˇctem cen j´ızdenek na tras´ach AB, BC a CD, z nichˇz nejm´enˇe dvˇe uˇz Tonda m´a, je patrn´e, ˇze jedin´e vyhovuj´ıc´ı rozdˇelen´ı je 10, 20, 40. Cena chybˇej´ıc´ı j´ızdenky je tedy 20. Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze i ostatn´ı ceny v tomto pˇr´ıpadˇe souhlas´ı. Pokud Tondovi nejdraˇzˇs´ı j´ızdenka chyb´ı, pak mus´ı 70 st´ at cesta s jednou zast´ avkou. Jedin´ y zp˚ usob, jak dostat 70 jako souˇcet cen dvou j´ızdenek, kter´e uˇz Tonda m´a, je 60 + 10. To znamen´a, ˇze j´ızdenka na zb´ yvaj´ıc´ı ˇca´st cesty mezi A a D stoj´ı 40 a nejdraˇzˇs´ı j´ızdenka pak 10 + 40 + 60 = 110. Opˇet snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze i tato moˇznost vyhovuje zad´ an´ı.
4
´ Uloha 16J / 6S. Vejtek v hodin´aˇrstv´ı obdivuje hodinky zabalen´e v ploch´e pr˚ uhledn´e krabiˇcce obd´eln´ıkov´eho tvaru. Vˇsiml si, ˇze stˇred hodinek (m´ısto, kde se setk´avaj´ı hodinov´a a minutov´a ruˇciˇcka) je pˇresnˇe ve stˇredu krabiˇcky. Nav´ıc zpozoroval, ˇze v poledne ukazuje mal´ a ruˇciˇcka do stˇredu kratˇs´ı strany krabiˇcky, zat´ımco v jednu hodinu ukazuje pˇresnˇe do rohu. Jak daleko jsou od sebe body na hranici krabiˇcky, na nˇeˇz ukazuje mal´a ruˇciˇcka v jednu a ve dvˇe hodiny? D´elka kratˇs´ı strany krabiˇcky je 3 cm. √ V´ysledek. 3 cm ˇ Reˇsen´ı. Oznaˇcme C stˇred krabiˇcky a Px bod na jej´ı hranici, na kter´ y ukazuje mal´a ruˇciˇcka v x hodin. Protoˇze |^P2 CP1 | = |^P3 CP2 | = 30◦ , je bod P2 stˇredem kruˇznice vepsan´e rovnostrann´eho troj´ uheln´ıka CC 0 P1 , kde C 0 je obraz bodu C v osov´e soumˇernosti podle pˇr´ımky P1 P3 . Tedy P2 je z´aroveˇ n tˇeˇziˇstˇem a hledan´ alenost √a vzd´ √ |P1 P2 | je rovna dvˇema tˇretin´ am v´ yˇsky. D´elka strany troj´ uheln´ıka CC 0 P1 je 3 cm, tedy |P1 P2 | = 23 · 21 · 3 · 3 cm = 3 cm. P1
P2 C
P3
C0
´ avˇe jednou, a nav´ıc kaˇzd´e dvˇe Uloha 17J / 7S. Najdˇete dev´ıticifern´e ˇc´ıslo, kter´e obsahuje kaˇzdou z cifer 1, 2, . . . , 9 pr´ jeho sousedn´ı cifry tvoˇr´ı dvojcifern´e ˇc´ıslo, jeˇz je souˇcinem k · l dvou ˇc´ısel k, l ∈ {1, 2, . . . , 9}. V´ysledek. 728163549 ˇ sen´ı. Hledan´e dev´ıticifern´e ˇc´ıslo nazveme z. Dvojˇc´ısl´ı xy (kde x, y ∈ {1, 2, . . . , 9} a x 6= y) nazveme pˇr´ıpustn´e, Reˇ kdykoliv existuj´ı k, l ∈ {1, 2, . . . , 9} splˇ nuj´ıc´ı 10x + y = kl. Jelikoˇz jedin´e pˇr´ıpustn´e dvojˇc´ısl´ı obsahuj´ıc´ı dev´ıtku je 49, mus´ı se toto dvojˇc´ısl´ı objevit na konci ˇc´ısla z. Pˇr´ıpustn´a dvojˇc´ısl´ı obsahuj´ıc´ı sedmiˇcku jsou pouze 27 a 72. Nemohou se vyskytnout obˇe z´aroveˇ n a konec ˇc´ısla z uˇz je obsazen, takˇze 72 mus´ı b´ yt na zaˇca´tku z. Pˇr´ıpustn´a dvojˇc´ısl´ı s osmiˇckou jsou 18, 28, 48 a 81, pˇriˇcemˇz ˇctyˇrka uˇz se vyskytuje ve spojen´ı s dev´ıtkou. M´ame tedy jedinou moˇznost, a to postavit blok 281. Nyn´ı je z = 7281 . . . 49 a zb´ yv´a doplnit ˇc´ıslice 3, 5 a 6. Protoˇze 13 ani 34 nejsou pˇr´ıpustn´a dvojˇc´ısl´ı a jedin´e pˇr´ıpustn´e dvojˇc´ısl´ı xy s x ∈ {5, 6} a y = 3 je 63, dost´av´ame z = 728163549. Toto z zˇrejmˇe splˇ nuje podm´ınky zad´ an´ı. ´ Uloha 18J / 8S. Najdˇete nejvˇetˇs´ı prvoˇc´ıslo p menˇs´ı neˇz 210 takov´e, ˇze ˇc´ıslo 210 − p je sloˇzen´e. Pozn´ amka: Pˇripomeˇ nme, ˇze jedniˇcka nen´ı ani prvoˇc´ıslo, ani ˇc´ıslo sloˇzen´e. V´ysledek. 89 ˇ sen´ı. Nam´ısto hled´ Reˇ an´ı nejvˇetˇs´ıho prvoˇc´ısla p budeme hledat nejmenˇs´ı sloˇzen´e ˇc´ıslo n takov´e, ˇze 210 − n je prvoˇc´ıslo. M´ame 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Kdyby tedy bylo n dˇeliteln´e dvˇema, tˇremi, pˇeti nebo sedmi, platilo by tot´eˇz pro 210 − n, neboli 210 − n by nebylo prvoˇc´ıslo. Nejmenˇs´ım kandid´ atem na n je proto 112 a to n´am d´av´a p = 210 − 121 = 89, coˇz je prvoˇc´ıslo. ´ Uloha 19J / 9S. Z´akladn´ı ˇskola se rozhodla nakoupit spoustu tuˇzek pro prvˇ na´ky, rozdˇelen´e do tˇr´ıd A, B a C. Kdyby se tuˇzky rozdaly spravedlivˇe ve vˇsech tˇr´ıd´ach, dostal by kaˇzd´ y ˇz´aˇcek devˇet tuˇzek. Pokud by se rozdaly jen ve tˇr´ıdˇe A, dostal by jich kaˇzd´ y 30, a pokud jen ve tˇr´ıdˇe B, mˇel by kaˇzd´ y 36. Kolik tuˇzek by dostal kaˇzd´ y ˇza´ˇcek ve tˇr´ıdˇe C, kdyby se tuˇzky rozdaly jen tam? V´ysledek. 20 ˇ sen´ı. Necht’ T je celkov´ Reˇ y poˇcet tuˇzek a a, b, c jsou poˇcty ˇz´ak˚ u v pˇr´ısluˇsn´ ych tˇr´ıd´ach. Ze zad´an´ı v´ıme, ˇze T = 9(a + b + c) = 30a = 36b, a hled´ ame T /c. Dosazen´ım a = T /30 a b = T /36 do prvn´ı rovnosti dost´av´ame T = 9 20 T T c
3 10 T
+ 14 T + 9c,
= 9c, = 20.
5
´ Uloha 20J / 10S. Najdˇete vˇsechny ˇctyˇrcifern´e ˇctverce, jejichˇz prvn´ı i druh´e dvojˇc´ısl´ı jsou nenulov´e ˇctverce (druh´ y z nich m˚ uˇze zaˇc´ınat nulou). ˇ Pozn´ amka: Ctvercem rozum´ıme druhou mocninu nˇejak´eho cel´eho ˇc´ısla. V´ysledek. 1681 ˇ sen´ı. Jelikoˇz pro k ≥ 50 plat´ı (k + 1)2 − k 2 > 100, je 502 = 2500 jedin´ Reˇ y ˇctverec zaˇc´ınaj´ıc´ı dvojˇc´ısl´ım 25 a obdobnou vlastnost maj´ı zˇrejmˇe ˇc´ısla 3600, 4900, 6400 a 8100. Tedy prvn´ı dvojˇc´ısl´ı mus´ı b´ yt 16. Jedin´ ym ˇctvercem vˇetˇs´ım neˇz 1600 a menˇs´ım neˇz 1700 je 412 = 1681. Ten m´ a zˇrejmˇe vˇsechny poˇzadovan´e vlastnosti. ˇ c jel konstantn´ı rychlost´ı po d´ ´ Uloha 21J / 11S. Ridiˇ alnici vedouc´ı mezi dvˇema mˇesty. Bohuˇzel se nˇekter´e u ´ seky d´alnice opravovaly, a tak byl nucen pˇri pr˚ ujezdu tˇemito m´ısty sn´ıˇzit rychlost o ˇctvrtinu. V ˇcase, kdy by obyˇcejnˇe dorazil do c´ıle, mˇel proto za sebou teprve ˇsest sedmin celkov´e vzd´alenosti. Jak´ y zlomek celkov´eho ˇcasu str´avil do t´eto chv´ıle v opravovan´ ych u ´sec´ıch? V´ysledek. 4/7 ˇ sen´ı. Je-li x zlomek celkov´eho ˇcasu str´ Reˇ aven´ y v opravovan´ ych u ´sec´ıch, pak 1 − x je zlomek ˇcasu str´ aven´ y na zbytku d´ alnice. Tedy 6 3 = x + 1 − x, 7 4 coˇz n´ am d´ av´ a x = 4/7. ´ Uloha 22J / 12S. Obd´eln´ık s celoˇc´ıseln´ ymi d´elkami stran je rozˇrez´an na dvan´act ˇctverc˚ u, kter´e maj´ı d´elky stran 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9, 9. Jak´ y je obvod tohoto obd´eln´ıka? V´ysledek. 90 ˇ sen´ı. Seˇcteme-li obsahy vˇsech ˇctverc˚ Reˇ u, zjist´ıme, ˇze obsah obd´eln´ıka je 464 = 24 · 29. Obd´eln´ık mus´ı m´ıt nav´ıc d´elky stran aspoˇ n 9, nebot’ jinak by se do nˇeho neveˇsly ˇctverce o stranˇe 9. Jedin´a moˇznost, jak 464 rozloˇzit na souˇcin dvou ˇc´ısel vˇetˇs´ıch neˇz 9, je 16 · 29, coˇz d´ av´ a obvod 90. Pozn´amka: Rozˇrez´an´ı obd´eln´ıka 16 × 29 na ˇctverce s pˇr´ısluˇsn´ ymi d´elkami stran skuteˇcnˇe existuje, jak ukazuje obr´azek.
5
7
8
9
3 3
2
8
7
2
9
5
ˇ ´ Uloha 23J / 13S. Ctvercov´ y list pap´ıru je pˇreloˇzen tak, ˇze se jeden z jeho vrchol˚ u dot´ yk´a jedn´e z protˇejˇs´ıch stran jako na obr´azku. V troj´ uheln´ıˇcku pˇresahuj´ıc´ım obrys p˚ uvodn´ıho ˇctverce m´a delˇs´ı z vnˇejˇs´ıch stran (soused´ıc´ı s pˇrehybem) d´elku 8 cm a kratˇs´ı z nich m´ a d´elku 6 cm. 8 6
Jak´ a je d´elka strany pap´ıru? V´ysledek. 36 cm ˇ sen´ı. Zˇrejmˇe jsou vˇsechny troj´ Reˇ uheln´ıky na obr´azku pravo´ uhl´e a navz´ajem podobn´e podle vˇety uu. Oznaˇc´ıme-li d´elky stran prav´eho doln´ıho troj´ uheln´ıka jako 6x, 8x a (z Pythagorovy vˇety) 10x, pak je d´elka strany ˇctverce rovna 18x. To znamen´a, ˇze troj´ uheln´ık vlevo dole m´a spodn´ı stranu d´elky 18x − 6x = 12x. D´elky zbyl´ ych dvou stran jsou
6
pak d´ıky podobnosti 9x a 15x, tedy d´elka strany ˇctverce je tak´e 15x + 6 cm. Z rovnosti 15x + 6 cm = 18x dost´av´ame x = 2 cm, neboli 18x = 36 cm.
8
10x
10 6 15x
10x
9x
8x
12x
6x
ˇ ep´ana by zaj´ımalo, jak je dlouh´ ´ Uloha 24J / 14S. Star´ y kˇriˇzn´ık pluje konstantn´ı rychlost´ı po kan´alu. Stˇ y. Zat´ımco se ˇ ep´an konstantn´ı rychlost´ı po bˇrehu od z´adi aˇz k pˇr´ıdi, pˇriˇcemˇz napoˇc´ıt´a 240 krok˚ lod’ pomalu pohybuje vpˇred, kr´ aˇc´ı Stˇ u. Pot´e se hned otoˇc´ı a kr´ aˇc´ı zpˇet k z´ adi, coˇz mu vyjde na 60 krok˚ u. Jak´a je d´elka kˇriˇzn´ıku v kroc´ıch? V´ysledek. 96 ˇ sen´ı. Za cestu tam i zpˇet napoˇc´ıt´a Stˇ ˇ ep´an 300 krok˚ Reˇ u, pˇriˇcemˇz kˇriˇzn´ık se pohne o 240 − 60 = 180 krok˚ u. Zat´ımco ˇ ep´an udˇel´a 60 krok˚ tedy Stˇ u od pˇr´ıdˇe k z´adi, uraz´ı kˇriˇzn´ık 180 : 5 = 36 krok˚ u. D´elka kˇriˇzn´ıku je proto 60 + 36 = 96 krok˚ u. ˇ ıslo 137641 = 3712 je nejmenˇs´ım ˇsesticifern´ ´ ym ˇc´ıslem, z nˇehoˇz je moˇzn´e vyˇskrtnout tˇri navz´ajem Uloha 25J / 15S. C´ r˚ uzn´e cifry a dostat tak jeho druhou odmocninu: 137641. Najdˇete nejvˇetˇs´ı ˇsesticifern´e ˇc´ıslo s touto vlastnost´ı. V´ysledek. 992016 = 9962 ˇ sen´ı. Staˇc´ı spoˇc´ıtat ˇctverce (1000 − n)2 = 1000 · (1000 − 2n) + n2 pro n = 1, 2, 3, 4. M´ame 9992 = 998001, Reˇ 9982 = 996004, √9972 = 994009 a 9962 = 992016, pˇriˇcemˇz prvn´ı tˇri ˇc´ısla zˇrejmˇe nevyhovuj´ı, ale ˇctvrt´e uˇz ano: 9920 16 = 996 = 992016. ´ Uloha 26J / 16S. Martina nat’ukala nˇeco do kalkulaˇcky a na displeji se objevilo trojcifern´e ˇc´ıslo x. Olin, kter´ y sedˇel naproti n´ı, si vˇsiml, ˇze ze sv´eho pohledu (vzh˚ uru nohama) pˇreˇcte na displeji pˇresnˇe ˇc´ıslo, kter´e je o 369 vˇetˇs´ı neˇz x. Jak´e je ono Martinino ˇc´ıslo x? Pozn´ amka: Kalkulaˇcka m´ a segmentov´ y displej, ˇc´ıslice 0–9 tedy vypadaj´ı takto:
V´ysledek. 596 ˇ sen´ı. Otoˇc´ıme-li ˇc´ıslici vzh˚ Reˇ uru nohama, mohou nastat tˇri moˇznosti: bud’ se nezmˇen´ı (0, 2, 5, 8), nebo se zmˇen´ı (6 ↔ 9), nebo nebude v´ ysledkem ˇza´dn´a ˇc´ıslice (1, 3, 4, 7). Necht’ x je Martinino ˇc´ıslo a x0 je toto ˇc´ıslo vzh˚ uru nohama. Protoˇze 369 konˇc´ı dev´ıtkou, mus´ı x konˇcit jednou z cifer 0, 6, 9 – vˇsechny ostatn´ı pˇr´ıpustn´e cifry totiˇz vedou na nepˇr´ıpustnou posledn´ı cifru ˇc´ısla x0 . Kdyby x konˇcilo nulou, pak by x0 zaˇc´ınalo nulou, coˇz nen´ı moˇzn´e. Kdyby x konˇcilo dev´ıtkou, pak by x0 konˇcilo osmiˇckou, tedy x by zaˇc´ınalo osmiˇckou a x0 ˇsestkou, coˇz zjevnˇe odporuje podm´ınce x0 > x. Pˇredpokl´adejme proto, ˇze x konˇc´ı ˇsestkou. Pak m´ame x = 5a6 a x0 = 9a0 5 pro nˇejakou pˇr´ıpustnou cifru a a jej´ı pˇrevr´acenou verzi a0 . Vzhledem k podm´ınce x0 − x = 369 nen´ı moˇzn´e, aby a = a0 , tedy nutnˇe a ∈ {6, 9}. Nyn´ı snadno dopoˇcteme, ˇze x = 596. ´ Uloha 27J / 17S. Na ostrovˇe Na-boi ˇzij´ı tˇri rodiny, z nichˇz v kaˇzd´e maj´ı dva syny a dvˇe dcery. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇze tˇechto dvan´ act potomk˚ u utvoˇrit ˇsest manˇzelsk´ ych p´ar˚ u, jestliˇze sˇ natky sourozenc˚ u nejsou pˇr´ıpustn´e? V´ysledek. 80 ˇ sen´ı. Oznaˇcme rodiny jako A, B a C. Pokud si oba synov´e z A vezmou dcery z jedn´e rodiny (BUNO ´ Reˇ B), mus´ı si dcery z A vz´ıt syny z C, aby se zabr´ anilo sˇ natk˚ um sourozenc˚ u v C. Syn˚ um z B pak nezb´ yv´a neˇz si vz´ıt dcery z C. V tomto pˇr´ıpadˇe m´ ame celkem 2 · 23 = 16 moˇznost´ı – pˇriˇrazen´ı rodin lze prov´est dvˇema zp˚ usoby a v kaˇzd´e rodinˇe se pak mohou dcery dvˇema zp˚ usoby vd´ at za syny z pˇr´ısluˇsn´e jin´e rodiny. Pokud si jeden syn z A vezme dceru z B a druh´ y dceru z C, pak si v z´ ajmu pˇredejit´ı sourozeneck´ ym sˇ natk˚ um mus´ı rovnˇeˇz jedna dcera z A vz´ıt syna z B a druh´a syna z C. Synov´e z A maj´ı v tomto pˇr´ıpadˇe dohromady osm moˇznost´ı v´ ybˇeru manˇzelek a tot´eˇz plat´ı pro dcery z A. Pot´e uˇz zb´ yv´a jen sp´ arovat zb´ yvaj´ıc´ı syny a dcery z rodin B a C, coˇz lze udˇelat pr´ avˇe jedn´ım zp˚ usobem. Tento pˇr´ıpad tedy zahrnuje 8 · 8 = 64 moˇznost´ı. Celkem m´ ame 16 + 64 = 80 moˇznost´ı, jak utvoˇrit ˇsest manˇzelsk´ ych p´ar˚ u.
7
´ Uloha 28J / 18S. Jana a Jirka upekli obrovskou pizzu, kterou rozˇrezali na pades´at stejn´ ych d´ılk˚ u (kruhov´ ych v´ yseˇc´ı), a na kaˇzd´ y z tˇechto d´ılk˚ u dali postupnˇe po smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek 1, 2, 3, . . . , 50 oliv. Nyn´ı by pizzu chtˇeli rovn´ ym ˇrezem mezi d´ılky rozdˇelit nap˚ ul tak, aby Jana dostala dvakr´at v´ıce oliv neˇz Jirka. Jak´ y bude souˇcet poˇctu oliv na ˇctyˇrech d´ılc´ıch soused´ıc´ıch s t´ımto ˇrezem? V´ysledek. 68, 136 ˇ nem˚ ˇ sen´ı. Oznaˇcme d´ılky ˇc´ısly 1–50 podle poˇctu oliv. Rez Reˇ uˇze proch´ azet mezi d´ılky 1 a 50, respektive 25 a 26, nebot’ 2 · (1 + 2 + · · · + 25) < 26 + 27 + · · · + 50. M˚ uˇzeme tedy pˇredpokl´ adat, ˇze d´ılky soused´ıc´ı s ˇrezem maj´ı ˇc´ısla n, n + 1, n + 25, n + 26, kde 1 ≤ n ≤ 24. Souˇcet tˇechto ˇc´ısel je 4n + 52. Nyn´ı spoˇcteme (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + 25) = 25n + 12 · 25 · 26 = 25(n + 13) a 1 + 2 + · · · + 50 = 21 · 50 · 51 = 25 · 51. M´ ame dvˇe moˇznosti: 25(n + 13) =
1 · 25 · 51 = 25 · 17 3
nebo
25(n + 13) =
2 · 25 · 51 = 25 · 34. 3
Prvn´ı z nich d´av´ a n = 4 a hledan´ y souˇcet je pak 4n + 52 = 68. Pro druhou moˇznost dostaneme n = 21 a 4n + 52 = 136. ´ Uloha m´ a tedy dvˇe ˇreˇsen´ı, a to 68 a 136. ´ Uloha 29J / 19S. Najdˇete vˇsechna prvoˇc´ısla p, pro kter´a je 19p + 1 tˇret´ı mocninou cel´eho ˇc´ısla. V´ysledek. 421 ˇ sen´ı. Jestliˇze p je takov´e prvoˇc´ıslo, pak 19p + 1 = k 3 pro nˇejak´e k > 2. Dost´av´ame tak rovnost Reˇ 19p = k 3 − 1 = (k − 1)(k 2 + k + 1). Protoˇze k > 2, obˇe z´ avorky na prav´e stranˇe jsou vlastn´ımi dˇeliteli ˇc´ısla 19p. Ovˇsem 19p je souˇcin dvou prvoˇc´ısel, tedy k − 1 = 19 nebo k 2 + k + 1 = 19. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe je k = 20 a p = 400 + 20 + 1 = 421, coˇz je prvoˇc´ıslo. Druh´ y pˇr´ıpad vede na kvadratickou rovnici k 2 + k − 18 = 0, kter´a nem´a ˇz´ adn´ y celoˇc´ıseln´ y koˇren. Jedin´ ym ˇreˇsen´ım u ´ lohy je tedy prvoˇc´ıslo 421. ´ Uloha 30J / 20S. Mˇejme rovnobˇeˇzn´ık ABCD a body E, F postupnˇe na stran´ ach AD, AB takov´e, ˇze 2|AE| = |ED| a 2|AF | = |F B|. Pˇr´ımky CF a CE prot´ınaj´ı u ´hlopˇr´ıˇcku BD postupnˇe v bodech G a H. Jakou ˇca´st plochy rovnobˇeˇzn´ıka ABCD zauj´ım´ a pˇeti´ uheln´ık AF GHE? 7 V´ysledek. 30 ˇ sen´ı. V n´ Reˇ asleduj´ıc´ım textu budeme obsah u ´ tvaru znaˇcit hranat´ ymi z´ avorkami. Jelikoˇz jsou troj´ uheln´ıky EHD a CHB podobn´e, plat´ı |BC| |AD| |BH| 3 = = 2 = |HD| |ED| 2 |AD| 3 3 2 1 a z podobnosti troj´ uheln´ık˚ u F BG a CDG m´ ame DG GB = 2 . Tedy |DH| = |BG| = 5 |DB| a |HG| = 5 |DB|. Vzhledem k tomu, ˇze 2 2 1 [ECD] = [ACD] = · [ABCD] = [F BC], 3 3 2 dost´ av´ ame 1 1 1 7 [AF GHE] = [AF CE] − [GCH] = − · [ABCD] = [ABCD]. 3 5 2 30
´ Uloha 31J / 21S. Najdˇete nejvˇetˇs´ı pˇeticifern´e ˇc´ıslo s nenulov´ ymi ciframi, kter´e m´a n´asleduj´ıc´ı vlastnosti: • Prvn´ı trojˇc´ısl´ı tvoˇr´ı ˇc´ıslo devˇetkr´ at vˇetˇs´ı neˇz posledn´ı dvojˇc´ısl´ı. • Posledn´ı trojˇc´ısl´ı tvoˇr´ı ˇc´ıslo sedmkr´ at vˇetˇs´ı neˇz prvn´ı dvojˇc´ısl´ı. V´ysledek. 85595 ˇ sen´ı. Necht’ abcde je pˇeticifern´e ˇc´ıslo takov´e, ˇze abc = 9 · de a cde = 7 · ab. Pak Reˇ 63 · de = 7 · abc = 70 · ab + 7c = 10 · cde + 7c = 1007c + 10 · de, tedy de = 1007c e dostaneme, ˇze ab = 17c. Jestliˇze c ≥ 6, pak ˇc´ısla 17c a 19c jsou vˇetˇs´ı neˇz 100. To 53 = 19c. Podobnˇ znamen´ a, ˇze c m˚ uˇze b´ yt nanejv´ yˇs 5. Pro c = 5 dost´av´ame abcde = 17119c = 85595.
8
´ Uloha 32J / 22S. V kruhu sedˇelo dvan´ act bystr´ ych muˇz˚ u a kaˇzd´emu z nich byla n´ahodnˇe rozd´ ana jedna z dvan´ acti karet – dev´ıti pr´azdn´ ych a tˇr´ı v´ yznaˇcn´ ych oznaˇcen´ ych jako J, Q a K. Kaˇzd´ y z muˇz˚ u se pod´ıval na svou kartu a pot´e ji poslal sousedovi po prav´e ruce. Takto se pokraˇcovalo d´ale, pˇriˇcemˇz po kaˇzd´em zhl´ednut´ı karty byli vˇsichni v jeden okamˇzik vyzv´ani, aby se pˇrihl´asili, pokud vˇed´ı, kdo pr´avˇe drˇz´ı kterou v´ yznaˇcnou kartu. V prvn´ıch ˇctyˇrech kolech se nepˇrihl´ asil nikdo a po spatˇren´ı p´at´e karty zvedl ruku jeden ˇclovˇek. V n´asleduj´ıc´ım kole, tj. po ˇsesti kart´ach, se pˇrihl´asilo x lid´ı a v tom dalˇs´ım y lid´ı. Urˇcete xy. V´ysledek. 42 ˇ sen´ı. Prvn´ı ˇclovˇek, kter´ Reˇ y zvedl ruku, musel b´ yt tak´e prvn´ı, kter´emu proˇsly rukama vˇsechny tˇri v´ yznaˇcn´e karty. Oznaˇcme je v tomto poˇrad´ı C1 , C2 a C3 . Kartu C3 dostal muˇz urˇcitˇe jako p´atou, jelikoˇz jinak by mohl zvednout ruku uˇz ve ˇctvrt´em kole. Kartu C1 musel naopak dostat uˇz na zaˇc´atku, nebot’ v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe by se v pˇredchoz´ım kole mohl pˇrihl´ asit soused po jeho lev´e ruce. Od tohoto okamˇziku tedy vˇsichni znali polohu karet C1 a C3 , ale ne vˇsichni dovedli ˇr´ıct, kter´e v´ yznaˇcn´e karty to jsou. V dalˇs´ıch kolech se proto pˇrihl´ asili pr´ avˇe ti lid´e, kter´ ym proˇsla rukama karta C2 a aspoˇ n jedna z karet C1 a C3 . Snadno nahl´edneme, ˇze po ˇsest´em kole bylo takov´ ych lid´ı ˇsest a po sedm´em kole sedm, tedy odpovˇed’ je 42. ´ Uloha 33J / 23S. Uvnitˇr rovnoramenn´eho pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka, jehoˇz z´ akladna m´a d´elku 1, bylo sestrojeno sedm kruˇznic jako na n´ asleduj´ıc´ım obr´ azku:
Jak´ y je souˇcet jejich obsah˚ u? √
V´ysledek. π 3−24
2
√
2
1√ = π (1−4 2) = π 4(1+1√2)2 = π 4(3+2 2)
ˇ sen´ı. Kdykoliv rozdˇel´ıme rovnoramenn´ Reˇ y pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık na√dva shodn´e troj´ uheln´ıky, pak jsou tyto troj´ uheln´ıky podobn´ e p˚ uvodn´ ımu troj´ u heln´ ıku s koeficientem podobnosti 1 : 2. Tedy rovnˇ e ˇ z polomˇ e r kaˇ z d´ e nov´ e kruˇ znice je √ 2-kr´ at menˇs´ı neˇz polomˇer t´e pˇredchoz´ı, neboli jej´ı obsah je polovinou obsahu t´e pˇredchoz´ı. Jin´ ymi slovy se souˇcet obsah˚ u kruˇznic pˇri dˇelen´ı troj´ uheln´ıka nemˇen´ı, takˇze staˇ c´ı spoˇc´ıtat obsah kruˇznice vepsan´e tomuto troj´ uheln´ıku. Protoˇze √ odvˇesny troj´ uheln´ıka maj´ı z Pythagorovy vˇety d´elku 22 a kolmice na odvˇesny veden´e stˇredem kruˇznice vepsan´e tvoˇr´ı √ spolu s tˇemito odvˇesnami ˇctverec, je polomˇer kruˇznice vepsan´e roven 22 − 21 . V´ ysledn´ y obsah je tedy √ 3−2 2 π . 4 ´ Uloha 34J / 24S. Najdˇete vˇsechna prvoˇc´ısla p takov´a, ˇze p + 11 dˇel´ı p(p + 1)(p + 2). V´ysledek. 7, 11, 19, 79 ˇ sen´ı. Bud’ je p = 11 a pak zˇrejmˇe podm´ınku splˇ Reˇ nuje, nebo je p nesoudˇeln´e s p + 11. Ve druh´em pˇr´ıpadˇe dˇel´ı p + 11 souˇcin p(p + 1)(p + 2), pr´avˇe kdyˇz dˇel´ı souˇcin (p + 1)(p + 2). Ten se modulo p + 11 rovn´ a (−10) · (−9), takˇze mus´ı platit p + 11 | 90, neboli p ∈ {7, 19, 79}. ´ Uloha 35J / 25S. St´ınka obecn´a (Porcellio scaber) m´a ˇctrn´act nohou. Maminka st´ınka m´ a velk´e z´asoby stejn´ ych ponoˇzek a bot a pˇripravuje sv´e dˇeti na nadch´ azej´ıc´ı chladn´e obdob´ı. Vysvˇetluje mal´emu Kubovi, ˇze ponoˇzky i boty si m˚ uˇze obout v libovoln´em poˇrad´ı, ale na kaˇzdou nohu si mus´ı d´at nejprve ponoˇzku a aˇz pak botu. Kolika zp˚ usoby se m˚ uˇze Kuba obout? V´ysledek. 228! 14 ˇ Reˇsen´ı. Vˇsechny zp˚ usoby obut´ı lze zak´odovat do uspoˇr´adan´ ych 28-tic sest´ avaj´ıc´ıch ze 14 ponoˇzek a 14 bot, v nichˇz ponoˇzka na urˇcitou nohu vˇzdy pˇredch´ az´ı botu na tuto nohu. Pro dvojici ponoˇzky a boty na prvn´ı nohu m´ame 28 2 moˇznost´ı, kam ji v r´amci 28-tice um´ıstit. Pro druhou dvojici uˇz m´ame jen 26 m´ıst, a tedy 26 moˇ z nost´ ı. Takto m˚ u ˇ z eme 2 pokraˇcovat, dokud nezbyde 22 = 1 moˇznost, kam um´ıstit posledn´ı dvojici. Celkov´ y poˇcet zp˚ usob˚ u, jak se m˚ uˇze Kuba obout, je tedy 28 26 24 2 28! · · ··· = 14 . 2 2 2 2 2
9
´ Uloha 36J / 26S. Necht’ x je re´ aln´e ˇc´ıslo splˇ nuj´ıc´ı x3 + 4x = 8. Jak´a je hodnota v´ yrazu x7 + 64x2 ? V´ysledek. 128 ˇ sen´ı. Dosazen´ım x3 = 8 − 4x do x7 + 64x2 z´ısk´ame Reˇ x7 + 64x2 = x · (x3 )2 + 64x2 = x(8 − 4x)2 + 64x2 = 64x + 16x3 = 16(x3 + 4x) = 128. ´ uheln´ıku ABC se z´akladnou AB bud’ D pr˚ useˇc´ık osy u ´hlu ACB s AB a E Uloha 37J / 27S. V rovnoramenn´em troj´ pr˚ useˇc´ık osy u ´hlu BAC s BC. V´ıte-li, ˇze |AE| = 2|CD|, urˇcete |^BAC|. V´ysledek. 36◦ ˇ sen´ı. Necht’ F je bod na stranˇe BC takov´ Reˇ y, ˇze AE k DF . Pak |DF | = 12 |AE| = |CD|, tedy troj´ uheln´ık F CD je rovnoramenn´ y se z´ akladnou F C. Oznaˇcme ϕ = |^BAC|. Pak |^AEC| = |^DF C| = |^F CD| = |^DCA| = 90◦ − ϕ. ´hl˚ u v troj´ uheln´ıku AEC dostaneme Protoˇze |^CAE| = 12 ϕ, seˇcten´ım vnitˇrn´ıch u 1 ϕ + 3(90◦ − ϕ) = 180◦ , 2 odkud m´ ame ϕ = 36◦ .
C E F A
B
D
´ Uloha 38J / 28S. Je d´ana posloupnost re´aln´ ych ˇc´ısel (an ) splˇ nuj´ıc´ı a1 = 2015 a a1 + a2 + · · · + an = n2 · an pro vˇsechna n ≥ 1. Urˇcete a2015 . 1 V´ysledek. 1008 ˇ sen´ı. Odeˇcten´ım rekurentn´ıch vzorc˚ Reˇ u pro n a n − 1 dostaneme an = n2 · an − (n − 1)2 · an−1 , coˇz se d´a zjednoduˇsit n−1 na an = n+1 an−1 . Tedy n−1 n−2 n−3 2 1 2a1 an = · · · · · · · a1 = , n+1 n n−1 4 3 n(n + 1)
a proto a2015 =
2·2015 2015·2016
=
1 1008 .
´ Uloha 39J / 29S. M´ıˇsa s Aniˇckou vymyslely hru. Obarvily stˇeny dvou dvan´actistˇenn´ ych kostek azurovou, purpurovou a ˇzlutou barvou tak, aby na kaˇzd´e kostce byla aspoˇ n jedna stˇena kaˇzd´e z tˇechto barev a na prvn´ı z nich byly pr´ avˇe ˇctyˇri stˇeny ˇzlut´e. Jestliˇze nyn´ı hod´ı obˇema kostkami a padnou na nich stejn´e barvy, vyhr´ av´a M´ıˇsa, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe vyhr´ av´ a Aniˇcka. Kolik purpurov´ ych stˇen je na druh´e kostce, maj´ı-li obˇe dˇevˇcata stejnou ˇsanci na v´ yhru? V´ysledek. 1, 9 ˇ sen´ı. Oznaˇcme c1 , c2 poˇcty azurov´ Reˇ ych stˇen na prvn´ı a druh´e kostce. Podobnˇe oznaˇcme m1 , m2 poˇcty purpurov´ ych stˇen a y1 , y2 poˇcty ˇzlut´ ych stˇen. V´ıme, ˇze c1 + m1 + y1 = c2 + m2 + y2 = 12 a y1 = 4. Nav´ıc pˇresnˇe v polovinˇe vˇsech moˇzn´ ych hod˚ u padnou na obou kostk´ ach stejn´e barvy, tedy c1 c2 + m1 m2 + y1 y2 =
122 = 72. 2
Dosazen´ım z v´ yˇse zm´ınˇen´ ych vztah˚ u za m1 , y1 a y2 dostaneme c1 c2 − c1 m2 − 4c2 + 4m2 + 48 = 72, neboli (c1 − 4)(c2 − m2 ) = 24. Jelikoˇz −3 ≤ c1 − 4 ≤ 3 a −9 ≤ c2 − m2 ≤ 9, mus´ı b´ yt c2 − m2 bud’ 8, nebo −8. Protoˇze nav´ıc 0 < y2 = 12 − c2 − m2 , je m2 bud’ 1, nebo 9. Pˇr´ımoˇcar´ ym ovˇeˇren´ım zjist´ıme, ˇze obˇe tyto hodnoty jsou moˇzn´e.
10
´ Uloha 40J / 30S. Okolo kulat´eho stolu sed´ı n > 24 ˇzen, z nichˇz kaˇzd´a bud’ vˇzdy lˇze, nebo vˇzdy mluv´ı pravdu. Nav´ıc kaˇzd´ a z tˇechto ˇzen tvrd´ı n´ asleduj´ıc´ı: •
J´ a mluv´ım pravdu.“ ” • Odpoˇc´ıt´ am-li 24 ˇzidl´ı po m´e pravici, tak na t´e 24. sed´ı lh´aˇrka.“ ” Najdˇete nejmenˇs´ı n, pro kter´e tato situace m˚ uˇze nastat. V´ysledek. 32 ˇ sen´ı. Zaˇcnˇeme u nˇejak´e ˇzeny a odpoˇc´ıtejme 24 m´ıst od n´ı smˇerem doprava, pot´e znovu 24 m´ıst smˇerem doprava Reˇ atd. Po nˇekolika kroc´ıch se zˇrejmˇe dostaneme zpˇet k ˇzenˇe, u kter´e jsme zaˇcali – oznaˇcme tento poˇcet krok˚ u jako s. Pak s je nejmenˇs´ı kladn´e cel´e ˇc´ıslo, pro kter´e plat´ı n | 24s. Tedy s = n/d, kde d je nejvˇetˇs´ı spoleˇcn´ y dˇelitel ˇc´ısel n a 24. Vˇsimnˇeme si, ˇze na 24. m´ıstˇe vpravo od pravdomluvn´e ˇzeny (resp. lh´ aˇrky) mus´ı vˇzdy sedˇet lh´aˇrka (resp. pravdomluvn´a ˇzena). Znamen´a to, ˇze s mus´ı b´ yt sud´e, neboli n mus´ı b´ yt dˇeliteln´e vyˇsˇs´ı mocninou dvojky neˇz 24. Nejmenˇs´ı kandid´at je 32 a snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze toto ˇc´ıslo je skuteˇcnˇe ˇreˇsen´ım u ´lohy. ´ Uloha 41J / 31S. Dva ˇctverce maj´ı spoleˇcn´ y stˇred, pˇriˇcemˇz vrcholy menˇs´ıho z nich leˇz´ı na stran´ ach vˇetˇs´ıho. Vystˇrihneme-li menˇs´ı ˇctverec z vˇetˇs´ıho, zbydou n´am ˇctyˇri shodn´e troj´ uheln´ıky, z nichˇz kaˇzd´ y m´a obsah rovn´ y jedn´e dvan´ actinˇe obsahu vˇetˇs´ıho ˇctverce. Jak´ a je velikost nejmenˇs´ıho vnitˇrn´ıho u ´hlu tˇechto troj´ uheln´ık˚ u ve stupn´ıch?
? V´ysledek. 15◦ ˇ sen´ı. Oznaˇcme a, b (a ≤ b) d´elky odvˇesen a c d´elku pˇrepony tˇechto troj´ Reˇ uheln´ık˚ u. Ze zad´an´ı vypl´ yv´a, ˇze obsah menˇs´ıho ˇctverce je roven dvˇema tˇretin´ am obsahu vˇetˇs´ıho ˇctverce. Obsah jednoho troj´ uheln´ıka se tedy rovn´a jedn´e osminˇe obsahu menˇs´ıho ˇctverce, neboli 1 1 ab = c2 . 2 8 Necht’ α je nejmenˇs´ı vnitˇrn´ı u ´hel troj´ uheln´ık˚ u. Pak a = c sin α a b = c cos α, tedy c2 = 4ab = 4c2 sin α cos α = 2c2 sin 2α, neboli sin 2α =
1 . 2
Jelikoˇz α ≤ 45◦ , mus´ı b´ yt 2α = 30◦ , a koneˇcnˇe α = 15◦ . ´ Uloha 42J / 32S. Kruˇznice ω3 o polomˇeru 3 m´ a vnitˇrn´ı dotyk s kruˇznic´ı ω1 o polomˇeru 1 a kruˇznic´ı ω2 o polomˇeru 2, pˇriˇcemˇz ω1 a ω2 maj´ı vnˇejˇs´ı dotyk. Na ω3 leˇz´ı body A, B takov´e, ˇze u ´seˇcka AB je vnˇejˇs´ı spoleˇcnou teˇcnou kruˇznic ω1 a ω2 . Spoˇctˇete d´elku u ´seˇcky AB. √ V´ysledek. 34 14 ˇ sen´ı. Oznaˇcme O1 , O2 , O3 postupnˇe stˇredy kruˇznic ω1 , ω2 , ω3 a T1 , T2 , T3 paty kolmic z bod˚ Reˇ u O1 , O2 , O3 na AB (tedy T1 a T2 jsou body dotyku AB a kruˇznic ω1 , ω2 ). Protoˇze O1 T1 k O2 T2 k O3 T3 , |O1 T1 | = 1, |O2 T2 | = 2 a |O1 O3 | = 2|O2 O3 |, pomoc´ı podobn´ ych troj´ uheln´ık˚ u snadno spoˇcteme |O3 T3 | = 53 . Z Pythagorovy vˇety v troj´ uheln´ıku AO3 T3 pak m´ ame s 2 5 4√ 2 |AB| = 2|AT3 | = 2 3 − = 14. 3 3
11
O3
O1
O2
A T1 T3
T2
B
´ acn´ y Oidipus Sfingu, kter´a mu poloˇzila h´adanku. Vymyslela si dvojcifern´e Uloha 43J / 33S. Jednoho dne potkal neboj´ ˇc´ıslo S a n´aslednˇe umoˇznila Oidipovi vybrat tˇri r˚ uzn´a jednocifern´a ˇc´ısla a < b < c a pro kaˇzd´e z nich se zeptat, zda je j´ım S dˇeliteln´e. Pot´e, co Oidipus obdrˇzel tˇri odpovˇedi ano/ne, mˇel ˇc´ıslo S uh´ adnout. Upadl vˇsak do zoufalstv´ı, nebot’ tyto podm´ınky splˇ novala pr´ avˇe dvˇe r˚ uzn´ a ˇc´ısla. Naˇstˇest´ı mu Sfinga kr´ atce nato sdˇelila, ˇze se spletla v dˇelitelnosti b, coˇz mu umoˇznilo ˇc´ıslo S s jistotou urˇcit. Jak´e bylo ˇc´ıslo S? V´ysledek. 84 ˇ sen´ı. Existuj´ı pr´ Reˇ avˇe tˇri dvojcifern´a ˇc´ısla, kter´a vyhovuj´ı dan´ ym odpovˇed´ım ohlednˇe dˇelitelnosti ˇc´ısly a a c (dvˇe z nich odpov´ıdaj´ı p˚ uvodn´ımu v´ yroku a jedno opraven´emu v´ yroku). Nav´ıc mus´ı b´ yt obˇe tyto odpovˇedi kladn´e, protoˇze z´aporn´a odpovˇed’ by vedla na v´ıce neˇz tˇri moˇzn´a ˇc´ısla. Ona vyhovuj´ıc´ı ˇc´ısla jsou tedy n´ asobky nsn(a, c) = m, coˇz znamen´ a, ˇze 25 ≤ m ≤ 33. Jen dvˇe ˇc´ısla z tohoto rozmez´ı jsou nejmenˇs´ım spoleˇcn´ ym n´ asobkem dvou jednocifern´ ych ˇc´ısel, a proto bud’ m = 28 = nsn(4, 7), nebo m = 30 = nsn(5, 6). Druh´ a moˇznost vede na 5 < b < 6, coˇz nen´ı moˇzn´e. Necht’ tedy a = 4, c = 7 a m = 28. Pokud b = 5, pak neexistuje dvojcifern´e ˇc´ıslo dˇeliteln´e a, b i c z´aroveˇ n. Pokud vˇsak b = 6, pak z´aporn´a odpovˇed’ na ot´azku o dˇelitelnosti ˇc´ıslem b d´av´a ˇc´ısla 28 a 56, zat´ımco kladn´a odpovˇed’ d´av´a S = 84. ´ Uloha 44J / 34S. Po silnici se pohybovaly ˇctyˇri dopravn´ı prostˇredky – auto, motocykl, sk´ utr Vespa a kolo. Kaˇzd´ y z nich jel nˇejakou konstantn´ı rychlost´ı. Auto se v prav´e poledne minulo s Vespou, ve dvˇe hodiny odpoledne s kolem a ve ˇctyˇri odpoledne s motocyklem. Motocykl potkal v pˇet odpoledne Vespu a v ˇsest veˇcer kolo. V kolik hodin se setkala Vespa s kolem? V´ysledek. 15:20 ˇ sen´ı. Jelikoˇz hledan´ Reˇ y ˇcasov´ yu ´ daj nez´avis´ı na volbˇe vztaˇzn´e soustavy, m˚ uˇzeme pˇredpokl´adat, ˇze auto st´alo celou dobu na m´ıstˇe. Za tohoto pˇredpokladu trvala motocyklu cesta od auta na m´ısto setk´ an´ı s Vespou hodinu, zat´ımco Vespa urazila stejnou vzd´alenost za pˇet hodin. Vespa se tedy pohybovala pˇetkr´at pomaleji neˇz motocykl. Podobnˇe odvod´ıme, ˇze motocykl byl dvakr´ at rychlejˇs´ı neˇz kolo, takˇze pomˇer rychlost´ı Vespy a kola byl 2 : 5. Jestliˇze Vespa jela od auta na m´ısto setk´an´ı s kolem t hodin, pak kolo urazilo stejnou vzd´alenost za t − 2 hodin. Pomˇer ˇcas˚ u je roven pˇrevr´ acen´emu pomˇeru rychlost´ı, tedy t−2 2 = , t 5 neboli t = 10/3. Jelikoˇz Vespa minula auto ve 12:00, znamen´a to, ˇze s kolem se potkala v 15:20. ´ ym kobercem o stranˇe d´elky 22 metr˚ u, kter´ y je rozdˇelen na Uloha 45J / 35S. Podlaha haly je pokryta ˇctvercov´ 484 jednotkov´ ych ˇctverc˚ u. Robotick´ y vysavaˇc dostal za u ´ kol koberec vys´at. Vys´av´a jeden ˇctverec za druh´ ym podle n´ asleduj´ıc´ıch pravidel: • Jakmile vysaje nˇejak´ y ˇctverec, uˇz se na nˇej nikdy nevr´at´ı. • Pohybuje se jedn´ım smˇerem, dokud nen´ı nucen jej zmˇenit bud’ kv˚ uli tomu, ˇze dorazil na okraj koberce, nebo proto, ˇze mu v cestˇe stoj´ı jiˇz vys´ at´ y ˇctverec. • Kdykoliv je nucen zmˇenit smˇer a m´ a dvˇe moˇznosti, s´am zvol´ı jednu z nich. Robotick´ y vysavaˇc zaˇc´ın´a na nˇekter´em jednotkov´em ˇctverci a m˚ uˇze si vybrat libovoln´ y z kolm´ ych smˇer˚ u. Skonˇcit m˚ uˇze na kter´emkoliv ˇctverci. Pro kolik r˚ uzn´ ych poˇc´ ateˇcn´ıch ˇctverc˚ u je vysavaˇc schopen vys´at cel´ y koberec? V´ysledek. 20
12
ˇ sen´ı. Jestliˇze vysavaˇc nezaˇcne v jednom z rohov´ Reˇ ych blok˚ u 3 × 3, vˇzdy nech´a ˇc´ast koberce nevys´atou. Kdyˇz totiˇz poprv´e opust´ı hranu koberce (nejpozdˇeji po ˇsest´e zmˇenˇe smˇeru), rozdˇel´ı dosud nevys´at´e ˇctverce na dvˇe oddˇelen´e oblasti a do jedn´e z nich se uˇz nikdy nedostane. Podobnˇe m˚ uˇzeme argumentovat u ˇctverc˚ u se souˇradnicemi (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) a ˇctverc˚ u jim odpov´ıdaj´ıc´ıch ve zbyl´ ych tˇrech roz´ıch. Nicm´enˇe ˇctverce (1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 1) a (1, 3) jiˇz vyhovuj´ı, jak je zn´ azornˇeno na obr´ azku. M´ ame tedy celkem 4 · 5 = 20 moˇzn´ ych poˇc´ateˇcn´ıch pozic vysavaˇce.
´ ych ruˇciˇcek na kruˇznici ω, pˇriˇcemˇz AD je Uloha 46J / 36S. Body A, B, C, D, E, F leˇz´ı postupnˇe po smˇeru hodinov´ jej´ı pr˚ umˇer. Pˇr´ımka BF prot´ın´ a pˇr´ımky AD a CE postupnˇe v bodech G a H. Pˇredpokl´adejme, ˇze |^F EH| = 56◦ , |^DGB| = 124◦ a |^DEC| = 34◦ . Spoˇctˇete |^CEB|. V´ysledek. 22◦ ˇ sen´ı. Plat´ı |^CEB| = |^CDB| (obvodov´e u Reˇ ´hly), tedy staˇc´ı urˇcit |^CDB|. Jelikoˇz je ˇctyˇru ´heln´ık BCEF tˇetivov´ y, m´ ame |^F BC| = 180◦ − |^F EC| = 180◦ − (180◦ − |^F EH|) = 56◦ . Z´aroveˇ n vˇsak |^DGF | = 180◦ − |^DGB| = 56◦ , takˇze AD k BC. Dost´av´ame |^ADB| = |^DBC| (rovnobˇeˇznost) a souˇcasnˇe |^DBC| = |^DEC| = 34◦ (obvodov´e u ´hly). Protoˇze zˇrejmˇe |^ABD| = 90◦ a lichobˇeˇzn´ık ABCD je tˇetivov´ y, m´ ame |^ADC| = 180◦ − |^ABC| = 180◦ − (|^ABD| + |^DBC|) = 56◦ , a koneˇcnˇe
|^CEB| = |^CDB| = |^ADC| − |^ADB| = 56◦ − 34◦ = 22◦ . A
B G F
H E C
D ´ Uloha 47J / 37S. Pˇet manˇzelsk´ ych p´ar˚ u se z´ uˇcastnilo V veˇc´ırk˚ u. V´ıme, ˇze na ˇz´ adn´em veˇc´ırku se nepotkali muˇz a ˇzena tvoˇr´ıc´ı p´ ar, ale kaˇzd´a jin´ a dvojice (vˇcetnˇe dvojic osob stejn´eho pohlav´ı) byla spoleˇcnˇe na pr´avˇe jednom veˇc´ırku. Jedna z osob navˇst´ıvila pouze dva veˇc´ırky. Pro jak´e nejmenˇs´ı V mohla popsan´a situace nastat? V´ysledek. 14
13
ˇ sen´ı. Oznaˇcme manˇzelsk´e p´ ´ Reˇ ary (a1 , a2 ), (b1 , b2 ), (c1 , c2 ), (d1 , d2 ), (e1 , e2 ). M˚ uˇzeme BUNO pˇredpokl´ adat, ˇze a1 je osoba, kter´ a navˇst´ıvila pouze dva veˇc´ırky, a ˇze prvn´ıho z nich se z´ uˇcastnily jeˇstˇe osoby b1 , c1 , d1 a e1 , zat´ımco druh´eho se z´ uˇcastnili jejich partneˇri. Kaˇzd´ y dalˇs´ı veˇc´ırek pak mohli navˇst´ıvit souˇcasnˇe nejv´ yˇse dva lid´e z b1 , b2 , . . . , e1 , e2 , takˇze se muselo konat alespoˇ n dvan´act dalˇs´ıch veˇc´ırk˚ u. Nyn´ı staˇc´ı, aby se osoba a2 z´ uˇcastnila libovoln´ ych ˇctyˇr z tˇechto dvan´acti veˇc´ırk˚ u, a dostaneme pˇresnˇe situaci popsanou v zad´an´ı. Nejmenˇs´ı moˇzn´ y poˇcet probˇehl´ ych veˇc´ırk˚ u je tedy V = 14. ´ Uloha 48J / 38S. Studenti dostali trojcifern´e ˇc´ıslo abc takov´e, ˇze 0 < a < b < c. Mˇeli za u ´ kol jej vyn´asobit ˇsesti a pot´e prohodit cifru na m´ıstˇe stovek s cifrou na m´ıstˇe des´ıtek. Pepa udˇelal chybu a provedl tyto dvˇe operace v opaˇcn´em poˇrad´ı. Uk´ azalo se vˇsak, ˇze i pˇresto dostal spr´ avn´ y v´ ysledek! Naleznˇete abc. V´ysledek. 678 ˇ sen´ı. Protoˇze 0 < a < b, m´ame b ≥ 2 a 6 · bac > 1200. Pepa tedy z´ıskal ˇctyˇrcifern´e ˇc´ıslo def g = 6 · bac. D´ale v´ıme, Reˇ ˇze 6 · abc = df eg. Odeˇcten´ım tˇechto dvou rovnost´ı dostaneme 6(bac − abc) = def g − df eg. Tedy 540(b − a) = 90(e − f ), neboli 6(b − a) = e − f . Jelikoˇz e a f jsou cifry, je |e − f | ≤ 9, takˇze vzhledem k podm´ınce b > a mus´ı b´ yt e − f = 6 a b − a = 1. Dosad´ıme-li b = a + 1 do vztahu 6 · bac = def g, dostaneme def g = 6(100(a + 1) + 10a + c) = 660(a + 1) − 6(10 − c). ˇ ıslo def g se tedy mus´ı liˇsit od n´ C´ asobku 660 o nˇejak´ y nenulov´ y n´asobek ˇsestky, kter´ y je nanejv´ yˇs 42 (c ≥ 3). Vyzkouˇs´ıme-li postupnˇe a = 1, 2, . . . , 7, nalezneme vˇsechny kandid´aty na def g: 1938, 2604, 3930, 3936, 4602, 4608. Jedinˇe pro def g = 4608 m´a bac = def g/6 = 768 r˚ uzn´e nenulov´e cifry. Nyn´ı uˇz zb´ yv´a jen ovˇeˇrit, ˇze skuteˇcnˇe 6 · abc = 6 · 678 = 4068 = df eg. ´ Uloha 49J / 39S. Uvaˇzujme mˇr´ıˇzku 5 × 3. V lev´em horn´ım rohu sed´ı myˇs, kter´a chce z´ıskat kousek s´ yra v prav´em doln´ım rohu, a v lev´em doln´ım rohu je krab, kter´ y si dˇel´a z´alusk na ˇrasy v prav´em horn´ım rohu. Pohybuj´ı se oba souˇcasnˇe. Kaˇzdou sekundu se myˇs pˇrem´ıst´ı o jeden ˇctverec doprava nebo dol˚ u a krab se pˇresune o jeden ˇctverec doprava nebo nahoru. Kolika zp˚ usoby mohou oba dorazit ke sv´e potravˇe, aniˇz by se na nˇejak´em ˇctverci potkali?
V´ysledek. 70 ˇ sen´ı. Zv´ıˇrata se mohou potkat pouze v prostˇredn´ı ˇradˇe. Cesta kaˇzd´eho z nich je navˇst´ıven´ Reˇ ym u ´ sekem prostˇredn´ı ˇrady jednoznaˇcnˇe urˇcena a zv´ıˇrata se potkaj´ı, pr´avˇe kdyˇz maj´ı tyto u ´seky nepr´azdn´ y pr˚ unik. Hled´ame tedy poˇcet dvojic disjunktn´ıch u ´sek˚ u prostˇredn´ı ˇrady. Nejprve rozebereme pˇr´ıpad, kdy je mezi u ´ seky alespoˇ n jedno pr´azdn´e pol´ıˇcko. Poˇcet takov´ ychto dvojic spoˇcteme jako 64 , nebot’ vyb´ır´ame ˇctyˇri ze ˇsesti pˇrep´aˇzek v prostˇredn´ı ˇradˇe (prvn´ı a druh´a pˇrep´aˇzka urˇcuj´ı jeden u ´ sek, tˇret´ı a ˇctvrt´ a druh´ yu ´sek). Pokud mezi u ´seky nen´ı ˇza´dn´e voln´e pole, dost´av´ ame podobnˇe 63 dvojic. Pro kaˇzdou dvojici u ´sek˚ u 6 6 m´ ame dva zp˚ usoby, jak k nim pˇriˇradit zv´ıˇrata, coˇz d´av´a celkem 2 · ( 4 + 3 ) = 70 zp˚ usob˚ u. √ ´ Uloha 50J / 40S. Najdˇete poˇcet kladn´ ych cel´ ych ˇc´ısel n nepˇrevyˇsuj´ıc´ıch 1000 takov´ ych, ˇze ˇc´ıslo b 3 nc je dˇelitelem n. Pozn´ amka: Symbol bxc znaˇc´ı doln´ı celou ˇc´ ast x, tj. nejvˇetˇs´ı cel´e ˇc´ıslo nepˇrevyˇsuj´ıc´ı x. V´ysledek. 172 3 ˇ sen´ı. Plat´ı b √ Reˇ nc = k, pr´avˇe kdyˇz k 3 ≤ n ≤ (k + 1)3 − 1. Kaˇzd´e k-t´e (poˇc´ınaje k 3 ) z 3k 2 + 3k + 1 ˇc´ısel v tomto intervalu je dˇeliteln´e ˇc´ıslem k, tedy takov´ ych ˇc´ısel je 3k + 4. Nyn´ı uˇz zb´ yv´a jen seˇc´ıst tyto v´ yrazy pˇres vˇsechna k, pro kter´ a (k + 1)3 − 1 ≤ 1000, a pˇriˇc´ıst jedniˇcku za ˇc´ıslo 1000, jeˇz rovnˇeˇz splˇ nuje podm´ınky. V´ ysledek je tedy 1+
9 X
(3k + 4) = 1 + 9 · 4 + 3 ·
k=1
14
9 · 10 = 172. 2
´ Uloha 51J / 41S. Najdˇete vˇsechna re´ aln´ a ˇc´ısla m, pro kter´a jsou koˇreny rovnice √ √ x3 − 15 2x2 + mx − 195 2 = 0 d´elkami stran pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka. V´ysledek. 281/2 ˇ sen´ı. Necht’ a, b, c jsou koˇreny dan´e rovnice, jeˇz jsou z´aroveˇ ´ Reˇ n stranami pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka. M˚ uˇzeme BUNO pˇredpokl´adat, ˇze 0 < a, b < c, takˇze podle Pythagorovy vˇety plat´ı a2 + b2 = c2 . Z Vi`etov´ ych vztah˚ u (nebo rozn´asoben´ım v´ yrazu (x − a)(x − b)(x − c) a porovn´ an´ım koeficient˚ u) dost´av´ame √ √ 15 2 = a + b + c, m = ab + ac + bc, 195 2 = abc. √ √ √ Umocn´ıme 15 2−c = a+b na druhou a uprav´ıme do tvaru 450−30 2c = 2ab. Po vyn´asoben´ı c a dosazen´ı abc = 195 2 obdrˇz´ıme kvadratickou rovnici √ 2 √ 2c − 15c + 13 2 = 0 √ √ √ √ s koˇreny c1 = 2 a c2 = 13 2/2. Protoˇze podm´ınky 0 < a, b < c a abc = 195 2 pˇripouˇst´ı pouze c = 13 2/2, hledan´e ˇc´ıslo m se spoˇcte jako m = ab + ac + bc =
1 1 · ((a + b + c)2 − 2c2 ) = · 450 − c2 = 281/2. 2 2
´ a a ˇcerven´a jablka – aspoˇ n jedno ˇcerven´e a aspoˇ n dvˇe zelen´ a. Pravdˇepodobnost, Uloha 52J / 42S. V koˇs´ıku jsou zelen´ ˇze n´ahodnˇe vybran´e jablko bude ˇcerven´e, je 42-kr´at vˇetˇs´ı neˇz pravdˇepodobnost, ˇze dvˇe r˚ uzn´a n´ahodnˇe vybran´a jablka budou obˇe zelen´ a. Kolik zelen´ ych a kolik ˇcerven´ ych jablek je v koˇs´ıku? V´ysledek. 4 zelen´ a a 21 ˇcerven´ ych ˇ ’ Reˇsen´ı. Necht z je poˇcet zelen´ ych a c poˇcet ˇcerven´ ych jablek. Zad´an´ı u ´lohy m˚ uˇzeme pˇrepsat jako z · (z − 1) c = 42 · , z+c (z + c) · (z + c − 1) ekvivalentnˇe c2 + (z − 1)c − 42z · (z − 1) = 0. Na tento vztah m˚ uˇzeme pohl´ıˇzet jako na kvadratickou rovnici s promˇennou c a parametrem z. Diskriminant (z − 1)2 + 168z · (z − 1) = 169z 2 − 170z + 1 mus´ı b´ yt ˇctverec, jinak by byly koˇreny rovnice iracion´aln´ı. Vzhledem k podm´ınce z ≥ 2 dost´av´ame nerovnosti (13z − 6)2 = 169z 2 − 156z + 36 > 169z 2 − 170z + 1 > 169z 2 − 208z + 64 = (13z − 8)2 , tedy nutnˇe 169z 2 − 170z + 1 = (13z − 7)2 , neboli z = 4. Koˇreny kvadratick´e rovnice jsou pak −24 a 21, ale vzhledem k podm´ınce c > 0 vyhovuje pouze c = 21. V koˇs´ıku jsou tedy ˇctyˇri zelen´a a jednadvacet ˇcerven´ ych jablek. ´ y ˇclovˇek, se rozhodl, ˇze si na zahradˇe nech´a postavit baz´en ve tvaru Uloha 53J / 43S. Gilbert Bates, velmi bohat´ elipsy. Sdˇelil zahradn´ıkovi sv´e pˇra´n´ı, ˇze tato elipsa by se mˇela vej´ıt do ˇctverce ABCD o rozmˇerech 10 m × 10 m, pˇriˇcemˇz by se mˇela dot´ ykat vˇsech jeho stran. Je-li nav´ıc P bod dotyku elipsy se stranou AB, pak by vzd´alenost bod˚ uAaP mˇela b´ yt 2,5 m. Zahradn´ık, kter´ y um´ı sestrojit elipsu, m´a-li danou polohu ohnisek a nˇejak´ y bod t´eto elipsy, si uvˇedomil, ˇze d´ıky symetrii mu v tomto pˇr´ıpadˇe staˇc´ı zn´ at vzd´alenost ohnisek. Jak´a je tato vzd´alenost v metrech? C
D
A
P
B
V´ysledek. 10
15
ˇ sen´ı. Vyˇreˇs´ıme u Reˇ ´lohu obecnˇeji. Necht’ ABCD je ˇctverec o stranˇe d´elky 1, jehoˇz vrchol A leˇz´ı v poˇca´tku souˇradnicov´eho syst´emu. Bod P leˇz´ıc´ı na AB necht’ m´ a souˇradnice (b, 0), kde 0 < b < 12 . Jestliˇze ohnisko F1 m´ a souˇradnice (f, f ), pak ohnisko F2 m´a souˇradnice (1 − f, 1 − f ), nebot’ obˇe ohniska mus´ı leˇzet na u ´hlopˇr´ıˇcce AC stejnˇe daleko od stˇredu ˇctverce. D
C F2
g2 g1
F1 A
αα B
P
Oznaˇcme g1 , g2 postupnˇe pˇr´ımky proch´ azej´ıc´ı body P , F1 a P , F2 . Pak g1 je d´ana vzorcem y = (x − b) ·
f f −b
a g2 vzorcem
f −1 . b+f −1 Jelikoˇz kolmice na teˇcnu AB veden´ a bodem P p˚ ul´ı u ´hel F2 P F1 , smˇernice pˇr´ımek g1 a g2 mus´ı b´ yt opaˇcn´a ˇc´ısla. M´ ame tedy f f −1 = (−1) · , f −b b+f −1 coˇz vede na kvadratickou rovnici b f 2 − f + = 0. 2 √ Tato rovnice m´a koˇreny f1,2 = 12 1 ± 1 − 2b , z nichˇz kaˇzd´ y odpov´ıd´a jednomu ohnisku. Vzd´alenost ohnisek je pak √ z Pythagorovy vˇety 2 − 4b. Poloˇz´ıme-li b = 14 , z´ısk´ame |F1 F2 | = 1, coˇz n´am v naˇsem pˇr´ıpadˇe d´av´a v´ ysledek 10 m. Alternativn´ı ˇreˇsen´ı. Stlaˇc´ıme ˇctverec i elipsu ve smˇeru u ´hlopˇr´ıˇcky AC tak, aby z elipsy vznikla kruˇznice, a nov´e body oznaˇc´ıme jako p˚ uvodn´ı s ˇc´ arkou. D´ ale oznaˇc´ıme stˇred AC jako S a stˇred A0 B 0 jako T . y = (x − b) ·
C
C0
S
D = D0
B = B0 T
P0 A0 P A 0
0
1 0 0 4 |A B |,
0
0
0
Jelikoˇz plat´ı |A P | = je tak´e |A P | = |P T | a |SA0 | = |ST |. Tedy |A0 C 0 | = |B 0 C 0 | a troj´ uheln´ık A0 B 0 C 0 je rovnostrann´ y. Koeficient stlaˇcen´ı je proto √ |A0 C 0 | 3 = . |AC| 3 16
Snadno spoˇcteme, ˇze polomˇer kruˇznice, kter´ y je z´aroveˇ n d´elkou b vedlejˇs´ı poloosy elipsy, je roven 14 |AC|. D´elku a hlavn´ı √ √ 3 poloosy pak dostaneme jako b/( 3 ). Pomoc´ı d´elek a, b m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat excentricitu jako e = a2 − b2 . Vzd´alenost ohnisek se pak rovn´ a 2e. √ ´ Uloha 54J / 44S. Posloupnost (an ) je zad´ana rekurentnˇe jako a1 = 1 a an = b a1 + a2 + · · · + an−1 c pro n > 1. Urˇcete a1000 . Pozn´ amka: Symbol bxc znaˇc´ı doln´ı celou ˇc´ ast x, tj. nejvˇetˇs´ı cel´e ˇc´ıslo nepˇrevyˇsuj´ıc´ı x. V´ysledek. 495 ˇ sen´ı. Vyp´ıˇseme-li nˇekolik prvn´ıch ˇclen˚ Reˇ u (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, . . . ), zjist´ıme, ˇze jedniˇcka se opakuje ˇctyˇrikr´ at, zat´ımco vyˇsˇs´ı ˇc´ısla se opakuj´ı dvakr´ at aˇz tˇrikr´ at. Indukc´ı dok´aˇzeme hypot´ezu, ˇze tˇri v´ yskyty maj´ı pr´ avˇe mocniny dvojky poˇc´ınaje 21 a ostatn´ı ˇc´ısla maj´ı dva v´ yskyty. Pˇredpokl´adejme, ˇze jsme vypsali zaˇca´tek posloupnosti aˇz k prvn´ımu v´ yskytu ˇc´ısla n (n > 1) a aˇz sem se posloupnost chov´ a tak, jak je pops´ ano v´ yˇse. Necht’ k je nejvˇetˇs´ı cel´e ˇc´ıslo splˇ nuj´ıc´ı 2k < n. Pak souˇcet vˇsech vypsan´ ych ˇclen˚ u je s1 = (1 + 2 + · · · + n) + (1 + 2 + · · · + n − 1) + (1 + 2 + 22 + · · · + 2k ) + 1 = n2 + 2k+1 . √ Jelikoˇz 2k+1 = 2 · 2k < 2n < 2n + 1 = (n + 1)2 − n2 , m´ame s1 < (n + 1)2 , a n´asleduj´ıc´ı ˇclen je tedy b s1 c = n. 2 k+1 k+1 Nyn´ı urˇc´ıme dalˇs´ı ˇclen v poˇrad´ı. Souˇcet je nyn´ı s2 = s1 + n = n + n + 2 , takˇze pokud 2 < n + 1, pak s2 < (n + 1)2 a dalˇs´ı ˇclen je n. Nicm´enˇe k je nejvˇetˇs´ı cel´e ˇc´ıslo splˇ nuj´ıc´ı 2k < n, takˇze plat´ı 2k+1 ≥ n. Pˇredchoz´ı situace proto nast´av´ a pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze 2k+1 = n. Kdyˇz n nen´ı mocninou dvojky, je dalˇs´ı ˇclen n + 1, nebot’ plat´ı k+1 n+1≤2 < 2n < 3n + 4, neboli (n + 1)2 ≤ n2 + n + 2k+1 < (n + 2)2 . Zb´ yv´a uk´ azat, ˇze pokud n = 2k+1 , pak po tˇrech v´ yskytech n n´asleduje n + 1. To je snadn´e, nebot’ tentokr´at je souˇcet roven s3 = s2 + n = n2 + 2n + 2k+1 = n2 + 3n a okamˇzitˇe dost´av´ame nerovnosti (n + 1)2 < s3 < (n + 2)2 . Indukˇcn´ı krok je tedy hotov. Nyn´ı vid´ıme, ˇze 500 = a1010 = a1009 , odkud dopoˇcteme a1000 = 495. ´ Uloha 55J / 45S. Urˇcete poˇcet tabulek 4 × 4, v jejichˇz pol´ıˇck´ach jsou veps´ana nez´aporn´a cel´a ˇc´ısla takov´ a, ˇze • v kaˇzd´em ˇr´ adku a kaˇzd´em sloupci jsou nejv´ yˇse dvˇe nenulov´a ˇc´ısla, • souˇcet ˇc´ısel kaˇzd´em ˇr´ adku a v kaˇzd´em sloupci je 3. V´ysledek. 576 ˇ sen´ı. Kaˇzd´a tabulka splˇ Reˇ nuj´ıc´ı dan´a krit´eria se jednoznaˇcnˇe rozkl´ ad´a na souˇcet (po sloˇzk´ach) dvou tabulek, z nichˇz jedna m´a v kaˇzd´em ˇr´adku i sloupci pr´ avˇe jednu jedniˇcku a druh´a m´ a v kaˇzd´em ˇr´ adku i sloupci pr´ avˇe jednu dvojku. Naopak kaˇzd´a dvojice takov´ ych tabulek d´av´ a v souˇctu vyhovuj´ıc´ı tabulku. M´ame tedy (4!)2 = 576 r˚ uzn´ ych vyhovuj´ıc´ıch tabulek.
17
