POLA DISTRIBUSI INTERVAL DENYUT JANTUNG DENGAN MEMANFAATKAN JUMLAHAN FUNGSI GAUSS YANG DIOPTIMASI SECARA NELDER-MEAD SIMPLEX

POLA DISTRIBUSI INTERVAL DENYUT JANTUNG DENGAN MEMANFAATKAN JUMLAHAN FUNGSI GAUSS YANG DIOPTIMASI SECARA NELDER-MEAD SIMPLEX Herlina D Tendean1), Hanna A Parhusip2), Suryasatria Trihandaru3), Bambang Susanto4) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2) Dosen Program Studi Matematika 3) Dosen Program Studi Fisika 4) Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 1) [email protected], 2) [email protected] ,3) [email protected] , 4) [email protected] Abstrak Data denyut jantung manusia merupakan data yang memiliki gelombang periodik. Data denyut jantung didekati fungsinya dengan menggunakan fungsi Gauss. Parameter-parameter yang akan digunakan dalam fungsi Gauss dicari dengan menggunakan metode Nelder-Mead simplex untuk meminimumkan nilai eror yang terjadi pada fungsi Gauss. Dalam tiap gelombang denyut jantung selalu terjadi lima puncak sebut saja P, Q, R, S dan T. Jarak antar puncak P ke P, Q ke Q, R ke R, S ke S dan T ke T pada gelombang diseluruh data telah dicari frekuensi terjadinya jarak masing-masing antar puncak. Frekuensi terjadinya jarak tiap puncak ke puncak berikutnya merupakan distribusi Gamma dengan nilai parameter 𝑎 berada pada interval 269.7837 ≤ 𝑎 ≤ 373.7805 dan parameter 𝑏 berada pada interval 0.0021 ≤ 𝑏 ≤ 0.003 yang diperoleh dari distribusi Gamma. Kata kunci : Denyut Jantung, Fungsi Gauss, Metode Nelder-Mead simplex, Nilai Eror, Frekuensi, Distribusi Gamma

Pendahuluan Model denyut jantung yang pernah diteliti merupakan sistem persamaan tak linier yang berbentuk 𝜀𝑥1 = −(𝑥1 3 − 𝑇𝑥1 + 𝑥2 ) , model denyut 𝑥2 = 𝑥1 − 𝑥𝑑 jantung telah diteliti dengan mengunakan teori bifurkasi untuk mencari sifat stabilitas titik setimbangnya dan didapatkan bahwa model merupakan jenis bifurkasi homoklinik yang siklus periodiknya dapat muncul dan menghilang apabila parameter divariasi dengan sifat stabilitas titik setimbang yang cenderung tidak stabil (Tendean dkk, 2014). Menurut (Thanom dan Robert, 2011) model denyut jantung yang telah diteliti belum tepat dengan data denyut jantung sehingga perlu dilakukan modifikasi. Modifikasi model yang dilakukan dengan ketegangan dalam otot pada model yang sebelumnya dianggap sebagai konstata sedangkan pada model yang baru ketegangan dijadikan sebagai

parameter dalam fungsi waktu, lalu penambahan konstanta yang mempresentasikan sinyal kontrol pada pacemaker (Thanom dan Robert, 2011). Sedangkan pada makalah ini modifikasi akan dilakukan dengan proses fitting terhadap data denyut jantung yang telah ada. Fitting dilakukan dengan menggunakan Metode Nelder-Mead simplex dengan mengasumsikan bahwa data sebagai jumlahan pada sebuah periode gelombang dengan fungsi Gauss Model Denyut Jantung Dengan Kombinasi Fungsi Gauss Data denyut jantung yang diteliti merupakan data yang terdiri dari banyaknya jumlah titik-titik sampel dan selalu terjadi gelombang yang berulang-ulang. Data merupakan hasil pengukuran denyut jantung yang diambil selama 120 detik. Pada awalnya dicari dahulu satu gelombang dari keseluruhan data yang dimiliki.

1

2.2

1.2

2

1

1.8

0.8

1.6

0.6

y (mV)

y (mV)

R

1.4

0.4

1.2

0.2

1

0

0.8

-0.2

T P

Q

0

1

2

3

4

5

-0.4 0.1

0.2

0.3

0.4

t (detik)

S 0.5 0.6 t (detik)

0.7

0.8

0.9

Gambar 1. Gambar data denyut jantung (kiri) dan denyut jantung dalam satu gelombang (kanan) Pada gambar 1 terlihat titik-titik puncak kedalam vetrikel jantung. Pada umumnya maksimum lokal dan minimum lokal. puncak T bernilai positif apabila puncak T Puncak-puncak tersebut mempunyai makna negatif atau terbalik maka bisa terjadi fisis yang disimbolkan sebagai P, Q, R, S ketidaknormalan pada jantung (Azhar dan dan T sebagaimana ditunjukan pada Suyanto, 2009). Berdasarkan gambar 2 Gambar 1 kanan. Irama jantung normal terlihat bahwa posisi puncak-puncak S dapat dikatakan sebagai irama sinus yaitu terhadap potensial selalu berada pada posisi irama yang terletak pada sekitar Vena Cava negatif sedangkan untuk puncak-puncak T Superior di atrium kanan jantung. Irama selalu berada pada posisi positif. Data yang jantung yang teratur yang berarti jarak telah diukur merupakan data untuk jantung antara gelombang yang relatif sama dan yang sehat. Pada penelitian ini akan teratur. Hubungan P dengan Q, R dan S ditentukan posisi P, Q, R, S dan T untuk adalah bertujuan untuk membedakan suatu keseluruhan data yang diukur. Untuk itu, irama jantung, bentuk dan durasi pada diperlukan periode satu gelombang. Untuk puncak merupakan pembesaran pada atrium menentukan periode satu gelombang maka jantung. Sedangkan pada puncak-puncak Q, syarat utama dari satu gelombang adalah R dan S ditujukan untuk mendeteksi suatu satu gelombang harus memuat puncakirama jantung, abnormalitas konduksi. puncak P, Q, R, S dan T. Dengan contoh Gelombang T mengambarkan bahwa satu gelombang ditunjukan pada gambar 1 adanya kembali proses pemompaan kanan. 0.3 T 0.2

y (mV)

0.1 0 -0.1 -0.2

S

-0.3 -0.4 0

20

40

60

80 Indeks

100

120

140

160

Gambar 2. Posisi puncak S dan T pada data yang telah diukur 2

1.2 R 1 0.8 sR

y (mV)

0.6

AR

0.4

T

0.2

P sP

0

t0P

-0.2 -0.4 0.1

AP

sT t0Q sQ

t0S

AT

t0T

t0R AS

Q sS

AQ

S 0.2

0.3

0.4

0.5 0.6 t (detik)

0.7

0.8

0.9

Gambar 3. Data pada satu gelombang dengan letak 𝐴𝑖 , 𝑡0𝑖 dan 𝑠𝑖 pada tiap puncak P, Q, R, S dan T Diasumsikan satu gelombang yang ditentukan dengan bantuan aplikasi memenuhi kombinasi fungsi Gauss yang peakdet.m pada program Matlab R2009a berbentuk: untuk mendapatkan hasil 𝐴𝑖 , 𝑡0𝑖 dan 𝑠𝑖 pada −(𝑡−𝑡 0 𝑖 )2 tiap puncak P, Q, R, S dan T yang 𝑦𝑡 = 𝑖=𝑃,𝑄,𝑅,𝑆,𝑇 𝐴𝑖 𝑒𝑥𝑝⁡ 2𝑠 2 (1) 𝑖 ditunjukkan pada Tabel 1. dengan error Tabel 1. Daftar hasil program peakdet.m 𝐸=

𝑦 𝑑 𝑖 −𝑦𝑡 𝑖 𝑁

2

(2)

dengan 𝑦𝑡 : titik-titik dugaan dengan menggunakan fungsi Gauss, 𝑦𝑑 𝑖 : titik-titik pada data denyut jantung, 𝐴𝑖 : tinggi titik puncak pada gelombang pada waktu ke 𝑖, 𝑡0𝑖 : waktu yang diperlukan pada saat ke 𝑖, 𝑠𝑖 : lebar setiap puncak pada waktu ke 𝑖, 𝐸 : menghitung nilai eror, 𝑁 : banyaknya jumlahan data. Setelah mendapatkan titik-titik puncak maksimum dan minimum dalam satu gelombang maka selanjutnya pada setiap puncak P, Q, R, S dan T dicari nilai parameter 𝐴𝑖 , 𝑡0𝑖 dan 𝑠𝑖 yang akan dijadikan sebagai nilai-nilai parameter awal yang akan digunakan dalam menyusun fungsi Gauss. Puncak-puncak yang terjadi dalam satu gelombang harus memuat puncak minimum dan puncak maksimum P, Q, R, S dan T. Posisi P, Q, R, S dan T

Titik puncak P Q R S T

𝑨𝒊 0.0942 -0.0596 1.0183 -0.3037 0.1748

𝒕𝟎 𝒊 0.3650 0.4800 0.5150 0.5400 0.7400

𝒔𝒊 0.0308 0.0308 0.0308 0.0308 0.0308

Puncak-puncak pada tabel 1 dijadikan sebagai puncak-puncak dugaan dalam menyusun fungsi Gauss dengan bantuan metode Nelder-Mead untuk menentukan nilai parameter 𝐴𝑖 , 𝑡0𝑖 dan 𝑠𝑖 yang dapat meminimumkan nilai eror. Metode Penelitian Data Agar satu gelombang mudah ditentukan maka posisi satu gelombang dicari berdasarkan jarak dari puncak R ke puncak R berikutnya sehingga dari keseluruhan data yang dimiliki selama 120 detik sedangkan banyaknya titik puncak R pada keseluruhan data dengan menggunakan bantuan peakdet.m. 3

1.2

1.2 R1

R2

1

0.8

0.8

0.6

0.6 y (mV)

y (mV)

1

R3

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

-0.2

-0.2

-0.4 0

0.5

1

1.5 t (detik)

2

2.5

-0.4 0

0.5

1

1.5

2

2.5

t (detik)

Gambar 4. Puncak-puncak R pada tiap gelombang (kiri) dan tiap gelombang selalu memiliki puncak P, Q, R, S dan T (kanan) Dalam keseluruhan data dalam waktu 120 Masalah optimasi disini adalah ditentukan ∗ ∗ detik terdapat 155 titik puncak R dengan 𝑥𝑖 yang meminimumkan 𝑥𝑖 = 𝐸𝑖 . selang waktu yang terjadi antara masing Nelder-Mead bertujuan untuk puncak R rata-rata mencapai 0.7693 detik. meminimumkan nilai fungsi 𝐸 𝑥 ∗ untuk Pasangan nilai parameter 𝐴𝑖 , 𝑡0𝑖 dan 𝑠𝑖 𝑥 ∗ ∈ 𝑅 𝑛 , dimana 𝑥 ∗ adalah pasangan 𝐴𝑖 , dipakai untuk menentukan titik-titik dengan 𝑡0𝑖 , 𝑠𝑖 pada setiap puncak P, Q, R, S dan T. menggunakan fungsi Gauss yang bertujuan Parameter skalar dalam metode Nelderuntuk meminimumkan nilai eror 𝐸 dengan Mead yang harus ditentukan yaitu koefisien menggunakan metode Nelder-Mead. dari refleksi 𝜌 , ekspansi atau perluasan 𝜒 , kontraksi 𝛾 dan penyusutan 𝜎 . Metode Nelder-Mead untuk Parameter yang dapat digunakan dalam meminimumkan fungsi tujuan Nelder-Mead (Lagarias dkk, 1998) Gambar 4 (kiri) menujukan bahwa terdapat 𝜌 > 0, 𝜒 > 𝜌, 0 < 𝛾 < 1, dan 3 gelombang dari puncak R ke puncak R 0<𝜎<1 (4) berikutnya pada setiap gelombang R pasti Tetapi parameter 𝜒 > 𝜌 tidak didefinisikan didalamnya memuat puncak-puncak P, Q, secara tegas, sehingga parameter yang R, S dan T dan ditiap puncak P, Q, R, S dan dipakai secara umum adalah T terdapat 𝐴𝑖 , 𝑡0𝑖 , 𝑠𝑖 . Pada gambar 4 jarak 1 1 𝜌 = 1, 𝜒 = 2, 𝛾 = 2 dan 𝜎 = 2 (5) antara 𝑅1 ke 𝑅2 adalah 0.8350 detik dan Variasi parameter (𝜌, 𝜒, 𝛾, 𝜎) dilakukan jarak antara 𝑅2 ke 𝑅3 adalah 0.8300 detik untuk dimensi ke−𝑚 (Gao dan Han, 2010) jadi periode rata-rata 0.8325. Dalam kasus 2 1 ini dicari 𝜌 = 1, 𝜒 = 1 + , 𝛾 = 0.75 − dan 𝑚 2𝑚 𝐴𝑝 𝑡0𝑝 𝑠𝑝 1 𝜎 =1−𝑚 (6) 𝐴𝑄 𝑡0𝑄 𝑠𝑄 ∗ Diasumsikan bahwa parameter pada 𝑥𝑖 = 𝐴𝑅 𝑡0𝑅 𝑠𝑅 (3) persamaan (4) merupakan kondisi untuk 𝐴𝑆 𝑡0𝑆 𝑠𝑆 keadaan satu dimensi sedangkan untuk 𝐴 𝑇 𝑡0𝑇 𝑠𝑇 parameter (5) dapat digunakan untuk untuk setiap gelombang ke-i dengan analisis dua dimensi. Pada penelitian ini 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 + 1. parameter pada persamaan (5) juga masih ∗ ∗ ∗ Jadi terdapat 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛+1 . Anggap digunakan. ∗ ∗ bahwa 𝐸 disetiap 𝑥𝑖 adalah 𝐸( 𝑥𝑖 ) yang Satu Iterasi dalam Metode Nelder-Mead dapat diurutkan yang memenuhi 𝐸1 ≤ 𝐸2 ≤ 1. Urutan ⋯ ≤ 𝐸𝑛+1 dimana 𝑛 + 1 adalah banyaknya Urutakan puncak 𝑛 + 1 untuk titik puncak R, sedangkan 𝑛 adalah memenuhi banyaknya gelombang. Jadi fungsi inilah sebagai fungsi tujuan yang diminimumkan. 4

𝐸1 (𝑘) ≤ 𝐸2 (𝑘) ≤ ⋯ ≤ 𝐸𝑛+1 (𝑘) dengan menggunakan aturan pada langkah selanjutnya. 2. Mencerminkan Menghitung titik-titik hasil pencerminan dari 𝑥𝑟 = 𝑥 + 𝜌 𝑥 − 𝑥𝑛+1 (7) dengan 𝑛 𝑥 𝑥= 𝑛 𝑖=1

Titik tengah terbaik terletak pada 𝑛 kecuali 𝑥𝑛+1 . Selanjutnya 𝐸𝑟 = 𝐸 𝑥𝑟 . Jika 𝐸1 ≤ 𝐸𝑟 < 𝐸𝑛 , maka titik refleksi 𝑥𝑟 diterima sehingga iterasi diakhiri dan 𝑥𝑟 dipilih sebagai parameter-parameter yang baru. Apabila tidak lanjutkan kelangkah perluasan 3. 3. Memperluas / ekspansi Jika 𝐸𝑟 < 𝐸1 atau 𝐸1 > 𝐸𝑟 hitung nilai titik perluasan atau ekspansi 𝑥𝑒 yaitu 𝑥𝑒 = 𝑥 + 𝜒 𝑥𝑟 − 𝑥 = 𝑥 + 𝜌𝜒(𝑥 − 𝑥𝑛+1 ) (8) Selanjutnya evaluasi 𝐸𝑒 = 𝐸(𝑥𝑒 ), jika 𝐸𝑒 < 𝐸𝑟 maka langkah ini diterima dan iterasi dihentikan. Apabila 𝐸𝑒 ≥ 𝐸𝑟 ,maka 𝑥𝑟 diterima dan iterasi diakhiri 4. Kontraksi Apabila 𝐸𝑟 ≥ 𝐸𝑛 lakukan proses kontranksi antara 𝑥 , 𝑥𝑛+1 dan 𝑥𝑟 . a. Tahap satu Jika 𝐸𝑛 ≤ 𝐸𝑟 < 𝐸𝑛+1 apabila 𝑥𝑟 lebih baik daripada 𝑥𝑛+1 , kontraksi yang terjadi pada tahap satu dengan menghitung 𝑥𝑐 = 𝑥 + 𝛾 𝑥𝑟 − 𝑥 = 𝑥 + 𝛾𝜌 𝑥 − 𝑥𝑛+1 (9) Evaluasi 𝐸𝑐 = 𝐸 𝑥𝑐 , maka 𝑥𝑐 diterima dan hentikan iterasi sehingga 𝑥𝑐 dipakai sebagai parameter baru, apabila tidak memenuhi lanjutkan ke langkah 5

b. Tahap dua Jika 𝐸𝑛 ≥ 𝐸𝑛+1 , lakukan kontraksi pada tahap dua dengan menhitung 𝑥𝑐𝑐 = 𝑥 + 𝛾 𝑥 − 𝑥𝑛+1 (10) Evaluasi 𝐸𝑐𝑐 = 𝐸 𝑥𝑐𝑐 , jika 𝐸𝑐𝑐 ≤ 𝐸𝑛+1 maka 𝐸𝑐𝑐 diterima dan hentikan iterasi sehingga 𝑥𝑐𝑐 digunakan sebagai parameter baru. Apabila tidak memenuhi lanjutkan ke langkah 5 5. Langkah terakhir Langkah terakhir apabila langkah 1 sampai 4 tidak dipenuhi yaitu dengan menghitung 𝐸 pada saat titik ke 𝑛 yaitu 𝑣𝑖 = 𝑥1 + 𝜎 𝑥𝑖 − 𝑥1 (11) dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 + 1. Titik puncak untuk iterasi selanjutnya terdiri dari 𝑥1 , 𝑣𝑖 , … , 𝑣𝑛 +1 Dalam kasus ini 𝑥 merupakan pasangan data P, Q, R, S dan T yang memuat 𝐴𝑖 , 𝑡0𝑖 , 𝑠𝑖 yang terdapat pada puncak maksimum dan minimum yang dijadikan sebagai titik dugaan awal 𝑥 (0) pada gelombang pertama dalam menggunakan metode Nelder-Mead. 0.1111 0.3650 0.0478 −0.0427 0.4800 0.0478 𝑥 (0) = 1.0351 0.5150 0.0478 −0.2869 0.5400 0.0478 0.1916 0.7400 0.0478 Setelah mendapatkan puncak-puncak P, Q, R, S dan T untuk langkah awal dicari terlebih dahulu 𝑦𝑡 yang dijadikan sebagai titik-titik dugaan dari parameter-parameter 𝐴𝑖 , 𝑡0𝑖 , 𝑠𝑖 pada puncak-puncak P, Q, R, S dan T dengan menyusun pada persamaan (1) pada satu gelombang yang pertama 𝑦𝑡 = 𝐴𝑃 𝑒𝑥𝑝 𝐴𝑅 𝑒𝑥𝑝 𝐴 𝑇 𝑒𝑥𝑝

−(𝑡−𝑡 0 𝑃 )2 2𝑆𝑃 2

−(𝑡−𝑡 0 𝑅

)2

2𝑆𝑅 2 −(𝑡−𝑡 0 𝑇 )2

+ 𝐴𝑄 𝑒𝑥𝑝 + 𝐴𝑆 𝑒𝑥𝑝

−(𝑡−𝑡 0 𝑄 )2 2𝑆𝑄 2 −(𝑡−𝑡 0 𝑆 )2 2𝑆𝑆 2

+ +

2𝑆𝑇 2

Setelah mendapatkan titik-titik pada 𝑦𝑡 selanjutnya akan dihitung nilai eror antara pendekatan 𝑦𝑡 dengan 𝑦𝑑 1 dengan menggunakan persamaan (2) didapatkan nilai 𝐸 untuk gelombang yang pertama 0.0553%. 5

1.2 1 0.8

y (mV)

0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 0.6 t (detik)

0.7

0.8

0.9

Gambar 5. Pendekatan antara 𝑦𝑡 dengan 𝑦𝑑 1 Pada Gambar 5 terlihat pendekatan antara adalah pendekatan Gauss untuk keseluruhan gelombang semakin bergeser 𝑦𝑡 dengan 𝑦𝑑 1 dengan bantuan fminsearch karena parameter 𝐴𝑖 , 𝑡0𝑖 dan 𝑠𝑖 pada dalam fungsi matlab dimana 𝑦𝑡 pada keseluruhan gelombang hampir sama, gambar adalah garis lurus yang merupakan dianggap bahwa satu gelombang pada pendekatan dengan menggunakan semua gelombang memiliki periode dan parameter-parameter dugaan P, Q, R, S dan jarak yang sama. T pada data dan titik-titik pada gambar merupakan 𝑦𝑑 1 data pada gelombang yang Distribusi Gamma untuk frekuensi pertama. Dengan bantuan fungsi fminsearch waktu antar puncak ke puncak pada matlab didapatkan nilai pendekatan Langkah selanjutnya dicari jarak antara antara data dengan dugaan yang terdekat puncak R ke puncak R berikutnya pada dan didapatkan nilai parameter 𝐴𝑖 , 𝑡0𝑖 , 𝑠𝑖 keseluruhan gelombang dalam waktu 120 yang baru untuk setiap puncak P, Q, R, S detik. Laju denyut jantung dengan distribusi dan T amplitudo denyut jantung yang pernah Tabel 2. Parameter 𝐴𝑖 , 𝑡0𝑖 , 𝑠𝑖 yang baru diamati antara orang sakit dan orang sehat pada gelombang pertama dengan menggunakan analisis wavelet yang Titik 𝑨𝒊 𝒕𝟎 𝒊 𝒔𝒊 menunjukan bahwa perbedaan pada time puncak series interval denyut jantung pada orang 0.0892 0.3748 0.0190 P dewasa yang sehat dan tidak sehat tidak 0.1332 0.5370 0.0126 Q terletak pada variasi distribusi antar 1.2163 0.5125 0.0091 R 0.1859 0.5332 0.0387 S gelombang, karena variasi pola variabilitas 0.1625 0.7315 0.0286 T denyut jantung selama sakit dapat mirip Parameter baru yang didapatkan merupakan dengan pada saat sehat(Ivanov dkk, 1998). parameter yang berdasarkan metode Pada makalah ini distribusi amplitudo Nelder-Mead yang meminimumkan nilai diamati dengan memperhatikan frekuensi eror. Sedangkan metode Nelder-Mead dari interval waktu antar puncak (P-P, Q-Q, dilakukan untuk mencari pendekatan Gauss R-R, S-S dan T-T). pada keseluruhan gelombang yang terjadi

6

1

Frekuensi

0.95

y (detik)

0.9 0.85 0.8

0.695 0.7175 0.74 0.7625 0.785 0.8075 0.83 0.8525 0.875 0.8975 0.92 More

0.75

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

0.7 0.65 0

50

100 Indeks

150

t (detik)

200

Gambar 6. Waktu pada masing-masing puncak R ke puncak R berikutnya (kiri) dan frekuensi munculnya 𝑡 pada gelombang Setelah semua puncak-punck R pada yang diduga pada gelombang denyut keseluruhan data didapatkan maka dicari jantung dimana terdapat data 𝑥 = jarak antar masing-masing puncak R ke [𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ] dengan 𝑥 adalah jarak antar puncak R berikutnya terdapat 155 puncak R masing-masing puncak data yang dengan masing-masing jarak antar puncak berdistribusi Gamma dengan parameter 𝑎 R ada 154 titik. Dengan variansi pada dan 𝑏 maka fungsi densitasnya atau fungsi masing-masing jarak antar puncak 0.0017. kepadatan terjadinya peluang dapat Dari semua jarak antar R yang dijadikan dirumuskan sebagai sebagai jarak antar gelombang pada data, 𝑝 𝑥 𝑎, 𝑏 = 𝐺𝑎 𝑥; 𝑎, 𝑏 ditunjukan rata-rata gelombang berkisar 𝑥 𝑎−1 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 − 0.7693. Frekuensi yang muncul pada 𝑎 Γ(𝑎)𝑏 𝑏 gambar 6 (kanan) yaitu jarak waktu yang ∞ diperlukan antara puncak R ke puncak R Γ 𝛼 = 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 dengan memperhatikan histogram frekuensi 0 yang muncul pada ∆𝑡 antar puncak untuk dengan 𝑥 > 0, 𝑎 > 0 dan 𝑏 > 0. jantung yang sehat diduga sebagai distribusi Pada tiap puncak P, Q, R, S dan T Gamma. Distribusi Gamma pernah masing-masing dicari jarak antar puncak digunakan untuk memprediksi periode yang kemudian dicari frekuensi yang gelombang air di pantai barat daya India muncul ∆𝑡 pada tiap puncak. (Satheesh dkk, 2005). Distribusi Gamma Tabel 3. Frekunsi terjadinya ∆𝑡 pada tiap puncak dan hasil fitting distribusi Gamma Histogram (Frekuensi)

Hasil fitting distribusi Gamma

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

puncak P fitting

10

Density

8

0.6850 0.7065 0.7280 0.7495 0.7710 0.7925 0.8140 0.8355 0.8570 0.8785 0.9000 More

Frekuensi

Puncak P-P

6 4 2

t (detik) 0

0.7

0.75

0.8 Data

0.85

0.9

7

40 35 30 25 20 15 10 5 0

10

Puncak Q fitting

Density

8

6

4

0.6800 0.7040 0.7280 0.7520 0.7760 0.8000 0.8240 0.8480 0.8720 0.8960 0.9200 More

Frekuensi

Q-Q

2

t (detik) 0

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

0.75

0.8 Data

0.85

12

0.9

Puncak R fitting

10

Density

8

0.695 0.7175 0.74 0.7625 0.785 0.8075 0.83 0.8525 0.875 0.8975 0.92 More

Frekuensi

R-R

0.7

6 4 2

t (detik) 0

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

0.75

0.8 Data

0.85

12

0.9

Puncak S fitting

10

Density

8

0.695 0.7175 0.74 0.7625 0.785 0.8075 0.83 0.8525 0.875 0.8975 0.92 More

Frekuensi

S-S

0.7

6 4 2

t (detik) 0

40 35 30 25 20 15 10 5 0

0.75

0.8 Data

0.85

0.9

Puncak T fitting

10

Density

8

0.680 0.703 0.726 0.749 0.772 0.795 0.818 0.841 0.864 0.887 0.910 More

Frekuensi

T-T

0.7

6

4

2

t (detik) 0

Dengan aplikasi Toolbox pada Matlab R2009a “dfittool” maka fitting data yang

0.7

0.75

0.8 Data

0.85

0.9

diduga berdistribusi Gamma dilakukan dengan fungsi densitas atau fungsi 8

kepadatan terjadinya peluang pada tiap-tiap ∆𝑡 pada masing-masing puncak pada gelombang denyut jantung dan fitting hasil distribusi Gamma terlihat hampir menyerupai data frekuensi tiap puncak. Tabel 4. Parameter 𝑎 dan 𝑏 yang merupakan hasil fitting distribusi Gamma Puncak P-P Q-Q R-R S-S T-T

𝒂 332.5077 269.7837 368.1399 373.7805 345.2989

Standar eror 37.8738 30.7257 41.9344 42.5773 39.3315

𝒃 0.0023 0.0029 0.0021 0.0021 0.0022

Standar eror 0.00026 0.0003 0.00023 0.00023 0.00025

Parameter 𝑎 dan 𝑏 merupakan hasil fitting distribusi Gamma terlihat bahwa data frekuensi tiap puncak yang terjadi pada data denyut jantung merupakan distribusi Gamma. Parameter 𝑎 berada pada interval 269.7837 ≤ a ≤ 373.7805 dan parameter 𝑏 berada pada interval 0.0021 ≤ 𝑏 ≤ 0.003. Sehingga dapat dikatakan bahwa data denyut jantung berdistribusi Gamma dengan 𝑎 dan 𝑏 memiliki interval yang tidak terlalu jauh dan histogram yang terjadi dengan fungsi kepadatan peluang hampir sama. Kesimpulan Data denyut jantung yang telah diukur merupakan data periodik yang merupakan fungsi Gauss dengan bantuan metode Nelder-Mead maka diperoleh parameterparameter pada data yang memenuhi fungsi Gauss yang meminimumkan nilai eror pada fungsi Gauss. Nilai eror yang terjadi pada fungsi Gauss adalah 0.0553%. Frekuensi pada tiap puncak yang dalam denyut jantung yang diukur merupakan distribusi Gamma dengan nilai parameter 𝑎 berada pada interval 269.7837 ≤ a ≤ 373.7805 dan parameter 𝑏 berada pada interval 0.0021 ≤ 𝑏 ≤ 0.003. Saran Perlu adanya data jantung untuk orang yang tidak sehat untuk dapat mengetahui perbedaan puncak S dan T antara orang yang sehat dengan yang tidak sehat lalu ∆𝑡 frekuensi antar puncak berdistribusi Gamma atau tidak.

Ucapan Terima Kasih Terimakasih kepada sdr. Gill Gaspar Lobo Pinto atas data denyut jantung yang telah diberikan sehingga dapat digunakan untuk penelitian dalam makalah ini. Daftar Pustaka [1]. Lagarias. J. C, J. A. Reeds, M. H. Wright dan P. E. Wright, “Convergence Properties Of The Dimension Nelder-Mead Simplex Method In Low Dimension”, Siam J. Optim, vol. 9, no. 1 pp 112-147, 1998. [2]. A. N. Azhar dan Suyanto, “Studi Identifikasi Sinyal ECG Irama Myocardial Ischemia Dengan Pendekatan Fuzzy Logic”, Juti, vol. 7, no. 4, pp 193-206, 2009. [3]. Gao, Funchang dan Lixing Han, “ Implementing The Nelder-Mead Simplex Algorithm With Adaptive Parameters”. Springer Science and Business Media, 2010. [4]. Tendean, Herlina Dwi, Hanna. A. Parhusip dan Bambang Susanto, “Analisis Model denyut Jantung Dengan Menggunakan Teori Bifurkasi”. Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika “Peran Matematika dan Pendidikan Matematika sebagai solusi Problematika Pada Abad ke21”, pp 65-74, 2014, ISBN : 978979-17763-7-0. [5]. Ivanov. P.Ch, M.G. Rosenblum, C.-K. Peng, J.E. Mietus, S. Havlin, H.E. Stanley dan A.L Goldberger, “Scaling and Universality in Heart Rate Variability Distribution”, Elsevier. Physica A 249 pp 587593, 1998. [6]. Thanom, Witt dan Robert. N. K. Loh, “Nonlinier Control of Heartbeat Models”. Systemic, Cybernetics and Informatics, vol. 9, no. 1, pp 21-27, 2011, ISSN : 16904524. [7]. Satheesh. S. P, V. K. Praveen, V. Jagadish Kumar, G. Muraleedhran dan P. G. Kurup, “Weibul and Gamma distribution for Wave Parameter Predictions”. J Ind 9

Geophys Union, vol. 9, no. 1, pp 55-64, 2005.

10