Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

František Kuřina Jak učinit myšlenku viditelnou Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 59 (2014), No. 2, 117--134

Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/143892

Terms of use: © Jednota českých matematiků a fyziků, 2014 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://project.dml.cz

Jak uˇcinit myˇslenku viditelnou Frantiˇsek Kuˇrina, Hradec Kr´ alové ´ 1. Uvod Poznán´ı ˇclovˇeka je blokováno bariérami, které zp˚ usobuj´ı zkreslen´ı. . . Za prvé je tu ” bariéra mezi pˇredstavou a jazykem. Myˇslen´ı prob´ıhá v pˇredstavách, ale ke komunikaci s jinou osobou mus´ıme transformovat pˇredstavu do myˇslenky a tu potom do jazyka. Docház´ı ke zkreslen´ım: bohatá rozsáhlá textura pˇredstav, jej´ı mimoˇrádná plastiˇcnost a pruˇznost, jej´ı osobit´ y emocionáln´ı ráz — vˇsechno to je ztraceno, kdyˇz pˇredstavu vyjádˇr´ıme jazykem“ (viz [29], s. 206). Pˇritom, jak zd˚ urazˇ nuje Jashua Foer : Mo” zek si lépe pomatuje vˇeci, které jsou opakovanˇe rytmické, verˇsované, strukturované a zejména snadno pˇreveditelné do podoby obraz˚ u . . . Hledán´ı vzorc˚ u a struktur je pˇresnˇe ten zp˚ usob, jak´ ym náˇs mozek vytahuje ze spleti informac´ı o svˇetˇe to, co je pro nˇej v´ yznamné“ (viz [4], s. 138). Napˇr. Albert Einstein napsal: Slova nebo jazyk, ” at’ uˇz v psané nebo mluvené formˇe, nehraj´ı patrnˇe ˇzádnou roli v mém mechanismu myˇslen´ı. Psychick´ ymi jednotkami (psychical entities), snad elementy mého myˇslen´ı, jsou jisté znaky (signs) nebo v´ıce nebo ménˇe jasné obrazy (images), které mohou b´ yt libovolnˇe (voluntarily) reprodukovány a kombinovány“ (citováno podle [7], s. 142). Názory na roli obrázk˚ u v matematice se vyv´ıjely v souvislosti s otázkou porozumˇen´ı matematick´ ym idej´ım. Slovensk´ y matematik Beloslav Rieˇcan (*1936) se vyznává Preˇco je obraz, a teda aj ” elementárna geometria taká dôleˇzitá? Já som ju chápal len tak mimochodom. Ale pred 40 rokmi, t’aˇzkej to dobe pre niektor´ ych nepreveren´ ych hudobn´ıkov, sa oni uch´ ylili pod kr´ıdla matematiky. A po rokoch si jeden z nich, jedna z ved´ ucich osobnost´ı s´ uˇcasnej slovenskej, a nielen slovenskej hudby, Roman Berger, spomenul na moje matematické prednáˇsky takto: Rieˇcan zrazu utr´ usil: Ked’ matematik stoj´ı pred algebraick´ ym problémom, usiluje sa ho dostat’ do geometrickej podoby, tak ho l’ahˇsie môˇze vyrieˇsit’.“ R. Berger dedukuje: Tu sa zrazu v novom svetle ukázal vzt’ah medzi matematikou ” a hudbou: spoloˇcn´ ym menovatel’om je geometria odkazuj´ uca k intu´ıcii, ku konkrétnemu mysleniu, ku konkrétnym operáciam“ (viz [24], s. 71). Podobnˇe se vyslovuje Michal Kˇr´ıˇzek (*1952): Geometrická pˇredstavivost m˚ uˇze do znaˇcné m´ıry usnadnit chápán´ı ” nˇekter´ ych algebraick´ ych tvrzen´ı, vztah˚ u a základn´ıch pojm˚ u z teorie ˇc´ısel“ (viz [14], s. 25). Náˇs v´ yznamn´ y didaktik matematiky Jan Vyˇs´ın (1908–1983) napsal v pˇredmluvˇe své knihy Element´ arn´ı geometrie: Obrazec je pˇri provádˇen´ı d˚ ukazu jen jak´ ymsi pˇre” hledn´ ym seznamem oznaˇcen´ı a zápisem situace, nikoli podstatnou sloˇzkou pˇri zd˚ uˇ vodˇ nován´ı“ (viz [28], s. 4). Eduard Cech (1893–1960), snad nejvˇetˇs´ı ˇcesk´ y matematik dvacátého stolet´ı, hodnot´ı roli obraz˚ u zcela jinak: Umˇet u ´lohu pˇreloˇzit z ˇreˇci slov do ” ˇina, CSc., Katedra matematiky, Pˇr´ırodovˇedeck´ Prof. RNDr. Frantiˇsek Kur a fakulta Univerzity Hradec Kr´ alové, Rokitanského 62, 500 03 Hradec Kr´ alové, e-mail: [email protected] Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

117

Obr. 1

ˇreˇci obraz˚ u a obrácenˇe, to nen´ı spjato jenom s urˇcitou parti´ı uˇciva, ale s celou podstatou matematiky – ba dokonce s celou podstatou myˇslen´ı“ (citováno podle [11]). Náˇs souˇcasn´ y matematik Petr Vopˇenka (*1935) p´ıˇse: Neuznáván´ı obrázk˚ u a náˇcrt˚ u ” za plnohodnotn´ y zp˚ usob sdˇelov´ an´ı matematick´ ych poznatk˚ u, tj. d˚ usledné trván´ı na u ´pln´ ych slovn´ıch popisech sdˇelovan´ ych poznatk˚ u, v´ yraznˇe umrtvuje dynamiku matematického poznáván´ı“ (viz [27], s. 569). A filosof matematiky Ladislav Kvasz (*1962) zd˚ urazˇ nuje geometrické obrázky nejsou jen psychologickou pom˚ uckou, ale d˚ uleˇzit´ ym ” nástrojem konstruován´ı logické struktury matematick´ ych teori´ı“ (viz [16], s. 569). ´ 2. Ulohy a obr´ azky Ze ˇskoln´ı praxe v´ıme, ˇze mnohé u ´lohy, napˇr. urˇcován´ı koˇren˚ u rovnic, lze ˇreˇsit poˇcetnˇe a pˇribliˇznˇe i graficky. Tˇemito u ´lohami se zde nebudeme zab´ yvat, pˇripomeˇ nme vˇsak geometrick´ y pohled na ˇreˇsen´ı dvou u ´loh s parametrem. Máme-li ˇreˇsit v oboru reáln´ ych ˇc´ısel soustavu rovnic y = kx + 4, |x| + |y| = 2

(1) (2)

s neznám´ ymi x, y a reáln´ ym parametrem k, je v´ yhodné vyj´ıt z grafického znázornˇen´ı obou relac´ı v kartézské soustavˇe souˇradnic. Vˇsimneme-li si, ˇze graf relace (2) je soumˇern´ y podle kaˇzdé ze souˇradnicov´ ych os, staˇc´ı k jeho sestrojen´ı pˇrenést u ´seˇcku, která je ˇcást´ı grafu pˇr´ımky y = −x + 2 v prvn´ım kvadrantu, do kvadrant˚ u zb´ yvaj´ıc´ıch. Grafem relace (2) je tedy hranice ˇctverce. Grafem relace (1) je svazek pˇr´ımek, které procházej´ı bodem [0, 4] (mimo pˇr´ımku definovanou rovnic´ı x = 0). Z obr. 1 je patrné, ˇze soustava 118

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

Obr. 2

má jediné ˇreˇsen´ı pro k = 2 a k = −2 a právˇe dvˇe ˇreˇsen´ı pro kaˇzdé k > 2 a k < −2. Doj´ıt k tˇemto v´ ysledk˚ um bez geometrického obrázku je podstatnˇe pracnˇejˇs´ı. V uˇcebnici [22] je popsána konstrukce grafu relace (2) na základˇe mnoˇzinovˇe-logického“ rozboru. ” Podobnˇe diskusi o ˇreˇsitelnosti soustavy x2 + y 2 = 4, 2

2

(x + m) + (y − m) = 1

(3) (4)

s reáln´ ymi neznám´ ymi x, y a parametrem m m˚ uˇzeme odvodit z obr. 2. Krouˇzkem vyznaˇcené body urˇcuj´ı ty hodnoty parametru m, pro nˇeˇz má soustava jediné ˇreˇsen´ı, tlustˇe nar´ ysované u ´seˇcky znázorˇ nuj´ı, kdy má u ´loha právˇe dvˇe ˇreˇsen´ı, u ´seˇcka a polopˇr´ımky pˇr´ımky y = −x nar´ ysované slabou ˇcarou vedou k urˇcen´ı hodnot parametru, pro nˇeˇz u ´loha nemá ˇreˇsen´ı. Detailn´ı ˇreˇsen´ı této u ´lohy lze naj´ıt ve zprávˇe o XXX. roˇcn´ıku naˇs´ı matematické olympi´ ady z r. 1983. Obrázky mohou pˇribl´ıˇzit student˚ um i ˇreˇsen´ı otázek o urˇcen´ı poˇctu prvk˚ u abstraktn´ıch“ mnoˇzin. Ukaˇzme to na jedné kombinatorické ” u ´loze. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme uspoˇr´ adat mnoˇzinu s n prvky? Protoˇze na prvn´ı m´ısto m˚ uˇzeme zaˇradit libovoln´ y z n prvk˚ u, na druhé pak jiˇz jen libovoln´ y z n − 1 zb´ yvaj´ıc´ıch prvk˚ u, na tˇret´ı m´ısto libovoln´ y z n − 2 zb´ yvaj´ıc´ıch prvk˚ u a kaˇzdé obsazen´ı prvn´ıho m´ısta m˚ uˇzeme spojit s kaˇzd´ ym obsazen´ım druhého m´ısta, lze prvn´ı dvˇe m´ısta obsadit n(n − 1) zp˚ usoby atd. (obr. 3). Celkov´ y poˇcet uspoˇrádán´ı je tedy n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 = n! Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

119

Obr. 3

V uˇcebnici [12] je uvedena tato definice sloˇzené funkce: ˇ ık´ R´ ame, ˇze funkce h = g ◦ f je sloˇzena z funkc´ı f , g pr´ avˇe tehdy, kdyˇz plat´ı: Dh = {x ∈ Df ; f (x) ∈ Dg } a pro vˇsechna x ∈ Dh je h(x) = g(f (x)). Zde Dh je definiˇcn´ı obor funkce h, Df je definiˇcn´ı obor funkce f a Dg je definiˇcn´ı obor funkce g. Tuto definici je podle mého názoru vhodné ilustrovat schématy na obr. 4 a 5. Ukaˇzme jejich aplikace na sloˇzenou funkci k = f ◦ f, kde f je dána v intervalu h−2, 2i pˇredpisem p y = 4 − x2 .

Podle obr. 4 m˚ uˇzeme nakreslit obr. 6, z nˇehoˇz plyne, ˇze f ◦ f = |x|. Tent´ yˇz v´ ysledek dostaneme podle obr. 7. 120


Obr. 4 Obr. 5

Obr. 6

Obr. 7

V nˇekter´ ych geometrick´ ych u ´lohách (napˇr. d˚ ukazov´ ych, poˇcetn´ıch ˇci konstrukˇcn´ıch) b´ yvá v´ yznamnou souˇcást´ı ˇreˇsen´ı doplnˇen´ı vhodného obrázku. Zp˚ usob tohoto doplnˇen´ı je sp´ıˇse otázkou intuice a zkuˇsenosti, neˇz otázkou logiky. Doloˇzme to ˇreˇsen´ım u ´lohy: V pravo´ uhlém troj´ uheln´ıku s odvˇesnami a, b vypoˇc´ıtejte délku u ´seˇcky CM , kde M je pr˚ useˇc´ık osy pravého u ´hlu pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku ABC s jeho pˇreponou (obr. 8). Tˇri r˚ uzné moˇznosti doplnˇen´ı obrázku a z nich vypl´ yvaj´ıc´ı ˇreˇsen´ı jsou naznaˇceny na obr. 9. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

121

Obr. 8

Obr. 9

3. D˚ ukazy beze slov Geometrick´ y obrázek m˚ uˇze vyjadˇrovat myˇslenku beze slov podobnˇe jako kreslen´ y vtip. Pˇr´ıbˇeh tradiˇcnˇe formulovaného d˚ ukazu je vyjádˇren slovnˇe nebo symbolicky posloupnost´ı na sebe navazuj´ıc´ıch myˇslenek. Vizuáln´ı d˚ ukaz je nakreslen´ y pˇr´ıbˇeh. Vid´ıme celek d˚ ukazu, jeho pochopen´ı vˇsak m˚ uˇze ztˇeˇzovat skuteˇcnost, ˇze nen´ı zˇrejmá posloupnost u ´vah. Kromˇe toho obrázek nepostihuje obvykle obecnou situaci“, b´ yvá omezen na ” konkrétn´ı“ parametry. Pˇresto m˚ uˇze b´ yt nˇekdy z obrázku idea d˚ ukazu pr˚ ukaznˇejˇs´ı neˇz ” napˇr. z posloupnosti implikac´ı. Podobnˇe jako nemus´ı b´ yt na prvn´ı pohled srozumiteln´ y kreslen´ y vtip, m˚ uˇze se stát, ˇze neporozum´ıme ihned kreslenému d˚ ukazu. Stoj´ı vˇsak za to se nad obrázkem zamyslet. Uved’me nˇekolik pˇr´ıklad˚ u. Gauss˚ uv d˚ ukaz vˇety o pr˚ useˇc´ıku tˇr´ı v´ yˇsek troj´ uheln´ıku spoˇc´ıvá na myˇslence konstruovat nov´ y troj´ uheln´ık, v nˇemˇz v´ yˇsky p˚ uvodn´ıho troj´ uheln´ıku budou osami stran troj´ uheln´ıku nového (obr. 10). ˇ Cech˚ uv d˚ ukaz vˇety o tˇeˇziˇsti troj´ uheln´ıku spoˇc´ıvá v konstrukci obrazu M vrcholu A troj´ uheln´ıku ABC ve stˇredové soumˇernosti se stˇredem v pr˚ useˇc´ıku T tˇeˇznic BB ′ a CC ′ (obr. 11). 122


Obr. 10

Obr. 11

ˇ Nev´ım, zda je Cech˚ uv d˚ ukaz z jeho uˇcebnice z r. 1946 p˚ uvodn´ı, je vˇsak urˇcitˇe jednoduˇsˇs´ı neˇz d˚ ukazy uvádˇené v klasick´ ych knihách [1], [6], [13] a [28]. Platnost souˇctov´ ych vzorc˚ u sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

(5) (6)

m˚ uˇzeme, pro pˇr´ıpad, ˇze α + β < 90◦ , nahlédnout s pouˇzit´ım obr. 12 (podle [9], s. 470). Pˇred t´ım je ovˇsem v´ yhodné pˇripomenout obrázkové“ definice goniometrick´ ych funkc´ı ” podle obr. 13. Platnost vzorce (5) je vidˇet i z obr. 14, vypoˇc´ıtáme-li dvoj´ım zp˚ usobem obsah obdéln´ıku ABCD. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

123

Obr. 12

Obr. 13

Obr. 14

124


Obr. 15

Obr. 16

Vzorec tg(α + β) =

tg α + tg β 1 − tg α tg β

(7)

m˚ uˇzeme odpozorovat z obr. 15 (viz [21], s. 47). Vˇseobecnˇe znám´ y nápad mladého Gausse pro v´ ypoˇcet souˇctu 1 + 2 + 3 + · · · + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + · · · + (50 + 51) = 101 · 50 = 5050 je moˇzné aplikovat i na souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u aritmetické posloupnosti s prvn´ım ˇclenem a1 a diferenc´ı d (viz [14], s. 24). Podle obr. 16 je sn =

n (a1 + an ). 2


(8)

125

Obr. 17

Obr. 18

Souˇcet prvn´ıch n pˇrirozen´ ych ˇc´ısel m˚ uˇzeme ovˇsem odvodit i podle obr. 17 (viz [20], s. 70): 1 + 2 + 3 + ... + n =

n2 n 1 + = n(n + 1). 2 2 2

(9)

Vzorec (9) m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt k v´ ypoˇctu souˇctu 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = (n(n + 1)/2)2

(10)

podle nápadu Georga Schregeho ([20], s. 90) z obr. 18. Pˇrekvapivé odvozen´ı vzorce (10) zaloˇzené na myˇslence, ˇze obsah kruhu m˚ uˇzeme z´ıskat jako souˇcet obsah˚ u mezikruˇz´ı, která jsou jeho ˇcást´ı, objevili W. Derring a J. Herstein a uvád´ım je na obr. 19, kde jsou nakresleny ˇcásti soustˇredn´ ych kruˇznic s polomˇery rn = n(n + 1)/2 pro n = 1, 2, 3, . . . , n − 1, n. Protoˇze pro obsah n-tého mezikruˇz´ı dostaneme π(n(n + 1)/2)2 − π(n(n − 1)/2)2 = πn3 , 126


Obr. 19

Obr. 20

plat´ı pro obsah kruhu s polomˇerem rn π · 13 + π · 23 + π · 33 + . . . + πn3 = π(n(n + 1)/2)2 neboli (10). Souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u geometrické posloupnosti s prvn´ım ˇclenem a1 a kvocientem q (0 < q < 1) m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat podle obr. 20. Protoˇze sn q = sn − a1 + a1 q n ,

(11)

je sn = a1 ·

qn − 1 . q−1

(12)

Vzorec s=

a1 1−q


127

Obr. 21

Obr. 22

pro souˇcet nekoneˇcné geometrické ˇrady m˚ uˇzeme objevit v obr. 21 (viz [20], s. 120), nebot’ z podobnosti troj´ uheln´ık˚ u ADE a F BA plyne s a1 = a1 a1 − a1 q Vˇsimnˇeme si nyn´ı nˇekolika pˇr´ıklad˚ u z geometrie. ˇ D˚ ukaz˚ u Pythagorovy vˇety je známo v´ıce neˇz 300. Radu z nich publikoval poˇcátkem dvacátého stolet´ı profesor göttingenské university E. Lietzmann (viz [17]), 13 d˚ ukaz˚ u obsahuj´ı knihy Nelsenovy, z novˇejˇs´ıch monografi´ı o Pythagorovˇe vˇetˇe pˇripomeˇ nme ˇ nˇemeckou knihu [5] a americkou [18]. Radu pˇekn´ ych d˚ ukaz˚ u lze naj´ıt v naˇsich i ciz´ıch uˇcebnic´ıch. P˚ uvodn´ı d˚ ukazy Pythagorovy vˇety, které pocházej´ı od Eukleida, Bolzana a Polyi, uvád´ım ve své publikaci Element´ arn´ı matematika a kultura [15]. Jako podnˇet k zamyˇslen´ı zde pˇripomeneme pouze pˇet obrázk˚ u se struˇcn´ ym komentáˇrem. Indick´ y d˚ ukaz Pythagorovy vˇety z 9. stolet´ı je uveden na obrázku 22. Pˇripoj´ımeli k pˇeti´ uheln´ıku ABCDE dvˇema r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby shodné pravo´ uhlé troj´ uheln´ıky s odvˇesnami a, b a pˇreponou c, dostaneme bud’ ˇctverce s obsahy a2 , b2 , nebo ˇctverec s obsahem c2 (viz [17], s. 28). Leonardu da Vincimu (1452–1519) se pˇripisuje podle knihy ([21], s. 5) d˚ ukaz vycházej´ıc´ı z obr. 23. Ke ˇctverc˚ um nad odvˇesnami pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku ABC se pˇripoj´ı podle obrázku troj´ uheln´ık GF C s troj´ uheln´ıkem ABC shodn´ y a stejn´ y troj128


Obr. 23

Obr. 24

u ´heln´ık M KL se podle obrázku pˇripoj´ı ke ˇctverci nad pˇreponou AB. Z rovnosti obsah˚ u ˇsesti´ uheln´ık˚ u ABEF GH a ACBM LK vyplyne tvrzen´ı Pythagorovy vˇety. Jmenované ˇsesti´ uheln´ıky maj´ı stejné obsahy, protoˇze jejich poloviny“ (tj. ˇctyˇru ´heln´ıky HABL ” a CAKL jsou shodné). Od H. E. Dudeneyho pocház´ı d˚ ukaz znázornˇen´ y na obr. 24. Pˇr´ımky vedené stˇredem S ˇctverce nad vˇetˇs´ı odvˇesnou rovnobˇeˇznˇe a kolmo k pˇreponˇe rozdˇel´ı ˇctverec nad Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

129

Obr. 25

Obr. 26

touto odvˇesnou na ˇctyˇri shodné ˇctyˇru ´heln´ıky, které lze postupnˇe pˇresunout do nov´ ych poloh ve ˇctverci nad pˇreponou podle obrázku tak, ˇze nevyplnˇená“ oblast je ˇctverec ” shodn´ y se ˇctvercem nad menˇs´ı odvˇesnou (viz [17], s. 23). Dvacát´ y americk´ y prezident J. A. Garfield je autorem jednoduchého d˚ ukazu Pythagorovy vˇety spoˇc´ıvaj´ıc´ıho na dvoj´ım vyjádˇren´ı obsahu lichobˇeˇzn´ıku ABCD podle obr. 25 (viz [17], s. 34). Roku 1999 publikoval Poo-sung Park d˚ ukaz znázornˇen´ y na obr. 26. K pravo´ uhlému troj´ uheln´ıku ABC s odvˇesnami a, b a pˇreponou c jsou pˇripojeny“ podle obrázku ” ˇctyˇri shodné rovnoramenné troj´ uheln´ıky BGH, JKL, M N P a ACD s celkov´ ym obsahem b2 . Ten dává s obsahem a2 ˇctverce M JBC obsah c2 ˇctverce DP LH (viz [21], s. 8). Byl to patrnˇe Frank Burk, kter´ y r. 1996 pojal nápad vyuˇz´ıt pˇri d˚ ukazech podobné troj´ uheln´ıky, jejichˇz pomˇer podobnosti je roven vˇzdy velikosti jedné strany. Tak napˇr. zvˇetˇs´ıme-li a-krát kaˇzdou stranu troj´ uheln´ıku se stranami a, b, c, dostaneme troj´ uheln´ık p˚ uvodn´ımu troj´ uheln´ıku podobn´ y se stranami aa, ab, ac. Stejnˇe 130


Obr. 27

Obr. 28

m˚ uˇzeme sestrojit troj´ uheln´ıky se stranami ba, bb, bc a ca, cb, cc. Uspoˇrádáme-li tyto troj´ uheln´ıky do lichobˇeˇzn´ıku“ podle obr. 27, vid´ıme, ˇze plat´ı kosinová vˇeta ” c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

(13)

Je-li γ = 90 ◦ , dostaneme pˇrirozenˇe d˚ ukaz vˇety Pythagorovy. Aplikujeme-li popsanou metodu na troj´ uheln´ıky ADC, ABC a ABD v tˇetivovém ˇctyˇru ´heln´ıku ABCD na obr. 28, dostaneme podle obr. 29 z rovnobˇeˇzn´ıku A′ D′ B ′ D′′ tvrzen´ı Ptolemaiovy vˇety ef = ac + bd. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

131

Obr. 29

Obr. 30

Autory tohoto d˚ ukazu jsou E. Derrick a J. Herstein (viz [2], s. 386). Vˇsimnˇeme si nakonec moˇznosti znázornit souˇcet nˇekter´ ych geometrick´ ych ˇrad. Protoˇze stˇredn´ı pˇr´ıˇcka dˇel´ı libovoln´ y rovnobˇeˇzn´ık na dvˇe ˇcásti stejného obsahu, vyjadˇruje aplikace takovéhoto dˇelen´ı podle obr. 30 platnost rovnosti 1 + 2

2 3 1 1 + + · · · = 1. 2 2

Protoˇze tˇri stˇredn´ı pˇr´ıˇcky dˇel´ı libovoln´ y troj´ uheln´ık na ˇctyˇri ˇcásti stejného obsahu, vyjadˇruje obr. 31 souˇcet nekoneˇcné geometrické ˇrady 1 + 4

2 3 1 1 1 + + ··· = . 4 4 3

4. Z´ avˇ ery Otázku jak uˇcinit myˇslenku viditelnou lze patrnˇe v historii matematiky sledovat aˇz k Pythagorovˇe geometrizaci aritmetiky ve formˇe tzv. figuráln´ıch ˇc´ısel. A po témˇeˇr 2 500 letech, v roce 1978 p´ıˇse David W. Henderson z Cornellovy univerzity poeticky Geometry is to open my mind“ ([10], s. II) a o rok pozdˇeji Milan ” Hejný z bratislavské univerzity vydává knihu Geometria nauˇcila ˇcloveka mysliet’“ [8]. ” 132


Obr. 31

Patrnˇe právˇe spjatost logického uvaˇzován´ı s geometrickou intuic´ı, tak charakteristickou pro geometrii, lze povaˇzovat za vysvˇetlen´ı skuteˇcnosti, ˇze to byla právˇe tato discipl´ına, která naˇsla v Eukleidovi jako prvn´ı v historii deduktivn´ı zpracován´ı, aˇckoliv nen´ı zdaleka nejjednoduˇsˇs´ı matematickou strukturou. I proto jsem se snaˇzil v této stati ukázat spjatost matematického myˇslen´ı s názorn´ ym obrazov´ ym materiálem. Tento pˇr´ıstup snad m˚ uˇze, aspoˇ n v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech, kladnˇe ovlivnit porozumˇen´ı matematice a tak pˇrisp´ıvat k z´ıskáván´ı zájmu o matematiku. Uˇcitel by mˇel pˇri vyuˇcován´ı pracovat s takov´ ymi reprezentacemi matematick´ ych pojm˚ u a postup˚ u, které jsou bl´ızké student˚ um, které jsou pˇritaˇzlivé. Nemus´ı to b´ yt vˇzdycky reprezentace vizuáln´ı. Umberto Eco (*1932) napˇr. upozorˇ nuje, ˇze západn´ı myˇslen´ı“ je zaloˇzeno na ˇreckém prin” cipu, podle nˇehoˇz poznán´ı je spjato s vidˇen´ım, kdeˇzto kultura ˇzidovská dává pˇrednost slovn´ım vyjádˇren´ım. Pˇritom ikona je od nepamˇeti souˇcást´ı vojska analogického, text ” poloˇzil základy budouc´ıho systému digitáln´ıho“ (viz [3], s. 97 a 107). Neporozumˇen´ı matematice m˚ uˇze m´ıt koˇreny v neporozumˇen´ı jej´ımu jazyku. Matematiku nelze od jej´ıho jazyka oddˇelit, jazyk je formou existence matematiky. Prob´ırán´ı abstraktn´ıch matematick´ ych teori´ı bez náleˇzitého porozumˇen´ı je jedn´ım z hlavn´ıch problém˚ u matematického vzdˇeláván´ı. Studenti by se mˇeli uˇcit jazyku matematiky podobnˇe, jako se uˇc´ı d´ıtˇe mateˇrskému jazyku, implicitnˇe“ t´ım, ˇze ho spolu s uˇcitelem ” pouˇz´ıvaj´ı pˇri ˇreˇsen´ı problém˚ u. Neverbáln´ı vyjadˇrován´ı, kterému jsme se zde vˇenovali, nem˚ uˇze b´ yt oddˇelov´ ano od vyjadˇrován´ı slovn´ıho, obˇe sloˇzky se mus´ı vzájemnˇe doplˇ novat. Porozumˇet matematice znamená osvojit si i jej´ı jazyky. Je moˇzná pˇr´ıznaˇcné, ˇze ˇceská pedagogická psychologie snad poprvé ve své historii vyjádˇrila kladn´ y vztah k neverbáln´ımu vyjadˇrován´ı zaˇrazen´ım uˇcen´ı z obrazového ” materiálu“ v pracech Jiˇr´ıho Mareˇse (*1942). V klasick´ ych prac´ıch [23] a [25] jsem tyto pˇr´ıstupy nenaˇsel. Mareˇs pˇrirozenˇe nep´ıˇse v psychologické monografii o geometrii, nep´ıˇse ani o tom, jak uˇcinit myˇslenku viditelnou, zd˚ urazˇ nuje vˇsak, ˇze obrazov´ y materiál má ukazovat souvislosti (funkce proceduráln´ı) a má pˇrisp´ıvat k pochopen´ı uˇciva ˇzáky (funkce interpretuj´ıc´ı) ([19], s. 138). Tyto pˇr´ıstupy jsou zcela v souladu s m´ ymi názory, které jsem se snaˇzil vyloˇzit v tomto ˇclánku.


133

Literatura [1] Coxeter, H. S. M.: Introduction to geometry. Willey, New York, 1961. [2] Derrick, W., Herstein, J.: Proofs without words: Ptolemy’s theorem. College Math. J. 43 (5) (2013), 386. [3] Eco, U.: Kant a ptakopysk. Argo, Praha, 2011. ˇ ri se, Einsteine! Jota, Praha, 2012. [4] Foer, J.: Setˇ [5] Fraedrich, A. M.: Die Satzgruppe des Pythagoras. Bi, Mannheim, 1995. [6] Hadamard, J.: Lessons in geometry. AMS, Newton, 2008. [7] Hadamard, J.: The mathematician’s mind. University Press, Princeton, 1996. ´ , M.: Geometria nauˇcila ˇcloveka mysliet’. SPN, Bratislava, 1979. [8] Hejny ´ , M.: Te´ [9] Hejny oria vyuˇcovania matematiky 2. SPN, Bratislava, 1989. [10] Henderson, D. W.: Experiencing geometry. Prentice Hall, New York, 1996. ˇ ´r ˇ, J.: Metodické semin´ [11] Holuba aˇre akademika Cecha o matematice. Matematika ve ˇskole 6 (X) (1960), 325–329. ´ , D., Kuba ´ t, J.: Matematika pro gymn´ [12] Hruby azia. Diferenci´ aln´ı a integr´ aln´ı poˇcet. Prometheus, Praha, 1997. [13] Kiselev, A. P.: Geometrie. Pˇr´ırodovˇedecké nakladatelstv´ı, Praha, 1952. ˇ ˇ´ıˇ ´ , A.: Kouzlo ˇc´ısel. Academia, Praha, 2011. [14] Kr zek, M., Somer, L., Solcov a ˇina, F.: Element´ [15] Kur arn´ı matematika a kultura. Gaudeamus, Hradec Kr´ alové, 2012. [16] Kvasz, L.: Patterns of change. Birkh¨ auser, Basel, 2008. [17] Lietzmann, W.: Der Pythagoreische Lehrsatz. Teubner, Leipzig, 1913. [18] Maor, E.: The Pythagorean theorem. Princeton University Press, 2007. [19] Mareˇs, J.: Pedagogick´ a psychologie. Port´ al, Praha, 2013. [20] Nelsen, R. B.: Proofs without words. MAA, Washington, 1993. [21] Nelsen, R. B.: Proofs without words II. MAA, Washington, 2000. ´ rko, O., For ˇt, J., Nova ´ k, B.: Matematika pro gymn´ [22] Odva azia, seˇsit 3. SPN, Praha, 1978. ´ ˇ´ıhoda, V.: Uvod [23] Pr do pedagogické psychologie. SPN, Praha, 1956. ˇan, B.: Kult´ [24] Riec ura v matematike, matematika v kult´ ure. Obzory matematiky, fyziky a informatiky 42 (4) (2013), 71–72. [25] Thorndike, E. L.: Pedagogick´ a psychologie. Dˇedictv´ı Komenského, Praha, 1929. [26] Tˇric´ at´ y roˇcn´ık matematické olympi´ ady. SPN, Praha, 1983. [27] Vopˇ enka, P.: Vypr´ avˇen´ı o kr´ ase novobarokn´ı matematiky. Pr´ ah, Praha, 2004. [28] Vyˇs´ın, J.: Element´ arn´ı geometrie I. Pˇr´ırodovˇedecké nakladatelstv´ı, Praha, 1952. [29] Yalom, I. D.: L´ aska a jej´ı kat. Port´ al, Praha, 2010.

134


Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Recommend Documents