Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok) 1./
Egy televízió készülék meghibásodásainak átlagos száma 10000 óra alatt 10. A meghibásodások száma a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 200 óra alatt elromlik!
2./
Egy 500 oldalas könyvben 200 sajtóhiba található. Mekkora a valószínűsége annak, hogy 10 véletlenszerűen kiválasztott oldalon a./ nem lesz sajtóhiba, b./ legfeljebb2 sajtóhiba lesz, ha feltételezzük, hogy a sajtóhibák száma Poisson-eloszlású?
3./
Egy édességboltba a délután 2 és 3 óra között érkező vevők száma Poissoneloszlású valószínűségi változó 40 várható értékkel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a délután 2 és 3 óra közötti időintervallumban a./ 15 perc alatt 10-nél több vevő érkezik, b./ két vevő érkezése között eltelt idő több, mint 3 perc?
4./
Egy konzervgyár valamelyik üveggyártótól 1 literes üvegeket rendel. 200 darab üveg közül átlagosan 5 selejtes. a./ Mekkora annak a valószínűsége, hogy 1000 üveget átnézve, abban pontosan 10 selejtes üveget találunk? b./ Mennyi annak a valószínűsége, hogy a selejtes üvegek száma legalább 10 lesz?
5./
Egy elektronikus műszer 1000 alkatrészből áll. Egy alkatrész a többitől függetlenül 0,001 valószínűséggel romlik el egy év alatt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább két alkatrész elromlik egy év alatt?
6./
Egy hagyományos izzólámpa átlagos élettartama 4 hónap. Mi a valószínűsége, hogy beszerelés után 6 hónappal is világítani fog az izzó, ha megfigyelésekből tudjuk, hogy az élettartam exponenciális valószínűségi változó?
7./
Annak a valószínűsége, hogy egy benzinkútnál a tankolásra 6 percnél többet kell várni a tapasztalatok szerint 0,1. Mennyi a valószínűsége, hogy véletlenszerűen a benzinkúthoz érve 3 percen belül sorra kerülünk?
8./
9./
Egy autóbusz egy útkereszteződéshez véletlenszerűen érkezik. A várakozási idő átlagosan 20 másodperc. Tekintsük valószínűségi változónak a várakozási időt. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy: a./ a várakozási idő legfeljebb 5 másodperccel tér el a várható értéktől; b./ a várakozási idő a szórásnál nagyobb értékkel tér el a várható értéktől! Egy intézet külföldről könyveket rendel. Az ehhez szükséges devizára várni kell, a tapasztalatok alapján általában ½ évet. A várakozási idő
exponenciális eloszlású. Mennyi a valószínűsége, hogy az intézet egy negyedéven belül megkapja a könyveket? 10./ A vizsgálatok szerint egy adott útszakaszon a két kátyú közötti távolság, mint valószínűségi változó exponenciális eloszlású, 25 m átlagos távolsággal. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy véletlenszerűen kijelölt két szomszédos kátyú távolsága 30 m-nél nagyobb lesz! 11./ Egy automata gépen gyártott tengelyek átmérője 64 mm várható értékű,
0,024 mm szórású, normális eloszlású valószínűségi változó. Az első osztályú termékeknél 0.02 mm a tűréshatár, a másodosztályúaknál 0,03 mm. a./ Mennyi lesz 1000 db termék értékesítéséből származó várható bevétel,ha az első osztályú termék eladási ára 2000 Ft/db, a másodosztályúaké pedig 1500Ft/db? b./ Milyen pontosságot biztosíthatunk 0,95 valószínűséggel a tengely átmérőjére? 12./ Tengelyek hossza normális eloszlású valószínűségi változó, m várható értékkel, 0,6 cm szórással. A tapasztalatok alapján a tengelyek 4,78%-a hosszabb, mint 82 cm. Mekkora lehet a tengelyek hosszának várható értéke? 13./ Egy tengely hossza normális eloszlású valószínűségi változó 20 mm várható értékkel és 0,2 szórással. Mekkora tűrést kell megengedni, hogy a tengelyek 96%-a megfeleljen ? 14./ Kovács úr egy vendéglőben kedvenc ételét, rántott szeletet rendel. A tapasztalat szerint ennek a súlya közelítőleg normális eloszlású, , σ = 12 gramm szórással. a./ Milyen súlyúnak várható a rántott szelet, ha 16% annak a valószínűsége, hogy 90 g-nál kisebb súlyút hoznak? b./ 96% valószínűséggel milyen pontosságot biztosíthatunk a rántott szelet súlyára? c./ Mekkora valószínűséggel lesz a súlynak a várható értéktől vett eltérése kisebb, mint 20 g? 15./ Egy fafeldolgozó telepen deszkákat készítenek. Ezek hossza normális eloszlású, m = 400 cm várható értékkel és σ = 3 cm szórással. a./ A deszkák hány százaléka lesz 398 cm-nél hosszabb és 401 cm-nél rövidebb? b./ Mekkora annak a valószínűsége, hogy a deszkák hossza a 400 cmtől legfeljebb 2,5 cm-rel tér el? 16./ Egy löveg tüzel egy 1200 méter távoli célpontra. A lőtávolság ingadozása az 1200 méter körül normális eloszlású 40 méter szórással. Hatásosnak tekintünk egy lövést, ha a találat a célhoz 50 méternél közelebb esik. A lövések hány százaléka lesz hatásos?
Megoldások 1./
10 = 0,001 meghibásodás, így M (ξ ) = λ = 0,001 . 1000 A ξ valószínűségi változó az első meghibásodásig eltelt idő, exponenciális eloszlású λ = 0,001 paraméterrel. 1 óra alatt
Így P(ξ < 200 ) = F (200 ) = 1 − 2./
3./
200 − e 1000
= 0,1813 .
200 = 0,4 sajtóhiba, így M (ξ ) = λ = 0,4 . 500 Az egy oldalon található sajtóhibák száma Poisson-eloszlású, így annak a valószínűsége, hogy egy oldalon nincs sajtóhiba: 0 0,4 p = P(ξ = 0 ) = ⋅ e −0, 4 = 0,6703 . 0! 10 véletlenszerűen választott oldal esetén a ξ valószínűségi változó a sajtóhiba mentes oldalak száma, már binomiális eloszlású, így ⎞⎟ ⋅ 0,670310 ⋅ 0,3297 0 = 0,000015 . a./ P(ξ = 0 ) = ⎛⎜10 0 ⎝ ⎠ 2 ⎞⎟ ⋅ 0,670310−k ⋅ 0,3297 k = 0,00315 . P(ξ ≤ 2 ) = ∑ ⎛⎜10 b./ k ⎠ k =0 ⎝ 1 oldalon
40 = 10 vevő, így M (ξ ) = λ = 10 . 4 a./ A 2 és 3 óra között beérkező vevők száma Poisson-eloszlású, így P(ξ 〉10) = 1 − P(ξ ≤ 10) =
15 perc alatt
1− e
−10
⎛ 10 0 101 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 1010 ⎞ ⎟ = 0,417 ⋅ ⎜⎜ + + + + + + + + + + 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10! ⎟⎠ ⎝ 0!
b./ Két érkező vevő között eltelt idő exponenciális eloszlású λ = 10 paraméterrel, így P(ξ 〉 3) = 1 − P(ξ ≤ 3) = 1 − F (3) = 1 − 1 − e −3⋅10 ≅ 0 .
(
4./
)
5 = 0,025 , így M (ξ ) = n ⋅ p = λ = 1000 ⋅ 0,025 = 25 200 Poisson-eloszlással közelítve: 2510 −25 P(ξ = 10 ) = ⋅ e = 0,000365 . a./ 10! b./ P(ξ ≥ 10) = 1 − P(ξ < 10) = ps =
⎛ 25 0 251 25 2 25 3 25 4 25 5 25 6 25 7 258 25 9 ⎞ ⎟ = 0,9998 . 1 − e − 25 ⋅ ⎜⎜ + + + + + + + + + 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! ⎟⎠ ⎝ 0!
5./
M (ξ ) = n ⋅ p = λ = 1000 ⋅ 0,001 = 1 . ⎛ 10 ⎞ 11 P(ξ ≥ 2 ) = 1 − (P(ξ = 0 ) + P(ξ = 1)) = 1 − ⎜⎜ ⋅ e −1 + ⋅ e −1 ⎟⎟ = 0,2642. 1! ⎝ 0! ⎠
6./
M (ξ ) = 4
⇒
1 4
λ= .
6 ⎛ − ⎞ P(ξ ≥ 6) = 1 − P(ξ < 6 ) = 1 − F (6 ) = 1 − ⎜1 − e 4 ⎟ = 0,2231. ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
7./
8./
P(ξ 〉 6 ) = 0,1 .
(
)
0,1 = P(ξ 〉 6 ) = 1 − P(ξ < 6 ) = 1 − F (6 ) = 1 − 1 − e −6λ = e −6λ , így ln 0,1 0,1 = e −6λ , amiből λ = = 0,3838. Ezek után −6 P(ξ < 3) = F (3) = 1 − e −0,3838⋅3 = 0,6838.
1 20 P(ξ − M (ξ ) < 5) = P(15 ≤ ξ ≤ 25) = F (25) − F (15) =
M (ξ ) = 20 a./
⇒
λ=
25 15 ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ = ⎜1 − e 20 ⎟ − ⎜1 − e 20 ⎟ = 0,1859. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
b./
D(ξ ) = 20 P(ξ < 0 ) + P(ξ 〉 40 ) = 0 + 1 − P(ξ ≤ 40) = 1 − F (40) = 40 ⎛ − ⎞ ⎜ = 1 − 1 − e 20 ⎟ = 0,1353. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
9./
M (ξ ) = 0,5 ⇒ λ = 2 P(ξ < 0,25) = F (0,25) = 1 − e −2⋅0, 25 = 0,3935.
10./
M (ξ ) = 25
⇒
λ=
1 25
30 ⎛ − ⎞ P(ξ 〉 30 ) = 1 − P(ξ ≤ 30 ) = 1 − F (30) = 1 − ⎜1 − e 25 ⎟ = 0,3012. ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
11./
m = 64 ; σ = 0,024 a./ P(I. oszt.) = P(63,98 ≤ ξ ≤ 64,02 ) = F (64,02 ) − F (63,98) = ⎛ 64,02 − 64 ⎞ ⎛ 63,98 − 64 ⎞ Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ = Φ (0,83) − Φ (− 0,83) = ⎝ 0,024 ⎠ ⎝ 0,024 ⎠ Φ(0,83) − (1 − Φ(0,83)) = 2 ⋅ Φ(0,83) − 1 = 2 ⋅ 0,7967 − 1 = 0,5934.
P(II. oszt.) = P(63,93 ≤ ξ ≤ 64,03) − P(I. oszt.) = = F (64,03) − F (63,97 ) − 0,5934 = ⎛ 64,03 − 64 ⎞ ⎛ 63,97 − 64 ⎞ = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ − 0,5934 = 0 , 024 0 , 024 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = Φ (1,25) − Φ (− 1,25) − 0,5934 = 2 ⋅ Φ (1,25) − 1 − 0,5934 = = 2 ⋅ 0,8944 − 1,5934 = 0,1954. I. oszt.: 1000 ⋅ 0,5934 = 593,4 ≈ 593 II. oszt.: 1000 ⋅ 0,1954 = 195,4 ≈ 195 593 ⋅ 2000 + 195 ⋅ 1500 = 1478500 Ft .
1000 db termékből: A bevétel: b./
0,95 = P(m − u ≤ ξ ≤ m + u ) = F (m + u ) − F (m − u ) = u ⎞ ⎛ ⎛m +u − m⎞ ⎛m −u − m⎞ ⎛ u ⎞ = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ − ⎟= ⎝ 0,024 ⎠ ⎝ 0,024 ⎠ ⎝ 0,024 ⎠ ⎝ 0,024 ⎠
Így
12./
⎛ u ⎞ = 2 ⋅ Φ⎜ ⎟ − 1. 0 , 024 ⎝ ⎠ ⎛ u ⎞ 0,95 = 2 ⋅ Φ⎜ ⎟ −1 ⎝ 0,024 ⎠ u ⎛ u ⎞ Φ⎜ = 1,96 ⇒ u = 0,047. ⎟ = 0,975 ⇒ 0,024 ⎝ 0,024 ⎠
σ = 0,6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 82 − m ⎟ ⎜ 0,0478 = P(ξ 〉82 ) = 1 − P(ξ ≤ 82) = 1 − F (82) = 1 − Φ ⎜ 102 ,63 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 〉0 ⎠ 82-m ⎛ 82 − m ⎞ Φ⎜ = 1,67 ⇒ m = 80 ,998. Így ⎟ = 0,9522 ⇒ 0 ,6 ⎝ 0,6 ⎠
13./
m = 20 ; σ = 0,2 0,96 = P(m − u ≤ ξ ≤ m + u ) = F (m + u ) − F (m − u ) = ⎛m +u − m⎞ ⎛m −u − m⎞ ⎛ u ⎞ ⎛ u ⎞ = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ − ⎟= 0,2 0,2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0,2 ⎠ ⎝ 0,2 ⎠
Így
⎛ u ⎞ = 2 ⋅ Φ⎜ ⎟ − 1. ⎝ 0,2 ⎠ ⎛ u ⎞ 0,96 = 2 ⋅ Φ⎜ ⎟ −1 ⎝ 0,2 ⎠ ⎛ u ⎞ Φ⎜ ⎟ = 0,98 ⇒ 0 , 2 ⎝ ⎠
u = 2,06 ⇒ u = 0,412. 0,2
14./
σ = 12 a./
b./
c./
15./
0,96 = P(m − u ≤ ξ ≤ m + u ) = F (m + u ) − F (m − u ) = ⎛ u⎞ ⎛u⎞ ⎛m −u − m⎞ ⎛m +u − m⎞ = Φ⎜ ⎟ = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ − ⎟ = ⎟ − Φ⎜ 12 12 ⎝ 12 ⎠ ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛u⎞ = 2 ⋅ Φ ⎜ ⎟ − 1. ⎝ 12 ⎠ ⎛u⎞ Így 0,96 = 2 ⋅ Φ⎜ ⎟ − 1 ⎝ 12 ⎠ u ⎛u⎞ = 2,06 ⇒ u = 24,72. Φ⎜ ⎟ = 0,98 ⇒ 12 ⎝ 12 ⎠ P(m − 20 ≤ ξ ≤ m + 20) = F (m + 20) − F (m − 20) = ⎛ 20 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎛ m − 20 − m ⎞ ⎛ m + 20 − m ⎞ = Φ⎜ ⎟ = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ − ⎟ = ⎟ − Φ⎜ 12 12 ⎝ 12 ⎠ ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ = 2 ⋅ Φ(1,67 ) − 1 = 2 ⋅ 0,9525 − 1 = 0,905.
m = 400 ; a./
b./
16./
⎞ ⎛ ⎜ 90 − m ⎟ ⎛ m − 90 ⎞ 0,16 = P(ξ < 90) = F (90) = Φ⎜ ⎟ = 1 − Φ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠ ⎜ 112 23 ⎟ ⎝ <0 ⎠ m − 90 ⎛ m − 90 ⎞ = 0,995 ⇒ m = 101,94. Így Φ⎜ ⎟ = 0,84 ⇒ 12 ⎝ 12 ⎠
σ =3
⎛ 398 − 400 ⎞ ⎛ 401 − 400 ⎞ P(398 ≤ ξ ≤ 401) = F (401) − F (398) = Φ⎜ ⎟= ⎟ − Φ⎜ 3 3 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ = Φ(0,33) − Φ(− 0,67 ) = Φ(0,33) − (1 − Φ(0,67 )) = = Φ(0,33) + Φ(0,67 ) − 1 = 0,6293 + 0,7486 − 1 = 0,3779. P(m − 2,5 ≤ ξ ≤ m + 2,5) = F (m + 2,5) − F (m − 2,5) = ⎛ 2,5 ⎞ ⎛ 2,5 ⎞ ⎛ m − 2,5 − m ⎞ ⎛ m + 2,5 − m ⎞ = Φ⎜ ⎟= ⎟ − Φ⎜ − ⎟ = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ 3 3 ⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ = 2 ⋅ Φ(0,83) − 1 = 2 ⋅ 0,7967 − 1 = 0,5934.
m = 0;
σ = 40
⎛ − 50 − 0 ⎞ ⎛ 50 − 0 ⎞ P(− 50 ≤ ξ ≤ 50 ) = F (50 ) − F (− 50 ) = Φ⎜ ⎟= ⎟ − Φ⎜ ⎝ 40 ⎠ ⎝ 40 ⎠ = Φ1,25 − Φ(− 1,25) = Φ(1,25) − (1 − Φ(1,25)) = = 2 ⋅ Φ(1,25) − 1 = 2 ⋅ 0,8944 − 1 = 0,7888.
