PODOSKI KÁROLY
ABEL-FÉLE CSOPORTMENNYISÉGEK ASZIMPTOTIKUS KAPCSOLATA
DOKTORI ÉRTEKEZÉS
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR
MATEMATIKA DOKTORI ISKOLA
VEZETJE: LACZKOVICH MIKLÓS EGYETEMI TANÁR
ELMÉLETI MATEMATIKA DOKTORI PROGRAM
VEZETJE: SZENTHE JÁNOS EGYETEMI TANÁR
TÉMAVEZET:
PYBER LÁSZLÓ
az
MTA DOKTORA
MTA RÉNYI ALFRÉD MATEMATIKAI KUTATÓINTÉZET
1
Kivonat A dolgozat az alábbi fontos a csoport Abelségét" mér® mennyiségek egymással való nagyságrendi kapcsolatát vizsgálja:
•
A konjugáltosztályok méreteinek szuprémuma bfc(G)
•
Kommutátor részcsoport mérete
•
Centrum indexe
•
Második centrum indexe
•
Abel-féle részcsoportfedések elemszámainak a minimuma
|G0 |
|G : Z(G)| |G : Z2 (G)|
Ezen mennyiségek mindegyike 1, ha a csoport Abel.
a(G)
Ennek a meg-
fordítása is igaz, kívéve a második centrum indexénél. A mennyiségek egymással való nagyságrendi kapcsolatát vizsgálva, számos esetben sikerül éles becslést adnunk, más esetekben a menynyiségek között pedig nincs, vagy csak bizonyos feltételek mellett van kapcsolat. Amellett, hogy áttekintjük ezeket a kapcsolatokat el®ször véges majd végtelen csoportokra, és számos nyitott kérdésre is választ adunk, feltérképezzük ezeket a kapcsolatokat speciális csoportosztályok (pl. capable csoportok) esetében is. A következ® fejezetben élesítünk pár becslést a rangfogalom segítségével. A dolgozat utolsó részében megmutatjuk, hogy a triviális Frattini részcsoporttal rendelkez® csoportokban jobb becslések adhatók.
1.
EL®szó A füzéri polgármester..." (BöFi 2001 szállóige)
Bizonyos fontos csoportelméleti mennyiségek (lásd kivonat) azt fejezik ki, hogy a csoport milyen messze van az Abelségt®l, el®ször ezek közül mutatjuk be a legfontosabbakat, valamint alapvet® tulajdonságaikat. Természetes kérdés, miután mindegyik mennyiség hasonló dolgot fejez ki, hogy milyen kapcsolatok vannak közöttük.
Az aszimptotikus csoportelmélet egy területe a
köztük lév® nagyságrendi kapcsolatokat vizsgálja.
2
Ez a terület az 1900-as
évek elején indult fejl®désnek, és a mai napig a csoportelmélet egy dinamikusan fejl®d® ága, és még ma is sok nyitott kérdést tartalmaz. El®ször különböz® fontos csoportokra (egyszer¶, direkt szorzat, extra-speciális, mátrix) meghatározzuk ezeket a mennyiségeket.
A konkrét példákon kapott ered-
mények jó kiindulási pontokat adnak a köztük lév®, esetleg nem lév®, kapcsolatok feltérképezéséhez. A terület fejl®désével párhuzamosan a a végességi összefüggéseket tekintjük át, vagyis azt, hogy melyik mennyiség véges voltából következik valamelyik másik mennyiség véges-sége.
Majd, mennyiségeink
végessége esetén vizsgáljuk a köztük lév® kapcsolatot, ekkor, mint látni fogjuk, elegend® lesz véges csoportokkal foglalkoznunk. A kombinatorikus halmazelmélet, partíciókalkulus, kifejl®désével (els®sorban Erd®s Pál és Richard Rado [2] munkássága) vizsgálni kezdték a végtelen esetet.
2.
A
|G : Z(G)|
és az
a(G)
kapcsolata
a(G) és a |G : Z(G)| |G : Z(G)| becslése felülr®l az
A dolgozat eredményei közül az egyik legfontosabb az közti kapcsolat vizsgálata ([17], [12]) vagyis a
a(G) mennyiség függvényében.
Egy a csoporthoz kapcsolódó gráf, a felcserél-
het®ségi gráf, vizsgálata során Erd®s Pál indította el ezt a problémakört.
2.1.
Ha
a(G) = n
véges
az els® eredmény 1954-b®l való B. H. Neumann-tól ([10]), aki bebizonyín
lényegében
|G : Z(G)| ≤ c2 valamilyen c konstanssal, M. J. Tomkinson [18] nlog2 n -re javította ezt a becslést, és azt sejtette, hogy ez a korlát
(n − 1)2 -ig
csökkenthet®. Szegedy Balázzsal közösen találtunk csoportokat,
totta, hogy
([13]) melyek azt mutatják, hogy az
nlog2 n
becslés nem javítható.
2.1 Tétel ([13]) Létezik olyan Hn 2-nilpotens csoportsorozat,
|Hn : Z(Hn )| → ∞,
továbbá
c log2 a(Hn )
|Hn : Z(Hn )| > a(Hn )
melyre
, ahol
c
po-
zitív konstans.
2.2 Tétel ([13]) Létezik olyan Gn csoportsorozat, melyre Z(Gn ) = 1 és
|Gn | → ∞
továbbá
|Gn | > a(Gn )c log2 a(Gn ) 3
ahol
c
pozitív konstans.
Továbbá,
ha
a(G) ≤ |G : Z(G)|,
|G0 |
=
κ
végtelen
számosság.
Tudjuk,
hogy
és egyenl®ség is állhat.
A másik irányú becslés már jóval bonyolultabb dolog, Erd®s Pál a felcserélhet®ségi gráal kapcsolatos egyik kérdése nyomán kezdtek vele foglalkozni, hogy ha korlát a
a(G) = κ végtelen |G : Z(G)|-re.
számosság, akkor létezik-e egyáltalán valamilyen
1978-ban V. Faber, R. Laver és R. McKenzie [3] erre pozitív választ adott, kombinatorikus halmazelméleti eszközök segítségével (többek között használva az 5.2 tételt), bebizonyította, hogy
|G : Z(G)| ≤ 22
2κ
G csoport 2κ véges nem a(G) = κ és |G : Z(G)| = 2κ A
Ugyanakkor megmutatták, hogy ha a
Abel csoport
diszkrét direkt szorzata, akkor
cikkük végén
megkérdezték, hogy vajon lehet-e javítani a becslésüket akár
2κ -ra.
M. J.
Tomkinson [17] megjavította a korlátukat 1985-ben bebizonyítva, hogy
|G : Z(G)| ≤ 22
κ
|G : Z(G)| ≤ 2κ , ha G irredundánsan lefedhet® S κ Abel részcsoportjával (azaz G = γ<κ Aγ , ahol egyik Aγ sem hagyható el a S fedésb®l, Aα * γ6=α Aγ ). Ezt a partíciókalkulus [2] segítségével bizonyította, κ + 2 csak a Ramsey tétel helyett a (2 ) −→ (3)κ kerül alkalmazásra. Azonban nem feltétlenül igaz, hogy a(G) = κ esetén G lefedhet® irredundánsan legfeljebb κ Abel részcsoporttal.
Továbbá megmutatta, hogy
A dolgozat egyik fontos eredménye particíókalkulus használata nélkül (lásd [12]):
2.3 Tétel ([12]) Ha egy G csoportra az a(G) = κ végtelen számosság, akkor
|G : Z(G)| ≤ 2κ ,
és ez éles becslés.
|G : Z(G)| véges akkor a G0 is véges. 0 látható, hogy ebben az esetben a G rendje
A klasszikus Schur-tétel szerint ha a Ultraszorzat segítségével ebb®l
korlátozható felülr®l a centrum indexének függvényében. megmutatta, hogy ha
|G0 | = n
akkor 1
|G : Z(G)| ≤ n 2 log2 n 4
J. Wiegold [19]
Az extraspeciális csoportok mutatják, hogy a Schur-tétel nem megfordítható. Azonban P. Hall tétele [16] szerint, ha
|G0 | < ∞,
akkor
|G : Z2 (G)| < ∞.
Tehát a ebben az esetben második centrum indexe felülr®l becsülhet® a kommutátor részcsoport méretével. 1961-ben I. D. Macdonald [8] megmutatta, 2
0
|G : Z2 (G)| ≤ |G0 |c log2 |G | . Ezt sikerült 0 c log2 |G0 | Szegedy Balázzsal közösen |G : Z2 (G)| ≤ |G | becslésre javítanunk, és megmutattuk, hogy ez a becslés a c konstanstól eltekintve már nem javítható. hogy minden véges csoportban
2.4 Tétel ([13]) Ha egy G csoportban bfc(G) = k , és |G0 | = n, akkor
|G : Z2 (G)| ≤ k 2 log2 n ≤ n2 log2 n 2.5 Tétel ([13]) Létezik olyan Gn csoportsorozat, melyre Z(Gn ) = 1 és
|Gn | → ∞
3.
továbbá
1
0
|Gn | > |G0n | 4 log3 |Gn | .
Capable csoportok
A kohomológia elméletben és a csoportb®vítésekben fontos szerepet játszanak a
G
capable csoport ok. csoportra.
A
H
csoport
Ezeket I. M. Isaacs, A. Moreto és Heineken kezdték el rész-
letesen vizsgálni.
Mint az extraspeciális csoportok mutatják a Schur-tétel
megfordítása nem igaz általában. mint pl.
capable csoport, ha H ∼ = G/Z(G) valamely
Azonban bizonyos csoportosztályokban,
a capable csoportok körében a Schur-tétel megfordítható, amit I.
M. Isaacs bebizonyított. Ebb®l következik, hogy ha
|H : Z(H)| ≤ f (n) valamely f explicit becslést az f (n) függvényre. akkor
H
capable és
|H 0 | = n,
függvényre. Azonban nem adtak meg Szegedy Balázzsal közösen (lásd még
[13]) megadtuk a nagyságrendileg legjobb becslést.
3.1 Tétel ( [14]) Ha 0
0
|G : G ∩ Z(G)| = n,
a
akkor
G (nem feltétlenül véges) |G : Z2 (G)| ≤ nc log2 n , ahol c = 2.
Ha az el®z® eredményt alkalmazzuk a
H = G/Z(G)
capable csoportra, a
következ®t kapjuk:
3.2 Következmény Ha H capable csoport és |H 0 | = n, akkor
|H : Z(H)| ≤ nc log2 n 5
csoportban
, ahol
c = 2.
Tulajdonképpen az el®z® eredmény a Wiegold tétel megfordítása. Végtelen csoportokra hasonló meggondolások alapján kapjuk, hogy
3.3 Tétel ( [14]) Ha G csoport és |G0 : G0 ∩ Z(G)| = κ végtelen számosság, akkor
|G : Z2 (G)| ≤ 2κ .
3.4 Következmény ([14]) Ha H capable csoport és |H 0 | = κ végtelen számosság, akkor
|H : Z(H)| ≤ 2κ .
A következ® része ennek a fejezetnek, olyan csoportokkal foglalkozik melyeknek a kommutátor részcsoportja ciklikus. I. M. Isaacs [6] megmutatta, hogy ha ciklikus, továbbá a centrális
H -ban,
H0
akkor
H
véges capable csoport és
H0
kommutátor részcsoport minden negyedrend¶ eleme
|H : Z(H)| ≤ |H 0 |2 .
De nem tudott becslést adni a
negyedrend¶ elemekre vonatkozó speciális feltétel nélkül. Szegedy Balázzsal közösen megmutattuk, hogy ezen feltétel elhagyható.
3.5 Tétel ( [14]) Ha H véges capable csoport, továbbá H 0 ciklikus, akkor
|H : Z(H)| ≤ |H 0 |2 . Tetsz®leges véges
G
csoportra pedig a következ® eredményt bizonyítottuk:
3.6 Tétel ( [14]) Ha G véges csoport és G0 n-edrend¶ ciklikus, akkor
|G : Z2 (G)| ≤ nϕ(n),
ahol
ϕ
Euler-féle számelméleti függvény.
Az el®z® becslés éles, mint azt a véges ciklikus csoportok holomorfjai mutatják.
4.
Becslések a rang segítségével
G egy véges csoport ebben az egész fejezetben. A G csoport minimális generátorszám át d(G)-vel jelöljük. A G csoport rang ja az a minimális r = rk(G), amelyre a G csoport minden részcsoportja generálható r elemmel.
Legyen
Világos, hogy
d(G) ≤ rk(G) ≤ log2 |G|. 6
Ennek a fogalomnak a fontosságát hangsúlyozzák A. Lubotzky és A. Mann (see [1] ) eredményei. Az aszimptotikus csoportelméletben számos fels® korlátban el®fordul valamely részcsoport rendjének a logaritmusa.
A célunk
ebben a fejezetben ezeknek a kicserélése a részcsoport rangjára, amennyiben ez lehetséges. Az el®z® egyenl®tlenség mutatja, hogy ezzel a becslések élesebbé válhatnak.
A jól ismert Schur tételhez kapcsolódóan, Wiegold [19]
megmutatta, hogy ha
|G : Z(G)| = n
akkor
1
|G0 | ≤ n 2 log2 n .
R. Guralnick [4]
erre egy szép frapppáns bizonyítást adott. Hasonló gondolatmenetet követve, megmutattuk, hogy
4.1 Tétel ([15]) Legyen G egy véges csoport, amire rk(G/Z(G)) = r teljesül. Ekkor
|G0 | ≤ |G : Z(G)|r+1 . Az extraspeciális csoportok mutatják hogy nem adható hasonló becslés a centrum indexére a kommutátor részcsoport segítségével. Azonban P. Hall
|G : Z2 (G)|
Z2 (G) a második eleme G felszálló centrális láncának) felülr®l becsülhet® a |G0 | segítségével. Szegedy
(see [16] p.423) észrevette, hogy a
( ahol
Balázzsal közösen bebizonyítottuk [13], hogy 0
|G : Z2 (G)| ≤ |G0 |2 log2 |G | . Pyber László (szóbeli közlés) megkérdezte, hogy vajon létezik-e olyan tans, amelyre
c·rk(G0 )
|G : Z2 (G)| ≤ |G0 |
c kons-
. Szegedy Balázzsal közösen megmu-
tattuk, hogy
4.2 Tétel ([15]) Ha G egy véges csoport és rk(G0 ) = r , akkor
|G : Z2 (G)| ≤ |G0 |2r . Egy
G
H
csoportot capable csoportnak nevezünk, ha létezik hozzá olyan
H -val. I. M. Isaacs [6] bebizonyította, hogy ha H egy capable csoport, akkor |H : Z(H)| felülr®l korlátozható a |H 0 | függvényében, illetve ezze ekvivalens, hogy ha G egy tetsz®leges véges 0 0 csoport akkor |G : Z2 (G)| felülr®l korlátozható a |G : G ∩Z(G)| segítségével, csoport, amelyre
G/Z(G)
izomorf
7
de nem adott explicit korlátot. Megmutattuk az el®z® fejezetben [14], hogy ha
|G0 : G0 ∩ Z(G)| = n,
akkor
|G : Z2 (G)| ≤ n2 log2 n . rk(G0 /G0 ∩ Z(G)) = r. Pyber Laci (szóbeli közlés) megkérdezte, cr létezik-e olyan c konstans, amelyre |G : Z2 (G)| ≤ n . Erre a kérdére is
Legyen hogy
sikerült pozitív választ adnunk megmutatva, hogy
4.3 Tétel ([15]) Ha G véges csoport és rk(G0 /G0 ∩ Z(G) = r , akkor
|G : Z2 (G)| ≤ |G0 /G0 ∩ Z(G)|4r . 4.4 Következmény ([15]) Ha H capable csoport és rk(H 0 ) = r , akkor
|H : Z(H)| ≤ |H 0 |4r . Azonban egy sokkal jobb becslést kapunk, ha
Z(G) = 1.
Ehhez fontos a
következ® tétel
4.5 Tétel ([15]) Ha G véges csoport és Z(G) = 1 akkor CG (G0 ) ≤ G0 . Innen következményként kapjuk, hogy
4.6 Tétel ( [15]) Ha G véges csoport és Z(G) = 1 továbbá d = d(G0 ), akkor
|G| ≤ |G0 |d+1 .
5.
Csoportok triviális Frattini részcsoporttal
Legyen
G
egy csoport.
Egy jóval er®sebb feltétel a
G
csoportra, hogy a
Φ(G) = 1. Az ilyen csoport automatikusan s®t még az er®sebb Z2 (G) = Z(G) feltétel is automatikusan
Frattini részcsoportja triviális capable csoport, teljesül.
Felhasználva I. M. Isaacs [7] egyik, véges feloldható csoportokra vonatkozó tételét, M. Herzog, G. Kaplan and A. Lev [5] bebizonyította, hogy ha és feloldható csoport és
|G| ≤ |G0 |3 ,
Φ(G) = Z(G) = 1,
s®t, ha
G
akkor
páratlan rend¶ csoport, akkor
8
G véges
5
|G| ≤ |G0 | 2
Továbbá a triviális Frattini részcsoportú csoportok tanulmányozásásból azt sejtették, hogy
|G| ≤ |G0 |2
. Halasi Zoltánnal közösen bebizonyítottuk még
sokkal általánosabb formában ezt a sejtést:
5.1 Tétel ([11]) Legyen G tetsz®leges (nem feltétlenül véges) csoport, azonban
G0
véges, továbbá
Φ(G) = 1.
Ekkor
|G0 | ≤ |G : Z(G)| ≤ |G0 |2 Egyenl®ség pontosan akkor áll, ha
G
Abel csoport .
Ezúttal is szeretnék köszönetet mondani Halasi Zoltánnak, Pálfy Péter Pálnak, Pyber Lászlónak és Szegedy Balázsnak a disszertáció elkészítéséhez nyújtott sok, hasznos segítségért.
Hivatkozások [1] J. D. Dixon, M. P. F. du Sautoy, A. Mann and D. Segal, Analytic
London Mathematical Society Lecture Note Series Cambridge University Press pro-p Groups,
157,
[2] P. Erd®s, A. Hajnal, A. Máté, R. Rado, Combinatorical Set Theory: partition relations for cardinals,
Akadémiai Kiadó, Budapest
1984
[3] V. Faber, R. Laver and R. McKenzie, Coverings of groups by abelian subgroups,
Canad. J. Math
30 (1978), 933945.
[4] R. M. Guralnick, On a result of Schur,
J. Algebra
59 (1979), 302310
[5] M. Herzog, G. Kaplan, A. Lev, On the commutator and the center of nite groups,
J. Algebra
278 (2004) 494501.
[6] I. M. Isaacs, Derived subgroups and centers of capable groups,
Amer. Math. Soc.
129 (2001), 28532859.
[7] I. M. Isaacs, Large orbits in actions of nilpotent groups,
Math. Soc.
Proc.
127 (1999) 4550.
9
Proc. Amer.
[8] I. D. Macdonald, Some explicit bounds in groups with nite derived groups,
Proc. London Math. Soc
(3) 11 (1961) 2356
[9] B. H. Neumann, A problem of Paul Erd®s on groups,
Soc.
J. Austral. Math.
21 (1976), 467472.
[10] B. H. Neumann, Groups covered by nitely many cosets,
Debrecen
Publ. Math.
3 (1954), 227242.
[11] Z. Halasi, K. Podoski, Bounds in groups with trivial Frattini subgroup, to appear in
J. Algebra
[12] K. Podoski, Groups covered by an in nite number of Abelian subgroups,
Combinatorica
(1) 21 (2001) 13.
[13] K. Podoski, B. Szegedy, Bounds in groups with nite Abelian coverings or with nite derived groups,
J. Group Theory
5 (2002), 443452.
[14] K. Podoski, B. Szegedy, Bounds for the index of the centre in capable groups,
Proc. Amer. Math. Soc.
133 (2005) 34413445.
[15] K. Podoski, B. Szegedy, Finite groups with a bound for the rank of the derived subgroups, submitted to
J. Israel
[16] Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups,
Verlag,
Springer
New York (1982).
Proceedings of GroupsSt. Andrews 1985, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 121, Cambridge University Press, 1986, 332334.
[17] M. J. Tomkinson, Groups covered by abelian subgroups,
[18] M. J. Tomkinson, Groups covered by nitely many cosets or subgroups,
Communications in Algebra
15 (4) (1987), 845859.
[19] J. Wiegold, Multiplicators and groups with nite central factor-groups,
Math. Z.
89 (1965), 345347
10
