PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Pˇrednáˇska prvn´ı aneb ´ Uvod do matematické analýzy Funkce a jej´ı vlastnosti

Matematika I (KMI/PMATE)

´ Uvod do matematické analýzy Osnova pˇrednáˇsky pojem funkce definice funkce graf funkce definiˇcn´ı obor funkce obor hodnot funkce (základn´ı) elementárn´ı funkce

vlastnosti funkce sudá a lichá funkce periodická funkce monot´ onost funkce extrémy a ohraniˇcenost funkce prostá funkce inverzn´ı funkce sloˇzená funkce

operace s funkcemi Matematika I (KMI/PMATE)

Funkce a jej´ı vlastnosti Veliˇcina Veliˇ cina - pojem, který popisuje kvantitativn´ı (ˇc´ıselné) vlastnosti reálných i abstraktn´ıch objekt˚ u. Pˇr´ıklady veliˇ cin: hmotnost (m) ˇcas (t) výˇse u ´rokové sazby v bance (i) cena výrobku (P) poˇcet pracovn´ık˚ u potˇrebných k výmˇenˇe ˇzárovky (n)


Funkce a jej´ı vlastnosti Veliˇcina Veliˇ cina - pojem, který popisuje kvantitativn´ı (ˇc´ıselné) vlastnosti reálných i abstraktn´ıch objekt˚ u. Pˇr´ıklady veliˇ cin: hmotnost (m) ˇcas (t) výˇse u ´rokové sazby v bance (i) cena výrobku (P) poˇcet pracovn´ık˚ u potˇrebných k výmˇenˇe ˇzárovky (n) Promˇenná Promˇ enn´ a - veliˇcina, která m˚ uˇze mˇenit svou hodnotu.


Funkce a jej´ı vlastnosti Veliˇcina Veliˇ cina - pojem, který popisuje kvantitativn´ı (ˇc´ıselné) vlastnosti reálných i abstraktn´ıch objekt˚ u. Pˇr´ıklady veliˇ cin: hmotnost (m) ˇcas (t) výˇse u ´rokové sazby v bance (i) cena výrobku (P) poˇcet pracovn´ık˚ u potˇrebných k výmˇenˇe ˇzárovky (n) Promˇenná Promˇ enn´ a - veliˇcina, která m˚ uˇze mˇenit svou hodnotu.


Funkce a jej´ı vlastnosti

Popisujeme vztah dvou veliˇcin. Vyjadˇrujeme, jak hodnoty jedné veliˇciny (teploty T) závisej´ı na hodnotách dalˇs´ı veliˇciny (ˇcasu). Matematika I (KMI/PMATE)


Popisujeme vztah dvou veliˇcin. Vyjadˇrujeme, jak hodnoty jedné veliˇciny (teploty T) závisej´ı na hodnotách dalˇs´ı veliˇciny (ˇcasu). Matematika I (KMI/PMATE)


Obecnˇe, tento popis vzájemného vztahu prob´ıhá tak, ˇze hodnotám jedné veliˇciny (tzv. nezávisle promˇenné) pˇriˇrazujeme hodnoty druhé veliˇciny (tzv. závisle promˇenné). Matematika I (KMI/PMATE)


Obecnˇe, tento popis vzájemného vztahu prob´ıhá tak, ˇze hodnotám jedné veliˇciny (tzv. nezávisle promˇenné) pˇriˇrazujeme hodnoty druhé veliˇciny (tzv. závisle promˇenné). Matematika I (KMI/PMATE)

Funkce a jej´ı vlastnosti Reálná funkce f jedné reálné promˇenné x Zobrazen´ı z mnoˇziny R do mnoˇziny R; pravidlo, podle kterého kaˇzdému prvku z mnoˇziny D(f ) ⊂ R pˇriˇrad´ıme právˇe jeden prvek z mnoˇziny H(f ) ⊂ R. V matematice se funkce zpravidla oznaˇcuj´ı p´ısmeny f , g , ϕ, apod.


Funkce a jej´ı vlastnosti Reálná funkce f jedné reálné promˇenné x Zobrazen´ı z mnoˇziny R do mnoˇziny R; pravidlo, podle kterého kaˇzdému prvku z mnoˇziny D(f ) ⊂ R pˇriˇrad´ıme právˇe jeden prvek z mnoˇziny H(f ) ⊂ R. V matematice se funkce zpravidla oznaˇcuj´ı p´ısmeny f , g , ϕ, apod. f : x 7→ y


Funkce a jej´ı vlastnosti Reálná funkce f jedné reálné promˇenné x Zobrazen´ı z mnoˇziny R do mnoˇziny R; pravidlo, podle kterého kaˇzdému prvku z mnoˇziny D(f ) ⊂ R pˇriˇrad´ıme právˇe jeden prvek z mnoˇziny H(f ) ⊂ R. V matematice se funkce zpravidla oznaˇcuj´ı p´ısmeny f , g , ϕ, apod. f : x 7→ y f : x 7→ 2x + 3


Funkce a jej´ı vlastnosti Reálná funkce f jedné reálné promˇenné x Zobrazen´ı z mnoˇziny R do mnoˇziny R; pravidlo, podle kterého kaˇzdému prvku z mnoˇziny D(f ) ⊂ R pˇriˇrad´ıme právˇe jeden prvek z mnoˇziny H(f ) ⊂ R. V matematice se funkce zpravidla oznaˇcuj´ı p´ısmeny f , g , ϕ, apod. f : x 7→ y f : x 7→ 2x + 3 y = f (x)


Funkce a jej´ı vlastnosti Reálná funkce f jedné reálné promˇenné x Zobrazen´ı z mnoˇziny R do mnoˇziny R; pravidlo, podle kterého kaˇzdému prvku z mnoˇziny D(f ) ⊂ R pˇriˇrad´ıme právˇe jeden prvek z mnoˇziny H(f ) ⊂ R. V matematice se funkce zpravidla oznaˇcuj´ı p´ısmeny f , g , ϕ, apod. f : x 7→ y f : x 7→ 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3


Funkce a jej´ı vlastnosti Reálná funkce f jedné reálné promˇenné x Zobrazen´ı z mnoˇziny R do mnoˇziny R; pravidlo, podle kterého kaˇzdému prvku z mnoˇziny D(f ) ⊂ R pˇriˇrad´ıme právˇe jeden prvek z mnoˇziny H(f ) ⊂ R. V matematice se funkce zpravidla oznaˇcuj´ı p´ısmeny f , g , ϕ, apod. f : x 7→ y f : x 7→ 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3 f (x) = 2x + 3


Funkce a jej´ı vlastnosti Reálná funkce f jedné reálné promˇenné x Zobrazen´ı z mnoˇziny R do mnoˇziny R; pravidlo, podle kterého kaˇzdému prvku z mnoˇziny D(f ) ⊂ R pˇriˇrad´ıme právˇe jeden prvek z mnoˇziny H(f ) ⊂ R. V matematice se funkce zpravidla oznaˇcuj´ı p´ısmeny f , g , ϕ, apod. f : x 7→ y f : x 7→ 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3 f (x) = 2x + 3 f (5) = 2 · 5 + 3 = 13


Funkce a jej´ı vlastnosti Reálná funkce f jedné reálné promˇenné x Zobrazen´ı z mnoˇziny R do mnoˇziny R; pravidlo, podle kterého kaˇzdému prvku z mnoˇziny D(f ) ⊂ R pˇriˇrad´ıme právˇe jeden prvek z mnoˇziny H(f ) ⊂ R. V matematice se funkce zpravidla oznaˇcuj´ı p´ısmeny f , g , ϕ, apod. f : x 7→ y f : x 7→ 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3 f (x) = 2x + 3 f (5) = 2 · 5 + 3 = 13 Nˇekteré ˇcasto pouˇz´ıvané funkce maj´ı speciáln´ı oznaˇcen´ı (napˇr. log, sin, cos, apod.) Matematika I (KMI/PMATE)

Funkce a jej´ı vlastnosti Reálná funkce f jedné reálné promˇenné x Zobrazen´ı z mnoˇziny R do mnoˇziny R; pravidlo, podle kterého kaˇzdému prvku z mnoˇziny D(f ) ⊂ R pˇriˇrad´ıme právˇe jeden prvek z mnoˇziny H(f ) ⊂ R. V matematice se funkce zpravidla oznaˇcuj´ı p´ısmeny f , g , ϕ, apod. f : x 7→ y f : x 7→ 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3 f (x) = 2x + 3 f (5) = 2 · 5 + 3 = 13 Nˇekteré ˇcasto pouˇz´ıvané funkce maj´ı speciáln´ı oznaˇcen´ı (napˇr. log, sin, cos, apod.) Matematika I (KMI/PMATE)


Definiˇcn´ı obor funkce Mnoˇzina ˇc´ısel, kterou jsme v definici funkce oznaˇcili D(f ), se nazývá definiˇcn´ı obor funkce. Symbol x, oznaˇcuj´ıc´ı libovolné ˇc´ıslo z mnoˇziny D(f ), se nazývá nezávisle promˇenná nebo argument funkce.

Obor hodnot funkce ˇ ıslo y pˇriˇrazené funkc´ı f k ˇc´ıslu x nazýváme hodnotou funkce f C´ v bodˇe x; p´ıˇseme y = f (x). Mnoˇzinu H(f ) vˇsech hodnot funkce nazýváme obor hodnot funkce f .



Definiˇcn´ı obor funkce Mnoˇzina ˇc´ısel, kterou jsme v definici funkce oznaˇcili D(f ), se nazývá definiˇcn´ı obor funkce. Symbol x, oznaˇcuj´ıc´ı libovolné ˇc´ıslo z mnoˇziny D(f ), se nazývá nezávisle promˇenná nebo argument funkce.

Obor hodnot funkce ˇ ıslo y pˇriˇrazené funkc´ı f k ˇc´ıslu x nazýváme hodnotou funkce f C´ v bodˇe x; p´ıˇseme y = f (x). Mnoˇzinu H(f ) vˇsech hodnot funkce nazýváme obor hodnot funkce f .


Funkce a jej´ı vlastnosti Graf funkce Grafem funkce f nazýváme mnoˇzinu vˇsech bod˚ u o souˇradnic´ıch [x, f (x)], kde x je libovolné ˇc´ıslo z definiˇcn´ıho oboru funkce f a f (x) je pˇr´ısluˇsná funkˇcn´ı hodnota.


Funkce a jej´ı vlastnosti K jednoznaˇcnému urˇcen´ı funkce je tˇreba zadat: 1

definiˇcn´ı obor funkce,

2

funkˇcn´ı pˇredpis, tj. zp˚ usob pˇriˇrazen´ı funkˇcn´ıch hodnot k argument˚ um.

Je zvykem, ˇze nen´ı-li u funkˇcn´ıho pˇredpisu zároveˇ n uveden definiˇcn´ı obor funkce f , rozum´ı se j´ım mnoˇzina vˇsech ˇc´ısel x, pro nˇeˇz existuj´ı funkˇcn´ı hodnoty f (x). Funkˇcn´ı pˇredpis nejˇcastˇeji m´ıvá formu vzorce, tj. matematického zápisu, z nˇehoˇz je patrné, které matematické operace je tˇreba provést s argumentem x, abychom dostali pˇr´ısluˇsnou funkˇcn´ı hodnotu. V tom pˇr´ıpadˇe se ˇr´ıká, ˇze funkce je zadána analyticky.


Funkce a jej´ı vlastnosti Nˇekdy je funkˇcn´ı pˇredpis dán nˇekolika vzorci, napˇr:   1 + x pro x ∈ (0, +∞) 0 pro x = 0 f (x) =  1 − x pro x ∈ (−∞, 0). V nˇekterých pˇr´ıpadech m˚ uˇze být funkce zadána pˇr´ımo výˇctem funkˇcn´ıch hodnot pro vˇsechny hodnoty argumentu x, napˇr. tzv. Dirichletova funkce je definována následovnˇe: 1 pro x racionáln´ı, f (x) = 0 pro x iracionáln´ı. Pˇribliˇznˇe lze funkci zadat téˇz graficky, tj. nakreslen´ım jej´ıho grafu.


Elementárn´ı funkce Základn´ı elementárn´ı funkce jiˇz známé ze stˇredn´ı ˇskoly:

y = c, c ∈ R, y = kx + q, k, q ∈ R, k 6= 0, y = x n, n ∈ N, n ∈ R, n= 6 0, Funkce sinus: y = sin x. Funkce kosinus: y = cos x. Funkce tangens: y = tg x, Funkce kotangens: y = cotg x, Exponenciáln´ı funkce: y = ax , a > 0, Logaritmická funkce: y = loga x, a > 0, a 6= 1,

Konstantn´ı funkce: Lineárn´ı funkce: Mocninná funkce:


D(f ) = R. D(f ) = R. D(f ) = R. D(f ) = R+ . D(f ) = R. D(f ) = R. D(f ) = R\{ kπ D(f ) = R\{kπ D(f ) = R. D(f ) = R+ .

Elementárn´ı funkce Elementárn´ımi funkcemi budeme rozumˇet takové funkce, které lze vytvoˇrit ze základn´ıch elementárn´ıch funkc´ı koneˇcným poˇctem aritmetických operac´ı sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı, dˇelen´ı a operac´ı skládán´ı funkc´ı. Pˇr´ıklady elementárn´ıch funkc´ı: f (x) = x 3 − 5x 2 + 6x − 5 x g (x) = ln √sin 1+x 2 Pˇr´ıklady neelementárn´ıch funkc´ı: h(x) = |x|3 − 5x 2 + 6x − 5  pro x > 0,  1 0 pro x = 0, sgn x =  −1 pro x < 0. Matematika I (KMI/PMATE)

Vlastnosti funkce Sudá funkce Funkce f se nazývá sudá, jestliˇze pro vˇsechna x ∈ D(f ) je f (−x) = f (x). Funkce f (x) = x 2 je sudá, nebot’ ∀x ∈ D(f ) f (−x) = (−x)2 = x 2 = f (x). Pˇr´ıklady sudých funkc´ı: f (x) = x n , kde n je sudé ˇc´ıslo, f (x) = cos x. Graf sudé funkce je osovˇe soumˇerný podle osy y .


Lichá funkce Lichá funkce Funkce f se nazývá lichá, jestliˇze pro vˇsechna x ∈ D(f ) je f (−x) = −f (x). Funkce f (x) = x 3 je lichá, nebot’ ∀x ∈ D(f ) f (−x) = (−x)3 = −x 3 = −f (x). Pˇr´ıklady lichých funkc´ı: f (x) = x n , kde n je liché ˇc´ıslo, f (x) = sin x. Graf liché funkce je stˇredovˇe soumˇerný podle poˇcátku souˇradných os. Matematika I (KMI/PMATE)

Periodická funkce Periodická funkce Funkce f se nazývá periodická, jestliˇze existuje takové p 6= 0, ˇze ˇ ıslo pro vˇsechna x z jej´ıho definiˇcn´ıho oboru je f (x + p) = f (x). C´ p nazýváme periodou funkce f , nejmenˇs´ı kladnou periodu (pokud existuje) nazýváme základn´ı periodou funkce f . Funkce f (x) = sin x je periodická, nebot’ jestliˇze zvol´ıme p rovno napˇr. hodnotˇe 2π, tak: ∀x ∈ R : f (x + 2π) = sin(x + 2π) = sin x = f (x).


Monotonost funkce Rostouc´ı funkce Funkce f se nazývá rostouc´ı v intervalu J ⊂ D(f ), jestliˇze pro dva libovolné body xi , xj intervalu J pro nˇeˇz plat´ı xi < xj , zároveˇ n plat´ı nerovnost f (xi ) < f (xj ).

Funkce y = x 2 je rostouc´ı v intervalu (0, ∞), nebot’ v tomto intervalu pro vˇsechna xi < xj je xi2 < xj2 (napˇr. [3 < 5] ∧ [32 < 52 ]).


Monotonost funkce Klesaj´ıc´ı funkce Funkce f se nazývá klesaj´ıc´ı v intervalu J ⊂ D(f ), jestliˇze pro dva libovolné body xi , xj intervalu J pro nˇeˇz plat´ı xi < xj , zároveˇ n plat´ı nerovnost f (xi ) > f (xj ). Funkce y = x 2 je klesaj´ıc´ı v intervalu (−∞, 0), nebot’ v tomto intervalu pro vˇsechna xi < xj plat´ı xi2 > xj2 (napˇr. [(−5) < (−3)] ∧ [(−5)2 > (−3)2 ]).


Vlastnosti funkce Omezená funkce Funkce f se nazývá ohraniˇcená (omezená) v intervalu J ⊂ D(f ), jestliˇze existuje takové ˇc´ıslo C , ˇze pro vˇsechna x ∈ J plat´ı |f (x)| ≤ C .

Funkce y = f (x) je omezená v zobrazeném intervalu, nebot’ pro vˇsechny zobrazené funkˇcn´ı hodnoty je −C < f (x) < C , tedy |f (x)| < C .


Vlastnosti funkce Globáln´ı minimum Globáln´ım minimem funkce f v intervalu J ⊂ D(f ) nazýváme takovou funkˇcn´ı hodnotu f (xn ), ˇze pro vˇsechna x ∈ J plat´ı f (x) ≥ f (xn ).

Funkce y = f (x) má (nabývá) v bodˇe xn globáln´ı minimum f (xn ), nebot’ pro vˇsechna x ze zobrazeného intervalu plat´ı f (xn ) ≤ f (x).


Vlastnosti funkce Globáln´ı maximum Globáln´ım maximem funkce f v intervalu J ⊂ D(f ) nazýváme takovou funkˇcn´ı hodnotu f (xm ), ˇze pro vˇsechna x ∈ J plat´ı f (x) ≤ f (xm ).

Funkce y = f (x) má (nabývá) v bodˇe xm globáln´ı maximum f (xm ), nebot’ pro vˇsechna x ze zobrazeného intervalu plat´ı f (x) ≤ f (xm ).


Vlastnosti funkce Prostá funkce Funkce f se nazývá prostá, jestliˇze pro kaˇzdé dva r˚ uzné body z definiˇcn´ıho oboru jsou r˚ uzné i jejich funkˇcn´ı hodnoty.


Vlastnosti funkce Inverzn´ı funkce Necht’ funkce y = f (x) je prostá. Potom inverzn´ı funkc´ı k funkci f (znaˇc´ıme f −1 ) rozum´ıme funkci, která kaˇzdému y z oboru hodnot funkce f pˇriˇrazuje takové ˇc´ıslo f −1 (y ) = x z definiˇcn´ıho oboru funkce f , pro které plat´ı f (x) = y . Sloˇzená funkce Mˇejme funkce f a g . Je-li definiˇcn´ı obor funkce f roven oboru hodnot funkce g (tj. D(f ) = H(g ) ), pak funkci F (x) = f (g (x)) nazýváme sloˇzená funkce. Funkce g se nazývá vnitˇrn´ı funkce, funkce f se nazývá vnˇejˇs´ı funkce. Necht’ f (x) = sin x, g (x) = x 3 . Je vidˇet, ˇze D(f ) = H(g ) = (−∞, ∞). Potom F (x) = f (g (x)) = sin x 3 . Matematika I (KMI/PMATE)

Operace s funkcemi Rovnost funkc´ı Dvˇe funkce jsou si rovny (f = g ), jestliˇze maj´ı týˇz definiˇcn´ı obor [D(f ) = D(g )] a pro vˇsechna x z této mnoˇziny plat´ı f (x) = g (x). Souˇcet funkc´ı Souˇctem funkc´ı f , g s týmˇz definiˇcn´ım oborem nazýváme takovou funkci h (p´ıˇseme h(x) = (f + g )(x)), která pˇriˇrad´ı ke kaˇzdému ˇc´ıslu x ∈ D(f ) = D(g ) funkˇcn´ı hodnotu h(x) = f (x) + g (x). Zbývaj´ıc´ı poˇcetn´ı operace s funkcemi Obdobnˇe se definuje rozd´ıl, souˇcin a pod´ıl funkc´ı f , g s týmˇz definiˇcn´ım oborem, pˇriˇcemˇz pod´ıl je definován pouze tehdy, je-li g (x) 6= 0 pro kaˇzdé x z definiˇcn´ıho oboru.


PMATE)

Recommend Documents