Matematika (KMI/PMATE) Pˇredn´aˇska druh´a aneb ´ Uvod do matematick´e anal´yzy Limita a spojitost funkce
Matematika (KMI/PMATE)
1 / 30
Osnova pˇredn´aˇsky line´arn´ı funkce y = kx + q definice line´arn´ı funkce v´yznam (smysl) koeficient˚ u line´arn´ı funkce
pojem limity funkce v bodˇe vlastn´ı limita funkce jednostrann´e limity nevlastn´ı limita funkce limita funkce v nevlastn´ım bodˇe
spojitost funkce spojitost funkce v bodˇe spojitost funkce na otevˇren´em intervalu spojitost funkce na uzavˇren´em intervalu
poˇcetn´ı operace s limitami
Matematika (KMI/PMATE)
2 / 30
Line´arn´ı funkce Line´arn´ı funkce Line´arn´ı funkce je jedna z nejjednoduˇsˇs´ıch a moˇzn´a i nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ıch funkc´ı. f (x) = kx + q
k . . . smˇernice,
q . . . absolutn´ı ˇclen
D(f ) = R H(f ) = R Pˇr´ıklady line´arn´ıch funkc´ı f (x) = 3x − 2
k = 3,
q = −2
f (x) = −2x − 5
k = −2,
q = −5
f (x) = 5x + 1
k = 5,
q=1
f (x) = −3x + 1
k = −3,
q=1
Matematika (KMI/PMATE)
3 / 30
Graf line´arn´ı funkce Grafem line´arn´ı funkce je pˇr´ımka. Na obr´azc´ıch jsou uvedeny grafy funkc´ı f (x) = 2x − 1 a f (x) = −x + 4.
Graf funkce f (x) = 2x − 1
Graf funkce f (x) = −x + 4
Matematika (KMI/PMATE)
4 / 30
Line´arn´ı funkce - shrnut´ı Mˇejme line´arn´ı funkci f (x) = kx + q. Hodnota q odpov´ıd´a funkˇcn´ı hodnotˇe pro x = 0. Je tedy q = f (0). Graf line´arn´ı funkce prot´ın´a svislou osu ve v´yˇsce q. Hodnota smˇernice k je rovna zmˇenˇe funkˇcn´ı hodnoty v pˇr´ıpadˇe, ˇze hodnota x se zvˇetˇs´ı o jednotku. Hodnota smˇernice k ovlivˇ nuje sklon grafu line´arn´ı funkce - ˇc´ım vˇetˇs´ı hodnota k, t´ım vˇetˇs´ı sklon dan´e pˇr´ımky. f (x2 ) − f (x1 ) Obecnˇe je k = . x2 − x1 Matematika (KMI/PMATE)
5 / 30
Line´arn´ı funkce - shrnut´ı Mˇejme line´arn´ı funkci f (x) = kx + q. Hodnota q odpov´ıd´a funkˇcn´ı hodnotˇe pro x = 0. Je tedy q = f (0). Graf line´arn´ı funkce prot´ın´a svislou osu ve v´yˇsce q. Hodnota smˇernice k je rovna zmˇenˇe funkˇcn´ı hodnoty v pˇr´ıpadˇe, ˇze hodnota x se zvˇetˇs´ı o jednotku. Hodnota smˇernice k ovlivˇ nuje sklon grafu line´arn´ı funkce - ˇc´ım vˇetˇs´ı hodnota k, t´ım vˇetˇs´ı sklon dan´e pˇr´ımky. f (x2 ) − f (x1 ) Obecnˇe je k = . x2 − x1 Matematika (KMI/PMATE)
5 / 30
Limita funkce Mˇejme funkci f (x) = x + 4. Jak se chov´a f (x), jestliˇze se hodnota promˇenn´e x bl´ıˇz´ı k ˇc´ıslu 5?
Pˇribliˇzov´an´ı zleva x f (x) = x + 4
4,9 8,9
4,99 8,99
4,999 8,999
4,9999 8,9999
Matematika (KMI/PMATE)
4,99999 8,99999
4,999999 8,999999
6 / 30
Limita funkce Mˇejme funkci f (x) = x + 4. Jak se chov´a f (x), jestliˇze se hodnota promˇenn´e x bl´ıˇz´ı k ˇc´ıslu 5?
Pˇribliˇzov´an´ı zleva x f (x) = x + 4
4,9 8,9
4,99 8,99
4,999 8,999
4,9999 8,9999
4,99999 8,99999
4,999999 8,999999
5,01 9,01
5,001 9,001
5,0001 9,0001
5,00001 9,00001
5,000001 9,000001
Pˇribliˇzov´an´ı zprava x f (x) = x + 4
5,1 9,1
Matematika (KMI/PMATE)
6 / 30
Limita funkce Mˇejme funkci f (x) = x + 4. Jak se chov´a f (x), jestliˇze se hodnota promˇenn´e x bl´ıˇz´ı k ˇc´ıslu 5?
Pˇribliˇzov´an´ı zleva x f (x) = x + 4
4,9 8,9
4,99 8,99
4,999 8,999
4,9999 8,9999
4,99999 8,99999
4,999999 8,999999
5,01 9,01
5,001 9,001
5,0001 9,0001
5,00001 9,00001
5,000001 9,000001
Pˇribliˇzov´an´ı zprava x f (x) = x + 4
5,1 9,1
ˇ ım bl´ıˇz je x ˇc´ıslu 5, t´ım bl´ıˇz je f (x) ˇc´ıslu 9. Z´avˇer: C´ Matematika (KMI/PMATE)
6 / 30
Limita funkce Mˇejme funkci f (x) = x + 4. Jak se chov´a f (x), jestliˇze se hodnota promˇenn´e x bl´ıˇz´ı k ˇc´ıslu 5?
Pˇribliˇzov´an´ı zleva x f (x) = x + 4
4,9 8,9
4,99 8,99
4,999 8,999
4,9999 8,9999
4,99999 8,99999
4,999999 8,999999
5,01 9,01
5,001 9,001
5,0001 9,0001
5,00001 9,00001
5,000001 9,000001
Pˇribliˇzov´an´ı zprava x f (x) = x + 4
5,1 9,1
ˇ ım bl´ıˇz je x ˇc´ıslu 5, t´ım bl´ıˇz je f (x) ˇc´ıslu 9. Z´avˇer: C´ Matematika (KMI/PMATE)
6 / 30
Limita funkce
Limita funkce
Ot´azka: Proˇc tak sloˇzitˇe?
Tento druh z´avislosti oznaˇcujeme symbolem
Proˇc to dˇel´ame tak sloˇzitˇe?
lim (x + 4) = 9
Proˇc pouze nedosad´ıme za x ˇc´ıslo 5 do pˇredpisu funkce
x→5
f (x) = x + 4?
a ˇcteme: ”limita funkce f (x) = x + 4 pro x jdouc´ı k pˇeti je rovna dev´ıti.”
Je pˇreci zˇrejm´e, ˇze plat´ı f (5) = 5 + 4 = 9.
Matematika (KMI/PMATE)
7 / 30
Limita funkce
Limita funkce
Ot´azka: Proˇc tak sloˇzitˇe?
Tento druh z´avislosti oznaˇcujeme symbolem
Proˇc to dˇel´ame tak sloˇzitˇe?
lim (x + 4) = 9
Proˇc pouze nedosad´ıme za x ˇc´ıslo 5 do pˇredpisu funkce
x→5
f (x) = x + 4?
a ˇcteme: ”limita funkce f (x) = x + 4 pro x jdouc´ı k pˇeti je rovna dev´ıti.”
Je pˇreci zˇrejm´e, ˇze plat´ı f (5) = 5 + 4 = 9.
Matematika (KMI/PMATE)
7 / 30
Limita funkce - Pˇr´ıklad x2 − 4 . x→2 x − 2
Vypoˇctˇete lim
Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze bod x = 2 nepatˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce, tedy nelze urˇcit hodnotu f (2).
Matematika (KMI/PMATE)
8 / 30
Limita funkce - Pˇr´ıklad x2 − 4 . x→2 x − 2
Vypoˇctˇete lim
Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze bod x = 2 nepatˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce, tedy nelze urˇcit hodnotu f (2). x f (x)
1,9 3,9
1,99 3,99
1,999 3,999
1,9999 3,9999
2 ?
2,0001 4,0001
Matematika (KMI/PMATE)
2,001 4,001
2,01 4,01
2,1 4,1
8 / 30
Limita funkce - Pˇr´ıklad x2 − 4 . x→2 x − 2
Vypoˇctˇete lim
Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze bod x = 2 nepatˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce, tedy nelze urˇcit hodnotu f (2). x f (x)
1,9 3,9
1,99 3,99
1,999 3,999
1,9999 3,9999
2 ?
2,0001 4,0001
2,001 4,001
2,01 4,01
2,1 4,1
Proˇc n´as zaj´ım´a hodnota v bodˇe x = 2? Proˇc je limita rovna pr´avˇe 4?
Matematika (KMI/PMATE)
8 / 30
Limita funkce - Pˇr´ıklad x2 − 4 . x→2 x − 2
Vypoˇctˇete lim
Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze bod x = 2 nepatˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce, tedy nelze urˇcit hodnotu f (2). x f (x)
1,9 3,9
1,99 3,99
1,999 3,999
1,9999 3,9999
2 ?
2,0001 4,0001
2,001 4,001
2,01 4,01
2,1 4,1
Proˇc n´as zaj´ım´a hodnota v bodˇe x = 2? Proˇc je limita rovna pr´avˇe 4?
Matematika (KMI/PMATE)
8 / 30
Limita funkce
Odpovˇed’ na prvn´ı ot´azku Limity n´am pom´ahaj´ı napˇr. naj´ıt extr´emn´ı (nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı) funkˇcn´ı hodnoty. Vyuˇz´ıv´ame pˇritom pojem teˇcny grafu funkce. Teˇcna ke grafu funkce f (x) v bodˇe a. Pˇripomeˇ nme, ˇze smˇernici pˇr´ımky, kter´a proch´az´ı body o souˇradnic´ıch [a, f (a)] a [x, f (x)] lze vypoˇc´ıtat dle vzorce k=
f (x) − f (a) . x−a
Teˇcna ke grafu funkce a jej´ı smˇernice
Matematika (KMI/PMATE)
9 / 30
Limita funkce Odpovˇed’ na druhou ot´azku Je: x2 − 4 (x − 2)(x + 2) = . x−2 x−2 Pro vˇsechna x 6= 2 je (x − 2)(x + 2) = x + 2. x−2 x f (x)
1,9 3,9
1,99 3,99
1,999 3,999
2 ?
2,001 4,001
2,01 4,01
Matematika (KMI/PMATE)
2,1 4,1
10 / 30
Limita funkce Odpovˇed’ na druhou ot´azku Je: x2 − 4 (x − 2)(x + 2) = . x−2 x−2 Pro vˇsechna x 6= 2 je (x − 2)(x + 2) = x + 2. x−2 x f (x)
1,9 3,9
1,99 3,99
1,999 3,999
2 ?
2,001 4,001
2,01 4,01
Matematika (KMI/PMATE)
2,1 4,1
10 / 30
Limita funkce
Vysvˇetlen´ı Pokud uvaˇzujeme hodnoty f (x) pro x bl´ıˇz´ıc´ı se 2 (a tedy x 6= 2), potom x2 − 4 nahradit v´yrazem x + 2, u kter´eho je zˇrejm´e, ˇze ˇc´ım bl´ıˇz lze v´yraz x−2 jsme k hodnotˇe x = 2, t´ım v´ıc se hodnota f (x) bl´ıˇz´ı ke ˇctyˇrem. Je tedy: x2 − 4 = lim (x + 2) = 4. x→2 x − 2 x→2 lim
Matematika (KMI/PMATE)
11 / 30
Limita funkce
Vysvˇetlen´ı Pokud uvaˇzujeme hodnoty f (x) pro x bl´ıˇz´ıc´ı se 2 (a tedy x 6= 2), potom x2 − 4 nahradit v´yrazem x + 2, u kter´eho je zˇrejm´e, ˇze ˇc´ım bl´ıˇz lze v´yraz x−2 jsme k hodnotˇe x = 2, t´ım v´ıc se hodnota f (x) bl´ıˇz´ı ke ˇctyˇrem. Je tedy: x2 − 4 = lim (x + 2) = 4. x→2 x − 2 x→2 lim
Nakreslete graf funkce f (x)!
Matematika (KMI/PMATE)
11 / 30
Limita funkce
Vysvˇetlen´ı Pokud uvaˇzujeme hodnoty f (x) pro x bl´ıˇz´ıc´ı se 2 (a tedy x 6= 2), potom x2 − 4 nahradit v´yrazem x + 2, u kter´eho je zˇrejm´e, ˇze ˇc´ım bl´ıˇz lze v´yraz x−2 jsme k hodnotˇe x = 2, t´ım v´ıc se hodnota f (x) bl´ıˇz´ı ke ˇctyˇrem. Je tedy: x2 − 4 = lim (x + 2) = 4. x→2 x − 2 x→2 lim
Nakreslete graf funkce f (x)!
Matematika (KMI/PMATE)
11 / 30
Limita funkce Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete lim
x→0
|x| x+ . x
Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze bod x = 0 nepatˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce, tedy nelze urˇcit hodnotu f (0). x f (x)
-0,1 -1,1
-0,01 -1,01
-0,001 -1,001
0 ?
0,001 1,001
Matematika (KMI/PMATE)
0,01 1,01
0,1 1,1
12 / 30
Limita funkce Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete lim
x→0
|x| x+ . x
Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze bod x = 0 nepatˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce, tedy nelze urˇcit hodnotu f (0). x f (x)
-0,1 -1,1
Je lim
x→0−
-0,01 -1,01
|x| x+ x
-0,001 -1,001
= −1,
0 ?
0,001 1,001
0,01 1,01
0,1 1,1
|x| lim x + =1 x x→0+
Matematika (KMI/PMATE)
12 / 30
Limita funkce Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete lim
x→0
|x| x+ . x
Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze bod x = 0 nepatˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce, tedy nelze urˇcit hodnotu f (0). x f (x)
-0,1 -1,1
Je lim
x→0−
-0,01 -1,01
|x| x+ x
-0,001 -1,001
= −1,
0 ?
0,001 1,001
0,01 1,01
0,1 1,1
|x| lim x + =1 x x→0+
Pˇri pˇribliˇzov´an´ı zleva dost´av´ame jin´e hodnoty, neˇz pˇri pˇribliˇzov´an´ı zprava (nakreslete graf funkce).
Matematika (KMI/PMATE)
12 / 30
Limita funkce Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete lim
x→0
|x| x+ . x
Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze bod x = 0 nepatˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce, tedy nelze urˇcit hodnotu f (0). x f (x)
-0,1 -1,1
Je lim
x→0−
-0,01 -1,01
|x| x+ x
-0,001 -1,001
= −1,
0 ?
0,001 1,001
0,01 1,01
0,1 1,1
|x| lim x + =1 x x→0+
Pˇri pˇribliˇzov´an´ı zleva dost´av´ame jin´e hodnoty, neˇz pˇri pˇribliˇzov´an´ı zprava (nakreslete graf funkce).
Matematika (KMI/PMATE)
12 / 30
Limita funkce
Neform´aln´ı definice Necht’ plat´ı, ˇze pro x bl´ıˇz´ıc´ı se ˇc´ıslu a (zleva i zprava) se funkˇcn´ı hodnoty funkce f (x) bl´ıˇz´ı jednomu ˇc´ıslu b. Potom ˇr´ık´ame, ˇze f (x) se bl´ıˇz´ı b pro x jdouc´ı k a, resp. ˇze limita f (x) pro x → a je (rovna ˇc´ıslu) b. P´ıˇseme lim f (x) = b.
x→a
Jestliˇze se hodnoty f (x) nebl´ıˇz´ı k jedn´e konkr´etn´ı hodnotˇe b pro x jdouc´ı k ˇc´ıslu a (zprava i zleva), potom ˇr´ık´ame, ˇze funkce f (x) nem´a limitu pro x → a.
Matematika (KMI/PMATE)
13 / 30
Limita funkce
Neform´aln´ı definice Necht’ plat´ı, ˇze pro x bl´ıˇz´ıc´ı se ˇc´ıslu a (zleva i zprava) se funkˇcn´ı hodnoty funkce f (x) bl´ıˇz´ı jednomu ˇc´ıslu b. Potom ˇr´ık´ame, ˇze f (x) se bl´ıˇz´ı b pro x jdouc´ı k a, resp. ˇze limita f (x) pro x → a je (rovna ˇc´ıslu) b. P´ıˇseme lim f (x) = b.
x→a
Jestliˇze se hodnoty f (x) nebl´ıˇz´ı k jedn´e konkr´etn´ı hodnotˇe b pro x jdouc´ı k ˇc´ıslu a (zprava i zleva), potom ˇr´ık´ame, ˇze funkce f (x) nem´a limitu pro x → a.
Matematika (KMI/PMATE)
13 / 30
Pozn´amky k definici
Je d˚ uleˇzit´e, aby se funkˇcn´ı hodnoty f (x) bl´ıˇzily k jednomu stejn´emu ˇc´ıslu, kdyˇz se hodnota x bl´ıˇz´ı k ˇc´ıslu a z obou stran. Pokud se napˇr´ıklad f (x) bl´ıˇz´ı hodnotˇe 1 pro x = 1, 9; 1, 99; 1, 999, . . ., tj. pro x → 2− bl´ıˇz´ı hodnotˇe 3 pro x = 2, 1; 2, 01; 2, 001, . . ., tj. pro x → 2+
potom limita f (x) pro x → 2 neexistuje. M˚ uˇze se st´at, ˇze funkˇcn´ı hodnota f (x) se nepˇribliˇzuje k ˇz´adn´e konkr´etn´ı hodnotˇe pˇri pˇribliˇzov´an´ı x k a z obou stran. Potom ˇr´ık´ame, ˇze limita f (x) pro x → a neexistuje. V uveden´e neform´aln´ı definici pouˇz´ıv´ame ponˇekud nepˇresn´y pojem ”pˇribliˇzovat se k . . . ”. Je nutn´e tuto definici upˇresnit.
Matematika (KMI/PMATE)
14 / 30
Korektn´ı definice limity funkce
Korektn´ı definice limity funkce ˇ Rekneme, ˇze ˇc´ıslo b je limitou funkce f (x) pro x → a, tedy: lim f (x) = b,
x→a
jestliˇze ke kaˇzd´emu re´aln´emu ˇc´ıslu ε > 0 existuje re´aln´e ˇc´ıslo δ > 0 takov´e, ˇze pro vˇsechna x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) plat´ı f (x) ∈ (b − ε, b + ε).
Matematika (KMI/PMATE)
15 / 30
Jednostrann´a limita funkce Definice (jednostrann´e) limity funkce zleva ˇ Rekneme, ˇze lim f (x) = b,
x→a−
jestliˇze existuje takov´e ˇc´ıslo b, ˇze ke kaˇzd´emu re´aln´emu ˇc´ıslu ε > 0 existuje re´aln´e ˇc´ıslo δ > 0 takov´e, ˇze kdyˇz x ∈ (a − δ, a), potom je f (x) ∈ (b − ε, b + ε).
Definice (jednostrann´e) limity funkce zprava ˇ Rekneme, ˇze lim f (x) = b,
x→a+
jestliˇze existuje takov´e ˇc´ıslo b, ˇze ke kaˇzd´emu re´aln´emu ˇc´ıslu ε > 0 existuje re´aln´e ˇc´ıslo δ > 0 takov´e, ˇze kdyˇz x ∈ (a, a + δ), potom je f (x) ∈ (b − ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE)
16 / 30
Jednostrann´a limita funkce
Pˇr´ıklad |x| Necht’ je f (x) = x + . x Potom je lim f (x) = −1
x→0−
lim f (x) = +1
x→0+
lim f (x) neexistuje
x→0
Matematika (KMI/PMATE)
17 / 30
Nevlastn´ı limita funkce Pˇr´ıklad - nevlastn´ı limita Vypoˇctˇete lim
x→0
1 . x2
Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze bod x = 0 nepatˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce, tedy nelze urˇcit hodnotu f (0). Zleva: x f (x)
-0,1 100
-0,01 10 000
-0,001 1 000 000
-0,000 1 100 000 000
Zprava: x 0,1 f (x) 100
0,01 10 000
0,001 1 000 000
0,000 1 100 000 000
Matematika (KMI/PMATE)
18 / 30
Nevlastn´ı limita funkce Z pˇredchoz´ıch dvou tabulek bylo vidˇet, ˇze kdyˇz se hodnota x dostane dostateˇcnˇe bl´ızko k 0 (zleva i zprava), potom funkˇcn´ı hodnoty f (x) rostou bez omezen´ı - nade vˇsechny meze. Vlastn´ı limita f (x) pro x → 0 neexistuje, nebot’ neexistuje ˇc´ıslo, kter´e by vykazovalo vlastnost limitn´ı hodnoty b.
Matematika (KMI/PMATE)
19 / 30
Nevlastn´ı limita funkce Z pˇredchoz´ıch dvou tabulek bylo vidˇet, ˇze kdyˇz se hodnota x dostane dostateˇcnˇe bl´ızko k 0 (zleva i zprava), potom funkˇcn´ı hodnoty f (x) rostou bez omezen´ı - nade vˇsechny meze. Vlastn´ı limita f (x) pro x → 0 neexistuje, nebot’ neexistuje ˇc´ıslo, kter´e by vykazovalo vlastnost limitn´ı hodnoty b. Takov´eto typy limit oznaˇcujeme jako nevlastn´ı limity a ˇr´ık´ame, ˇze diverguj´ı k +∞, resp. k −∞.
lim f (x) = −∞,
x→a
lim f (x) = ∞,
x→a
Matematika (KMI/PMATE)
lim
x→0
1 =∞ x2
19 / 30
Nevlastn´ı limita funkce Z pˇredchoz´ıch dvou tabulek bylo vidˇet, ˇze kdyˇz se hodnota x dostane dostateˇcnˇe bl´ızko k 0 (zleva i zprava), potom funkˇcn´ı hodnoty f (x) rostou bez omezen´ı - nade vˇsechny meze. Vlastn´ı limita f (x) pro x → 0 neexistuje, nebot’ neexistuje ˇc´ıslo, kter´e by vykazovalo vlastnost limitn´ı hodnoty b. Takov´eto typy limit oznaˇcujeme jako nevlastn´ı limity a ˇr´ık´ame, ˇze diverguj´ı k +∞, resp. k −∞.
lim f (x) = −∞,
x→a
lim f (x) = ∞,
x→a
Matematika (KMI/PMATE)
lim
x→0
1 =∞ x2
19 / 30
Definice nevlastn´ı limity funkce
Definice nevlastn´ı limity ˇ Rekneme, ˇze lim f (x) = ∞, jestliˇze ke kaˇzd´emu re´aln´emu ˇc´ıslu K > 0 x→a existuje re´aln´e ˇc´ıslo δ > 0 takov´e, ˇze pro vˇsechna x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) plat´ı nerovnost f (x) > K.
Definice nevlastn´ı limity ˇ Rekneme, ˇze lim f (x) = −∞, jestliˇze ke kaˇzd´emu re´aln´emu ˇc´ıslu K < 0 x→a existuje re´aln´e ˇc´ıslo δ > 0 takov´e, ˇze pro vˇsechna x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) plat´ı nerovnost f (x) < K.
Matematika (KMI/PMATE)
20 / 30
Limita v nevlastn´ım bodˇe 2x2 + 5 . x→∞ x2 + 1
Urˇcete hodnotu lim x
1
10
100
1 000
f (x)
7 2
205 101
20 005 10 001
2 000 005 1 000 001
f (x)
3,5
2,0297
2,0003
2,0000
Matematika (KMI/PMATE)
21 / 30
Limita v nevlastn´ım bodˇe 2x2 + 5 . x→∞ x2 + 1
Urˇcete hodnotu lim x
1
10
100
1 000
f (x)
7 2
205 101
20 005 10 001
2 000 005 1 000 001
f (x)
3,5
2,0297
2,0003
2,0000
Definice limity v nevlastn´ım bodˇe ˇ Rekneme, ˇze lim f (x) = b, jestliˇze pro vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla ε > 0 existuje x→∞
re´aln´e ˇc´ıslo x0 takov´e, ˇze pro vˇsechna x ∈ (x0 , ∞) plat´ı f (x) ∈ (b − ε, b + ε).
Matematika (KMI/PMATE)
21 / 30
Limita v nevlastn´ım bodˇe 2x2 + 5 . x→∞ x2 + 1
Urˇcete hodnotu lim x
1
10
100
1 000
f (x)
7 2
205 101
20 005 10 001
2 000 005 1 000 001
f (x)
3,5
2,0297
2,0003
2,0000
Definice limity v nevlastn´ım bodˇe ˇ Rekneme, ˇze lim f (x) = b, jestliˇze pro vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla ε > 0 existuje x→∞
re´aln´e ˇc´ıslo x0 takov´e, ˇze pro vˇsechna x ∈ (x0 , ∞) plat´ı f (x) ∈ (b − ε, b + ε).
Matematika (KMI/PMATE)
21 / 30
Spojitost funkce Obecn´y n´ahled: Jestliˇze se hodnoty funkce mˇen´ı plynule, tj. bez n´ahl´ych skok˚ u, ˇr´ık´ame, ˇze dan´a funkce je spojit´a.
Spojitost v bodˇe I
Spojitost v bodˇe II
Spojitost v bodˇe III
Funkce f (x) je nespojit´a v bodˇe a.
Funkce f (x) je nespojit´a v bodˇe a.
Funkce f (x) je spojit´a v bodˇe a.
Matematika (KMI/PMATE)
22 / 30
Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce v bodˇe Necht’ f (x) je funkce a ˇc´ıslo a je prvkem definiˇcn´ıho oboru funkce f (x). ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je spojit´a v bodˇe a, jestliˇze existuje vlastn´ı limita lim f (x) x→a
plat´ı rovnost lim f (x) = f (a) x→a
ˇ Rekneme, ˇze funkce je spojit´a na otevˇren´em intervalu I, jestliˇze je spojit´a v kaˇzd´em bodˇe intervalu I.
Matematika (KMI/PMATE)
23 / 30
Spojitost funkce - alternativn´ı definice Definice jednostrann´e spojitosti funkce v bodˇe Necht’ f (x) je funkce a ˇc´ıslo a je prvkem definiˇcn´ıho oboru funkce f (x). ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je spojit´a zleva v bodˇe a, jestliˇze existuje limita zleva lim f (x) x→a−
plat´ı rovnost lim f (x) = f (a) x→a−
ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je spojit´a zprava v bodˇe a, jestliˇze existuje limita zprava lim f (x) x→a+
plat´ı rovnost lim f (x) = f (a) x→a+
ˇ Rekneme, ˇze funkce je spojit´a v uzavˇren´em intervalu ha, bi, jestliˇze je spojit´a v kaˇzd´em bodˇe otevˇren´eho intervalu (a, b) a d´ale je spojit´a zprava v bodˇe a a souˇcasnˇe je spojit´a zleva v bodˇe b. Matematika (KMI/PMATE)
24 / 30
Spojitost funkce Kter´a z uveden´ych funkc´ı je spojit´a na sv´em definiˇcn´ım oboru? ( x + 1 pro x ≤ 2, f (x) = 5 − x pro x > 2 ( x+1 g(x) = 6−x 1 x ( 1/x k(x) = 0
pro x < 2, pro x > 2
h(x) =
pro x 6= 0, pro x = 0
Matematika (KMI/PMATE)
25 / 30
Spojitost a limita funkce
Z definice spojitosti funkce v bodˇe plyne, ˇze pokud v´ıme, ˇze v bodˇe a je funkce f (x) spojit´a, potom lze limitu lim f (x) vypoˇc´ıtat ze vztahu x→a
lim f (x) = f (a).
x→a
Kaˇzd´a funkce, kter´a vznikne z mocninn´e funkce, a d´ale pak z goniometrick´ych, cyklometrick´ych, exponenci´aln´ıch a logaritmick´ych funkc´ı pomoc´ı koneˇcn´eho poˇctu poˇcetn´ıch operac´ı sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı, dˇelen´ı a skl´ad´an´ı, je spojit´a na sv´em definiˇcn´ım oboru.
Matematika (KMI/PMATE)
26 / 30
Operace s limitami Pravidla pro poˇc´ıt´an´ı s limitami V n´asleduj´ıc´ıch vzorc´ıch pˇredpokl´ad´ame, ˇze existuj´ı limity lim f (x),
x→a
a
lim g(x).
x→a
Potom plat´ı n´asleduj´ıc´ı vzorce: lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)
x→a
x→a
x→a
lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x)
x→a
x→a
x→a
lim [f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x)
x→a
x→a
lim
x→a
x→a
limx→a f (x) f (x) = g(x) limx→a g(x) (6= 0)
Matematika (KMI/PMATE)
27 / 30
V´yznamn´e vzorce sin x =1 x→0 x lim
ex − 1 =1 x→0 x lim
ax − 1 = ln a x→0 x lim
ln(1 + x) =1 x→0 x p m (1 + x)n − 1 n lim = x→0 x m lim
Matematika (KMI/PMATE)
28 / 30
V´yznamn´e vzorce sin x =1 x→0 x lim
ex − 1 =1 x→0 x lim
ax − 1 = ln a x→0 x lim
ln(1 + x) =1 x→0 x p m (1 + x)n − 1 n lim = x→0 x m lim
Matematika (KMI/PMATE)
29 / 30
Sendviˇcov´a vˇeta Pˇredpokl´adejme, ˇze existuje re´aln´e ˇc´ıslo δ > 0 takov´e, ˇze pro vˇsechna x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) jsou splnˇeny nerovnosti f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). D´ale pˇredpokl´adejme, ˇze jsou splnˇeny rovnosti lim f (x) = lim h(x) = b.
x→a
x→a
Potom existuje i limita limx→a g(x) a plat´ı lim g(x) = b.
x→a
Matematika (KMI/PMATE)
30 / 30
