Příklady z přednášek Statistické srovnávání

Příklady z přednášek – Statistické srovnávání Jednoduché individuální indexy Příklad 1 – V následující tabulce jsou uvedeny údaje o počtu závažných závad v areálu určité firmy zjištěných a opravených v letech 1993-1998. Závažná závada je závada nad 10 000 Kč. Rok

Počet závad (yt)

1993

20

1994

23

1995

26

1996

28

1997

25

1998

27

Charakterizujte vývoj počtu závad pomocí bazických indexů (1993 = 1) a pomocí řetězových indexů. Výsledky interpretujte. Řetězové indexy:

i94 / 93 

y 2 23   1,15 y1 20

V roce 1994 vzrostl počet závažných závad ve firmě oproti roku 1993 o 15 % (neboli 1,15krát).

i95 / 94 

y 3 26   1,13 y 2 23

V roce 1995 vzrostl počet závažných závad ve firmě oproti roku 1994 o 13 % (neboli 1,13krát). Atd. Další hodnoty řetězových indexů – viz tabulka. Pozn.: Indexy menší než 1 znamenají pokles daného ukazatele, tj. i97 / 96  0,893 znamená, že v roce 1997 poklesl počet závažných závad ve firmě oproti roku 1996 o 10,7 %.

Bazické indexy (1993=1)

Počet závad (yt)

Řetězové indexy

1993

20

•

1994

23

1,150

1,15

1995

26

1,130

1,30

1996

28

1,077

1,40

1997

25

0,893

1,25

1998

27

1,080

1,35

Rok

1

Bazické indexy:

i94 / 93 

y 2 23   1,15 y1 20

V roce 1994 vzrostl počet závažných závad ve firmě oproti roku 1993 o 15 % (neboli 1,15krát).

i95 / 93 

y 3 26   1,3 y1 20

V roce 1995 vzrostl počet závažných závad ve firmě oproti roku 1993 o 30 % (neboli 1,3krát).

i96 / 93 

y 4 28   1,4 y1 20

V roce 1996 vzrostl počet závažných závad ve firmě oproti roku 1993 o 40 % (neboli 1,4krát). Atd. Další hodnoty bazických indexů – viz tabulka.

Pokračování zadání příkladu 1: Vypočítejte hodnotu bazického indexu i97 / 93 , jsou-li známy pouze

hodnoty řetězových indexů, tj. známé údaje jsou v následující tabulce: Rok

Řetězové indexy

1993

•

1994

1,150

1995

1,130

1996

1,077

1997

0,893

1998

1,080

Přepočet řetězových indexů na bazické se děje násobením příslušných řetězových indexů:

i97 / 93 

u 97 u 94 u 95 u 96 u 97      1,15  1,13  1,077  0,893  1,25 u 93 u 93 u 94 u 95 u 96

Pozn.: Aby byl přepočet přehlednější, uvádím hodnoty sledovaného ukazatele v jiné podobě, tj. u94 je hodnota sledovaného ukazatele v roce 1994 apod. Pokračování zadání příkladu 1: Vypočítejte hodnotu řetězového indexu i97 / 96 , jsou-li známy pouze

hodnoty bazických indexů, tj. známé údaje jsou v následující tabulce: Rok

Bazické indexy (1993=1)

1993

1

1994

1,15

1995

1,30

1996

1,40

1997

1,25

1998

1,35

Přepočet řetězových indexů na bazické se děje dělením příslušných bazických indexů:

i97 / 96 

u 96 u 97 u 96 u 97 u 93      1,25  1,4  0,893 u 97 u 93 u 93 u 93 u 96

Složené individuální indexy Příklad 2: Posuďte, jak se ve sledovaném období změnil fyzický objem výroby určitého výrobku, hodnota výroby a průměrná cena výrobku, který je vyráběn dvěma firmami. Počet ks Firma

Cena za kus

Hodnota výroby

1998

1999

1998

1999

1998

1999

q0

q1

p0

p1

Q0

Q1

A

50

10

80

250

4000

2500

B

30

100

100

200

3000

20000

Celkem

80

110

x

x

7000

22500

Pracujeme se stejnorodým ukazatelem, který je složen z dílčích hodnot, tj. tyto dílčí hodnoty lze shrnovat součtem v případě extenzitního ukazatele (objem výroby, hodnota výroby) nebo průměrem (cena). Nejprve charakterizujeme změnu fyzického objemu výroby:

Iq 

q q

1 0



110  1,375 80

 q   q1   q 0  110  80  30 Objem výroby produkovaný oběma firmami vzrostl ve sledovaném období o 37,5 %, tj. celkem o 30 ks. Nyní budeme charakterizovat změnu hodnoty výroby. Do tabulky provedu další pomocné výpočty pro zjištění změny hodnoty výroby (modře uvedené hodnoty). Vycházím z obecného vztahu: Q  p  q .

IQ 

Q Q

1 0



22500  3,214 7000

 Q   Q1   Q0  22500  7000  15500 Celková hodnota výroby vzrostla ve sledovaném období o 221,4 %, tj. o 15 500 Kč.

Q q  Q q

1

Ip 

p1 p0

1 0

0

pq q  p q q

1 1 1

0

0

0

22500 204,545  110   2,338 7000 87,5 80

pq p q q q 1 1

 p  p1  p0 

0

1

0

 204,545  87,5  117,045

0

Průměrná cena výrobku vzrostla o 133,8 %, tj. o 117,045 Kč.

Pokračování zadání příkladu 2: Posuďte, jak se na změně průměrné ceny výrobku podílela změna cen jednotlivých výrobců, a jak změna struktury výroby jednotlivých výrobců. Počet ks Firma

Cena za kus

Hodnota výroby

p1 q 0

1998

1999

1998

1999

1998

1999

q0

q1

p0

p1

Q0

Q1

A

50

10

80

250

4000

2500

12500

B

30

100

100

200

3000

20000

6000

Celkem

80

110

x

x

7000

22500

18500

Chci analyzovat, jak působili na změnu průměrné ceny 2 činitelé, kteří ji ovlivňují – ceny jednotlivých výrobců a struktura výroby. Pokud uvažuji nejprve změnu cen a potom změnu struktury výroby, použiji tento vztah:

I p  I SS q 0   I STR  p1  Do tabulky doplním další pomocný výpočet (růžový).

pq q q    p q q

1 0

I SS

0

1 0

0

0

pq  p q

0

0

0

pq q p    pq q

1 1

I STR

1

1

1 0 0

p 

pq q

1 0 0



0

18500  80  2,643 7000 80

22500  110  0,885 18500 80

p q q 0

0

0



pq pq q q 1 1

1 0

1

0



18500 7000 22500 18500     143,75  (26,7)  117,05 80 80 110 80

Průměrná cena vzrostla v důsledku změn cen jednotlivých výrobců o 164,3 %, tj. o 143,80 Kč a naopak poklesla v důsledku změn ve struktuře výroby o 11,5 %, tj. o 26,70 Kč.

Pokud uvažuji nejprve změnu struktury výroby a potom změnu cen, použiji tento vztah:

I p  I SS q1   I STR  p 0  Výpočet provedeme obdobným způsobem (už zde nebudu uvádět).

Souhrnné indexy Příklad 3: Posuďte, jak se změnily ceny v určité prodejně v roce 1999 vzhledem k r. 1990 a určete částku, kterou kupující zaplatili navíc v důsledku změny cen. Poznámka: Zadané jsou hodnoty v černé barvě. Tržba v běž. období

Cena Zboží

Individuální cenové indexy

Q1 ip

1990

1999

1999

p0

p1

Q1  p1 q1

Mléko

2,50

12,50

10 000

5

2000

Máslo

10,00

20,00

5 000

2

2500

Jogurt

2,00

7,00

3 500

3,5

1000

Mouka

3,00

9,00

3 000

3

1000

Káva

10,00

8,00

1 600

0,8

2000

x

X

23 100

x

85000

Celkem

i p  p1

p0

Pracujeme zde s nestejnorodým ukazatelem, jehož dílčí hodnoty nemá smysl shrnovat, proto změnu cen ve sledovaném období posoudíme nejlépe buď podle Paascheho nebo Laspeyresova cenového indexu. Vzhledem k zadaným hodnotám je zde jednodušší počítat Paascheho cenový index.

p1

P

Ip

p pq  p q

0 1

pq  p q

1 1 0 1

0



0 1

pq pq  p

1 1 1 1 1



Q Q i

1 1

p

p0 Provedeme v posledních dvou sloupcích výše uvedené tabulky pomocné výpočty (růžová barva v tabulce) a dosadíme:

P

Ip 

Q Q i

1 1

p



23100  2,718 8500

Vzhledem k tomu, že jsme k charakterizování změny cen použili Paascheho cenový index, musíme to v odpovědi uvést: Vezmeme-li neměnnost objemu prodeje běžného období, ceny prodávaného zboží vzrostly ve sledovaném období o 171,8 %. Změnu cen vyjádříme nyní i absolutně:

 P I p   Q1  

Q1  23100  8500  14600 ip

Kupující museli při nákupu stejného množství zboží jaké v běžném období vydat o 14 600 Kč více.

Příklad 4: Posuďte změnu fyzického objemu výroby, cen a hodnoty výroby u určitého výrobce, který vyrábí 3 druhy výrobků. Počet vyrob. ks Výrobky

Cena za ks

Hodnota výroby

q0 p1

2000

2001

2000

2001

2000

2001

q0

q1

p0

p1

Q0

Q1

A

10

15

5

10

50

150

100

B

5

10

10

10

50

100

50

C

20

10

5

20

100

200

400

Celkem

x

x

x

x

200

450

550

Pracujeme s nestejnorodým ukazatelem. Změnu fyzického objemu výroby můžeme charakterizovat pomocí Laspeyresova či Paascheho objemového indexu (jejich použití je ekvivalentní, je jedno, který použijeme). Já zde použijí Paascheho objemový index:

P

Iq 

q p q p 1

1

0

1



450  0,818 550

 P I p   q1 p1   q 0 p1  450  550  100 Bereme-li v úvahu ceny běžného období (tj. r. 2001), kleslo množství vyrobených výrobků proti základnímu období (tj. r. 2000) o 18,2 %, tj. o 100 ks. Změnu cen ve sledovaném období posoudíme buď podle Paascheho nebo Laspeyresova cenového indexu. Použiji zde třeba Laspeyresův cenový index:

L

Ip 

pq p q

1 0 0

0



550  2,75 200

 L I p   p1 q 0   p 0 q 0  550  200  350

Vezmeme-li v úvahu vyrobené množství výrobků jako v základním období, tj. v roce 2000, vzrostly ceny proti základnímu období o 175 %, tj. o 350 Kč. Změnu hodnoty výroby posoudím podle souhrnného indexu hodnoty (Povšimněte si, že souhrnný hodnotový index má stejný tvar jako individuální složený index hodnoty. Důvodem je to, že hodnotu čehokoli lze sčítat vždy.):

IQ 

Q Q

1



0

pq p q

1 1

0



0

450  2,25 200

 I Q   Q1   Q0  450  200  250 Hodnota výroby vzrostla oproti roku 2000 o 125 %, tj. o 250 Kč. Pokračování zadání příkladu 4: Určete, jak se změnila celková hodnota výroby a jak byla tato změna ovlivněna změnami cen a jak změnami vyrobeného množství. Změnu cen jsme již určili:

IQ 

Q Q

1



0

pq p q

1 1

0



0

450  2,25 200

Vliv výše uvedených dvou faktorů na tuto změnu zjistíme rozkladem souhrnného indexu hodnoty (rozklad metodou postupných změn):

IQ 

pq p q

1 1

0

0



pq pq p q pq 1 0

1 1

0

1 0

0

 L I p P I q

I Q  L I p  P I q  2,75  0,818  2,25 Hodnota výroby ve sledovaném období vzrostla o 125 % (už bylo uvedeno výše). Změna cen způsobila nárůst tržeb o 175%, změna vyrobeného množství pokles tržeb o 18,2 %.