Příklady k přednášce 26 – Nelineární systémy a řízení
Michael Šebek Automatické řízení 2014 18-5-15
Příklad: Nelineární systém s lineární ZV Automatické řízení - Kybernetika a robotika
DC motor s omezením - odezva na rampu, sinus a součet rampa+sinus • nefunguje superpozice • ne-věrnost frekvence • hůř sleduje reference
po saturaci Michael Šebek
vystup
před saturací PR-ARI-26-2012
2
Příklad: Nelineární stabilizace integrátoru Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Porovnejte lineární stabilizaci integrátoru x = u x = −x u = −x
IntegratorNonlinear.mdl
}
x
• s nelineární stabilizací x = u u = − ( sign x )
x = − ( sign x ) x typu „spojitý deadbeat“
x x
• Vhodná Lyapunovova funkce je V ( x) = x 2 2 = V ′( x) x sign ( x ) x < 0 ∀x ≠ 0 Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
u u
3
Příklad: Nelineární stabilizace integrátoru Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Jiná nelineární stabilizace je x = u u = −2 3
Michael Šebek
IntegratorNonlinear2_JF.mdl
3 x = −2 x x
PR-ARI-26-2012
4
Příklad: Únik v konečném čase Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• rovnice
x = x 2
s počátečním stavem
x(0) = 1
• má řešení
1 x(t ) = 1− t
• Pro srovnání: výstup lineárního systému roste nejvýše exponenciálně, a do „nekonečna“ se „dostane až v nekonečném čase“ Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
5
Příklad: Více izolovaných ekvilibrií Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Systém je v ekvilibriu, když jsou všechny stavové proměnné konstantní • ekvilibrium je dáno konstantními vektory xe , ue takovými, že = xe f= ( xe , ue ) 0 • z této rovnice ho vypočteme, nejčastěji pro ue = 0 • LTI má většinou jediný ustálený stav v nule (výjimečně podprostor ustálených stavů pro A singulární) • Nelineární systém může mít více izolovaných ekvilibrií
x = sin( x) 0 = sin( xe ) xe= kπ , k= 0, ±1, Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
6
Srovnání: Lineární a nelineární oscilátor Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Lineární oscilátor x+x = 0 • může oscilovat (když má póly na imaginární ose), ale • oscilace jsou nestabilní (póly jsou na mezi stability) a • jejich amplituda závisí na počátečních podmínkách Nelineární oscilátor x + x + 3( x 2 − 1) x = 0 • jen nelineární systém může mít stabilní oscilace s pevnou amplitudou a frekvencí nezávisle na poč. stavu, tzv. limitní cykly • např. van der Polova rovnice (model stahů srdce, nerv. pulsů, stahů svalů v jícnu a střevech,…
• další známé oscilátory: Raleigh: klarinet, housle, Voltera: populace Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
7
Příklad: Špatné vlastnosti lineárního oscilátor Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• LTI může oscilovat (když má póly na imaginární ose), ale x+x = 0 • jejich amplituda závisí na počátečních podmínkách >> sys=ss(1/(s^2+1));initial(sys,[1,0],20), hold >>initial(sys,[2,0],20),initial(sys,[.5,0],20)
• a oscilace jsou nestabilní (póly na mezi stability) x + ε1 x + (1 + ε 0 ) x = 0 • Uvažme perturbovaný oscilátor ε1
λ1,2 = − ±i
2 ε12 < 4 + 4ε 0
4 + 4ε 0 − ε12 2
>> eps1=0;eps0=1;sys=ss(1/(s^2+eps1*s+1+eps0)); >> initial(sys,[1,0],30),hold >> eps1=0.1;eps0=1; // atd. Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
8
Co ještě může nastat u nelineárních systémů? Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• řešení neexistuje: Např. rovnice , kde 1 x≥0 sign( x) = x = −sign( x), x(0) = 0 −1 x < 0 nemá žádné řešení (= žádná spojitě dif. fce ji nesplňuje), i když není zas tak nesmyslná: je to zjednodušený model termostatu • řešení není jednoznačné: Např. rovnice
= x 3= x 2 3 , x(0) 0 (t − a)3 t ≥ a je řešitelná každou funkcí xa = s libovolným a t
• bifurkace (kvalitativní rysy se mění se změnou parametrů) • synchronizace (vázané oscilátory se synchronizují) • složité dynamické chování (turbulence , chaos, …) Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
9
Příklad: Fázový portrét tlumeného kyvadla Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pohybová rovnice v tečném směru
mlϕ = − mg sin ϕ − klϕ
x1 • Pro stavové proměnné=
ϕ= , x2 ϕ dostaneme
• nelineární stavový model
x1 = x2
demoph2
k g x2 = − x2 − sin( x1 ) m l • Fázový portrét je na obr. • Vidíme např. stabilní a nestabilní ekvilibria
Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
10
Příklad: Jiný portrét netlumeného kyvadla Automatické řízení - Kybernetika a robotika
mgl g 1 1 sin θ + 2 M kot θ = sin θ + M kot θ = J J l ml
J = ml 2
θ
l
r
Fg = mg
M kot
Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
11
Příklad: vliv saturace v aktuátoru Automatické řízení - Kybernetika a robotika
úhlová rychlost antény v rad/s
• Řízení motoru otáčejícím anténou • se saturací v aktuátoru = výkonovém zesilovači • Zesilovač má zesílení 1, ale také saturaci ± 5 V
Michael Šebek
bez saturace
se saturací
Efekt saturace v zesilovači je podle očekávání: • saturace pouze zmenší skokový signál na vstupu • a tomu odpovídá výstup
PR-ARI-26-2012
12
Příklad: Vliv pásma necitlivosti Automatické řízení - Kybernetika a robotika
úhlová výchylka antény v rad
• pásmo necitlivosti dead zone • na výstupní hřídeli • vstupní signály v pásmu od -2 V do +2 V nemají efekt na výstup (neotočí hřídelí) bez dead zone
• dobře se projeví při sinusovém vstupním signálu • hřídel reaguje teprve až vstupní signál překročí práh necitlivosti • výsledkem je menší amplituda
s dead zone Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
13
Příklad: Vliv mrtvého chodu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
úhlová výchylka antény v rad
• mrtvý chod - backlash • vůle v ložiscích • šířka pásma necitlivosti 0.15
Michael Šebek
s backlash
bez backlash
PR-ARI-26-2012
• dobře se projeví při sinusovém vstupním signálu • po změně směru rotace motoru • zůstane výstupní hřídel na chvilku v klidu • „dokud ložiska nezaberou opačně“ 14
Příklad: Hammersteinův model lidského svalu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• • •
Lýtkové svaly: triceps surae = Gastrocnemius + Soleus Jejich reakci na elektrickou stimulaci popisuje Hammersteinův empirický model: statická nelinearita + lineární dynamika
•
z experimentální impulsní charakteristiky odvodíme tvar nelinearity sval f a potom ji „vyrušíme“ f umělou inverzí a z výsledkem je lineární systém Např. řízení momentu pro stabilizaci postoje paraplegika
• • •
-1
r
Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
r
Bm ( z −1 ) Am ( z −1 )
m(t )
15
Podivný příklad stability Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Může být ekvilibrium stabilní asymptoticky, ale ne Lyapunovsky? • Uvažme systém s ekvilibriem (0,0) fázový portrét •
2 2 − x= x x 1 1 2 x2 = 2 x1 x2
modré trajektorie konvergují k 0
a co zelená ?
pro x2 (0) = 0 má řešení x (0) x1 (t ) = 1 1 − tx1 (0) x2 (t ) = 0 x1 (0) 1,= x2 (0) 0 má řešení • speciálně pro = 1 x1 (t ) = 1− t x2 (t ) = 0 •
•
x2 x1 x1 (t )
t
také tato trajektorie asymptoticky konverguje k ekvilibriu, ale podivně: přes ∞ v čase t =1 Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
16
Kdy je lineární systém Lyapunovsky stabilní? Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Zvláštním případem nelineárního systému je systém lineární: x = Ax • U lineárního systému je stabilita ekvilibria globální = stabilitě systému • U lineárního systému asymptotická stabilita implikuje Lyapunovskou • Kdy ještě je lineární systém Lyapunovsky stabilní? (není-li asymptoticky) Role vlastních čísel na mezi stability: • Jednonásobná vlastní čísla na mezi neporuší Lyapunovskou stabilitu • Ale co vícenásobná? • Neporuší ji taková vícenásobné vl. č. na mezi, pro která platí, že násobnost vl. č. = počet jeho lineárně nezávislých vlastních vektorů Alternativně: násobnost vl. č. = počet jeho Jordanových bloků Paralelní spojení Kaskáda integrátorů 0 0 0 1 A= A= integrátorů je není 0 0 0 0 Lyapunovsky stabilní Lyapunovsky stabilní Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
17
Příklad: Stabilní a nestabilní ekvilibrium stabilní nestabilní Uvažme dva nelineární systémy: x = − x 3 a x = − x 2 • oba mají ekvilibrium v počátku x0 = 0 a oba mají v jeho okolí • stejnou linearizaci x = 0 tj. A = 0 , která má pól v s = 0 Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• jen kladné pp. jdou k 0
• „všechny pp. jdou k 0“ » syms x0 » sol=dsolve('Dx=-x^3','x(0)=x0') sol = [ -1/(2*t+1/x0^2)^(1/2)] [ 1/(2*t+1/x0^2)^(1/2)]
• odmocnina z hyperboly 2 posunuté do −1 x0 • znaménko podle znaménka počáteční podmínky Michael Šebek
» sol=dsolve('Dx=-x^2','x(0)=x0') sol = 1/(t+1/x0) » sol=dsolve('Dx=-x^2','x(0)=-1') sol = 1/(t-1)
• hyperbola posunutá do − 1 x0 • tj. pro x0 < 0 druhá větev ! Pozor: lim v ¥ nehraje roli
PR-ARI-26-2012
18
Jak zkoumat stabilitu - motivace Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Určeme stabilitu ekvilibria v počátku pro systém 2. řádu zkoumáním 2 vzdálenosti jeho řešení od počátku d= (t ) x12 (t ) + x22 (t ) • sledujme její změnu jako funkce času podél tohoto řešení Nejprve x= x2 − x13 1 • pro systém x2 =− x1 − x23 je d ( x12 (t ) + x22 (t ) ) dt = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 dosazením rovnic systému dostaneme d ( x12 (t ) + x22 (t ) ) = dt 2 x1 ( x2 − x13 ) + 2 x2 ( − x1 − = x23 ) −2 ( x14 + x24 ) ≤ 0 ∀t dokud nejsou x1 a x2 současně 0, čtverec vzdálenosti klesá k 0 a řešení blíží k nule ekvilibrium je lokálně asymptoticky stabilní 3 Naopak x= x + x Mimochodem: Oba systémy 1 2 1 mají stejnou linearizaci • pro systém x2 =− x1 + x23 je d ( x12 (t ) + x22 (t ) ) dt = 2 x1 ( x2 + x13 ) + 2 x2 ( − x1 + x23 )
= 2 ( x14 + x24 ) ≥ 0 ∀t
roste bez omezení Michael Šebek
tedy vzdálenost ekvilibrium je nestabilní PR-ARI-26-2012
x1 = x2 x2 = − x1
s vlastními čísly ± j stabilitu z ní nepoznáme. 19
Příklad: Lyapunova funkce Automatické řízení - Kybernetika a robotika
y e u r Polohová ZV, Fe5 Ex 9.16, s. 695 1s 1 Ts nelinearita • ZV od polohy + nelinearita v aktuátoru (saturace apod.) • statická nelinearita s grafem procházejícím 1. a 3. kvadrantem a s rovnicí u = f (e) takovou, že e ∫0 f (e)de > 0 a f (e) = 0 ⇒ e = 0 • celkový systém je popsán rovnicemi e = − x2 , x2 = − x2 T + f (e) T , T > 0 • Zkusme Lyapunovovu funkci ve tvaru potenciální + kinetická energie e T 2 V x2 + ∫ f (σ )dσ = 0 2
• Zřejmě je V =0 ⇐ x2 =e =0 • Zbývá ověřit 3. podmínku Michael Šebek
a
V > 0 ⇐ x22 + e 2 ≠ 0
PR-ARI-26-2012
20
Příklad - pokračování Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• vypočteme derivaci dle trajektorie
f (e) 1 2 V = Tx2 x2 + f (e)e = Tx2 − x2 + + f ( e ) − x = − x ( ) 2 2 T T
zřejmě platí V ≤ 0 takže počátek je Lyapunovsky stabilní ekvilibrium Dále je zřejmě V vždy klesající pro x2 ≠ 0 a k tomu ještě žádná trajektorie kromě x2 = 0 nemá V ( x2 ) = 0 počátek je dokonce globálně asymptoticky stabilní a celý systém je asymptoticky stabilní • Zopakujme, že nelinearita musí splňovat tyto podmínky: • Simulace: e ∫ f (e)de > 0
• • • • •
0
f (e) = 0 ⇒ e = 0 Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
21
Příklad: Lyapunova fce pro lineární systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• • • •
Speciálně pro LTI x = Ax Najdeme vždy Lyapunovovu funkci ve tvaru kvadratické formy Uvažme V = xT Px, P je reálná symetrická matice Derivace podle trajektorie
(
)
V = x T Px + xT Px = xT AT Px + xT PAx = xT AT P + PA x • Položíme AT P + PA = −Q , což je tzv. Lyapunova maticová rovnice • a dostaneme V = − xT Qx • Prakticky: Volíme positivně definitní Q, vypočteme P a určíme její definitnost • Je-li P pozitivně definitní, pak je systém asymptoticky stabilní • Není-li, pak je systém nestabilní Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
22
Příklad: příprava na kruhové kritérium Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• někdy ZV nelineární systém překreslujme do struktury s nelinearitou ve zpětné vazbě r (s)
F (s)
G (s)
F ( s)r ( s)
F (s) 0
G (s)
− F ( s)G ( s)
F ( s)r ( s)
Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
23
Příklad: Kruhové kritérium Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Systém s přenosem 1 L( s ) = s ( s + 1)( s + 2)
• • •
•
má Nyquistův graf, který leží napravo od svislé přímky v -0.8 tomu odpovídá „kruh“ s k1 = 0 a k2 = 1/0.8 = 1.25 systém je tedy stabilní s nelinearitou typu saturace či dead-zone kde směrnice lineární části < 1.25 jiné vhodné kruhy jsou – mezi -2.5 a -0.5, tj. k1 = 0.4 a k2 = 2 – mezi -0.5 a -0.3, tj. k1 = 2 a k2 = 3.3 Michael Šebek
PR-ARI-26-2012
−0.8
24
